Laskuharjoitus 3 Ratkaisut

Transkriptio

1 Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tieostona MyCourses:iin klo mennessä. Maholliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen Laskuharjoitus 3 Ratkaisut 1. Kuvien 1 ja 2 siltapalkin ja tuen välissä on neljä kumilevylaakeria. Kumin Poissonin luku on n. 0,5 (mikä tarkoittaa, että se on lähes kokoonpuristumatonta kuten esim. vesi). Kumin liukukerroin/-mouuli G = 1 MPa. Siltapalkin betonin lämpötilan muutoksesta johtuen siltapalkin pää siirtyy 30 mm vaakasuunnassa. Palkin painosta johtuen kumilevy puristuu 53 mm:ksi. Laske kumilevyn liukukulma, keskimääräinen lkkausjännitys, loput mitat kuormitettuna ja kokonaislkkausvoima Q. (1,5p) Kuva 1 Kumilevylaakerta käytetään elementtien liitoskohissa haitallisten muoonmuutosten ja murtumien estämiseksi Kuva 2 1

2 Siltapalkin kumilevyyn aiheutettu pakkosiirtymä aiheuttaa lkkausjännityksen t, jonka suuruus on verrannollinen kumin liukukertoimeen G = 1 MPa ja liukukulmaan g. Hooken lain mukaan Seuraavaksi voiaan laskea liukukulman Käyttämällä (1) ja (2) saamme lkkausjännitykselle arvon τ = Gγ. (1) tan γ = γ = 0,5151 ra (2) τ = Gγ = 0,5151 MPa (3) Seuraavaksi lasketaan levyn puristuma, joka on L = L 7 L 9 = 53 mm 70 mm = 17 mm. Y-suuntainen venymä on siis ε = = > = 0,2429 (4) >? ACBB Puristuma aiheuttaa muoonmuutoksen myös x- ja z-suunnissa, eli ε G = ε H = νε = = 0,5 0,2429 = 0,1214 (5) Näin ollen kuormitetun levyn pituus l k ja leveys b k ovat l L = l + ε H l = l 1 + ε H = 392,5 mm, b L = b + ε G b = b 1 + ε G = 280,4 mm (6) ja siltapalkin kanssa kosketuksissa oleva yhtsala A k on Näin ollen kokonaislkkausvoima Q on A L = l L b L 4 = 0,44 m 7 (7) Q = τa L = 226,6 kn. (8) 2

3 2. Määritä kuvan 3 palkin lkkausvoimajakauma Q y(x) ja taivutusmomenttijakauma M z(x), ja osoita, että VW X G = Q VG = x. Piirrä jakaumat. (1,5p) Kuva 3 Piirretään aluksi VKK, jossa tuet on korvattu tukivoimilla: Seuraavaksi, jakautunut kuorma reusoiaan ekvivalenttivoimaksi F ekv. Kolmion muotoisen jakautuneen kuormituksen tapauksessa ekvivalenttivoiman suuruuen ja paikan laskeminen on helppoa, kun muistetaan, että ekvivalenttivoiman suuruus on jakautuneen kuorman pinta-ala ja sen paikka kyssen pinta-alan painopiste. Kolmion tapauksessa saaaan siten F [L\ = 9 q 7 CL, c = 7 L (1) _ 3

4 Vapaakappalekuvan perusteella voiaan kirjoittaa tasapainoyhtälöt, joista ratkeaa y-suuntaisiksi tukivoimiksi F G = A G + B G = 0 F = = A = + B = 9 7 q CL = 0 M a = 9 7 q CL 7> _ B = L = 0 (2) A = = b c>, B = = b c> _. (3) Koska tehtävä on x-suunnassa staattisesti määräämätön, x-suuntaisia tukivoimia voia määrittää yksikäsittsesti. Ratkaistaan seuraavaksi lkkausvoiman ja taivutusmomentin arvot palkin päätepistssä. Tällä kertaa palkissa ole epäjatkuvuuskohtia. Palkin pääyissä saaaan Palkin lkkausvoimajakauma on Q = 0 = A = = 9 q CL, M H = 0, (4) Q = L = B = = b c>, M _ H = 0. (5) ef g (i) = q = η = b c > η (6) ef g (i) η = b c > η η (7) Q = x Q = 0 = b c 7> x7 (8) Q = x = Q = 0 b c 7> x7 (9) Q = x = b c> Q = x = b c Taivutusmomenttijakauma saaaan yhteyestä ew X (i) b c 7> x7 (10) _Gm L + 1, 0 x L. (11) > m = Q = (η) (12) ew X (i) η = Q = η η (13) M H x M H 0 = b c> Go + x (14) > m 4

5 M H x = b c> Go + x, 0 x L. (15) > m Kaavojen (11) ja (15) osoittamien jakaumien tarkka piirtäminen käsin vaatii niien arvojen laskemista usssa eri pistssä, sillä ne ovat toisen ja kolmannen asteen käyriä. Tämän kurssin yhteyessä jakaumien piirtäminen tarkoittaa kuitenkin lähinnä niien ääriarvojen määrittämistä sekä oikeanlaisen muoon hahmottelua (eli esimerkiksi onko kuvaaja suora vai kaareva). Lkkausvoimajakauma (11) on alaspäin aukeava paraabeli, jonka arvot palkin pääyissä ovat (4) ja (5). Kuvaajan hahmottelemiseksi lasketaan vielä sen nollakohaksi x = L/Ö3. Taivutusmomenttikuvaajan piirtämiseksi tarvitaan sen arvot palkin päätepistssä sekä ääriarvokohassa. Lkkausvoima on taivutusmomentin erivaatta (huomaa yhteys (12)!), joten taivutusmomentin ääriarvo sijaitsee lkkausvoiman nollakohassa x = L/Ö3. > Päätepistssä taivutusmomentin arvo on nolla, joten piirretään ääriarvon M H kautta kulkeva käyrä, joka palkin päissä kaartuu takaisin nollaan. Esimerkkikuvaajat on piirretty alla. _ = b c> m p _ 5

6 3. Jälkijännitettyjä, yleensä paikallavalettuja betonirakentta käytetään mm. parkkihallssa ja silloissa rakentlle eullisten jännitys- ja muoonmuutostilojen, ja sitä kautta pitkien jännevälien mahollistamiseksi. Perusperiaate on, että jännepunosten aiheuttama puristusvoima lisää betonirakenteen vetolujuutta. Voima siirtyy betoniin tukilevyn kautta (Kuva 4). Kuva 4 Jännepunokset jännitetään jännitystunkin avulla, tukilevy siirtää voiman betoniin Kuva 5 Jälkijännitetyn betonipalkin periaate Tehtävän yksinkertaistamiseksi kuvan 5 betonipalkissa ole muuta rauoitusta kuin jälkijännitettävä teräsjännepunos. Oletetaan, että punoksen kimmokerroin on sama kuin teräksellä. Kuinka paljon betonin vetokapasiteetti voi kasvaa, kun betonin sallittu puristuma on 0,35 %? Kestääkö punos, kun teräksen myötöraja R e = 360 MPa? Betonin kimmokerroin on MPa ja vetolujuus 2,5 MPa. Teräksen kimmokerroin on 210 GPa ja punoksen ala on 30 cm 2. Betonipalkin mitata ovat h = 25 cm, w = 30 cm ja l = 30 m. (2p) Mitä eroa on esi- ja jälkijännitetyllä betonirakenteella? (1p) 6

7 Hooken lain mukaan σ = Eε [ ja ε = > > c. (1) Betonipalkissa ja jännepunoksessa vallitsevat normaalijännitykset s b ja s t ovat σ t = u a v ja σ w = u a x. (2) Betonin sallittu puristuma on 0,35 %, josta saaaan suoraan, että ε t = 0,0035. (3) Näin ollen betonin maksimipuristusjännitys on σ t = Eε t = MPa 0,0035 = 115,5 MPa, (4) eli myös betonin vetokapasiteetti kasvaa 115,5 MPa. Yhtälöistä (2) saaaan σ t A t = σ w A w, josta σ w = a v a x σ t. (5) Lasketaan betonipalkin poikkilkkauksen pinta-ala A b ja punoksen jännitys s t A t = 0,25 m 0,30 m 0,003 m 7 = 0,072 m 7, σ w = C,CA_ Bm C,CC_ B Jännepunos siis kestäisi noin suurta jännitystä. m 115,5 MPa = 2772 MPa. (6) Esijännitettyjä betonilaattaelementtejä kuten ontelolaattoja valmistetaan yleensä betonitehtaalla. Teräspunoksia jännitetään valumuotissa ennen elementin valua ja katkaistaan, kun betoni on kovettunut, jolloin tartunta tapahtuu suoraan punokseen. Esijännitetyt punokset menettävät helpommin jännitystä (jopa 13 %) kuin jälkijännitetyt, mikä tunnetaan jännitysrelaksaationa. Jälkijännitetyissä rakentssa punokset vieään rakenteen läpi suojaputkessa ja jännitetään valun ja betonin kovettumisen jälkeen. Jännittämisen jälkeen suojaputki valetaan injektiolaastilla korroosion ehkäisemiseksi. 7