Ensin vastaukset tehtäviin, "joihin vastaamisen pitäisi onnistua tähänastisten matematiikan opintojen pohjalta".

Transkriptio

1 V Igraalimuuoks Mropolia. Koivumäki Kaikki uilla käsilly hävä vasauksi. Esi vasauks hävii, "oihi vasaamis piäisi oisua ähäasis mamaiika opio pohala". x luksi.. a xdx C, missä C o vakio. (äsä päi okais vasauks kuuluisi dll uo C, mua äää y pois. 3 x b x dx 3 x c x dx x x 5 7x d ( 5x 7x 9 dx 5 7 9x x 9x si( x dx cos( x f cos( x dx si( x g x dx x x h dx i [ si(x 5cos( x 3 ] x 3cos(x 3 dx 5si( x 3 luksi.. a, b Pis komplksiasossa: Im b r ϕ a R Suorakulmaissa kolmiosa Pyhagoraa orma a sii a kosii määrilmi pruslla: b a r a b, ϕ arca a ϕ arca( b a Siis: a b r r ϕ a b a b arca( b a b a r cos( ϕ, b r si( ϕ Siis komplksiluvu a b isisarvo r a s kulma (vaihkulma, argus o ϕ. ϕ Eli r r ϕ r cos( ϕ r si( ϕ c Kuva yllä. d x cos( x si( x ässä yhydssä kaaaa oaa sill ämä, oka ova dllä siy Eulri kaava okilaisia sisaria: x x cos( x si( x ( x x (

2 Kaksi apaa lähsyä asiaa. Käyää c-kohda kaavaa: cos( si(. Nyhä si( kaikilla : arvoilla. S siaa cos(, cos( ±, cos( ±,, ku o parilli cos( ± 3. Eli cos(., ku o pario Voidaa kiroiaa lyhysi äi: cos( (. Siis vasaus: ( Sioiaa komplksiluku Im komplksiasoo: os pario os parilli R - Jolloi kuvasa sama i ähdää sama vasaus. f cos( x si( x cos ( x si ( x (rigoomria aiva pruskauraa. x ai si c-kohda pruslla: cos( x si( x muooo, osa ähdää, ä isisarvo. f f luksi.3. a d f b 5x 5x x x x 5x x 5x cos(5x dx dx ( dx 6x x 6x 6x x ( dx 6 3 ässä o käyy hyväksi hävässä d olvaa kosii muuoskaavaa. x, oka o raualagasa väää kiroiu c f f f f f f d ( si(f f f f ässä o lopussa käyy hyväksi hävässä d olvaa sii muuoskaavaa. *********** ässä " Komplksimamaiika krausa" -ksi lopussa olva hävä vasaus: x f Esimrkki: Millai o aa fukio olaa olva skuia. v (? ässä siis muuuaa o aika, oka uossa kaavassa Vasaus: Lausk o komplksiluku, oka isisarvo a kulma. Ku aika kasvaa, ii uo kulma iysi kasvaa myös. Ku kasvaa skui, ii kulma kasvaa radiaaia. Siis: Fukio saama arvo pyörii vasapäivää komplksiasossa piki -säis ympyrä (oka kskipis o origossa khää. Pyörimisopus yksi kirros skuissa.

3 äsä päi kurssi sisälöö liiyvä hävä.. Piirrä äid siisigaali kuvaaa: a aauus Hz, ampliudi, vaihkulma. s - b aauus 5 Hz, ampliudi 35 V, vaihkulma V ms c Samaa kuvaa: aauus khz, ampliudi, vaihkulma 9. aauus khz, ampliudi, vaihkulma 9. - ms - ässä kakoviivalla piirry vaih 9 a hyllä viivalla piirry 9. Siisigaali vaihkulma vaikuaa siih, mihi kohaa aika-akslia aallo kuvaaa asuu. Ku vaih, sigaali kuvaaa kosiifukio kuvaaa, olloi maksimi o origo kohdalla li hkllä. Ku vaih ϕ, o siisigaali yli yhälö cos( f ϕ. ämä maksimi osuu siih aahk, oll pä f ϕ, osa voidaa rakaisa maksimi apahumishkksi ϕ ϕ ϕ ϕ, missä siisigaali aksopiuus. uoa akolaskua laskissa f f piää osaa käyää asia a radiaaa oiki. Usi vaihkulma o au asia, sim. 9, olloi i 9 9 radiaaia ikää pidä laska akolaskua, vaa oko ai. 36 radiaaia

4 . Mikä o ämä kolmioaallo a prusaauus b viids harmoi aauus? Vasaus: Koska µs, o µ s a f 5 khz b Jaksollis sigaali :s harmoi aauus o, o y viids harmoi f aauus 55 khz 5 khz 3. Erää aksollis sigaali aksopiuus o ms. Sigaali : harmois aauuskompoi ampliudi o a : harmois aauuskompoi vaihkulma 9. Kiroia sigaali yhälö Fourir-saraa. Vasaus: Koska aksopiuus o ms, o prusaauus f Hz. Ylisssä aksollis sigaali Fourir-sara yhälössä cos( f ϕ o y au a ϕ 9. Joa i arvis miiä ollalla akamis problmaiikkaa, kaaaa arkaa määrilyä ällaisksi: ku.5 ku ϕ 9.5 Siispä sigaali yhälö Fourir-saraa o ( -.5 v cos( Hz Myös äi voidaa kiroiaa: ( v cos( f o 9, missä f Hz. Kysssä o saharäaalo, kuvaaa ohssa. Vaaka-akslilla aika milliskuia.. Sakara-aallo - yhälö o si( 3 f si( 5 f si( 7 f v si( f Koska si( x cos( x 9, ämä voidaa kiroiaa kosii summaa: ( cos( 3 f 9 cos( 5 f v cos( f (

5 äsä ähdää suoraa, mikä o sakara-aallo Fourir-sarassa cos( f ϕ : harmois aauuskompoi ampliudi lausk: ku, 3, 5, 7,... li pariomilla : arvoilla ku,,, 6,... li parillisilla : arvoilla a : harmois aauuskompoi vaihkulma ϕ lausk: ϕ 9 (ässä i arvis rolla pariomia a parillisia : arvoa, koska olla vaihkulmalla i ol mrkiysä. Jo sakara-aallo yhälö voidaa kiroiaa Fourir-sara -muodossa: ( v,3,5,7,... cos( f o 9 5. ässä rää aksollis sigaali ampliudi- a vaihspkri: mpliudi 3 3 fkhz 8 35 Vaihas Sigaali spkrisä ähdää ämä asia: Miä aauuksia sigaalii sisälyy? mpliudispkri Mikä o kuki sigaalii sisälyvä aauud ampliudi? Vaihspkri Mikä o kuki sigaalii sisälyvä aauud vaih? Krää oid kysymys vasauks ähä aulukkoo: aauus mpliudi Vaih fkhz Jo sigaali yhälö voidaa kiroiaa kosii summaa: cos( khz 3cos( khz 8 cos( 3 khz 9 cos( khz 5 ai si äi: v cos( f 3cos( f 8 cos( 3 f 9 cos( f 5, ( missä f khz. 6. Edlläolva ampliudispkri o siy ampliudi absoluuiarvoa käyä. Silloi pysyaksli lukuarvo ova sim. vola. Käyäössä ampliudispkri arvo siää usi dsibliä, ylsä ii, ä suuri siiyvä db-arvo o db, olloi kaikki muua arvo ova gaiivisia db-arvoa. Jos absoluuiarvoi siy ampliudispkri suuri ampliudiarvo o max, ii silloi ampliudiarvo

6 dsibliarvo o log db. lla olvassa kuvassa o ylläolva ampliudispkri dsibliä. Lask max aulukkoo spkriviivo db-arvo kahd dsimaali arkkuudlla mpliudidb -5-3 fkhz 7. a Piirrä sakara-aallo (aksopiuus µs ampliudispkri dsibliä. Oa mukaa spkriviiva db: asoo asi. Vasaus: Esimmäi laskava asia: Koska aksopiuus µs, o prusaauus f 5 khz.5 MHz. Suraavaksi kaaaa äyää ällai aulukko: aauus mpl. (abs. mpl.db log db. db 3 3 log db.5 db 3 log db 6. db log db. db Mosko aauus mpliudi (sivu mpliudidb harmoi MHz 8 pruslla * ** Ja ii dll äärömää asi Kiroia ähä, mi laski *:llä a **:llä mrkiy kohi lukuarvo: 3 *: log db log db 9.5 db 3 5 **: log db log db 3.98 db 5 O hlppo havaia, ä : harmois kompoi ampliudi lauskkksi ul osa si o lasku ylläolva auluko arvo. log db,

7 mpliudispkri kuvaaa: mpl.db fmhz 6 b Millä aauudlla ämä sakara-aallo ampliudispkri aso aliaa db? Piää siis löyää simmäi pario : arvo, olla log db o all db. Rakaisaa yhälö log log ää suurmpi pario luku o, o vasaus: ämä sakara-aallo ampliudispkri aso aliaa db aauudlla.5 MHz 5.5 MHz. 8. Kolmioaallo - yhälö o 8 si( 3 f si( 5 f si( 7 f si( f Koska si( x cos( x 9, ämä voidaa kiroiaa kosii summaa:... 8 cos( 3 f 9 cos( 5 f 9 cos( 7 f cos( f mpliudi o aia posiiivi, o miiusmrkisä piää pääsä roo. S oisuu sovlamalla rigoomria kaavaa cos( x cos( x 8. Saadaa 8 cos( 3 f 9 cos( 5 f v cos( f cos( 7 f 7 ( äsä ähdää, mikä o kolmioaallo Fourir-sarassa cos( f ϕ : harmois aauuskompoi ampliudi lausk:

8 8 ku pario ku parilli a : harmois aauuskompoi vaihkulma ϕ lausk: 9 ku, 5, 9,3,... ϕ 9 ku 3, 7,,5,... Kolmioaallo yhälö kiroiami Fourir-sara -muodossa yhä yhälöä vaaii hiuka mppuilua, mua sim. äi s oisuu: 8 ( cos[ f ( 9 ],3,5,7,... uossa vaihkulma mrki saami oiki prusuu siih, ä ( k, ku k o parilli a, ku k o pario. 9. a Piirrä kolmioaallo (aksopiuus µs ampliudispkri dsibliä. Oa mukaa spkriviiva db: asoo asi. Vasaus: Jaksopiuus o sama kui hävä 7 sakara-aallolla, o prusaauuski o sama: µs, f.5 MHz äyää samalai aulukko kui hävässä 7 sakara-aalloll: Mosko harmoi aauus MHz mpliudi (hävä 8 pruslla mpliudi dsibliä suhssa suurimpaa ampliudiarvoo * ** Ja dll äärömää asi Kiroia ähä, mi laski *:llä a **:llä mrkiy kohi lukuarvo: 8 9 *: log db log db 9.8 db **: log db log db 7.96 db 8 5

9 O hlppo havaia, ä : harmois kompoi ampliudi lauskkksi ul log db, osa si o lasku ylläolva auluko arvo. Piirrä kolmioaallo spkri samaa kuvaa aimmi piirry sakara-aallo spkri kassa: mpl.db. Kolmioaalo -5. Sakara-aalo fmhz b Millä aauudlla ämä kolmioaallo ampliudispkri aso aliaa db? Vasausha o ähävissä spkri kuvasa ilma s kummmpia laskuoimiuksia: 5.5 MHz. (Sakara-aallollaha vasaavaksi aauudksi saaii 5.5 MHz.. Piirrä allaolvaa kuvaa siiaallo suraksi sama aksopiuud a ampliudi omaava sakara-aalo a kolmioaalo. Sii Sakara Kolmio Kumpi muisuaa mmä siiaaloa? Mi ämä asia o ähävissä hävässä 9 olvia spkrä ukimalla? Vasaus: Slväsiki kolmioaalo muisuaa ulkomuodolaa mmä siiä kui sakara-aalo. Sama o ähävissä spkrisä: Kolmioaallolla ampliudi pivä huomaavasi opammi, ku arkaslava harmois kompoi kraluku kasvaa. sia voidaa saoa äi: "Kolmioaallolla o slväsi vähmmä harmoisa sisälöä kui sakara-aallolla". Ja koska sigaali, olla o mahdollisimma

10 vähä (li i laisikaa harmoisa sisälöä, o siiaalo, voidaa saoa myös: "Kolmioaalo o lähmpää siiaaloa kui sakara-aalo".. Puhlivrkko pääsää läpi aauud 3 Hz... 3 Hz. Milä äyää aauusasossa ( spkri a aikaasossa ( aalomuoo a sakara-aalo, oka aksopiuus o.5 ms b sakara-aalo, oka aksopiuus o 5 ms ku kysi sakara-aalo o väliy puhlimis paikasa ois? Vasaus: a Sakara-aallo aksopiuus.5 ms, o s prusaauus o f khz. Sakara-aalo sisälää parioma harmois aauud, o ämä sakara-aalo sisälää aauud khz, 6 khz, khz, khz. Näisä aauuksisa vai prusaauus li simmäi harmoi aauus o sillä ääiaauusalulla, oka pääs puhliyhyd läpi. Niipä vasaaoaa kuul puhlimsa kuulokksa sigaali, olla o vai yksi aauus, khz. Eli vasaaou sigaali o puhdas khz: siiaalo. S spkrissä o asa yksi spkriviiva, oka o khz: kohdalla. b ämä sakara-aallo aksopiuus 5 ms, o s prusaauus o f Hz. Siis ämä sakara-aalo sisälää ämä aauud: Hz, 6 Hz, Hz, Hz, 8 Hz, Hz, 6 Hz, 3 Hz, 3 Hz, 38 Hz, Hz. ässä oki usampia aauuksia, oka puhlivrkko pääsää läpi, li välillä 6 Hz... 3 Hz olva sakara-aallo harmois kompoi ämä spkrissä o 8 spkriviivaa, oka ova maiiu aauuksi kohdalla a oid ampliudi suhuuva oisiisa ku muroluvu 3, 5, 7,..., 7. Milä b-kohdassa vasaaou sigaali äyää? Lähvä sakara-aallo yhälöhä o cos( f 9. Vasaaou aalomuodo yhälö saadaa oamalla uosa,3,5,... mukaa vai : arvo välillä , li vasaaou sigaali o 7 x( cos( f 9. [ässä olaa, ä puhliyhys i muua riaauis 3,5,7,... kompoi välisiä ampliudi- a vaihkulmasuhia; olus oka i välämää pidä paikkaasa käyäössä.] Vasaaou aalomuoo a lähy sakara-aalo äyävä älä: x(..8. ms

11 . Sovlla ää mamaiika pruskaavaa x x cos( x ( ii, ä muua siisigaali cos( f ϕ yhälö komplksis kspoimuooo. Siis: ( ϕ cos f ( f ϕ ( f ϕ f ϕ f ϕ Sivä lausk sovla ää: a b a b. Siis: ( ϕ cos f ϕ f ϕ f 3. Edllä saaii kahd aasa riippuva komplksis kspoilauskk summa. Piirrä all komplksiasoo, mi oid kahd komplksis lauskk arvo käyäyyy, ku aika kasvaa: Vikki: Piirrä kumpaaki lauska vasaava osoii hkllä, a si mii, miä osoiimll apahuu, ku alkaa kasvaa. Vasaus: Siis Ku, ii v ϕ f ϕ f. ϕ ϕ (, koska. Komplksiasoo mrkiyä ämä lauskk kumpiki rmi : piui osoii, simmäis kulma ϕ, ois ϕ. lla molmma piirry samaa kuvaa. Im ϕ ϕ R : yhälössä olva osoiim ova siis uossa asossa hkllä. Ku kasvaa, ii aa fukioa ylmmä osoiim aso krova kulma f ϕ a almma osoiim kulma f ϕ. a kasvassa dlli kulma kasvaa posiiivis suuaa a älkimmäi kasvaa gaiivis suuaa. ällöi ylmpi osoii pyörii komplksiasossa vasapäivää a almpi myöäpäivää.. Miä arkoiikaa siisigaali v cos( f ϕ ( aauus f? Siä ä f-aaui siisigaali sisälää f kpl aalomuodo aksoa skuissa. Usi saoaa, ä siissä o "värähdyksiä" f kpl skuissa.

12 Mi ulkis aauud f arkoiava dllisssä hävässä piirämissäsi kuvissa? Vasmmapuolisssa kuvasssa: Vasmmapuoli arkoiaa ässä dllis kuva ylmpää osoiia, oka siis pyörii vasapäivää ii ä s kulma aa fukioa o f ϕ. uosa lauskksa o hlpohko oda, ä ku aika kasvaa määrä f, ii kulma kasvaa määrä. ämä arkoiaa siä, ä osoii pyörii f kirrosa skuissa. Ny siis f kroo osoiim pyörimisopud. Vasapäiväi suua määrillää posiiivisksi pyörimissuuaksi, olloi siis ylmmä osoiim pyörimisaauus o posiiivi f. Oikapuolisssa kuvasssa: Eli dllis kuva myöäpäivää pyörivä almpi osoii. Samalaislla päälyllä voidaa oda, ä ämäki osoii pyörähää f kirrosa skuissa. Mua ku pyörimissuua o ri, li gaiivisksi pyörimissuuaksi määrily myöäpäivä, ii ämä osoiim pyörimisaauus o gaiivi f. Siis: Siisigaalilla v cos( f ϕ ( o yksi posiiivi aauus f. Mua ku siisigaali haoaa komplksimamaiikalla kah osaa: ϕ f ϕ f ii ämä sigaali sisälää skä f-aauis kompoi ä f -aauis kompoi. Kosii sisälävä lausk kroo s, millai siisigaali äällä raalimaailmassa o. Jälkimmäi kspoifukiokaava o vai mamaai malli, oka avulla kuiki voidaa raalimaailma ioliik- a muia sigaala ukia palo kävämmi. S, ä komplksimamaiikalla päädyää aauuksii ±f, ohaa siih, ä ku sigaali spkrä ukiaa Fourir-aalyysillä, o uloksa spkri, oka sisälää myös gaiivis aauud. 5. Edllä hävässä odii, ä cos ϕ f ϕ f ( f ϕ Ja si o aimmi odu (kalvo, s. 6, ä os sigaali o aksolli, ii s aalomuodo yhälö aa fukioa voidaa lausua Fourir-saraa: cos ( f ϕ Siis aksolli sigaali o f -aauis siimuoois kompoi summa. Ku uo kaksi dlläolvaa yhdisää, ii voidaa pääyä aksollis sigaali komplksis Fourirsara yhälöö: f c Siis aksolli sigaali o aauudlla f pyörivi komplksis vkori (osoiimi summa. immi o krrou, ä os o sakara-aalo, ii s Fourir-sarassa cos( f ϕ ampliudi a vaih ϕ saadaa äi: ku o pario ku o parilli 9 ϕ

13 Misä uo idää? N o lasku sovlamalla Fourir-aalyysi mamaiikkaa. Millaisa s o? Emm y uusu siih, mi raalis Fourir-sara ampliudi a vaih saadaa, vaa mää suoraa komplksis Fourir-saraa. Ilma s kummmpia ohamisia, ämä pä: Jos sigaali o aksolli, ii s voidaa lausua Fourir-saraa f c v ( a sarassa siiyvä komplksi krroi c saadaa äi: ( f d v c ässä mrkiä arkoiaa määräyä igraalia : piuis aaakso yli. Igroii alaraa o vapaasi valiavissa, mua yläraa o alaraa. Joissaki apauksissa c : saa laskuksi hlpoi igroimalla :sa :, oisissa apauksissa igroii :sa :aa ohaa hlpommi sivyvää c : lauskks. hävä: Määriä sakara-aallo Fourir-sara kroim c lausk. Vasaus: Joa yhälö ( f d v c igraali voi laska, piää ukiava sigaali yhälö si kiroiaa igraalilauskk all. Riiää, ä sigaalia arkasllaa yhd akso miaislla aikaaksolla. Sakara-aallo ampliudi o a s aksopiuus o, o s yhälö aikavälillä... o o välillä ku o välillä ku ( v L K Ny Fourir-sara kroim yhälöksi ul ( ( ( ( [ ] ( [ ] os o parilli os o pario cos cos ( ( f f d d d v c f f f f f

14 Loppuuloks päädyii oamalla, ä ( cos o ai riippu siiä, oko kokoaisluku parilli vai pario. a f kaoava maka varrlla, koska f. 6. Mi dllä saadusa sakara-aallo c : lauskksa saadaa o mo kraa siy sakara-aallo a vaih ϕ : lauskk? Vasaus: Sakara-aalo (a kaikki muuki aksollis aalomuodo siis voidaa lausua Fourir-saraa kahdlla ri avalla: cos ( f ϕ f c (raali F-sara (komplksi F-sara Ku puhuaa vaikkapa "m:sä harmoissa aauudsa" (missä m o posiiivi kooaisluku, ii cos mf ϕ. S siaa raalisssa Fourir-sarassa arkoiaa summasa poimiua rmiä ( komplksisssa Fourir-sarassa arkoiaa skä rmiä arkmmi saoua äid summaa c m c c m mf m mf ( mf m. ä rmiä c m m ( mf. Edllis hävä pruslla pariomilla m: arvoilla sakara-aallolla o o komplksimuooisa siy m:s harmoi aauuskompoi o c m mf m si m c m c m m mf mf mf mf ( ( ( mf ( mf m m mf m mf a c m, m Näi saaii komplksis Fourir-sara rmi raalis muooo, osa o ähävissä s, ä m: harmois aauud ampliudi a vaih 9. Eli sama ulos oka o aimmi o sakara-aalloll m siy. Ylisys: Jos aksollis sigaali komplksisssa Fourir-sarassa posiiivisa :ää vasaa krroi c, o sama sigaali raalisssa Fourir-sarassa c ϕ arg ( c ässä "arg" arkoiaa komplksilukua vasaava osoiim kulmaa. Siis sim. arg(5, arg(5 9, arg(55 5.

15 7. Määriä kolmioaallo (kuvassa komplksis Fourir-sarakhilmä v c f ( kroim c. Kiroia si lausk ampliudispkri määriävill arvoill c a vaihspkri määriävill arvoilla arg(c. - Kroim igraalilauskk laskmisa var arviavaksi akso piuisksi aaksi kaaaa valia aikaväli L. uolla välillähä kolmioaalo koosuu kolmsa suorapäkäsä, oid yhälö piää slviää. Si laskaa F-sara kroim aava igraali väli L yli kolmssa osassa: L, L a L. Osoiauuu, ä igroii o s vrra suuriöi homma, ä i siä kaaa kokoaa hdä aiakaa liiuaululla. uilla kasllaa, mihi yriys ohaa. Rakaisu: Fourir-sara kroim saadaa slvill laskmalla igraali c f Joa igraali voi laska, piää ukiava sigaali yhälö si kiroiaa igraalilauskk all. Riiää, ä sigaalia arkasllaa yhd akso miaislla aikaaksolla. Hlpoi igroii saa hyä, ku valis igroiiaikaväliksi.... ll o piirry kolmioaalo ii, ä aika-aksli ylää : asi. - - d Välillä... kolmioaalo koosuu kolmsa suorapäkäsä, a hima muislmalla, mi suora yhälö saadaa, pääyy ällais : yhälöö aikavälillä... : ku o välillä K ku o välillä L ku o välillä K Siis Fourir-sara krroi saadaa kolm igraali summaa:

16 ( f f f f f f f f f d d d d d d d d d v c ässä välissä piää siä osai d a -yyppis igraali laska-apua. Löyyy sim. Wikipdiasa (hp:.wikipdia.orgwikilis_of_igrals_of_xpoial_fucios : ( a a d a a. ällaisia igraala saadussa viid igraali summassa o kolm, lopu kaksi ova yyppiä a d a a. Voimm akaa, laskaa igroii krrallaa. ( ( f f d f f f f ( ( ( ( [ ] ( ( [ ] f f f f f d f f f f

17 ( ( ( ( [ ] ( ( [ ] f f f f f d f f f f ( ( f f d f f f f ( ( ( ( [ ] ( ( [ ] f f f f f d f f f f Kräää uloks yh: c ää ku kasl arkkaa, voi oda, ä präi rmiä poisuu, koska rmi kumoava oisiaa pariai ai kolmikoiai. llaolvaa kuvaa o mrkiy, mi aia samalla värillä ympäröidy rmi aava summaksi olla. Fourir-sara kroim lauskkksi siis saadaa ( ( si si c

18 x x ässä o käyy hyväksi sii komplksikspoimuooa: si( x. Nyhä si ( aia ku o kokoaisluku a ku parilli si( ku, 5, 9,3,... ku 3, 7,,5,... o lopulli ulos o ku parilli c ku, 5, 9,3,... ku 3, 7,,5,... ämä o sama ulos kui s, oka o ollu aimmi sillä. mpliudi: c ku parilli ku pario. Vaih: 9 c 9 ku ±, ± 5, ± 9, ± 3,... ku ± 3, ± 7, ±, ± 5,... ämähä oli varsi ärö laskusuorius, mua ulipaha hyä. 8. Määriä ohis pulssioo komplksis Fourir-sarakhilmä kroim c.pulssioossa siis oisuu : piui : korkui pulssi aksopiuudlla. - Nyki igroiiväliksi kaaaa valia L. Rakaisu: Välillä L o o F-sara kroim igraali c ku ku ku f d ypisyy muooo

19 c f sic f f d f ( f sic f f f si f ( f f ( f si f f (Huom! Suhda kusuaa pulssisuhksi. uossa o lopussa arkoiushakuissi ärsly rmä a lavu :lla, oa saaii kauis loppuulos. uloksssa siiyy sic-fukio, oka määrilmä o si ( ( x sic x. Huom! sic(. x 9. Piirrä hävässä 8 määrilly pulssioo ampliudispkri, ku a ms,, ms b ms,, ms c ms, riäi suuri (lähsyy ääröä, s d ms,, ms Rakaisu: a f 5 Hz f c sic( f sic ( rvo aulukoiua: f Hz c Normalisoiu c Normalisoiu c db.5 ± ± ± ± ±3 ± ± ± - ±5 ± ±6 ± ±7 ± ±8 ± - ±9 ± ± ± ± ± ± ±3 - ±3 ± ± ± ±5 ± ±6 ± - ±7 ± ±8 ± ±9 ± ± ±5 - Mi ylläolvassa aulukossa sim. ämä rivi

20 ±3 ± arvo o saau? Näi: Ny siis ± 3, oka vasaa aauuksia ±35 Hz ±75 Hz. auluko yläpuollla olva kaava mukaa sic( 3 si(3.77 c sic( 3 si( 3.77 c Siis c 3 c3.75. [O hlppo osoiaa, ä aia sic(x sic(x.] Nlä sarakk ormalisoiu arvo saadaa vraamalla laskua arvoa suurimpaa löyyvää c : arvoo, oka löyyy auluko. rivilä a o.5. Normalisoii apahuu akolaskulla Viid sarakk dsibliarvo saadaa muuamalla äsk lasku ormalisoiu arvo dsibliksi kaavalla log(.3.55 Malabilla piirry ormalisoiu spkri: a ampliudispkri (li kroimi isisarvo: b f 5 Hz f c sic( f sic (

21 rvo aulukoiua: f Hz c Normalisoiu c Normalisoiu c db.5 ± ± ± ±5 - ±3 ± ± ± - ±5 ± ±6 ±5 - ±7 ± ±8 ± - ±9 ± ± ±5 - ± ± ± ±3 - ±3 ± ± ±35 - ±5 ± ±6 ± - ±7 ± ±8 ±5 - ±9 ± ± ±5 - Malabilla piirry ormalisoiu spkri: a ampliudispkri (li kroimi isisarvo:

22 Huom: Ku ms a ms, ii pulssioo o is asiassa sakara-aallo muooi: - ässä siiyvä äiarvo ova a, o äi kskiarvo i ol olla, ku sakara-aallolla, ossa äi ova ±. Siksi ämä pulssioo spkri o muu samalai kui sakara-aallolla, mua aauud kohdalla o myös spkripiikki ohu sigaalii sisälyväsä asaäikompoisa (li ollaaauissa kompoisa. c Edll 5 Hz f a sic( f c. Ku riäi suuri (lähsyy ääröä, s, ii silloiha lähsyy ollaa, li sic-fukio argumi arvo ova hyvi piiä suurillaki : arvoilla. Silloi raa-arvoapauksa (ku o mlki olla, kaikki sic( f : kaikilla : arvoilla ova sic ( kaikki spkriviiva (oka dll ova f : li 5 Hz: väli ova samakorkuis:.5. Silloi uloksa o spkri, ossa ässä c-kohdassa aalua (lähs äärömä lyhyä a (lähs äärömä korkaa pulssia kusuaa impulssiksi. orisa käsiä impulssi o ksolaa olla a ampliudilaa äärö olva pulssi, oka pia-ala (kso kraa korkus. Ny siis saimm päälyä, ä impulssioo spkri koosuu äärömäsä määräsä samakorkuisia spkriviivoa, oka ova f : väli. d Ku ms a ms, ii uloksa o vakioäi, koska suraava pulssi aia alkaa samalla hkllä ku dlli pulssi pääyy: Ny f, o F-sara kroim lauskkksi ul c sic ( f sic( Mua sic-fukio omiaisuusha o, ä sic(x kaikilla muilla x: kokoaislukuarvoilla paisi x, olloi sic(. Jo sic( vai ku, kaikilla muilla : arvoilla s. Niipä y pulssioo (oka i ää ol pulssioo, vaa vakioäi, li asaäi spkrissä o vai yksi spkriviiva aauudlla :

23 V ( f f d. Fourir-muuosigraali: hävä: Määriä ohis yksiäis suorakulmais äipulssi spkri. Rakaisu: Pulssi yhälö voidaa kiroiaa äi: ku < < v ( muualla Siispä ku igroidaa :sä :ää, o igroiava arvo mlki koko aa olla. Vai iha origo li hk ympärisössä igroidaa oai ollasa poikkavaa. Jää siis laskavaksi määräy igraali f V ( f d. Näi Fourir-muuos syyy: f f d d si( f si( f f f sic( f x x ässä käyii kaavaa si( x ( f f. Loppuulos siis o f f f ( Π sic( f Spkri yhälö o lopussa saau arkoiukslla (lavamalla :lla muooo, osa s voidaa kiroiaa sic-fukioa käyä. ioliikkiikassa (a muillaki aloilla siiyy mlko usi muooa si( x x olva lausk, o o kasou arpllisksi oaa käyöö uoll lauskkll oma imiys. si( x Sic-fukio määrilmä o: sic( x x Sic-fukiosa lisää oriaksi sivula lähi (hp:usrs.mropolia.fi~koivas5vk- Igr6_Fourir-aalyysi.ioliikorioiusi.pdf#pag a mm. Wikipdiassa. (hp:.wikipdia.orgwikisic_fucio.

24 . hävä: Piirrä kolmsa pulssisa koosuva sigaali v ( Π BΠ kuvaaa, ku a B, ms, 3 ms b, B, ms, ms Vasauks: ms -6 - ms hävä: Osoia, ä os sigaali Fourir-muuos o V(f, ii viiväsy sigaali f Fourir-muuos o V ( f f Vasaus: Olkoo x(. Silloi X ( f x( d f d hdää igraalilaskasa (oivoavasi uu muuuavaiho li mrkiää y. Silloiha uud muuua diffriaali dy d (koska vakio diffriaali. Määräy igroii raa ivä muuuavaihdossa muuu, koska ku ±, ii kyllä myös y ±. Ku vilä odaa, ä y, ii saadaa f fy f f fy ( y X ( f y dy y dy y dy Viimi igraaliha aaa : Fourir-muuoks V(f (siiä vaa igroiimuuuaa o y aimmi oll : asmasa. Siis ulos o f X ( f V ( f. ämä siis o viiväsy sigaali Fourir-muuos. 3. hävä: Kiroia hävä a-kohda sigaali Fourir-muuoks yhälö. Vasaus: Muuaa hävää. Ei kaaa a-kohda lukuarvoa käyää, vaa kiroiaa hävässä au ylis kahdsa pulssisa koosuva sigaali v ( Π BΠ Fourir-muuoks yhälö. Shä o hävissä a saaua uloksia sovlamalla V ( f sic( f B sic( f sic( f B sic( f ulos i uosa siv. f f. hävä: Määriä ohis kuva sigaali Fourirmuuos. Rakaisu Voidaa sovlaa suprposiiopriaaa, koska sigaali voidaa aalla olva kahd pulssi summa. Noilla - kahdlla suorakulmaislla pulssilla o viiv - a, o oamalla viiv huomioo ukiava sigaali aikaaso yhälö voidaa kiroiaa ( Π Π

25 Silloi voidaa suoraa kiroiaa spkri yhälö käyämällä hyväksi suorakulmais pulssi Fourirmuuosa skä viiv vaikuusa: f ( V ( f sic f ( f sic( f Esimmäisssä rmissä miiusmrki iysi kumoava oissa (siiä o dll - muisuamassa siiä, ä simmäis pulssi viiv o gaiivi olloi komplksis kspoi muodosava kosiifukio. Loppuulos siis o: f f V ( f sic f sic f cos(f ( ( ( x x ässä siis käyii ää: cos( x ( 5. hävä: Sama hävä kui, mua sigaali o ri: - - x x ässä voi sivämisssä käyää hyväksi ää oisa uua kaavaa: si( x ( Huom! uilla 8.. aussa hävi paprivrsiossa uo ylläolva siikaava oli vääri (likpöyäkirous iski, siiä oli sulku sisällä plus-mrkki. Koraa paprii, os s vilä o alllla. Rakaisu: Edllis hävä rakaisu dioiua ähä sopivaksi: Voidaa sovlaa suprposiiopriaaa, koska sigaali voidaa aalla olva kahd pulssi summa. Noilla kahdlla suorakulmaislla pulssilla o viiv a, o oamalla viiv huomioo ukiava sigaali aikaaso yhälö voidaa kiroiaa ( Π Π Silloi voidaa suoraa kiroiaa spkri yhälö käyämällä hyväksi suorakulmais pulssi Fourirmuuosa skä viiv vaikuusa: f ( V ( f sic f ( f sic( f Esimmäisssä rmissä miiusmrki iysi kumoava oissa (siiä o dll - muisuamassa siiä, ä simmäis pulssi viiv o gaiivi olloi komplksis kspoi muodosava siifukio. Loppuulos siis o: f f V ( f sic f sic f si(f ( ( ( x x ässä siis käyii ää: si( x ( 6. Sigaalikäsilyssä (skä laiiso- ä ohlmisoprusisssa, skä digiaalisssa ä aalogisssa drivoii a igroii ova varsi hyödyllisiä sigaalii kohdisavia oimpiiä. Ilma ohamisa äid mrkiys Fourir-aalyysissä: Jos V ( f ii d f V ( f d V ( f λ dλ f

26 Siis: Sigaali drivoii aihuaa s, ä sigaali spkri ul krrouksi f:llä a sigaali igroii aihuaa s, ä sigaali spkri ul auksi f:llä. Mrkiä λ dλ sliysä: Sigaali igroii o aloiu oskus misyydssä, sim. silloi ku o kyky pääll s lai, ossa siiyy. Siksi määräy igraali alaraaa i ol mrkiy. Igroii yläraa o ykyhki, oka iki koko aa kasvaa, koska ii aika k. Muuua λ o apumuuua, oa käyää siksi, ä mrkiä v ( d saaaisi hämää. Kuluva aika o imomaa igroii yläraaa, o aalomuodo v lauskkssa o syyä käyää oai muua muuuaa. Josai syysä λ:aa käyää usi ällaisssa yhydssä. hävä: Määriä ohis kolmiopulssi Fourir-muuos. hävä voisi hdä sovlamalla Fourir-muuoks määrilmää f d V ( f, mua uloksa olisi aika yölääsi sivyvä lausk. Hlpommalla pääs käyämällä hyväksi ähä mssä opiua asioia. Rakaisu askl: Drivoi kolmiopulssi, piirrä drivaaa kuvaaa ähä: x(dd - oa, ä drivaaa o käyäössä sama kui hävä 5 sigaali. Ny vaa hävässä 5 olvi paramri, a ilalla o oai muua. (Paisi ä arkoiaa kyllä y drivaaa kuvaaassa samaa asiaa kui hävässä 5. Siis: hävä 5 apauksssa piää korvaa pulssi korkus ± ± a pulssi viiv ± ±. Voi siis kiroiaa suoraa kolmiopulssi drivaaa x( F-muuoks yhälö, koska hävä 5 vasaus o käyävissä. Siis: hävä 5 vasaus aaa.m. sioiuks kmällä X ( f sic( f si(f sic( f si( f Si voi sovlaa hävässä 6 krroua drivaaalauska a äi saada V(f:ll lauskk. Vaaii si( x hima sivämisä. Sic-fukio ul vasaa, shä määrillää: sic( x. Siis: Koska x d x(, o X ( f f V ( f, o kolmiopulssi spkri o d X ( f sic( f si( f V ( f. f f Ku supisaa pois : a lavaa :lla (olloi osoiaassa olvasa siisä a imiääsä saa aikaa sicfukio, ul loppuuloksksi V ( f sic ( f.

27 7. hävä: Sigaali spkri V(f o ohssa. Sigaalia igroidaa. Piirrä igraalisigaali ampliudispkri suhllisia arvoia (mikä arkoiaa, ä spkri maksimiarvo. V(f - - fmhz f B ku B < f < B Rakaisu: Spkri yhälö o V ( f f B ku B < f < B muilla aauuksilla missä o mrkiy B MHz. Mrkiää igroii älkis sigaali spkriä X(f:llä. ällöi. B ku B < f < B V ( f X ( f B ku B < f < B f muilla aauuksilla Silloi ampliudispkri B a vaihspkri 9 posiiivislla akslilla a 9 gaiivislla akslilla. Igraalisigaali ampliuspkri o siis vakio aauuskaisalla B f B, o ormalisoiu ampliudispkri o silloi ällä samalla kaisalla (a kaisa ulkopuollla. Kuva: X(f - - fmhz 8. a Mikä o sigaali cos( f Fourir-muuos? d b Mikä o sigaali cos( f drivaaasigaali x(? d c Mikä o drivaaasigaali x( Fourir-muuos? d d Oko ulos sopusoiussa aimmi silläoll drivoiisääö f V ( f kassa? d Vasaus: ässä mää hkä urha syväll mamaais kikkailuu ämä kurssi kaala. Laiaa vasaus sili äkyvii. a Ei kaaa lähä simää vasausa Fourir-muuosigraalia käyä, koska silloi ouuu mmaaisii vaikuksii. S siaa muisaa, ä sigaali Fourir-muuos sigaali spkri, li vasaus kysymyksii miä aauuksia sigaalii sisälyy? mikä o kuki sigaalii sisälyvä aauuskompoi ampliudi? mikä o kuki sigaalii sisälyvä aauuskompoi vaihkulma? Muuaa kosii kspoimuooo: cos( f f f Komplksimamaaisssa Fourir-aalyysissä "aauuskompoi" ova komplksisia kspoifukioia. Nämm, ä sigaalii sisälyvä aauudlaa f a f olva kompoi, oid kummaki ampliudi o a kummaki vaih o. b oivoavasi mamaiika opioisa mil ää mukaa: d x( f si( f d c Samasa syysä kui a-kohdassa muuaa x(: lausk kspoimuooo:

28 f f ( ( f x f f f f f ( si f Nämm, ä sigaalii x( sisälyvä aauudlaa f a f olva kompoi, oid kummaki ampliudi o f a oid vaih ova a. Nuo vaih ulva siiä, ä a. d d Kaava f V ( f mukaa sigaali drivoii uloksa siis spkri ul krrouksi d f:llä. ämä arkoiaa siä, ä alkupräis sigaali ±f aauis kompoi ampliudi ul krrouksi f:llä. a- a c-kohia kasomalla voidaa oda, ä äi kävi. alkupräis sigaali f-aauis (missä f > kompoi vaih muuuu : vrra. a- a c -kohia kasomalla voidaa oda, ä äi kävi. alkupräis sigaali f-aauis (missä f > kompoi vaih muuuu : vrra, koska aauudlla f drivoiisa ulva krroi o f. a- a c -kohia kasomalla voidaa oda, ä äi kävi. d Jo saau ulos osiaa o sopusoiussa drivoiisääö f V ( f kassa d 9. Erillisssä ksissä (hp:usrs.mropolia.fi~koivas5vk- Igr7.modulaaio.pdf o käsily ärkää ioliikkiika sigaalikäsilyoimpidä li modulaaioa. ämä hävä liiyy siih: Mikä o ohis sigaali Fourir-muuos? Vaaka-akslilla o aika mikroskuia. [uka saaaa lähää suuill ällaisia sigaala. ää kusuaa sim. ukapulssiksi, myös rmi "pursk" saaaa siiyä ässä yhydssä.] Vasaus: Modulaaioa käsilvässä ksissä o ohdu v ( cos( fc V ( f fc V ( f fc ässä o kys uuri äsä. Kuva sigaalissa o slväsiki siiä, oka aksopiuus o µs a oka ampliudi vaihl µs piuis kolmiopulssi mukaissi. Siis sigaali yhälö o Λ cos( f c, missä µs a f c 5 khz. hävässä 6 saaii kolmiopulssi spkriksi sic ( f o ohis kolmiopulssimaissi käyäyyvä siipursk Fourir-muuos o V ( f sic [( f fc ] sic [( f fc ] Spkri ormalisoiu kuvaaa alla. Vaaka-akslilla aauus saoia khz:ä x 5

29 3. Suorakulmais pulssi lvys (kso a s ampliudi (korkus. (Ei kaaa vaivaa pääää yksiköillä, hä uossa m iha pipariksi. a Mi pulssi yhälö kiroiaa? (Siis käyä suorakulmais pulssi symboliksi soviua isoa piikiraia. b Mikä o pulssi Fourir-muuos? Piirrä F-muuoks kuvaaa. c Ku pulssi lyh (olloi s samalla kasvaa korkua, ii mi s F-muuoks yhälö muuuu? d Eä mi pulssi F-muuoks kuvaaa muuuu, ku pulssi lyh? Milä pulssi äyää, ku s o aiva älyömä lyhy, li kso mlki olla? f Milä äyää pulssi spkri, ku pulssi kso mlki olla. Kaksi viimisä kohaa parmpaa mamaaisa kilä käyä: Mi pulssi a s spkri muuuva, ku pulssi kso lähsyy arvoa? Vasaus: ää o käsily oriaksi luvussa.7: (hp:usrs.mropolia.fi~koivas5vk- Igr6_Fourir-aalyysi.ioliikorioiusi.pdf#pag3. Silä löyyy si myös sliyä s, mihi ässä päädyää, li impulssi a s omiaisuud. 3. Piirrä sigaali δ ( s 3δ ( 3 s kuvaaa. Vasaus: y( 3 s Johda suorakulmais pulssi Fourir-muuos drivoimalla pulssi. Vasaus: Suorakulmai pulssi a s drivaaa x(: x( Drivaaa yhälö o ( δ ( ( δ ( x. ämä Fourir-muuos o f f f f X ( f - ( ( ( f si d Koska x(, o X ( f f V ( f, o d X ( f si( f si( f V ( f sic( f. Eli uli s miä piiki ulla. f f f

30 33. Johda kolmiopulssi Fourir-muuos drivoimalla pulssi kah kraa. Vasaus: Kolmiopulssi v ( Λ : Kuva kolmiopulssi koosuu kahdsa suorasa. Esi o ousva suora, oka kulmakrroi o a si laskva suora, oka kulmakrroi o. Suora drivaaaha o sama kui d s kulmakrroi, o kolmiopulssi drivaaasigaali x( o ohis x( d kalai: äsä voi akaa kahdlla avalla. apa : Drivaaasigaali yhälö o ( x ( Π Π, o drivaaasigaali spkri o - f ( f X ( f sic f sic f ( ( Ku supisaa : a : a huomioidaa miiusmrki, yhälö saadaa hlposi muooo d X ( f sic( f si( f. Nyhä koska x(, o X ( f f V ( f, o d V ( f sic( f si( f kolmiopulssi spkri o V ( f f f Ku supisaa pois : a lavaa :lla (olloi osoiaassa olvasa siisä a imiääsä saa aikaa sicfukio, ul loppuuloksksi V ( f sic ( f, li sama yhälö kui kaavakokolmassa. y( dx( apa : Drivoidaa drivaaasigaali x(: y(. ulos kuvassa. d Drivoiavassa x(:ssa o kolm asklmaisa muuosa, o s drivaaa koosuu kolmsa impulssisa. y(: yhälö o y( δ ( ( δ ( δ ( ämä Fourir-muuos voidaa kiroiaa suoraa: f ( f f f Y ( f ( - [ cos( f ] si ( f x x x cos x si x. ässä käyii äiä: ( cos( a ( ( dx( d Koska y (, o Y ( f f X ( f f f V ( f f V ( f, o d d Y( f si ( f si ( f V ( f sic ( f. f f f

31 3. Lask hävä drivoii kaua. Vasaus: hävä sigaali a s drivaaa d x( : d x( - - Drivaaasigaali yhälö o - ( ( δ ( ( δ ( ( δ ( ( y ( δ ämä Fourir-muuos o f ( f ( f ( f ( Y ( f f f f f f f [ ] [ ] f f f f [ ] [ ] si( f cos(f d Koska x(, o X ( f f V ( f, o d X ( f si( f cos(f si( f cos(f V ( f f f f si( f cos(f sic f Eli uli s miä saaii o hävässä. ( f cos(f.