S Fysiikka IV (Sf) tentti

Transkriptio

1 S Fysii IV (Sf) tetti Oletet, että protoi j eletroi välie vetovoim o verrollie suureesee r ( F r) eiä etäisyyde eliö ääteisrvoo ( F / r ) Käytä ulmliiemäärä vtittumissäätöä j osoit, että sttioääriste rtoje säteet ovt r ( / ) 1/ m j että eergit ovt E ω, missä ω o mss m omv hiuse iertoliiee ulmtjuus tässä voimetässä Rtisu: Bohri mlli vtisoitiehto o L ;,1,,3, (1) Jos oletmme rd ympyrä muotoisesi L mrv v () mr Tsiselle ympyräliieelle pätee (sijoitet lopusi yhtälö ()) mv m r r r 3 (3) r m mr Rtisemll r r m m 1/ (4) Meritsemällä osillttori ulmtjuutt ω / m sd ooiseergisi: 1 1 E mv + r r / m ω, (5) m missä äytettii toistmisee yhtälöä () Void osoitt, että esti vttimeie rtisu o 3 E + ω, missä (3/) ω o s ollpiste-eergi Huom, että myös hrmoie osillttori toteutt viriliteoreem, jo yleisessä muodoss irjoitet Ei 1 r V (6) lssisess meiiss troitt iesirvo j vttimeiiss o suuree odotusrvo Void osoitt, että teoreem (6) yleistys joht relisu tilyhtälö muotoo

2 1 pv ν RT + ij ij 3 F r ii prit ve missä ve troitt iesirvo Normitettu Gussie ltopetti o muoto 1/4 x / ψ ( x) e ; < x< (1) π ) Lse pioorditi stdrdipoiem tälle ltopetille b) Lse liiemäärä todeäöisyysjum yhtälö (1) ltopetille c) Lse liiemäärä epämääräisyys (stdrdipoiem) j osoit, että pi j liiemäärä epämääräisyydet toteuttvt Heisebergi reltio Apueuvoj x π x 1 π dxe ; dxx e 1/ 1/ 1/ Ax ibx π B A dxe e /4 ; A > A Rtisu: ) Pioorditi stdrdipoiem sd odotusrvost x ( x x ) Kos ltopetti o symmetrie origo suhtee * x ψ( x) xψ( x) dx jote pi epämääräisyydesi sd 1/ 1/ 1/ x x x x ψ( x) x ψ( x) dx e x e dx π Missä äytettii ettuj itegrlej * / / 1 b) Liiemäärä todeäöisyysjum sd lsemll ltopeti projetio tiettyy liiemääräoperttori omiistil Liiemääräoperttori omiistil o tsolto ipx / Cexp( ipx/ ) Projetio φ ( p) määräämie tphtuu ertomll (1) omiistilll Ce j itegroimll yli pioorditi:

3 ipx / ψ φ p C x e dx Tämä lset etull itegroitivll, jolloi sd 1/ 4 1/ 1/4 π p / π p / φ( p) C e C e π Liiemäärä todeäöisyysjum o siis 1/4 π p / 1 p / φ( p) C e e π, missä lopusi määräsimme ormitusvio C site, että φ( p) dp 1 (1) Yhtälö (1) mu todeäöisyys sille, että hiuse liiemäärä o välillä [ pp, dp] φ ( p) +, o dp Liiemäärä todeäöisyysjum o siis myös Gussi jum, jo p 1/ stdrdipoiem o c) Aluperäise pimuuttujst riippuv ltopeti liiemäärä epämääräisyys sd yhtälöstä p ( p p ) Symmetri perusteell jällee p, sillä pψ( x) i / z ψ( x) i xψ( x) Vstvsti liiemäärä eliölle sd [ ] p ψ( x) i / x i xψ( x) ψ( x) x ψ( x) jote äyttäe ltopeti ormitust j ) ohd tulost smme 1 1 p p Tästä huommme, että Cexp( ipx/ ) ltopetti toteutt Heisebergi epämääräisyysperittee x p / Lˆ ˆ z, L 3 Lse ommutttorit j Lˆ, ˆ x L y Oo siis mhdollist, että hiue o tilss, joss se ulmliiemäärä z-ompoetill j ulmliiemäärä itseisrvoll o smiisesti

4 tr rvo? Etä oo mhdollist mitt si ulmliiemäärävetori ompoetti trsti yhtäiisesti? Rtisu Johdet pri putulost (operttorihtut jätetty pois ): [ ] Lx, x ypz zpy, x [ ] Lx, y ypz zpy, y z py, y i z Lset seurvsi Lˆ, ˆ x L y Lˆ, ˆ x L y ypz zpy, Ly y pz, Ly z, Ly py y i p i x p i L x y z Vstvsti osoitet, että Lˆ, ˆ y L z i Lx Lˆ, ˆ z L x i Ly Lopusi Lˆ ˆ z, L ˆ ˆ Lz, L Lz, Lx Lz, Ly + [ Lz, Lx] Lx + Lx[ Lz, Lx] + Lz, Ly Ly Ly Lz, Ly ( i Ly) Lx Lx( i Ly) ( i Lx) Ly Ly( i Lx) Tässä äytettii seurvi helposti osoitettvi ommutttorie omiisuusi: AA, AB, B[ AB, ] + [ AB, ] B Kulmliiemäärä z-ompoetti voi siis sd smiisesti ulmliiemäärä itseisrvo ss tr rvo Se sij hiue ei voi oll tilss, joss se hdell ulmliiemäärä vetoriompoetill olisi tr rvo 4 Osoit, että tight-bidig ltofutio ψ φ( ) ix esittää muodoss ψ ( x) e u ( x), missä u ( x ) u ( x) ix ( x) x x e o Blochi til eli void +

5 Rtisu Voimme irjoitt tight-bidig ltofutio muodoss ix ( ψ x e x x e ) e u x i x x ix φ, missä φ ( ) o s tomie Blochi futio u x x x e ( ) i x x Osoitmme, että u ( x+ ) u ( x) : u x x x e x x e i x+ x i x x 1 ( + ) φ( + ) φ( 1 ) (1) missä äytimme x ( 1) Käytämme yt hyväsi s periodist reuehto, jo mu ideree toistuu i N: tomi pituisi jsoi Tällöi hilpi x jtell vstv jso viimeistä hilpi N Summidesi 1 äy siis läpi ii hilpit, jote voimme irjoitt u x x x e x x e u x i x x 1 i x x ( + ) φ( 1 ) φ( ) () eli tight-bidig ltofutio toteutt Blochi teoreem Edellä miittu periodist reuehto voi perustell myös site, että os N o erittäi suuri luu (iteessä o ussi dimesioss miljoo tomi millimetriä ohde) yhde hilpi siirrose iheuttm virhe o meritysettömä piei oo ltofutiot jtelle 5 Hiue o 1-ulotteise potetilibosi perustilss Bosi leveys o lusi Yhtäiä, ltio leveys muutet rvoo Potetililtio levetessä ltofutio muuttuu jtuvsti, ts ltofutio o jtuv j suhtee Millä todeäöisyydellä hiuselle hvit eri eergi rvoj se jälee u potetililtio o ljetuut j mitä ovt mhdolliset mittustulose stvt eergi rvot Lse umerorvo todeäöisyydelle, että hiuse eergisi mitt π m eli eergi, jo hiusell oli ee potetili muutost Aputulos:

6 π x si dx 1 Rtisu Tämä tehtävä o helpoi ymmärtää iriippuvll trstelull Ee heteä t hiue o sellise potetililtio perustilss, jo sijitsee x-seli välillä [, ] Hiuse ltofutio o siis ψl ( xt, ) si π x / j yseessä o sttioäärie til Ku ltio yhtäiä ljeee siertisesi, hiue ei ole eää uude ljetuee ltio perustilss, v tietyllä äärellisellä todeäöisyydellä uude ltio iiss eri omiistiloiss Todeäöisyys hiuse siirtymiselle ljemm ltio eri omiistiloihi sd lsettu ltofutio jtuvuude vull ts Altofutio heteä ee ljeemist ltofutio heti ljeemise jälee: ψ 1 ( xt, ) si πx / ψ ( xt, ) C si πx / (1) L L 1 Tässä esiityvät tutemttomt ertoimet rtist ertomll yhtälö (1) vsemmlt ljemm ltio omiistilll 1 si m x/ π j itegroimll yli väli [ ] omiistiloje ortoormeerusomiisuutt (ortogolisuus + ormitus):,, seä äyttämällä 1 si mπx / si πx / dx C si mπx / si πx / dx 1 C δ C 1 m m Huom, että vsemmll puolell itegrli lset vi luperäiselle ltiolle, os se ltofutiot ovt olli lueell [, ] Yhtälöstä () sd edellee yleisesti () C si mπx / si πx / dx (3) m

7 Yhtälö (3) muisill ertoimill srjehitelmä (1) o vlmiisi ormitettu, ts ertoimie itseisrvoje eliöide summ o 1 Seurvsi lset todeäöisyys sille, että ltio ljeemise jälee sd eergi mittusess luperäie eergi π m Ljemm π ltio eergit ovt, jote luperäie eergi vst ljemm ltio 8m esimmäistä viritettyä til, joss Vstv erroi ehitelmässä (1) o yhtälö (3) mu 1 C x x dx x dx si π / si π / ( si π / ) Todeäöisyys sille, että hvitsemme tätä til vstv eergi, o tämä ertoime (itseisrvo) eliö: P C 1/ ts luperäie eergi hvit 5 % todeäöisyydellä Vi eergill voi lopputilss oll useit mhdollisi rvoj, ii eergi odotusrvo säilyy muuttumttom, sillä molemmiss tpusiss se lset odotusrvo * ˆ * ˆ π ψl ( xt, ) HψL ( xt, ) dx ψl ( xt, ) HψL ( xt, ) dx m Huom, että oiell itegroitilueell [, ] Fourierehitelmä (1) smmutt siellä itsesä ltofutio o jtuvuude perusteell ts 6 Osoit, että ooisulmliiemäärällä 1 + ( l 1)( l 1) + + mhdollist rvo 1 Rtisu L L L, missä L l l + 1 ; i 1, o i i i Kooisulmliiemäärävetori voi sd rvot ( 1 ) ; 1,,, 1 L l l+ l l l l + l M m ; m l,, l L l l

8 Tiloje ooismäärä o siis (ritmeettise srj summ vull) l + l l l + l 1 1 l l + l m l l l + l 1 1 ( l+ 1) l1+ l l1+ l + 1 ( l1+ l) + 1+ l1+ l l 1 Jost supistmll l + l l l + 1 l + l + 1+ l l l + l + 1 l l l + 1 l + 1 Vioit e p m 9,191 1 g m 1, g m 1, g mu 1, g c µ B e 1, 61 1 C, m/s 1, Js 9, 73 1 JT Ke Km ε 8, C N m 1/ 4πε µ 1, mgc µ / 4π A γ 6, 67 1 Nm g N 6, 5 1 mol R 8, 3143 JK mol 1,385 1 JK