KIINTEÄN AINEEN MEKANIIKAN PERUSTEET

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "KIINTEÄN AINEEN MEKANIIKAN PERUSTEET"

Transkriptio

1 KIINTÄN AINN MKANIIKAN PRUSTT YHTÄLÖKOKOLMA Kari Santao Pitkä versio Opiskelin nimi opiskelinumero Voisitteko ystävällisesti ilmoittaa tässä yhtälökokoelmassa havaitsemistanne virheistä puutteista. Ota tämä yhtälökokoelma mukaan tenttiin välikokeeseen. Älä tee tähän mitään merkintöjä. Tutustu yhtälökokoelmaan, jotta tiedät mitä siinä on missä järjestyksessä yhtälöt on esitetty. Jos tenttiin tullessasi huomaat, että yhtälökokoelma on unohtunut kotiin, pyydä kokeen valvolta uusi kopio. (6)

2 Myös lujuusopissa käytetään Newtonin. lakia, joka on jossa PF on voimavektori, m on massa Pa on partikkelin kiihtyvyys. PF m Pa, () Insinöörijännityksen σ ins todellisen normaalijännityksen σ tod arvot voidaan laskea yhteyksistä σ ins N A 0 σ tod N A, () joissa N on normaalivoima, A 0 on rakenteen alkuperäinen poikkipinta-ala A on rakenteen todellinen poikkipinta-ala. Normaalivoima N on positiivinen aiheuttaessaan vetojännityksen. Poikkileikkauksessa A vaikuttava keskimääräisen normaalijännityksen arvo saadaan yhteydestä σ kesk σ kesk N A. (3) Poikkileikkauksessa A vaikuttava keskimääräisen leikkausjännityksen τ kesk arvo saadaan yhteydestä jossa Q on leikkausvoima. τ kesk Q A, (4) Mittavälin pituuden muutoksen ΔLsuhde alkuperäiseen pituuteen L 0 on nimeltään insinöörivenymä eli venymä ε se määritellään seuraavalla tavalla ε L & L 0 L 0 ΔL L 0. (5) Yllä olevassa yhteydessä mitta L 0 on alkuperäinen mittapituus mitta L on mittapituuden suuruus nykytilassa. Todellinen venymä on ε tod ε tod L L 0 L dl ln L % ΔL 0 ln % ε ins. (6) L 0 Tilavuudenlaajenemiskerroin e määritellään seuraavasti: e : dv & dv 0 dv 0 josta saadaan e ε % ε y % ε z. (7) Liukukulman tai toiselta nimeltään liukuman γ suuruus saadaan piirtämällä kappaleeseen alkutilassa suora kulma. Olkoon tämän kulman suuruus nykytilassa α. Liukuman γ suuruus saadaan yhteydestä γ π & α (8) Hooken lain mukaan normaalijännityksen σ (leikkausjännityksen τ) venymän ε (liukuman γ) välinen riippuvuus on lineaarinen eli σ ε e τ G γ e, (9) joissa on kimmokerroin G on liukukerroin joissa yläindeksi e viittaa elastiseen muodonmuutokseen. (6)

3 Jos käytetään merkintää ε e ilmaisemaan elastista venymää kuormittavan voiman F vaikutussuunnassa merkintää ε e z ilmaisemaan elastisia venymiä voiman F vaikutussuuntaa vastaan kohtisuorissa suunnissa, voidaan kirjoittaa ν : & εe z, josta seuraa ε e z &νεe. (0) ε e Yllä olevassa määritelmässä oleva merkintä ν on Poissonin luku. Kimmo-, liuku- G suppeumakertoimen ν välinen yhteys on G (% ν). () Ramberg Osgood ovat esittäneet seuraavanlaisen epälineaarisen konstitutiivisen yhteyden ε σ % c σ jossa olevien materiaalivakioiden arvot määritetään kokeellisesti. n, () Jos materiaalin muodonmuutos koostuu lineaarisesta elastisuudesta lämpölaajenemisesta, saadaan kokonaisvenymä ε Hooken lain mukaisen venymän lämpölaajenemisen summana yhteydestä ε e ε T ε ε e % ε T jossa ε e σ ε T α ΔT. (3) Yllä olevassa α on pituuden lämpötilakerroin. Nortonin laki on Strain hardening malli on ε0 v ε0 re σ σ re n. (4) ε0 v ε0 re g v k f (σ), (5) jossa jännitysriippuvuus f(σ) voi olla samanlainen kuin Nortonin laissa. Suosittelen primääri- sekundäärivirumisen mallintamiseen ranskalaisten käyttämää mallia, joka yksinkertaistettuna voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon ε0 v ε0 re σ & β σ re n β 0 a ε0 v & b β σ re m. (6) Tarkastellaan pieniä muodonmuutoksia, jolloin *ε* < 0,. Tällöin (kokonais)venymä voidaan ilmaista osiensa summana seuraavasti ε ε e % ε T % ε p % ε v. (7) Yllä olevan yhtälöön venymätermit kuvaavat eri muodonmuutosmekanisme. Termi on elastinen venymä, termi ε T on lämpövenymä, termi ε p on plastinen venymä termi ε v on virumisvenymä. ε e 3(6)

4 Loven muotoluku α on jossa σ ma on suurin jännitys σ nim on nimellinen jännitys. Sallitun kuormituksen varmuusluku e ỹ : A b n sall n sall Määritellään vaikuttavan kuormituksen varmuusluku : n vaik : α σma σ nim, (8) Kriittinen kuormitus Sallittu kuormitus Poikkipinnan painopisteen paikka saadaan yhteydestä määritellään seuraavalla tavalla: n vaik, joka on A b ỹ da e z :. (9) Kriittinen kuormitus Vaikuttava kuormitus. (0) A b A b z da, joissa (ỹ, z) on mielivaltainen A b :n virittämässä tasossa oleva koordinaatisto. Jos (ỹ, z) on painopistekoordinaatisto, on yllä olevien integraalien arvo nolla. Jos pinta-ala A b voidaan kaa osiin A, A, A 3 jne., voidaan painopisteen paikka laskea yhtälöstä e ỹ (A % A % A 3 %...) e ỹ A ỹ % e ỹ A % e ỹ3 A 3 %... () Koordinaatisto (y,z ) on poikkileikkauksen A (uuman) painopisteessä siitseva koordinaatisto mitta e ỹ merkkinen etäisyys ỹ-akselista y -akseliin. Palkin resultanttinormaalivoima N (), resultanttileikkausvoima Q y () resultanttitaivutusmomentti M z () määritellään seuraavasti () N () : A da Q y () : A τ y da vielä M z () : joissa (,y,z), τ y τ y (,y,z) A on palkin poikkipinta-ala. A y da, (3) Yhden muuttun funktion f() arvoa pisteessä 0 % Δ voidaan arvioida ottamalla Taylorin sarsta kaksi ensimmäistä termiä. Tällöin saadaan f( 0 % Δ). f( 0 ) % Mf( ) 0 Δ eli f( 0 % Δ). f( 0 ) % fn( 0 ) Δ. (4) Kahden muuttun funktion g(,y) arvoa pisteessä ( 0 % Δ,y 0 % Δ y ) voidaan arvioida ottamalla Taylorin sarsta kolme ensimmäistä termiä. Tällöin saadaan g( 0 % Δ,y 0 % Δ y ). g( 0,y 0 ) % Mg(,y ) 0 0 dm z () d Q y () dq y () d Δ % Mg( 0,y 0 ) My Δ y. (5) Suoran palkin kautuneen kuorman, leikkausvoiman taivutusmomentin välillä q y () Q y () M z () vallitsevat seuraavat yhteydet &q y (). (6) 4(6)

5 Taulukko. rilaisten tkuvien kuormien q y () aiheuttamia resultanttileikkausvoimakuvaajiaq y () resultanttitaivutusmomenttikuvaajia M z (). Ohessa myös vastaavat graafiset kuvaat vapaasti tuetulle palkille. Kuormitus Vaste Leikkausvoima Q y () Taivutusmomentti M z () q y () q 0 q 0 (+) (-) (+) y Q y () &q 0 M z () & q 0 y c q 0 (+) (-) (+) q y () q 0 c Q y () &q 0 c M z () & q 0 3 6c q 0 c y q y () q 0 & c (+) (-) Q y () &q 0 & c (+) M z () &q 0 & 3 6c Taivutetun suoran palkin normaalijännityksen σ arvo saadaan yhtälöstä (,y) M z () I z () y % N () A(). (7) Jäyhyysmomentti z-akselin suhteen I z () jäyhyysmomentti y-akselin suhteen I y () sekä keskipakomomentti I yz () polaarinen jäyhyysmomentti I p () ovat I z () : A b y da I y () : A b z da I yz () : A b yz da (8) I p () : A b r da. (9) Ylläolevissa määritelmissä A b on palkin poikkipinta-ala r on pisteen etäisyys origosta. Vastaavasti 5(6)

6 I z Kuva. Jäyhyysmomentin I z arvon laskeminen jäyhyysmomentista. I z Kuva. (a) Monimutkaisen profiilin ko osa-alueisiin (b) osa-alue A. A b y da niin edelleen. (30) Steinerin säännön. muoto. Olkoon poikkileikkauksen painopisteakselisto (y,z). Olkoon toinen (lähes) mielivaltainen koordinaatisto (ỹ, z). Oletetaan, että jäyhyysmomentin arvo tunnetaan koordinaatiston (ỹ, z) suhteen että halutaan määrittää sen arvo painopistekoordinaatiston (y,z) suhteen. Tällöin käytetään yhtälöitä lopuksi I z () I z () & (e ỹ) A b (3) I y () Iỹ() & (e z ) A b (3) I yz () Iỹ z () & e ỹ e z A b. (33) Steinerin säännön. muoto. Joskus voidaan palkin poikkileikkaus atella koostuneeksi osa-alueista A, A, A 3 jne. Kuvan (a) osoittamalla tavalla. Jos näiden osa-alueiden painopisteiden paikat jäyhyysmomentit omien painopisteittensä suhteen on helppo laskea, voidaan koko poikkileikkauksen jäyhyysmomentti laskea osa-alueiden jäyhyysmomenteista Steinerin säännön. muodon avulla. Koko poikkileikkauksen jäyhyysmomentit koko poikkileikkauksen painopisteakselin suhteen saadaan yhtälöistä I z () Σ n I zi () % (e yi ) A i (34) momentit oman painopisteakselistonsa (y i,z i ) suhteen. A b I y () Σ n lopuksi I yz () Σ n i i i I yi () % (e zi ) A i (35) I yizi () % e yi e zi A i. (36) Yllä olevissa yhtälöissä oikean puolen. termit ovat osa-alueiden jäyhyys- Reikäsääntö. Jos perusmuodon reikien y-akselit yhtyvät [laskettaessa jäyhyysmomenttia I z () ] tai perusmuodon reikien z -akselit yhtyvät [laskettaessa jäyhyysmomenttia I y () ], voidaan käyttää reikäsääntöä. Se on A i I z () I umpi z () & I z () & I z (). (37) Kuva 0. Poikkileikkaus, jossa on reikiä reikäsäännön edellyttämällä tavalla. 6(6)

7 Ympyrän muotoiselle poikkileikkaukselle, jonka säde on a, suorakaiteen muotoiselle poikkileikkaukselle, jonka leveys on b korkeus on h, on johdettu seuraavat tulokset I z () I y () π a 4 4 I p () π a 4 Palkin poikkileikkauksen pääjäyhyyksien arvot saadaan yhtälöistä I z () bh3 (38) I I y % I z Jäyhyysmomenttia % (I z & I y ) % 4 I yz I I y % I z I () vastaava suunta saadaan yhteydestä & (I z & I y ) % 4 I yz. (39) tanα I & I y I yz. (40) Tarkastellaan palkkia, jonka poikkileikkaus ei muutu. Paikassa, jossa normaalivoiman N () suuruus ei muutu, vallitsee seuraavanlainen leikkausjännitys τ y (,y) Q y () S z (y) I z b(y) jossa S z (y) A y da. (4) Funktio S z (y) on tason y y alapuolella olevan poikkileikkauspinnan staattinen momentti painopisteakselin z suhteen. Suoran palkin kimmoviivan d v() d & M z () () I z () v() differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa seuraavilla tavoilla d d () I z () d v() d & dm z () d &Q y () (4) vielä d d () I z () d v() d q y () Viimeisessä yhtälössä r() on palkin kaarevuussäde. r() & d v(). (43) d Tässä kurssissa Cauchyn jännitystensori σ c määritellään käyttäen yhtälöä Pn" σ c : Pt, jossa Pn" Pn, (44) jossa Pn on (kuvitellusta) kappaleesta ulospäin suuntautuva yksikkönormaali jossa Pt on traktio. Ne ovat Liikemäärän taseen periaate (laki) on LL MV Pt da % V ρ Pb dv D Dt V ρ Pv dv. (45) Liikeyhtälöt ovat (,yz)-koordinaatistossa 7(6)

8 M % Mτ y My % Mτ z Mz % ρ 0 b ρ 0 0v Mτ y % Mσ y My % Mτ zy Mz % ρ 0 b y ρ 0 0v y (46) Mτ z % Mτ yz My % Mσ z Mz % ρ 0 b z ρ 0 0v z. Jos yllä olevien yhtälöiden oikeat puolet voidaan pieninä termeinä olettaa nolliksi, yhtälöitä kutsutaan tasapainoyhtälöiksi. Liikemäärän momentin periaate (laki) on LL MV ( Pr Pt )da % V ( Pr ρ Pb )dv D Dt V ( Pr ρ Pv )dv. Liikemäärän momentin taseen laista saadaan tulokseksi se, että jännitystensori σ τ y τ y, τ zy τ yz τ z τ z. (48) (47) on symmetrinen eli Kaksiaksiaalisessa tilanteessa Greenin venymämatriisin [] komponentit saadaan yhteydestä dpş" δpş & dps" δps (ε G d δ % γg y dy δ % γg y d δy % εg y dy δy). (49) Kaksiaksiaalisessa tilanteessa Greenin venymämatriisin [] komponentit ovat ε G Mu % Mu % Mv (50) ε G y Mv My % Mv My % Mu My (5) vielä γg y Mu My % Mv % Mu Mu My % Mv Mv My (5) lopuksi γg y Mu My % Mv % Mv Mv My % Mu Mu My. (53) Tarkastellaan jännityksiä kolmiaksiaalisessa tilanteessa. Oletetaan, että jännityskomponenttien arvot tunnetaan (,y,z) -koordinaatistossa. Normaalijännityksen σ n, joka vaikuttaa oheisessa kuvassa olevan yksikkönormaalin Pn ilmaisemassa suunnassa, arvo saadaan tällöin yhtälöstä 8(6)

9 σ n cos θ % σ y cos θ y % σ z cos θ z % τ y cosθ cosθ y % τ yz cosθ y cosθ z % τ z cosθ cosθ z, (54) Yllä olevassa muunnosyhtälössä olevien kulmien z (θ,θ y,θ z ) välillä vallitsee yhteys cos θ % cos θ y % cos θ z. (55) Tarkastellaan kahta erikoistapausta: θ θ z θ y n y () Materiaalin pisteessä vallitsee tasojännitystila σ z τ yz τ z / 0. () Materiaalin pisteessä vallitsee kolmiaksiaalinen jännitystila, mutta jännityksiä tarkastellaan tasoissa, joiden normaalit ovat z -akselia vastaan kohtisuorassa. Tällöin ovat voimassa muunnosyhtälöt σ n cos θ % σ y sin θ % τ y cosθ sinθ (56) τ nt &( & σ y )sinθ cosθ & τ y (sin θ & cos θ). (57) Kolmiulotteisessa tapauksessa pääjännitykset σ I $ σ II $ σ III saadaan karakteristisen yhtälön juurina. Karakteristinen yhtälö on σ 3 & ( % σ y % σ z ) σ % ( σ y % σ y σ z % σ z & τ y & τ yz & τ z ) σ & σ y σ z & τ y τ yz τ z % τ yz % σ y τ z % σ z τ y 0. (58) Pääleikkausjännitykset saadaan yhteyksistä τ,τ,τ 3 τ joista saadaan ± σ I & σ III τ ± σ I & σ II vielä τ 3 ± σ II & σ III, (59) τ ma σ I & σ III. (60) Jos tiedetään, että yksi pääjännityksistä on tiettyä tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa, niin kaksi muuta pääjännitystä on tässä tasossa. Niiden suuruudet saadaan yhtälöistä σ, % σ y ± ( & σ y ) % 4 τ y (6) Pääjännityksiä vastaavat pääsuunnat ovat tanθ σ & τ y θ θ ± π. (6) 9(6)

10 Tässä tasossa olevien leikkausjännitysten ääriarvot ovat τ ma min ± σ & σ tanψ & & σ y τ y ψ ψ % π. (63) Tarkastellaan pisteiden P Q välistä venymää kolmiulotteisessa kappaleessa. Oletetaan, että venymäkomponenttien arvot tunnetaan (,y,z) -koordinaatistossa. Venymän g PQ, z joka vaikuttaa oheisessa kuvassa olevan na PQ virittämässä suunnassa, arvo ds saadaan tällöin yhtälöstä Q θ z g PQ g cos θ % g y cos θ y % g z cos θ z θ θ y (64) % γ y cosθ cosθ y % γ yz cosθ y cosθ z % γ z cosθ cosθ z. P y Yllä olevan muunnosyhtälön kulmien (θ,θ y,θ z ) välillä vallitsee yhteys cos θ % cos θ y % cos θ z. (65) Tarkastellaan kahta erikoistapausta: g PQ () Materiaalin pisteessä vallitsee tasovenymätila g z γ yz γ z / 0. () Materiaalin pisteessä vallitsee kolmiaksiaalinen venymätila, mutta venymiä tarkastellaan (,y) - tason suuntaisissa tasoissa. Tällöin ovat voimassa yhtälöt ε n ε cos θ % ε y sin θ % γ y sinθ cosθ (66) γ nt &(ε & ε y )sinθ cosθ & γ y (sin θ & cos θ). (67) Jos tiedetään, että yksi päävenymistä on tiettyä tasoa vastaan kohtisuorassa suunnassa, niin kaksi muuta päävenymää ovat tässä tasossa. Niiden suuruudet saadaan yhtälöistä ε, ε % ε y ± (ε & ε y ) % γ y. (68) Päävenymien suunnat saadaan yhteydestä Hooken laki on tann (ε & g ) γ y n n ± π. (69) ε e & ν (σ y % σ z ) γe y τ y G ε e y σ y & ν ( % σ z ) γe yz τ yz G (70) ε e z σ z & ν ( % σ y ) γe z τ z G. 0(6)

11 Yllä oleva yhteys pätee mielivaltaiselle koordinaatistolle (,y,z), joten päävenymien (ε,ε,ε 3 ) pääjännityksien (σ,σ,σ 3 ) välinen yhteys on ε e σ & ν (σ % σ 3 ) γe / 0 ε e σ & ν (σ % σ 3 ) γe 3 / 0 (7) ε e 3 σ 3 & ν (σ % σ ) γe 3 / 0. Ottamalla käyttöön (elastinen) tilavuuden-laajenemiskerroin e e [pienet muodonmuutokset] eli Yllä olevasta Hooken laista saadaan e e ε e % εe y % εe z ( ε e % εe % εe 3 ) (7) % ν ε e % ν & ν ee τ y G γ e y σ y % ν ε e y % ν & ν ee τ yz G γ e yz (73) σ z % ν ε e z % ν & ν ee τ z G γ e z. Jos lämpölaajeneminen otetaan huomioon, saadaan ε et & ν (σ y % σ z ) % α ΔT γet y τ y G ε et y σ & ν (σ % σ y z ) % α ΔT γet yz τ yz G (74) ε et z σ & ν (σ % σ z y ) % α ΔT γet z τ z G. % ν ε et % ν & ν eet & α ΔT & ν τ y G γ et y σ y % ν ε et y % ν & ν eet & α ΔT & ν τ yz G γ et yz (75) σ z % ν ε et z % ν & ν eet & α ΔT & ν τ z G γ et z. Ottamalla käyttöön jännitystilan ensimmäinen invariantti s, joka määritellään s : % σ y % σ z σ % σ % σ 3 (76) (6)

12 voidaan johtaa yhteys Tasojännitystilassa e et & ν σ z τ yz τ z 0. Hooken laki saa tällöin muodot ε e & νσ y γ e y τ y G s % 3 α ΔT. (77) (% ν) τ y ε e y σ y & ν (78) Tasovenymätilassa σ y ε e z &ν % σ y. & ν (εe % νεe y ) τ y G γe y (% ν) γe y & ν (εe y % νεe ). ε e z γ e yz γ e z 0. Hooken laki saa tällöin muodot % ν εe % ν & ν (εe % εe y ) τ y G γe y (% ν) γe y (79) σ y % ν εe y % ν & ν (εe % εe y ) (80) σ z ε e ε e y % ν % ν % ν ν & ν (εe % εe y ). ( & ν) & νσ y γ e y τ y G ( & ν) σ y & ν. (% ν) Venymäliuskan vastuksen muutos ΔR saadaan yhteydestä ΔR k(t) g m % φ(t), (8) R jossa R on venymäliuskan vastus alkutilassa, k(t) on k-kerroin g m on liuskan mittaama mekaaninen venymä. Wheatstonen sillan ulostulojännite U A saadaan sillassa olevien vastusten resistanssien R, R, R 3 R 4 sekä syöttöjännitteen U avulla seuraavasti τ y (8) U A R R 3 & R R 4 (R % R )(R 3 % R 4 ) U. (83) Jos R R 3 R R 4, on Wheatstonen sillan ulostulojännite U A = 0 silta on tasapainossa. Tasapainotilasta poikkeutetun Wheatstonen sillan ulostulojännite U A on (6)

13 U A r ( % r) ΔR R & ΔR R % ΔR 3 R 3 & ΔR 4 R 4 U, (84) jossa R / R r. Määritellään muodonmuutosenergiatiheys w(ε e ) seuraavalla tavalla: w(ε e ) : ε e 0 dε e % σ y dεe y % σ z dεe z % τ y dγe y % τ yz dγe yz % τ z dγe z. (85) Koko kappaleen muodonmuutosenergia kappaleen tilavuuden V yli eli W saadaan integroimalla muodonmuutosenergiatiheys w(ε e ) W : V w(ε e )dv. Komplementaarinen muodonmuutosenergiatiheys w c (σ) määritellään seuraavalla tavalla: (86) w c (σ) : σ 0 ε e d % εe y dσ y % εe z dσ z % γe y dτ y % γe yz dτ yz % γe z dτ z. (87) Koko kappaleen komplementaarinen muodonmuutosenergia saadaan integroimalla komplementaarinen muodonmuutosenergiatiheys w c (σ) kappaleen tilavuuden V yli eli W c W c : V w c (σ) dv. (88) Jos materiaali on homogeenista jos lämpötilan vaikutukset voidaan jättää huomiotta muodonmuutosenergiatiheydellä w(ε e ) komplementaarisella muodonmuutosenergiatiheydellä w c (σ) on seuraavat ominaisuudet: Mw(εe ) Mε e ε e Mwc (σ) M. Yllä olevia yhtälöitä vastaavat yhtälöt ovat voimassa myös muille komponenteille. Funktion von Mises σ vm arvo saadaan yhtälöstä [σ vm ] : ( & σ y ) % (σ y & σ z ) % (σ z & ) % 3 τ y % τ yz % τ z. (90) Tarkastellaan poikkileikkaukseltaan pyöreän sauvan vääntöä. Sauvaa kuormittaa vääntömomentti M v, jolloin siihen syntyy kiertymiskulma n. Olkoon vääntösauvan säteen suuntainen koordinaatti r, materiaalin liukukerroin G vääntymä θ dn&d. Tällöin saadaan τ G θ r M v GI p θ jossa I p Jos sauvan pituus on l sen poikkileikkaus ei muutu, saadaan A r da. θ dn&d Y Δn θ l. (9) (89) (9) 3(6)

14 Ympyrän muotoisen onton poikkipinnan, jonka ulkosäde on a sisäsäde on b, polaarinen jäyhyysmomentti on Jos vääntöakseli siirtää tehon P, niin saadaan I p π (a 4 & b 4 ). (93) P ω M v jossa ω π n. (94) Yllä olevissa yhtälöissä ω on kulmanopeus n on pyörimisnopeus (kierrosnopeus). Tarkastellaan kahta rynnössä olevaa hammaspyörää, joiden halkaisit ovat. Merkitään näiden hammaspyörien kierrosnopeutta merkeillä. Tällöin saadaan välityssuhteeksi i n A n B d A d B i d A d B n B n A. (95) Sisäpuolisen ylipaineen p kuormittaman ohutseinämäisen painesäiliön kehänsuuntainen normaalijännitys σ n pituussuuntainen normaalijännitys saadaan yhteyksistä σ n pd t jossa D on painesäiliön ulkohalkaisi t on seinämän paksuus. pd 4 t, (96) Alla olevassa kuvassa on nomogramme, joiden avulla voi laskea akseleiden loven muotoluvun α arvo. 4(6)

15 /t 0,04 0,08 0,5 5 0,06 0, 0, 0,3 4 0,5 3,0,0 0,4 0,6 0,8,0 d/d /t 0,04 0,08 0,5 0,06 0, 0, 5 0,3 4 0,5 3 0,4 0,6 0,8,0 d/d,0,0 /t ,04 0,06 0,08 0, 0,5 0, 0,3 0,5,0,0 0,4 0,6 0,8,0 d/d F d D F M d t D M T d t D T t /t /t 0,04 0,06 0,08 5 0, 0,5 4 0, 0,3 3 0,5,0,0 0,4 0,6 0,8,0 d/d /t 0,04 0,06 0,08 5 0, 0,5 4 0, 0,3 3 0,5,0,0 0,4 0,6 0,8,0 d/d 0,04 0,06 0,08 0, 0,5 0, 0,3 0,5,0,0 0,4 0,6 0,8,0 d/d F D d t F M D t d M T D d t T 5(6)

16 Tarkastellaan keskeisesti puristetun voiman F kuormittaman sauvan nurhtamista. Olkoon nurhdussauvan taipuma v, jolloin nurhduksen differentiaaliyhtälö on v % k v 0, jossa k F I (97) dellä mainitun differentiaaliyhtälön ratkaisu on v C % C % C 3 cos(k) % C 4 sin(k). (98) ulerin nurhdustapausten nurhdusvoiman F n arvot saadaan yhteydestä F n µ π I l, (99) jossa µ on kiinnityksestä riippuva kerroin, l on sauvan pituus. ulerin tapaukset ovat F F F F uler uler uler 3 uler 4, Kiintea aine Yhtalokokoelma wpd/Santao 6(6)

Harjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 10. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri

Lisätiedot

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Ratkaisut 3. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

MEI Kontinuumimekaniikka

MEI Kontinuumimekaniikka MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 6. harjoitus jännitysmitat Ratkaisut T 1: Ohuen suoran sauvan pituus referenssitilassa on 0 ja poikkipinta-ala on A 0. Sauvan akselin suuntaisen

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä.

Harjoitus 1. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa [a), b)] ja laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkona 2.3. ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä puiseen kyyhkyslakkaan, jonka numero on 9. Arvostellut kotitehtäväpaperit palautetaan laskutuvassa.

Lisätiedot

8. Yhdistetyt rasitukset

8. Yhdistetyt rasitukset TAVOITTEET Analysoidaan ohutseinäisten painesäiliöiden jännitystilaa Tehdään yhteenveto edellisissä luennoissa olleille rasitustyypeille eli aksiaalikuormalle, väännölle, taivutukselle ja leikkausvoimalle.

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET Suoran sauvan veto tai puristus Jännityksen ja venymän välinen yhteys SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillinen suunnittelu 18 1.5 Lujuusopin

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34

2 LUJUUSOPIN PERUSKÄSITTEET 25 2.1 Suoran sauvan veto tai puristus 25. 2.2 Jännityksen ja venymän välinen yhteys 34 SISÄLLYSLUETTELO Kirjallisuusluettelo 12 1 JOHDANTO 13 1.1 Lujuusopin sisältö ja tavoitteet 13 1.2 Lujuusopin jako 15 1.3 Mekaniikan mallin muodostaminen 16 1.4 Lujuusopillisen suunnitteluprosessin kulku

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat

TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat TAVOITTEET Määrittää taivutuksen normaalijännitykset Miten määritetään leikkaus- ja taivutusmomenttijakaumat Lasketaan suurimmat leikkaus- ja taivutusrasitukset Analysoidaan sauvoja, jotka ovat suoria,

Lisätiedot

Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen

Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Koesuunnitelma Kimmokertoimien todentaminen Ryhmä S: Pekka Vartiainen 427971 Jari Villanen 69830F Anssi Petäjä 433978 Sisällysluettelo 1 Johdanto...

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

Lämpötila Lämpölaajeneminen Ideaalikaasu. Luku 17

Lämpötila Lämpölaajeneminen Ideaalikaasu. Luku 17 Lämpötila Lämpölaajeneminen Ideaalikaasu Luku 17 Ch 17-1 3 Termodynaaminen tasapaino Termodynaaminen tasapaino: Tuotaessa kaksi systeemiä lämpökontaktiin niiden termodynaaminen tasapaino on saavutettu,

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti

Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi

Lisätiedot

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät

normaali- ja leikkaus jännitysten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot, joista suurimmat normaali- ja leikkausjännitykset löytyvät TAVOITTEET Johdetaan htälöt, joilla muutetaan jännitskomponentit koordinaatistosta toiseen Kätetään muunnoshtälöitä suurimpien normaali- ja leikkaus jännitsten laskemiseen pisteessä Määritetään ne tasot,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

Ch 12-4&5 Elastisuudesta ja lujuudesta

Ch 12-4&5 Elastisuudesta ja lujuudesta Ch 12-4&5 Elastisuudesta ja lujuudesta Jännitys ja venymä Hooken laki F = k l Δl = 1 k F Jousivakio k riippuu langan dimensioista Saadaan malli Δl = l o EA F k = E A l o Lisäksi tarvitaan materiaalia kuvaava

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 6 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Mekaniikan peruslait (liikelait). Liikemäärän momentin tase. Kappaleen massan vaikutusmitat. Jäykän

Lisätiedot

1. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut

1. kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut . kotitehtäväsarja - Einsteinin summaussääntö ja jännitystila - malliratkaisut Tehtävä. Ovatko seuraavat indeksimuotoiset lausekkeet karteesisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa oikein, perustelu?

Lisätiedot

Mitoitetaan MäkeläAlu Oy:n materiaalivaraston kaksiaukkoinen hyllypalkki.

Mitoitetaan MäkeläAlu Oy:n materiaalivaraston kaksiaukkoinen hyllypalkki. YLEISTÄ Mitoitetaan MäkeläAlu Oy:n materiaalivaraston kaksiaukkoinen hyllypalkki. Kaksi 57 mm päässä toisistaan olevaa U70x80x alumiiniprofiilia muodostaa varastohyllypalkkiparin, joiden ylälaippojen päälle

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja

Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti määräämättömiä vääntösauvoja TAVOITTEET Tutkitaan väännön vaikutusta suoraan sauvaan Määritetään vääntökuormitetun sauvan jännitysjakauma Määritetään vääntökuormitetun sauvan kiertymä kimmoisella kuormitusalueella Tutkitaan staattisesti

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Pullon venymän mittaaminen KON-C3004 Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Henri Järlström ja Olli Sarainmaa

Pullon venymän mittaaminen KON-C3004 Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. Henri Järlström ja Olli Sarainmaa Pullon venymän mittaaminen KON-C3004 Kone- ja rakennustekniikan laboratoriotyöt Henri Järlström 355690 ja Olli Sarainmaa 220013 Sisällysluettelo 1 Johdanto...2 2 Teoria...2 3 Tutkimusmenetelmät...3 3.1

Lisätiedot

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä

Lisätiedot

Luvun 5 laskuesimerkit

Luvun 5 laskuesimerkit Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.

Lisätiedot

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä. JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/2017

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/2017 KJR-C00 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 47/017 1. Määritä oheisen kuvan mukaisen kanaalin portin

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Harjoituksia ja laskettuja esimerkkejä 1 / 37 Luennon sisältö Johdanto

Lisätiedot

Työ 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA

Työ 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/5 Työ 4B8B S4h. AINEEN PITUUDEN MUUTOKSISTA TYÖN TAVOITE Tavoitteena on ymmärtää aineen kimmoisuuteen liittyviä käsitteitä sekä aineen lämpölaajenemista. Sovelluksena

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Massakeskipiste Kosketusvoimat

Massakeskipiste Kosketusvoimat Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike

4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike Mansfield and O Sullivan: Understandin physics, painos 1999, kpl 4. Näitä löytyy myös Youn and Freedman: University physics -teoksen luvuissa 4, osin myös luvuissa 3 ja 5. 4 Kaksi- ja kolmiulotteinen liike

Lisätiedot

CHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet

CHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet CHEM-A1410 Materiaalitieteen perusteet Laskuharjoitus 18.9.2017, Materiaalien ominaisuudet Tämä harjoitus ei ole arvioitava, mutta tämän tyyppisiä tehtäviä saattaa olla tentissä. Tehtävät perustuvat kurssikirjaan.

Lisätiedot

Luento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä

Luento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 2 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertaus edelliseltä luennolta sekä ristituloista. Mekaniikan koordinaatistot: pallokoordinaatisto. Vakiovektorin muutosnopeus (kantavektorin

Lisätiedot

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ

7. Suora leikkaus TAVOITTEET 7. Suora leikkaus SISÄLTÖ TAVOITTEET Kehitetään menetelmä, jolla selvitetään homogeenisen, prismaattisen suoran sauvan leikkausjännitysjakauma kun materiaali käyttäytyy lineaarielastisesti Menetelmä rajataan määrätyn tyyppisiin

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen 1/16

MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen 1/16 1/16 MITOITUSTEHTÄVÄ: I Rakennemallin muodostaminen Mitoitettava hitsattu palkki on rakenneosa sellaisessa rakennuksessa, joka kuuluu seuraamusluokkaan CC. Palkki on katoksen pääkannattaja. Hyötykuorma

Lisätiedot

Kuva 1: Tehtävä 1a. = 2π. 3 x3 1 )

Kuva 1: Tehtävä 1a. = 2π. 3 x3 1 ) BMA58 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 3, Kevät 6 = Kuva : Tehtävä a. a Slinterinkuorelle tässä h = ja r = ja kä läpi välin [,], joka johtaa lausekkeeseen: V = π 6 / 3 d 3 3 3 = 3 Kuva : Tehtävä

Lisätiedot

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin

tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin FYSP102 / K2 KIMMOKERTOIMEN MÄÄRITYS Työn tavoitteita tutustuttaa materiaalien lujuusominaisuuksiin luentoja perusteellisemmin kerrata monia toistoja sisältävien laskujen sekä suoransovituksen tekemistä

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa

Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Luento 7: Pyörimisliikkeen dynamiikkaa Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti ja sen määrittäminen Liikemäärämomentti Gyroskooppi Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Johdanto Vääntömomentti Hitausmomentti

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen

Lisätiedot

dx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7.

dx = L2 (x + 1) 2 dx x ln x + 1 = L 2 1 L + 1 L ( = 1 ((L + 1)ln(L + 1) L) L k + 1 xk+1 = 1 k + 2 xk+2 = 1 10k+1 k + 2 = 7. BM2A582 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Kevät 26. a Lumikuiorman massa-alkio kohdassa on λd L2 + 2 d, joten kokonaismassa on Momentti suoran suhteen on L L 2 L m d L2 + 2 d + 2 / L L 2

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 9.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Palkin leikkausvoima- ja taivutusmomenttijakaumat ja kuviot (Kirjan luvut 7.2 ja 7.3) Osaamistavoitteet: Ymmärtää, miten leikkausvoima

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 21. marraskuuta 2016 Tasoaaltojen heijastus ja läpäisy (Ulaby 8.1 8.5) Kohtisuora heijastus ja läpäisy Tehon heijastus ja läpäisy Snellin laki

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan

Lisätiedot

grada dv = a n da, (3) vol(ω) ε = εdv. (4) (u n +n u)da, (5)

grada dv = a n da, (3) vol(ω) ε = εdv. (4) (u n +n u)da, (5) MEI-55 Mallintamisen perusteet Harjoitus 2 Tehtävä Dyadin a b, jossa a,b R 3 jälki on skalaari jota merkitään tr(a b) ja määritellään pistetulona tr(a b) = a b. (). Mikäli vektorit a ja b on annettu suorakulmaisessa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 009 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269)

Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt. 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Koesuunnitelma KON-C3004 Kone-ja rakennustekniikan laboratoriotyöt 16.10.2015 Aleksi Purkunen (426943) Joel Salonen (427269) Sisällysluettelo 1. Johdanto... 2 2. Tutkimusmenetelmät... 2 2.1 Kokeellinen

Lisätiedot

Luento 5: Voima ja Liikemäärä

Luento 5: Voima ja Liikemäärä Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 29.3.2016 Susanna Hurme Yleisen tasoliikkeen kinematiikka: absoluuttinen ja suhteellinen liike, rajoitettu liike (Kirjan luvut 16.4-16.7) Osaamistavoitteet Ymmärtää,

Lisätiedot

Palkin taivutus. 1 Johdanto. missä S on. määritetään taivuttamalla. man avulla.

Palkin taivutus. 1 Johdanto. missä S on. määritetään taivuttamalla. man avulla. PALKIN TAIVUTUS 1 Johdanto Jos homogeenista tasapaksua palkkia venytetäänn palkin suuntaisella voimalla F, on jännitys σ mielivaltaisellaa etäisyydellää tukipisteestä, 1 missä S on palkin poikkileikkauksen

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän

Lisätiedot

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa.

Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. LAATTAPALKKI Palkki ja laatta toimivat yhdessä siten, että laatta toimii kenttämomentille palkin puristuspintana ja vetoteräkset sijaitsevat palkin alaosassa. Laattapalkissa tukimomentin vaatima raudoitus

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén Luentoviikko 5 / versio 7. lokakuuta 2016 Luentoviikko 5 Magnetostatiikka (Ulaby, luku 5) Magneettiset voimat ja vääntömomentit Biot Savartin laki Magnetostaattiset

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot