Kvanttistatistiikka 1

Transkriptio

1 Kvattistatistiikka 1 Kevät 2017 Lueoitsija Aleksi Vuorie (aleksi.vuorie@helsiki.fi, A322) Laskuharjoitusassistetti: Eemeli Aala (eemeli.aala@helsiki.fi, A313) Yleistä Lueot ma ja ti salissa E205; laskarit pe E205 Kurssikirjaa Arpoe & Hokoe, Statistie fysiikka; lisäksi prujut ettii aia tiistai lueo jälkee Kurssi kotisivulta prujut, laskarit, ajakohtaista tietoa, je Laskareita yhteesä 6 kpl. Ilmestyvät ettii tiistaisi ja palautetaa seuraava viiko tiistaia lueolla tai lueoitsija postilaatikkoo (Physicumi 3. kerrokse A-siipi). Käydää läpi perjatai laskaritilaisuudessa. Laskarit eivät pakollisia mutta erittäi suositeltavia: iissä meää myös luetomateriaali ulkopuolelle ja tämä tulee olemaa osa koealuetta Lueto- ja laskaritauko pääsiäise ympärillä ; lisäksi ei luetoa vapupäivää ma 1.5. Viimeie lueto ti 2.5. ja viimeiset laskarit pe 5.5. Loppukoe ma 8.5. alkavalla viikolla. Detaljit myöhemmi kurssi kotisivuilla. Suoritus: loppukoe 75% ja laskarit 25% 1 Tämä luetomoiste o kehittyyt vuosie varrella useide kurssi lueoitsijoide toimesta; erityisesti Ismo Napari ja Jooas Merikato ovat kirjoittaeet siitä suure osa. 1

2 Mitä kvattistatistiikka pitää sisällää? Statistise mekaiika jatkokurssi, jossa käytetää Kvattimekaiikka I: (ja pieeltä osi II:) koeistoa statististe (ts. moe hiukkase systeemie) kvatti-ilmiöide tutkimisee Kaksi tärkeää ja kurssilla usei toistuvaa peruskysymystä: o Millä tavoi moe hiukkase kvattisysteemejä tulee käsitellä? Erityisesti: mitkä ovat klassise faasiavaruude, esembleje, je. vastieet? o Missä kulkee kvattimekaaiste ja klassiste systeemie rajapita, ts. milloi kvatti-imiöt o otettava (isoissa systeemeissä) huomioo? Kurssia ilmiölähtöisempi kui Statistie mekaiikka: SM: ogelmaa eitriviaalie esimerkkisysteemie vähäie määrä; tällä kurssilla ei samaa haastetta Pohjatiedot: Statistie mekaiikka ja Kvatti I sekä äide kurssie (matemaattiset) esitiedot oleaisia: erityisesti kvattimekaiika perusformalismi sekä klassiste esembleje tutemus tärkeää. Puuttuvia taustatietoja mahdollista kerrata kurssi aikaa. Joki verra laskeallisesti haastavampi/työläämpi kui Statistie mekaiikka, mutta materiaalia ei silti 5 op: kurssiksi kohtuuttomasti. Ilmoittakaa jos/ku joki epäselvää tai vaikeaa! Kurssi alustava sisällys Viikot 1-2: kvattimekaiika kertausta, moihiukkassysteemit kvattimekaiikassa, kvattimekaaie esembleteoria Viikot 3-4: kvattimekaaie ideaalikaasu, bosoi- ja fermioistatistiikat, esimerkkejä bosoisysteemeistä Viikot 5-6: degeeroituut fermikaasu, esimerkkejä fermioisysteemeistä, erityisesti valkoiset kääpiöt ja eutroitähdet 2

3 3 TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH ) Mikrotilat (kertausta Kvattimekaiika kurssilta) Kvattimekaiikassa yhde hiukkase systeemi täydellise kuvaukse ataa sitä vastaava tilavektori Ψ, joka o (yhde hiukkase) Hilberti avaruutee H kuuluva vektori. Hilberti avaruus o lieaarie, ts. kahde se vektori kompleksikertoimie summa kuuluu avaruutee. H:ssa o myös määritelty sisätulo a b, joka toteuttaa yleiset skalaaritulo aksioomat. Fysikaaliset tilat voidaa aia ormittaa ykköseksi, ja tästä lähtie oletammeki, että kvattitiloille Ψ Ψ Ψ 2 = 1. Observaabeleita (havaittavia suureita) vastaavat kvattimekaiikassa lieaariset hermiittiset operaattorit Â, jotka Schrödigeri kuvassa oletetaa ajasta riippumattomiksi. Observaabeli mahdollisia havaittavia arvoja ovat Â: omiaisarvot, jotka yhdessä vastaavie (ajasta riippumattomie) omiaistiloje kera saadaa selville omiaisarvoyhtälöstä  = A, joka ratkaisut o tässä yksikertaisuude vuoksi oletettu diskreetiksi. Kaikki alla johdettavat tulokset voidaa kuiteki helposti yleistää tapauksee, jossa hermiittise operaattori  omiaisspektri (eli -arvot ja -tilat) o jatkuva. Tällöi kaikki summat tiloje yli korvataa yksikertaisesti itegraaleilla. Operaattori oletetusta hermiittisyydestä seuraa, että se omiaisarvot ovat reaalisia ja omiaisvektorit muodostavat Hilberti avaruude täydellise ortoormittuva kaa. Voidaa siis olettaa, että omiaistilat toteuttavat relaatio m = δ m, mikä lisäksi ykkösoperaattori voidaa kirjoittaa muodossa 1 =. Observaabeli  odotusarvo kvattitilassa Ψ saadaa äi kirjoitettua muotoo  = Ψ Â Ψ = Ψ m m Â Ψ = A Ψ 2, m,

4 jossa tulkitsemme site, että tekijät Ψ 2 atavat todeäköisyyde sille, että tarkasteltavalle observaabelille saadaa mittauksessa diskreetti arvo A. Usei o kätevää kirjoittaa myös tilavektorit kompoettiesitykseä sopiva hermiittise operaattori ortoormitetussa kaassa Ψ = Ψ, missä olemme käyttäeet yllä johdettua yksikköoperaattori muotoa. Koordiaattikaassa x vastaavat kertoimet ovat tuttuja aaltofuktioita x Ψ = Ψ(x, t), joide itseisarvoje eliö kertoo todeäköisyyde löytää hiukkae koordiaattiavaruude pisteestä x ajahetkellä t. (Huomaa, että aikariippuvuus tulee tähä tila Ψ aikariippuvuudesta.) Hyvi oleaisia relaatioita ovat x p = h 3/2 e ix p, x x = δ(x x ), p p = δ(p p ) jotka tarjoavat mahdollisuude siirtyä koordiaatti- ja impulssikatoje välillä. Tällaie kaa muutos o esimerkki uitaarise operaaattori Û idusoimasta muuoksesta jossa siirrymme kaasta kataa = Û, Û = Û 1. Operaattori jälki Tr  määritellää sitä vastaava matriisi diagoaalielemettie summaa, Tr  = Â, joka o kuiteki selvästi kaasta riippumato suure. Se toteuttaa lisäksi ormaalit matriisilaskea jälje relaatiot, kute syklisyyde. Määrittelemällä yt systeemi ormitettua tilaa Ψ vastaava s. projektio-operaattori ρ Ψ Ψ Ψ, ähdää helposti, että observaabeleide odotusarvot o lausuttavissa muodossa  = Tr ρ Ψ ja kahde eri tila välise sisätulo ormi eliö puolestaa muodossa Ψ Φ 2 = Tr ρ Ψρ Φ. Kute tulemme myöhemmi moee kertaa toteamaa, jälje laskemie kvattimekaiikassa o ii 1- kui moihiukkassysteemie tapauksessa hyvi tarkkaa aalogie itegroiille klassisessa faasiavaruudessa. Tiloje ajallise kehitykse määrää Schrödigeri yhtälö 4

5 iħ Ψ(t) = Ĥ Ψ(t), t missä Ĥ o Hamiltoi operaattori. Ns. eergiaesityksessä tilat esitetää Ĥ: omiaistiloje kaassa, jossa pätee omiaisarvoyhtälö Ĥ = E, missä E ovat systeemi omiaiseergiat ja tilat määritelmällisesti ajasta riippumattomia. Schrödigeri yhtälöstä saamme helposti yleise tila Ψ(t) aikakehitykseksi johtue relaatiosta Ψ(t) = Ψ(t) = exp ( ie t) Ψ(0) ħ iħ t Ψ(t) = Ĥ Ψ(t) = E Ψ(t) Ψ(t) = exp ( ie t) Ψ(0). ħ Moihiukkassysteemit ja Focki avaruus Moihiukkassysteemi mahdolliset tilat kuuluvat kvattimekaiikassa N: hiukkase Hilberti avaruutee, joka o muodoltaa N: yksihiukkasavaruude suora tulo H (N) = H 1 H 1 H 1 H 1. Jos H 1 : katavektoreita o umeroituva määrä, voidaa iistä muodostaa H (N) : kata suora tulo avulla, ja mielivaltaie tila Ψ esittää muodossa Ψ = l 1 l N l 1,, l N Ψ, l 1 l N missä kuki ideksi l 1 käy läpi kaikki systeemi yksihiukkastilat ja käytämme otaatiota jossa l 1 l N l 1,, l N. Todelliset kvattimekaaiset systeemit eivät kuitekaa miehitä koko avaruutta H (N), vaa aioastaa aliavaruude, joka 5

6 o täysi symmetrie (bosoit) tai atisymmetrie (fermioit) kahde hiukkase vaihdossa, koska bosoit oudattavat s. Bose-Eisteii statistiikkaa ja fermioit Fermi-Diraci statistiikkaa. Oikeat N: hiukkase systeemi katafuktiot saadaaki ottamalla 1-hiukkastiloje suorista tuloista s. Slateri (ati)determiatteja. Käytäössä moihiukkaskvattimekaiikka formuloidaa kätevimmi Focki avaruudessa ja käyttämällä hyväksi hiukkaste luomis- ja tuhoamisoperaattoreita. Focki avaruus o kaikkie N: hiukkase (ati)symmetrisoituje Hilberti avaruuksie suora summa F = H (0) H (1) PH (N), jossa H (0) = C (eli kompleksilukuje joukko) ja P projektio-operaattori symmetrisee (bosoit) tai atisymmetrisee (fermioit) Hilberti moihiukkasavaruutee. Focki avaruude alkio voidaa yt esittää koordiaattiesityksessä rivivektoria Φ = (z, Ψ 1 (ξ 1 ), Ψ 2 (ξ 1, ξ 2 ),, Ψ N (ξ 1,, ξ N ) ), jossa z o puhdas kompleksiluku, Ψ k täysi (ati)symmetrie k: muuttuja fuktio ja ξ i = (x i, s i ), missä s i o hiukkase i spi. Focki avaruude katavektorit voidaa siis esittää muodossa (2) (1, Ψ 1 (ξ 1 ), Ψ 1, 2 (ξ 1, ξ 2 ),, Ψ (N) {} (ξ 1,, ξ N ), ) (N) missä ideksit i käyvät läpi kaikki 1-hiukkastilat, ja ormitetut katafuktiot Ψ {} ovat lausuttavissa yksihiukkaskatafuktioide Ψ i (ξ i ) avulla muodossa (N) 1 (ξ 1,, ξ N ) = N! 1! 2! ε P Ψ 1 [P(ξ 1 )] Ψ N [P(ξ N )]. P{ξ i } Ψ {} Tässä summaus suoritetaa kaikkie N: hiukkae permutaatioide yli (yht. N! kpl), ja i o puolestaa kvattitila i miehitysluku. Se kertoo, kuika mota (N) kyseistä kvattitilaa vastaavaa yksihiukkasaaltofuktiota katafuktio Ψ {} termeissä o, ts. kuika mota kertaa i esiityy ideksijoukossa {}. Käytäössä i o siis tilassa i olevie hiukkaste lukumäärä kyseisessä moihiukkastilassa. 6

7 Yo. summassa fuktio ε P riippuu puolestaa hiukkaste statistiikasta ja o bosoeilla ε P = 1 fermioeilla { ε P = +1 parillisella permutaatioilla ε P = 1 parittomalla permutaatioilla. Katafuktio ormitustekijä itegraali 1 N! 1! 2! o puolestaa helppo perustella laskemalla dx 1 dx N ε P P{ξ i } Ψ 1 [P(ξ 1 )] Ψ N [P(ξ N )] ε P = N! 1! 2! P {ξ i } Ψ 1 [P (ξ 1 )] Ψ N [P (ξ N )] missä o otettu huomioo se, että jokaista P: permutaatiota (N! kpl) kohti o täsmällee 1! 2! kpl P : permutaatiota, joille yo. itegraali ataa tulokse 1, muille 0. Näissä siis permutoidaa vai tiety kvattitila l aaltofuktioide ξ i - koordiaatteja. Huomaa, että ε P : merkitys häviää tässä tarkastelussa (miksi?). Esimerkki: Tarkastetaa yllä käytetty moihiukkasaaltofuktio ormitus kahde hiukkase tapauksessa 1) Kaksi bosoia: Ψ ij (1,2) = Φ i (1)Φ j (2) + Φ i (2)Φ j (1), jossa Φ i viittaa oikei ormitettuu tila i aaltofuktioo ja 1/2 puolestaa hiukkasee - oikeasti siis Φ i (1) = Φ i (ξ 1 ), je. Nyt saadaa kaksihiukkasaaltofuktio eliöksi Ψ ij Ψ ij = Φ i (1)Φ j (2)Φ i (1)Φ j (2) + Φ i (1)Φ j (2)Φ i (2)Φ j (1) +Φ i (2)Φ j (1)Φ i (1)Φ j (2) + Φ i (2)Φ j (1)Φ i (2)Φ j (1), jolloi läpikäytävää o kaksi eri mahdollisuutta: i) Hiukkaset ovat eri tiloissa (i j): Fuktioide Φ i ortoormaalisuude vuoksi 2. ja 3. termi yllä häviävät itegroitaessa, ja saamme Ψ Ψ = 2. Tässä tapauksessa o toisaalta N = 2, 1 = 1, 2 = 1, jote aiempi ormituskaava (N! 1! 2!) 1/2 = 1/ 2 ataa selvästi oikea tulokse. ii) Hiukkaset ovat samassa tilassa (i = j): Nyt kaikista yo. kaava termeistä tulee kotribuutio itegroitaessa, ja Ψ Ψ = 4. Koska N = 2, 1 = 2 ja 2 = 0, ii (N! 1! 2!) 1/2 = 1 = 1, eli ormituskaava toimii jällee

8 2) Kaksi fermioia: Ψ 12 (1,2) = Φ 1 (1)Φ 2 (2) Φ 1 (2)Φ 2 (1), eli hiukkasilla o parito permutaatio. Nyt hiukkaste o oltava eri tiloissa (kute tässä oki idikoitu), ja ormitustekijä o (N! 1! 2!) 1/2 = 1/ 2, mikä selvästi o jällee oikea tulos (lasku vastaa täysi bosoie i) tapausta yllä). Yllä määriteltyjä katafuktioita Ψ (N) {} (ξ 1,, ξ N ) vastaavia tiloja o helpoita merkitä symbolilla { i }, jossa i vastaa kvattitila i miehityslukua. Tällöi voidaa määritellä yleistetyt luomis- ja tuhoamisoperaattorit a i ja a i, jotka lisäävät kvattitilaa (vähetävät tilasta) i yhde hiukkase. Bosoiset operaattorit toteuttavat silloi tutut kommutaatio- ja fermioiset atikommutaatiorelaatiot. Lyhyellä laskulla saadaa tällöi se ylläoleva tarkastelu kassa yhtäpitävä tulos, että kahta fermioia ei voi laittaa samaa kvattitilaa, ts. kuki tila miehitusluvut ovat joko 0 tai 1. Tätä säätöä kutsutaa Pauli kieltosääöksi. Maiittakoo vielä lopuksi, että vuorovaikuttamattoma moihiukkasjärjestelmä Hamiltoi fuktio o helpoita lausua määrittelemällä esi tuttu miehityslukuoperaattori i = a i a i, joka laskee tilassa i olevie hiukkaste lukumäärä, ja kirjoittamalla se avulla H = ε l l, missä ε l vastaa tila l yksihiukkaseergiaa. Focki avaruude katatilassa { i } Hamiltoi fuktio (eli eergia) omiaisarvo o tällöi yksikertaisesti l E = ε l l, missä l o operaattori l omiaisarvo ja kertoo vastaava tila miehitysluvu. Tällöi kostruktiossa o erityisesti huomattavaa, että systeemi hiukkaste kokoaismäärää ei tarvitse eksplisiittisesti spesifioida, mikä oki Focki avaruudessa toimimise hyödyllie piirre. l 8

9 9 Makrotilat ja tiheysoperaattori Aiva kute klassisessa mekaiikassa, myös kvattimekaiikassa esemble määritellää joukkoa mikrotiloja, jotka vastaavat samaa, yleesä termodyaamiste suureide avulla määriteltyä makrotilaa. Puhtaassa tilassa systeemi tila tuetaa maksimaalisella tarkkuudella, ts. sitä kuvaa joki vektori Ψ N: hiukkase (ati)symmetrisoidussa Hilberti avaruudessa. Tämä o kuiteki varsiki makroskooppiste systeemie tapauksessa äärimmäise harviaie tilae; yleesä systeemi oki s. sekatilassa, jossa hiukkaste lukumäärääkää ei usei tarkkaa tiedetä. Sekatila saadaa joukkoa mahdollisia tiloja Ψ, jotka esiityvät todeäköisyyksillä p. Mielivaltaise operaattori  esemblekeskiarvo lasketaa silloi odotusarvoa  = p Ψ Â Ψ = p Ψ m m  Ψ,m, = Ψ p Ψ m m Â,m, ϱ m m  = Tr(ϱ Â), m, missä summat m: ja : yli käyvät läpi relevati avaruude (Focki avaruude tai N: hiukkase (ati)symmetrisoidu Hilberti avaruude) joki täydellise kaa kaikki kvattitilat. Olemme määritelleet tässä tiheysoperaattori ϱ = p Ψ Ψ, missä summa käy läpi systeemissä esiityvät kvattitilat ja selvästi vaaditaa, että p = 1 (huomaa kuiteki, että tiloje Ψ ei vaadita muodostava täydellistä kataa). Tiheysoperaattori o suora kvattimekaaie vastie klassisesta statistisesta fysiikasta tutulle faasiavaruude tiheysjakaumalle. Puhtaassa tilassa ϱ = Ψ Ψ, mistä selvästi seuraa relaatio ϱ 2 = ϱ ; (helpoksi) harjoitustehtäväksi

10 jätetää se äyttämie, että implikaatio toimii myös toisee suutaa, ts. ϱ 2 = ϱ pätee vai puhtaille tiloille. Tiheysoperaattori tärkeimpiä omiaisuuksia ovat: 1. Automaattie ormitus: Tr ϱ = ϱ = p Ψ Ψ, = p Ψ Ψ = p = 1 2. Hermittiivisyys: ϱ = ( p Ψ Ψ ) = p Ψ Ψ = ϱ. 3. Positiivisuus: mielivaltaiselle tilalle Φ Φ ϱ Φ = p Φ Ψ Ψ Φ = p Φ Ψ 2 0., Tiheysoperaattori aikakehitys saadaa puolestaa suoraa Schrödigeri yhtälöstä: iħ t ϱ = iħ t p Ψ Ψ = iħ p ( t Ψ ) Ψ + p Ψ ( t Ψ ) = p Ĥ Ψ Ψ p Ψ Ψ Ĥ = [Ĥ, ϱ ] iħ ϱ = [Ĥ, ϱ ]. t Tämä o vo Neumai yhtälö, joka vastaa klassise mekaiika Liouville yhtälöä. Se pätee systeemeille, jotka eivät vuorovaikuta ympäristösä kassa, ts. joissa Ĥ ei riipu mahdollisista ulkoisista koordiaateista. O mielekiitoista huomata, kuika paljo kivuttomampaa liikeyhtälö johto oli kvattimekaaisessa tapauksessa kui Liouville yhtälö johto klassisessa faasiavaruudessa. 10

11 Statioaarisessa tilassa o selvästi oltava ϱ = 0 eli [Ĥ, ϱ ] = 0. Aiva kute t klassise mekaiika tapauksessa aiemmi, tämä o mahdollista, jos tiheysoperaattori riippuu vai säilyvistä (Ĥ: kassa kommutoivista) suureista. Huom 1 Puhtaa tila ja sekatila ero odotusarvoja laskettaessa: Sekatilassa saatii yllä  = p Â. Jos kyseie kata oletetaa täydelliseksi, mielivaltaie puhdas tila Ψ voidaa puolestaa kirjoittaa muodossa Ψ = Ψ = a, missä a 2 o todeäköisyys havaita systeemi tilassa. Puhtaassa tilassa operaattori  odotusarvo o siis  = Ψ Â Ψ = a 2  + m a m a m Â, jossa jälkimmäie summa häviää vai tarkasteltava operaattori omiaistiloje kaassa. Sekatilassa jälkimmäisiä iterferessitermejä ei ole. Huom 2 Statioaarise tila ehdosta [Ĥ, ϱ ] = 0 seuraa suoraa mielekiitoie tulos eergia omiaistiloille: Ĥ = E ; Ĥ β = E β β [Ĥ, ϱ ] = 0 E ϱ β = E β ϱ β ϱ β = 0 ellei E = E β, eli ϱ o diagoaalie eergiakaassa. Mielivaltaisessa kaassa ϱ : ei tietekää tarvitse olla diagoaalie; se elemettie fysikaalie merkitys (todeäköisyystulkita) o kuiteki selkei diagoaalisessa tapauksessa. Huom 3 Statistiselle eli Gibbsi etropialle voidaa määritellä kvattimek. vastie S = Tr ϱ l ϱ, joka diagoaalisessa kaassa saa muodo S = p l p. Tämä fuktio o selvästi positiividefiiitti ja häviää (miimoituu) puhtaassa tilassa. 11

12 Tilatiheys Tutkitaa jällee yksikertaisuude vuoksi systeemiä, jolla o diskreetti eergiaspektri, ja määritellää tilakertymäfuktio J(E) = θ(e E ). Se selvästiki kertoo tiloje lukumäärä, joide eergialle E pätee E E. Tilatiheys ω(e) määritellää yt derivaattaa ω(e) = dj(e) de = δ(e E ), jolloi kombiaatio ω(e)de kertoo eergiavälillä (E, E + de) olevie tiloje lukumääärä. Kaasta riippumattomasti voidaa selvästi kirjoittaa ja J(E) = Tr θ(e Ĥ) ω(e) = Tr δ(e Ĥ). Tilatiheys voidaa ajatella kvattimekaiika vastieea klassise faasiavaruude eergiapia tilavuudelle Σ E. Termodyaamisella rajalla (iso N, V), jossa tiloje spektristä tulee jatkuva, se saa tyypillisesti deltafuktioesitystä sileämmä muodo (ks. esimerkit alla). Esimerkki 1: Vapaa hiukkase tilatiheys Hiukkase Hamiltoi fuktio o H = p 2 /2m. Ku tarkastellaa hiukkasta laatikossa V = L 3, ovat ormitetut eergia omiaisfuktiot tuetusti missä k = 2π L ( x, y, z ) ja p 2 = ħ 2 k 2. Tilakertymäfuktio o yt Ψ k (r ) = 1 V eik r 12

13 J(E) = θ (E ħ2 k 2 2m ) jatkumo gv (2π) 3 d3 k θ (E ħ2 k 2 2m ) x, y, z = gv (2π) 3 4π 1 (2mE) 3/2 3 (ħ) 3 = 4π 3 gv (2mE)3/2 h 3 missä g o esim. spiistä johtuva mahdollie degeeraatiotekijä. Tilatiheys saa puolestaa arvo ω 1 (E) = dj(e) de gv = 2π h 3 (2m)3/2 E 1/2 C 1 VE 1/2, Esimerkki 2: N: vapaa hiukkase tilatiheys. C 1 = 2πg( 2m h 2 )3/2. Nyt H = ħ2 2 N k i i=1 ja 2m J(E) = θ (E ħ2k i ) 2m x, y, z i=1 x, y, z N 2 g N V N (2π) 3N d 3 k 1 d 3 k N θ (E ħ2 2 N k i i=1 ) 2m Itegraali vastaa selvästi 2mE/ħ -säteise 3N -ulotteise pallo tilavuutta, joka yleie kaava o tuetusti V d = πd/2 r d Γ ( d ) Tästä saadaa ottamalla huomioo N: idettise hiukkase permutaatioista klassisesti tuleva N! ja edellee J N (E) = g N V N π 3N/2 ( 2mE 3N ħ ) (2π) 3N Γ ( 3N 2 ω N (E) = dj N(E) de + 1) N! = 3N gnvn π 2 (2mE) 3N/2 h 3N Γ ( 3N + 1) N! 2 = gn V N π 3N 2 (2m) 3N/2 E 3N 2 1 N! h 3N Γ ( 3N 2 ) 13

14 = (C 2V) N E 3N 2 1 N! Γ ( 3N, jossa C 2 = g(2πm)3/2 2 ) h 3. O hyvä huomata, että tässä johdettu tulos o oikea aioastaa klassisella rajalla, jossa yksikää kvattitila ei ole moikertaisesti miehitetty. Oikeisii bose- ja fermikaasuje kvattistatistiikkoihi palaamme myöhemmi. 14