Rak RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Rak RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C"

Transkriptio

1 Rak-54.6 RAKENTEIDEN MEKANIIKKA C Luentomoniste kevätlukukausi VEKTORILASKENNAN KERTAUSTA 0. Vektoreiden skalaaritulo eli pistetulo Olkoot a ja b kaksi mielivaltaista vektoria kolmiulotteisessa avaruudessa. Ne voidaan tällöin esittää komponenttimuodossa kiinteän globaalin koordinaattijärjestelmän x, y, z koordinaattiakselien suunnille projisioituina, toisin sanoen a = a x e x + a y e y + a z e z ja b = bx e x +b y e y +a z e z. Skalaaritulo näiden vektorien välillämääritellään nyt seuraavasti: a b = a b cos[ a, b] (0.) toisin sanoen, skalaariluku, joka on vektorien pituuksien tulo kerrottuna näiden välisen kulman kosinilla. Havaitaan myös välittömästi, että vektorin pistetulo itsensä kanssa on a a = a a cos[ a, a] = a 2 = a 2 x + a 2 y + a 2 z (0.2) toisin sanoen yhtäkuin vektorin pituuden neliö. Jos taas sijoitetaan vektoreiden a ja b komponenttimuotoiset esitykset edellä annettuun määritelmään saadaan a b =(a x e x + a y e y + a z e z ) (b x e x + b y e y + a z e z ) = a x b x ( e x e x )+a x b y ( e x e y )+a x b z ( e x e z ) +a y b x ( e y e x )+a y b y ( e y e y )+a y b z ( e y e z ) +a z b x ( e z e x )+a z b y ( e z e y )+a z b z ( e x e x ) Soveltamalla suoraan skalaaritulon määritelmää kuhunkin tuloon e x e x = e x e y =0 e x e z =0 e y e x =0 e y e y = e y e z =0 (0.3) e z e x =0 e z e y =0 e z e z = saadaan lopulta tulokseksi a b = a x b x + a y b y + a z b z (0.4) Tarkastellaan vielä skalaarituloa vektorin a ja x-koordinaattiakselin suuntaisen yksikkövektorin e x kanssa. Tällöin saadaan a e x = a e x cos[ a, e x ]=a x ( e x e x )+a y ( e y e x )+a z ( e z e x )=a x (0.5)

2 Kuva 0.. Oikeakätinen koordinaattijärjestelmä mikä on vektorin a projektio x-akselin suunnalle. 0.2 Vektoreiden vektoritulo eli ristitulo Kahden vektorin ristitulo taas määrittää vektorin, joka on kohtisuorassa kumpaakin tulon tekijää vastaan. Ristitulo siis määritellään vektorina a b = a b sin[ a, b] e (0.6) missä yksikkövektori e on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan, eli a e = b e =0. Vektorilla e on siis kaksi vaihtoehtoista suuntaa: normaali jommalle kummalle puolelle vektoreiden a ja b virittämää tasoa. Suunta valitaan siten, että vektorikolmikko a, b, e muodostaa oikeakätisen systeemin. Tällöin kierrettäessä vektoria a vektorin b suuntaan korkkiruuvisäännön mukaisesti vektorin e suunta määräytyy korkin menosuuntana. Havainnollisen käsityksen suunnan määrityksestäsaamyös kuvassa 0. esitetystä oikealla kädellä suoritetusta vastaavasta kierrosta, jolloin peukalo osoittaa tuloksena saatavan vektorin suunnan. Komponenttimuodossa saadaan näin ollen a b =(a x e x + a y e y + a z e z ) (b x e x + b y e y + a z e z ) Nyt edellä annetun määritelmän mukaan = a x b x ( e x e x )+a x b y ( e x e y )+a x b z ( e x e z ) + a y b x ( e y e x )+a y b y ( e y e y )+a y b z ( e y e z ) + a z b x ( e z e x )+a z b y ( e z e y )+a z b z ( e x e x ) e x e x =0 e y e x = e z e z e x = e y e x e y = e z e y e y =0 e z e y = e x e x e z = e y e y e z = e x e z e z =0 (0.7) jolloin saadaan a b =(a y b z a z b y ) e x +(a z b x a x b z ) e y +(a x b y a y b x ) e z (0.8) 2

3 Kuva 0.2. Vektorien välisen ristitulon tulkinta Vielä havaitaan, että vektoreiden a ja b ristitulo on määritelmänsä mukaan vektori, jonka pituus on yhtäsuuri kuin sen suunnikkaan pinta-ala, jonka vierekkäisinä särminä ovat juuri vektorit a ja b. 0.3 Vektorin derivaatta Tarkastellaan vektoria a, joka on mielivaltaisen skalaarimuuttujan t funktio, ts. a = a(t). Vektorin derivaatta määritellään tavanomaisesti Kuva 0.3. Vektorin derivaatta d a dt = lim a t 0 t = lim a(t + t) a(t) t 0 t (0.9) Vektorin derivaatta on siis vektori. Jos asetetaan vektorit a(t) ja a(t + t) samasta pisteestä alkaviksi (kuva 0.3) ja merkitään vektoreiden kärkipisteitä P:llä ja Q:lla, niin a = PQ.Kunnyt t lähestyy nollaa ( t 0), vektori a lähestyy käyrän c tangenttia 3

4 pisteessä P.Tästä seuraa, että vektorin a derivaatta on sen käyrän tangentti, jonka a:n kärki piirtää parametrin t vaihdellessa. Jos erikoisesti a:n pituus on vakio, käyrä c on O-keskinen a -säteinen ympyrä (tai pallo) ja tällöin d a/dt on kohtisuorassa vektoria a vastaan, toisin sanoen d a a =0 (0.0) dt Siis vakiovektorin, esimerkiksi yksikkövektorin, derivaatta on aina kohtisuorassa ko. vektoria vastaan. KIMMOTEORIAN PERUSYHTÄLÖT. Muodonmuutostila.. Muodonmuutosten määritelmät Tarkastellaan mielivaltaisen kappaleen deformaatiota kolmiulotteisessa avaruudessa. Otaksutaan, että se kappaleen piste P, jonka koordinaatit ovat x, y, z, siirtyy deformaatiossa asemaan P. Siirtymävektorin PP = u(x, y, z) komponentteja u = u(x, y, z), v = v(x, y, z) jaw = w(x, y, z) kutsutaan lyhyesti siirtymiksi. Siirtymävektori on siis esitettävissä muodossa u(x, y, z) =u(x, y, z) e x + v(x, y, z) e y + w(x, y, z) e z (.) missä vektorit e x, e y, e z - kirjallisuudessa käytetty myös i, j, k - muodostavat yksikkövektorikannan oikeakätisen kiinteän ortogonaalin koordinaattijärjestelmän x, y, z koordinaattiakselien suunnille. Yksikkövektorit ovat siis sekä suunnaltaan ettäinten- siteetiltään eli pituudeltaan vakioita. Muodonmuutoskomponentit pisteessä P - lyhyesti muodonmuutokset - määritellään seuraavasti: Venymä ɛ x on alkutilassa x-akselin suuntaisen dx:n pituisen jana-alkion PQ suhteellinen pituuden muutos. Vastaavasti määritellään venymät ɛ y ja ɛ z. Leikkausmuodonmuutos eli liukuma γ xy määritellään taas kahden alkutilassa toisiaan vastaan kohtisuorassa asemassa olevan, x- jay-akselin suuntaisen, jana-alkion PQ ja PR välisen kulman muutoksena. Vastaavasti saadaan liukumat γ yz ja γ zx.venymän ɛ x ja siirtymien väliseksi yhteydeksi saadaan kuvassa. esitetyssä kaksidimensioisessa tasotapauksessa, jossa on käytetty merkintää x = ( )dx, ɛ x = P Q (dx + u PQ dx)2 +( v dx)2 dx = PQ dx Tämä voidaan esittää jakamalla dx:llä edelleen muodossa ɛ x = +2 u + ( ) 2 u + ( ) 2 v Käyttämällä hyväksi vielä Taylorin sarjakehitelmää neliöjuurilausekkeelle +x =+ 2 x + O(x2 ) 4

5 Kuva.. Ainesäikeen PQ deformoituminen ja jättämällä toisenjasitä korkeamman asteen termit pois saadaan venymän yleinen lauseke muotoon [ ( ɛ x = u + ) 2 ( ) ] 2 u v + (.2) 2 Kolmiulotteisessa tapauksessa vastaava lauseke saa muodon [ ( u ɛ x = u + ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 v w mikä yhdessä venymienɛ y ja ɛ z lausekkeiden [ ( u ɛ y = v + ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 v w [ ( ɛ z = w + ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 u v w (.3a) (.3b) (.3c) kanssa muodostaa venymien yleiset epälineaariset lausekkeet kolmidimensioisessa avaruudessa. Pienten siirtymien teorian mukaan siirtymien derivaatat otaksutaan pieniksi, jolloin niiden derivaattojen neliöt voidaan jättää ensimmäisen asteen termien rinnalla huomioon ottamatta lausekkeissa (.3). Näin saadaan määritelmät ɛ x = u, ɛ y = v, ɛ z = w (.4) Liukuman γ xy ja siirtymien väliseksi yhteydeksi saadaan kuvan.2 ja edellä annetun määritelmän mukaan lauseke ( Q Q ) ( R R ) γ xy = β + β 2 =arctan P Q +arctan P R 5

6 Kuva.2. Kahden toisiaan vastaan kohtisuoran ainesäikeen PQ ja PR deformoituminen Tämä on edelleen Taylorin sarjakehitelmästä arcustangentti-funktiolle arctan x = x + O(x 3 ) ainoastaan ensimmäinen termi huomioon ottaen γ xy = Q Q P Q + R R P R = v dx P Q + u dy P R = v dx dx + u dx + u dy dy + v dy Tästä saadaan edelleen supistamalla dx:llä jady:llä sekä muuttamalla lausekkeet saman nimisiksi tulokseksi u + v + u u + v v γ xy = ( + u v )( + ) Nimittäjässä osittaisderivaattatermit voidaan ykkösen rinnalla pieninä jättää tarkastelun ulkopuolelle, jolloin päädytään tulokseen γ xy = u + v + u u + v v (.5a) Vastaavat lausekkeet liukumille γ yz ja γ zx ovat γ yz = v + w + v v + w γ zx = w + u + u u + w w w (.5b) (.5c) 6

7 Kuva.3. Ainesäikeen PQ deformoituminen mitkä vielä lineaarisen analyysin tapauksessa pelkistyvät muotoon γ xy = u + v, γ yz = v + w, γ zx = w + u (.6)..2 Muodonmuutokset vektorilaskentaa hyväksikäyttäen Muodonmuutokset voidaan myös määrittäävarsin käyttökelpoisesti vektorilaskentaa hyväksi käyttämällä. Tarkastellaan kuvan.3 avulla janan PQ, jonka pituus on dx ja joka voidaan esittää muodossa PQ =dx e x (.7) deformoitumista janalle P Q. Jos merkitään pisteiden P ja Q siirtymävektoreita u P :llä ja u Q :lla, kuvan.3 perusteella voidaan yksinkertaisesti kirjoittaa vektorisumma Ottamalla huomioon, että P Q = PQ+ uq u P u Q = u P + x u P = u P + u P dx, edellinen saa muodon P Q = PQ+ up + u P dx u P 7

8 Tällöin P Q :n pituuden määrittämiseksi saadaan yhtälö P Q 2 =( P Q P Q )=( u P u P PQ+ dx) ( PQ+ dx) =( u P PQ PQ)+2( PQ )dx +( u P u P )dx2 ottamalla huomioon, että vektorin PQ pituus lausekkeessa (.7) on dx, sekäkäyttämällä hyväksi, kuten edellä, neliöjuurilausekkeen Taylorin sarjakehitelmää, saadaan P Q = ( PQ PQ)+2( PQ u P )dx +( u P u P )dx2 =(+( e x u P )+ 2 ( u P u P ))dx Sijoittamalla tämä venymän ɛ x määritelmään saadaan ( + ( e x u P ɛ x = )+ 2 ( u P u P ))dx dx dx Näin saadaan lopulta jakamalla dx:llä lauseke ɛ x = P Q PQ PQ = e x u P + 2 u P u P Kaikkiaan vastaavanlaiset lausekkeet voidaan johtaa kaikille kolmelle venymäkomponentille, jotka ovat ɛ x = u e x + u 2 u ɛ y = u e y + u 2 u (.8) ɛ z = u e z + u 2 u Jättämällä toisen asteen termit pieninä suureina tarkastelun ulkopuolelle, saadaan vastaavat pienten siirtymien teorian mukaiset lausekkeet ɛ x = u e x ɛ y = u e y ɛ z = u e z (.9) Leikkausmuodonmuutosten eli liukumien lausekkeet johdetaan vastaavanlaisella tarkastelulla. Kuvan.4 merkintöjä hyväksi käyttäen kahden alkuaan toisiaan vastaan kohtisuoran janan PQ ja PR pituudet deformaation jälkeen määräytyvät vektorien P Q = PQ+ x u P = u P PQ+ dx P R = PR+ y u P = PR+ u P dy 8

9 Kuva.4. Kahden toisiaan vastaan kohtisuoran ainesäikeen PQ ja PR deformoituminen pituuksina ja ovat P Q = P R = ( P Q P Q )=(+( e x u P )+ 2 ( u P u P ))dx ( P R P R )=(+( e y u P )+ 2 ( u P u (.0) P ))dy Deformaation jälkeen näiden vektoreiden välinen kulma määritetään skalaaritulon avulla seuraavasti P Q P R = P Q P R cos χ Ottamalla huomioon, että = PQ PR }{{} + u P PQ =0 dy + PR u P dx + u P dx u P dy cos χ =sin( π 2 χ) γ xy ja jättämällä siirtymien derivaatat pois pieninä ykkösen rinnalla deformoituneiden vektoreiden pituuksien lausekkeissa (.0), sekä supistamalla termillä dxdy, saadaan γ xy = e x u P + e y u P + u P u P 9

10 Leikkausmuodonmuutosten yleisiksi lausekkeiksi saadaan näin kaiken kaikkiaan γ xy = u e x + u e y + u u γ yz = u e y + u e z + u u γ zx = u e z + u e x + u u (.) ja vastaaviksi geometrisesti lineaarisiksi lausekkeiksi γ xy = u e x + u e y γ yz = u e y + u e z γ zx = u e z + u e x (.2)..3 Muodonmuutos- ja rotaatiomatriisit Pienten siirtymien mukaiset muodonmuutoskomponentit voidaan johtaa helposti myös tarkastelemalla niin sanottua siirtymägradienttia du, jokamääritellään kunkin siirtymäkomponentin muutoksena du du = dv (.3) dw Kukin termi määritellään kokonaisdifferentiaalina jolloin saadaan yhteys du = u u u dx + dy + dz, dv = v v v dx + dy + dz, dw = w eli komponenttimuodossa u du dv = v dw w w w dx + dy + dz, du = Udx (.4) u v w 0 u v dx dy w dz

11 Kuva.5. Rotaatiokomponentin ω määräytyminen Kerroinmatriisin U symmetristä osaa, joka on 2 u u E = + v 2 v 2 symm u + w v + w 2 w (.5) kutsutaan Lagrangen muodonmuutosmatriisiksi (kysymys on itse asiassa tensorista, mutta tässä yhteydessä riittää tulkita se tutuksi matriisiksi) ja antisymmetristä osaa 0 R = v 2 u w u u v 0 w v rotaatiomatriisiksi (kysymys on jälleen tensorista.) muodossa ω ω = ω 2 ω 3 u w v w 0 (.6) Jos määritellään rotaatiovektori jossa koordinaattitasojen keskimääräistä kiertymistä koordinaattiakseleiden ympäri kuvaavat komponentit (kuva.5) ovat ω = 2 ( w v ), ω 2 = 2 ( u w ), ω 3 = 2 ( v u ), (.7) rotaatiomatriisi voidaan kirjoittaa rotaatiokomponenttien avulla muotoon R = 0 ω 3 ω 2 ω 3 0 ω (.8) 2 ω 2 ω 0

12 Lagrangen muodonmuutosmatriisi (.5) on siis kaiken kaikkiaan E = ɛ x 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z (.9) Muodonmuutosmatriisin avulla voidaan tiettyjä muodonmuutostilaan liittyviä kaavoja esittää hyvin lyhyessä ja yksinkertaisessa muodossa. Muodonmuutosmatriisi E jaetaan usein kahteen osaan, joista toinen vastaa rakenteen tilavuudenmuutosta. Tämä osa määritellään keskiarvona matriisin venymäkomponenteista, eli 3 ɛ = 3 (ɛ x + ɛ y + ɛ z ) Tätä kutsutaan pallo-osaksi (spherical strain) ja se voidaan esittää matriisina 3 ɛi = 3 ɛ ɛ 0 (.20) ɛ Edellisessä I on yksikkömatriisi I = eli matriisi, jossa ainoat nollasta eroavat termit ovat diagonaalilla olevat ykköset. Jäljelle jäävää osaa kutsutaan deviaattoriosaksi E (deviatoric strain) ja se on E = E 3 ɛi = ɛ x 3 ɛ 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y 3 ɛ 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z 3 ɛ (.2) Muodonmuutosmatriisin jakamisella osiin on perinteisesti tulkinta, että pallo-osa mittaa ainoastaan tarkasteltavan kappaleen tilavuuden muutosta, mutta ei muodon muuttumista, kun taas deviatoorinen osa - muodonvääristymisosa - mittaa kappaleen muodonmuutosta. Suhteellinen tilavuudenmuutos e määritellään yhtälöllä e = V V V (.22) missä V on kappaleen alkuperäinen tilavuus ja V deformoituneen kappaleen tilavuus. Jälkimmäinen voidaan lausua muodossa V =(+ɛ )( + ɛ 2 )( + ɛ 3 )V 2

13 Kuva.6 Koordinaatiston siirto ja kierto Suhteelliseksi tilavuudenmuutokseksi saadaan ottamalla tämä huomioon e = ɛ + ɛ 2 + ɛ 3 + ɛ 2 ɛ 3 + ɛ 3 ɛ + ɛ ɛ 2 + ɛ ɛ 2 ɛ 3 (.23).2 Muodonmuutosmatriisi koordinaatiston kierrossa Tarkastellaan seuraavaksi muodonmuutoskomponenttien käyttäytymistä koordinaatiston kierrossa. Käytetään kahta koordinaattijärjestelmää x, y, z ja X, Y, Z, joiden koordinaattiakselien suuntaiset yksikkövektorit ovat e x, e y, e z sekä e X, e Y, e Z. Kunkin materiaalipisteen paikkavektori voidaan esittää kummassakin koordinaattijärjestelmässä r = x e x + y e y + z e z R = X e X + Y e Y + Z e Z Kuvan.6 mukaisesti paikkavektorien välillä pätee yhteys r = r o + R (.24) missä r o on vakiovektori, joka osoittaa koordinaattijärjestelmän X, Y, Z origon sijainnin järjestelmässä x, y, z. Derivoimalla lauseketta (.24), johon on sijoitettu paikkavektoreiden lausekkeet, saadaan X e x + X e y + X e z = e X Y e x + Y e y + Y e z = e Y Z e x + Z e y + Z e z = e Z 3

14 Tästä saadaan helposti vektoreiden skalaari- eli pistetuloa soveltamalla X X X Y Y Y = e X e x e X e y e X e z e Y e x e Y e y e Y e z e Z e x e Z e y e Z e z Z Z Z = cos[ e X e x ] cos[ e X e y ] cos[ e X e z ] cos[ e Y e x ] cos[ e Y e y ] cos[ e Y e z ] cos[ e Z e x ] cos[ e Z e y ] cos[ e Z e z ] (.25) Määritellään tämä koordinaatistonmuunnosmatriisin eli niin sanotun Jacobin matriisin L transponoiduksi matriisiksi L T. Sovelletaan nyt venymän ɛ X määritelmää muodossa (.9). Tällöin saadaan ketjuderivointia soveltamalla ɛ X = u X e X =( u X + u X + u X ) e X Sijoittamalla tähän siirtymävektorin u lausekkeen saadaan ja edelleen ɛ X = X ( u e x + v e y + w e z) e X + X ( u e x + v e y + w e z) e X + X ( u e x + v e y + w e z) e X ɛ X =( e X e x ) u ( e x e X )+( e X e y ) v ( e y e X )+( e X e z ) w ( e z e X ) +( e X e x )( u + v )( e y e X )+( e X e y )( v + w )( e z e X ) +( e X e z )( w + u )( e x e X ) Tämä on edelleen yhtäkuin ɛ X =( e X e x ) ɛ x ( e x e X )+( e X e y ) ɛ y ( e y e X )+( e X e z ) ɛ z ( e z e X ) +( e X e x ) γ xy ( e y e X )+( e X e y ) γ yz ( e z e X )+( e X e z ) γ zx ( e x e X ) (.26a) mikä voidaan esittää matriisin L ensimmäisen vaakarivin käsittävän vektorin ja muodonmuutosmatriisin tulona ( e X e x ) ɛ X = ( e X e y ) ( e X e z ) T ɛ x 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y 2 γ yz 2 γ xz 4 2 γ yz ɛ z ( e x e X ) ( e y e X ) ( e z e X ) (.26b)

15 Vastaavasti esimerkiksi leikkausmuodonmuutoksen γ xy lausekkeeksi saadaan ɛ x T 2 γ xy 2 γ xz ( e X e x ) ( e x e Y ) γ XY = ( e X e y ) 2 γ xy ɛ y 2 γ yz ( e y e Y ) ( e X e z ) ( e z e Y ) 2 γ xz 2 γ yz ɛ z (.27) Samoin voidaan menetellä muiden muodonmuutoskomponenttien kanssa, jolloin lopullisena tuloksena koordinaatiston kierron vaikutus muodonmuutoksiin voidaan esittää muodossa ɛ X 2 γ XY 2 γ XZ 2 γ XY ɛ Y 2 γ YZ 2 γ XZ 2 γ YZ ɛ Z e X e x e X e y e X e z e Y e x e Y e y e Y e z e Z e x e Z e y e Z e z = ɛ x 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z e X e x e Y e x e Z e x e X e y e Y e y e Z e y e X e z e Y e z e Z e z Ê = L T EL (.28) Muodonmuutosmatriisille käytetään kirjallisuudessa joskus myös esitysmuotoa L = e X e x e Y e x e Z e x e X e y e Y e y e Z e y = l x m x n x l y m y n y (.29) e X e z e Y e z e Z e z l z m z n z.3 Päävenymien määrittäminen Voidaan helposti osoittaa, että on olemassa sellainen kuvaus (.28), joka kuvaa muodonmuutosmatriisin diagonaalimatriisiksi eli toisin sanoen löytyy sellainen koordinaattijärjestelmä x,y,z, jossa muodonmuutosmatriisi on diagonaalinen. Tällöin kaikki leikkausmuodonmuutokset häviävät, ja toisaalta venymät saavat ääriarvonsa. Lävistäjällä oleviavenymätermejä kutsutaan päävenymiksi ja niitä merkitään ɛ,ɛ 2,ɛ 3. Suuntia x,y,z kutsutaan pääsuunniksi ja niiden muodostamaa koordinaatistoa päävenymäkoordinaatistoksi. Suurin ja pienin päävenymä ovat ɛ max =max{ɛ,ɛ 2,ɛ 3 } ɛ min =min{ɛ,ɛ 2,ɛ 3 } Etsittäessä venymän ääriarvoja ja niitä suuntia, joissa ääriarvot saavutetaan, sovelletaan lauseketta (.26a). Määrittäköön venymän ääriarvot se taso, jonka normaalin suuntakosinit ovat n x =cos[ n, e x ],n y =cos[ n, e y ]jan z =cos[ n, e z ]. Näin yhtälö (.26a) venymälle voidaan kirjoittaa muotoon ɛ X = n 2 xɛ x + n 2 yɛ y + n 2 zɛ z + n x n y γ xy + n y n z γ yz + n z n x γ zx 5

16 Koska venymän suunnan määrittävät suuntakosinit n x =cos[ n, e x ],n y =cos[ n, e y ]ja n z =cos[ n, e z ]eivät ole toisistaan riippumattomia, vaan niitä sitooehton 2 x +n2 y +n2 z =, sovelletaan Lagrangen kertojamenettelyä. Siinä muodostetaan funktio f(n x,n y,n z,ɛ)=n 2 x ɛ x +n 2 y ɛ y +n 2 z ɛ z +n x n y γ xy +n y n z γ yz +n z n x γ zx ɛ(n 2 x +n2 y +n2 z ), jonka ääriarvot pyritään määrittämään. Kun nyt tätä funktiota derivoidaan muuttujiensa suhteen, saadaan f =2n x ɛ x + n y γ xy + n z γ zx 2ɛn x =0 n x f =2n y ɛ y + n x γ xy + n z γ yz 2ɛn y =0 n y f =2n z ɛ z + n x γ zx + n y γ yz 2ɛn z =0 n z Tämä homogeeninen yhtälöryhmä voidaan esittää muodossa tai edelleen ɛ x ɛ 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y ɛ 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z ɛ n x n y n z 0 = 0 0 (.30a) (E ɛi)n = 0 (.30b) Päävenymät määritetään ratkaisemalla yhtälöryhmään (.30) liittyvä determinanttiehto ɛ x ɛ 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y ɛ 2 γ yz =0 (.3a) 2 γ xz 2 γ yz ɛ z ɛ mikä voidaan lausua myös muodossa det(e ɛi) =0 (.3b) Determinanttiyhtälö johtaa kolmannen asteen yhtälön ratkaisemiseen. Yhtälö voidaan lausua muodossa ɛ 3 I ɛ 2 I 2 ɛ I 3 =0 (.32) missä kertoimet I,I 2,I 3 ovat I = ɛ x + ɛ y + ɛ z I 2 = ɛ y ɛ z ɛ z ɛ x ɛ x ɛ y + 4 γ2 yz + 4 γ2 zx + 4 γ2 xy ɛ x 2 γ xy 2 γ xz I 3 = 2 γ xy ɛ y 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z (.33) 6

17 Yhtälöryhmän ratkaisuna saadaan päävenymät ɛ, ɛ 2 ja ɛ 3. Koska päävenymät ovat luonnollisesti käytetystä koordinaattijärjestelmästä riippumattomia, eivät tarkasteltavan kolmannen asteen yhtälön kertoimetkaan voi olla koordinaatistosta riippuvia. Tllöin siis kertoimet I,I 2,I 3, joita kutsutaan muodonmuutostilan ensimmäiseksi, toiseksi ja kolmanneksi invariantiksi ovat invariantteja skalaarisuureita, toisin sanoen käytetystä koordinaattijärjestelmästä riippumattomia. Jos valitaan tarkastelun kohteeksi juuri päävenymäkoordinaatisto, invarianttien lausekkeet saavat muodon I = ɛ + ɛ 2 + ɛ 3 I 2 = (ɛ 2 ɛ 3 + ɛ 3 ɛ + ɛ ɛ 2 ) ɛ 0 0 I 3 = 0 ɛ ɛ 3 = ɛ ɛ 2 ɛ 3 (.34) Kaavassa (.23) määritelty suhteellinen tilavuudenmuutos voidaan lausua muodonmuutosinvarianttien avulla seuraavasti: tai likimain vain e = I + I 2 + I 3 e = I (.23a) (.23b) Pääsuunnat eli päävenymäkoordinaatiston akselien suuntaisten yksikkövektoreiden suuntakosinit n xi,n yi,n zi, i =, 2, 3 ratkaistaan myös yhtälöstä (.30) sijoittamalla siihen vuoronperään kunkin päävenymän numeroarvo, toisin sanoen päävenymää i vastaava suunta määräytyy yhtälöstä tai komponenttimuodossa (E ɛ i I)n i = 0 (.35a) ɛ x ɛ i 2 γ xy 2 γ xz 2 γ xy ɛ y ɛ i 2 γ yz 2 γ xz 2 γ yz ɛ z ɛ i n xi n yi n zi = (.35b) Näihin yhtälöihin tulee liittää yksikäsitteisyyden takaava ehto f ɛ = n2 xi + n 2 yi + n 2 zi =0 Voidaan osoittaa, että edellä mainitusta kolmannen asteen yhtälöstä ratkaistut päävenymien arvot ɛ, ɛ 2 ja ɛ 3 ovat aina reaalisia, ja että pääsuunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan..4 Jännitystila 7

18 Kuva.7 Pinnan normaali- ja leikkausjännityskomponentit Tietyn pinnan, jonka normaali on n, jännitysvektori eli traktio määritellään kaavalla T = F lim A 0 A = d F da (.36) missä da on pinnan pinta-alkio ja d F voima, joka kohdistuu pinta-alkioon sen ulkonormaalin suuntaan, eli n:n suuntaan - siis ulospäin positiivinen. Kuva.8 Jännityskomponentit Jännitysvektorin normaalijännityskomponentti, kohtisuorassa pinta-alkiota vastaan kuvassa.7, on σ = σ n (.37) missä skalaarinen normaalijännitys määritetään skalaaritulon avulla σ = n T (.38) 8

19 Pinnan (resultoiva-) leikkausjännitys on tällöin pinnan tason suuntainen komponentti ja saadaan vektorien vähennyslaskulla τ = T σ (.39) Sen pituus eli leikkausjännityskomponentin suuruus (intensiteetti) on τ = τ = T 2 σ 2 (.40) Leikkausjännitys voidaan edelleen jakaa pinta-alkiolla kahteen toisiaan vastaan kohtisuoraan komponenttiin. Mielivaltaisen pisteen P jännitystila on tunnettu, jos kaikkien pisteeseen asetettujen pintojen jännitysvektorit ovat tunnetut. Pisteen jännitystila esitetään jännityskomponenttien avulla. Kuvassa (.8) on esitetty pisteeseen P liittyvä kuutio ja jännityskomponentit sen eri tahoilla. Siinä x-akselia vastaan kohtisuoralla taholla vaikuttavat normaalijännitys σ x sekä leikkausjännitykset τ xy ja τ xz. Komponentti τ xy on y-akselin ja τ xz vastaavasti z-akselin suuntainen. Samalla tavalla määritellään jännityskomponentit y-jaz-akseleita vastaan kohtisuorilla tasoilla. Kirjoitettaessa voimatasapainoehdot koordinaattiakselien suunnille kuvan (.9) perusteella saadaan alkion yleiset tasapainoehdot, jotka ovat σ x + τ yx τ xy + τ zx + F x =0 + σ y + τ zy + F y =0 (.4) τ xz + τ yz + σ z + F z =0 Kun taas otetaan momenttitasapainoehdot kolmen toisiaan vastaan kohtisuoran särmiön särmän ympäri, päädytään leikkausjännitysten parittaisuuden edellyttämiin symmetriaehtoihin τ yz = τ zy τ zx = τ xz (.42) τ xy = τ yx Yhtälöistä (.4) ja (.42) nähdään, että vain kuusi jännityskomponenttia ovat toisistaan riippumattomia ja kun ne tunnetaan, on pisteen jännitystila kokonaisuudessaan tunnettu. Tarkastellaan kuvassa (.0) esitettyä tetraedria, joka on saatu leikkaamalla kuvassa (.8) oleva särmiö tasolla, jonka normaalin suuntakosinit ovat n x =cos[ n, e x ],n y = cos[ n, e y ] ja n z = cos[ n, e z ]. Jos merkitään leikkauspinnan pinta-alaa da:lla koordinaattiakseleita vastaan kohtisuorien tahojen pinta-alat ovat n x da, n y da ja n z da. Jännitysvektori eli traktio leikkauspinnalla on T = T x e x + T y e y + T z e z. Tetraedrin x-akselin suuntaiseksi tasapainoehdoksi saadaan helposti T x da σ x n x da τ yx n y da τ zx n z da =0 T x = σ x n x + τ yx n y + τ zx n z Kirjoittamalla vastaavat yhtälöt y- ja z-akselien suunnissa voidaan jännitysvektorin komponentit lausua sisäisten jännityskomponenttien avulla T x = σ x n x + τ xy n y + τ xz n z T y = τ yx n x + σ y n y + τ yz n z (.43a) T z = τ zx n x + τ zy n y + σ z n z 9

20 Kuva.9 Jännitysten tasapainoehdot eli lyhyemmin Tässä onkäytetty vektorimerkintöjä T = T x T y T z T = Sn n = n x n y n z (.43b) sekä jännitysmatriisille (tensori), johon on koottu kaikki jännityskomponentit, vastaavanlaista merkintää kuin aikaisemmin muodonmuutosmatriisille (.9), eli S = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz (.44) τ zx τ zy σ z 20

21 Kuva.0 Jännitysvektori ja alkion sisäiset jännityskomponentit On huomattava, että lävistäjän ulkopuolisten leikkausjännitystermien edessä ei ole kerrointa kuten oli vastaavissa termeissä muodonmuutosmatriisissa. Soveltamalla nyt 2 kaavaa (.38) pinnan normaalijännitykselle ja käyttämällä hyväksi esitysmuotoa (.43) saadaan lauseke σ = n T = n x T x + n y T y + n z T z = n T T σ = n T Sn (.45) Vertaamalla näin johdettua kaavaa aikaisemmin johdettuun venymän ɛ x muunnoskaavaan koordinaatiston kierrossa havaitaan, että neovattäsmälleen samaa muotoa. Yhteys (.45) siis itse asiassa esittää jännitysmatriisin kuvautumista tetraedrin leikkaustason normaalin suunnalle normaalijännityskomponentiksi. Aivan vastaavanlaisella tarkastelulla voidaan osoittaa myös leikkaustasossa olevien leikkausjännityskomponenttien noudattavan samaa muunnoskaavaa ja vetää tästä johtopäätös jännitysmatriisin ja muodonmuutosmatriisin samanlaisesta käyttäytymisestä koordinaatiston kierrossa eli Ŝ = L T SL (.46) Muunnosmatriisi L on esitetty aikaisemmin lausekkeessa (.25). Jännitysmatriisi S jaetaan usein kahteen osaan, joista toinen vastaa rakenteen kuormituksena olevasta hydrostaattisesta paineesta aiheutuvia jännityksiä. Nämä määritellään keskiarvona matriisin normaalijännityskomponenteista, eli σ = σ m = 3 (σ x + σ y + σ z ) 2

22 Tällöin tämä osa, jota kutsutaan pallo-osaksi (spherical stress) tai hydrostaattiseksi osaksi (hydrostatical stress), voidaan esittää matriisina σi = σ m I = σ m σ m 0 (.47) 0 0 σ m Jäljelle jäävää osaakutsutaandeviaattoriosaksi S (deviatoric stress) ja se on S = σ x + σ m τ xy τ xz τ yx σ y + σ m τ yz τ zx τ zy σ z + σ m (.48) Jännitysmatriisin jakamisella osiin on perinteisesti tulkinta, että pallo-osan jännitykset muuttavat ainoastaan tarkasteltavan kappaleen tilavuutta, mutta ei muotoa, kun taas deviatoorinen osa - muodonvääristymisosa - muuttaa kappaleen muotoa..5 Pääjännitysten määrittäminen Seuraavaksi etsitään sellainen tetraedrin leikkaustaso, jolla ei esiinny lainkaan leikkausjännityksiä. Kaavojen (.37) ja (.39) perusteella saadaan τ = T σ = 0 T σ n = 0 T σn = 0 Tämä on edelleen (.43) huomioonottaen (S σi)n = 0 (.49a) tai komponenttimuodossa esitettynä σ x σ τ xy τ xz τ xy σ y σ τ yz τ xz τ yz σ z σ n x n y n z 0 = 0 0 (.49b) Tämä on homogeeninen yhtälöryhmä suuntakosinien n x,n y,n z ratkaisemiseksi. Eitriviaalin ratkaisun löytymisen edellytyksenä on kerroinmatriisin determinantin häviäminen, toisin sanoen det(s σi) =0 (.50a) mikä voidaan lausua myös muodossa σ x σ τ xy τ xz τ xy σ y σ τ yz τ xz τ yz σ z σ =0 (.50b) Näin päädytään jälleen kolmannen asteen yhtälön ratkaisemiseen. asteen yhtälö voidaan lausua muodossa Tämä kolmannen σ 3 J σ 2 J 2 σ J 3 =0 (.5) 22

23 missä kertoimet J,J 2,J 3 ovat J = σ x + σ y + σ z J 2 = σ y σ z σ z σ x σ x σ y + τyz 2 + τ zx 2 + τ xy 2 σ x τ xy τ xz J 3 = τ xy σ y τ yz τ xz τ yz σ z (.52) Yhtälöryhmän ratkaisuna saadaan pääjännitykset σ, σ 2 ja σ 3. Koska pääjännitykset ovat luonnollisesti käytetystäkoordinaattijärjestelmästä riippumattomia, eivät tarkasteltavan kolmannen asteen yhtälön kertoimetkaan voi olla koordinaatistosta riippuvia. Tllöin siis kertoimet J,J 2,J 3, joita kutsutaan jännitystilan ensimmäiseksi, toiseksi ja kolmanneksi jännitysinvariantiksi ovat invariantteja skalaarisuureita, toisin sanoen käytetystä koordinaattijärjestelmästä riippumattomia. Jos valitaan tarkastelun kohteeksi juuri pääjännityskoordinaatisto, invarianttien lausekkeet saavat muodon J = σ + σ 2 + σ 3 J 2 = (σ 2 σ 3 + σ 3 σ + σ σ 2 ) σ 0 0 J 3 = 0 σ σ 3 = σ σ 2 σ 3 (.53) Kutakin pääjännitystä σ i vastaavan pääsuunnan määrittävä yksikkövektori n i saadaan sen homogeenisen yhtälöryhmän (S σ i I)n i = 0 (.54a) eli σ x σ i τ xy τ xz n xi 0 τ xy σ y σ i τ yz n yi = 0 τ xz τ yz σ z σ i n zi 0 ratkaisuna, joka toteuttaa lisäksi vektorin pituudelle asetetun ehdon (.54b) n i = n 2 xi + n2 yi + n2 zi = Voidaan osoittaa, että pääjännitykset σ, σ 2 ja σ 3 ovat aina reaalisia, ja että pääsuunnat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Pääsuuntien määrittelemiä tasoja kutsutaan päätasoiksi ja pääsuuntiin yhtyvää koordinaatistoa pääjännityskoordinaatistoksi. Suurin ja pienin normaalijännitys määritellään seuraavasti: σ max =max{σ,σ 2,σ 3 } σ min =min{σ,σ 2,σ 3 } Määritetään vieläjännitystilaan liittyvä suurin leikkausjännitys ja se taso, jolla tämä vaikuttaa. Olkoon x, y, z pääjännityskoordinaatisto, jolloin voidaan kirjoittaa S = σ σ 2 0 (.55) 0 0 σ 3 23

24 Tällöin kaavan (.43) mukaan σ n x T = Sn = σ 2 n y σ 3 n z ja vektorin T pituus on T = T = (σ n x ) 2 +(σ 2 n y ) 2 +(σ 3 n z ) 2 Lisäksi normaalijännitys määritetään kaavasta (.38) σ = n T = n T T = σ n 2 x + σ 2 n 2 y + σ 3 n 2 z jonka jälkeen voidaan yhtälön (.39) avulla vektoreiden vähennyslaskua käyttäen laskea leikkausjännitysvektorin pituuden neliö. Tuloksena saadaan τ 2 = T 2 σ 2 = n 2 xn 2 y(σ σ 2 ) 2 + n 2 yn 2 z(σ 2 σ 3 ) 2 + n 2 zn 2 x(σ 3 σ ) 2 (.56) Etsitään nyt τ 2 :n ääriarvot. Sitä vartenkäytetään jälleen Lagrangen kertojamenettelyä. Muodostetaan funktio f(n x,n y,n z,λ)=τ 2 + λ(n 2 x + n2 y + n2 z ) = n 2 x n2 y (σ σ 2 ) 2 + n 2 y n2 z (σ 2 σ 3 ) 2 + n 2 z n2 x (σ 3 σ ) 2 + λ(n 2 x + n2 y + n2 z ), jonka ääriarvot pyritään määrittämään. Parametri λ on niin sanottu Lagrangen kertoja. Kun nyt tätä funktiota derivoidaan muuttujiensa suhteen, saadaan f n x =2n x n 2 y (σ σ 2 ) 2 +2n x n 2 z (σ 3 σ ) 2 +2λn x =0 f n y =2n y n 2 x (σ σ 2 ) 2 +2n y n 2 z (σ 2 σ 3 ) 2 +2λn y =0 f n z =2n z n 2 x (σ 3 σ ) 2 +2n z n 2 y (σ 2 σ 3 ) 2 +2λn z =0 f λ = n2 x + n2 y + n2 z =0 Ensimmäinen yhtälöistä voidaan esittää muodossa n x (n 2 y (σ σ 2 ) 2 + n 2 z (σ 3 σ ) 2 + λ) =0, josta nähdään helposti, että yhtälöryhmän yksi juuri on n x = 0. Toinen ja kolmas yhtälö pelkistyvät muotoon n y (n 2 z (σ 2 σ 3 ) 2 + λ) =0 n z (n 2 y (σ 2 σ 3 ) 2 + λ) =0 24

25 joten muitten juurien tulee toteuttaa ehto n y = ±n z. Lopuksi viimeisestä yhtälöstä saadaan n y = n z = ± 2 Tämä suunta on kohtisuorassa pääjännityksen σ suuntaa vastaan ja muodostaa 45 o :n kulman eli puolittaa jännitysten σ 2 ja σ 3 välisen kulman. Ensimmäinen ääriarvokohta on n x =0, n y = ±, 2 n z = ± 2 ja vastaava leikkausjännityksen ääriarvo on τ 2 = 4 (σ 2 σ 3 ) 2 τ = ± 2 σ 2 σ 3 Muut ääriarvokohdat saadaan asettamalla vuorollaan n y = 0 ja n z = 0. Leikkausjännitysten kaikki ääriarvot ovat näin ± 2 σ σ 2, ± 2 σ 2 σ 3, ± 2 σ 3 σ. (.57) Suurin leikkausjännitys on näistä suurin eli τ max = 2 (σ max σ min ) (.58) Suurin leikkausjännitys siis esiintyy samassa tasossa suurimman ja pienimmän normaalijännityksen kanssa suunnassa, joka puolittaa näiden välisen kulman. Normaalijännitys tällä pinnalla ei luonnollisestikaan häviä, vaan se voidaan määrittää yhtälöstä (.45) σ τ = σ n 2 x + σ 2 n 2 y + σ 3 n 2 z = 2 (σ 2 + σ 3 )= 2 (σ max + σ min ) (.59) Esimerkki Tarkastellaan jännitystilaa, jossa leikkausjännityskomponentit τ xz ja τ yz häviävät, τ xz = τ yz = 0 ja määritetään jännitystilan pääjännitykset ja pääsuunnat. Kyseessä ontasojännitystila, jos normaalijännitys σ z = 0 tai tasomuodonmuutostila, jos vastaavasti σ z 0. Määritetään pääjännitykset edellä esitetystä determinanttiyhtälöstä (.50). Tällöin saadaan ja tästä edelleen kolmannen asteen yhtälö σ x σ τ xy 0 τ xy σ y σ σ z σ =0 (σ σ z )(σ 2 (σ x + σ y )σ + σ x σ y τ 2 xy) =0 Tämä yhtälö palautuu toisen asteen yhtälön ratkaisemiseen ja juuret ovat σ,2 = 2 σ 3 = σ z [ ] σ x + σ y ± (σ x σ y ) 2 +4τxy 2 25

26 Kuva. Pääsuuntien määräytyminen Pääsuunnat määritetään käyttämälläyhtälöä (.54). Ensimmäinen pääsuunnista saadaan yhtälöstä σ x σ τ xy 0 n x 0 τ xy σ y σ 0 n y = σ z σ n z 0 Alimmasta yhtälöstä on helppo huomata, että n z = 0. Kahdesta ylemmästä saadaan n y n x = σ σ x τ xy = τ xy σ σ y Kuvassa. pyritään havainnollistamaan tilannetta. Kuvasta nähdään, että tan α = n y /n x, missä kulmaα on pääsuunan ja x-akselin välinen kulma. Kulmalle α saadaan näin yhtälö α =arctan σ σ x τ xy τ xy =arctan σ σ y Yksikkövektori tälle suunnalle on e = τ xy e x +(σ σ x ) e y (σ σ x ) 2 + τxy 2 = (σ σ y ) e x + τ xy e y (σ σ y ) 2 + τxy 2 Pääsuunta 2 määritetään aivan vastaavasti yhtälöstä σ x σ 2 τ xy 0 τ xy σ y σ σ z σ 2 n x2 n y2 n z2 = Alimmasta yhtälöstä saadaan jälleen tulos n z2 = 0 ja kahdesta ylemmästä n y2 n x2 = σ 2 σ x τ xy = τ xy σ 2 σ y 26

27 Pääsuunta α 2 määräytyy ehdosta α 2 =arctan σ 2 σ x τ xy τ xy =arctan σ 2 σ y Pääsuunnalle 3 saadaan yhtälö σ x σ 3 τ xy 0 τ xy σ y σ σ z σ 3 n x3 n y3 n z3 = Nyt alin yhtälö toteutuu vaikka n z3 0. Kaksi ylintäyhtälöä muodostavat homogeenisen yhtälöryhmän [ ]{ } { } σx σ z τ xy nxi 0 = τ xy σ y σ z n yi 0 jonka kerroindeterminantin arvo on normaalisti (σ x σ z )(σ y σ z ) τxy 2 yhtälöryhmän ainoa ratkaisu on 0. Tällöin ja pääsuunta 3 yhtyy z-akselin suuntaan..6 Mohrin jännitysympyrät n x3 = n y3 =0, n z3 = Tarkastellaan mielivaltaista tasoa, jonka normaalin ja koordinaattiakselien välisten kulmien kosinit ovat n x =cos[ n, e x ],n y =cos[ n, e y ]jan z =cos[ n, e z ]. Tällöin ovat voimassa tasapainoehdot (.43) T x = σ x n x + τ xy n y + τ xz n z T y = τ yx n x + σ y n y + τ yz n z T z = τ zx n x + τ zy n y + σ z n z Jos otaksutaan yksinkertaisuuden säilyttämiseksi x, y, z-koordinaatiston yhtyvän pääjännityskoordinaatistoon, nämä tasapainoyhtälöt yksinkertaistuvat muotoon Samoin pinnan normaalijännityskomponentti saa muodon Yhtälöä (.39) hyväksi käyttämällä saadaan T x = σ n x T y = σ 2 n y (.60) T z = σ 3 n z σ = T n = σ n 2 x + σ 2 n 2 y + σ 3 n 2 z (.6) σ 2 + τ 2 = T 2 = σ 2 n 2 x + σ 2 2n 2 y + σ 2 3n 2 z (.62) 27

28 Kuva.2 Periaatekuva Mohrin jännitysympyröistä Yhtälöt (.6) ja (.62) yhdessä yksikkövektorin pituuden määrittävän ehdon n 2 x + n2 y + n 2 z = muodostavat kolme yhtälöä käsittävän yhtälösysteemin suuntakosinien neliöiden määrittämiseksi. Se voidaan esittää muodossa σ σ 2 σ 3 n 2 x σ σ 2 σ2 2 σ3 2 n 2 y = σ 2 + τ 2 (.63) Tämän yhtälösysteemin ratkaisu on n 2 z n 2 x = τ 2 +(σ σ 2 )(σ σ 3 ) (σ σ 2 )(σ σ 3 ) n 2 y = τ 2 +(σ σ )(σ σ 3 ) (σ 2 σ )(σ 2 σ 3 ) n 2 z = τ 2 +(σ σ )(σ σ 2 ) 0 (σ 3 σ )(σ 3 σ 2 ) Koska ratkaisuna ovat suuntakosinien neliöt, tulee niiden luonnollisesti olla positiivisia. Kun asetetaan pääjännitykset keskenään suuruusjärjestykseen siten, että 0 0 (.64) σ σ 2 σ 3 (.65) ja tutkitaan lausekkeiden (.64) nimittäjien etumerkkiä, osoittajissa olevien lausekkeiden tulee toteuttaa vastaavassa järjestyksessä seuraavat epäyhtälöt: τ 2 +(σ σ 2 )(σ σ 3 ) 0 τ 2 +(σ σ )(σ σ 3 ) 0 τ 2 +(σ σ )(σ σ 2 ) 0 (.66) 28

29 Valittaessa kustakin epäyhtälöstä yhtäläisyysmerkki saadaan (σ, τ )-koordinaatistossa kolmen ympyrän yhtälöt S, S 2 ja S 3, esitetty kuvassa.2, jotka ovat τ 2 +(σ 2 (σ 2 + σ 3 )) 2 = 4 (σ 2 σ 3 ) 2 S τ 2 +(σ 2 (σ + σ 3 )) 2 = 4 (σ σ 3 ) 2 S 2 (.67) τ 2 +(σ 2 (σ + σ 2 )) 2 = 4 (σ σ 2 ) 2 S 3 Ympyröiden keskipisteet sijaitsevat σ-akselilla. Oheisessa taulukossa on annettu ympyröiden halkaisijat ja keskipisteiden koordinaatit. ympyrä halkaisija keskipiste S (σ 2 σ 3 ) ( 2 (σ 2 + σ 3 ), 0) S2 (σ σ 3 ) ( 2 (σ + σ 3 ), 0) S3 (σ σ 2 ) ( 2 (σ + σ 2 ), 0) Piirrettäessä kyseessä olevat ympyrät (σ, τ )-koordinaatistoon (kuva.2) epäyhtälöt (.66) määrittävät kuvassa viivoitetun kolmen ympyrän rajoittaman alueen, jossa jokaisen mielivaltaisen tason normaali-leikkausjännitysparin tulee sijaita. Kuvassa.3 on esitetty erästä jännitystilaa vastaavat Mohrin jännitysympyrät. Kuvasta havaitaan, että kaavoissa (.67) määritellyistä ympyröistä keskimmäinen on suurin ja kulkee suurinta ja pienintä pääjännitystä vastaavienσ-akselilla sijaitsevien pisteiden (σ, 0) ja (σ 3, 0) kautta. Samalla se edustaa suurinta leikkausjännitystä, joka näin ollen määräytyy ko. ympyrän säteen pituutena. Kuvasta nähdään lisäksi, että tasolla, jolla esiintyy suurin leikkausjännitys, normaalijännitys on σ n = 2 (σ + σ 3 ). Jos suurin leikkausjännityksen arvo ja vastaava normaalijännitys sijoitetaan kaavoihin (.64), saadaan suuntakosinien arvoiksi n 2 x = n2 z = 2 ja n y =0. Tämä osoittaa, että suurin leikkausjännitys esiintyy tasoilla, jotka puolittavat niiden tasojen välisen kulman, joilla esiintyy suurin ja pienin normaalijännitys. Kuvasta.3 voidaan lisäksi graafisesti löytää eri tasoilla vallitsevat yhdistelmät normaali- ja leikkausjännityskomponenteista, kun pääjännitykset tunnetaan. Jos tarkoituksena on löytää jännitykset tasolla, jonka normaali muodostaa kulmat α, β ja γ pääsuuntien kanssa, erotetaan σ-akselilta kulmat 2α ja 2γ kuvan mukaisesti. Näin määräytyvät pisteet A ja B. Piste P, jonka komponentit kuvassa edustavat etsittyjä jännityksiä σ n,τ n,löytyy siten, että piirretään C keskinen ympyrä pisteen A kautta ja vastaavasti C 3 keskinen ympyrä pisteen B kautta. Näin määräytyvä leikkauspiste on piste P. Tulos voidaan vielä tarkistaa erottamalla kuvassa esitetyllä tavalla kulma 2β kahdesta suunnasta ja piirtämällä näin kiinnitettyjen pisteiden D ja E kautta C 2 keskinen ympyrä, jonka tulisi leikata edellä piirretyt ympyrät juuri pisteessä P. Käänteinen probleema voidaan ratkaista mittaamalla aluksi pisteen P asema ja mittaamalla lopuksi kuvasta kulmat 2α, 2β ja 2γ. Graafista ratkaisua kaiken kaikkiaan varsin harvoin tarvitaan, koska se vastaa tarkalleen ottaen yhtälöryhmän (.64) ratkaisemista, mikä useimmiten on huomattavastikin helpompi suorittaa. 29

30 Kuva.3 Mohrin jännitysympyrät.7 Hooken materiaalilaki Tarkastellaan kuvan.4 mukaista homogeenista, isotrooppista särmiötä, jota kuormittaa aluksi ainoastaan normaalijännitys σ x, kuva.4a. Tästä jännityksestä aiheutuvat ainoat nollasta eroavat muodonmuutokset ovat venymät ɛ x = E σ x, ɛ y = ν E σ x, ɛ z = ν E σ x Kun särmiön kuormituksena on vastaavasti vain normaalijännitys σ y, kuva.4b, venymiksi saadaan ɛ x = ν E σ y, ɛ y = E σ y, ɛ z = ν E σ y 30

31 Kuva.4 Normaalijännityskomponentit ja kuormituksesta σ z, kuva.4c, venymät ɛ x = ν E σ z, ɛ y = ν E σ z, ɛ z = E σ z Kun edellämainitut normaalijännitykset vaikuttavat särmiöön samanaikaisesti, kuva.4d, voidaan lineaarisen kimmoteorian yhteenlaskuperiaatteen mukaan jännitykset superponoida keskenään eli laskea yhteen. Tällöin saadaan ɛ x = E (σ x ν(σ y + σ z )) ɛ y = E (σ y ν(σ y + σ z )) (.68) ɛ z = E (σ z ν(σ x + σ z )) On huomattava, että liukumia γ xy,γ yz,γ zx ei näin lainkaan syntynyt. Lausekkeet (.68) voidaan myös esittää matriisimuodossa missä E = +ν E S ν E (σ x + σ y + σ z )I = 2G S ν E 3σ mi (.69) E = ɛ x ɛ y 0, S = σ x σ y ɛ z 0 0 σ z 3

32 ja σ m = 3 (σ x + σ y + σ z ). Kun yhtälöön (.69) suoritetaan koordinaatiston muunnos (.28) saadaan ( +ν Ê = L T EL = L T E S ν ) E (σ x + σ y + σ z )I L = +ν E LT SL 3ν E σ ml T L (.70) = +ν E Ŝ 3ν E σ mi Tulosta johdettaessa käytettiin hyväksi myös jännityskomponenttien välistä muunnoskaavaa (.46). Saatu tulos pätee mielivaltaisesti valitussa koordinaattijärjestelmässä, missä muodonmuutos- ja jännitysmatriisit eivät enää ole diagonaalimatriisejavaan yleistä muotoa (.9) ja (.44). Kun kaavat (.70) kirjoitetaan komponenttimuodossa, saadaan ɛ x = E (σ x ν(σ y + σ z )) ɛ y = E (σ y ν(σ x + σ z )) ɛ z = E (σ z ν(σ x + σ y )) 2( + ν) γ xy = τ xy E 2( + ν) γ yz = τ yz E 2( + ν) γ zx = τ zx E (.7) Koska Hooken lain mukaan liukumoduuli (leikkausmoduuli) määritellään tavanomaisesti yhtälöllä γ = τ/g, (.7):stä nähdään tuttu yhteys G = E 2( + ν) (.72) Aikaisemmin yhtälössä (.23b) määritelty suhteellinen tilavuudenmuutos voidaan esittää muodossa e = I = ɛ + ɛ 2 + ɛ 3 = 2ν E (σ + σ 2 + σ 3 )= 3( 2ν) σ m E joka esitetään tavallisestiniinsanotun kokoonpuristumismoduulin K = E/3( 2ν) avulla muodossa e = K σ m (.73) Yleistetty lineaarisesti kimmoinen materiaalimalli eli Hooken laki (.70) tai (.7) voidaan esittää myös kääntäen, eli lausumalla jännitykset muodonmuutosten avulla. Tällöin saadaan (.70):tä vastaten lauseke [ S =2G E + ν ] 2ν (ɛ x + ɛ y + ɛ z )I 32 (.74)

33 tai (.7):tä vastaava komponenttimuotoinen esitys σ x = 2G 2ν [ɛ x + ν(ɛ y + ɛ z )] σ y = 2G 2ν [ɛ y + ν(ɛ x + ɛ z )] σ z = 2G 2ν [ɛ z + ν(ɛ x + ɛ y )] E τ xy = 2( + ν) γ xy = Gγ xy E τ yz = 2( + ν) γ yz = Gγ yz E τ zx = 2( + ν) γ zx = Gγ zx (.75) Hooken laki esitetään myös usein käyttämällä jännitys- ja muodonmuutosvektoreita, joihin kaikki vastaavat komponentit sijoitetaan allekkain σ x σ y σ σ = z τ xy τ yz τ zx ɛ x ɛ y ɛ ɛ = z γ xy γ yz Tällöin kimmoteorian mukainen materiaalilaki voidaan lausua muodoissa tai kääntäen D = 2G 2ν γ zx σ = Dɛ (.76) ɛ = D σ (.77) Matriisia D, joka on aina symmetrinen, kutsutaan jännitysmuodonmuutosmatriisiksi ja se on ν ν ν ν ν ν ν ν ν ja käänteismatriisi vastaavasti ( 2ν) ( 2ν) ( 2ν) ν ν ν ν D = ν ν E (+ν) (+ν) (+ν) 33 2 (.78a) (.78b)

34 Havaitaan, että homogeenisen isotrooppisen aineen jännitys-muodonmuutosriippuvuuden kuvaamiseen riittää kaksi toisistaan riippumatonta materiaaliparametria, kimmokerroin E ja suppeumaluku ν. Näistä kumpi tahansa voidaan korvata liukukertoimella G. Usein käytetään myös niinsanottuja Lamen materiaaliparametreja λ e ja µ e,jotkamääritellään kimmokertoimen ja suppeumaluvun avulla seuraavasti: λ e = Eν ( + ν)( 2ν), µ e = E 2( + ν) = G (.79) Yhtälöitä (.78) voidaan soveltaa myös mielivaltaisen anisotrooppisen ainemallin tapauksessa. Jännitys-muodonmuutosmatriisi määräytyy kutakin materiaalimallia ja tarvittavaa lukumäärää materiaalivakioita käyttäen. Yleiselle anisotrooppiselle aineelle matriisi on muotoa D D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 D 22 D 23 D 24 D 25 D 26 D D = 33 D 34 D 35 D 36 D 44 D 45 D 46 s y m D 55 D 56 D 66 (.80) Symmetria huomioon ottaen havaitaan, että jännitysmuodonmuutosmatriisissa (.80) on 2 riippumatonta materiaaliparametria. Ortotrooppisen aineen tapauksessa, joka on erikoistapaus yleisestä anisotrooppisesta mallista, on kolme keskenään ortogonaalista suuntaa, joissa materiaaliparametrit poikkeavat toisistaan. Jos tarkastelukoordinaatiston akselitvalitaanyhtymäänortotropia-akseleihin, muodonmuutosten jajännitysten välinen yhteys on muotoa ɛ x = E σ x ν 2 E 2 σ y ν 3 E 3 σ z ɛ y = ν 2 E 2 σ x + E 2 σ y ν 23 E 3 σ z ɛ z = ν 3 E σ x ν 32 E 2 σ y + E 3 σ z (.8) γ xy = G 2 τ xy γ yz = G 23 τ yz γ zx = G 3 τ zx Mallissa on siis kolme eri kimmomoduulia, kuusi suppeumalukua ja kolme liukumoduulia. 34

35 Jännitysmuodonmuutosmatriisin käänteismatriisi on ν 2 ν E E 2 E 3 ν 2 ν E E 2 E 3 ν 3 ν D = E E 2 E G G G 3 (.82) Ortotropiamalli sisältää 2 materiaaliparametria, joista symmetrian vuoksi saatavilla kolmella rajoite-ehdolla ν 2 = ν 2 ν 23, = ν 32 ν 3, = ν 3 E 2 E E 3 E 2 E 3 E toisistaan riippumattomien parametrien lukumäärä alenee 9:ään..8 Siirtymämenetelmä Muodonmuutosten ja siirtymien väliset lineaariset yhteydet (.4) ja (.6), tasapainoyhtälöt (.4) sekä konstitutiiviset yhtälöt (.7) tai (.75) muodostavat yhdessä 5 yhtälön yhtälösysteemin 5 muuttujan ratkaisemiseksi. Nämä 5 muuttujaa ovat kolme siirtymää u, v, w, kuusi muodonmuutoksta ɛ x,ɛ y,ɛ z,γ xy,γ yz,γ zx sekä kuusi jännityskomponenttia σ x,σ y,σ z,τ xy,τ yz,τ zx.yhtäl systeemi on muotoa ɛ x = u, ɛ y = v, γ xy = u + v, σ x + τ yx ɛ z = w γ yz = v + w, (.4) + τ zx + F x =0 τ xy + σ y + τ zy + F y =0 (.4) γ zx = w + u (.6) 6yhtälöä 3yhtälöä τ xz + τ yz + σ z + F z =0 ɛ x = E (σ x ν(σ y + σ z )) ɛ y = E (σ y ν(σ x + σ z )) (.7) ɛ z = E (σ z ν(σ x + σ y )) γ xy = G τ xy γ yz = G τ yz γ zx = G τ zx 6yhtälöä 35

36 Ratkaistaessa nämä5yhtälöä siirtymämenetelmälläyhtälöryhmästä eliminoidaan jännitykset ja muodonmuutokset, jolloin päädytään ainoastaan siirtymät tuntemattomina sisältäviin kolmeen yhtälöön: u + e 2ν + F x G =0 v + e 2ν + F y G =0 w + e 2ν + F z G =0 (.83) joissa Laplace-operaattori on ja lisäksi on käytetty lyhennysmerkintää = e = u + v + w Yhtälöitä (.83) nimitetään Navierin yhtälöiksi ja ne on johdettu otaksumalla tarkasteltava materiaali homogeeniseksi isotrooppiseksi..9 Voimamenetelmä Jos lineaariset muodonmuutosten lausekkeet (.4) ja (.6) tunnetaan, voidaan niistä ratkaista siirtymät u, v, w vain siinä tapauksessa, että muodonmuutokset toteuttavat kuusi yhteensopivuus- eli kompatibiliteettiehtoa. Nämä ehdot, jotka saadaan eliminoimalla lausekkeista (.4) ja (.6) siirtymät u, v, w, takaavat jatkuvan siirtymätilan olemassaolon. Mainitut kuusi yhteensopivuusehtoa ovat 2 ɛ x 2 2 ɛ y ɛ y ɛ z 2 = 2 γ xy = 2 γ yz 2 ɛ z ɛ x ɛ x = ( γ xy 2 2 ɛ y = ( γ xy 2 2 ɛ z = ( γ zx = 2 γ zx + γ zx + γ yz + γ yz γ yz ) γ zx ) γ xy ) (.84) Voimamenetelmää käytettäessä muodonmuutokset lausutaan aluksi jännitysten avulla ja sijoitetaan yhteensopivuusehtoihin (.84). Ottamalla huomioon tasapainoehdot ja 36

37 sieventämällä saadaan voimamenetelmän perusteena olevat Beltrami-Michellin yhtälöt, jotka ovat σ x + 2 s +ν = ν 2 ν div F 2 F x σ y + 2 s +ν = ν 2 ν div F 2 F y σ z + 2 s +ν = ν 2 ν div F 2 F z τ xy 2 s +ν = F x F (.85) y τ yz +ν τ zx +ν Näissä divergenssi määritellään ja käyteään lyhennysmerkintää 2 s = F y F z 2 s = F z F x divf = F = F x + F y + F z s = σ x + σ y + σ z Saaduissa kuudessa yhtälössä on tuntemattomina kuusi jännityskomponenttia..0 Reunaehdot Tarkasteltavan alueen reunaviiva ( reunapinta ) S koostuu kahdesta osasta, joista toisella S u on annettu reunaehdot siirtymäsuureille ja toisella S T voimasuureille. Edellisiä reunaehtoja kutsutaan kinemaattisiksi ja jälkimmäisiä mekaanisiksi. On huomattava, että koko reuna-alueen tulee olla katettu edellä mainituilla kahdella osalla, eli S = S u + S T. Alueet voivat kuitenkin mennä reunaviivalla eri sirtymäkomponenttien osalta osittain päällekkäin. Kiinnitetty reuna Reunan osalla S u siirtymillä on ennalta annetut arvot ū, v ja w, toisin sanoen u =ū, v = v, w = w S u : lla (.86) Annetut arvot voivat luonnollisesti olla nollia, ū = v = w = 0, jolloin kyseessä on kiinnitetty reuna. Kuormitettu reuna Kuormitetulla reunalla S T jännityskomponenteilla on annetut arvot T x, T y ja T z. Reunaehto voidaan antaa yhtälöiden (.43) avulla seuraavasti: σ x n x + τ xy n y + τ xz n z = T x τ yx n x + σ y n y + τ yz n z = T y S T : llä (.87) τ zx n x + τ zy n y + σ z n z = T z Vapaalla eli ns. kuormittamattomalla reunalla annetut voimasuureet häviävät, eli T x = T y = T z =0. 37

38 Kuva.5 Virtuaalisen työn periaate. Virtuaalisen työn periaate Virtuaalisen työn periaattetta, joskus myös virtuaalisten siirtymien periaatteeksi kutsuttua, sovellettaessa tasapainossa olevalle kappaleelle annetaan mielivaltaiset virtuaaliset, kuvitteelliset, siirtymät δu, δv ja δw. Virtuaalisen työn periaatteen mukaan tässä siirtymäkentässä tasapainossa olevan voimasysteemin tekemä virtuaalinen työ häviää. Virtuaalinen siirtymätila voi olla kinemaattisesti luvallinen, jolloin se toteuttaa kinemaattiset reunaehdot, tai kinemaattisesti luvaton, jolloin se rikkoo joko ulkoisia tukiehtoja tai rakenteen jatkuvuusehtoja. Edellä mainittuihin virtuaalisiin siirtymiin liittyvät virtuaaliset muodonmuutoskomponentit ovat δɛ x = (δu), δγ xy = (δu) + (δv), δɛ y = (δv), δɛ z = (δw) δγ yz = (δv) + (δw), δγ zx = (δw) + (δu) (.88) Määritettäessä eri jännityskomponenttien tekemän virtuaalisen työn lausekkeet tarkastellaankuvassa.5 a esitettyä alkiota. Siinä kuvattu normaalijännityskomponentti σ x, jonka resultantti on σ x dydz, tekee negatiivisen x-akselin puoleisella pinnalla negatiivisen virtuaalisen työn σ x dydzδu ja positiivisen x-akselin puoleisella pinnalla vastaavasti positiivisen virtuaalisen työn σ x dydz(δu + (δu) dx) =σ xdydz(δu + δɛ x dx), joten normaalijännityksen σ x osuus tilavuusalkion dv virtuaalisesta työstä on kaikkiaan σ x dydz(δu + δɛ x dx) σ x dydzδu = σ x dydzδɛ x dx = σ x δɛ x dv Aivan vastaavalla tavalla määritetään normaalijännitysten σ y ja σ z osuudet. Leikkausjännityksen τ xy tekemä virtuaalinen työ x-akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla saadaan kuvassa.5 38

39 b esitetyin merkinnöin τ xy dydz(δv + (δv) dx) τ xydydzδv = τ xy dydz (δv) dx Kun tähän lisätään vielä vastaavan komponentin τ yx tekemä virtuaalinen työ y- akselia vastaan kohtisuorilla tasoilla ja otetaan huomioon leikkaujännitysten parittaisuus, saadaan τ xy dydz (δv) dx + τ yxdxdz (δu) dy = τ xyδγ xy dv Vastaavalla tavalla saadaan leikkausjännityskomponenttien τ yz ja τ zx tekemä virtuaalinen työ. Kokoamalla kaikkien sisäisten voimien tilavuusalkioon dv tekemän virtuaalisen työn komponentit saadaan lauseke (σ x δɛ x + σ y δɛ y + σ z δɛ z + τ xy δγ xy + τ yz δγ yz + τ zx δγ zx )dv joka koko kappaleen osalta saadaan integroimalla yli kappaleen tilavuuden δw int = V (σ x δɛ x + σ y δɛ y + σ z δɛ z + τ xy δγ xy + τ yz δγ yz + τ zx δγ zx )dv (.89a) Tämä on matriisimuodossa esitettynä δw int = V δɛ T σdv (.89b) Ulkoisista voimista sekä tilavuusvoimat F että pintatraktiot T tekevät työtä jolloin ulkoisen virtuaalisen työn lauseke on eli matriisimuodossa δw ext = δw ext = V V F δ udv + T δ uds (.90a) S T δu T FdV + δu T TdS S T (.90b) Virtuaalisen työn periaatteen mukaan sisäinen ja ulkoinen virtuaalinen työ ovatyhtäsuuret, eli δw int δw ext =0 (.9) Tämä periaate on varsin helppo myös todistaa. Lausutaan aluksi sisäisen virtuaalisen työn lauseke (.88) virtuaalisten siirtymäkomponenttien derivaattojen avulla muodossa δw int = V {σ x (δu) + (δv) ]+τ yz[ (δv) + σ (δv) (δw) y + σ z + τ xy [ (δu) + (δw) ]+τ zx[ (δw) 39 + (δu) ]}dv

40 Sovelletaan kuhunkin termiin kolmedimensioisia osittaisintegrointikaavoja, jotka ovat u v V dv = u n x uvds S V vdv u v V dv = u n y uvds S V vdv (.92) u v dv = u n z uvds vdv V S Näissä u = u(x, y, z) jav = v(x, y, z) jan x, n y ja n z ovat pinnan yksikkönormaalin projektiot koordinaattiakselien suunnille. Tuloksena saadaan lausekkeet, joissa on sijoitustermi kappaleen reunapinnalta sekä tilavuusintegraalitermi δw int = [σ x n x δu + σ y n y δv + σ z n z δw + τ xy (n y δu + n x δv)+τ yz (n z δv + n y δw) S V + τ zx (n x δw + n z δu)]ds [ σx δu + σ y δv + σ z δw + τ xy δu + τ xy + τ yz δv + τ yz δw + τ zx δw + τ zx δu V δv ] dv Ryhmittelemällä termit sopivasti saadaan δw int = [(σ x n x + τ xy n y + τ zx n z )δu +(τ xy n y + σ y n y + τ zy n z )δv S V +(τ zx n x + τ yz n y + σ z n z )δw]ds [ ( σ x + τ yx + τ zx )δu +( τ xy +( τ xz + τ yz + σ z )δw + σ y + τ zy )δv ] dv Käyttämällä nyt hyväksi tasapainoyhtälöitä (.4) ja (.87) tämä saadaan muotoon δw int = (T x δu + T y δv + T z δw)ds + (F x δu + F y δv + F z δw)dv S Ottamalla vielä huomioon erikseen kinemaattiset ja geometriset reunaehdot reunapinnoilla S T ja S u saadaan δw int = ( T x δu + T y δv + T z δw)ds + (T x δu + T y δv + T z δw)ds S T S u + (F x δu + F y δv + F z δw)dv = δw ext, V josta keskimmäinen termi häviää sillä perusteella, että virtuaalinen siirtymätilaon valittu toteuttamaan kinemaattiset reunaehdot reunan osalla S u. Näin on osoitettu oikeaksi 40 V

41 virtuaalisen työn periaate lähtemällä sisäisen virtuaalisen työn lausekkeesta ja päätyen lopulta yhtäläisyyteen vastaavan ulkoisen työn lausekkeen kanssa..2 Virtuaalisten jännitysten periaate Tässä periaatteessa, jota kutsutaan joskus myös komplementaarisen virtuaalisen työn periaatteeksi, tasapainossa olevalle kappaleelle otaksutaan homogeeniset tasapainoyhtälöt (.4) δσ x δτ xy δτ xz + δτ yx + δσ y + δτ yz alueessa V ja homogeeniset reunaehdot (.87) + δτ zx + δτ zy + δσ z =0 =0 =0 δσ x n x + δτ xy n y + δτ xz n z =0 δτ yx n x + δσ y n y + δτ yz n z =0 δτ zx n x + δτ zy n y + δσ z n z =0 reunan osalla S T toteuttavat virtuaaliset jännitykset. Tällöin sisäinen komplementaarinen työ on δ W int = (ɛ x δσ x + ɛ y δσ y + ɛ z δσ z + γ xy δτ xy + γ yz δτ yz + γ zx δτ zx )dv (.93a) V ja sama matriisimuodossa δ W int = V ɛ T δσdv missä virtuaaliset jännityskomponentit muodostavat vektorin σ (.93b) δσ =[δσ x,δσ y,δσ z,δτ xy,δτ yz,δτ zx ] T Ulkoinen komplementaarinen työ on vastaavasti δ W ext = (ūδt x + vδt y + wδt z )ds S u (.94a) eli vektoriesityksenä W ext = u T δtds (.94b) S u Virtuaalisten jännitysten periaatteen mukaan sisäinen ja ulkoinen komplementaarinen virtuaalinen työ ovatyhtäsuuret, eli δ W int δ W ext =0 (.95) Tämän periaatteen todeksi osoittaminen tapahtuu aivan analogisesti edellä esitetyn virtuaalisen työn periaatteen todistamisen kanssa. 4

Materiaalien mekaniikka

Materiaalien mekaniikka Materiaalien mekaniikka 3. harjoitus jännitys ja tasapainoyhtälöt 1. Onko seuraava jännityskenttä tasapainossa kun tilavuusvoimia ei ole: σ x = σ 0 ( 3x L + 4xy 8y ), σ y = σ 0 ( x L xy + 3y ), τ xy =

Lisätiedot

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä.

Materiaali on lineaarinen, jos konstitutiiviset yhtälöt ovat jännitys- ja muodonmuutostilan suureiden välisiä lineaarisia yhtälöitä. JÄNNITYS-JAMUODONMUUTOSTILANYHTYS Materiaalimalleista Jännitys- ja muodonmuutostila ovat kytkennässä toisiinsa ja kytkennän antavia yhtälöitä sanotaan materiaaliyhtälöiksi eli konstitutiivisiksi yhtälöiksi.

Lisätiedot

Johdatus materiaalimalleihin

Johdatus materiaalimalleihin Johdatus materiaalimalleihin 2 kotitehtäväsarja - kimmoisat materiaalimallit Tehtävä Erään epälineaarisen kimmoisen isotrooppisen aineen konstitutiivinen yhtälö on σ = f(i ε )I + Ge () jossa venymätensorin

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä.

Ratkaisut 2. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016. Tehtävä 1 Selitä käsitteet kohdissa a) ja b) sekä laske c) kohdan tehtävä. Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 14:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit

Lisätiedot

2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv

2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyv 2. harjoitus - malliratkaisut Tehtävä 3. Tasojännitystilassa olevan kappaleen kaksiakselista rasitustilaa käytetään usein materiaalimalleissa esiintyvien vakioiden määrittämiseen. Jännitystila on siten

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa

SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa SISÄLTÖ Venymän käsite Liukuman käsite Venymä ja liukuma lujuusopin sovelluksissa 1 SISÄLTÖ 1. Siirtymä 2 1 2.1 MUODONMUUTOS Muodonmuutos (deformaatio) Tapahtuu, kun kappaleeseen vaikuttaa voima/voimia

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa

Vektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat

10. Jännitysten ja muodonmuutosten yhteys; vaurioteoriat TAVOITTEET Esitetään vastaavalla tavalla kuin jännitystilan yhteydessä venymätilan muunnosyhtälöt Kehitetään materiaaliparametrien yhteyksiä; yleistetty Hooken laki Esitetään vaurioteoriat, joilla normaali-

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Tampere University of Technology

Tampere University of Technology Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori

Vektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet Luento 23.11.2015 Susanna Hurme, Yliopistonlehtori, TkT Luennon sisältö Hooken laki lineaaris-elastiselle materiaalille (Reddy, kpl 6.2.3) Lujuusoppia: sauva (Reddy,

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1

A B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1 Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!

Lisätiedot

Laskuharjoitus 2 Ratkaisut

Laskuharjoitus 2 Ratkaisut Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 7.3. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 2 Ratkaisut 1.

Lisätiedot

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2

Osoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2 8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016

Harjoitus 6. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016 KJR-C001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/01 Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 1:00 mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

MEI Kontinuumimekaniikka

MEI Kontinuumimekaniikka MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 1 MEI-55300 Kontinuumimekaniikka 3. harjoitus matemaattiset peruskäsitteet, kinematiikkaa Ratkaisut T 1: Olkoon x 1, x 2, x 3 (tai x, y, z) suorakulmainen karteesinen koordinaatisto

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Gaussin lause eli divergenssilause 1

Gaussin lause eli divergenssilause 1 80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9

Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti

KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, tentti 13.12.2017 1. Jos r θ on paikkavektori, niin mitä ovat r θ, esitksiä r θ ja r θ? Kätä Karteesisen koordinaatiston T θ θ r < j < j zθ θ k k z ja / θ < j

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.2.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Voiman momentin käsite (Kirjan luvut 4.1-4.6) Mikä on voiman momentti? Määritetään momentti skalaari- ja vektorimuodossa Opitaan

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

y 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.

y 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu. Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R, Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.

Suorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö. Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,

Lisätiedot