Matemaattisen analyysin tukikurssi

Transkriptio

1 Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola

2 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä

3 Derivaatta ja monotonisuus Muistin virkistykseksi vielä lause, joka mahdollistaa funktion monotonisuuden* tutkimisen derivaatan avulla: * f on (aidosti) monotoninen välillä I, jos se on tällä välillä joko (aidosti) kasvava tai (aidosti) vähenevä

4 Globaalin ääriarvon määrittäminen Tapaus 1 (suljettu väli) Olkoot f a, b R jatkuva. Miten löydän funktion globaalit ääriarvot? 1. Laske välin päätepisteet f(a) ja f(b) 2. Ratkaise derivaatan nollakohdat ja laske f:n arvo näissä kohdissa 3. Jos f:llä on kohtia tutkitulla välillä, missä se ei ole derivoituva, niin laske vielä erikseen funktion arvot näissä pisteissä Lopuksi: Valitse saaduista luvuista pienin, tämä on globaali minimi. Vastaavasti valitse luvuista suurin, joka on tällöin globaali maksimi. Tapaus 2 (avoin väli) Olkoot f a, b R jatkuva. Miten löydän funktion globaalit ääriarvot? Suorita kohdat 2 ja 3 kuten yllä. Tämän lisäksi tulee tutkia funktion käyttäytymistä päätepisteitä lähestyttäessä. Käytönnössä tämän voi tehdä tutkimalla raja-arvoja tai tekemällä päätelmiä funtkion arvojen rajoittuneisuudesta. Lisäksi monotonissuuta tulee hyöfyntää johtopäätöksissä.

5 Konveksisuus Funktio f on konveksi välillä I, jos sen kuvaaja on tangenttinsa yläpuolella jokaisessa välin I pisteessä. Vastaavasti f on konkaavi välillä I, jos funktion kuvaaja on tangenttinsa alapuolella. Lause: Olkoot f on kahdesti derivoituva I: ssä. Tällöin: Jos f x 0 kaikilla x I, niin f on konveksi I: ssä Jos f x 0 kaikilla x I, niin f on konkaavi I: ssä Jos epäyhtälö on aito (eli ylläolevat korvataan merkeillä > ja <), niin sanotaan, että f on vahvasti konveksi/konkaavi. funktio f x = x 2 on vahvasti konveksi R: ssä funktio f x = x 2 on vahvasti konkaavi R: ssä

6 Konveksisuus ja käännepiste Piste x 0, f(x 0 ) on f:n kännepiste ja x 0 käännekohta, jos tässä pistessä f:n koveksisuus muuttuu. Tämä tarkoittaa sitä, että löytyy x 0 :n ympäristö, jossa f on vahvasti konveksi x 0 :n toisella puolella ja vahvasti konkaavi x 0 :n vastakkaisella puolella. Käännekohta x 0 = 0 funktion f x = x 3 ainut käänepiste on origo R :ssa vahvasti konkaavi R + :ssa vahvasti konveksi Olkoon x 0 välin I sisäpiste ja funktio f I: ssä kahdesti jatkuvasti derivoituva: i Jos x 0 on f: n käännekohta, niin f x 0 = 0 ii Jos f x 0 = 0 ja f muuttaa merkkiä kohdassa x 0, niin x 0 on f: n käännekohta

7 Esimerkki Onko funktiolla f 0,1 R, f x = x 2 globaalejä ääriarvoja? Funktio on selvästi jatkuva ja väli on suljettu, joten on olemassa globaali minimiarvo ja globaali maksimiarvo. Onko funktiolla f R R, f x = x 2 globaalejä ääriarvoja? Koska lähtöjoukko ei ole suljettu väli, emme voi käyttää edellistä lausetta. Tutkitaan funktion raja-arvoja välin päätepisteissä: lim f(x) = lim x x x2 = ja lim f(x) = lim x x x2 = Funktiolla ei siis ainakaan ole globaalia maksimiarvoa. Toisaalta tiedämme, että luvun neliö on aina ei-negatiivinen: f x = x 2 0 kaikilla x R Tämän perusteella funktion globaali minimiarvo on f 0 = 0.

8 L Hôpitalin sääntö Monesti raja-arvo laskuissa törmäämme keljuihin rationaalifunktioiden rajaarvoihin, siis typpiä lim oleviin. f(x) x x0 g(x) Jos raja-arvo on muoto 0 tai 0, tämä tarkoittaa sitä, että ylä(f)- ja alakerran(g) funktioiden arvot lähestyvät kummatkin nolla tai ääretöntä, niin tällöin raja-arvo ratkeaa helposti ns. L Hôpitalin lauseen avulla: Olkoot f ja g derivoituvia funktioita pisteen x 0 punkteeratussa ympäristössä, joille lim f(x) = 0 = lim g(x) tai vaihtoehtoisesti lim f(x) = ± = lim g(x) x x0 x x0 x x0 x x0 Jos g x 0 tässä ympäristössä ja jos on olemassa raja arvo niin f x lim x x0 g x = a f x lim x x0 g x = a, *pisteen x 0 punkteeratulla ympäristöllä tarkoitetaan jotain ε ympäristöä, josta on poistettu itse piste x 0, eli siis tarkoitetaan ympäristöä x 0 ε, x 0 + ε \ x 0

9 Esimerkki 3 x 1 Laske raja arvo lim x 1 x 2 1. Tässä tapauksessa f x = 3 x 1, g x = x 2 1 ja tutkittava piste x 0 = 1. L Hôpitalin lauseen oletukset ovat voimassa, sillä voimme esimerkiksi valita pisteelle x 0 = 1 punkteeratun ympäristön 0,2 \ 1. Tällöin siis, kun x 0,2 \ 1, niin i f x = on derivoituva ja x 2 g x = 2x on derivoituva ii g x ei ole nolla tässä ympäristössä, sillä g x = 0 vain kun x = 0 iii lim f(x) = lim 3 x 1 = = 0 = = lim g(x) x 1 x 1 x 1 f x lim x x 0 g x = lim x x 2 2x = L Hôpitalin lauseen nojalla = 2 3, koska tämä raja arvo on olemssa, niin lim x 1 3 x 1 x 2 1 = 2 3

10 Newtonin menetelmä Varsinainen iterointi suoritetaan seuraavasti: 1. Valitaan x 1 a, b siten, että f x 1 ja f ovat saman merkkiset 2. Ratkasitaan aina seuraava jäsen kaavalla: x n+1 = x n f x n f x n 3. Vaiheen 2 iterointia toistetaan, kunnes ollaan saavutettu haluttu tarkkuus

11 Esimerkki Etsi funktion f x = x 3 3x + 2 pienin nollakohta Newtonin menetelmällä.