Fourier analyysi. Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2016 Luennoitsija: Eero Saksman 1

Transkriptio

1 Fourier analyysi Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 206 Luennoitsija: Eero Saksman Fourier analyysi on keskeinen työkalu monella eri matematiikan alalla, differentiaaliyhtälöissä, harmonisessa analyysissä, lukuteoriassa, stokastiikassa, jne. Kurssi pyrkii antamaan hyvät perustiedot Fourier sarjojen ja Fourier muunnoksen perusteista. Kurssin loppuosassa Fourier muunnosten ymmärtäminen vie meidät luonnollisella tavalla (temperoituihin) distribuutioihin eli yleistettyihin funktioihin. Kurssin lähtökohtana on Lebesguen integraalin perusteiden tunteminen, lähinnä kurssi "Mitta ja Integraali". Myös kurssin "Reaalianalyysi I" perustiedot ovat hyödyllisiä; ne on esitetty Ilkka Holopaisen luentomonisteessa "Reaalianalyysi I", johon viitataan lyhenteellä [H]; siis esim. [H, Lause 2.29]. Lisäksi, muistiinpanojen loppuun, osaan "Appendix", on koottu lyhyitä yhteenvetoja tarvittavista taustatiedoista; tätä osaa voidaan tarvittaessa myös laajentaa. Lisätietoja kurssin aihepiiristä saa esim. kirjoista E.M. Stein & R. Shakarchi: Fourier Analysis, An Introduction, Princeton university press, 2003 L. Grafakos: Classical Fourier Analysis, Springer, Rudin, W.: Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, Third ed. 987; Rudin, W.: Functional analysis, McGraw-Hill, Second ed Luentomonisteen pohjana ovat Kari Astalan luennot syksyllä 202, joihin muutoksia ja lisäyksiä ovat tuoneet Astalan luennot syksyllä 205 sekä E.S.:n luennot syksyllä 203.

2 Stein-Shakarchi on mukavasti kirjoitettu johdatus aiheeseen; pienenä pulmana on että kirja perustuu Riemannin integraaliin, mikä ennen pitkää voi tuottaa vaikeuksia tämän kurssin opiskelijalle. Grafakos on laaja yleisteos, jossa on paljon tietoa, huomattavasti enemmän kuin tällä kurssilla voidaan käsitellä. Rudinin kirjat taas luovat persoonallisen yleiskuvan matemaattiseen analyysiin.

3 Sisältö I Johdantoa II Fourier sarjojen perusominaisuuksia 9 II. Perusmääritelmät II.2 Fourier-sarjan Yksikäsitteisyys II.3 Ensimmäisiä tuloksia Fourier-sarjan suppenemisesta III Konvoluutiot ja Dirichlet Ytimet 8 III. Hyvät Ytimet III.2 Fejerin ydin IV Fourier sarjojen pisteittäinen konvergenssi 3 IV. Suppenemisehtoja IV.2 Jatkuvat funktiot ja hajaantuvat Fourier sarjat V Fourier sarjojen sovelluksia I 4 V. Tasanjakautuneisuus (mod ) ja Weylin lause V.2 Jatkuvia funktioita, joilla ei derivaattaa missään pisteessä VI Fourier sarjojen L 2 -teoria 54 VI. L 2 -funktioiden Fourier kertoimet VII Fourier sarjojen sovelluksia II 59 VII. Isoperimetrinen epäyhtälö VII.2 Esimerkki sovelluksista differentiaaliyhtälöihin VIII Diskreetti Fourier Muunnos (DFT) 70 VIII. Nopea Fourier muunnos (FFT) VIII.2 Fourier analyysistä äärellisillä ryhmillä

4 IX Jatkuva Fourier muunnos R d :ssä 77 IX. Jatkuvan Fourier muunnoksen perusominaisuudet; L -funktiot IX.2 Käänteinen Fourier muunnos IX.3 Nopeasti vähenevät funktiot S(R d ) X Fourier muunnos avaruudessa L 2 (R d ) 9 XI Interpolaatio ja L p -funktioiden Fourier muunnokset, <p<2. 96 XI. Funktionaalianalyyttinen periaate XI.2 Interpolaatio ja Riesz-Thorinin lause XII Temperoidut distribuutiot 07 XII. Schwartzin luokan S(R d ) topologia XII.2 Distribuutiot ja testifunktiot XII.3 Distribuutioilla operoiminen; derivointi ja funktiolla kertominen XII.4 Temperoitujen distribuutioiden Fourier muunnos XII.5 Singulaarinen integraali XII.6 Distribuutioiden konvoluutioista XIII Jatkuvan Fourier muunnoksen sovelluksia 27 XIII. Poissonin summakaava XIII.2 Differentiaaliyhtälön perusratkaisu XIII.3 Keskeinen raja-arvolause APPENDIX: A. L p -avaruudet A.. Hölderin ja Minkowskin epäyhtälöt A..2 Konvoluutio R d :ssä A..3 Absoluuttinen jatkuvuus

5 A..4 Pisteittäinen konvergenssi A.2 Banach avaruuksista ja lineaarisista operaattoreista 5 A.3 Lisätietoja distribuutioista. 6 A.3. Distribuution ja testifunktion konvoluutio A.3.2 Kompaktikantajaisen distribuution Fourier muunnos

6 I. Johdantoa Fourier analyysin lähtökohtana ja perusideana on esittää annettu funktio f(x) Fourier- eli trigonometrisena sarjana X (.) f(x) = c n e inx missä n= (.2) e it =cos(t)+i sin(t). Huomautus.. Koska sarjan (.) termit ovat 2 -periodisia, yleensä ajatellaan f kuvaukseksi f :[0, 2 ]! C; vaihtoehtoisestivoimmeolettaa,ettäf on 2 -periodinen. Trigonometrisia funktioita ja polynomeja oli käytetty jo ammoisina aikoina, mutta ajatus esittää mielivaltainen funktio f(x) sarjana (.) juontaa juurensa 700-luvulta, pyrkimyksestä ymmärtää värähtelevän kielen liikettä. Tarkastellaan (idealisoitua) kieltä välillä (0, ), kysymyksessävoisiollavaikkapaviulunkielijokaonpingoitettureaaliakselinpisteiden 0 ja välille. Toki voisimme tarkastella mielivaltaisen mittaista kieltä välillä (0,L), mutta valinta L = yksinnkertaistaa merkintöjä. Jo Pythagoraan ajoista oli enemmän tai vähemmän tunnettua kuinka värähtelevän kielen tuottamassa äänessä on perustaajuus ja sen monikerrat, eli ns. yläsävelsarja. 700-luvun alussa oli kertynyt kokeellista tietoa siitä että kieli voi fyysisesti värähdellä yläsävelsarjaa vastaavissa moodeissa. Brook Taylor esitti 73 ensimmäisenä tarkemman mallin värähtelevän kielen liikkeelle ja antoi perustaajuiselle värähtelylle kaavan u(x, t) =cos(ct)sin(x), missä u(x, t) on kielen poikkeama tasapainosta pisteessä x 2 [0, ] hetkellä t 0 ja missä c>0 on vakio. Näin värähtelyliike tuli kytketyksi trigonometrisiin funktioihin. Jacob Bernoulli puolestaan tutki perusteellisemmin kielen liikettä approksimoimalla sitä n:n toisiinsa

7 kiinnitetyn massapisteen muodostamalla systeemillä ja johti v. 727 Taylorin tuloksen rajaarvona, kun massapisteiden lukumäärä kasvaa äärettömiin. 730-luvulla Daniel Bernoulli esitti, että korkeampien (puhtaiden) värähtelymooden liikettä voidaan kuvata kaavalla u(x, t) =cos(nct)sin(nx), n =, 2,... ja totesi että myös tälläisten ratkaisujen lineaarikombinaatiot kuvaavat värähtelyä. Varsinainen läpimurto tuli v.747 kun D Alembert osoitti, että värähtelevä kieli toteuttaa aaltoyhtälön (.3) du 2 du2 = c2 dx2 dt 2 Tämä yhtälö ja sen usempiulotteiset vastineet ovat eräs kaikkein tärkeimmistä osittaisdifferentiaaliyhtälöistä matematiikassa ja fysiikassa. Värähtelevän kielen liike voidaan periaatteessa määrittää ratkaisemalla (.3) ottaen huomioon alku-ja reunaehdot (.4) u(x, 0) = f(x), du (x, 0) = 0, u(0,t)=u(, t) =0. dt Tässä ensimmäiset ehtdot kertovat, että kielen alkuasema on f(x) ja sen alkunopeus on 0 (toisin sanoen kieli päästetään värähtelemään pingottamalla se ensin alkutilaan jota kuvaa funktio f) javiimeinenehtototeaaettäkielenpäätepisteetpysyvätpaikoillaan.lisäksi D Alembert johti aaltoyhtälölle yleisen ratkaisun (.5) u(x, t) =a (x ct)+a 2 (x + ct). missä ensimmäinen termi kuvaa oikealle (ja toinen vasemmalle) liikkuvaa aaltoa. Funktiot a,a 2 voidaan ratkaista alkuehdoista (.4). Euler kiinnostui välittömästi D Alembertin aaltoyhtälöstä ja sen ratkaisukaavasta (.5), ja totesi että sen avullahan voidaan hyvin kuvata myös realistisia alkuarvoja, kuten sitä tapausta missä kieli aluksi venytetään koholle vain yhdestä pisteestä, vaikkapa pisteestä /2, ja sitten päästetään värähtelemään. Tällöin siis (.6) f(x) = /2 x /2. 2

8 Tämä alkuarvo ei ole derivoituva kohdassa /2. Kuitenkin Eulerin mielestä tässäkin tapauksessa D Alembertin yleinen ratkaisukaava tuottaa mielekkään tuloksen. D Alembert puolestaan vastusti kiivaasti tällaisten ratkaisujen käyttöä, ja vaati että aaltoyhtälössä esiintyvien toisten derivaattojen tulee olla määriteltyjä, vaikkei derivaatan käsite ollutkaan tuohon aikaan kovin selkeä. Tästä syntyi ankara kiista kuuluisten tiedemiesten välille. Muutamaa vuotta myöhemmin v. 753 Daniel Bernoulli toi kiistaan uuden juonteen väittämällä että jokainen tarkastelemamme värähtelytehtävän (.3)-(.4) ratkaisu voidaan esittää perusvärähtelyjen äärettömänä superpositiona, eli yleinen ratkaisu on muotoa X u(x, t) = c n cos(nct)sin(nx). n= Kertoimet c n määräytyvät alkuehdosta, joka saa muodon X (.7) f(x) = c n sin(nx), x 2 (0, ). n= Erityisesti Bernoulli totesi, että myös epäsileät alkuehdot kuten (.6) sisältyvät hänen ratkaisuunsa. Tätä ei tietysti D Alembert hyväksynyt. Bernoullin ratkaisua kritisoi myös Euler, mm. todeten, ettei ollut selvää että jokainen funktio f voidaan esittää sinisarjana (.7), ja totesi ettei ollut olemassa menetelmää kertoimien c n määräämiseksi annetulle funktiolle f. Siispä jo Fourier-sarjojen alkuhistoria ja ensimmäinen sovellus(-yritys) nosti esiin monia kysymyksiä jotka askarruttivat (aiheellisesti!) tuon ajan matemaatikkoja. Varsin pian tosin Clairaut keksi miten kertoimet voidaan ratkaista ja antoi kaavan (.8) c k = 2 0 f(x)sin(nx)dx (myös Euler ratkaisi ongelman, tosin hänen ratkaisunsa löytyi vasta kuoleman jälkeen löydetyistä muistiinpanoista). Silti seuraavassa luetellut luonnolliset kysymykset jäivät vaille vastausta useiksi vuosikymmeniksi, ja Fourier-sarjat olivat vähäisessä roolissa ennen 80- lukua. 3

9 Kysymys.2. Määräävätkö Fourier kertoimet (.8) funktion f yksikäsitteisesti? Suppeneeko sarja (.7), taimilloinsesuppenee? Missä mielessä sarja suppenee? (Esimerkiksi: kun f on epäjatkuva, suppeneeko sarja kaikkialla, melkein kaikkialla vai...??) Jos sarja suppenee pisteessä x, onkosensummaf(x)? Miten kertoimet c n kuvaavat funktion f(x) ominaisuuksia? jne... Fourier-sarjojen uusi tuleminen on Joseph Fourierin ansiota, 800-luvun alkuvuosikymmeniltä. Fourier oli monipuolinen lahjakkuus, hän toimi mm. matemaatikkona ja fyysikkona École Normale Supérieure ssa ja insinöörinä Napoleonin armeijassa - hän oli mukana esim. egyptin sotaretkellä. Esityksen (.), tai paremminkin sini-sarjan (.7), Fourier löysi lämpöyhtälöä tutkiessaan. Tarinan mukaan Fourier halusi selvittää kuinka syvä viinikellari hänen oli rakennettava - mutta toki lämmön johtumisen ymmärtämistä tarvitaan monessa muussakin yhteydessä. V. 807 Fourier johti kaavan annetun funktion Fourier-kertoimille (Clairautin ja Eulerin ratkaisut olivat käytännöllisesti katsoen unohtuneet). Kuuluisassa teoksessaan Théorie analytique de la chaleur (lämmön analyyttinen teoria) Fourier väitti että kaikki funktiot, jopa epäjatkuvatkin, voidaan kehittää suppenevaksi sinisarjaksi (.7) (yhtäpitävästi funktiot välillä [0, 2 ] voidaan kehittää sarjaksi (.)). Lisäksi hän sovelsi Fourier-sarjoja taitavasti moniin analyysin ongelmiin, erityisesti osittaidifferentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtäviin. Edelleen hän kehitti koko reaaliakselilla määritellyille funktioille toimivan ns. Fourier-muunnoksen, josta myöhemmin lisää tällä kurssilla. 4

10 Fourierin työn jälkeen Fourier-sarjojen käyttö vakiintui. Nimittäin esityksellä (.) on monia etuja verrattuna vaikkapa peruskursseilta tuttuihin Taylorin sarjoihin. Esimerkiksi: Yleispätevyys: esitys (.) toimii myös epäjatkuville funktioille (oikein tulkittuna). Fysikaaliset mallit ja tulkinnat: eksponenttifunktiot e inx kuvaavat luonnollisella tavalla jaksollista t. aaltoliikettä, värähtelyjä yms. Differentiaalioperaattoreiden toiminta eksponenttikannassa: d dx einx = ine inx, so. e inx on derivaattaoperaattorin ominaisfunktio. Yhteensopivuus ryhmätoimintojen kanssa: e in(x+y) = e inx e inx ; tämän yhteensopivuuden vuoksi kaikki translaatioinvariantit operaattorit toimivat luonnollisella tavalla Fourier kannassa. Näistä ja monista muista vastaavista syistä Fourier-sarjat ja -integraalit ovat edelleen keskeinen työkalu modernissa matematiikassa. Palataan sitten keskeiseen kysymykseemme funktioiden esittämisestä sarjojen (.) avulla. Jotta voisimme määritellä mielivaltaisen (integroituvan) funktion Fourier-sarjan, selvitämme ensiksi mistä saadaan esityksen (.) kertoimet c n. Tätä varten, olkoon f astetta N oleva trigonometrinen polynomi, f(x) = NX n= N Silloin f:n k s Fourier kerroin on c n e inx = NX n= N (.9) f(k) b 2 := f(x)e ikx dx = c n cos(nx)+i sin(nx). NX n= N 2 c n e i(n k)x dx = c k, 0

11 sillä R 2 0 e i(n k)x dx =2 n,k. Eli R c k = 2 f(x)e ikx dx. 2 0 Tämän äärellisille summille todistamamme kaavan innoittamana määrittelemme yleiselle integroituvalle funktiolle f(x) sitä vastaavan (toistaiseksi formaalin) Fourier-sarjan (.0) f(x) = X n= bf(n) e inx, missä Fourier kertoimet b f(k) on annettu kaavalla (.) f(k) b 2 = f(x)e ikx dx, k Erityisesti Fourierin töiden jälkeen jo edellä mainitsemamme perustavaa laatua olevat Kysymykset.2 nousivat polttaviksi! Vasta vuonna 829 Dirichlet kykeni osoittamaan tarkasti, että sarjat suppenevat aivan kuten Fourier (tai D. Bernoulli) väittikin, ainakin jos funktio f on hieman säännöllisempi kuin yleinen jatkuva funktio. Kaiken kaikkiaan pyrkimys Fourier-sarjojen parempaan ymmärtämiseen oli keskeisenä punaisena lankana analyysin tarkentumisessa 800-luvulla ja motivaationa mm. Riemannin ja Lebesguen integraalikäsitteiden, Hilbert-avaruuksien teorian ja ja peräti Cantorin joukko-opin synnyssä! Esimerkki.2. Fourier sovelsi sarjojaan erityisesti lämpöyhtälön teoriaan. Tarkastellaan tästä esimerkkinä lämmön johtumista tangossa, jonka pituus on L. Oletamme, ettätangon päätepisteissä x =0ja x = L lämpötila on koko ajan 0 o,tämänsaammeaikaanjonkin jäähdytysprosessin avulla, ja että hetkellä t =0tangon lämpöjakauma on f(x), missä 0 apple x apple L. 6

12 Fysiikan periaatteiden avulla tiedetään, että lämpöjakaumaa u(x, t) hetkellä t>0 kuvaavat yhtälöt (.2) (.3) t u(x, t) = c@ 2 xu(x, t), x 2 [0,L], t>0, u(x, 0) = f(x), x 2 [0,L], (annettu alkuarvo) u(0,t) = u(l, t) 0, t > 0. (annettu reunaehto) missä kerroin c riippuu tangon lämmönjohtavuusominaisuuksista. Tehtävä: Määrää tangon lämpöjakauma u(x, t) hetkellä t pisteessä x 2 [0,L]! Aluksi, derivoimalla havaitaan, että funktiot (.5) u n (x, t) =A n e c ( n/l)2t sin( n x), n 2 N, L toteuttavat yhtälön (.2) sekä reunaehdon (.4). Etsitään nyt ratkaisua u(x, t) funktioiden u n summana, u = P n= u n. Miten silloin valita (tuntemattomat) kertoimet A n? Alkuhetkellä t =0on u n (x, 0) = A n sin( n x), mistäsaadaanformaalisti L (.6) f(x) =u(x, 0) = X u n (x, 0) = n= 7 X n= A n sin( n L x)

13 ja tästä yhtä formaalisti sillä R L 0 L 0 f(x) sin( k x) dx = L X n= A n L n sin( x) sin( k x) dx = L L L 2 n,k (HT). Valitaan siis (.7) A n = 2 L L 0 0 sin( n x) sin( k L L x) dx = L 2 A k, f(x) sin( n x) dx, n 2 N. L Meillä on näin idea yhtälön (.2)-(.4) ratkaisuksi: Kun alkulämpötila f(x) on annettu, lasketaan kertoimet A n kuten kaavassa (.7), ja otetaan summa X (.8) u(x, t) = A n e c ( n/l)2t sin( n L x) n= Kysymys.3. Antaako yo. proseduuri todellakin etsityn ratkaisun kullakin alkulämpötilalla f? Taitarkemmin: Millaisella funktioilla f(x) kertoimet A n ovat olemassa? Mistä tiedämme, että jokainen ratkaisu u(x, t) tai jokainen alkua-arvo f(x) voidaan esittää summina (.6) ja (.8)? Mistä tiedämme, että sarjat (.6) ja (.8) suppenevat? Tämä riippuu funktiosta f(x), muttamiten? Jos esimerkiksi sarja (.6) ei suppene jokaisessa pisteessä x, missä mielessä sarja (.6) esittää alkuarvofunktiota f(x) ja missä mielessä alkuehto (.3) toteutuu? Ja vaikka yo. sarjat olisivat hyvin määriteltyjä ja niiden summat antaisivat oikeat funktiot, voimmeko derivoida (ja koska) sarjaa u = P n= u n kahdesti? Huomaa, että termeittäin derivointi kasvattaa sarjan kertoimia, joten suppenemisominaisuudet heikkenevät derivoinnin myötä! 8

14 Osa yo. kysymyksistä on helppoja, osa syvällisempiä, aihepiirin peruskysymyksiä. Kurssin aikana tulemme saamaan vastauksen kaikkiin näihin kysymyksiin, ja monen muunkin sovelluksen kera, myös esittämään yhtälöille (.2)-(.4) ratkaisut perusteluineen, varsin yleisillä alkuehdoilla f(x) -esimerkiksif:n jatkuvuutta ei ole tarpeen olettaa. II. Fourier sarjojen perusominaisuuksia II.. Perusmääritelmät. Olkoon f :[a, b]! C (Lebesgue) integroituva funktio, eli f 2 L (a, b). OlkoonL = b Fourier kerroin on a ko. välin pituus, 0 <L<. Silloinfunktionf(x) n:s (2.) b f(n) = L b a f(x) e i 2 n L x dx, n 2. Huomautus 2.. Koska f 2 L (a, b), saamme b f(n) apple L R b f(x) dx = vakio < a jokaisella n 2 (ja lisäksi, integroituvuuden nojalla kaikki Fourier-kertoimet ovat hyvin määriteltyjä). Funktion f :[a, b]! C Fourier-sarja on (toistaiseksi formaali) summa X n= bf(n) e i 2 n L x. Toisinaan merkitsemme f X n= a n e i 2 n L x kun a n = b f(n),n 2. Tässä merkintä on vain symbolinen (joskin hyvin intuitiivinen), ja se tarkoittaa vain (!), että luvut a n ovat f:n Fourier-kertoimet. Vaikka jotkut esimerkit tai sovellukset tarvitsevat funktioita, jotka on määritelty yleisellä välillä [a, b], yleensätarkastelemmetapaustaf :[, ]! C tai f :[0, 2 ]! C; 9

15 kuten kaavasta (2.) huomataan, tällä valinnalla merkinnät yksinkertaistuvat. Valinta ei rajoita tarkastelujen yleisyyttä: f(x) X n= a n e inx, (HT) f 2 L (x x 0) X n= a n e i 2 n L x 0 e i 2 n L x Usein on hyödyllistä laajentaa f 2 L (a, b) koko reaaliakselin L periodiseksi funktioksi, L = b a > 0. Tarkastiottaenperiodisointionnistuukunalunperinf on määritelty puoliavoimella välillä [a, b) ja määritellään f(x) =f(x kl) kun x 2 (a + kl, b + kl), k 2. L -funktioille ei sinänsä ole merkitystä onko alkuperäinen määrittelyväli puoliavoin vai ei, sillä ne on määritelty vain melkein kaikkialla. Jos kuitenkin f on jatkuva (tarkkaan ottaen, f:n L -luokalla on jatkuva edustaja), haluamme, että periodisointi säilyttää jatkuvuuden - ja tämä onnistuu vain mikäli f(a) = f(b)! Tämän vuoksi otamme käyttöön seuraavan määritelmän. Määritelmä 2.2. Asetamme C # (a, b) :={f :[a, b]! C jatkuva, f(a) =f(b)}. Eli kun f :[a, b]! C on jatkuva, f:n (L-)periodinen laajennus on jatkuva, f 2 C # (a, b). Kääntäen, reaaliakselin periodisille funktioille (periodina L) Fourier kertoimet määritellään samalla kaavalla (2.); selvästikään välin [a, b] valinta ei vaikuta kertoimien arvoon, kunhan vain L = b a (HT). Huomautus 2.3. Yleensä siis tarkastelemme 2 -periodisia funktioita. Niitä voi helposti käsitellä myös yksikköympyrän avulla. Koska Eulerin kaavan (.2) nojalla yksikköympyrä S = {e it :0apple t apple 2 }, voimme samaistaa C # (0, 2 ) ' C(S );elisamaistetaanf(x) =F (e ix ) missä f 2 C # (0, 2 ) ja F 2 C(S ).Jaedelleen,molemmatfunktioavaruudetonmukavasamaistaaR:n jatkuvien 2 -periodisten funktioiden kanssa. 0

16 Tietysti, yllä voi edelleen samaistaa C # (, ) ' C # (0, 2 ) jne., kunhan vain merkinnät valitaan systemaattisesti. Huomautus 2.4. Vastaavasti C k #(a, b) :={f :[a, b]! C on k kertaa jatkuvasti derivoituva,f (j) (a) =f (j) (b) 8 0 apple j apple k} on periodinen vastine C k -funktioille. Kuten edellä, samaistamme C k # (0, 2 ) ' Ck # (S ) Esimerkki 2.5. Olkoon f(x) =x, apple x apple. Määrää f:n Fourier kertoimet: Kun n 6= 0,saadaan bf(n) = xe inx dx = 2 2 xe inx in + e inx 2 in dx = = cos( n ) in2 + cos(n ) in2 i( )n +0=, n kun taas f(0) b R = xdx =0.Siis 2 f(x) X n6=0 i( ) n einx n ; eli f(x) X ( ) n+ 2 n sin(nx). n=

17 Hieman myöhemmin näemme, että k kertaa jatkuvasti derivoituvan funktion Fourierkertoimille b f(n) applec( + n ) k. Miksi näin ei käy yo. esimerkissä? Syy käy ilmi tarkasteltaessa f:n kuvaajaa: Siis f:llä on hyppy välin [, ] päätepisteissä, eli f:n periodinen jatko ei ole jatkuva! Erityisesti, tämä esimerkki valottaa hyvin seuraavaa periaatetta: Funktion f Fourier kertoimet f:n periodisoinnin Fourier kertoimet. Eli periodisoinnin tuomat ominaisuudet heijastuvat aina funktion f Fourier kertoimiin. II.2. Fourier-sarjan Yksikäsitteisyys. Jos f,g :[, ]! C integroituvia funktioita, ja f(n) b =bg(n) kaikilla n 2, emmeyleensävoipäätellä,ettäpisteittäinf(x) =g(x) (koska L -funktio määritelty vain melkein kaikkialla). Mutta sopivien esim. jatkuvuusoletusten kanssa päästään pisteittäisiin tuloksiin. Tästä ensimmäinen esimerkki: Lause 2.6. Olkoot f,g mitallisia ja integroituvia funktioita välillä [, ], joillef(n) b = bg(n) jokaisella n 2. Silloinf(x) =g(x) jokaisessa pisteessä x 2 (, ), jossaf g on jatkuva. Todistus. Lineaarisuuden nojalla riittää todistaa seuraava: VÄITE: Olkoon f mitallinen, integroituva ja 2 -periodinen funktio, jolle f(n) b =0jokaisella n 2. Silloinf(x) =0jokaisessa pisteessä x, jossaf on jatkuva. 2

18 Väitteen todistamiseksi oletetaan ensin, että f on jatkuva pisteessä x 0 =0ja että f on reaaliarvoinen. Teemme silloin vastaoletuksen: f(0) 6= 0.Korvaamalla f:n tarvittaessa f:llä, voimme olettaa: (2.2) f(0) > 0 ja näytämme, että (2.2) johtaa ristiriitaan. Tätä varten huomataan ensin, että oletuksen nojalla jokaisella trigonometrisella polynomilla P (x) = P N n= N a ne inx pätee NX NX (2.3) f(x) P (x) dx = a n f(x) e inx dx = a n 2 f( b n) =0. n= N n= N Hyödynnetään tätä valitsemalla sopivia polynomeja P (x). Koska f on jatkuva origossa, (2.4) f(x) > f(0) > 0, <x<, 2 kun >0 riittävän pieni. Sen jälkeen valitsemme P (x) =" +cos(x) missä ">0 on niin pieni, että (2.5) P (x) apple kun apple x apple. 3

19 Valitaan vielä lisäparametri 0 < < niin että (2.6) P (x) > + ", kun x <, vrt. kuva ed. sivulla. 2 Näillä valinnoilla asetetaan P k (x) = P (x) k, k 2 N. Silloin P k (x) on trigonometrinen polynomi (HT), jolle pätee arvio f(x) P k (x) dx apple f dx max P apple x apple (x)k applekfk L apple x apple Toisaalta, ehdon (2.4) mukaan f(x),p k (x) > 0 kun x < [voi valita < /2], ja siksi f(x) P k (x) dx f(x) P k (x) dx > f(0) + " k 2 (! + kun k!). 2 2 x < x < Yhdistämällä arviot ehtoon (2.3) saadaan lopulta 0= f(x) P k (x)+ f(x) P k (x) x < apple x apple missä oikeanpuoleinen termi!kun k kasvaa - ristiriita! f(0) + 2 " k kfk L, Tämä osoittaa, että f(0) = 0 kun jatkuvuuspiste x 0 =0ja f reaaliarvoinen. Yleisellä jatkuvuuspisteellä x 0 tarkastellaan polynomeja P k (x) = " +cos(x x 0 ) k,jatoimitaan aivan kuten yllä. Kompleksiarvoiselle funktion tapauksessa hajotetaan f = u + iv reaali-ja imaginääriosiin. Koska kompleksikonjugaatille (2.7) c f (n) = 2 ja u =(f + f)/2, v =(f 2 0 f(x)e inx dx = f(x)e inx dx = b f( n) =0 f)/2i, saammebu(n) =0=bv(n) kaikilla n 2. Jareaaliarvoiset funktiot u ja v ovat oletuksen mukaan jatkuvia origossa, joten yo. antaa f(0) = u(0) + iv(0) = 0. Näinväite,jasenmukanakokolause,ontodistettu. Lauseella 2.6 on monia seurauksia, niistä ensimmäinen: Seuraus 2.7. Jos f,g :[ silloin f(x) =g(x) jokaisessa pisteessä x 2 [, ]! C ovat jatkuvia, ja b f(n) =bg(n) jokaisella n 2, niin, ]. Siis ainakin jatkuville funktioille Fourier-kertoimet määräävät funktion! 4

20 II.3. Ensimmäisiä tuloksia Fourier-sarjan suppenemisesta. Fourier-sarjojen suppeneminen riippuu tietysti Fourier-osasummien NX (2.8) S N f(x) := bf(n)e inx käytöksestä; määritelmän mukaan Fourier sarja suppenee pisteessä x mikäli raja-arvo lim N! S N f(x) on olemassa. Erityisesti sarja suppenee kohti funktion arvoa f(x) mikäli S N f(x)! f(x), kun N!. Keskeiset Fourier sarjojen menetelmät pyrkivätkin ymmärtämään operaattorin f 7! S N f ominaisuuksia. Tästä tulemme jatkossa näkemään monia eri esimerkkejä, mutta lähdetään nyt liikkeelle ensimmäisestä tapauksesta, joka takaa osasummien suppenemisen, nimittäin itseisesti suppenevista sarjoista. Lause 2.8. Olkoon f :[ (2.9), ]! C jatkuva. Oletamme, että X f(n) b <, n= eli, että Fourier sarja suppenee itseisesti. Silloin Fourier sarja suppenee ja X (2.0) f(x) = bf(n) e inx jokaisessa pisteessä x 2 [, ]. n= Lisäksi, suppeneminen on tasaista välillä [ N, ]. Huomaa, että emme olettaneet että f saa samat arvot välin päätepisteissä ±. Tämä kuitenkin seuraa ehdosta (2.9), sillä jokainen S N f 2 C # (, ) ja suppeneminen (2.0):ssa on tasaista. Tai kääntäen, mikäli f on jatkuva välillä [, ], muttaf( ) 6= f( ), silloin f:n Fourier sarja ei voi supeta itseisesti; vrt. Esimerkki 2.5. Lauseen 2.8 todistus.koskasarja P n= b f(n) e inx suppenee itseisesti ja tasaisesti [, ]:llä (muista Weierstrassin kriteerio!), analyysin peruskurssit näyttävät, että sarjan summa X g(x) := bf(n) e inx = lim S Nf(x) N! n= 5

21 on tuolla välillä jatkuva funktio. Lisäksi jokaisella k 2 bg(k) = X g(x)e ikx dx = bf(n) 2 2 n= e inx e ikx dx = b f(k); tässä integroinnin ja summauksen järjestyksen saattoi vaihtaa tasaisen suppenemisen vuoksi (peruskurssit). Siispä f ja g :[, ]! C jatkuvia funktioita, joilla samat Fourier kertoimet. Seurauksen 2.7 mukaan silloin f(x) =g(x) jokaisella x 2 [, ]. KoskaFouriersarjasuppeni tasaisesti kohti funktiota g(x), lauseen viimeinenkin väite on silloin tullut todistetuksi. Koska itseisesti suppenevat Fourier sarjat automaattisesti suppenevat kohti funktion arvoa f(x), on luonnollista hakea kriteerejä jotka takaisivat ehdon (2.9). Tässä havaitaan: Koska ehtoa (2.9) varten tarvitsemme selvästikin arvioita Fourier kertoimien suuruudesta, lähdetään liikkeelle perusarviosta (2.) b f(n) = 2 eli (2.2) sup n2 f(x)e inx dx apple 2 f(x) dx, n 2 N, bf(n) apple kfk L (, ), kun merkitään kfk L (, ) := f(x) dx 2 Tätä yleistä ylärajaa voi hieman vielä parantaa nk. Riemann-Lebesguen lemman avulla, johon palataan myöhemmin. Ehto (2.9) vaatii kuitenkin kertoimien b f(n) vahvempaa kontrollia, sopivilla f. Tällaisen löytämiseksi muistellaan Esimerkin 2.5 päättelyä. Erityisesti, siellä nähtiin että osittaisintegroinnilla voi Fourier kertoimia "pienentää". Oletetaan siksi, että f 2 C # ( lasketaan (2.3) b f(n) = 2 f(x) e inx dx = 2 Sijoitustermi häviää periodisuuden nojalla, joten e inx in f(x) + 2 in (2.4) c f 0 (n) = in b f(n), n 2, f 2 C #(, ). 6 e inx f 0 (x) dx., ), ja

22 Identiteetti pätee myös kun n =0,sillä (f d R 0 )(0)= f 0 (x) dx = (f( ) f( )) = Huomautus reaalianalyysiä tunteville: Yhtälö (2.4) toimii hieman yleisemminkin, se pätee aina kun f on absoluuttisesti jatkuva (silloin f 0 2 L ja osittaisintegrointi kaava on voimassa, vrt. Holopaisen muistiinpanot [H, Lause 3.78], tai Appendix A..3). Yhdistämällä (2.) ja (2.4) nähdään, että b f(n) apple vielä paremmin, jos f 2 C k # ( C kun f 2 C + n #(, ). Tai, ) voimme käyttää yhtälöä (2.4) induktiivisesti k kertaa; siispä b f(n) =(in) j d f (j) (n) jokaisella 0 apple j apple k ja n 6= 0.Yhteenvetonasaamme: (2.5) b f(n) apple C ( + n ) k, kun f 2 Ck #(, ). Palataan sitten takaisin itseisesti suppeneviin Fourier sarjoihin. Ylläoleva päättely antaa välittömästi seuraavan tuloksen Lause 2.9. Olkoon f 2 C 2 # (, ). Silloinf:n Fourier sarja suppenee tasaisesti ja itseisesti kohti f(x):ää; f(x) = X n= bf(n) e inx jokaisella x 2 [, ]. x Fourier- Esimerkki 2.0. Harjoitustehtävissä lasketaan, että funktion f(x) = sarjan kertoimet ovat 8 /2 jos n =0 >< 2 bf(n) = jos n on pariton, n 2 >: 0 jos n on parillinen, n6= 0 7

23 ja johdetaan tämän avulla kaava = päätellään helposti Eulerin kuuluisa kaava X k= (2k ) 2 = 2 8. Tästä = 2 6. Esimerkki 2.. Jos f(x) =x( x), kun x 2 [0, ], laajennetaan f parittomaksi 2 periodiseksi funktioksi. Silloin harjoitustehtävissä osoitetaan, että f(x) 8 k X, kpariton sin(kx) k 3. Erityisesti f:n Fourier-sarja suppenee itseisesti ja, Lauseen 2.8 mukaan, sarjan arvo on f(x) jokaisella x 2 [, ]. Valitsemalla nyt esimerkiksi x = /2 saadaan 2 = f = X k, k pariton sin(k 2 ) k 3 = 8 X j=0 ( ) j (2j +) 3 Toisin sanoen, olemme (taaskin Fourier-analyysin avulla) osoittaneet, että X j=0 ( ) j (2j +) 3 = III. Konvoluutiot ja Dirichlet Ytimet Fourier osasummien systemaattisempi tarkastelu vaatii hieman uudenlaista näkökulmaa. Voimme kirjoittaa S N f(x) = NX n= N bf(n) e inx = NX n= N = f(y) 2 8 f(x)e iny dy e inx 2 NX n= N e in(x y)! dy.

24 Siis (3.) S N f(x) = 2 missä (3.2) D N (t) := NX n= N e int f(y) D N (x y) dy, on (N:s) Dirichlet ydin. Fourier osasummien tutkiminen johtaa siten konvoluutio-operaattoreihin!! Määritelmä 3.. Olkoot f,g : R! C lokaalisti integroituvia 2 -periodisia funktioita (tai jos f,g 2 L ( konvoluutio, f g,, ), tarkastellaanniiden2 -periodisia jatkoja). Funktioiden f ja g määritellään kaavalla (3.3) (f g)(x) = 2 f(y) g(x y) dy Huomautus 3.2. I. Holopaisen luentomonisteessa Reaalianalyysi I [H, Lause 2.7] osoitetaan, että yo. oletuksin (f g)(x) on hyvin määritelty melkein kaikilla x 2 [ f g 2 L (, ) ja kf gk L applekfk L kgk L., ]. Lisäksi Muutamia konvoluution perusominaisuuksia tarvitsemme nyt ja jatkossa. Esimerkiksi jokaiselle 2 -periodiselle funktiolle on R +a F (t)dt = R +a (f g)(x) = 2 x+ x f(y) g(x y) dy = 2 F (t)dt (MIKSI?), ja siten g(y) f(x (missä keskimmäinen yhtäsuuruus tulee muuttujan vaihdosta y 0 = x y) dy =(g f)(x) Listataan konvoluution perusominaisuudet seuraavaan Lauseeseen (väitteiden todistukset: HT). Lause 3.3. Jos f,g,h : R! C lokaalisti integroituvia 2 -periodisia funktioita, silloin (i) f (g + h) =f g + f h (ii) ( f) g = (f g) kaikilla 2 C. (iii) f g = g f (iv) f g on jatkuva, mikäli f tai g on jatkuva. 9 y).

25 III.. Hyvät Ytimet. Lauseen 2.6 todistuksessa hyödynnettiin trigonometrisia polynomeja P k (x), jaerityisestiniidenominaisuuksia: (i) P k (0)!, kun k!, sekä (ii) P k (x)!0, kun < x apple ja k!. Tarkastellaan seuraavaksi yleisiä integraaliytimiä, joilla vastaavanlaisia piirteitä. Voimme kuitenkin lieventää yo. ehdon (ii) sup-vaatimuksen integraaliehdoksi. Määritelmä 3.4. Perhe {K n } n= 2 -periodisia funktioita on hyvä perhe ytimiä, jos (3.4) 8 n, K n (x) dx = (keskiarvo ), 2 (3.5) K n (x) dx apple C 0, 8 n 2 N, (Perhe tas. rajoitettu L :ssä) ja 2 (3.6) kaikilla >0, apple x apple K n (x) dx! 0, kun n!. (Käsitteen idea: K n :ien "massa" keskittyy origoon, kun n!.) 20

26 Kurssi toisessa osassa syksymmällä, jatkuvan Fourier-muunnoksen yhteydessä, tullaan tarvitsemaan vastaavaa käsitettä R d :n funktioille. Otetaan tämä vastine kuitenkin jo nyt esille - jatkuvan tapauksen todistukset ovat hyvin samanlaisia kuin periodisen; niiden todistukset tullaan jättämään kotitehtäviksi. Jatkuvassa tapauksessa prototyyppi on perhe K " (x) = " d K( x " ) missä K 2 L (R d ), R K =ja ">0. Tämä mielessä asetetaan Määritelmä 3.5. Jos K " : R d! C integroituvia funktioita, " > 0, sanommeettä {K " } ">0 on hyvä perhe ytimiä, jos (3.7) 8 ">0, K " (x) dx = (keskiarvo ), R d (3.8) R d K " (x) dx apple C< 8">0, (Perhe tas. rajoitettu L :ssä) ja (3.9) kaikilla >0, K " (x) dx! 0, kun "! 0. apple x Palataan sitten periodiseen tapaukseen ja sen perusominaisuuksien selvittämiseen. Lause 3.6. Olkoon {K n } n= hyvä perhe ( 2 -periodisia) ytimiä ja apple p apple.silloin kk n gk L p (, ) apple C 0 kgk L p (, ), g 2 L p (, ), R /p. missä C 0 ehdon (3.5) vakio ja kgk L p (, ) := g(x) p dx Todistus. Olkoon ensin p =. Silloinmelkeinkaikillax 2 [ (3.0) K n g(x) apple 2 2 K n (y) g(x y) dy apple 2 ja ottamalla tästä oleellinen supremum saamme, ], kk n gk L := ess sup K n g(x) applec 0 kgk L. x2[, ] K n (y) kgk L dy apple C 0 kgk L, 2

27 x 2 [ Tarkastellaan sitten tapauksia <p<. Olkoon p + q =.Silloinmelkeinkaikilla, ] on K n g(x) apple g(x y) K n (y) dy = g(x 2 2 y) K n (y) /p K n (y) /q dy ja Hölderin epäyhtälöä, vrt. Appendix (A..2), käyttäen saadaan (3.) K n g(x) apple g(x 2 /p /q y) p K n (y) dy K n (y) dy 2 Ottamalla tästä p 0 spotenssi,integroimallax:n suhteen ja käyttämällä ehtoa (3.5) sekä vaihtamalla integroinnin järjestys Fubinin lauseen nojalla, päädytään arvioon (3.2) 2 K n g(x) p dx apple C p/q 0 ja missä epäyhtälön oikea puoli 2 g(x 2 y) p dx K n (y) dy = C p/q 0 kgk p L p (, ) K n (y) dy apple C p/q 0 C 0 kgk p L 2 p (, ) = Cp 0 kgk p L p (, ) Tämä todistaa väitteen kun <p<. Jäljellejäävätapausp =seuraa kuten yllä arviossa (3.2) Fubinin lauseen avulla - Hölderiä ei nyt tarvita. Lauseen kaikki tapaukset on siis käyty läpi. Tärkeää hyville {K n }-perheille on että K n f! f, useammassakinerimielessä-juuri tätä ominaisuutta varten hyvät ytimet on rakennettu. Tarkastellaan ensin pisteittäistä konvergenssia Lause 3.7. Jos {K n } hyvä perhe 2 -periodisia ytimiä ja jos f 2 L (, ), silloin lim (K n f)(x) =f(x) n! jokaisessa pisteessä x 2 [, ] jossa f jatkuva [päätepisteissä x = ± : f:n periodisen laajennuksen tulee olla jatkuva]. 22

28 Todistus. Jos ">0 ja 2 -periodinen f jatkuva pisteessä x 2 [, ], haetaanensin >0 jolle (3.3) f(x) f(x y) <" kun y <. Silloin (K n f)(x) f(x) = f(x y)k n (y) dy f(x) = 2 2 [f(x y) f(x)]k n (y) dy ehdon (3.4) perusteella. Viedään itseisarvot integraalin sisään, jolloin voidaan edelleen arvioida (K n f)(x) f(x) apple f(x y) f(x) K n (y) dy y < apple y apple f(x y) f(x) K n (y) dy R Integraaleista ensimmäisessä f(x) f(x y) <", joten se apple " K 2 n(y) dy apple "C 0. Toisessa integraalissa f(x) f(x y) apple2kfk L,jotentämätekijä apple 2kfk L apple y apple K n (y) dy apple "C 0 kunhan indeksi n on riittävän suuri [ehto (3.6)]; silloin (K n f)(x) on näin todistettu. f(x) apple2"c 0.Lause Yo. todistuksesta huomataan, että (K n f)(x)! f(x) kaikilla x 2 [ on voimassa tasaisesti välillä [, ]. Tästä saadaan, ], mikäli(3.3) Seuraus 3.8. Jokaiselle f 2 C # (, ) pätee: sup (K n f)(x) f(x)! 0, kun n!. x2[, ] 23

29 Entä konvergenssi funktioille f 2 L p?! Tämän analysoimiseksi tarvitaan hieman reaalianalyysiä; erityisesti tarvitsemme seuraavan tuloksen kurssilta "Reaalianalyysi I", kts. [H, Lause 2.29] tai Appendix, Lause A... Jokaisella f 2 L p (R d ), apple p<, on (3.4) lim f(x + h) f(x) p dx =0. h!0 R d Toisin sanoen, lauseen mukaan L p -funktiot ovat jatkuvia L p -normin mielessä, kunp<. Sovellamme yo. tulosta kun f : R! C on 2 -periodinen ja R f(x) p dx <. Periodisen tapaukseen palauttamista varten käytetään yo. lausetta funktioon F = [ 2,2 ] f.jos h on riittävän pieni, niin f(x + h) f(x) p dx = kun h!0 +.Yhteenvetonasaamme F (x + h) F (x) p dx apple F (x + h) F (x) p dx! 0 Lause 3.9. Jos f 2 L p (, ), silloin R f(x + h) f(x) p dx! 0 kun h! 0 (ja f laajennettu 2 -periodiseksi). Näillä avuin pääsemme käsiksi L p -konvergenssiin. Lause 3.0. Jos f 2 L p (, ) ja apple p<, sekä{k n } n= hyvä perhe 2 -periodisia ytimiä, niin silloin kk n f fk L p (, )! 0, kun n!. Todistus. Oletetaan, että <p< ja p + q =.Silloinmelkeinkaikillax 2 [, ], 24

30 (K n f)(x) f(x) = [f(x y) f(x)]k n (y) dy apple 2 apple f(x y) f(x) K n (y) /p K n (y) /q dy 2 mistä päästään kuten (3.):ssä Hölderin epäyhtälön kautta arvioon (K n f)(x) f(x) p apple p/q f(x y) f(x) p K n (y) dy K n (y) dy 2 2 Integroimalla tämä ja käyttämällä Fubinin lausetta sekä ehtoa (3.5) saadaan (K n f)(x) 2 apple C p/q 0 2 y < f(x) p dx 2 2 f(x y) f(x) p dx K n (y) dy + apple y apple Lauseen 3.9 avulla integraali yli välin y < jälkimmäinen integraali yli välin apple y apple on pienempi kuin 2 p kfk L p K n (y) dy! 0 2 apple y apple f(x y) f(x) p dx K n (y) dy 2 saadaan pienemmäksi kuin annettu ", ja kun n!. Tapaus p =on taas vastaava mutta helpompi, eikä vaadi Hölderöintiä (HT). Lauseet ovat erittäin hyödyllisiä monissa erilaisissa konvergenssitarkasteluissa -hyvänperheenominaisuuksissaonabstrahoituneyleisetpiirteet,jotkatekevätkonvergenssin osoittamisesta helppoa! Entä Dirichlet ytimet (3.2), toteuttavatko ne hyvien ytimien ehdot?! Lähdetään liikkeelle vaatimuksista ensimmäisestä, joka on helppo, D N (t) dt = 2 NX n= N e int dt =, 8 N 2 N. 2 25

31 Sen sijaan Dirichlet ytimien L -normeja on hankalampi arvioida. Muokataan siksi ytimiä helpommin käsiteltävään muotoon: D N (x) = NX n= N geometrisen sarjan osasummana. Siispä e inx = e inx ( + e ix + e i2nx )=e inx ei(2n+)x e ix D N (x) = ei(n+)x e ix e inx = ei(n+/2)x e i(n+/2)x e ix/2 e ix/2 Manipulaatiomme osoittaa, että (3.5) D N (x) = sin (N + 2 )x sin x 2, N 2 N. Tästä esityksestä integraaliarvioita on huomattavasti helpompi tehdä. Nimittäin, sin x 2 x kaikilla x 2 R, jasiten 2 apple sin (N + D N (x) dx 2 )x sin (N + 2 dx =4 )x 2 dx x 0 x Muuttujan vaihdolla t =(N + )x nähdään siis että 2 (N+ 2 ) sin(t) D N (x) dx > 4 dt 0 t NX k= 4 k sin(t) dt = 8 k (k ) NX k= k sillä R k sin(t) dt =2jokaisella k 2 N (MIKSI?). (k ) Toisaalta, P N k= k log N. Olemmesiistodistaneetseuraavantuloksen Lause 3.. Dirichlet ytimille pätee L -arvio D N (x) dx > 4 log N!, kun N!. 2 2 Siis Dirichlet ytimet {D N } N2N eivät muodosta hyvää perhettä ytimiä! Tämän seurauksena Fourier sarjojen täydellinen ymmärtäminen on vaikeaa. Itse asiassa, näytämme 26

32 myöhemmin että on olemassa jatkuvia funktioita, joiden Fourier sarja hajaantuu joissakin pisteissä x. Toisaalta Carleson todisti v. 966, että jatkuvan funktion Fourier sarja suppenee melkein kaikkialla (Lebesguen mitan mielessä). Ylläolevasta huolimatta hyviä perheitä ytimiä voidaan hyödyntää Fourier sarjojen teoriassa, kuten seuraavassa osaluvussa näemme. III.2. Fejerin ydin. Parannetaan Dirichlet ytimiä seuraavalla konstilla. Muunnetaan identiteetti (3.5) ensin seuraavaan muotoon (e ix/2 e ix/2 )D k (x) =e ix/2 e ikx e ix/2 e ikx, k 2 N. Summaamalla tämä identiteetti yli indeksien k =0,,...,N saadaan, pienellä manipulaatiolla (3.6) NX k=0 D k (x) = sin N 2 x sin x 2 Merkittävää tässä on, että saatu uusi konvoluutioydin on! 2 vrt. (HT 2) 0 kaikkialla. Niinpä saammekin rakennettua niistä perheen hyviä ytimiä [huomaa, että jos ytimet m.k. positiivisia, niin (3.4) implikoi (3.5):n] Määritelmä 3.2. Fejerin ytimet F N määritellään kaavalla F N (x) := N NX k=0 D k (x) = N sin N 2 x sin x 2! 2, N 2 N. Eli Fejerin ydin on N:n ensimmäisen Dirichlet ytimen keskiarvo; keskiarvo on syytä ottaa, jotta hyvien ytimien ehto (3.4) säilyy, (3.7) F N dx = NX D k dx =, N 2 N. 2 N 2 k=0 Koska F N 0,vaatimus(3.5)onsiistriviaalistivoimassa,jasitenhyvänperheenominaisuuksista riittää todistaa ehto (3.6). 27

33 Vasemmalla Dirichlet n ydin, oikealla Fejerin ydin Lause 3.3. Fejerin ytimet {F N } N2N muodostavat perheen hyviä ytimiä, s.o. ehdot (3.4) - (3.6) ovat perheelle voimassa. Todistus. Ehtoa (3.6) varten, jos >0 ja < x apple, niinsin 2 x 2 C =sin 2 2 ja siten F N (x) apple N C! 0 kun N!, ja tämä todistaa ehdon (3.6) Fejer-ytimien tapauksessa. Fejerin ytimillä on muitakin hyödyllisiä esitysmuotoja, esimerkiksi pätee (HT 3) (3.8) F N (x) = NX k= N+ Fejerin ytimen määritelmästä ja (3.):stä nähdään k e ikx N (F N f)(x) = N NX k=0 S k f(x) = S 0f(x)+S f(x)+ + S N N f(x) eli F N f on N:n ensimmäisen Fourier osasumman keskiarvo! 28

34 Yleisestikin, kun mietitään sarjojen P k=0 a k suppenemista, sanotaan että sarja Cesarosummautuu tai "suppenee Cesaro-mielessä", jos osasummien s n := P n k=0 a k keskiarvolla on raja-arvo, eli n := s 0 + s + s s n n 9 lim n! n = a 2 C. Selvästi (MIKSI? = HT) X a n suppenee ) n X n a n Cesaro-summautuu mutta käänteinen implikaatio ei ole totta; Cesaro-summautuminen on heikompi ehto. Fejerin ytimien kautta voidaan tarkastella Fourier sarjojen Cesaro-summautumista. Merkitään siksi (3.9) Nf(x) :=(F N f)(x) = N NX k=0 S k f(x). Käyttäen Lauseita 3.7, 3.8 ja 3.3 huomataan, että Fourier sarjat Cesaro-summautuvat funktioiden jatkuvuuspisteissä: Lause 3.4. Jos f 2 L [, ] ja f jatkuva pisteessä x 2 (, ) niin Nf(x) = N NX k=0 S k f(x)! f(x), kun N!. Edelleen, jos f 2 C # (, ), silloin k N f fk! 0, kun N!. Vastaavasti saadaan Cesaro-summien L p -konvergenssi. Lause 3.5. Jos f 2 L p (, ) ja apple p<, niinsilloin k N f fk L p (, )! 0, kun N!. 29

35 Jatkuva funktio g on trigonometrinen polynomi jos ja vain jos bg(n) 6= 0korkeintaan äärellisen monella n 2. FejerinytimetF N koska (HT 2) ovat tietysti trigonometrisia polynomeja, ja (3.20) \f g (n) = b f(n)bg(n), f,g 2 L (, ), näemme että N f = F N f on trigonometrinen polynomi, kun f 2 L (, ).SiispäLauseiden 3.4 ja 3.5 mukaan trigonometriset polynomit ovat tiheässä avaruuksissa C # (, ) ja L p (, ), apple p<. Tulemme jatkossa näkemään Cesaro summien N f(x) muitakin sovelluksia. Esimerkiksi (HT 3), jos f :[, ]! C jatkuva, kullakin x joko f:n Fourier sarja suppenee kohti arvoa f(x) tai sitten osasummat S N f(x) oskilloivat, so. osasummat eivät voi konvergoida kohti "väärää" arvoa. Samoin Fourier-sarjojen yksikäsitteisyys seuraa Fejerin ytimien ominaisuuksista. Lause 3.6. Jos f,g 2 L (, ) ja bf(n) =bg(n) jokaisella n 2, silloin f(x) =g(x) melkein kaikilla x 2 [, ]. Todistus. Kaavojen (3.8) ja (3.20) mukaan N f(x) = P N k= N+ k N bf(k) e ikx.siispä, jos b f(n) =bg(n) jokaisella n 2 niin N f(x) = N g(x) jokaisella x 2 [, ]. Silloin Lauseesta 3.5 ja kolmioepäyhtälöstä (eli Minkowskin epäyhtälöstä (A..)) seuraa, että kf gk L =0,eliettäf = g m.k. x 2 [, ]. Neljäntenä tärkeänä sovelluksena saadaan Lause 3.7. (Riemann-Lebesguen lemma) Jokaisella f 2 L (, ), bf(n)! 0, kun n!. 30

36 Todistus. Lauseen 3.5 avulla löydämme trigonometrisen polynomin P (x) = P M n= M a ke ikx, jolle kf P k L (, ) <". Kun n >M=deg(P ),perusarvio(2.2)antaa b f (n) = \ (f P )(n) applekf P kl (, ) < ". Väiteonnäintodistettu. IV. Fourier sarjojen pisteittäinen konvergenssi IV.. Suppenemisehtoja. Lauseessa 2.9 näimme, että riittävän sileille (eli C# 2 -) funktioille Fourier sarja suppenee pisteittäin (ja jopa tasaisesti) kohti funktion arvoa f(x). Mitä tapahtuu, jos luovumme sileys-oletuksista? Voisiko esim. jatkuvan funktion Fourier sarja hajaantua? Tai löytyisikö parempia tai yleisempiä ehtoja, jotka takaisivat Fourier sarjan suppenemisen? Esimerkki 4.. Olkoon f(x) =, kun0 apple x apple ja f(x) =,kun <x<0. Jos 6=, funktio f on epäjatkuva origossa. Mutta suppeneeko vai hajaantuuko sen Fourier sarja kun x =0? Asian selvittämiseksi huomataan, että f(x) = g(x), missäg(x) = +,kun 0 apple x apple ja g(x) =, kun <x<0. Koskag on pariton funktio, (HT ) ) g(x) P n= c n sin(nx). Erityisesti, funktion f Fourier osasumma S N f(x) = NX c n sin(nx) n= (samat kertoimet c n!). Näemme, että S N f(0) = + 2 jokaisella N; siisfouriersarjasuppenee pisteessä x =0kohti arvoa f(0 + t)+f(0 t) (4.) lim. t!0 2 3

37 Yleisestikin, jos funktion f epäjatkuvuus on "suhteellisen siistiä", Fourier sarja suppenee kohti arvoa (4.). Lemma 4.2. Oletamme, että f 2 L (, ). Josjollekina 2 C on (4.2) 0 f(x)+f( x) 2 a dx x <, niin silloin f:n Fourier sarja suppenee pisteessä x =0,ja Todistus. F (x) =f(x) lim S Nf(0) = a N! Voimme olettaa, että a =0. Nimittäin muutoin voidaan tarkastella funktiota a; silloin ja S N F (x) =S N f(x) a. 0 F (x)+f ( x) 2 dx x < Tällä oletuksella, identiteetit (3.) ja (3.5) näyttävät, että S N f(0) = 2 D N (0 x) f(x) dx = 2 f(x) sin (N + 2 )x sin x 2 dx. Käytetään seuraavaksi sinin yhteenlaskukaavaa, sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) [Eulerin kaavasta (.2) tämä on helppo palauttaa mieleen], ja saadaan (4.3) S N f(0) = 2 f(x) cos(nx) dx + 2 x 2 f(x) cos sin x 2 sin(nx) dx. Molemmat integraalit suppenevat itseisesti (MIKSI?). Niistä ensimmäinen konvergoi kohti nollaa Riemann-Lebesguen Lemman 3.7 mukaan, pelkällä oletuksella f 2 L (, ). Jälkimmäinenintegraalitermikaavassa(4.3)taasvoidaan kirjoittaa muotoon 2 f(x)+f( x) 2 cos lim N! 2 f(x) cos(nx) dx =0, x 2 sin x 2 sin(nx) dx + f(x) f( x) cos x 2 sin x 2 sin(nx) dx

38 Viimeisessä integaalissa integroitava funktio on pariton, ja siksi sen integraali häviää. Jäljelle jää siis arvioitavaksi g(x) sin(nx) dx, missä g(x) = 2 f(x)+f( x) 2 cos x 2 sin x 2. Nyt voimme lopulta käyttää oletusta (4.2). Sen mukaan g(x) dx apple 2 2 f(x)+f( x) 2 dx x <, eli g 2 L (, ). Riemann-Lebesguenlausepureesiisfunktioong(x), jasaadaan f(x)+f( x) 2 2 cos x 2 sin x 2 sin(nx) dx! 0, kun N!. Olemme näin osoittaneet, että S N f(0)! 0, kunn!. Lemma avulla pääsemme käsiksi pisteittäisen suppenemisen keskeiseen tulokseen, nk. Dini-ehtoon, jokaonkäyttökelpoinenjajoustavakriteeeri,jokatakaafouriersarjansuppenemisen annetussa pisteessä x 0 2 [, ]. Lause 4.3. (Dini-testi Fourier sarjan suppenemiselle) Olkoon x 0 2 [, ] ja f 2 L (, ) 2 -periodinen funktio, jolle (4.4) 0 f(x 0 + t)+f(x 0 t) 2 f(x 0 ) dt t <. Silloin f:n Fourier sarja suppenee pisteessä x 0,ja f(x 0 )= X n= bf(n) e inx 0. Todistus. Olkoon F (x) =f(x+x 0 ),jolloinmuuttujanvaihdollaf b R (n) = f(x + x 2 0)e inx dx = bf(n)e inx 0. Edelleen, (4.4) on yhtäpitävää ehdon 0 F (x)+f ( x) 2 F (0) dx x < 33

39 kanssa. Toisin sanoen, Lemman 4.2 nojalla f(x 0 )=F (0) S N F (0) = NX n= N bf(n)e inx 0 = SN f(x 0 ) kun N!. Dini-testillä saadaan lukuisia eri suppenemistuloksia; kootaan niistä tähän muutamia. Jos funktiolla f ei ole hyppyä pisteessä x 0,testionmukavinmuodossa Seuraus 4.4. Jos f 2 L (, ) ja R f(x 0 ) kun N!. f(x 0 +t) f(x 0 ) t dt <, niin silloin S N f(x 0 )! Tyypillisiä funktioita, joille Seurauksen 4.4 ehto toimii, ovat esimerkiksi Hölder-jatkuvat funktiot. Funktiota f 2 C # (, ) sanotaan -Hölder jatkuvaksi, 0 < apple, jamerkitään f 2 Lip,josjollakinvakiollaM<on (4.5) f(x) f(y) applem x y, 8 x, y 2 [, ]. Seuraus 4.5. Jos f 2 Lip jollakin 0 < apple, jaf on 2 -periodinen, niin silloin f:n Fourier sarja suppenee jokaisessa pisteessä x 2 [, ]. Todistus. R f(x 0 +t) f(x 0 ) t dt apple M R t dt <. Voidaan myös tarkastella funktioita f(x), joilla jatkuvuusmoduli w : [0, )! [0, ); silloin oletamme w:sta, että se on kasvava ja että w(t)! 0 kun t! 0. Yleistämmeehdon (4.5) muotoon f(x) f(y) applew( x y ), 8 x, y 2 [, ], ja näemme Dini-testistä, että f:n Fourier sarja suppenee joka pisteessä mikäli w(t) dt <. t 0 34

40 Toinen tyypillinen Seurauksen 4.4 sovelluskohde ovat differentioituvat funktiot. Seuraus 4.6. Jos f 2 L ( suppenee x 0 :ssa., ) on derivoituva pisteessä x 0,silloinf:n Fourier sarja Dini-testin kautta pääsemme käsiksi myös Fourier sarjojen lokaaleihin ominaisuuksiin. Esimerkiksi Fourier sarjan suppeneminen tai hajaantuminen pisteessä x 0 riippuu vain funktion ominaisuuksista x 0 :n ympäristössä. Seuraus 4.7. Olkoon x 0 2 [, ] ja f,g 2 L (, ) ovat sellaisia funktioita, että f(x) g(x) jossakin x 0 :n ympäristössä. Tällöin lim S Nf(x 0 ) S N g(x 0 ) = 0. N! Todistus. Koska R (f g)(x 0 + t) dt t <, Seuraus4.4todistaaväitteen. Toisin sanoen: jos f ja g saavat samat arvot jossakin x 0 :n ympäristössä, niin silloin joko molempien Fourier sarja hajaantuu x 0 :ssa, tai sitten molempien sarja suppenee tuossa pisteessä. Viimeisenä esimerkkinä Dini-ehdon käytöstä tarkastellaan paloittain sileitä funktioita. Sanomme että 2 -periodinen funktio f on paloittain C,joslöytyypisteet = a <a 2 < <a j < <a k = niin että jokaisella j, f (aj,a j+ ) 2 C (a j,a j+ ) sekä toispuoleiset raja-arvot f(a j +) := lim t!0 + f(a j + t) ja f 0 (a j +) := lim t!0 + f 0 (a j + t) ovat olemassa, samoin f(a j ):=lim t!0 + f(a j t) ja f 0 (a j ) := lim t!0 + f 0 (a j t). Mutta voi siis olla vrt. esim. kuva sivulla 7. f(x+) 6= f(x ), jos x = a j jollakin j, 35

41 Seuraus 4.8. Jos 2 -periodinen funktio f on paloittain C,silloinf:n Fourier sarja suppenee joka pisteessä x 2 [, ], ja lim S f(x + t)+f(x t) Nf(x) =lim N! t!0 2 Todistus. (Harjoitukset) jokaisella x 2 [, ]. Lopuksi, seuraavassa kuvassa 2 -periodisen porrasfunktion, f(x) =, kun 2k < x < (2k +) ja f(x) = kun (2k ) <x<2k, Fourierosasummienkuvaajia. 36

42 Edellisen sivun kuvissa huomaa selvästi kuuluisan Gibbsin ilmiön: Porrasfunktion epäjatkuvuuskohdissa Fourier sarja ei suppene tasaisesti, vaan tekee niissä hypyn, joka säilyy mutta siirtyy yhä lähemmäs epäjatkuvuuskohtaa, kun N kasvaa (HT 4). Rajalla N! sarjan hyppy on n. 9% funktion epäjatkuvuuden suuruudesta. IV.2. Jatkuvat funktiot ja hajaantuvat Fourier sarjat. Osoitamme luvun lopuksi, että huolimatta yo. monista konvergenssituloksista, on jatkuvia funktioita, joiden Fourier sarja hajaantuu joissakin pisteissä x 2 [, ]. Tavoitteenamme on konstruoida jatkuva funktio f 2 C # (, ) jolle (4.6) S Nk f(0) = (D Nk f)(0)!, sopivalla osajonolla N k!. Konstruktiota varten tarvitsemme useamman osatuloksen. Lähdetään liikkeelle Lauseesta 3., jonka mukaan Dirichlet ytimen integraaleille pätee Tästä saamme D N (x) dx > 4 log N!, kun N!. 2 2 Lemma 4.9. Jokaisella N 2 N löytyy funktio g = g N 2 L (, ), jolle kgk = ja S N g(0) 4 log N. 2 Todistus. Koska D N (x) on parillinen funktio, S N g(0) = (D N g)(0) = D N (0 x)g(x) dx = D N (x)g(x) dx. 2 2 Valitaan siis g(x) = sgn(d N (x)), eli g(x) = kun D N (x) > 0 ja g(x) = kun D N (x) < 0. Tällä on molemmat vaaditut ominaisuudet. Seuraavaksi haluamme korvata yo. Lemman funktion g = g N trigonometrisella polynomilla P,niinettäS N P (0) säilyy suurena. 37

43 Lemma 4.0. Jos g 2 L (, ) ja N 2 N, silloin ks N N 2g S N gk apple 2kgk L (, ). Todistus. Kaavan (3.8) (tai HT 3/tehtävän 3) mukaan (4.7) ( N 2g)(x) = NX 2 N 2 + k bg(k) e ikx N 2 Näin ollen S N N 2g (x) = NX N k bg(k) e ikx = N 2 NX N bg(k) e ikx N 2 NX k bg(k) e ikx N Tässä P NN bg(k) eikx = S N g(x), kuntaasviimeinentermi apple N 2 NX N k bg(k) apple 2 N(N +) kgk N 2 L 2 (, ) apple 2kgk L (, ) perusarvion (2.2) nojalla. Löydämme siis trigonometriset polynomit P = P N := ominaisuudet: N 2(g N ), N 2 N, joillaseuraavat kp k apple jokaisella N 2 N (sillä kp k applekg N k apple, vrt. Lause 3.6) deg P apple N 2 (vrt. (4.7)) S N P (0) 4 2 log N 2 (Lemmat 4.9 ja 4.0) Haluamme lisäksi varmistaa, että P :n Fourier-kertoimet P b (k) =0kun apple k pieni. Tähän auttaa Huomautus 4.. Jos P (x) = P n n a ke ikx on trigonometrinen polynomi astetta n, silloin nx h(x) :=P (Mx)= a k e imkx 38 k= n

44 on trigonometrinen polynomi, jonka aste = Mn,jolle b h(0) = b P (0) (Miksi?) ja jolle b h(j) = 0, kun apple j applem. Lisäksi kaikilla N, NX (S N P )(0) = a k =(S NM h)(0). k= N Näillä eväillä tarkastelemme Lemman 4.9 funktiota g = g N ja asetamme (4.8) N(x) := N 2(g N) (N x). Listataan sitten trigonometristen polynomien N ominaisuudet. Kullakin N 2 N, (4.9) d N (0) = 2 N dx applek N k apple, (4.0) (S N 2 N)(0) 4 log N 2 ja 2 (4.) d N (j) = 0, kun apple j applen tai j N 3. Näin saamme konstruoitua perheen trigonometrisia polynomeja, joiden Fourier kertoimien kantajat (:n osajoukkona) ovat erilliset, lukuunottamatta vakiotermiä n =0; lisäksikaa- van (4.0) nojalla vastaavat Fourier osasummat kasvavat suuriksi kertoimien kantajan "keskivaiheilla": Asetetaan N k = 2 3k, k 2 N, ja määritellään funktio f summana (4.2) f(x) = X k= k 2 N k (x), x 2 [, ]. 39

45 Lause 4.2. (du Bois-Reymond) On olemassa jatkuvia funktioita f 2 C # (, ), joiden Fourier sarja hajaantuu pisteessä x =0, S N 2 k f(0)!, kun k!. Todistus. Väitämme, että summan (4.2) funktio toteuttaa Lauseen vaatimukset. Ensiksi, koska N :t ovat tasaisesti rajoitettuja (4.9), sarja (4.2) suppenee tasaisesti, ja siten f(x) on ainakin jatkuva välillä [ vuoksi, ]. Funktion f Fourier kertoimien määräämiseksi huomataan, että tasaisen suppenemisen S n f(0) = (D n f)(0) = X k= k 2 S n N k (0). Edelleen, ehdon (4.) avulla voimme identifioida Fourier osasummat S n ( Nk )(0), kunn on "pieni" ja kun n "suuri"; toisin sanoen, koska deg Nk < N 3 k = N k+ ) S n Nk (x) = Nk (x) kun n N k+ ; vastaavasti, S n Nk (x) d N k (0), kun n<n k. Vertaamalla tätä kaavaan (4.9) huomataan, että arvio S n Nk (x) applek Nk k pätee molemmissa tapauksissa, siis kun n N k+ ja kun n<n k. Tästä voimme päätellä, että kun n 2 [N j,n j+ ), S n f(0) j 2 S n N j (0) X k6=j k k 2 N k k j S 2 n N j (0) C, missä C = P k= k 2 < vakio. Valitaan nyt n = N 2 j 2 [N j,n j+ ),missämuistetaanettän j = 2 3j.Silloinehdon (4.0) nojalla S n f(0) j 2 S n Nj (0) C 4 j 2 2 log N 2 j 2 C = 8 j 2 2 3j log 2 2 C!, kun j!. 40