Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen

Transkriptio

1 Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen. Tarkastelu on haastava, mutta pääosin varsin hyvin ymmärrettävissä opetusmonisteen tietojen perusteella. Tarkastellaan kahden elektronin atomia. Merkitään kokonaisspinin operaattoria ˆ ˆ ˆ T = +, missä Ŝ ja Ŝ ovat elektronien ja spinoperaattorit. Olkoon näiden spinoperaattoreiden neliön ja z-komponenttien ominaisfunktiot: 3 ˆ χ ˆ ± () = χ± (); z χ± () =± χ± () 4 () ˆ 3 ˆ χ± () = χ± (); zχ± () =± χ± () 4 missä siis + vastaa spin-ylös ja - spin-alas tilaa. Osoita, että spinfunktiot χ, M (antisymmetrinen spinfunktio) χ0,0 = [ χ+ () χ () χ+ () χ () () ja (symmetrinen spinfunktio) χ+ () χ+ () M = χ, M = [ χ () χ () χ () χ () M = (3) χ () χ () M = ovat kokonais-spinin itseisarvon neliön ˆT ja sen z-komponentin ˆTz ominaisfunktioita. Yleistä spinien yhteenlaskusta elvyyden vuoksi käytämme operaattoreille hattua. Vastaava suure ilman hattua tarkoittaa operaattorin ominaisarvoa. Kokonaisspinin kvanttiluvut ovat, M ja elektronien spinin kvanttiluvut s, m. Kokonaisspinvektorin pituus ja z-komponentti saadaan kvantittuneiden kulmaliikemäärien yhteenlaskusäännön (Luku 4) avulla. Yksittäisten spinvektorien pituuden neliön ominaisarvot ovat ( ) = = s s+ missä s = /. Kokonaisspinvektorin pituuden neliön mahdolliset ominaisarvot ovat yhteenlaskukaavan mukaan ( ) T = +,

2 missä kvanttiluku voi saada arvot = s s, s+ s = 0,, sillä yksittäisille spineille s = s = /. Kokonaisspinin z-komponetin ominaisarvot ovat saman säännön mukaan Tz missä M =,..., +. = M, a) Osoitetaan aluksi, että () ja (3) ovat operaattorin ˆ ˆ ˆ z = z + z ominaisfunktioita. Muistettakoon, että kummankin elektronin spinoperaattori kohdistuu vain saman elektronin aaltofunktioon ts. zχ + () = 0 jne. Aloitetaan tilasta χ 0,0 : ˆ Tz [ χ+ () χ () χ+ () χ () = [ zχ+ () χ () χ+ () zχ () + [ χ+ () zχ () zχ+ () χ () = ( ) χ () χ () χ ()( ) χ () χ ()( ) χ () ( ) χ () χ () = 0 [ χ+ () χ () χ+ () χ () ˆ χ = M χ ; M = 0. iis Tz 0,0 0,0 Vastaavasti ˆ χ = ˆ χ () χ () Tz, Tz + + = χ () χ () + χ () χ () z z + = χ+ () χ+ () + χ+ () χ+ () = χ () χ (). + + ˆ = ; =. amaan tapaan osoitetaan ˆ Tzχ,0 = M χ,0 ; M = 0 ˆ χ = M χ ; M =. siis Tzχ, M χ, M ja Tz,, Osoitamme seuraavaksi, että () ja (3) ovat myös operaattorin ˆ ( ˆ ˆ ) = + ominaisfunktoita. Tätä varten määrittelemme apusuureena ns. korotus- ja laskuoperaattorit

3 ˆ = ˆ + iˆ + x y ˆ = ˆ iˆ x y ˆ = ˆ + iˆ + x y ˆ = ˆ iˆ x y. (4) Rataliikkeen kulmaliikemääroperaattorin komponentit toteuttavat yhtälöt Lˆ, ˆ ˆ x L y = i Lz, Lˆ, ˆ ˆ z L x = i Ly ja L ˆ, ˆ ˆ y L z = i Lx (Luku 4). Voidaan osoittaa (todistus sivuutetaan), että spinoperaattoreille pätevät samat kommutaatiorelaatiot ts. ˆ ˆ ˆ jx, jy = i j, z j =, ˆ, ˆ ˆ jy jz = i j, x j =, ˆ, ˆ ˆ jz jx = i j, y j =, (5) Näiden avulla osoitetaan helposti, että ˆ, ˆ ˆ jz j+ = j+ j =, ˆ, ˆ ˆ jz j = j j =,. (6) Yhtälöistä (4-6) seuraa ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z + χ () = + χ () = + χ () = zχ+ (). Huomaamme, että kun korotusoperaattorilla Ŝ + operoitiin tilaan χ () tuloksena oli spin-ylös tila (tästä nimitys korotusoperaattori). amoin osoitetaan (välivaiheet suhteellisen helppoja), että ˆ χ () = ˆ χ () = χ () + + ˆ χ () = χ () + ˆ χ () = 0. (7) Vastaavat yhtälöt pätevät elektronille. Määritelmästä (4) seuraa (kokeile sijoittamalla korotus ja laskuoperaattorit), että ˆ = ˆ + ˆ + ˆ ˆ + ˆ ˆ + ˆ ˆ (8) + + z z Apuneuvoilla (4-8) voimme nyt helpohkosti osoittaa kaivatut ominaisuudet. Aloitetaan funktiosta χ, :

4 ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ zz) χ () χ () = χ+ () χ+ () = χ+ () χ+ () = s( s+ ) χ+ () χ+ () 4 4 ts. kokonaisspinin kvanttiluku = tilassa χ,. Huomaa, että korotus ja laskuoperaattoreita sisältävät osat antoivat nollia yhtälön (7) mukaisesti. Vastaavasti osoitetaan, että myös χ, tilassa =. Palataan nyt hieman vaikeampaan tapaukseen χ [ χ () χ () χ () χ () Aloitetaan termistä [ χ () χ () +,0 = ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + + zz)[ χ+ () χ () = 3 3 [ () () ˆ ˆ ˆ ˆ + + χ+ χ [ χ+ () χ () = 4 4 {[ χ+ () χ () + [ χ () χ+ ()} (9) Vastaavasti saadaan termistä [ χ () χ () + ( ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + + zz)[ χ () χ+ () {[ χ () χ+ () + [ χ+ () χ () } = (0) Laskemalla yhteen ja jakamalla :lla saamme (huomaa, että voimme aina vaihtaa χ () χ () = χ () χ () ) elektronitilojen järjestyksen tulossa ts. [ [ + + ˆ T [ χ+ () χ () + χ+ () χ () = { [ χ+ () χ () + [ χ () χ+ () + [ χ () χ+ () + [ χ+ () χ () } = [ χ+ () χ () + χ+ () χ () = χ,0 () iis myös χ,0 tilassa kokonaisspinin kvanttiluvun arvo on. Vastaavasti osoitetaan, että tila χ 0,0 liittyy kokonaisspinin kvanttiluvun arvoon = 0., huomataan, että symmetrinen tila χm ei vaihda merkkiään hiukkasvaihdossa, kun sen sijaan antisymmetrinen tila χ0,0 vaihtaa Vaihtamalla elektroni-indeksit () ( )

5 merkkinsä. Koska symmetriseen tilaan liittyy kolme magneettista alitilaa, sitä sanotaan tripletiksi. Antisymmetriseen tilaan liittyy vain yksi magneettinen alitila, siitä nimitys singletti.