8. Tilasto/eteen alkeet ja virheen arvioin/
|
|
- Pia Katajakoski
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 8. Tilasto/etee alkeet ja virhee arvioi/ Kemiassa ja muissa luoo/eteissä käsitellää usei suuria määriä mi;ausdataa. Mi;ausdata käsi;elyä ja jatkojalostusta varte (esim: selostuste ja raporbe kirjoi;amie) pitää hallita aiaki /lasto/etee alkeet, eli käsi;eet kute jakauma, otos, luokka, keskiarvo ja keskihajota. Tällä kurssilla vai hyvi hyvi pitapuolises/: käykää /lasto/etee kursseja jos tarvitse;e äitä taitoja eemmä! Mi;auksissa esiityy väistämä;ä aiaki joki verra virheitä. äide virhelähteide käsi;elyy lii;yvä matema/ikka o siis myös syytä osata. Peruslähtökohta: havaito, mi;aus, malliajo (tms) tuo;aa dataa. Luoo/eteissä data o yleesä umeerista, eli sitä voidaa kuvata umeroilla, tai se voidaa aiaki muu;aa tällaisee muotoo. Olkoo meillä kappale;a datapiste;ä (jokaie vastaa esim. yhtä mi;austa, havaitoa tms). Merkitää e x 1, x 2, x 3,,x. Tätä joukkoa saotaa usei otokseksi. Havaio/tulokse frekvessi kertoo kuika usei se esiityy otoksessa. Esimerkiksi 5 kolikoheito sarja saa;aisi tuo;aa tulokse: kruua, klaava, klaava, kruuu, klaava. Tällöi kruua frekvessi o 2 ja klaava 3. Mikäli otos koostuu esim. reaaliluvuista, se joudutaa yleesä jakamaa luokkii jo;a frekvessie laskemie olisi mielekästä. Luokkii jae;u otos esitetää usei histogrammia. 1
2 Histogrammi Histogrammissa x- akselia o muu;uja (esim. mitatu suuree) arvo, ja y- akselia frekvessi. Allaolevassa kuvassa (lähde: wikipedia) 100 datapistee otos o jae;u luokkii 0.5 yksikö välei. Jatkuva ja diskreeb jakauma Luoo/eteellisessä kokeessa mitataa yleesä joki suuree arvo äärellie määrä kertoja. Tilasto/eteellisessä mielessä otetaa siis otos k.o. suuree jakaumasta. Jakaumat voivat olla diskree4ejä, jolloi mita;ava suure voi saada vai /e;yjä arvoja (esim. koliko hei;ämise tulos voi olla joko kruua tai klaava, elektroi spi voi olla joko α tai β, je). MatemaaBses/: diskree' suure voi saada äärellise tai korkeitaa umeroituvas2 ääre3ömä määrä arvoja (esim. kokoaisluvut mu3a ei reaaliluvut). Toie vaihtoehto o jatkuva jakauma, jolloi mita;ava suure voi saada ei- umeroituvas/ ääre;ömä määrä eri arvoja (käytäössä siis mikä tahasa suure joka voi saada reaalilukuarvoja). 2
3 Periaa;eessa useimmat luoo/eteessä esiityvä jakaumat ovat aiee atomiluotee ja kvabmekaiika asiosta diskree;ejä, mu;a käytäössä o mielekästä ole;aa moet jakaumat jatkuviksi. Esim. pitoisuuksia, aerosolihiukkaste halkaisijoita tai molekyylie liike- eergioita kuvataa jatkuvilla jakaumilla. Käytäö sovelluksissa joudutaa usei mallitamaa diskree;ejä jakaumia jatkuvia tai päivastoi. Esimerkki diskree/stä jakaumasta Kolme esimerkkiä jatkuvasta jakaumasta (y - akselilla suhteellie todeäköisyys e;ä saadaa /e;y mi;austulos) 3
4 Otoksia kuvaavat tuusluvut Yleesä halutaa kuvata otoksia eriäisillä tuusluvuilla. Tärkei ja tuetui äistä o aritmeebe keskiarvo; tämä lisäksi o myös muita keskilukuja kute geometrie keskiarvo, mediaai tai moodi. Keskiarvo lisäksi myös hajotaa kuvaavat luvut (variassi ja keskihajota) ovat yleesä oleellisia. Jos otoksessa o eemmä kui yksi muu;uja (esim mitataa y i, x i lukupareja, vaikkapa aika ja pitoisuus) tarvitaa muitaki tuuslukuja, esim. kovariassi ja korrelaa/okerroi. Erilaisia keskiarvoja Aritmee7e keskiarvo lieee kaikille tu;u: Joskus käytetää myös geometrista keskiarvoa (joka laskemie edelly;ää, e;ä kaikki luvut ovat posi/ivisia): x = 1 Mediaai eli keskiluku: järjestetää havaiot suuruusjärjestyksee; mediaai o keskimmäie luku (tai kahde keskimmäise luvu keskiarvo jos o parillie). Moodi: yleisi arvo (se havaito jolla o suuri frekvessi). Huom: moodeja voi olla yksi tai useampi. x i x 1 x 2 x 3... x 4
5 c = Esimerkki: ympäristömyrky pitoisuude c määri;ämiseksi järvidedessä suoritebi eri puolilla järveä yhteesä 7 mi;austa, joista saa/i tulokseksi (yksiköissä μmol/l): c i = {1,15 1,20 1,20 1,34 1,52 1,71 2,12} Mi;auste aritmeebe keskiarvo o: 1,15+1, 20 +1, 20 +1,34 +1, 52 +1, 71+ 2,12 µmol/l 1,46 µmol/l 7 Geometrie keskiarvo o 1,43 μmol/l, mediaai 1,34 μmol/l ja moodi (1 kpl) 1,20 μmol/l. (Tässä esimerkissä ämä luvut lieevät paljo vähemmä hyödyllisiä kui aritmeebe keskiarvo.) Hajotaa kuvaavat luvut Pelkkä keskiarvo ei yleesä kerro jakaumasta rii;äväs/, vaa tarvitaa myös /etoa se leveydestä. Kaksi tärkeää lukua ovat variassi ja keskihajota. Variassi σ 2 : σ 2 = 1 (x i x) 2 = x 2 (x) 2 Keskihajota σ (variassi eliöjuuri): σ = 1 (x i x) 2 5
6 Lasketaa variassi ja keskihajota edellä esitetylle otokselle c i = {1,15 1,20 1,20 1,34 1,52 1,71 2,12} μmol/l σ 2 = 1 7 ((1,15 1, 46)2 + (1, 20 1, 46) 2 + (1, 20 1, 46) 2 + (1,34 1, 46) +(1, 52 1, 46) 2 + (1, 71 1, 46) 2 + (2,12 1, 46) 2 )µmol 2 /L µmol 2 /L 2 σ = σ µmol/L (Oikeas2 pitäisi 2etys2 laskea tarkemmalla keskiarvo arvolla, mu3a tämä ei mahtuut kalvolle). Tästä ähdää keskihajoa hyöty variassii ähde: se o samoissa yksiköissä kui alkuperäie data. Ope4ele laskemaa keskiarvoja ja hajotoja /etokoeella, esim Excelissä AVERAGE, VAR ja STDEV. Kuvassa olevissa jakaumissa A: ja B: keskiarvo o sama, mu;a A:lla o suurempi keskihajota. A:lla ja C:llä taas o sama keskihajota, mu;a eri keskiarvo. Jatkuvie jakaumie keskiarvo ja keskihajota voidaa laskea itegroimalla, mu3a äitä laskuja ei käsitellä tällä kurssilla; kts kirja luvut
7 Piete otoste keskihajota Usei yritetää arvioida jakauma /lastollisia omiaisuuksia piee otokse avulla. Esimerkiksi joki aiee pitoisuuksia ilmassa tai vedessä arvioidaa suori;amalla rajallie joukko mi;auksia. Jos otoskoko () o kovi piei, ataa edellä esitelty kaava hiema liia piee arvo keskihajoalle. Tarkempi kaava o tällöi: σ otos = 1 1 (x i x) 2 Wikipedia: Itui2ivises2 tämä seli3yy sillä, e3ä otoskeskiarvo poikkeaa jouko todellisesta keskiarvosta otokse suutaa, mikä tuo3aisi keskihajoa kaavaa liia piee osoi3aja. Yhdellä pieee3y imi3äjä kompesoi tämä harha ja äi saadaa mahdollisimma hyvä es2maa' perusjouko keskihajoasta. ormaalijakauma Moie suureide jakaumat ouda;avat aiaki likimai s. ormaalijakaumaa (tuetaa myös Gaussia jakaumaa tai kellokäyrää). ormaalijakauma kaava o: f (x) = σ (x µ ) 2 2π e 2σ 2 1 missä μ o jakauma keskiarvo ja σ se keskihajota. Huom: μ o samalla myös mediaai ja moodi. Useat yksikertaiset matemaabset jakaumat (esim. biomijakauma) ouda;avat myös ormaalijakaumaa, ku o rii;ävä suuri. Aiempie kalvoje jatkuvat jakaumat olivat juuri ormaalijakaumia. 7
8 ormaalijakauma luoossa Muu;uja joka määräytyy moe toisistaa riippuma;oma toise muu;uja kumula/ivisesta vaikutuksesta ouda;aa ormaalijakaumaa. Esimerkiksi ihmiste pituus (joka määräytyy usea geei sekä ympäristötekijöide yhteisvaikutuksesta). Satuaisvirheistä johtuva mi;austuloste hajota ouda;aa yleesä myös ormaalijakaumaa. Moet /lastolliset meetelmät ja tes/t ole;avat virheide oleva ormaalis/ jakautueita. t- tes/ (Stude/ t- tes/) t- tes/llä (josta o useita eri versioita) voidaa laskea todeäköisyys e;ä kaksi otosta ovat peräisi samasta alkuperäisestä jakaumasta. Toie sovellus: todeäköisyys e;ä sovitetu regressiosuora (tästä lisää myöhemmi) kulmakerroi poikkeaa /lastollises/ merki;äväs/ ollasta. Tes/t ole;avat e;ä muu;ujat ovat ormaalis/ jakautueet. Käytäössä t- tes/t lasketaa /etokoeella, esim Excelissä kometo TTEST. äitä ei käsitellä tällä kurssilla pidemmälle (tes/e olemassaolo o hyvä /etää opetelkaa käy;ämää jos ja ku tarvitse;e). 8
9 Virhee arvioi/ = mi3austarkkude ja määritystarkkuude arvioi2. Erilaisia virheitä: 1. Karkeat virheet Huolima;omuudesta tai työvirheestä johtuva moka Usei huomaa äly;ömää tuloksea 2. SystemaaBset virheet Johtuu esim lai;eisto kalibroiista vääri; mi;a- asteikko o väärä Vaiku;aa aia samaa suutaa, pystytää usei poistamaa 3. Satuaiset mi;ausvirheet Vaiku;aa "oikea tulokse" molemmilla puolilla Esim. silmä tai mi;alai;ee tarkkuus Ei voi kokoaa ehkäistä, mu;a suuruu;a voi arvioida systemaabe vs satuaie virhe 9
10 Tärkeitä määritelmiä Mi4aukse sisäie tarkkuus Mi;aus o sisäises/ tarkka, jos satuaiste mi;ausvirheide suuruus o piei. Tulos voi sil/ olla aiva väärä, jos systemaabe virhe o suuri! Mi4aukse ulkoie tarkkuus Mi;aus o ulkoises/ tarkka jos se o "oikeas/ oikei". Virhee esi;ämie Absoluu7e virhe Esim: V = (5,4 ± 0,1) L Suhteellie virhe absoluuttie virhe = suuree arvo = 0,1L 100% 1,9% 5,4L 10
11 Esim: virheide vertaamie Titraustulokset olivat (5,4 ± 0,1) ml ja (108,6 ± 0,8) ml Kumpi mi;aus o tarkempi? Vastaus: riippuu tarkoitetaako absoluu7sta vai suhteellista virhe4ä. AbsoluuBe virhe o suurempi jälkimmäiseässä mi;auksessa. Suhteellie virhe taas o pieempi jälkimmäisessä mi;auksessa: 0,1 ml 5,4 ml 100% 1,9% ja 0,8 ml 100% 0,74% 108,6 ml Mi;austuloste virherajat Riippuvat siitä suoritetaako mi;aus kerra vai toistokokeea. Jos mi4aus suoritetaa kerra: Mi;ari, silmä tms. lukematarkkuus määrää tarkkuude Esim. pui;u massa (12,2 ± 0,2) g Moissa lai;eissa tai laboratorioas/oissa o kerro;u tarkkuus. 11
12 Mi;austuloste virherajat Jos mi4aus suoritetaa moee kertaa Huom: oletuksea e;ä toistokerrat ovat toisistaa riippuma;omia; esim. /traus, seku/kello käy;ö Mi;aukse arvo saadaa keskiarvoa: x = 1 x i Mi;aukse tarkkuus saadaa keskiarvo keskivirheeä: Δx = (x i x) 2 ( -1) Esim: aoh - liuokse pitoisuus selvitetää /traamalla se 0,001M HCl:llä. Titraustulokset ovat 5,21 ml, 5,32 ml ja 5,27 ml ku 100 ml aoh - äyte /trataa. Laske aoh kosetraa/o. Ratkaisu: Mi;auste keskiarvo o (5,21 ml+ 5,32 ml+ 5,27 ml) V= 3 Keskivirhe o ΔV= (5,21 ml V)2 + (5,32 ml V) 2 + (5,27 ml V) V 0,001M aoh kosetraa/o o c= 100 ml ΔV 0,001M Ja se virhe Δc= 100 ml Huom: tässä o olete;u e;ä HCl: kosetraa/o ja aoh äy;ee määrä (100 ml) ovat tarkkoja. 12
13 Suora sovitukse virheet Suora sovituksessa etsitää vakiotermi ja kulmakerroi site e;ä mi;auspisteet sopivat mahdollisimma hyvi suoralle. Käytäössä mitatu ("todellise") ja lasketu arvo välillä o aia eroa. Tämä ero suuruude kertovat vakiotermi ja kulmakertoie stadardipoikkeamat ("virherajat"). Origi- ohjelma, Mathema/ca, Matlab je (jopa jotki taskulaskimet) atavat ämä stadardipoikkeamat. Kaavat löytyvät oppikirjoista, ei käydä läpi tässä. Lasketu suuree virhe Joskus käyte;ävissä oleva mi;alaite mi;aa suoraa halu;ua suure;a. Esimerkiksi vaaka ataa suoraa paio. Tällöi tulokse virheraja pää;elemisee tarvitaa vai /etoa mi;alai;ee tarkkuudesta (ja toistomi;auste määrästä kute edellisissä esimerkeissä). Usei (yleesä) halu;u suure joudutaa kuiteki jollaki tavalla laskemaa mitatusta suureesta tai suureista. Tähä törmää jo kemia alkeiskursseilla: jos liuokse pitoisuus päätellää esimerkiksi /traamalla, tarvitaa /eto sekä /trabliuokse pitoisuudesta e;ä se määrästä. Molemmissa voi olla virheitä: tuloksessa o (aiaki) kaksi virhelähde;ä! 13
14 Lasketu suuree virhe Mite mita;uje suureide virheet ja suora sovitukse virheet vaiku;avat laske;avaa olevaa suureesee? Lähtökohta: suure u lasketaa toise suuree avulla u = u(x 1, x 2, x 3,..., x ) x i :t toisistaa riippuma;omia x 1, x 2,..., x ovat mi;austuloksia, suora parametrejä tai toistokokee keskiarvoia saatavia tuloksia (tjsp). iide virheet ovat Δx 1, Δx 2,..., Δx Tavoite o määritellä suuree u määritystarkkuus Δu. 1. Fuk/o maksimivirhe Δu max = ( U x i ) MP 2. Fuk/o keskivirhe Δu keskivirhe = Δx i 3. Maksimi- miimimeetelmä Osi;aisderivaa;a arvioidaa mi;auspisteessä ( U 2 ) (Δx i ) 2 x MP i u max = arvo joka u saa ku jokaie virhelähde kasva;aa u:ta u mi = arvo joka u saa ku jokaie virhelähde pieetää u:ta Δu max-mi = u max - u mi 2 14
15 Esim: Tarkas/ mita;u 0,1 mol ideaalikaasua suljetaa as/aa, joka /lavuus o V = (4,0 ± 0,2) L, ja kaasu paieeksi mitabi p = (754,7 ± 0,2) torr. Laske kaasu lämpö/la. Ratkaisu: pv = RT T = pv R = 484 K. Arvioidaa seuraavaksi eri virheet. 2 1) T: maksimivirhe: ΔT max = ( T ) MP Δx i x i = V, p x i = ( T V ) MP ΔV + ( T p ) Δp MP $ = p ' $ & ) ΔV + V ' & ) % R ( MP % R ( MP Δp " ΔT max = p % " $ ' ΔV + V % $ ' Δp # R & MP # R & MP ,4 Pa = 0,1 mol 8,31451 J K -1 mol m 3 0,004 m ,7 Pa=24,3K 0,1 mol 8,31451 J K -1-1 mol maksimivirhettä käyttäe saadaa siis T=(484 ± 24)K 2) T: keskivirhe ΔT keskivirhe = ( T V ) 2 (ΔV ) 2 + ( T MP p ) 2 (Δp) 2 MP = 24,2 K Keskivirhettä käyttäe saadaa siis T = (484 ± 24) K 15
16 3) Maksimi miimikeio (p + Δp)(V + ΔV ) T max = = 508,3996 K R (p - Δp)(V - ΔV ) T mi = = 459, 7366 K R ΔT max-mi = T T max mi 24K 2 Maksimi-miimikeio käyttäe saadaa siis T = (484 ± 24) K Tässä tapauksessa kaikki kolme keioa atoivat sama tulokse, mu;a äi ei aia ole. Esim: Otetaa fuk/o ϒ joka riippuu 7 muu;ujasta seuraavas/: 26r 2 (g γ= p g )t 9 l (1+2,2x)(1,65y) Oletetaa: r mittaustarkkuus o Δr, g p mittaustarkkuus o Δg p g mittaustarkkuus o Δg, t mittaustarkkuus o Δt l mittaustarkkuus o Δl, x mittaustarkkuus o Δx y mittaustarkkuus o Δy Lasketaa virheraja maksimi- miimikeiolla: γ max = 26(r+Δr)2 (g p + Δg p (g -Δg ))(t+δt) 9 (l-δl) (1+2,2(x-Δx))(1,65(y-Δy)) γ mi = 26(r-Δr)2 (g p Δg p (g +Δg ))(t-δt) 9 (l+δl) (1+2,2(x+Δx))(1,65(y+Δy)) Δγ = γ max γ mi 2 16
17 Pieimmä eliösumma sovitus = PS - sovitus (eglaiksi least squares fit). Tavoite: etsiä sovite;ava fuk/o parametrit jotka kuvaavat mi;ausaieistoa mahdollisimma hyvi. Esim: mi;ausaieisto {x i, y i }, eli o mita;y y: arvoja y i muu;uja x arvoilla x i. Sovitetaa fuk/oo y = a + bx ja yritetää löytää paras mahdollie a ja b. Mkä määrää "parhaa mahdollisimma" sovitukse? Residuaalie eliöide summa Lähtökohtaa o residuaalie eliöide summa: mittauspisteet (a + bx i y i ) 2 = (y i a bx i ) 2 mittauspisteet Residuaali eliöide summa miimi ataa parhaa mahdollise sovitukse. Yleises/: jos sovite;avassa fuk/ossa o kpl parametrejä, miimoimistehtävää tulee yhtälöä, joide avulla parametrie arvot ratkaistaa. Suora sovituksessa parametrejä o kaksi (a ja b), jote miimoimistehtävässä o kaksi yhtälöä. 17
18 Suora sovitus havaitoa {x i, y i } sovitetaa fuk/oo y = a + bx. Residuaali eliöide summa o: 2 Huom: tässä yhteydessä a ja b ovat siis S = (y i - a - bx i ) tutema;omia muu;ujia; mitatut y i ja x i taas tue;uja vakioita! Ja se miimissä: ds da = 2(y i a bx i ) 1= 0 ds db = 2(y a bx i i) x i = 0 Jaetaa molemmat yhtälöt - 2:lla; saadaa yhtälöpari: (y i a bx i ) = 0 2 (y i x i ax i bx i ) = 0 Jaetaa molemmat yhtälöt :llä, saadaa: = = ( y i a b x i ) = 0 ( y x i i a x i b x 2 i ) = 0 y a bx = 0 yx ax bx 2 = 0 Huom! x: ja y: keskiarvot x = 1 x i, y = 1 lisäksi: y i a = a 1= a = a 18
19 y a bx = 0 yx ax bx 2 = 0 x = y x ax b(x) 2 = 0 yx ax bx 2 = 0 Väheetää ylemmästä yhtälöstä puoli;ai alempi: y x ax b(x) 2 yx + ax + bx 2 = 0 y x yx b(x) 2 + bx 2 = 0 b = yx y x x 2 (x) 2 Ylemmästä yhtälöstä saadaa yt: a = y x b(x)2 x = y bx Suora sovitus Origi - ohjelmalla Työ vaiheet: 1. Muuta kemiaa kuvaava laki suora yhtälöksi. (Tämä kaa;aa tehdä jo ee harjoitusta /etokoeluokassa!) Esim: p = p 0 e Δ v H R ( 1 T 1 T o ) l(p) = l(p 0 )- Δ v H R ( 1 T 1 T o ) # l(p) = l(p 0 )+ Δ vh & % ( Δ vh $ RT 0 ' R y = a + bx 1 T 19
20 Suora sovitus Origi - ohjelmalla 2. Kirjoita (ja tarvi4aessa laske) aetut arvot Origi- taulukkoo T p 1/T l p Suora sovitus Origi - ohjelmalla 3. Piirrä pisteet koordiaastoo. Mie äy4ääkö kuva järkevältä. l (p) Kuvaaja imi l(p) = (1/T) 1/T 4. Tee suora sovitus PS meetelmällä (muista o4aa muisi myös virherajat!) 5. Viimeistele kuvaaja! Akselie imeämie Kuvaaja imeämie Liitä suora sovitukse edot (virherajoiee!) kuvaa 20
21 Korrelaa/o ja kovariassi Palataa vielä hetkeksi /lasto/eteellisee tarkasteluu. Edellisessä esimerkissä sovitebi suoraa dataa, joka koostui lukuparista {x i, y i }, missä i = 1. Aiemmi esitellyillä kaavoilla voidaa helpos/ laskea esim. x: ja y: keskiarvot ja keskihajoat. Kahde muu;uja otokse kuvamisee tarvitaa aiemmi määriteltyje käsi;eide lisäksi pari uu;a; kovariassi cov(x,y) ja korrelaa/okerroi ρ. Määritelmät: cov(x, y) = 1 ρ = cov(x, y) σ x σ y (x i x)(y i y) = xy x y σ x σ y 1 ρ +1 Kovariassi yksikkö o x: ja y: yksiköide tulo; korrelaa/okerroi taas o dimesioto ja itseisarvoltaa 1. Jos muu;ujat ovat toisistaa riippuma;omat, kovariassi ja korrelaa/o ovat olla. Alhaista korrelaa/ota käytetääki usei todisteea riippuma;omuudesta (vaikka se voi johtua muistaki syistä). Jos x: suuret (ts x: keskiarvoa suuremmat) arvot esiityvät todeäköisemmi myös y: suurte (ts. y: keskiarvoa suurempie) arvoje kassa, kovariassi ja korrela/okerroi ovat posiivisia. Jos x: suuret arvot esiityvät todeäköisemmi y: piete arvoje kassa, kovariassi ja korrelaa/okerroi ovat egaivisia. Itseisarvoltaa suuri korrelaa/okerroi saa;aa tarkoi;aa e;ä x ja y riippuvat jollai tavalla toisistaa, mu;a korrelaa/o ei aia tarkoita syy- seuraussuhde;a; esim. jäätelösyö/ ei aiheuta hukkumiskuolemia. 21
11. Virheen arvioin-
11. Virhee arvioi- = mi%austarkkude ja määritystarkkuude arvioi4. Erilaisia virheitä: 1. Karkeat virheet Huolima5omuudesta tai työvirheestä johtuva moka Usei huomaa äly5ömää tuloksea 2. Systemaa?set virheet
LisätiedotJatkuva ja diskreeb jakauma. Histogrammi. 9. Tilasto/eteen eri3äin alkeelliset alkeet ja virheen arvioin/ 3/21/13
9. Tilasto/etee eri3äi alkeelliset alkeet ja virhee arvioi/ Kemiassa ja muissa luoo/eteissä käsitellää usei suuria määriä mi3ausdataa. Mi3ausdata käsi3elyä ja jatkojalostusta varte (esim: selostuste ja
Lisätiedot9. Tilasto+eteen eri/äin alkeelliset alkeet ja virheen arvioin+
9. Tilasto+eteen eri/äin alkeelliset alkeet ja virheen arvioin+ Kemiassa ja muissa luonnon+eteissä käsitellään usein suuria määriä mi/ausdataa. Mi/ausdatan käsi/elyä ja jatkojalostusta varten (esim: selostusten
LisätiedotOtantajakauma. Otantajakauman käyttö päättelyssä. Otantajakauman käyttö päättelyssä
Otatajakauma kuvaa tarkasteltava parametri jakauma eri otoksista laskettua parametria o joki yleesä tuusluku, esim. keskiarvo, suhteellie osuus, riskisuhde, korrelaatiokerroi, regressiokerroi, je. parametria
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotTunnuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA
Tuuslukuja 27 III TUNNUSLUKUJA Tuuslukuja 28 Tuuslukuja käytetää, ku tilastoaieistoa havaiollistetaa tiivistetysti yksittäisillä luvuilla. Tuusluvut lasketaa muuttujie arvoje perusteella ja e kuvaavat
LisätiedotTodennäköisyys, että yhden minuutin aikana saapuu 2 4 autoa.
Testimuuttuja kriittie arvo 5 %: merkitsevyystasolla katsotaa taulukosta. Kriittie arvo o 9,488. Koska laskettu arvo 4,35 o pieempi kui taulukosta saatu kriittie arvo 9,488, ii ollahypoteesi jää voimaa.
LisätiedotTILASTOT: johdantoa ja käsitteitä
TILASTOT: johdatoa ja käsitteitä TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Tilastotietee tehtävää o esittää ja tulkita tutkimuskohteesee liittyvää havaitoaieistoa eli tilastoaieistoa. Tutkitaa valittua joukkoa ja se
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
Lisätiedotn = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:
1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotKaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut
Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,
LisätiedotS Laskennallinen systeemibiologia
S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotSisältö. Kvantitatiivinen metodologia verkossa. Monitasomallintaminen. Monitasomallit. Regressiomalli dummy-muuttujilla.
Kvatitatiivie metodologia verkossa Moitasomallius Pekka Ratae Helsigi yliopisto isältö Moitasomallit Matemaattisia peruskäsitteitä Esimerkki kovariassista Otatavirhe Esimerkki elittävie muuttujie lisäämie
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotNormaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedot8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
Lisätiedot7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta
7. Monen muu/ujan funk4on differen4aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun 4lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu 4lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö4lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk4o kolmiulo/eisessa
LisätiedotMS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II
Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6
LisätiedotTestit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille
LisätiedotMat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
Lisätiedot8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta
8. Monen muu*ujan funk/on differen/aalilaskenta Esim 1. Ideaalikaasun /lanyhtälö p = nrt V Paine riippuu /lavuudesta, ainemäärästä ja lämpö/lasta: p = p(n, T, V) Esim 2. Hiukkasen aaltofunk/o kolmiulo*eisessa
Lisätiedotpq n s n Kyllä Ei N Jäsenyys 5,4% 94.6 % 1500 Adressi 21,6% 78.4 % 1495 Lahjoitus 23,7% 76.3 % 1495 Mielenosoitus 1,1% 98.9 % 1489
Perusjoukko ja otos Kvatitatiiviset meetelmät Sami Fredriksso Yleie valtio-oppioppi Havaitoyksikkö o empiirise mittaukse kohde Perusjoukko o kaikkie havaitoyksiköide muodostama kokoaisuus Otos o perusjoukkoa
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotYhden selittäjän lineaarinen regressiomalli
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 4: Lieaarie regressioaalyysi Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (007) Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli >> Yhde selittäjä lieaarie regressiomalli
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
Lisätiedot= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1
35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 6 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi ja-erik.holmberg@aalto.fi Määritelmä Tarkasteltava yksikö luotettavuus
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku 9. harjoitukset/ratkaisut. Luottamusvälit
Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku Mat-.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Luottamusvälit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Estimaattori, Estimoiti, Frekvessi,
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 5b
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus b Heikki Korpela 3. helmikuuta 07 Tehtävä. a Olkoot Y,..., Y Bθ. Johda uskottavuusosamäärä testisuuree ry, Waldi testisuuree wy ja Rao pistemäärätestisuuree uy
LisätiedotTestit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Testit suhdeasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Melli (4) Testit suhdeasteikollisille muuttujille Johdatus tilastotieteesee Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit ormaalikauma parametreille Yhde otokse t-testi Kahde otokse t-testi
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.104 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007 6. lueto: Johdatus regressioaalyysii S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Kai Virtae 1 Regressioaalyysi idea Tavoitteea selittää selitettävä tekiä/muuttua
LisätiedotLuento 7 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Lueto 7 Luotettavuus Koheretit järjestelmät Ja-Erik Holmberg Systeemiaalyysi laboratorio Aalto-yliopisto perustieteide korkeakoulu PL 00, 00076 Aalto ja-erik.holmberg@riskpilot.fi Määritelmä Tarkasteltava
Lisätiedot3.2 Sijaintiluvut. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tuusluvut 3.2 Sijaitiluvut Sijaitiluvut ovat imesä mukaiset: e etsivät muuttuja tyypillise arvo, jos sellaie o olemassa, tai aiaki luvu, joka lähellä muuttuja arvoja o eite. Sijaitiluvut jaetaa kahtee
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
Lisätiedot6. Kombinaatio-oppi, todennäköisyys ja tilastot
6. Kombiaatio-oppi, todeäköisyys ja tilastot 6.1 Satuaisotata takaisipaolla Poimimme 3 alkiota takaisipaolla 1 alkio perusjoukosta. Kuika mota erilaista kolme alkio osajoukkoa voimme saada? Ratkaisu. Vastaus:
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
Lisätiedot3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot
3. Polyomifuktio kulku. Lokaaliset ääriarvot Tähäastiste opitoje perusteella osataa piirtää esiasteise polyomifuktio kuvaaja, suora, ku se yhtälö o aettu. Osataa myös pääpiirtei hahmotella toise astee
LisätiedotStokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015
Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,
LisätiedotTilastolliset luottamusvälit
Luku 8 Tilastolliset luottamusvälit Lasse Leskelä Aalto-yliopisto 18. lokakuuta 2017 8.1 Piste-estimaatti ja väliestimaatti Edellisessä luvussa opittii määrittämää parametreille estimaatteja suurimma uskottavuude
LisätiedotVirhearviointi. Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus.
Virhearviointi Fysiikassa on tärkeää tietää tulosten tarkkuus. Virhelajit A. Tilastolliset virheet= satunnaisvirheet, joita voi arvioida tilastollisin menetelmin B. Systemaattiset virheet = virheet, joita
Lisätiedot10 Kertolaskusääntö. Kahta tapahtumaa tai satunnaisilmiötä sanotaan riippumattomiksi, jos toisen tulos ei millään tavalla vaikuta toiseen.
10 Kertolaskusäätö Kahta tapahtumaa tai satuaisilmiötä saotaa riippumattomiksi, jos toise tulos ei millää tavalla vaikuta toisee. Esim. 1 A = (Heitetää oppaa kerra) ja B = (vedetää yksi kortti pakasta).
LisätiedotTilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen. Tilastollisten aineistojen kuvaaminen: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste aieistoje kuvaamie Tuusluvut Laatueroasteikolliste muuttujie tuusluvut Johdatus tilastotieteesee Tilastolliste aieistoje kuvaamie TKK (c) Ilkka Melli (004) Tilastolliste
LisätiedotVastaus: Kertymäfunktio on F( x) = x, kun 0 x 20. Todennäköisyydet ovat molemmat 1. Frekvenssi f
0, ku x < 0 Vastaus: Kertymäfuktio o F( x) = x, ku 0 x 0 0, ku x > 0 Todeäköisyydet ovat molemmat 0. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksii Tilastoje esittämie 3. a) Tietty kasvi b) Kukkie lukumäärä
LisätiedotTilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A
Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi
Lisätiedotxe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
Lisätiedotj = I A = 108 A m 2. (1) u kg m m 3, (2) v =
764A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 6 Kevät 28. Tehtävä: Aiemmi olemme laskeeet kupari johtavuuselektroie tiheydeksi 8.5 28 m. Kuparijohdossa, joka poikkipita-ala o mm 2, kulkee A: virta. Arvioi Drude
Lisätiedot4. Todennäköisyyslaskennan kertausta
Sisältö Peruskäsitteet Diskreetit satuaismuuttujat Diskreetit jakaumat (lkm-jakaumat) Jatkuvat satuaismuuttujat Jatkuvat jakaumat (aikajakaumat) Muut satuaismuuttujat lueto04.ppt S-38.45 - Liikeeteoria
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
Lisätiedottilavuudessa dr dk hetkellä t olevien elektronien
Semiklassie johtavuusmalli Metalleissa vastus aiheutuu virrakuljettajie törmäyksistä, joita karakterisoi relaksaatioaika τ Oletetaa, että ifiitesimaalisella aikavälillä dt elektroi törmäystodeäköisyys
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu
81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
Lisätiedot6.1 Riippumattomat satunnaismuuttujat
Luku 6 Otatajakaumie teoria 6.1 Riippumattomat satuaismuuttujat Muistamme edellisistä luvuista, että satuaismuuttujat X 1 ja X 2 ovat riippumattomat (määritelmät 4.6 ja 5.5), jos f(x 1, x 2 ) f 1 (x 1
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
Lisätiedot2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit
2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot
LisätiedotKompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
LisätiedotHarjoitukset 1 : Tilastokertaus
31C99904, Capstoe: Ekoometria ja data-aalyysi TA : markku.siikae(a)aalto.fi & tuuli.vahapelto(a)aalto.fi Harjoitukset 1 : Tilastokertaus (Palautus 10.1.2017) Palautellaa mielii hiema tilasto-oppia ja todeäköisyyslasketaa.
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa. harjoitukset Mat-.6 Sovellettu todeäköisyyslasketa B. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Tilastolliset testit Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma,
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
Lisätiedot9.7 Matriisinormit. Vaasan yliopiston julkaisuja 225. Ei siis lainkaan ongelmia defektiivisyydestä.
Vaasa yliopisto julkaisuja 225 U = 0.1213-0.9359-0.3307-0.1005-0.3430 0.9339 0.9875 0.0801 0.1357 S = V = >> 4.5221 0 0 0 2.2793 0 0 0 1.1642 0.0537-0.8212-0.5681 0.4414-0.4908 0.7512 0.8957 0.2911-0.3361
LisätiedotTyö 55, Säteilysuojelu
Työ 55, Säteilysuojelu Ryhmä: 18 Pari: 1 Joas Alam Atti Tehiälä Selostukse laati: Joas Alam Mittaukset tehty: 7.4.000 Selostus jätetty: 1.5.000 1. Johdato Tutkimme työssämme kolmea eri säteilylajia:, ja
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu
LisätiedotSMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi
SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa
LisätiedotCh 12-4&5 Elastisuudesta ja lujuudesta
Ch 12-4&5 Elastisuudesta ja lujuudesta Jännitys ja venymä Hooken laki F = k l Δl = 1 k F Jousivakio k riippuu langan dimensioista Saadaan malli Δl = l o EA F k = E A l o Lisäksi tarvitaan materiaalia kuvaava
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. Tilastojen esittäminen. 212. a) 15-19 vuotiaita tyttöjä 156 377 Koko väestö 5 219 732 156 277 Näiden tyttöjen osuus
KERTAUSHARJOITUKSIA Tilastoje esittämie. a) -9 vuotiaita tyttöjä 377 Koko väestö 9 73 77 Näide tyttöje osuus 3, 0 % 9 73 b) Pojat ja tytöt: 3 377 + 77 = 39 4 39 4 Osuus koko väestöstä, % 9 73 c) Ikäluokka
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku. Tilastolliset testit. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A 0. harjoituket Mat-.09 Sovellettu todeäköiyylaku 0. harjoituket / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatolliet tetit Aritmeettie kekiarvo, Beroulli-jakauma, F-jakauma, F-teti,
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta
Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta Otetaan funk6o f(x,y), joka riippuu muu@ujista x ja y. Jokaiselle x,y tason pisteellä funk6olla on siis joku arvo. Tyypillisiä fysikaalis- kemiallisia esimerkkejä
LisätiedotLämpötila Lämpölaajeneminen Ideaalikaasu. Luku 17
Lämpötila Lämpölaajeneminen Ideaalikaasu Luku 17 Ch 17-1 3 Termodynaaminen tasapaino Termodynaaminen tasapaino: Tuotaessa kaksi systeemiä lämpökontaktiin niiden termodynaaminen tasapaino on saavutettu,
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
Lisätiedot3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
LisätiedotLIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA
1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
MS-A53 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Yhde otokse t-testi Testausasetelma yhde otokse t-testissä odotusarvolle Olkoo X i, i =,,, riippumato
Lisätiedot