Reaalifunktion epäjatkuvuus

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Reaalifunktion epäjatkuvuus"

Transkriptio

1 Reaalifunktion epäjatkuvuus Misa Muotio Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2013

2 Tiivistelmä: Misa Muotio, Reaalifunktion epäjatkuvuus (engl. Discontinuity of a real function), matematiikan pro gradu -tutkielma, 9. s., Jyväskylän yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, kevät Tämän tutkielman tarkoituksena on tutkia, millaisia ovat yhden muuttujan reaalifunktion epäjatkuvuuspisteiden joukot. Tutkielmassa lähdetään liikkeelle funktion jatkuvuudesta yleisesti ja lopussa on pieni tutkimus siitä, mitä lukion differentiaalija integraalilaskennan kurssilla olevat oppilaat ymmärtävät jatkuvuudesta ja epäjatkuvuudesta. Tässä tutkielmassa epäjatkuvuuksia luokitellaan kolmella eri tavalla. Yksinkertaisin tapaus on poistuva epäjatkuvuus. Siinä funktiolla on raja-arvo, mutta se ei ole sama kuin funktion arvo siinä pisteessä. Hyppäysepäjatkuvuudessa funktiolla ei ole reaalista raja-arvoa. Tämä johtuu siitä, että toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa, mutta ne ovat erisuuret. Oleellisessa epäjatkuvuudessa funktiolla ei ole reaalista raja-arvoa ja lisäksi ainakaan toista toispuoleisista raja-arvoista ei ole olemassa. Toisessa luvussa päästään käsiksi siihen, millaisia ovat funktion epäjatkuvuuspisteiden joukot. Ensin todistetaan, että mikä tahansa äärellinen joukko A on reaalifunktion epäjatkuvuuspisteiden joukko. Lopuksi saadaan tulos, että mikä tahansa numeroituva ääretön joukko on rajoitetun monotonisen funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko ja lisäksi monotonisen funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko on enintään numeroituva. Jotta saadaan todistetuksi lopulta se, että reaalifunktion epäjatkuvuuspisteiden joukko on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista, niin tarvitaan funktion heilahtelun määritelmää. Joukkoa kutsutaan F σ -joukoksi, jos se on numeroituvan monen suljetun joukon yhdiste. Kaikki joukot A R luokitellaan kahteen kategoriaan; ensimmäiseen ja toiseen. Joukkoa kutsutaan ensimmäisen kategorian joukoksi, jos se on numeroituva yhdiste ei missään tiheistä joukoista. Toisen kategorian joukoksi kutsutaan sellaista joukkoa, joka ei kuulu ensimmäiseen kategoriaan. Esimerkiksi numeroituva joukko on ensimmäisestä kategoriasta, koska jokainen piste on ei missään tiheä. Jokainen väli on toisesta kategoriasta. Toisen kategorian joukot ovat ylinumeroituvia, mutta ensimmäisen kategrian joukot eivät aina ole numeroituvia. Koska irrationaalilukujen joukko kuuluu toiseen kategoriaan voidaan siten todistaa, että irrationaalilukujen joukko ei ole F σ -joukko ja siten se ei myöskään voi olla funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko. Viimeisessä luvussa tarkastellaan epäjatkuvuutta ja jatkuvuutta kouluopetuksessa ja erityisesti differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssilla. Luvussa analysoidaan, miten eri oppikirjoissa jatkuvuus opetetaan ja miten koulukohtaisissa opetussuunnitelmissa huomioidaan funktion jatkuvuus. Tutkimuksessa ilmeni, että yleisin virhekäsitys oppilailla on, että funktio on epäjatkuva pisteessä, jossa sitä ei ole edes määritelty. i

3 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Funktion jatkuvuus Jatkuvuudesta yleisesti Epäjatkuvuuksien luokittelu 3 Luku 2. Reaalifunktion epäjatkuvuus Monotonisen funktion epäjatkuvuus Funktion heilahtelu Epäjatkuvuuspisteiden joukon koko Ensimmäisen ja toisen kategorian joukot Cantorin joukko 19 Luku 3. Funktion epäjatkuvuus ja jatkuvuus kouluopetuksessa Lukion matematiikan opetussuunnitelmasta Muita tutkimuksia Jatkuvuus oppikirjoissa Derivaatta-kurssi Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi Tutkimusongelmat Tutkimusmenetelmä Kyselyn tulokset Pohdintaa Johtopäätökset Jatkotutkimusehdotuksia 30 Liite A. Jatkuvuustesti 31 Kirjallisuutta 35 ii

4 Johdanto 1700-luvulla reaalifunktiot olivat pääsääntöisesti alkeisfunktioista muodostettuja ja siten jatkuvia lukuun ottamatta korkeintaan yksittäisiä pisteitä. Silloin mikä tahansa käyrä määriteltiin funktioksi, tai jos jokaista x vastaa yksikäsitteinen äärellinen y, niin y on pisteen x funktio. Funktion määritelmä, joka nykyään on käytössä, on peräisin 1800-luvulta. Dirichlet määritti funktion seuraavasti: Funktio f : A B koostuu kahdesta joukosta, määrittelyjoukosta A ja arvojoukosta B, ja säännöstä, joka määrittää jokaiselle x A yksikäsitteisen y B. Dirichlet oli ensimmäinen matemaatikko, joka kiinnitti huomiota sellaisten funktioiden olemassaoloon, jotka ovat epäjatkuvia äärettömän monessa pisteessä. Tämän kirjoitelman tarkoituksena on tutkia, millaisia ovat yhden muuttujan reaalifunktion epäjatkuvuuspisteiden joukot. Tutkielmassa käydään ensin läpi mitä jatkuvuus yleisesti tarkoittaa ja määritellään, millaisia erilaisia epäjatkuvuuksia on olemassa. Tutkielman lopussa tullaan mielenkiintoiseen tulokseen, että irrationaalilukujen joukko ei voi koskaan olla reaalifunktion epäjatkuvuuspisteiden joukko. Lisäksi tutkitaan, mitä lukion integraali- ja differentiaalilaskennan jatkokurssilla olevat oppilaat käsittävät jatkuvuudesta. Tutkimuksen pääkohdat ovat: käsittävätkö oppilaat, että funktiolla voi olla äärettömän monta epäjatkuvuuskohtaa ja että epäjatkuvuuksia on erilaisia. Tutkimus on tehty pienelle oppilasmäärälle ja sen tarkoitus on tukea omaa opettajuuttani. Tutkimus on luonteeltaan tapaustutkimus, joten sen pohjalta ei voida tehdä mitään laajempia yleistyksiä. 1

5 LUKU 1 Funktion jatkuvuus 1.1. Jatkuvuudesta yleisesti Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Määritelmä 1.1. Olkoot I R väli ja piste x 0 I. Kuvaus f : I R on jatkuva pisteessä x 0, jos kaikilla ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f(x) f(x 0 ) < ε kun x I ja x x 0 < δ. Kuvaus f on jatkuva välillä I, jos f on jatkuva jokaisessa pisteessä x 0 I Huomautus 1.2. (1) Funktion jatkuvuutta voidaan tarkastella vain niissä pisteissä, joissa funktio on määritelty. (2) Luku δ riippuu funktiosta f ja erityisesti luvusta ε ja pisteestä x 0. (3) Jatkuvuus tarkoittaa sitä, että olipa ε miten pieni tahansa, niin funktion f graafi jää suorien y = f(x 0 ) + ε ja y = f(x 0 ) ε väliin pisteen x 0 lähellä. (4) Funktio f : I R on epäjatkuva pisteessä x 0 I, jos f ei ole jatkuva pisteessä x 0. Toisin sanoen, jos on olemassa ε > 0 siten, että jokaisella δ > 0 löytyy piste x I jolle x x 0 < δ, mutta f(x) f(x 0 ) ε. (5) Funktio f : I R on jatkuva pisteessä x 0 jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. 2

6 1.2. EPÄJATKUVUUKSIEN LUOKITTELU 3 Tällöin funktion vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen on oltava yhtä suuret tässä pisteessä x 0. Eli lim f(x) = lim x x + 0 x x 0 f(x) = f(x 0 ). (6) Jatkuvuuden jonokarakterisaatio: Funktio f : I R on jatkuva pisteessä x 0 I jos ja vain jos lim f(x n) = f(x 0 ) n kaikilla jonoilla (x n ), joille pätee x n I, n = 1, 2,... ja lim n x n = x Epäjatkuvuuksien luokittelu Olkoon x 0 piste erään funktion f määrittelyalueesta. Jos x 0 on epäjatkuvuuspiste silloin se tarkoittaa, että joko lim f(x) ei ole olemassa tai raja-arvo on olemassa, x x 0 mutta f(x 0 ) lim f(x) x x 0 Määritelmä 1.3. Poistuva epäjatkuvuus: Yksinkertaisin tapaus on, että rajaarvo lim f(x) on olemassa, mutta ei ole yhtäkuin f(x 0 ). Kutsukaamme tätä poistuvaksi epäjatkuvuudeksi pisteessä x 0 x x 0. Sana poistuva tulee siitä, että jos määräisimme uuden arvon funktiolle pisteessä x 0 epäjatkuvuus poistuisi. Tämä uusi arvo täytyy olla sama kuin lim x x0 f(x). Esimerkki 1.4. Funktio f : R R { x kun x 0, f(x) = 1 kun x = 0 on epäjatkuva pisteessä x = 0. Tämän funktion epäjatkuvuus voidaan poistaa muuttamalla sen arvo pisteessä x = 0 nollaksi. Määritelmä 1.5. Hyppäysepäjatkuvuus: Tässä tapauksessa lim f(x) ei ole x x 0 olemassa, koska lim f ja lim f ovat olemassa, mutta ne eivät ole yhtäsuuret. Siis x x 0 x x + 0

7 1.2. EPÄJATKUVUUKSIEN LUOKITTELU 4 olkoon f(x 0 ) mikä arvo tahansa, niin piste x 0 on funktion epäjatkuvuuspiste. Toispuoleisten raja-arvojen erotus lim f lim f on epäjatkuvuuskohdan hyppäyksen x x 0 x x + 0 pituus. Esimerkki 1.6. Funktio f : R R f(x) = { 1 kun x > 1, 1 kun x 1 on epäjatkuva pisteessä x = 1. Funktion vasemmanpuoleinen raja-arvo lim x 1 f(x) = 1 ja oikeanpuoleinen raja-arvo lim x 1 hyppäyksen pituus on lim x 1 f(x) = 1 ovat erisuuret ja epäjatkuvuuskohdan + f(x) lim f(x) = 1 1 = 2. + x 1 Määritelmä 1.7. Oleellinen epäjatkuvuus: Tässä tapauksessa raja-arvoa lim x x 0 f(x) ei ole olemassa ja ainakaan toista toispuoleisista raja-arvoista lim f(x) ja lim x x 0 x x + 0 f(x) ei ole olemassa. Olkoon f(x 0 ) mikä tahansa luku, niin x 0 on funktion epäjatkuvuuspiste. Tämä määritelmä kattaa siis kaiken muun mahdollisen epäjatkuvuuden poistuvan ja hyppäysepäjatkuvuuden lisäksi. Esimerkki 1.8. Rajoittamaton epäjatkuvuus: Funktio f : R R f(x) = { 1 x kun x 0, 0 kun x = 0

8 1.2. EPÄJATKUVUUKSIEN LUOKITTELU 5 on epäjatkuva pisteessä x = 0. Toispuoleisia reaalisia ja äärellisiä raja-arvoja ei ole olemassa, koska kummassakin tapauksessa funktion arvo karkaa äärettömyyteen. Esimerkki 1.9. Heilahteluepäjatkuvuus. Funktio f(x) = sin 1, kun x 0, f(0) = x 0 on jatkuva muualla paitsi origossa. Origo on epäjatkuvuuspiste, koska edes toispuolisia raja-arvoja ei origossa ole olemassa, vaan funktio heilahtelee sitä rajummin arvojen 1 ja 1 välillä, mitä lähempänä origoa ollaan. Komentteja: Yllä olevat esimerkit ovat yksinkertaisia esimerkkejä oleellisesta epäjatkuvuudesta. Seuraavaksi käymme läpi kaksi hyvin tärkeää ja hieman vaikeampaa esimerkkiä. Dirichlet n funktion epäjatkuvuus on oleellista epäjatkuvuutta ja Thomaen funktion epäjatkuvuus on poistuvaa epäjatkuvuutta. Thomaen funktio on erityisen hyvä esimerkki, koska siinä saamme jo jonkinlaista käsitystä siitä, millaisia voivat olla reaalifunktion epäjatkuvuuspisteidenjoukot.

9 1.2. EPÄJATKUVUUKSIEN LUOKITTELU 6 Esimerkki Dirichlet n funktio. Funktio, joka on epäjatkuva kaikkialla. Olkoon f : R R siten, että { 1, jos x on rationaaliluku, f(x) = 0, jos x on irrationaaliluku Todistetaan, että funktio f(x) on epäjatkuva kaikkialla. Todistus. Valitaan ε = 1 2. Olkoon δ > 0 mielivaltainen. Jos x 0 Q, niin on olemassa y ]x 0 δ, x 0 + δ[ ja y R\Q. Tällöin f(y) f(x 0 ) = 0 1 = 1 > 1 2 = ε, joten funktio f on epäjatkuva, kun x 0 Q. Jos taas x 0 R\Q niin on olemassa x ]x 0 δ, x 0 + δ[ Q. Tällöin f(x) f(x 0 ) = 1 0 = 1 > ε, joten f on epäjatkuva, kun x 0 R\Q. Esimerkki Thomaen funktio. Funktio, joka on jatkuva jokaisessa irrationaalipisteessä ja epäjatkuva jokaisessa rationaalipisteessä. Olkoon T : [0, 1] R 1, jos x = m missä m Z, n N ja m on supistetussa muodossa, n n n T (x) = 1, jos x = 0, 0, jos x R\Q.

10 1.2. EPÄJATKUVUUKSIEN LUOKITTELU 7 Todistus. Oletetaan, että x on irrationaaliluku. Tällöin T (x) = 0. Olkoon n N. Koska x ei ole rationaaliluku, ei ole olemassa sellaista lukua m Z, jolle x = m Q. n Olkoon m 0 Z siten, että x ] m 0, m 0+1 [. Olkoon d n n n = min{ x m 0, x m 0+1 } ja n n olkoon δ n = min{d 1,..., d n }. Huomaa, että δ n < 1. n Olkoon ε > 0. Valitaan n 0 N siten, että 1 n 0 < ε. Olkoon δ = δ n0. Silloin pisteen x δ-ympäristö ei sisällä yhtään rationaalilukua, jonka nimittäjä on pienempi tai yhtäsuuri kuin n. Otetaan mielivaltainen piste y, joka kuuluu pisteen x δ-ympäristöön eli välille ]x δ, x + δ[. Oletetaan, että y on rationaaliluku, jolloin y = m 0 (missä m Z, n N n sekä luvuilla m ja n ei ole yhteisiä tekijöitä). Silloin T (y) = 1, missä n > n n 0, joten T (y) T (x) = T (y) = 1 < 1 n n 0 < ε. Jos y on irrationaaliluku silloin T (y) = 0 ja siten T (y) T (x) = 0 < ε. Joka tapauksessa olkoon y rationaali- tai irrationaaliluku pätee, että kun y kuuluu pisteen x δ-ympäristöön, niin T (y) 0 < ε ja siten T (y) T (x) < ε. Tästä seuraa, että funktio T on jatkuva mielivaltaisessa irrationaalipisteessä x. Olkoon x rationaaliluku. Silloin T (x) 0. Koska irrationaaliluvut ovat tiheässä reaalilukuavaruudessa R, on olemassa jono {z n } irrationaalilukuja niin, että z n x. Jatkuvuuden jonokarakterisaation nojalla, jos T on jatkuva pisteessä x, silloin T (z n ) T (x). Mutta kaikilla n N pätee T (z n ) = 0. Tämä merkitsisi sitä, että T (x) = 0, joka on ristiriita sille oletukselle, että T (x) 0. Tästä seuraa, että funktio T ei voi olla jatkuva pisteessä x. Kommentteja. Thomaen funktion jatkuvuus irrationaalipisteissä on varsin hämmästyttävä asia, koska intuitiivisesti funktiota tarkasteltaessa voisi luulla, että funktio on epäjatkuva kaikkialla kuten Dirichlet n funktio.

11 LUKU 2 Reaalifunktion epäjatkuvuus Tässä kappaleessa käydään ensin läpi, millaiset joukot voivat olla yhden muuttujan reaalifunktion epäjatkuvuuspisteiden joukkoja.tarkastelu aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta eli äärellisestä joukosta reaalilukuja. Lause 2.1. Olkoon A = {a 1, a 2,..., a n } äärellinen joukko reaalilukuja. Tällöin on olemassa rajoitettu funktio f : R R, jonka epäjatkuvuuspisteiden joukko on joukko A. Todistus. Olkoon f joukon A karakteristinen funktio { 1 jos x = a n A, f(x) = 0 muualla. Ensimmäiseksi pitää osoittaa, että funktio f on epäjatkuva joukossa A. Valitaan ε = 1 2. Olkoon x 0 A ja valitaan x ]x 0 δ, x 0 +δ[ siten, että x / A. Tälläinen piste x löydetään, koska olkoon δ miten lähellä tahansa pistettä x 0, niin aina löydetään piste x / A, joka on lähempänä pistettä x 0 kuin δ. Nyt f(x) f(x 0 ) = 0 1 = 1 > 1 2 = ε ja x x 0 < δ. Siis funktio f on epäjatkuva pisteessä x 0. Toiseksi pitää osoittaa, että funktio f on jatkuva joukon A komplementissa eli joukossa A c. Olkoon x 0 A c. Tällöin f(x 0 ) = 0. Valitaan δ = min{ x 0 a 1,..., x 0 a n } > 0. Olkoon x pisteen x 0 δ-ympäristöstä eli x ]x 0 δ, x 0 + δ[. Nyt x 0 x < δ ja f(x 0 ) f(x) = 0 < ε. Lause 2.2. Jokaiselle numeroituvalle joukolle A R on olemassa rajoitettu funktio f : R R, jonka epäjatkuvuuspisteiden joukko on joukko A. Todistus. Olkoon A numeroituva ääretön joukko, äärellinen tapaus on todistettu edellisessä lauseessa. Joten A = {a 1, a 2,..., a n,... } on ääretön. Olkoon f : R R siten että { 1 kun x = a f(x) = n n A, 0 muualla Ensimmäiseksi pitää osoittaa, että joukon A komplementti A c on tiheä. Oletetaan, että A c ei olekaan tiheä reaaliavaruudessa R. Silloin löydetään väli ]b, c[ siten, että A c ]b, c[=. Tästä seuraa, että väli ]b, c[ sisältyy joukkoon A eli ]b, c[ A. Mutta koska A on numeroituva joukko, niin se ei sisällä yhtään kokonaista väliä, koska jokainen väli on ylinumeroituva. Tämä johtaa ristiriitaan eli ei voi olla ]b, c[ A. Joten joukon A c täytyy olla tiheä. Olkoon x A, jolloin f(x) 0. Koska joukon A komplementti on tiheä, on olemassa jono {z n } joukon A komplementin lukuja niin, että z n x. Jatkuvuuden jonokarakterisaation nojalla, jos f(x) on jatkuva pisteessä x, niin f(z n ) f(x). 8

12 2.1. MONOTONISEN FUNKTION EPÄJATKUVUUS 9 Mutta kaikilla n N, f(z n ) = 0. Tämä merkitsisi sitä, että f(x) = 0, joka on ristiriita oletuksen kanssa. Siten funktio f ei voi olla jatkuva pisteessä x. Seuraavaksi pitää osoittaa, että funktio on jatkuva joukon A komplementissa. Olkoon x 0 A c. Silloin f(x 0 ) = 0. Olkoon ε > 0 ja olkoon n N siten että 0 < 1 n < ε. Silloin löydetään pisteen x 0 ympäristö N = ]x 0 δ, x 0 + δ[, missä δ = min{ x 0 a 1,..., x 0 a n } > 0 niin, että a 1 / N, a 2 / N,..., a n / N. Riittää osoittaa, että kun x N niin 0 f(x) < 1 n < ε. (1) Jos x / A, niin f(x) = 0 < 1 n < ε. (2) Jos x A, niin f(x) < 1 n < ε sillä x = a k jollakin k > n. Nyt funktio f on jatkuva joukon A komplementissa ja epäjatkuva joukossa A, joten joukon A täytyy olla funktion f epäjatkuvuuspisteiden joukko Monotonisen funktion epäjatkuvuus Kun kysytään, kuinka suuri on monotonisen funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko:vastaus on, että ei kovin suuri. Lause 2.3. Mille tahansa numeroituvalle joukolle A R löytyy rajoitettu monotonisesti kasvava funktio f : R R, jonka epäjatkuvuuspisteiden joukko on joukko A. Todistus. Olkoon joukko A = {a 1, a 2,..., a n,... } numeroituva ja ääretön. Määritellään funktio f : R R seuraavasti: { 0, jos x < a i, Kaikilla x R f(x) = 0.x 1 x 2 x 3 x n missä x i = 1, jos x a i Funktio f(x) on siis ääretön desimaaliluku jonka numerot x i ovat 0 tai 1 riippuen siitä, onko x < a i tai x a i. Jotta voidaan osoittaa, että mikä tahansa numeroituva ääretön joukko on funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko, täytyy seuraavat kohdat perustella. (1) f on rajoitettu, koska 0 f(x) 1 kaikilla x R. (2) Jos x y, niin x i y i kaikilla i N. Antiteesi: Jos x i > y i niin x i = 1 ja y i = 0. Mutta tällöin y < a i x, mikä on ristiriita. Joten x i y i, kun x y. Väitteestä seuraa myös, että funktio f on kasvava. (3) Olkoon x < y. Silloin pätee f(x) = f(y) jos ja vain jos väli (x, y] ei sisällä pisteitä joukosta A Jos f(x) = f(y), niin x i = y i. Oletus x < y pätee vain, jos a i x < y tai x < y < a i. Joten väli (x, y] ei sisällä pisteitä joukosta A. Koska x < y ja väli (x, y] ei sisällä pisteitä joukosta A, niin tällöin jokaisella i pätee a i x < y tai x < y < a i, joten x i = y i. Tästä seuraa, että f(x) = f(y). (4) Olkoon x R. Valitaan mikä tahansa piste n 0 N, ja olkoon δ = min{ x a i : a i x, i = 1, 2,..., n 0 }. Silloin kaikilla y, jotka kuuluvat pisteen x δ-ympäristöön, ensimmäiset n 0 desimaalia luvuista f(x) ja f(y) ovat yhtäsuuret. Olkoon piste y ]x δ, x + δ[.

13 2.1. MONOTONISEN FUNKTION EPÄJATKUVUUS 10 Jos a i > x jollakin i = 1, 2,..., n 0, niin a i x + δ. Tästä seuraa, että a i > y, joten x i = y i. Jos a i < x jollakin i = 1, 2,..., n 0, niin a i x δ. Tästä seuraa, että a i y, joten x i = y i. (5) Funktio f on jatkuva joukon A komplementissa A c. Oletetaan, että x A c. Tapaus 1. Oletetaan, että piste x ei ole joukon A kasautumispiste. Silloin on olemassa δ > 0 siten, että pisteen x δ-ympäristö ei sisällä yhtään pistettä joukosta A. Silloin kohdan (4) perusteella f on vakio jossain pisteen x ympäristössä. Täten f on jatkuva pisteessä x. Tapaus 2. Oletetaan, että piste x on joukon A kasautumispiste. Olkoon ε > 0. Valitaan luku n 0 N siten, että 1/10 n 0 < ε. Olkoon δ = min{ x a i : i = 1, 2,..., n 0 }. Kohdan (4) nojalla ehdosta x y < δ seuraa, että ensimmäiset n 0 desimaalia luvuista f(x) ja f(y) ovat yhtäsuuret, joten ehdosta x y < δ seuraa, että f(x) f(y) < 1/10 n 0 < ε. Täten funktio f on jatkuva pisteessä x 0. (6) Pitää osoittaa vielä, että f on epäjatkuva kaikissa joukon A pisteissä. Olkoon x = a i A. Jos y < x, niin y k x k kaikilla k N ja y i = 0, x i = 1. Kohdan (5) perusteella saadaan, että f(y) + 1 f(x). Tällöin on olemassa rajaarvo lim f(y) < f(x), koska f on kasvava. Tästä seuraa, että funktio f on 10 i y x epäjatkuva kaikissa joukon A pisteissä. Tähän mennessä on nyt todistettu, että numeroituva ääretön joukko on monotonisesti kasvavan funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko. Täytyy vielä todistaa, että äärellinen numeroituva joukko A = {a 1, a 2,..., a n } on monotonisesti kasvavan funktion f : R R epäjatkuvuuspisteiden joukko. Todistus. Olkoon b 0, kun x < a 1, b 1, kun a 1 x < a 2, b 2, kun a 2 x < a 3, f(x) =. b n 1, kun a n 1 x < a n, b n, kun x a n, jossa b 0 < b 1 < < b n. Funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko on tällöin A = {a 1, a 2,..., a n }. Osoitetaan, että funktio on epäjatkuva pisteessä x 0 A eli x 0 = a k, missä k {1, 2,..., n}. Yhtälö lim f lim f > 0 pätee, koska lim x x 0 x x + 0 x x 0 f(x 0 ) = b k. Tällöin funktio f(x) ei voi olla jatkuva joukon A pisteissä. lim x x + 0 f(x 0 ) = b k 1 ja Osoitetaan, että funktio on jatkuva pisteessä x 0 R\A. Tällöin f(x 0 ) = b k missä k {0, 1,..., n}. Valitaan δ = min{ x 0 a 1,..., x 0 a n } ja olkoon ε > 0. Olkoon x ]x 0 δ, x 0 + δ[. Nyt x 0 x < δ ja f(x 0 ) f(x) = b n b n = 0 < ε.

14 2.1. MONOTONISEN FUNKTION EPÄJATKUVUUS 11 Lause 2.4. Monotonisella funktiolla on vain hyppäysepäjatkuvuutta. Todistus. Monotonisella funktiolla on olemassa toispuoleiset raja-arvot lim f(x) x x + 0 f(x), joten funktiolla ei voi olla oleellista ja lim x x 0 f(x) ja lim x x 0 f(x) f(x 0 ) lim x x + 0 epäjatkuvuutta. Lisäksi monotonisella funktiolla ei voi olla poistuvaa epäjatkuvuutta, koska jos toispuoleiset raja-arvot ovat yhtäsuuret, on funktio jatkuva. Määritelmä 2.5. Olkoon f(x + 0) := lim f(y) ja f(x 0) := lim f(y). Nyt y x + y x jos f(x 0 + 0) ja f(x 0 0) ovat äärellisiä voidaan sanoa erotusta f(x 0 + 0) f(x 0 0) hyppäykseksi pisteessä x 0. On selvää, että jos funktio on jatkuva pisteessä x 0, niin hyppäys siinä pisteessä on nolla. Ja lisäksi jos funktio ei ole jatkuva pisteessä x 0, niin hyppäys voi olla nolla pisteessä x 0 jos f(x 0 + 0) = f(x 0 0) f(x 0 ). Lause 2.6. Frodan lause. Olkoon f monotoninen funktio, joka on määritelty välillä I. Tällöin funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko on enintään numeroituva. Todistus. Olkoon I := [a, b] väli, jossa f on määritelty ja kasvava. Siten saadaan f(a) f(a + 0) f(x 0) f(x + 0) f(b 0) f(b) jokaiselle a x b. Olkoon α > 0 ja olkoon x 1 < x 2 < < x n n pistettä välillä I siten, että funktion hyppäys niissä pisteissä on suurempi tai yhtäsuuri kuin α: f(x i + 0) f(x i 0) α, i = 1, 2,..., n. Saadaan f(x i + 0) f(x i+1 0) tai f(x i+1 0) f(x i + 0) 0, i = 1, 2,..., n. Silloin f(b) f(a) f(x n +0) f(x 1 0) = n n 1 [f(x i +0) f(x i 0)]+ [f(x i+1 0) f(x i +0)] i=1 i=1 n [f(x i + 0) f(x i 0)] nα i=1 ja siten n f(b) f(a) α. Koska f(b) f(a) < saadaan, että pisteiden lukumäärä, jossa hyppäys on suurempi kuin α, on äärellinen. Määritellään seuraavat joukot: S 1 := {x : x I, f(x + 0) f(x 0) 1} S n := {x : x I, 1 n f(x + 0) f(x 0) < 1 n 1 }, n 2 Jokainen joukko S n on äärellinen. Yhdiste S = n=1s n sisältää kaikki pisteet missä hyppäys on positiivinen ja siten yhdiste sisältää myös kaikki epäjatkuvuuspisteet. Koska jokainen S i, i = 1, 2,..., on enintään numeroituva saadaan, että S on enintään numeroituva.

15 2.2. FUNKTION HEILAHTELU Funktion heilahtelu Aluksi voi olla hieman hankala nähdä, miksi tämä kappale liity aiheeseen, mutta tarvitsemme seuraavia määritelmiä yhden erittäin tärkeän lauseen todistamiseen. Määritellään funktion heilahtelu pisteessä, jotta nähdään, kuinka epäjatkuva funktio on siinä pisteessä. Ensin määritellään funktion heilahtelu joukossa ja sitten käytetään sitä määritelmää määrittämään funktion heilahtelua tietyssä pisteessä. Merkitään funktion f määrittelyjoukkoa symbolilla D(f). Määritelmä 2.7. Olkoon f : D(f) R funktio ja joukko A D(f). Jos f on rajoitettu joukossa A, määritellään funktion f heilahtelu ω f (A) joukossa A ω f (A) = sup f(a) inf f(a). Jos f on rajoittamaton joukossa A, määritellään ω f (A) = +. Määritelmä 2.8. Olkoon piste x 0 D(f). Määritellään funktio ω f,x0 (δ) = ω f (N δ (x 0 ) D(f)), missä N δ (x 0 ) =]x 0 δ, x 0 + δ[. Huomautus 2.9. (1) Jos A B, niin ω f (A) ω f (B). Jos A on joukon B osajoukko, niin täytyy olla sup f(a) inf f(a) sup f(b) inf f(b). (2) ω f,x0 : (0, + ) R {+ } on kasvava. Määritelmän perusteella jos δ 1 < δ 2, niin (N δ1 D(f)) (N δ2 D(f)). Siten ω f (N δ1 D(f)) ω f (N δ2 D(f)) edellisen kohdan nojalla. (3) Kaikilla x 0 D(f), lim δ 0 + ω f,x0 (δ) on olemassa. Tämä pätee, koska ω f,x0 (δ) on kasvava ja alhaalta rajoitettu. Määritelmä Jokaiselle x 0 D(f) funktion f heilahtelu pisteessä x 0 on ω f (x 0 ) = lim δ 0 + ω f,x0 (δ) = inf δ>0 ω f (x 0 δ, x 0 + δ). Lemma Kaikilla x 0 D(f) pätee (1) ω f (x 0 ) 0 (2) Funktio f on jatkuva pisteessä x 0 jos ja vain jos ω f (x 0 ) = 0. Todistus. (1) Koska ω f,x0 (δ) 0 kaikilla δ > 0, niin ω f (x 0 ) 0. (2) Oletetaan ensin, että ω f (x 0 ) = 0, ja olkoon ε > 0. Koska ω f (x 0 ) = lim ω f,x 0 (δ) = 0, on olemassa δ 0 > 0 siten, että ω f,x0 (δ) < ε kaikilla 0 < δ < δ 0 δ 0. Oletetaan, että f on jatkuva pisteessä x 0 ja olkoon ε > 0. On olemassa δ > 0 niin, että f(x) f(x 0 ) < ε 2 ja f(x ) f(x 0 ) < ε 2 jos x 0 δ x, x x 0 + δ. Kolmioepäyhtälöstä saadaan f(x) f(x ) f(x) f(x 0 ) + f(x ) f(x 0 ) < ε, joten ω f (x 0 h, x 0 + h) ε jos h < δ; täten ω f (x 0 ) = 0.

16 2.3. EPÄJATKUVUUSPISTEIDEN JOUKON KOKO 13 Lause Funktion f : D(f) R epäjatkuvuuspisteiden joukko on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Todistus. Olkoon f : D(f) R. Kaikilla ε > 0 olkoon S ε (f) = {x D(f) : ω f (x) ε}. Osoitetaan, että S ε (f) on suljettu. Osoitetaan ensin, että {x : ω f (x) < ε} on avoin. Olkoon A = {x : ω f (x) < ε} ja olkoon x 0 A. Nyt yritetään löytää U, joka on pisteen x 0 ympäristö siten, että U on joukon A osajoukko eli ω f (x) < ε kaikilla x U. Olkoon ω f (x 0 ) = α < ε ja olkoon β ]α, ε[. ω f (x 0 ) = lim δ 0+ ω f,δ(x 0 ) = lim ( sup δ 0 ]x 0 δ,x 0 +δ[ f inf f) ]x 0 δ,x 0 +δ[ Määritelmän 2.10 ja sen, että ω f (x 0 ) ω f,δ (x 0 ) β (δ on pieni) mukaan löydämme sellaisen δ > 0 siten, että f(u) f(v) sup f inf f = ω f,δ (x 0 ) β kaikille u, v ]x 0 δ, x 0 + δ[. Olkoon U =]x 0 δ, x 0 + δ[ ja x U. Koska U on avoin, on olemassa δ 1 < δ niin, että ]x δ 1, x + δ 1 [ U. Siten ω f (x) ω f,δ1 (x) sup{ f(t) f(s) : t, s ]x δ 1, x + δ 1 [} sup{ f(u) f(v) : u, v U} β < ε joten x A. Tämä osoittaa, että A on avoin ja tästä seuraa, että joukon A komplementti on suljettu. Joten S ε (f) on suljettu. Pitää osoittaa vielä, että S 1 (f) S 1/2 (f) S 1/3 (f) S 1/n (f)... ja että yhdiste n=1 S 1 (f) on funktion f epäjatkuvuuspisteiden joukko. S 1 (f) S 1/2 (f) n S 1/3 (f) S 1/n (f)... ovat suljettuja joukkoja. (1) Jos x 0 S ε (f), niin f on epäjatkuva pisteessä x 0. Lemmassa 2.11 osoitettiin, että funktio f on jatkuva pisteessä x 0 jos ja vain jos ω f (x 0 ) = 0. Joten funktio ei voi olla jatkuva pisteessä x 0, koska x 0 S ε (f) = {x D(f) : ω f (x) ε} ja ε > 0. (2) Jos f on epäjatkuva pisteessä x 0, niin löytyy jokin ε > 0 siten, että x 0 S ε (f). Koska f on epäjatkuva pisteessä x 0, niin tiedetään, että ω f (x 0 ) > 0. 1 Koska ε > 0, niin voidaan asettaa ε välille < ε 1. Tällöin S 1+n n 1 (f) n S ε (f) S 1 (f), joten x 0 S 1 (f). n+1 n+1 Määritelmä Joukkoa kutsutaan F σ joukoksi, jos se on numeroituvan monen suljetun joukon yhdiste. Kommetteja: F σ joukko ei ole välttämättä suljettu. Esimerkiksi joukko n=2 [ 1, 1 n 1 ] =]0, 1[ on avoin, mutta jokainen joukko [ 1, 1 1 ] on suljettu. Lause 2.12 osoittaa n n n sen, että funktion f : D(f) R epäjatkuvuuspisteiden joukon täytyy olla F σ joukko. Jotta voidaan osoittaa, että mikä tahansa reaalilukujen osajoukko ei ole funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko täytyy osoittaa, että mikä tahansa reaalilukujen osajoukko ei ole F σ joukko Epäjatkuvuuspisteiden joukon koko Ensimmäisen ja toisen kategorian joukot. Määritelmä Joukko A R on ei missään tiheä, jos sen sulkeuma A ei sisällä yhtään epätyhjää väliä.

17 2.3. EPÄJATKUVUUSPISTEIDEN JOUKON KOKO 14 Huomaa, että joukko A on ei missään tiheä, jos sen sulkeuma A ei sisällä välejä. Joten suljettu joukko joko sisältää välin tai se on ei missään tiheä. Esimerkki (1) Luonnollisten lukujen joukko N on ei missään tiheä, koska sen sulkeuma ei sisällä epätyhjää väliä. (2) Joukko A =]0, 1[ ei ole ei missään tiheä, koska sen sulkeuma on väli [0, 1]. Lemma A on ei missään tiheä jos ja vain jos jokaiselle välille I on suljettu väli J I niin, että J A =. Todistus. Oletetaan, että A ei ole missään tiheä. Olkoon I väli siten, että ]a, b[ I [a, b] missä a < b. Koska A ei ole missään tiheä, väli ]a, b[ ei ole joukon A sulkeuman osajoukko. Silloin on olemassa x ]a, b[\a. Koska piste x kuuluu joukon A sulkeuman komplementtiin, joka on avoin, on olemassa δ > 0 niin, että (x δ, x+δ) A c. Valitsemalla δ 1 sopivan pieneksi, meillä on [x δ 1, x + δ 1 ] A c I. Valitaan J = [x δ 1, x + δ 1 ]. Jokaiselle välille I on suljettu väli J I niin, että J A =. Tällöin väliltä J löydetään pisteitä, jotka eivät kuulu joukkoon A, ja siten myös väliltä I löydetään pisteitä, jotka eivät kuulu joukkoon A, joten joukon A sulkeuma ei sisällä väliä. Tällöin A on ei missään tiheä. Lause Olkoon joukko A ei missään tiheä. Tällöin myös joukon A osajoukko B A on ei missään tiheä. Todistus. Antiteesi: Joukko B ei ole ei missään tiheä. Tällöin B sisältää epätyhjän välin. Koska joukko A on ei missään tiheä, niin A ei sisällä väliä. Koska B A, niin B A. Tämä on ristiriita, koska A ei sisällä väliä, joten B on ei missään tiheä. Lause Olkoon A 1, A 2,..., A n ei missään tiheitä joukkoja. Silloin yhdiste A 1 A n on myös ei missään tiheä. Todistus. Olkoon väli I avoin reaaliavaruudessa R. Täytyy löytää suljettu väli J I siten, että J A i =, i = 1, 2,..., n. Koska A 1 on ei missään tiheä, niin on olemassa suljettu väli I 1 I siten, että I 1 A 1 =. Nyt A 2 on myös ei missään tiheä, niin löydetään suljettu väli I 2 I 1 niin, että A 2 I 2 =. Jatkamalla tällä tavalla saadaan suljettuja välejä I 1 I 2 I 3 I n

18 2.3. EPÄJATKUVUUSPISTEIDEN JOUKON KOKO 15 niin, että i = 1,..., n, A i I i =. Koska I n I i kaikille i = 1,..., n, niin saadaan A i I n =. Joten ( n ) n n A i I n = (A i I n ) = =, i=1 joka oli se mitä haluttiin todistaa. i=1 Määritelmä Joukkoa A R kutsutaan ensimmäisen kategorian joukoksi, jos se on numeroituva yhdiste ei missään tiheistä joukoista; muutoin sitä kutsutaan toisen kategorian joukoksi. Esimerkki (1) Luonnollisten lukujen joukko N on ensimmäisestä kategoriasta, koska jokainen piste {1}, {2},..., {n},... on ei missään tiheä ja pisteiden yhdiste on numeroituva joukko N. (2) Väli [0, 1] on toisesta kategoriasta. Tämä seuraa seuraavasta lauseesta. Kommentteja: Numeroituva joukko A on ensimmäisestä kategoriasta, koska jokainen yksittäinen piste {x} on ei missään tiheä. Erityisesti rationaalilukujen joukko on ensimmäisestä kategoriasta. Siten jos toisen kategorian joukkoja on olemassa, niiden täytyy olla ylinumeroituvia. Mutta toisaalta on olemassa ylinumeroituvia joukkoja, jotka eivät ole toisesta kategoriasta, esimerkiksi Cantorin joukko. Seuraavaksi esittelen yhden tärkeimmistä lauseista. Lause (Bairen kategorian lause reaaliavaruudessa) Jokainen väli on toisesta kategoriasta. Todistus. Oletetaan, että I on väli, ]a, b[ I [a, b] missä a < b. Antiteesinä oletamme, että I on ensimmäisestä kategoriasta. Silloin I = n=1 A n missä jokainen A n on ei missään tiheä. Koska A 1 on ei missään tiheä, Lemman 2.16 mukaan on olemassa suljettu väli J 1 I siten, että J 1 A 1 =. Samalla A 2 on ei missään tiheä ja on olemassa suljettu väli J 2 J 1 niin että J 2 A 2 =. Jatkamalla tällä tavalla, muodostuu jono {J n } suljettuja välejä J 1 J 2 J n... ja kaikilla i, J i A i =. Cantorin sisäkkäisten välien lauseen mukaan on olemassa x 0 R siten että x 0 J n. n=1 Nyt kaikilla n N, x 0 J n, joten on x 0 / A n. Täten x 0 / n=1 A n = I. Mutta x 0 I, koska kaikilla n, x 0 J n I. Tämä on ristiriita, joten I on toisesta kategoriasta. Lemma (1) Ensimmäisen kategorian joukon jokainen osajoukko kuuluu ensimmäiseen kategoriaan. (2) Jokainen joukko joka sisältää toisen kategorian joukon, on toisesta kategoriasta. (3) R on toisesta kategoriasta. i=1

19 2.3. EPÄJATKUVUUSPISTEIDEN JOUKON KOKO 16 (4) Kahden ensimmäisen kategorian joukon yhdiste on ensimmäisen kategorian joukko. Itse asiassa numeroituvan monen ensimmäisen kategorian joukkon yhdiste on ensimmäisen kategorian joukko. (5) Irrationaalilukujen joukko on toisesta kategoriasta. Todistus. (1) Olkoon joukko A ensimmäisestä kategoriasta. Tällöin A = n=1 A n missä jokainen A n ei ole missään tiheä. Olkoon B A. Tästä seuraa, että B = n=1 (B A n). Riittää osoittaa, että leikkaus B A n on ei missään tiheä. Lauseen 2.17 mukaan jos jokainen A n on ei missään tiheä, niin silloin leikkaus B A n on myöskin ei missään tiheä. Tästä seuraa, että myös joukko B on ensimmäisestä kategoriasta. (2) Olkoon joukko A niin, että se sisältää toisen kategorian joukon B eli B A. Jos joukko A olisikin ensimmäisestä kategoriasta, tällöin kohdan (1) mukaan myös joukko B olisi ensimmäisestä kategoriasta. Tämä on ristiriita, joten joukon A täytyy olla toisesta kategoriasta. (3) Lauseen 2.21 mukaan jokainen väli on toisesta kategoriasta ja reaalilukujen joukko sisältää välin ]0, 1[ eli ]0, 1[ R. Joten edellisen kohdan perusteella reaalilukujen joukko R on toisesta kategoriasta. (4) Olkoon A ja  ensimmäisen kategorian joukkoja. Tällöin A = n=1 A n ja  = n=1 Ân, jossa A n ja Ân ovat ei missään tiheitä joukkoja. Pitää siis osoittaa, että joukkojen yhdiste A  on ensimmäisestä kategoriasta. A  = A n  n = (A n Ân) n=1 n=1 Lauseen 2.18 mukaan jos A n ja Ân ovat ei missään tiheitä joukkoja niin täytyy niiden yhdistekin A n Ân olla ei missään tiheä joukko. Joten yhdiste A  on ensimmäisestä kategoriasta. (5) Antiteesi: Irrationaalilukujen joukko on ensimmäisen kategorian joukko. Tällöin rationaalilukujen ja irrationaalilukujen joukot ovat molemmat ensimmäisen kategorian joukkoja. Edellisen kohdan perusteella nyt niiden yhdistekin kuuluisi ensimmäiseen kategoriaan, mutta niiden yhdiste on koko reaalilukujen joukko R. Tämä on ristiriita, sillä reaalilukujen joukko kuuluu toiseen kategoriaan. Tästä seuraa, että irrationaalilukujen joukko on toisesta kategoriasta. Lemma (1) Suljettu joukko A joko sisältää välin tai se on ei missään tiheä. (2) F σ -joukko joko sisältää välin tai se on ensimmäisestä kategoriasta. Todistus. (1) Olkoon A suljettu joukko. Jos se on ei missään tiheä, niin Määritelmän 2.14 mukaan joukko A ei sisällä yhtään väliä. (2) Olkoon A F σ -joukko, jolloin A = i=1 F i, missä F i on suljettu. Jos A ei sisällä väliä, niin mikään F i ei sisällä väliä. Tästä seuraa, että F i on ei missään tiheä ja A on ensimmäisestä kategoriasta. Jos joukko A sisältää välin I, niin koska väli I kuuluu toiseen kategoriaan ja I A, on A toisen kategorian joukko. Siten A ei kuulu ensimmäiseen kategoriaan. n=1

20 2.3. EPÄJATKUVUUSPISTEIDEN JOUKON KOKO 17 Seuraus Irrationaalilukujen joukko ei ole F σ joukko. Todistus. Tämä johtuu siitä, että irrationalilukujen joukko ei sisällä välejä ja se on toisesta kategoriasta. Viimein voidaan todistaa haluttu tulos. Seuraus Ei ole olemassa funktiota f : R R, jonka epäjatkuvuuspisteiden joukko olisi irrationaalilukujen joukko. Todistus. Lauseen 2.12 mukaan funktion epäjatkuvuuspisteiden joukko täytyy olla F σ -joukko, ja edellisessä seurauksessa todettiin, että irrationaalilukujen joukko ei ole F σ -joukko. Joten ei voi olla olemassa sellaista funktiota, jonka epäjatkuvuuspisteiden joukko olisi irrationaalilukujen joukko. Seuraus on todellakin uskomaton. Voimme vain ihmetellä sitä faktaa, että on olemassa funktioita, jotka ovat jatkuvia irrationaalipisteissä ja epäjatkuvia rationaalipisteissä. Mutta EI ole olemassa sellaista funktiota joka olisi jatkuva rationaalipisteissä ja epäjatkuva irrationaalipisteissä. Vihdoin voimme todistaa Lauseen 2.12 toisenkin suunnan. Lause Olkoon A R. Tällöin on olemassa funktio f : R R, jonka epäjatkuvuuspisteiden joukko on joukko A A on F σ joukko. Todistus. on todistettu Lauseessa 2.12 Olkoon joukko H R siten, että R\H on F σ joukko. H voidaan kirjoittaa muotoon H = G k, k=1 joista jokainen G k on avoin. Voidaan olettaa, että G 1 = R ja että G i G i+1 jokaiselle i N. Olkoon {α k } ja {β k } jonoja positiivisia lukuja, joista kumpikin lähestyy nollaa ja α k > β k > α k+1 kaikilla k N. Määritetään funktio 0, jos x H f(x) = α k, jos x (G k \G k+1 ) Q β k, jos x (G k \G k+1 ) (R\Q). Osoitetaan, että f on jatkuva jokaisessa joukon H pisteessä ja epäjatkuva jokaisessa joukon R\H pisteessä. Olkoon x 0 H ja ε > 0. Valitaan n siten, että α n < ε. Koska x 0 H = G k, k=1

21 2.3. EPÄJATKUVUUSPISTEIDEN JOUKON KOKO 18 nähdään, että x 0 G n. Silloin joukko G n on avoin ja on olemassa δ > 0 niin, että ]x 0 δ, x 0 + δ[ G n Funktion f määritelmästä joukossa G n saadaan 0 f(x) α n < ε kaikilla x ]x 0 δ, x 0 + δ[ G n. Joten f(x) f(x 0 ) = f(x) 0 = f(x) < ε jos x x 0 < δ. Tällöin f on jatkuva pisteessä x 0. Olkoon x 0 R\H. Silloin on olemassa k N siten, että x 0 G k \G k+1. Joten f(x 0 ) = α k tai f(x 0 ) = β k. Oletetaan, että f(x 0 ) = α k. Jos x 0 on sisäpiste joukosta G k \G k+1, silloin x 0 on kasautumispiste joukosta {x : x (G k \G k+1 ) (R\Q)} = {x : f(x) = β k }, joten f on epäjatkuva pisteessä x 0. Todistus on samantapainen reunapisteille x 0 G k \G k+1. Oletetaan, että f(x 0 ) = α k. Joukon R\(G k \G k+1 ) pisteet ovat mielivaltaisen lähellä pistettä x 0. Näissä pisteissä f saa arvoja joukosta S = {0} i k α i j k β j. Ainoa kasautumispiste tässä joukossa on nolla. Siten S on suljettu. Erityisesti α k ei ole kasautumispiste tästä joukosta ja se ei myöskään kuulu kyseiseen joukkoon. Olkoon ε puolet pisteen α k ja suljetun joukon S etäisyydestä; ε = 1 2 d(α k, S). Mielivaltaisen lähellä pistettä x 0 on piste x siten, että f(x) S. Sellaiselle pisteelle pätee f(x) f(x 0 ) = f(x) α k > ε, joten f on epäjatkuva pisteessä x 0. Esimerkki Otetaan mikä tahansa suljettu joukko A niin on olemassa funktio f : R R, jonka epäjatkuvuuspisteiden joukko on joukko A. Todistus. Olkoon funktio f muotoa 1, jos x A Q f(x) = 1, jos x A\Q 0, jos x / A. Koska joukko A on suljettu, niin A = ( A) (inta). Olkoon x 0 A ja ε = 1 2. Tällöin f(x 0 ) = 1 tai f(x 0 ) = 1. Valitaan piste x ]x 0 δ, x 0 + δ[ (R\A). Tällöin x x 0 < δ ja f(x) f(x 0 ) = 0 1 = 1 > ε tai f(x) f(x 0 ) = 0 ( 1) = 1 > ε. Joten f on epäjatkuva joukon A reunapisteissä. Olkoon x 0 inta. Olkoon f(x 0 ) = 1. Valitaan piste x ]x 0 δ, x 0 + δ[ (A\Q). Tällöin x x 0 < δ ja f(x) f(x 0 ) = 1 1 = 2 > ε. Olkoon f(x 0 ) = 1. Valitaan piste x ]x 0 δ, x 0 + δ[ (A Q). Tällöin x x 0 < δ ja f(x) f(x 0 ) = 1 ( 1) = 2 > ε. Joten f on epäjatkuva kaikissa joukon A sisäpisteissä. Funktio f on jatkuva pisteessä x / A, koska A c on avoin.

22 2.3. EPÄJATKUVUUSPISTEIDEN JOUKON KOKO Cantorin joukko. Tämän kappaleen tarkoitus on osoittaa se, että ylinumeroituva joukko voi myös olla ensimmäisen kategorian joukko. Yksi tällainen joukko on Cantorin joukko. Cantorin joukko määritellään siten, että jaetaan väli [0, 1] kolmeen yhtäsuureen osaan ja poistetaan keskimmäinen osa. Jäljelle jää siis suljetut välit [0, 1 3 ] ja [ 2 3, 1]. Nämä muodostuneet välit jaetaan taas kolmeen yhtäsuureen osaan ja poistetaan keskimmäinen, jolloin jäljelle jää neljä uutta väliä. Muodostuneiden välien jakoa toistetaan äärettömän monta kertaa. Cantorin joukko koostuu siis jäljelle jääneistä välin [0, 1] pisteistä. C 0 = [0, 1] C 1 = [0, 1 3 ] [2 3, 1] C 2 = [0, 1 9 ] [2 9, 3 9 ] [6 9, 7 9 ] [8 9, 1].. Lause Cantorin joukko on yhtä mahtava kuin väli [0, 1], joten se on ylinumeroituva. Todistus. Todistettu esimerkiksi Charles Delingerin Elements of real analysis kappaleessa 3 s Määritelmä Joukko A R on perfekti, jos A = Â eli joukon A kasautumispisteiden muodostama joukko. Esimerkki Väli [0, 1] on perfekti, koska väli sisältää kaikki kasautumispisteensä, mutta [0, 1] {2}, {0} ja Q eivät ole. [0, 1] {2} on kyllä suljettu, mutta kaikki muut pisteet ovat eristetty pisteestä {2}. {0} ei ole perfekti, koska piste {0} ei ole kasautumispiste. Q ei ole suljettu, joten sekään ei voi olla perfekti. Lause Cantorin joukko on perfekti. Todistus. Olkoon C Cantorin joukko. Ĉ C, koska C on suljettu. Todistetaan, että C Ĉ. Valitaan mikä tahansa piste x C. Olkoon ε > 0. Tällöin on olemassa n N siten, että 1 < ε ja x C 3 n n. Tällöin x kuuluu täsmälleen yhteen 2 n erillisistä suljetuista väleistä, joiden pituus on 1, ja jotka muodostavat 3 n joukon C n ; merkitään sitä väliä I n = [a n, b n ]. Koska 1 < ε, sekä a 3 n n N ε (x) että b n N ε (x), voidaan todeta, että molemmat a n ja b n ovat Cantorin joukossa. Siten kaikilla ε > 0 N ε (x) sisältää pisteen Cantorin

23 2.3. EPÄJATKUVUUSPISTEIDEN JOUKON KOKO 20 joukosta, joka ei ole piste x. Täten x on kasautumispiste joukosta C ja x Ĉ. Tällöin C Ĉ ja C = Ĉ. Lause Cantorin joukko ei sisällä väliä. Todistus. Antiteesi: Cantorin joukko C sisältää jonkin välin ]a, b[. Valitaan jokin luku n siten, että 1/3 n < b a. Cantorin joukko sisältyy joukkoon C n, joka sisältää äärellisen monta suljettua väliä, jotka ovat lyhyempiä kuin b a. Täten C n ei voi sisältää väliä ]a, b[ ja täten joukko C ei myöskään voi sisältää kyseistä väliä. Joten Cantorin joukko ei sisällä yhtään väliä. Lause Cantorin joukko on ei missään tiheä. Todistus. Seuraa Lemmasta 2.23 ja Lauseesta 2.32, sillä C on suljettu. Seuraus Cantorin joukko on ensimmäisestä kategoriasta. Todistus. Koska C on suljettu joukko, voimme todeta, että C on F σ -joukko. Edellisten lauseiden ja Lemman 2.23 perusteella Cantorin joukko on ensimmäisestä kategoriasta.

24 LUKU 3 Funktion epäjatkuvuus ja jatkuvuus kouluopetuksessa Lukion matematiikan opetussuunnitelmasta. Matematiikan opetuksen tehtävänä on kehittää oppilaan matemaattista ajattelukykyä. Jotta oppilaalla olisi valmiudet ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa, niin oppilas täytyy tutustuttaa matematiikan perustietoihin ja rakenteisiin sekä kehittää oppilaan laskemisen ja ongelmien ratkaisemisen taitoja. Oppilasta tulisi myös kannustaa tekemään luovia ratkaisuja matemaattisiin ongelmiin. Lukion aloittavalla opiskelijalla on valittavana pitkän tai lyhyen oppimäärän matematiikka. Matematiikan pitkän oppimäärän oppimistavoitteina on antaa opiskelijalle matemaattiset valmiudet, joita tarvitaan ammatillisissa opinnoissa ja korkeakouluopinnoissa. Opetus pyrkii myös antamaan oppilaalle käsityksen siitä, miten matematiikkaa voidaan soveltaa arkielämässä, tieteessä ja tekniikassa. Oppilaan tulisi oppia luottamaan omiin matemaattisiin taitoihinsa ja oppia näkemään matemaattisen tiedon loogisena rakenteena. Lukion pitkän oppimäärän matematiikan pakolliset kurssit ovat 1. Funktiot ja yhtälöt, 2. Polynomifunktiot, 3. Geometria, 4. Analyyttinen geometria, 5. Vektorit, 6. Todennäköisyys ja tilastot, 7. Derivaatta, 8. Juuri- ja logaritmifunktiot, 9. Trigonometriset funktiot ja lukujonot ja 10. Integraalilaskenta. Valinnaisiin syventäviin kursseihin kuuluu 11. Lukuteoria ja logiikka, 12. Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä, 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. Lukion lyhyen oppimäärän matematiikassa käydään neljännellä kurssilla (Matemaattinen analyysi) hieman derivointia, mutta jatkuvuutta tai epäjatkuvuutta ei lyhyessä oppimäärässä käsitellä. Lyhyen oppimäärän neljännen kurssin tavoitteena on lähinnä ymmärtää derivaatta muutosnopeuden mittana. Tästä johtuen tutkimukseen ei valittu lyhyen matematiikan kursseja. Analysoitaviksi kursseiksi valittiin tutkimukseen pakollinen Derivaatta ja syventävä Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi, koska niissä kursseissa käsitellään jatkuvuutta ja epäjatkuvuutta. Lukion pitkän matematiikan 7. kurssin aiheena on derivaatta. Kurssin tavoitteena on, että opiskelija omaksuu havainnollisen käsityksen jatkuvuudesta. Kurssi on pakollinen lukion pitkässä matematiikassa ja se suoritetaan yleensä lukion toisen vuoden alussa. Kurssin tavoitteena on, että oppilas osaa määrittää rationaalifunktion nollakohdat ja ratkaista yksinkertaisia rationaaliepäyhtälöitä. Oppilaan tulee omaksua havainnollinen käsitys funktion raja-arvosta, jatkuvuudesta ja derivaatasta sekä osata määrittää yksinkertaisten funktioiden derivaatat. Oppilaan tulisi osata tutkia polynomifunktion kulkua derivaatan avulla ja määrittää sen ääriarvot sekä rationaalifunktion suurin ja pienin arvo. Keskeisiksi sisällöiksi mainitaan rationaaliyhtälö ja -epäyhtälö, funktion raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta, polynomifunktio, funktion tulon ja osamäärän derivointi sekä polynomifunktion kulun tutkiminen ja ääriarvojen määrittäminen. 21

25 3. FUNKTION EPÄJATKUVUUS JA JATKUVUUS KOULUOPETUKSESSA 22 Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi on lukion pitkän matematiikan 13. kurssi. Sen tavoitteena on, että opiskelija tutkii funktion jatkuvuutta ja osaa jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleisiä ominaisuuksia. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi on valinnainen kurssi lukion pitkässä matematiikassa, jonka oppilas suorittaa yleensä lukion kolmannen vuoden aikana. Kurssin tavoitteina on, että oppilas syventää differentiaali- ja integraalilaskennan teoreettisten perusteiden tuntemustaan. Kurssin aikana oppilas täydentää integraalilaskennan taitoja, joita on opittu integraalilaskennan kurssilla ja soveltaa niitä esimerkiksi jatkuvien todennäköisyysjakaumien tutkimiseen. Lisäksi oppilas tutkii lukujonon raja-arvoa, sarjoja ja niiden summia. Keskeisiksi sisällöiksi mainitaan funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen sekä jatkuvien ja derivoituvien funktioiden yleiset ominaisuudet. Lisäksi oppilaan tulisi osata määrittää funktioiden ja lukujonojen raja-arvot äärettömyydessä ja epäoleelliset integraalit. Koulukohtaisista opetussuunnitelmista vertailtiin kahta eri opetussuunnitelmaa. Koulu 1. on se koulu, jossa kysely toteutettiin ja koulu 2. on samantyyppinen koulu, jonka opetussuunnitelmasta on tässä vain vertailun vuoksi. Koulukohtaisissa opetussuunnitelmissa tarkkailtiin sitä, miten jatkuvuus ja epäjatkuvuus kuuluvat opetussuunnitelman sisältöön. Koulun 1. opetussuunnitelmassa sanotaan Derivaatta-kurssin tavoitteeksi, että oppilas omaksuu havainnollisen käsityksen raja-arvosta ja jatkuvuudesta. Lisäksi jatkuvuus ja raja-arvo luokitellaan kurssin keskeiseksi sisällöksi. Jatkokurssilla oppilaan tulisi syventää differentiaali- ja integraalilaskennan perusteiden tuntemista, harjoitella integraalilaskennan taitoja sekä harjoitella epäoleellisten integraalien määrittämistä. Lisäksi keskeiseksi sisällöksi mainitaan funktion jatkuvuuden ja derivoituvuuden tutkiminen ja funktioiden raja-arvot äärettömyydessä. Koulun 2. opetussuunnitelmassa Derivaatta-kurssin tavoitteet ovat täsmälleen samat kuin edellisessä. Jatkokurssin tavoitteena on myös syventää differentiaali- ja integraalilaskennan perusteita sekä oppia mm. osittaisintegrointia ja epäoleellisia integraaleja. Opetussuunnitelmassa mainitaan, että derivoituvuus, jatkuvuus ja raja-arvo ovat keskeisiä käsitteitä. Näiden kahden koulun koulukohtaisissa opetussuunnitelmissa ei oikeastaan mitään eroa löytynyt. Molempien koulujen opetussuunnitelmat ovat saman tapaiset kuin yleinen opetussuunnitelma Muita tutkimuksia. Kuten johdannossakin jo tuli ilmi, tämä tutkimus on luonteeltaan tapaustutkimus ja sen pohjalta ei voida tehdä mitään laajempia yleistyksia. Tarkoituksena on ollut lähinnä tukea tutkijan omaa opettajuutta ja saada jonkinlaista käsitystä siitä, miten epäjatkuvuus ja jatkuvuus kouluopetuksessa tulisi esittää. Laajempia tutkimuksia ovat esimerkiksi Lenni Haapasalon ym. Miten lukiolaiset hallitsevat funktion jatkuvuuden käsitteen [2], jossa tutkitaan lukion ja yliopiston ensimmäisen vuoden opiskelijoiden jatkuvuuden ymmärrystä. Raja-arvon ja jatkuvuuden ymmärrystä on kartoitettu kyselylomakkeen avulla. Lisäksi tutkimuksessa on analysoitu oppikirjoja ja yliopiston opettajien jatkuvuuteen ja raja-arvoon liittyviä käsityksiä. Eräs mielenkiintoinen maininta Lenni Haapasalon ym. tukimuksessa oli, että erään opettajan mielestä oppilaalla ei ole havainnollista käsitystä funktion epäjatkuvuuden eri muodoista. Tutkimustulokseksi saatiin, että lukion 2. vuoden opiskelijat hallitsevat varsin huonosti jatkuvuuden ja raja-arvon käsitteen.

26 3.1. JATKUVUUS OPPIKIRJOISSA 23 Toinen tutkimus on Paavo Heiskasen Jatkuvuus- ja derivoituvuus-käsitteet lukion pitkässä matematiikassa [7]. Tutkimus on tehty analysoimalla opetussuunnitelman perusteita ja oppikirjoja näiden käsitteiden osalta. Lisäksi Heiskanen on tutkinut, miten lukion pitkän matematiikan oppilaat hallitsevat jatkuvuuden ja derivoituvuuden välisen yhteyden. Tätä hän on tutkinut teettämällä oppilailla kyselyn, jota hän on sitten analysoinut vastausten perusteella. Heiskasen tutkimus eroaa tästä tutkimuksesta siten, että Heiskanen ei ole yksistään analysoinut oppilaiden ymmärrystä funktion jatkuvuudesta, vaan hän on tarkastellut vain jatkuvuuden ja derivoituvuuden välistä yhteyttä. Lisäksi Heiskanen on määritellyt tutkimuksessaan erilaisia jatkuvia ei-missään derivoituvia funktioita ja todennut, että tälläisiä funktioita ei lukion oppikirjoissa ole. Paavo Heiskasen tutkimuksessa tärkein tulos on, että lukion pitkän matematiikan opiskelijat hallitsevat varsin heikosti jatkuvuuden ja derivoituvuuden välisen yhteyden Jatkuvuus oppikirjoissa Lukiossa funktion jatkuvuutta käsitellään sekä Derivaatta-kurssilla että Differentiaalija integraalilaskennan jatkokurssilla. Tässä tutkimuksessa on tarkasteltu neljän eri kirjasarjan kurssikirjoja molemmilta kursseilta. Tutkimuksessa käytetyt kirjasarjat ovat Pydamidi, Laudatur, Calculus ja Matematiikan taito Derivaatta-kurssi. Jatkuvuutta lähestytään usein oppikirjoissa raja-arvon kautta, mutta on myös poikkeuksia. Raja-arvosta käydään läpi sen muodostamissääntöjä ja esitellään lim-merkintä. Useimmissa kirjoissa tutkitaan raja-arvoa ensin numeerisesti eli laskemalla funktion arvoja pisteissä, jotka lähestyvät kohtaa, jossa raja-arvoa määritetään. Matematiikan taidossa kerrotaan myös hieman historiasta funktion raja-arvon johdannossa ja määritellään ensin ympäristö, mitä muissa kirjasarjoissa ei ole. Sen jälkeen raja-arvoa tutkitaan numeerisesti ja graafisesti kuten muissakin kirjasarjoissa. Raja-arvo on määritelty kaikissa kirjoissa vähän eri tavalla. Matematiikan taidossa on ensin sanallisesti selitetty, mitä funktion raja-arvo tarkoittaa ja sitten merkitty lim x x 0 f(x) = a tai f(x) a, kun x x 0. Calculuksessa on aika samantapainen määritelmä, ja lisäksi siinä on funktion raja-arvon olemassaolon ehto. Myös Laudaturissa on raja-arvon olemassaolon ehto, mutta siinä ei ole varsinaisesti määritelty raja-arvoa muuta kuin esimerkin kautta. Matematiikan taidossa, Laudaturissa ja Calculuksessa aloitetaan jatkuvuuden käsittely kuvien ja raja-arvon avulla. Kaikkissa näissä kirjoissa on kuvat poistuvasti epäjatkuvasta, hyppäysepäjatkuvasta ja jatkuvasta funktiosta. Laudaturissa on vielä yksi kuva, jossa on funktio, jota ei ole määritelty yhdessä pisteessä. Kuvien jälkeen kirjoissa on määritelty jatkuvuus kohdassa x 0. Matematiikan taidossa ja Calculuksessa on vielä lisätty, että jos f ei ole jatkuva kohdassa x 0, niin se on epäjatkuva tässä kohdassa. Matematiikan taidossa, Laudaturissa ja Calculuksessa jatkuvuuden määrittelyn jälkeen on heti esimerkki. Matematiikan taidossa on viisi esimerkkiä ja viimeisenä on Dirichlet n funktio. Muissa kirjoissa sitä ei ole esimerkkinä. Pyramidissa jatkuvuuden käsittely aloitetaan jatkuvuuden määritelmistä. Ensin siinä on määritelty vasemmalta ja oikealta jatkuvat funktiot. Sitten määritellään jatkuvuus kohdassa vasemman ja oikeanpuolisen raja-arvon avulla ja yleisen raja-arvon avulla.

27 3.2. TUTKIMUSONGELMAT 24 Matematiikan taidossa ja Pyramidissa on selvästi eroteltu kappale Jatkuvuus annetulla välillä. Laudaturissa ja Calculuksessa Jatkuvuus välillä on määritelty Jatkuvuus kohdassa määritelmän jälkeen, mutta sitä ei ole kuitenkaan erikseen korostettu tekstistä. Pyramidissa on vielä erikseen kappale Jatkuvuus joukossa. Kaikissa kirjoissa on mainittu, että alkeisfunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan. Matematiikan taidossa ja Calculuksessa on lisäksi raja-arvon laajennuksia. Kappaleessa tutkitaan raja-arvoa äärettömyydessä ja epäoleellista raja-arvoa. Calculuksessa käydään hyvin lyhyesti laajennus, mutta Matematiikan taidossa on käydään tarkasti läpi funktioiden erilaisia asymptootteja esimerkkien avulla. Muissa kirjoissa ei ole asymptootteja mainittu Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi. Ainoa kirjasarja, jossa ei syvennytä tarkemmin jatkuvuuteen, on Pyramidi. Sen kirjan jatkuvuus ja derivoituvuus kappaleessa kerrotaan vain, että jos funktio on derivoituva, niin se on jatkuva. Syy, miksi Pyramidi kirjassa ei syvennytä tarkemmin jatkuvuuteen saattaa löytyä Derivaatta-kirjasta. Siinä on käyty hyvin tarkasti läpi erilaisia esimerkkikuvia, joissa on epäjatkuvia ja jatkuvia funktioita sekä kuva funktiosta, jonka jatkuvuudesta ei voida puhua. Tässä kirjassa lähennytään jatkuvuutta ehkä hieman yksityiskohtaisemmin kuin muiden kirjasarjojen Derivaatta-kirjassa. Opettajana olisi hyvä tätä kirjasarjaa käyttäessä ensin kerrata jatkuvuuden perusteet Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssilla esimerkiksi ennen derivoituvuutta. Kolmessa muussa kirjasarjassa tulee selvästi esille se, että jos funktiota ei ole määritelty jossain kohdassa, niin sen jatkuvuudesta ei voida sanoa mitään. Vaikka näin on, niin silti vielä yliopiston opiskelijatkin yrittävät antaa esimerkiksi epäjatkuvasta funktiosta funktion f(x) = 1. Opettajan olisikin tärkeää painottaa tätä asiaa, että se x ei jäisi oppilaiden vastuulle oppia itse kirjasta. Calculus on ainut kirjasarja, jossa on esimerkkinä kaikkialla epäjatkuva funktio ja funktio, jolla on heilahtelevaa epäjatkuvuutta. Mielestäni esimerkki { sin 1 kun x 0 f(x) = x 0 kun x = 0 on hyvä, koska siitä huomaa, että funktion jatkuvuus ei ole aina selvää kuvasta katsottuna ja jatkuvuutta pitäisi tutkia raja-arvon avulla. Usein oppilaat olettavatkin funktion jatkuvaksi, jos sitä ei erikseen vaadita tutkimaan. Opettajana olisikin hyvä, jos ottaisi tavaksi jatkuvuuden tutkimisen oppilaiden kanssa esimerkiksi, kun on sellaisia tehtäviä, missä halutaan tietää, onko funktio derivoituva vai ei. Mielestäni oppilaille tulisi esittää esimerkki kaikkialla epäjatkuvasta funktiosta, jotta oppilaalle ei jäisi sellainen kuva, että funktio on epäjatkuva vain yksittäisissä pisteissä. Matematiikan taidossa jatkuvuutta käsitellään ehkä kaikkein laajimmin. Kirjassa lähennytään jatkuvuutta yliopistomatematiikan tavoin. Se on ainut kirjasarja, jossa jatkuvuutta todistetaan ε\δ todistuksella. Tässä kirjassa on selvästi muita enemmän panostettu jatkuvuuden käsittelyyn Tutkimusongelmat Koska tutkielman matemaattisessa osiossa tutkittiin, millaisia ovat reaalifunktion epäjatkuvuuspisteiden joukot ja miten luokitellaan epäjatkuvuuksia, oli luonnollista

28 3.4. KYSELYN TULOKSET 25 ottaa huomioon se, miten matemaattinen osio liittyy kyselytutkimukseen. Sen lisäksi haluttiin, että tutkimuksesta olisi jotain hyötyä tutkijan tulevassa ammatissa. Kun lähdettiin miettimään, minkälaisia ongelmia halutaan kyselyllä selvittää, tärkeimmiksi kysymyksiksi nousivat, onko oppilailla havainnollista käsitystä epäjatkuvuuksien erilaisuudesta, ja onko oppilailla matemaattista käsitystä epäjatkuvuuspisteiden joukon koosta. Lisäksi haluttiin selvittää kuinka tuttuja esimerkkitapaukset Dirichlet n funktio ja heilahtelevasti epäjatkuva sini-funktio ovat oppilaille Tutkimusmenetelmä Tutkimusmenetelmä on kyselyn teettäminen oppilailla ja sen analysointi (kyselylomake liitteenä). Oppilaat valittiin Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssilta. Kurssikirjana oppilailla oli käytössä Matematiikan taito. Kyselyyn osallistui 12 oppilasta ja oppilailla ei ollut etukäteen tietoa kyselytutkimuksesta. Oppilaiden opettaja piti oppilaita riittävän motivoituneina vastaamaan totuudenmukaisesti kyselyyn. Kysely toteutettiin Diffirentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssin loppupuolella ennen kurssikoetta. Jatkuvuus oli käsitelty noin kaksi viikkoa aikaisemmin. Oppilailla kesti noin 15 minuuttia vastata kysymyksiin ja suurin osa vastasi kaikkiin kysymyksiin. Oppilaille teetetyn kyselytutkimuksen ensimmäinen tehtävä on johdatus tehtävä, jonka tarkoituksena on saada selville, ymmärtävätkö oppilaat missä pisteissä funktio on epäjatkuva. Funktiossa on myös epäderivoituva kohta tehtävän haasteellisuutta lisäämään. Toinen tehtävä testasi myös oppilaiden käsityksiä jatkuvuuden ja epäjatkuvuuden eroista. Siinä on funktio, joka on epäjatkuva useassa eri pisteessä ja oppilaiden tulisi määrittää, millä väleillä funktio on jatkuva. Näillä kysymyksillä haluttiin selvittää, onko oppilailla perusasiat jatkuvuudesta tiedossa. Kyselytutkimuksen kolme viimeistä tehtävää ovat tärkeitä tutkimusongelmien kannalta. Kolmannessa tehtävässä tutkitaan, ymmärtävätkö oppilaat, että funktiolla tosiaan voi olla äärettömän monta epäjatkuvuuskohtaa. Kiinnostavaa on myös nähdä, miten oppilaat perustelevat tämän. Neljäs kysymys on myös tutkimuksen kannalta oleellinen. Tässä kysymyksessä tutkitaan, onko oppilailla tietoa kaikkialla epäjatkuvasta funktiosta. Ja vaikka he eivät olisi ikinä kuulleetkaan sellaisesta, niin on kiinnostavaa nähdä, miten he aikovat perustella vastauksensa. Viimeisessä tehtävässä on tarkoitus tutkia, osaavatko oppilaat keksiä eritavalla epäjatkuvia funktiota. Esimerkiksi hyppäysepäjatkuvuutta ja äärettömyyteen karkaavaa epäjatkuvuutta. Mielenkiintoista on saada selville, millaisia epäjatkuvia funktiota oppilaat pitävät erilaisina. Tehtävä on erittäin luova ja avoin, joten vastauksia voi tulla hyvin erilaisia Kyselyn tulokset Ensimmäinen tehtävä: Tehtävässä piti kuvan avulla määrittää, missä pisteissä funktio on epäjatkuva ja antaa yksi väli jossa funktio on jatkuva. Kymmenen oppilasta vastasi ensimmäiseen tehtävään täysin oikein. Vain kahdella oppilaalla oli virheitä vastauksissa, jotka johtuivat lähinnä huolimattomuudesta. Yksi oli antanut a-kohdan yhdeksi epäjatkuvuuspisteeksi x = 4, vaikka oikea vastaus olisi ollut x = 5. Oppilas oli ehkä katsonut epähuomiossa kuvaa väärin. Toinen oppilas oli unohtanut epäjatkuvuuspisteen x = 5 a-kohdasta. Lisäksi hän antoi b-kohtaan

29 3.4. KYSELYN TULOKSET 26 välin, jossa funktio olisi jatkuva välillä (5, 3 1 ), joka on vain siinä mielessä väärin, että 2 arvot ovat väärässä järjestyksessä. Muuten vastaus olisi oikein. Kukaan ei antanut epäjatkuvuuskohdaksi x = 1, joka oli epäderivoituvuuskohta. Oppilaat eivät siis sekoittaneet epäderivoituvaa kohtaa epäjatkuvaksi kohdaksi. Toinen tehtävä: Tehtävässä kaksi piti kuvan avulla vastata väittämiin, jotka olivat tosia ja epätosia. Vain yhdellä oppilaalla oli yhdessä kohdassa virhe. Oppilas oli vastannut c-kohtaan, että funktio olisi jatkuva välillä [1, 3]. Oppilas ei varmaan ollut huomannut, että pisteessä x = 3 funktio on epäjatkuva. Muuten kaikki olivat vastanneet kysymykseen täysin oikein. Oppilaat selvästikin osasivat jatkuvuuden perusteet, mutta kaksi ensimmäistä tehtävää perustuivat suurimmaksi osaksi derivaatta kurssin tietoihin ja taitoihin. Kolmas tehtävä: Kolmannessa tehtävässä kysyttiin voiko funktiolla olla äärettömän monta epäjatkuvuuskohtaa sekä pyydettiin perustelemaan vastaus. Kaksi oppilasta jättivät tehtävän tyhjäksi. Kymmenen oppilasta vastasi tehtävään oikein, joista neljä vastasi kysymykseen oikein, mutta perustelut olivat joko kokonaan väärin tai muuten puutteellisia. Esimerkiksi joku oli vastannut, että funktio ei olisi jatkuva sellaisissa kohdissa, missä funkiota ei ole määritelty. Kuusi oppilasta vastasivat tehtävään perustelujen kanssa oikein. Perustelut vaihtelivat voimakkaasti. Tämä saattoi johtua siitä, että oppilaat eivät olleet aiemmin miettineet tälläistä kysymystä, joten heillä ei ollut valmiita käsityksiä tästä asiasta. Esimerkiksi eräs oppilas oli vastannut kysymykseen, että jos reaalilukujen joukosta poistetaan kaikki rationaaliluvut, niin kyseisellä määrittelyjoukolla funktio olisi äärettömän monessa kohdassa epäjatkuva. Toinen oppilas oli vastannut, että niissä kohdissa funktiota ei ole määritelty, joka on täysin virheellinen perustelu. Jotkut olivat yrittäneet antaa perusteluksi esimerkkiä sellaisesta funktiosta, joka olisi epäjatkuva äärettömän monessa pisteessä. Tälläisiä oli esimerkiksi f(x) = ( 1) x. Tämä on muuten hyvä esimerkki, mutta tässä täytyisi vielä määritellä muuttujan x määrittelyjoukko. Jos niin ei tehdä, niin funktio saa myös kompleksilukuarvoja. Hyvin perusteltu vastaus oli Voi olla, jos funktio saa x:n arvoja äärettömään asti. Tällöin ei voida asettaa myöskään epäjatkuvuuskohdille ylärajaa. Saman tyyppinen vastaus oli toisellakin oppilaalla. Neljäs tehtävä: Tehtävässä kysyttiin onko olemassa funktiota, joka on epäjatkuva kaikkialla sekä pyydettiin perustelemaan vastaus. Kaksi oppilasta jätti vastaamatta tehtävään. Kaksi oppilasta vastasi täysin väärin. Yksi oppilas antoi selitykseksi sen, että ei voi olla sellaista funktiota, koska silloin se ei olisi funktio. Toinen vastasi, että funktio täytyy olla jatkuva jossain kohdassa, muuten se on vain piste. Kuusi oppilasta olivat vastanneet lähes oikein ja kaksi oppilasta olivat jopa antaneet esimerkiksi Dirichletin funktion. Neljä oppilasta yritti kuvailla sellaista funktiota, joka saa eri arvoja vierekkäisissä pisteissä. Vaikka tämä vastaus on tavallaan oikein, niin se on silti virheellinen. Lukion kolmannen vuoden oppilailla ei ole vielä käsitystä joukkojen mahtavuudesta ja siitä, että vierekkäisiä pisteitä ei ole

30 3.4. KYSELYN TULOKSET 27 olemassa, koska jos olisi niin löydettäisiin nollaa lähinnä oleva rationaalipiste. Mutta vastaus luettiin oikeelliseksi, koska oppilaiden tietojen ja taitojen perusteella se on oikein. Kaksi oppilasta oli vastannut oikein kysymykseen, mutta perustelut olivat hyvin epäselviä. Yksi vastasi, että tällöin funktio saa vain reaalilukuarvoja, jolloin se on kaikkialla epäjatkuva imaginäärilukujoukossa. Toinen vastasi, että esimerkiksi funktio, joka hajaantuu joka toisen pisteen ollessa eri tasolla kuin toinen. Oppilas on ehkä tarkoittanut Dirichlet n funktiota, koska hän oli piirtänyt seuraavan kuvan esimerkiksi. Viides tehtävä: Viimeisessä tehtävässä pyydettiin piirtämään ja perustelemaan millaisia epäjatkuvia funktioita voi olla olemassa. Kysymys oli tutkimuksen kannalta oleellinen, koska tehtävässä ei voinut veikata. Oppilaat vastasivat todella hyvin ja olivat ymmärtäneet, mitä tehtävässä oli tarkoitettu, vaikka tehtävä oli haasteellinen sen avoimuuden vuoksi. Viisi oppilasta oli piirtänyt joko hyppäysepäjatkuvan tai poistuvasti epäjatkuvan funktion. Neljä oppilaista oli piirtänyt kaksi erilailla epäjatkuvaa funktiota (hyppäys- ja poistuvaepäjatkuvuus). Vain kaksi oppilaista oli piirtänyt oleellista epäjatkuvuutta esittävän kuvan, mutta ei ollut sitten muistanut määritellä funktiota pisteessä x = 0. Eli periaatteessa sellainen funktio ei ole epäjatkuva tai jatkuva. Kukaan ei piirtänyt tai maininnut sellaista funktiota, jolla olisi ollut heilahtelevaa epäjatkuvuutta. Moni kuitenkin yritti antaa esimerkiksi sellaista funktiota, jota ei ole määritelty jossain kohtaa tai piirsivät sellaisia funktiota, joilla on samanlaista epäjatkuvuutta. Yksi oppilas kirjoitti, että kai niitä voi olla minkälaisia tahansa. Tarkoittaen ehkä sitä, että erilaisilla funktiolla on

31 3.4. KYSELYN TULOKSET 28 aina erilaista epäjatkuvuutta. Yksi tyypillinen virhe piirros. Toinen tyypillinen virhe piirros.

32 3.5. POHDINTAA 29 Tälläisiä kuvia oli kahdella oppilaalla. Piirros on muuten hyvä, mutta molemmat oppilaat olivat unohtaneet määritellä funktion pisteessä x = Pohdintaa Johtopäätökset. Selvästikin oppilaat osasivat ainakin perusasiat jatkuvuudesta eivätkä sekoittaneet epäderivoituvaa funktiota epäjatkuvaan funktioon. Paavo Heiskasen tutkimuksesta huomaa, että yleisimmät virhekuvat ovat sellaisia, joissa on kuva funktiosta, jolla on epäjatkuvuuskohta pisteessä, jossa funktiota ei ole määritelty. Virheellinen esimerkkikuva Paavo Heiskasen tutkimuksesta. Opetuksessa voisi vielä painottaa sitä, että jos funktiota ei ole määritelty jossain kohtaa, niin sen epäjatkuvuudesta ei voida sanoa mitään. Kuitenkin oppilailla tuntui olevan käsitystä siitä, minkä kokoisia funktion epäjatkuvuuspisteiden joukot saattavat olla. Jopa puolet oli vastannut oikein tai jokseenkin oikein tehtäviin kolme ja neljä. Oppilaille tulisi kuitenkin antaa mietittäväksi, mitä tarkoittaa matematiikassa se, että jokin arvo on äärettömän lähellä. Oppikirjasarjan Laudatur Derivaattakurssikirjassa on hyvä pohdintatehtävä koskien tätä ongelmaa. Siinä oppilaan tulisi

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA. Annika Katariina Harja

DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA. Annika Katariina Harja DERIVAATTAFUNKTION OMINAISUUKSIA Annika Katariina Harja Matematiikan pro gradu Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto Kesä 2013 Tiivistelmä: Harja, A. 2013. Derivaattafunktion ominaisuuksia,

Lisätiedot

Raja arvokäsitteen laajennuksia

Raja arvokäsitteen laajennuksia Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }?

Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

Funktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen

Funktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen Matematiikka algebra geometria Funktion raja-arvo analyysi tarve lukumäärien tutkiminen kuvioiden ja kappaleiden tutkiminen muutosten tutkiminen DERIVAATTA, MAA6 Yhtä vanhoja kuin ihmiskuntakin ~6 000

Lisätiedot

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ

1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1

Vastauksia. Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 1 (1) Olkoon X joukko ja (T j ) j J perhe X:n topologioita. Osoita, että T = {T j : j J} on X:n topologia. (2) Todista: Välit [a, b) muodostavat R 1 :n erään topologian kannan.

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Sisältö 1 Funktiot 2 1.1 Määritelmä ja peruskäsitteitä 2 1.2 Bijektiivisyys 3 1.3 Käänteisfunktio f 1 4 1.4 Funktioiden monotonisuus 5 1.5 Funktioiden laskutoimitukset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet

Lisätiedot

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004

Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004 Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot 35 3.1 Peruskäsitteitä................................. 35 3.2 Raja-arvon määritelmä............................. 43 3.3 Raja-arvon

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

1. ja 2. kurssi (I-osa) Perusasiat kuntoon

1. ja 2. kurssi (I-osa) Perusasiat kuntoon 1. ja 2. kurssi (I-osa) Perusasiat kuntoon., 4. ja 5. kurssit (II-osa) Geometrian osuus 6. 9. kurssit (III-osa) Analyysi: - Raja-arvo ja jatkuvuus - & derivointi - Integ.laskenta & integrointi Aloitusesimerkki

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä 5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa

Lisätiedot

Eroja lukio- ja yliopistomatematiikassa erityisesti lukion differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa

Eroja lukio- ja yliopistomatematiikassa erityisesti lukion differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tiina Karjalainen Eroja lukio- ja yliopistomatematiikassa erityisesti lukion differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssissa Informaatiotieteiden yksikkö

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet.

1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. 1.5 Suljetulla välillä jatkuva funktio. Perusominaisuudet. Differentiaalilaskennassa on aika tavallinen tilanne päästä tutkimaan SULJETUL- LA VÄLILLÄ JATKUVAA FUNKTIOTA. Oletuksena on tällöin funktion

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n.

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n. Analyysi I ja II lisämateriaalia HAARUKOINTI Tässä käsitellään kootusti sellaisia differentiaali- ja integraalilaskennan kurssin kysymyksiä, joissa joudutaan syventymään lukusuoran hienovaraisimpiin ominaisuuksiin.

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia

Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tapio Lind Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Maaliskuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, 1858-1936, anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide,

Lisätiedot