LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015"

Urho Jokinen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa Laske a) b) = = 4 = 4 = 7 = 8 = = 5 44 = 44 = MATEMAATTISET LAUSEKKEET 3. Sievennä a) ab a 6ab 4 b) ( u vw 4 3. a) ab a 6ab 4 = 4a b 4 = 4a b 4 b 4 6b 4 6 = a b 8 3 b) ( u vw 4 3 = - u 6 v 3 w

2 PREPPAUSTA 05.nb 4. a) Mikä on lausekkeen abc arvo, kun a = 8, b = 5 ja c = 4. b) Sievennä lauseke ( + x)( - x) ja laske sen jälkeen sen arvo, kun x = -. a 854 abc b x x x x Sijoitetaan tähän x, jolloin saadaan 6 5. Sievennä (a - 3b + c)(-a + 3b + c) - a (6b - a). (a - 3b + c)(-a + 3b + c) - a (6b - a) = 4 a 6 ab ac 6 ba 9 b 3 bc ca 3 cb c ab 4 a = 9 b c = c 9 b 6. Sijoita lausekkeeseen x + - y x:n arvoksi a+ ja y:n arvoksi 4a. Sievennä. x + - y = a + 3 = (a+) - 4 a = a a = a a = a a - 7. Suorita laskutoimitukset ja sievennä: (x + y)(x - y) + x y - x y. x y x y x y x y x y x xy y x xy y x 4 xy y

3 PREPPAUSTA 05.nb 3 YHTÄLÖT 8. Ratkaise yhtälö x 5 - x 0 = x. x - x 5 0 = x 0 x - ( - x) = 0x x - + x = 0x - 6x = x = Ratkaise yhtälö z + z = z. Täytyy olla z 0,z0jaz 0 z 0 z z z zzz z(z + ) + z(z - ) = (z - )(z + ) z + z + z - z = z - 0 = - Tämä on ristiriita. Yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisua. 0. Ratkaise kartion tilavuuden lausekkeesta V = 3 r h säde r. Mikä on r:n lukuarvo, kun V =.5 l ja h = 5 cm. V 3 r h 3 h 3 V h r

4 PREPPAUSTA 05.nb 4 r 3V h Säde on positiivinen, joten r 3V h Lukuarvo r cm 3 5 cm 300 cm cm 9.7 cm. Kytkettäessä sarjaan n kappaletta paristoja, joiden lähdejännite on E ja sisäinen resistanssi R, yhdessä ulkoisen vastuksen (resistanssi R) kanssa on piirissä kulkeva virta I = ne R nr s. Ratkaise tästä yhtälöstä lukumäärä n. Ilmoita sen jälkeen, montako 4.5 V:n paristoa (sisäinen resistanssi R s = 0.50 ) pitäisi kytkeä sarjaan 5.0 :n vastuksen kanssa, jotta piirissä kulkeva virta olisi 4.5 A? I ne R nr s R nr s R nr s I ne RI nr s I ne RI ne nr s I RI E R s I n : R nr s n RI E R s I Lukuarvo n A 4.5 V A.5 V.5 V 0

5 PREPPAUSTA 05.nb 5. Köydellä, jonka pituus on 50 m, rajataan EU-direktiivien mukainen suorakulmion muotoinen alue opiskelijoiden jaloittelupaikaksi. Sen pinta-ala on 400 m. Mitkä ovat alueen mitat? Olkoot suorakulmion sivut x ja y. Silloin x + y = 50 m, jolloin y = 75 m - x Silloin xy = 400 m x(75 m - x) = 400 m 75 m x - x = 400 m 0 = x - 75 m x m Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla x = 75 m 75 m 4400 m 75 m 5 m = 75 m 5 m = { 40 m 35 m = Näin ollen x = 40 m, jolloin y = 35 m. Tai x = 35 m, jolloin y = 40 m. Ratkaisut ovat symmetriset. Suorakaiteen sivut ovat siis 40 m ja 35 m. 0 x y Ratkaise yhtälöpari x 0 y x y 0 0 x 0 y 0 00 x 0 y 00 x 0 y 0 Lasketaan puolittain yhteen (vasemmat puolet ja oikeat puolet): -99x = -99 x = Sijoitetaan x = ylempään yhtälöön, jolloin saadaan ratkaistuksi y:

6 PREPPAUSTA 05.nb y = 0 y = 0 Ratkaisu x y 0 4. Ratkaise yhtälöpari x y 3 4 x y x 4 y 3 3 x 8 y x 8 y 6 3 x 8 y x 3 y 4 4 x 3 y Lasketaan puolittain yhteen (vasemmat puolet ja oikeat puolet). Tällöin saadaan ratkaistuksi x: -9x = 6 x = - 3 Sijoitetaan x = -- 3 y: 3 3 y 4 3 y = 7 y = 7 4 ylempään yhtälöön, jolloin saadaan ratkaistuksi Ratkaisu x 3 y 7 4

7 PREPPAUSTA 05.nb 7 PROSENTTILASKENTAA 5. Erään tuotteen valmistuskustannuksista raaka-aineiden osuus on 0 % ja palkkojen osuus on 80 %. a) Jos työntekijät saavat 5 %:n palkankorotuksen, niin kuinka monta prosenttia tuotteen valmistuskustannukset kasvavat? Raaka-ainekustannusten oletetaan pysyvän vakiona. b) Jos toisaalta valmistuskustannukset halutaan pitää ennallaan palkankorotuksen jälkeen, niin montako prosenttia raaka-ainekustannusten pitää pienentyä? a) Olkoot kokonaiskustannukset 00K, jolloin palkat 4 % Palkat Raaka aine Kokonais Alku 80 K 0 K 00 K Loppu K 84 K 0 K 04 K Silloin kokonaiskustannukset kasvavat 4 % b) Palkat Raaka aine Kokonais Alku 80 K 0 K 00 K Loppu K 84 K Silloin 84K + x = 00 K x = 6 K Raaka-ainekustannukset pienenevät x 00 K 0 K 6 K 0 K 00 % = 4 K 00 % = 0 % 0 K 6. Uimahallin lipun hinta halutaan hinnoitella siten, että keskimäärin hinta on 4.4. Opiskelijat, työttömät, eläkeläiset ja lapset saavat alennusta 30 %. Kuinka paljon lipun hinnaksi pitää asettaa, jos 40 % kävijöistä on oikeutettu alennukseen? Merkitään kysyttyä lipunhintaa x:llä ja kävijämäärää 00 N:llä.

8 PREPPAUSTA 05.nb 8 Silloin 0.7 x 40 N + x 60 N = N :0N alennetut normaalit lipputulot.8 x + 6 x = x = 44 x = Insinöörikokelas Välkky pääsi kesätöihin Harmaan Huippu-urheilun Laboratorioon (HaHuLa). Suonensisäistä SISU-liuotinta käytetään vesiliuoksina EPOlla sakeutettujen verien ohentamiseen. Saatavilla oli 5 %- ja 75 %-liuosta. Välkyn tehtävänä oli sekoittaa kyseisiä liuoksia ja valmistaa 40.0 %-liuosta suomalaisten teräsmiesten käyttöön vaativissa arktisissa olosuhteissa. Välkky otti 0.0 l kanisterin 5 %-liuosta. Paljonko hänen piti lisätä tähän 75 %-liuosta saadakseen lopputulokseksi sopivaa 40.0 %-liosta? Lisättävän 75 %-liuoksen määrälle V saadaan yhtälö.5 l V = 0.40 (0.0 l + V) Yhtälön ratkaiseminen aloitetaan sulkujen poistamisella:.5 l V = 4.0 l V Seuraavaksi siirretään kaikki tuntematonta x:ää sisältävät termit samalle puolelle yhtälöä ja kaikki vakiot yhtälön toiselle puolelle. Siirrettäessä termejä yhtäsuuruusmerkin puolelta toiselle on sen etumerkkiä vaihdettava V V = 4.0 l -.5 l Yhdistetään x:t ja vakiot: 0.35 V =.5 l Tämän jälkeen voidaan x ratkaista jakamalla yhtälön molemmat puolet 0.35:llä:

9 PREPPAUSTA 05.nb 9 x.5 l l Lähtöarvojen tarkkuuden perusteella ( merkitsevää numeroa) ratkaisu on siis 4.3 l GEOMETRIA JA TRIGONOMETRIA 8. Suorakulmaisen kolmion pitempi kateetti on.0 cm ja hypotenuusa on 3.0 cm. Laske kolmin pinta-ala. 3.0 cm x.0 cm Merkitään lyhyempää kateettia x:llä. Silloin Pythagoraan lauseen perusteella x +.0 cm = 3.0 cm. Ratkaistaan tästä x = ± 3.0 cm.0 cm = ± 5.0 cm = ± 5.0 cm Vain + -merkkinen ratkaisu kelpaa eli x = 5.0 cm Kolmion pinta-ala A = kantakorkeus =.0 cm5.0 cm = 30.0 cm 9. Puolisuunnikkaan pinta-ala on 45 m ja sen korkeus.6 m. Lisäksi tiedetään kantakulmien suuruudet: 5.8 o ja 35.8 o. Määrää puolisuunnikkaan sivujen pituudet.

10 PREPPAUSTA 05.nb 0 b c h =.6 m h =.6 m d c x y a Kuvion merkinnöillä sin 35.8 o = h.6 m c = = m.5 m c sin 35.8 o sin 5.8 o = h.6 m d = = m 5.8 m d sin 5.8 o Edelleen Pythagoraan lauseen perusteella x = c h = m.6 m = m 7.5 m ja y = d h = m.6 m = m 9.6 m Tiedetään, että a b x y elia b x y. Toisaalta A a b mistäa b A h. h, a : n ja b : n ratkaisemiseksi saadaan siis yhtälöpari:

11 PREPPAUSTA 05.nb a b x y m a b A h a m m b m a 47. m b 0. m Puolisuunnikkaan sivut ovat siis 47. m, 0. m,.5 m ja 5.8 m. 0. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 7. mm ja 0.6 mm. Määritä hypotenuusaa vastaa piirretyn korkeusjanan pituus. c 7. mm h 0.6 mm. tapa: tan 7. mm 0.6 mm o Toisaalta sin h 0.6 mm h0.6 mm sin o mm 6.0 mm. tapa: Hypotenuusan pituus c 0.6 mm 7. mm mm Kolmioiden yhdenmmuotoisuudesta (vastinosien pituuksien suhde pysyy vakiona) seuraa: h 7. mm 0.6 mm c h 7. mm 0, 6 mm mm mm 6.0 mm

Samankaltaiset tiedostot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)