Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Palautus mennessä

Transkriptio

1 Fysiikan olympiavalmennus, perussarja Kirje 1 Palautus mennessä Olet menestynyt hyvin MAOL:n fysiikkakilpailussa, ja sinut on valittu mukaan fysiikan olympiavalmennukseen. Valmennuskirjeitä on yhteensä kolme, ja niihin aktiivisesti vastaamalla voit päästä valmennusleirille Jyväskylään ja jopa valintakilpailuun Tallinnaan (ajankohta varmistuu myöhemmin), jossa valitaan Suomen joukkue vuoden 2013 fysiikkaolympialaisiin Tanskaan. Osallistumisesta ei aiheudu kuluja. Perussarjan valmennukseen osallistuminen auttaa myös pääsemään ensi vuonna avoimen sarjan valmennukseen, ja sitä kautta tulee mahdollisuus päästä kesän 2014 fysiikkaolympialaisiin Sloveniaan. Lisätietoa löytyy fysiikkavalmennuksen sivuilta osoitteesta Tässä on ensimmäinen valmennuskirje, jonka vastaukset tulee lähettää minulle mennessä joko kirjeitse tai sähköpostitse 1. Jotkin tehtävät ovat pitkiä, mutta sitä ei kannata hätkähtää; arvostelun kannalta tässä on = 10 saman arvoista tehtävää. Osatehtävät on pyritty laatimaan siten, että vaikka jokin kohta jäisi tekemättä, voi seuraavat silti ratkaista. Tehtävissä käsitellyt asiat eivät luultavasti ole kaikilta osin lukion kursseilta tuttuja, vaan niiden on tarkoitus opettaa jotain uutta klassisesta mekaniikasta. Olen alleviivauksin korostanut ne kohdat, joihin edellytetään vastausta. Jos ongelmia tulee vastaan, minulta voi kysellä asioita sähköpostitse. Jos et ole jostain syystä osallistunut MAOL:n fysiikkakilpailuun mutta haluat mukaan valmennukseen, vastaa tähän kirjeeseen. Lisäksi on hyödyksi ilmoittaa asiasta sähköpostitse minulle mahdollisimman pian, jotta myöhemmät kirjeet ja tiedotteet päätyvät sinullekin. Joonas Ilmavirta Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 35 (MaD) Jyväskylän yliopisto joonas.ilmavirta@jyu.fi Tehtävä 1. Tutkitaan pyöreää ja homogeenista taivaankappaletta, jonka massa on M ja säde R. Laske, kuinka suuri on pakonopeus, eli pienin mahdollinen nopeus, jolla taivaankappaleen pinnalta lähtevä kappale pääsee gravitaatiokentästä vapaaksi. Taivaankappale ei pyöri ja lähtevään kappaleeseen kohdistuu (moottorin tai muun) työntövoima vain hyvin lyhyen aikaa sen lähtiessä liikeelle. Ratkaise R, jos pakonopeus on valonnopeus c. Jos taivaankappaleen säde on tätä sädettä pienempi, kappaletta sanotaan mustaksi aukoksi. Miksi? Vaikka emme ottaneet suhteellisuusteoriaa lainkaan huomioon, saimme täsmälleen suhteellisuusteorian ennustaman tuloksen tälle kriittiselle säteelle, joka tunnetaan tavallisesti Schwarzschildin säteenä 2. Jos kappaleen massa on tätä pienemmän säteen sisässä, kaikki aine ja valo putoaa vääjäämättä yhä lähemmäksi massakeskipistettä. Arvioi, kuinka suuri on sinun omaa massaasi vastaava Schwarzschildin säde ja totea, ettet ole vielä lähelläkään luhistumista eikä kyllä kukaan muukaan. 1 Paperinen vastaus on helpoin käsitellä, mutta jos palautat tehtävät sähköisesti, varmista, että palautusten koko on ainakin alle 500 kt ja vastaukset ovat helposti luettavissa. Pdf-muotoinen vastaus on varmin. Voit myös laittaa vastauksesi kotisivullesi ja antaa linkin. 2 Varsinaisesti pitäisi siis käyttää Newtonin mekaniikan sijasta Einsteinin kenttäyhtälöä G = 8πG N c 4 T, missä Einsteinin kaarevuustensori G kuvaa avaruuden ja ajan kaarevuutta sekä energia-impulssitensori T aineen ja energian liikettä. Newtonin gravitaatiovakio ja valonnopeus ovat G N ja c. Tämän viattoman näköisen yhtälön ratkaiseminen on hirvittävän työlästä yksinkertaisissakin tilanteissa. 1/6

2 k 1 k 2 k Kuva 1: Kaksi rinnakkain olevaa jousta toimii samoin kuin yksi yksinäinen jousi, kunhan jousivakio k on valittu sopivasti. Tehtävä 2. Monesti fysikaalisissa malleissa on mahdollista korvata hankala järjestelmä yksinkertaisemmalla ilman, että järjestelmän käytös muuttuu. Tutkitaan tätä ideaalisten jousien tapauksessa. (a) Tutkitaan kuvan 1 mukaisia jousisysteemejä, joiden päässä roikkuu samanlainen punnus. Oletetaan, että systeemit käyttäytyvät samoin, eli jos punnuksia poikkeutetaan tasapainoasemastaan yhtä paljon, niihin kohdistuu yhtä suuri voima. Osoita, että tässä tilanteessa yksinkertaistetun systeemin (jossa on vain yksi jousi) jousivakiolle pätee k = k 1 + k 2. (1) Tarkastellaan sitten kuvan 2 mukaisia systeemejä samalla tavoin. Osoita, että nyt päteekin k = (k1 1 + k2 1 ) 1. (2) Yleistetään sitten kuvan 1 tapausta niin, että rinnakkain on n jousta, joiden jousivakiot ovat k 1, k 2,..., k n 1 ja k n. Perustele, miksi tässäkin tilanteessa systeemi voidaan korvata yhdellä jousella, ja että sen jousivakioksi tulee k = k 1 + k k n 1 + k n. (3) Yleistetään vastaavasti kuvan 2 tilannetta. Perustele, että korvaaminen onnistuu nytkin ja jousivakioksi saadaan k = (k k k 1 n 1 + k 1 n ) 1. (4) (b) Edellä laskettujen yksinkertaistusmenetelmien avulla voidaan korvata monimutkaisenkin näköisiä jousisysteemejä yhdellä ainoalla jousella. Tämä onnistuu vaiheittain korvaamalla osasysteemejä yksinkertaisemmilla. Tutkitaan kuvan 3 mukaista jousisysteemiä, jossa jokaisen yksittäisen jousen (niitä on 10) jousivakio on q. Päättele, että tämäkin systeemi voidaan korvata yhdellä jousella, ja laske, mikä on tämän jousen jousivakio k. Ilmaise tulos jousivakion q avulla. Tehtävä 3. Kappaleen, jonka massa on m, liikettä kuvailee Newtonin mekaniikassa tuttu laki 3 (Newtonin toinen laki) F = ma, (5) 3 Tutkimme tilannetta yksinkertaisuuden vuoksi nyt yhdessä ulottuvuudessa. 2/6

3 k 1 k k 2 Kuva 2: Kaksi peräkkäin olevaa jousta toimii samoin kuin yksi yksinäinen jousi, kunhan jousivakio k on valittu sopivasti. missä F on kappaleeseen kohdistuva voima ja a sen kiihtyvyys. Voima on siis suoraan verrannollinen liikutettavan kappaleen kiihtyvyyteen. Arkikokemus taas monissa tilanteissa näyttää, että voima on jollain tavalla verrannollinen nopeuteen: esimerkiksi vedessä liikkuva kappale näyttää putoavan alaspäin vakionopeudella tasaisen kiihtymisen sijaan. Yritämme nyt ymmärtää, miksi näin käy. (a) Nesteessä hitaasti liikkuvaan kappaleeseen vaikuttaa vastusvoima F v = Cv, (6) missä C on jokin kappaleen muodosta ja koosta sekä nesteen ominaisuuksista riippuva positiivinen vakio. Jos vastusvoiman lisäksi kappaleeseen vaikuttaa jokin ulkoinen voima F u, saadaan yhdistämällä yhtälöt (5) ja (6) yhtälö ma = Cv+F u. Jos sekä nopeus että kiihtyvyys riippuvat ajasta mutta F u on vakio, kirjoitamme edellisen muotoon ma(t) = Cv(t) + F u. Kiihtyvyys on määritelmän mukaan nopeuden aikaderivaatta 4 : a(t) = v (t). Näin ollen saamme differentiaaliyhtälön mv (t) = Cv(t) + F u. (7) Seuraavaksi ratkaisemme tämän differentiaaliyhtälön, eli etsimme sellaisen funktion v(t), joka toteuttaa ehdon (7). 5 Lisäksi vaadimme ratkaisulta, että alkuhetkellä t = 0 nopeus on jokin annettu v 0. Kun siis tiedämme kappaleen nopeuden hetkellä t = 0 olevan tasan v 0, yritämme yhtälöä (7) käyttäen päätellä, mikä nopeus on myöhemmin. Teemme valistuneen arvauksen, että ratkaisu on muotoa v(t) = A 1 + A 2 e A 3t, (8) 4 Lukiokursseilla on mahdollisesti määritelty keskikiihtyvyys aikavälillä t 1... t 2 erotusosamääräksi v(t 2) v(t 1) t 2 t 1. Ottammalla raja-arvo t 2 t 1 saadaan suoraan derivaatan määritelmä: v (t 1 ) = v(t lim 2) v(t 1) t2 t 1 t 2 t 1, joka on tuttu matematiikan kursseilta. 5 Differentiaaliyhtälöistä kerrotaan valmennussivuilta löytyvässä matemaattisten menetelmien materiaalissa. Kyseisestä materiaalista voi olla hyötyä myös muissa tehtävissä. 3/6

4 Kuva 3: Tämäkin hirvitys voidaan korvata yhdellä jousella. missä A 1, A 2 ja A 3 ovat joitain vakioita. Laske tämän funktion derivaatta ja laske lausekkeen mv (t) + Cv(t) F u arvo. Jotta funktiomme todella olisi ratkaisu differentiaaliyhtälöön (7), on tämän lausekkeen oltava nolla kaikilla t. Päättele tästä sekä tiedosta v(0) = v 0 vakioiden A 1, A 2 ja A 3 arvot. (Hyvää harjoitusta on myös ratkaista yhtälö (7) alkuehdon v(0) = v 0 kanssa käyttämättä yritettä (8), jos satut tuntemaan jonkin tähän sopivan menetelmän.) (b) Edellisen kohdan lopputuloksena saamme siis ratkaistua nopeuden v(t). Tuloksen pitäisi näyttää tältä: v(t) = F u C + (v 0 F u C )e Ct/m. (9) Perustele, miksi nopeus lähestyy arvoa v r = F u /C eli lim t v(t) = v r. Vertaillaan tätä tulosta yhtälöön (7), jonka kirjoitamme nyt muotoon ma = Cv + F u. Millä nopeuden v arvolla kiihtyvyys a on nolla? Miten ja miksi tämä liittyy edellä laskettuun raja-arvoon? Tehdään lisäksi tärkeä oletus: nesteen aiheuttama vastusvoima on hyvin suuri, jolloin siis C on suuri. Edellä todettiin, että lim t v(t) = v r. Perustele (mahdollisesti sopivin lisäoletuksin), miksi olettamassamme tilanteessa v(t) v r on hyvinkin tarkka arvio, jo melko pienillä ajoilla. (Tässä ei odoteta tarkkoja laskuja, vaan osoitus siitä, että ymmärrät, mistä on kyse.) Näin saamme siis yhtälön v F u /C. (10) (c) Edellä oletimme, että ulkoinen voima F u (t) on vakio. Nyt annamme sen muuttua, mutta vain hitaasti. Koska nopeus lähestyy arvoa v r hyvinkin nopeasti, voimme siis olettaa, että 4/6

5 v v r koko ajan, vaikka v r muuttuukin. Saamme siis yhtälön v(t) F u (t)/c, jonka voimme (unohtaen likiarvoisuuden) kirjoittaa muotoon F u (t) = Cv(t). (11) Jos olisimmekin olettaneet, että vastusvoimaa kuvaava kerroin C on mitättömän pieni (tai jopa C = 0), olisimmekin saaneet tutun yhtälön (tässä siis F u tarkoittaa kappaleeseen vaikuttavia ulkoisia voimia poislukien väliaineen vastuksen tai kitkan): F u (t) = ma(t). (12) Vertaile näitä kahta liikeyhtälöä seuraavissa tapauksissa. Millä tavoin kappale putoaa painovoiman vaikutuksesta, kun F u on vakio? Mitä tapahtuu kappaleelle, joka heitetään ylöspäin? Jos kaksi samanmassaista kappaletta pudotetaan yhtä aikaa samalta korkeudelta, putoaako toinen nopeammin? Jos kyllä, missä tilanteessa molemmat putoavat yhtä nopeasti? Näyttää siltä, että jos kappale noudattaa liikeyhtälöä (11), sen liike-energian ja potentiaalienergian summa (siis kokonaisenergia) ei olekaan vakio. Keksi esimerkkitilanne, jossa näin käy. Miksi energia ei näytä säilyvän? (d) Liikevastus voi olla edellä kuvatun kaltainen muutenkin kuin nesteissä. Myös ilmanvastus ja kitka voivat toimia kuvatulla tavalla. Jos vastusvoima riippuukin nopeudesta jotenkin toisin, esimerkiksi yhtälön F v = K v v mukaisesti, muuttuu liikeyhtälö (11) hieman, mutta oleellinen tulos on sama: voima aiheuttaa nopeuden, ei kiihtyvyyttä 6. Keksi kaksi esimerkkiä arkisista tilanteista, joissa liikeyhtälö (11) (tai jokin sen kaltainen yhtälö) kuvaa tilannetta paremmin, ja toiset kaksi, joissa liikeyhtälö (12) on sopivampi. Keksi vielä kaksi sellaista tilannetta, jossa kumpikin on huono. Jos tuntuu tarpeelliselta, voit jaotella kappaleeseen vaikuttavat voimat ulkoiseen ja vastusvoimaan F u ja F v haluamallasi tavalla. Voit tutkia myös useampiulotteista liikettä; tällöin yllä esitetyt liikeyhtälöt tulevat muotoihinn F u (t) = C v(t) ja F u (t) = m a(t), kuten voi odottaa. Tehtävä 4. Mene osoitteeseen Sieltä löytyy olympivalmennuksen fysiikkaan sisältyvää materiaalia, joka on suunniteltu fysiikkaolympialaisiin valmistautuville sekä muuten fysiikasta kiinnostuneille lukiolaisille. Etsi sieltä moniste nimeltä Klassista mekaniikkaa. Etusivulla pitäisi lukea versionumerona 3. Tämän tehtävän kohdat liittyvät kyseiseen materiaaliin. (Matemaattisten menetelmien materiaalista voi olla apua, jos käytössä oleva matemaattinen koneisto ei ole tuttua.) (a) Lue Newtonin toista lakia koskeva kappale (ja sitä edeltävät osat, jos merkinnät tai kielenkäyttö tuntuvat vierailta). Lukemasi perusteella vastaa seuraaviin lyhyisiin kysymyksiin: Avaruusalus liikkuu tyhjässä avaruudessa. Voimme pitää liikettä yksiulotteisena, joten paikkaa, nopeutta ja kiihtyvyyttä ei tarvitse pitää vektoreina. Aluksen massa hetkellä t on m(t) = M At, missä M on alkumassa ja A on polttoaineen kulutusnopeutta kuvaava positiivinen vakio. Aluksen nopeus on v(t) = u ln (1 AM ) t, (13) 6 Tässä tilanteessa saamme vastaavin oletuksin F u (t) = K v(t) v(t). 5/6

6 missä u > 0 on polttoaineen pakonopeus. 7 Mikä on rakettiin hetkellä t kohdistuva voima kokonaisvoima F (t)? Kuinka suuri voima on hetkellä t = M A (1 e 2 )? Vaikuttaako tulos odotetulta tai järkevältä? 8 (b) Lue pyörimiskinematiikkaa koskeva luku ja tee harjoitustehtävät HT 2.23 ja HT 2.26 sen lopusta. (c) Kyseinen moniste on tarkoitettu lukiolaiselle fysiikan syventäväksi oppimateriaaliksi. Lue monistetta ja anna palautetta vastaamalla seuraaviin kysymyksiin: Onko asiat esitetty riittävän selkeästi? Löytyykö monisteesta kiinnostavaa luettavaa? Mistä asioista klassisessa mekaniikassa haluaisit tietää enemmän kuin mitä monisteessa kerrotaan? 9 Onko tekstissä virheitä tai huonosti selitettyjä kohtia? Mitä mieltä yleisesti olet monisteesta? 7 Syytä tähän yhtälöön on selvitetty mm. viime ja tämän vuoden avoimen sarjan ensimmäisessä valmennuskirjeessä. Huomaa, että nyt kiihtyvyys on positiivinen, sillä v (t) > 0. 8 Tilannetta ei kannata tarkastella enää, kun t > M/A, sillä tällöin massa olisi negatiivinen. Sen sijaan kun 0 < t < M/A, on massa positiivinen ja tilanne järkevä. 9 Ota huomioon, että teos on keskeneräinen. Sisällysluettelo kertoo, mitä sinne on määrä ilmestyä. Kaikkea en ole vielä ehtinyt kirjoittaa. 6/6