Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä

Transkriptio

1 Fysiikan laboratoriotyöt 1, työ nro: 2, Harmoninen värähtelijä Tekijä: Mikko Laine Tekijän sähköpostiosoite: Koulutusohjelma: Fysiikka Mittausten suorituspäivä: Työn ohjaajan nimi: Otto Mankinen 1

2 Sisältö 1 Työn tarkoitus 3 2 Teoria Jousivakion määritys venymän avulla Jousivakion määritys jaksonajan avulla Maan vetovoiman aiheuttaman kiihtyvyyden määritys Mittausmenetelmät 4 4 Mittaustulokset ja niiden käsittely Jousivakion määrittäminen venymämittausten perusteella Jousivakion määrittäminen jaksonaikamittausten perusteella Maan vetovoiman aiheuttaman kiihtyvyyden määritys matemaattisen heilurin avulla Tulosten luotettavuuden arviointi 6 6 Lopputulokset ja johtopäätökset 6 7 Liitteet 6 2

3 1 Työn tarkoitus Työ tehtiin jousen jousivakion määrittämiseksi sekä jousen venymän että sen värähtelyliikkeen jaksonajan avulla. Molempia suureita tarkasteltiin massan funktiona. Myös jousen massa määritettiin mitattujen suureiden perusteella. Lisäksi määritettiin Maan vetovoiman aiheuttama kiihtyvyys matemaattisen heilurin avulla, heilahdusliikkeen jaksonajan ja langan pituuden mittaamisen jälkeen. Samalla opeteltiin käyttämään sekuntikelloa ja metrimittaa sekä määrittämään niiden lukematarkkuudet. Mittaustuloksia opeteltiin käsittelemään taulukkomuodossa ja esittämään graafisesti. Työssä tutustuttiin myös pienimmän neliösumman menetelmään. 2 Teoria 2.1 Jousivakion määritys venymän avulla Tutkitun jousen venymä x saadaan yhtälöstä x = g k m = a 1 + b 1 m, (1) missä g on Maan vetovoiman aiheuttama kiihtyvyys, k jousen jousivakio ja m käytetyn punnuksen massa. Termit a 1 ja b 1 vastaavat pienimmän neliösumman suoran vakiotermiä ja suoran kulmakerrointa. Kun a 1 0, kulmakertoimen, jousivakion ja Maan vetovoiman aiheuttaman kiihtyvyyden välille saadaan seuraavanlainen yhteys b 1 = g k k = g b 1. (2) 2.2 Jousivakion määritys jaksonajan avulla Punnuksineen värähtelevän jousen jaksonajan neliö T 2 saadaan yhtälöstä T 2 = 4π2 m j 3k + 4π2 k m = a 2 + m, (3) missä m j on jousen massa, k jousen jousivakio ja m käytetyn punnuksen massa. Termit a 2 ja vastaavat pienimmän neliösumman suoran vakiotermiä ja suoran kulmakerrointa. Pienimmän neliösumman suoran parametrien sekä jousivakion ja jousen massan välillä on seuraavanlainen yhteys = 4π2 k = 4π2 k a 2 = 4π2 m j. (4) m 3k j = 3a Maan vetovoiman aiheuttaman kiihtyvyyden määritys Maan vetovoiman aiheuttama kiihtyvyys g saadaan yhtälöstä missä l on langan pituus ja T heilurin jaksonaika. g = 4π2 l T 2, (5) 3

4 3 Mittausmenetelmät Työssä käytettiin ylhäältä ripustettua kierrejousta, jonka takana oli kiinteä metrimittaasteikko. Jousen venymämittauksissa jousesta valittiin kohta, jonka paikkaa kiinteällä metrimitta-asteikolla havaittiin. Paikka luettiin ilman punnusta ja punnuksin, jotka kiinnitettiin jousen alaosaan. Venymämittausten rinnalla mitattiin jousen värähtelynliikkeen jaksonajat kunkin punnuksen kohdalla saattamalla jousi punnuksineen värähtelemään ja mittaamalla sekuntikellolla kymmenen peräkkäisen jakson aika kolme kertaa. Maan vetovoiman aiheuttaman kiihtyvyyden määritykseen käytetyn matemaattisen heilurin langan pituus mitattiin metrimitalla. Heiluri saatettiin heilahdusliikkeeseen ja mitattiin sekuntikellolla kahdenkymmenen peräkkäisen heilahduksen aika kolme kertaa. 4 Mittaustulokset ja niiden käsittely Mittaustulokset käyvät ilmi liitteenä olevasta mittauspöytäkirjasta. 4.1 Jousivakion määrittäminen venymämittausten perusteella Liitteenä olevassa kuvaajassa Venymä massan funktiona mittauspisteiden välille on sovitettu pienimmän neliösumman suora, jonka kulmakerroin b 1 on 0, 5075 m. Pienimmän neliösumman suoran vakiotermi a 1 saa arvon 0, , joten jousivakion k arvo saadaan yhtälön (2) mukaisesti k = g b 1 = 9, 82 m 0, 5075 m = 19, , 35 s = 19, 35 N 2 m. Maan vetovoiman aiheuttaman kiihtyvyyden g arvona on käytetty 9, 82 m, joka on varsin tarkka likiarvo Oulun leveyspiirillä vallitsevasta kiihtyvyydestä. 4.2 Jousivakion määrittäminen jaksonaikamittausten perusteella Taulukko 1: Pienimmän neliösumman suoran parametrien laskemisessa tarvittavat arvot i m () T (s) m 2 ( 2 ) Tka 2 ( ) mtka 2 ( ) 1 0, 1 0, 748 0, 01 0, , , 2 0, 856 0, 04 0, , , 3 0, 971 0, 09 0, , , 4 1, 073 0, 16 1, , , 5 1, 161 0, 25 1, , , 6 1, 248 0, 36 1, , , 7 1, 315 0, 49 1, , , 8 1, 399 0, 64 1, , , 9 1, 475 0, 81 2, , , 0 1, 535 1, 00 2, , Σ 5, 5 11, 781 3, 85 14, ,

5 Kutakin massaa vastaavat kymmeneen värähdysliikkeeseen kuluvat ajat kolmen havainnon keskiarvona on kirjattu liittenä olevaan mittauspöytäkirjaan. Jakamalla nämä ajat kymmenellä saadaan selville tutkitun harmonisen värähtelijän jaksonajat. Pienimmän neliösumman menetelmää varten tarvitaan jaksonaikojen neliöt, massojen neliöt sekä massan ja jaksonajan neliön tulon kulloinkin käytetyllä massan arvolla. Nämä on laskettu yllä olevaan taulukkoon (Taulukko 1). Pienimmän neliösumman suoran vakiotermi a 2 voidaan määrittää seuraavasta yhtälöstä a 2 = Σm2 i ΣTi 2 Σm i Σm i Ti 2 = 3, , , 5 9, NΣm 2 i (Σm i ) , 85 2 (5, 5 ) 2 = 55, , = 2, , , , 25 2 = 0, , ja suoran kulmakerroin yhtälöstä = NΣm iti 2 Σm i ΣTi 2 = 10 9, s2 5, 5 14, NΣm 2 i (Σm i ) , 85 2 (5, 5 ) 2 = 97, s2 79, , , 25 2 = = 2, s2 2, 1382 s2. 17, s2 8, 25 2 Saadun kulmakertoimen arvon perusteella jousen jousivakioksi k saadaan yhtälön (4) nojalla k = 4π2 = 4π 2 2, s2 Vastaavasti jousen massaksi m j saadaan = 18, , 46 s = 18, 46 N 2 m. m j = 3a 2 = 3 0, s2 2, s2 = 0, , 3859 = 385, 9 g. 4.3 Maan vetovoiman aiheuttaman kiihtyvyyden määritys matemaattisen heilurin avulla Matemaattisen heilurin kahdenkymmenen peräkkäisen heilahduksen aika kolmen havainnon keskiarvona on kirjattu liitteenä olevaan mittauspöytäkirjaan. Jakamalla tämä aika kahdellakymmenellä saadaan selville tutkitun matemaattisen heilurin jaksonaika. Siis 54, 876 s T = = 2, s 20 Heilurissa käytetyn langan pituus l on 1, 878 m. Sijoittamalla arvot yhtälöön (5), saamme putoamiskiihtyvyyden g arvoksi g = 4π2 l T 2 = 4π2 1, 878 m (2, s) 2 = 9, m 9, 85 m 5

6 5 Tulosten luotettavuuden arviointi Arvioidaan putoamiskiihtyvyydelle g saadun arvon virhettä kokonaisdifferentiaalimenetelmällä. Koska g = g(l, T ), kiihtyvyyden absoluuttisen virheen ylärajaksi saadaan jossa g l l + T T, ja l = 4π2 T 2 0,3 s 20 T = 8π2 l. T 3 Langan pituuden l mittausvirhe l = 0, 001 m ja jaksonajan T mittausvirhe T = = 0, 015 s. Joten absoluuttisen virheen yläraja 4π 2 g 0, 001 m (2, s) 2 + 8π 2 1, 878 m 0, 015 s (2, s) 3 ja suhteellisen virheen yläraja = 0, m 0, 113 m g g 0, m 9, m = 0, , 2%. 6 Lopputulokset ja johtopäätökset Jousen jousivakioksi saatiin venymämittausten perusteella 19, 35 N ja jaksonaikamittausten perusteella 18, 46 N. m m Jousen massalle määritettiin arvo 390 g. Pienimmän neliösumman suoralta katsottuna jousen massaksi m j saadaan 3 ( 130) g 390g. Maan vetovoiman aiheuttaman kiihtyvyyden arvoksi saatiin matemaattisen heilurin avulla (9, 85 ± 0, 12) m = 9, 85 m ± 1, 2%. Oulun leveyspiirillä putoamiskiihtyvyydelle käytetään yleisesti likiarvoa 9, 82 m, joten saatu tulos ei ole ollenkaan hassumpi. 7 Liitteet Tämän työselostuksen liitteenä on mittauspöytäkirja sekä Venymä massan funktiona ja Jaksonajan neliö massan funktiona -kuvaajat. 6