Potentiaalikuoppa, työohje
|
|
- Liisa Väänänen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Potentiaalikuoppa, työohje 16. lokakuuta 013 Johdanto Kvanttimekaniikassa potentiaalikuopalla tarkoitetaan järjestelmää, jossa hiukkasen liike on rajoitettu äärelliseen alueeseen. Tästä seuraa ominaisenergian kvantittuminen, eli se, että sidotun hiukkasen kokonaisenergialla on vain tietyt (diskreetit) mahdolliset arvot, joita se voi saada. Erona klassiseen mekaniikkaan on, että klassisesti sidotulla hiukkasella voi olla mikä tahansa kokonaisenergia. Klassisen ja kvanttifysiikan eroa voidaan hahmottaa esimerkiksi vertaamalla elektronin liikettä protonin sähkökentässä (vetyatomi) ja asteroidin liikettä auringon gravitaatiokentässä. Kumpaankin niistä vaikuttaa matemaattisesti samankaltainen voima, sillä sekä gravitaatio, että sähkömagneettinen voima ovat kääntäen verrannollisia etäisyyden neliöön. Kuitenkin elektroni voi olla vain tietyillä energiatiloilla, joista johtuen havaitaan esim. Lyman- ja Balmersarjat vetyatomin spektrissä elektroni siirtyessä tilalta toiselle. Asteroidilla liikettä ei taas ole rajoitettu tietyille ominaistiloille auringon ympärillä vaan sillä voi olla mikä tahansa kokonaisenergia ja mikä tahansa rata. Klassista ja kvanttimekanista systeemiä kuvataan erilaisella matematiikalla. Kun klassisessa mekaniikassa kappaleen liikettä voidaan kuvata Newtonin laeilla tai Hamiltonin mekaniikalla, kuvataan kvanttimekaanista systeemiä Schrödingerin yhtälöllä. Tässä työssä käsitellään ajasta riippumatonta Schrödingerin yhtälöä Eψ(x) = Ĥψ(x), (1) missä ψ(x) on paikasta riippuva aaltofunktio, E on systeemin kokonaisenergia 1
2 ja Ĥ = ˆT + ˆV = ˆp m + V (x) = m x + V (x) on Hamiltonin operaattori eli kokonaisenergiaoperaattori, jossa V (x) paikasta riippuva potentaali. Klassisessa mekaniikassa kokonaisenergiaoperaattori Ĥ vastine on liike- ja potentiaalienergia. Operaattori Ĥ on ominainen kvanttisysteemille, mutta Schrödingerin yhtälön ratkaisuna saadaan yleensä useampi aaltofunktio ψ(x) ja kokonaisenergia E, joita kutsutaan systeemin ominaistiloksi (tai ominaisvektoreiksi, ominaisaaltofunktioiksi, orbitaaleiksi, jne) ψ n (x) ja ominaisenergioiksi (tai ominaisarvoiksi, jne) E n. () Potentiaalikuopat fysiikassa Yleensä melko monimutkaisetkin atomifysiikan ja materiaalifysiikan monenkappaleen kvanttisysteemit voidaan kuvata melko yksinkertaiselta näyttävän Hamiltonin operaattorin avulla. Kuitenkin, jotta ominaistilat voitaisiin ratkaista Schrödingerin yhtälöstä, täytyy potentiaalikuopan muoto tuntea tai sille pystyä esittämään jokin mahdollisimman hyvä arvio. Yleensä Schrödingerin yhtälö pystytään ratkaisemaan analyyttisesti vain hyvin yksinkertaisissa tilanteissa [7], kuten vetyatomille. Monimutkaisemmissa tapauksissa yhtälö joudutaan ratkeisemaan numeerisesti ja useamman hiukkasen järjestelmissä käyttämään erilaisia approksimaatiota jotta edes yhtälön numeerinen ratkaisu olisi mahdollista. Erilaisia aproksimaatiomenetelmiä on kehitetty lukuisia ja monenkappaleen kvanttimekaniikasta sekä siihen liittyvästä tutkimuksesta on jaettu useita Nobelin palkintoja fysiikassa ja kemiassa [1, 4, 6]. Erilaisia kvanttisysteemejä voidaan kuvata erilaisilla potentiaalikuopilla ja hiukkasilla. Esimerkiksi ydinfysiikassa käytetään Woods Saxon-potentiaalia [5], joka on lähelle laatikkopotentiaalia, kuvaamaan vahvan vuorovaikuksen aiheuttamaan sidosvoimaa protoneihin ja neutroineihin. Atomin elektroneille potentiaali on ytimen aiheuttama Coulumbin potentiaali [3], jota voidaan aproksimoida melko tarkasti harmonisella potentiaalilla. Kaksiatomisten molekyylien värähtelyille käytetään yleisesti Morse tai Lennard-Jones potentiaalia [3], joka on lähelle vinopohjaista potentiaalikuoppaa. Materiaalifysiikassa käytetään yleisesti erimallisia jaksollisia potentiaalikuoppia kuvaamassa atomeita hilassa ja äärellisiä esteitä tai askelmia kuvaamaan puolijohteiden rajapintoja.
3 Tilojen ominaisenergiat eivät ole ainoa tieto mikä saadaan ratkaisemalla systeemin ominaisarvot Schrödingerin yhtälöstä. Ominaisenergioiden lisäksi systeemin ominaistilojen symmetrialla (pariteetilla) on tärkeä rooli fysiikassa. Esimerkiksi atomifysiikassa ominaistilojen symmetria määrää mille tiloille elektroni voi itsestään siirtyä tai minne se voidaan valon, esimerkiksi laserin, avulla virittää. Kemiassa kovalenttisidokset ovat kahden atomin ominaistilojen yhdistymistä, johon vaikuttavat voimakkaasti sekä atomien ominaisenergiat, että ominaistilojen eli orbitaalien muoto. Ominaistilojen symmetrian merkityksestä atomin käytökseen löydetään esimerkki kurssillakin ratkaistusta vetyatomista. Vetyatomin ensimmäiselle viritystilalle saadaan kaksi energialtaaan täsmälleen saman suuruista ratkaisua (kurssikirjassa merkinnöillä ψ 00 ja ψ 10 []), joita merkitään yleisesti S ja P tiloiksi. Kun elektroni siirtyy ylemältä tilalta P perustilalle 1S, emittoituu fotonin jota kutsutaan Lyman α :ksi. Vastaavasti elektroni voidaan virittää Lyman α fotonin avulla perustilalta viritystilalle P. Sensijaan fotonin emittoivat tai absorboivat siirtymät tilalta S tialle 1S ovat kiellettyjä tilojen saman symmetrian takia. Atomi voidaan kuitenkin virittää S tilalle esimerkiksi pommittamalla atomia elektroneilla, kuten plasmassa tapahtuu. Koska S tila ei voi itsestään purkautua Lyman α fotonia emittioiden, on S tila erittäin pitkäikäinen. Tästä voi olla merkittäviä seurauksia vetyplasman dynamiikkaan, kun S tiloille viritetyt atomit ovat kuin toinen atomilaji, jonka ionisaatiopotentiaali on vain kolmasosa alkuperäisestä. Teoria, ratkaisu ja virhe Työssä puhutaan monista eri käsitteistä, kuten teoriasta, analyyttisestä lausekkeesta, analyyttisestä ratkaisusta, numeerisesta ratkaisusta, joita on syytä selventää. Erään määritelmän mukaan teoria on maailmaa kuvaava malli. Fysiikassa mallilla voidaan tarkoittaa matemaattista lauseketta, joka pystyy kuvaamaan havaittavaa ilmiötä. Toki monetkaan käsitteistä ei ole yksiselitteisesti määritelty, vaan esimerkiksi aproksimaatioita teorian tuomiin matemaattisiin ongelmiin voidaan toisinaan kutsua myöskin teorioiksi. Teorian paikkansapitävyys varmistetaan kokeellisilla mittauksilla, joiden tulee vastata teorian antamia ennustuksia. Teoria voi koostua analyyttisistä lausekkeista (kuten tässä tapauksessa Schrödingerin yhtälö joka sisältää tutkittavan potentiaalikuopan), joiden ratkaisuna voidaan saada mittatavissa olevia suureita (kuten tässä työssä kvanttisysteemin ominaisenergiat). Mitattavat suureet voidaan saada joko ratkaisemalla lauseke analyyttisesti kynällä ja paperilla, tai mikäli se ei onnistu, yhtälö voidaan ratkaista numeerisesti. Lausekkeen 3
4 ratkaisua voidaan helpottaa tekemällä erilaisia aproksimaatioita, jotka kuitenkin lisäävät ratkaisun virhettä. Ratkaistun suureen virhe koostuu sekä teorian virheestä, että ratkaisun virheestä. Virheiden yhteisvaikutusta voidaan verrata kokeelliseen tulokseen teorian paikkansapitävyyteen varmistamiseksi. Näiden kahden eri virhelähteen suuruusluokat on hyvä pitää aina mielessä. Ei ole mielekästä yrittää ratkaista lauseketta kymmenen desimaalin tarkkuudella, jos teoria antaa korkeintaan oikean kertaluokan. Toisaalta, jos teoria toimii hyvin, ratkaisun ja approksimaatioiden virhe voi olla merkitsevin, kuten monissa ongelmissa monen kappaleen kvanttimekaniikassa. Tässä työssä ratkaistuja suureita ei voida verrata mitattuhin suureisiin, joten teorian virhettä ei pystytä arvioimaan. Kuitenkin, koska työssä osa tilanteista pysyttään ratkaiseman sekä tarkasti analyyttisesti, että numeerisesti, mahdollistaa tämä numeerisen ratkaisun virheen arvioimisen. Numeerista virhettä on sekä systemaattista, että satunnaista aivan kuten kokeellisissa mittauksissakin. Työn suoritus Työn tavoitteena verrata analyyttisiä ja numeerisia ratkaisuja erimuotoisille potentiaalikuopille, sekä pohtia mihin tilanteisiin kukin ratkaisumenetelmä soveltuu parhaiten. Lisäksi työssä on tarkoitus tutustua differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen numeerisesti, johon perustuu käytetyn ohjelman tapa ratkaista Schrödingerin yhtälö. Ensimmäisessä vaiheessa ratkaistaa tasapohjaisen äärettömän syvän potentiaalikuopan ominaisenergiat analyyttisesti kynällä ja paperilla. Tämän jälkeen lasketaan häiriöteorian ensimmäisen kertaluokan aproksimaation avulla ominaisenergiat uudelleen, kun potentiaalikuoppaan on lisätty porras. Työn toisessa vaiheessa ominaisenergiat kummallekin kuopalle lasketaan numeerisesti tietokoneohjelman avulla sekä tutkitaan miten ominaisenergiat muuttuvat, kun kuopasta tulee äärellisen syvyinen. Tarkempi kuvaus ohjelmasta ja sen toimintaperiaatteesta on esitetty kappaleessaa Ohjelma ja sen käyttö. Numeeristen ratkaisujen tarkkuutta voidaan arvioida vetaamalla ohjelman tuloksia tarkkoihin analyyttisesti ratkaisuihin tasapojaisesta potentiaalikuopasta. Tämän jälkeen häiriöteorian avulla (joka tässä tilanteessa sisältää vain ensimmäisen kertaluvun aproksimaation) ratkaistuja arvoja porras potentiaalista voidaan verrata numeerisesti laskettuihin arvoihin. 4
5 Tasapohjainen äärettömän syvä potentiaalikuoppa Jokainen käy työssä ensin läpi tasapohjaisen äärettömän syvän potentiaalikuopan (ohjelmassa Square) {, x L V (x) = 0, x < L, (3) jossa L > 0, ominaisenergiat ja aaltofunktiot. Laskut välivaiheineen kirjataan työselostuksen teoriaosaan. Tämän kuopan tunnettuja energioita ja aaltofunktioita verrataan käytettävän ohjelman laskemiin tuloksiin sen varmistamiseksi, että ohjelma toimii oikein ja arvioimaan ohjelman laskentamenetelmän virhettä. Muistin virkistykseksi mainittakoon, että tällaisen kuopan ominaisenergiat ovat E n = π ml (n + 1), n N, (4) jossa L on kuopan leveys. Vastaavat aaltofunktiot ovat normitusta vaille ( ) cos (n+1)π x, n parillinen L ψ n (x) = ( ) sin (n+1)π (5) x, n pariton. L Edellisissä (n + 1):n voisi tietenkin korvata n:llä, mutta nyt käytetyssä numeroinnissa on se etu, että aaltofunktiolla on sama pariteetti kuin vastaavan tilan järjestysnumerolla. Porraspohjainen potentiaalikuoppa Toinen työssä tutkittava potentiaalikuoppa on porraspohjainen potentiaalikuoppa (ohjelmassa Step, tällöin δ = 0., x L V (x) = 0, L < x < 0 (6) δ, 0 < x < L. Tämän potentiaalikuopan voidaan ajatella olevan tasapohjainen potentiaalikuoppa, johon on lisätty δ suuruinen häiriö puoleen kuoppaan. Käyttäen tätä tietoa lasketaan ensimmäisen kertaluvun korjauksen tasapohjaisen potentiaalikuopan ominaisenergioihin hyödyntäen häiriöteoriaa. Ohjelman avulla pystytään laskemaan oikeat ominaisenergiat porraspohjaiselle kuopalle. Tutki ohjelman avulla vähintään viittä alinta ominaistilaa kuopista joiden leveydet ovat L = ja L = 0. Mitä huomaat aaltofunktioista kun vertaat niitä tasapohjaisen potentiaalikuopan sekä häiriöteorian ratkaisuihin? 5
6 Työselostus Työstä kirjoitetaan normaali työselostus, joka arvostellaan normaalisti soveltuvilta osin. Työselostus voi aivan hyvin noudattaa normaalia työselostuksen rakennetta, mutta luku Mittauslaitteisto ja kokeelliset menetelmät korvataan luvulla Numeeriset menetelmät. Tähän lukuun kuvataan vähintään ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaiseminen Eulerin menetelmän avulla, joka on yksinkertaisempi mutta epätarkempi menenetelmä kuin ohjelmassa käytetty Runge-Kutta -algoritmi. Toki Runge-Kutta-algoritmin kuvausta ei katsota pahalla. Normaalista työselostuksesta poiketen esimerkkisijoituksia ei tarvitse esittää. Työselostuksesta tulee löytyä seuraavat kohdat: 1. Schrödingerin yhtälön ratkaisu äärettömän syvälle tasapohjaiselle potentiaalikuopalle välivaiheineen.. Vähintään häiriteorian ensimmäisen kertaluvun korjaukset häiriöpotentiaalille δ välivaiheineen. 3. Vähintään kuvaus ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisemisesta numeerisesti Eulerin menetelmän avulla 4. Ohjelman antamien numeeristen ratkaisujen vertailu tarkkoihin analyyttisiin ratkaisuihin tasapohjaisesta potentiaalikuopasta (Square) ja arvio tämän avulla ohjelman antamien tuloksien tarkkuudesta 5. Ohjelman porraspotentiaalista (Step) antamien ratkaisujen vertailu häiriöteorian antamiin arvoihin Milloin ensimmäisen kertaluvun aproksimaatio toimii? Mitä tapahtuu jos ominaisenergia on paljon pienempi tai paljon suurempi kuin portaan suuruus? Voidaanko porraspohjaisen potentiaalikuopan ominaistiloja kuvata äärettömän syvän tasapohjaisen potentiaalikuopan ja häiriöteorian avulla? Miksi ja milloin? Tämän työn kohdalla selostuksen palauttaminen työosastolle merkittävästi hidastaa sen päätymistä tarkastajalle ja siksi työ kannattaa pyrkiä lähettämään sähköpostilla suoraan assarille. 1 Ohjelman käyttö Ohjelman saa käyntiin ajamalla Matlabissa M-tiedosto gui.m, jolloin käynnistyy kuvan 1 mukainen käyttöliittymä. Vasemmanpuoleisessa kuvassa on ratkaistava potentiaalikuoppa. Arvatut energian ala- ja yläraja on merkitty vihreällä 6
7 katkoviivalla, löytynyt ominaisenergia punaisella. Oikeanpuoleisessa kuvassa on löydettyä ominaisenergiaa vastaava aaltofunktio. Työssä ratkaistaan potentiaalikuoppien ominaisenergioita ja -tiloja numeerisesti. Kuten luennoilla on osoitettu, aaltofunktio saa nollasta eroavia arvoja klassisesti kielletyllä alueella kunhan potentiaalin korkeus on äärellinen. Tällainen potentiaali, jota käytettäessä aaltofunktiolle pitäisi laskea arvoja äärettömän kaukana kuopan keskipisteestä, ei sovellu numeeriseen laskentaan. Tässä työssä kaikki kuopat upotetaankin äärettömän syvään laatikkopotentiaaliin. Tämän laatikon reunoilla aaltofunktio voidaan asettaa nollaksi. Mikäli laatikosta tehdään riittävän suuri, ei sen käyttäminen oleellisesti muuta ominaistiloja kuopan pohjalla. Tällainen laatikkoapproksimaatio toimii hyvin silloin, kun laatikon sisällä on tarpeeksi klassisesti kiellettyä aluetta. Äärettömän syvän laatikon kokoa voidaan säätää Boundaries-kohdan arvoilla Ohjelma ei käytä SI-yksiköitä, vaan ohjelmassa = 1 ja hiukkasen massa m = 1. Ohjelma käsittelee siis ajasta riippumatonta Schrödingerin yhtälöä muodossa 1 ψ + V ψ = Eψ ψ = (V E)ψ. (7) Matlab-koodilla toteutettu ohjelma etsii annetulle kuopalle jonkin ominaistilan ja -energian siten, että ominaisenergia on käyttäjän antamien rajojen välissä. Ohjelma ratkaisee ajasta riippumatonta Schrödingerin yhtälöä numeerisesti käyttäen Runge-Kutta-4 -menetelmää tasapituisilla askelilla. Askelien määrä määritetään käyttöliittymän Options-kohdan arvolla Intervals. Koska Runge- Kutta on menetelmä ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen, palautetaan Schrödingerin yhtälö ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöpariksi v (x) = (V (x) E)ψ(x) ψ (x) = v(x), (8) jossa siis ψ(x) on haluttu aaltofunktio ja v(x) = ψ (x). Ohjelma ratkaisee näitä yhtälöitä yhtä aikaa aloittaen laatikon vasemmasta reunasta. Laatikon vasemmassa reunassa (x = L ) asetetaan alkuehdot ψ( L ) = 0 ja ψ ( L ) = 1. (9) 7
8 Kuva 1: Ohjelman graafinen käyttöliittymä Ohjelma ratkaisee aaltofunktion olettaen ensin Energy-kohdassa annetun E lower :n ominaisenergiaksi ja sitten olettaen E upper :n ominaisenergiaksi. Jos kyseessä ei ole ominaisenergia, aaltofunktio ei osu nollaan laatikon oikeassa reunassa. Jos toinen energiaraja vie aaltofunktion positiiviselle ja toinen negatiiviselle puolelle, ohjelma pystyy aloittamaan ominaisenergian etsimisen. Mikäli näin ei käy, ohjelma ilmoittaa There is no convergence with the specified conditions. Tällöin energiarajoja täytyy muuttaa. Ohjelma ratkaisee aaltofunktion energioiden keskiarvolla ja katsoo, kummalle puolelle aaltofunktio päätyy oikeassa reunassa. Tätä käytetään sitten tuloksesta riippuen uutena energian ala- tai ylärajana. Näin jatketaan, kunnes energiarajojen ero on alle käyttäjän määrittelemän tarkkuuden, joka on määritelty käyttöliittymän Options-kohdan arvolla Accuracy, tai kunnes ohjelma ei pysty tarkentamaan arviotaan. Toisin sanoen ohjelma etsii jonkn ominaisenergian annetulta energiaväliltä. Jos energiatiloja halutaan tutkia järjestyksessä, rajat täytyy asettaa sopivasti. Ohjelma ratkaisee aaltofunktion vielä tällä lopullisella ominaisenergian arvolla kuvaajan piirtämistä varten. Ohjelman työtä helpottaa (miksi?), mikäli käyttäjä kertoo sille etukäteen, onko haluttu ratkaisu parillinen vai pariton. Tällöin käytettävän kuopan on syytä olla symmetrinen. Saatesanat Työtä tehdessä kannattaa kysyä neuvoa viisaammilta ja joissain tapauksissa myös työn ohjaajalta. Kaikki rakentava työhön kohdistuva kritiikki on hyödyllistä. 8
9 Merkittävät parannusehdotukset työhön tai käytettyihin menetelmiin huomioidaan arvostelussa. Työohje uudelleenkirjoitettu 013: J. Komppula & J. Partanen Alkuperäinen ohje 005: T. Koponen & J. Pasanen Viitteet [1] M. Goeppert Mayer. Nobel lecture: The shell model. Nobel Lectures, [] D.J. Griffiths. Introduction to quantum mechanics. Pearson Prentice Hall, 005. [3] J.M. Hollas. Modern Spectroscopy. Wiley, 004. [4] W. Kohn. Nobel lecture: Electronic structure of matter wave functions and density functionals. Nobel Lectures, [5] J.S. Lilley. Nuclear physics: principles and applications. Manchester physics series. J. Wiley, 001. [6] R. Mulliken. Nobel lecture: Spectroscopy, molecular orbitals, and chemical bonding. Nobel Lectures, [7] Wikipedia. List of quantum-mechanical systems with analytical solutions, 013. [Online; accessed ]. 9
Potentiaalikuoppa, työohje 12. lokakuuta 2015
Potentiaalikuoppa, työohje 12. lokakuuta 2015 12. lokakuuta 2015 Johdanto Kvanttimekaniikassa potentiaalikuopalla tarkoitetaan järjestelmää, jossa hiukkasen liike on rajoitettu äärelliseen alueeseen. Tästä
LisätiedotPotentiaalikuoppa, työohje
Potentiaalikuoppa, työohje 16. lokakuuta 2018 Johdanto Kvanttimekaniikassa potentiaalikuopalla tarkoitetaan järjestelmää, jossa hiukkasen liike on rajoitettu äärelliseen alueeseen. Tästä seuraa ominaisenergian
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotKvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa
Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Kvanttiefektit ovat tärkeitä nanoskaalassa. Tässä on ksenon-atomeilla tehtyjä kirjaimia metallipinnalla. Luennon tavoite: Ymmärtää kvanttimekaniikan perusperiaatteet
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotFysA230/3 Potentiaalikuoppa Suppea raportti
Tiia Monto Työ tehty: 8.5.9 tiia.monto@jyu. 475856 FysA3/3 Potentiaalikuoppa Suppea raportti Assistentti: Joni Pasanen Hyväksytty/hylätty: Työ jätetty: Abstract I studied how the Matlab program can calculate
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotKvanttimekaniikan perusteet
Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys
Lisätiedot766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013
766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
Lisätiedot3.1 Varhaiset atomimallit (1/3)
+ 3 ATOMIN MALLI 3.1 Varhaiset atomimallit (1/3) Thomsonin rusinakakkumallissa positiivisesti varautuneen hyytelömäisen aineen sisällä on negatiivisia elektroneja kuin rusinat kakussa. Rutherford pommitti
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotEsimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:
Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän
Lisätiedot2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotSidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotOPETUSSUUNNITELMALOMAKE
OPETUSSUUNNITELMALOMAKE v0.90 Tällä lomakkeella dokumentoit opintojaksoasi koskevaa opetussuunnitelmatyötä. Lomake on suunniteltu niin, että se palvelisi myös Oodia varten tehtävää tiedonkeruuta. Voit
Lisätiedotkolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää
LisätiedotJohdantoa. Jokaisen matemaatikon olisi syytä osata edes alkeet jostakin perusohjelmistosta, Java MAPLE. Pascal MathCad
Johdantoa ALGORITMIT MATEMA- TIIKASSA, MAA Vanhan vitsin mukaan matemaatikko tietää, kuinka matemaattinen ongelma ratkaistaan, mutta ei osaa tehdä niin. Vitsi on ajalta, jolloin käytännön laskut eli ongelman
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
LisätiedotLuku 13: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 13: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotFysikaalisen kemian syventävät työt CCl 4 -molekyylin Ramanspektroskopia
Fysikaalisen kemian syventävät työt CCl 4 -molekyylin Ramanspektroskopia Tiina Kiviniemi 11. huhtikuuta 2008 1 Johdanto Tämän työn tarkoituksena on tutustua käytännön Ramanspektroskopiaan sekä molekyylien
LisätiedotAineen ja valon vuorovaikutukset
Aineen ja valon vuorovaikutukset Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tutkitaan aineen ja valon vuorovaikutuksia Ensiksi tutustutaan häiriöteoriaan, jonka
Lisätiedot2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)
Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin
LisätiedotS Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe
S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
LisätiedotKvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.
Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Lisätiedot1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.
BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotKVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57
KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57.1 Johdanto... 57. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys... 58.3 Schrödingerin yhtälö... 61.3.1 Vapaan hiukkasen aaltofunktio... 6.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta...
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
LisätiedotKvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi
Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)
LisätiedotKvanttimekaniikka I tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia
Kvanttimekaniikka I.. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Olkoon H systeemin Hamiltonin operaattori, ja A jotakin observaabelia kuvaava operaattori. Johda Ehrenfestin teoreema d A dt = ī [A, H] + A
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotLASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä
LASKENNALLISEN TIETEEN OHJELMATYÖ: Diffuusion Monte Carlo -simulointi yksiulotteisessa systeemissä. Diffuusio yksiulotteisessa epäjärjestäytyneessä hilassa E J ii, J ii, + 0 E b, i E i i i i+ x Kuva.:
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotLuku 14: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi
Luku 14: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotL a = L l. rv a = Rv l v l = r R v a = v a 1, 5
Tehtävä a) Energia ja rataliikemäärämomentti säilyy. Maa on r = AU päässä auringosta. Mars on auringosta keskimäärin R =, 5AU päässä. Merkitään luotaimen massaa m(vaikka kuten tullaan huomaamaan sitä ei
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
Lisätiedotdx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +
LisätiedotMATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN
MATEMAATTIS- LUONNONTIETEELLINEN OSAAMINEN Matematiikka ja matematiikan soveltaminen, 4 osp Pakollinen tutkinnon osa osaa tehdä peruslaskutoimitukset, toteuttaa mittayksiköiden muunnokset ja soveltaa talousmatematiikkaa
LisätiedotPerustilan fotonit. Taneli Tolppanen. LuK-tutkielma Fysiikan koulutusohjelma Teoreettinen fysiikka Oulun yliopisto 2019
Perustilan fotonit Taneli Tolppanen LuK-tutkielma Fysiikan koulutusohjelma Teoreettinen fysiikka Oulun yliopisto 019 Sisältö 1 Johdanto Kubitti ja harmoninen värähtelijä 3.1 Kubitti...............................
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotAtomimallit. Tapio Hansson
Atomimallit Tapio Hansson Atomin käsite Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Filosofi Demokritos päätteli (n. 400 eaa.), että äärellisen maailman tulee koostua äärellisistä, jakamattomista hiukkasista
LisätiedotHannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus
Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista
LisätiedotKolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotOppimistavoitematriisi
Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotNyt. = R e ik R ψ n (r + R R ) = e ik R [ = e ik R b n ψ n (r R),
Tiukan sidoksen malli Tarkastellaan sellaisia kiderakenteita, joissa atomien elektronien aaltofunktiot ovat lokalisoituneet isäntäionien läheisyyteen. Jos unohdetaan periodisuuden vaikutukset, elektronien
LisätiedotKönigsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )
Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,
LisätiedotMatematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4!
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2012 Ylimääräinen laskuharjoitus Palautus 7.5. klo 16.00 (suositellaan kuitenkin tekemään ennen välikoetta 30.4! Tämä laskuharjoitus ei ole pakollinen, eikä sen pisteitä
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
LisätiedotJukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2
S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)
Lisätiedotja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotLuento5 8. Atomifysiikka
Atomifysiikka Luento5 8 54 Kvanttimekaniikan avulla ymmärrämme atomin rakenteen ja toiminnan. Laser on yksi esimerkki atomien ja valon kvanttimekaniikasta. Luennon tavoite: Oppia ymmärtämään atomin rakenne
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
LisätiedotMATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
Lisätiedotpääkiertoakseli #$%%ä 2C 2 C 2!"
Tehtävä 1 Määritä seuraavien molekyylien pisteryhmät: (a) H 3 N H 3 N l o l NH 3 + NH 3 urataan lohkokaaviota: lineaari!"!" suuri symmetria 2s v #$%%ä 2v!" pääkiertoakseli #$%%ä 2 2 2!" s h Vastaavasti:
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 2 HILA JA PRISMA
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT HILA JA PRISMA MIKKO LAINE 9. toukokuuta 05. Johdanto Tässä työssä muodostamme lasiprisman dispersiokäyrän ja määritämme työn tekijän silmän herkkyysrajan punaiselle valolle. Lisäksi
LisätiedotHarjoitus 7 -- Ratkaisut
Harjoitus 7 -- Ratkaisut 1 Solve osaa ratkaista polynomiyhtälöitä, ainakin astelukuun 4 asti. Erikoistapauksissa korkeammankin asteen yhtälöt ratkeavat. Clear a, b, c, d, e, x ; Solve a x 3 b x 2 c 0,
LisätiedotNäihin harjoitustehtäviin liittyvä teoria löytyy Adamsista: Ad6, Ad5, 4: 12.8, ; Ad3: 13.8,
TKK, Matematiikan laitos Gripenberg/Harhanen Mat-1.432 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 4, (A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä ) 12 16.2.2007, viikko
Lisätiedot