YHTÄLÖ JA EPÄYHTÄLÖ. Aiheet

Transkriptio

1 YHTÄLÖ JA EPÄYHTÄLÖ Aiheet Yhtälö ja sen ratkaisu Yhtälön ratkaisu lisäämällä ja vähentämällä Yhtälön ratkaisu jakamalla Yhtälön ratkaisu kertomalla Vakiokirjaimia Testaa taitosi 1 Identtiset yhtälöt Ongelmanratkaisua yhtälön avulla Toisen asteen yhtälö Epäyhtälö Testaa taitosi 2 1

2 Yhtälö ja sen ratkaisu Katso apua: urly.fi/ni 101. Päättele, mikä on muuttujalla merkityn punnuksen massa Päättele, mikä on muuttujalla merkityn punnuksen massa. 2

3 10. Onko = yhtälön ratkaisu? a) + 8 = 11 b) 2 4 = c) = Toteuttaako luku yhtälön + 4 = - 8? a) 4 b) a) Kirjoita yhtälö, jonka vasen puoli on 4 ja oikea puoli + 9. b) Millä :n arvolla a-kohdan yhtälö on tosi? 106. Päättele yhtälön ratkaisu. a) + 6 = 1 b) + = 0 c) 4 = Päättele yhtälön ratkaisu. a) - 5 = - b) - 1 = 17 c) 10 = Kirjoita yhtälö ja päättele sen ratkaisu. a) Lukujen ja 5 summa on 12. b) Kun luku kerrotaan kolmella, saadaan vastaukseksi 24. c) Lukujen ja erotus on Tutki, onko = 5 yhtälön ratkaisu. 45 a) 2 - = 2 + b) ( - 1) = c) = Päättele yhtälön ratkaisu. 2 a) 2 = 9 b) 0,5 = 4 c) = 4

4 111. Keksi yhtälö, jonka ratkaisu on = Onko yhtälö tosi vai epätosi, kun = -4? a) + 8 = b) = Päättele, millä :n arvolla lauseke saa arvon kolme Osoita, että luku on yhtälön juuri. a) = + 4 b) 12( - 1) = ( - 1) 115. Keksi yhtälö, jonka oikea puoli on ja ratkaisu on = Päättele, millä :n arvolla lausekkeet ja - 1 saavat saman arvon Millä vakion a arvolla yhtälön a + = 8 ratkaisu on = 2? 4

5 Vastaukset kg kg 10. a) kyllä b) ei c) ei 104. a) ei b) kyllä 105. a) 4 = + 9 b) = 106. a) = 7 b) = - c) = a) = 2 b) = 6 c) = a) + 5 = 12, = 7 b) = 24, = 8 c) - = a) kyllä b) ei c) ei 110. a) = 4,5 b) = 8 c) = a) epätosi b) tosi 11. = = a = Takaisin tehtäviin 5

6 Yhtälön ratkaisu lisäämällä ja vähentämällä Katso apua: urly.fi/nif 201. Ratkaise yhtälö. a) - = 9 b) - 2 = 5 c) + 4 = Ratkaise yhtälö. a) - 1 = -2 b) + = 1 c) + 7 = Ratkaise yhtälö. a) -2 + = -1 b) + 0,5 = 0,75 c) - 1, = -0, Ratkaise yhtälö. a) y - 1 = 7 b) z + 9 = 2 c) a + 2 = Ratkaise yhtälö. a) 4 = + 6 b) 7 = c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) - 1 = b) = c) =

7 207. Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Kun lukujen 4 ja tuloon lisätään luku, saadaan luku kolminkertaisena. b) Kun lukuun 10 lisätään luku kaksinkertaisena, saadaan lukujen ja 9 summa Millä :n arvolla lausekkeet ja 5-4 ovat yhtä suuret? 209. Ratkaise yhtälö. a) (4 + 2) - ( - 4) = 7 b) ( - 2) = 2( + 1) 210. Ratkaise yhtälö. a) (10-2) - (9 + ) = -1 b) 5( - 1) = 4( - 2) 211. Millä vakio t arvolla yhtälön 2 + t = - juuri on 1? 212. Millä :n arvolla binomi - 6 saa arvon -11? 21. Osoita, että = 2 on yhtälön = 0 ratkaisu. 7

8 Vastaukset 201. a) = 12 b) = 7 c) = a) = - 1 b) = -2 c) = a) = - b) = 0,25 c) = 0, a) = 8 b) z = -7 c) a = a) = 6 b) = 1 c) = a) = 6 b) = -2 c) = a) 4 + =, = - b) = + 9, = = a) = 1 b) = a) = 4 b) = t = = Takaisin tehtäviin 8

9 Yhtälön ratkaisu jakamalla Katso apua: urly.fi/nig 01. Ratkaise yhtälö. a) = 9 b) 2 = 16 c) 5 = Ratkaise yhtälö. a) 4 = -12 b) = 66 c) -2 = 6 0. Ratkaise yhtälö. a) 6 = b) 5 = 4 c) = 1,8 04. Ratkaise yhtälö. a) 0, = 0,6 b) 0,02 = -0,8 c) 0,9 = Ratkaise yhtälö. a) 2 + = 11 b) = 21 c) + 7 = Ratkaise yhtälö. a) 6y + 5 = y + 17 b) 2y - 1 = 7 c) 4y = 2y 07. Ratkaise yhtälö. a) = + 12 b) 9-2 = + 10 c) 7-4 =

10 08. Millä muuttujan arvolla lausekkeet ovat yhtä suuret? a) 5-7 ja + 5 b) ja Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Kun lukujen 4 ja tuloon lisätään luku 1, saadaan luvun 2 ja tulon sekä luvun 10 summa. b) Kun lukuun 8 lisätään luku kaksinkertaisena, saadaan lukujen 12 ja summa. 10. Ratkaise yhtälö. a) -(2-8) = 0 b) (2 + ) = Ratkaise yhtälö. a) 6 + ( - 2) = -(2 + ) b) 5( - ) - (8 + ) = Millä muuttujan arvolla lausekkeen arvo on 40? 1. Osoita, että yhtälöillä = 1 ja = on yhteinen ratkaisu. 14. Ratkaise yhtälö + 4 = 5-6. (YO k02) 15. Määritä lausekkeen arvo sillä :n arvolla, joka toteuttaa yhtälön + 1 = 0. (YO s98) 16. Millä muuttujan arvolla lausekkeet 2 + ja -( + ) saavat saman arvon? (YO s1) 10

11 Vastaukset 01. a) = b) = 8 c) = a) = - b) = 22 c) = a) = 2 4 b) = 5 c) = 0,6 04. a) = 2 b) = - 40 c) = a) = 4 b) = 4 c) = a) y = 4 b) y = 4 c) y = a) = 5 b) = 2 c) = a) = 6 b) = a) = , = 4,5 b) = 12 +, = a) = 4 b) = a) = 7 b) = = = = -2 Takaisin tehtäviin 11

12 Yhtälön ratkaisu kertomalla Katso apua: urly.fi/nih 401. Ratkaise yhtälö. a) = 5 b) 4 = 2 c) 7 = Ratkaise yhtälö. a) 10 = - b) 5 = 6 c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) 6 + = 11 b) 4-1 = 6 c) + 2 = Ratkaise yhtälö. a) 6-2 = 10 b) + 7 = 5 c) + 7 = Ratkaise yhtälö. 2 a) = 4 b) 5 = 6 c) 4 = Ratkaise yhtälö. 2 a) 5 = -4 b) 5 = c) 6 =

13 407. Ratkaise yhtälö. a) = 10 5 b) - = 8 2 c) = 408. Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Kun lukujen ja 5 osamäärään lisätään luku 2, saadaan 14. b) Kun luku kerrotaan luvulla 2 ja tulo jaetaan luvulla 7, osamääräksi saadaan Ratkaise yhtälö. a) = 5 b) - 5 = 4 c) = Ratkaise yhtälö. a) 2 - = b) 6 - = 7 c) = Ratkaise yhtälö. a) = 10 2 b) 7-1 = 10 c) 7-1 = Ratkaise yhtälö. a) + = 12 b) 2 - = 5 c) 4 + = Ratkaise yhtälö. + 1 a) = b) = c) = 5 1

14 414. Ratkaise yhtälö a) 2 + = b) - 4 = Millä a :n arvolla = on yhtälön ratkaisu? a a) - 5 = a + 4 b) 8 ( 2 - ) = 2 a k k Millä k :n arvolla yhtälön 2 = juuri on 4? 14

15 Vastaukset 401. a) = 15 b) = 8 c) = a) = -0 b) = -0 c) = a) = 48 b) = 28 c) = a) = 72 b) = 14 c) = 405. a) = 6 b) = 10 c) = a) = - 10 b) = 20 c) = a) = 25 b) = 6 c) = a) = 14, = 60 b) 7 = 6, = a) = 1 b) = 2 c) = a) = 5 b) = 7 1 c) = 411. a) = 12 b) = 14 c) = 2, a) = b) = 1 c) = a) = 11 b) = 8 c) = a) = 0 b) = a) a = -8 b) a = k = 2 Takaisin tehtäviin 15

16 Vakiokirjaimia Katso apua: urly.fi/nii 501. Ratkaise yhtälö + y = 7 a) muuttujan suhteen b) muuttujan y suhteen Ratkaise yhtälö 5a - 2b = a + 6 a) muuttujan a suhteen b) muuttujan b suhteen. 50. Suunnikkaan pinta-ala A saadaan kertomalla suunnikkaan kanta a ja korkeus h eli A = a h. a) Ratkaise yhtälöstä h. b) Suunnikkaan pinta-ala on 72 cm 2 ja kanta 9 cm. Laske suunnikkaan korkeus a-kohdan yhtälön avulla. ah 504. Kolmion pinta-ala lasketaan yhtälöstä A = 2, missä A on pinta-ala, a on kanta ja h on korkeus. a) Ratkaise yhtälöstä korkeus h. b) Kolmion pinta-ala on 15 cm 2 ja kanta 6 cm. Laske kolmion korkeus a-kohdan yhtälön avulla Ratkaise yhtälöstä. a) + a = b b) = 6y c) 2 = 4y - 8z 16

17 506. Ratkaise yhtälöstä. a) -4y = b) -y + = z - y c) b - a = 4a 507. Ratkaise yhtälö suluissa olevan muuttujan suhteen. a) F = ma (a) b) E = mgh (h) c) U = RI (R) 508. Ratkaise yhtälö suluissa olevan muuttujan suhteen. a) V = Ah (h) b) E = mc 2 (m) c) A = a + b 2 h (a) 1 + b 1 = f Reaaliluvut a, b ja f toteuttavat yhtälön a. Mikä on b :n arvo, kun a = 5 ja f = 11? (YO k96) 17

18 Vastaukset 501. a) = -y + 7 b) y = a) a = b + b) b = a - A 50. a) h = a b) 8 cm 2A 504. a) h = a b) 5 cm 505. a) = -a + b b) = 2y c) = 2y - 4z 506. a) = -y - b) = z 5A c) = b F 507. a) a = m b) h = E mg U c) R = I V 508. a) h = A b) m = E 2A c 2 c) a = h - b b = Takaisin tehtäviin 18

19 Testaa taitosi 1 Tee testi: urly.fi/nio 19

20 Identtiset yhtälöt Katso apua: urly.fi/nij 601. Ratkaise yhtälö. a) = b) + 5 = Ratkaise yhtälö. a) - 15 = + 6 b) - 5 = Ratkaise yhtälö. a) = b) - 5 = Keksi yhtälö, jolla a) ei ole yhtään ratkaisua b) on äärettömän monta ratkaisua c) on yksi ratkaisu = Ratkaise yhtälö. a) 6( - 1) = 2( + 2) b) 2( - 5) = ( - 1) 606. Ratkaise yhtälö. a) 2( - 1) + = - 2 b) ( - 4) - = 2( - 1) ( + 6) 20

21 607. Millä a:n arvolla yhtälöllä a + 7 = 9 on äärettömän monta ratkaisua? 608. Millä b:n arvolla yhtälöllä b = 4 ei ole ratkaisua? 21

22 Vastaukset 601. a) ei ratkaisua b) Kaikki reaaliluvut toteuttavat yhtälön a) ei ratkaisua b) = a) Kaikki reaaliluvut toteuttavat yhtälön. b) = a) ei ratkaisua b) = a) Kaikki reaaliluvut toteuttavat yhtälön. b) ei ratkaisua 607. a = b = 5 Takaisin tehtäviin 22

23 Ongelmanratkaisua yhtälön avulla Katso apua: urly.fi/nik Ratkaise seuraavat tehtävät yhtälön avulla a) Kun luvusta vähennetään 7, saadaan 7. Mikä on kysytty luku? b) Mihin lukuun on lisättävä 14, jotta tulokseksi saadaan -8? 702. a) Mikä luku on kerrottava kuudella, jotta saadaan tulokseksi kolme? b) Mikä luku on jaettava kahdeksalla, jotta saadaan tulokseksi 12? 70. Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Lukujen ja 5 summa on 16. b) Lukujen ja 7 erotus on Muodosta ja ratkaise yhtälö. a) Lukujen ja tulo on 21. b) Lukujen ja 4 osamäärä on Emmalla ja Siirillä on yhteensä 27. Emmalla on 5 vähemmän kuin Siirillä. Kuinka paljon rahaa kummallakin on? 706. Manu ja Veeti jakoivat 200 keskenään siten, että Manu sai 80 enemmän kuin Veeti. Kuinka paljon kumpikin sai? 2

24 707. Helsingin Lokit on pelannut Korisliigassa 1 ottelua. Tappioita on kolme enemmän kuin voittoja. Kuinka monta ottelua Lokit on voittanut? 708. Eetu on 8 vuotta vanhempi kuin Milka. Heidän yhteenlaskettu ikänsä on 6 vuotta. Kuinka vanha Eetu on? 709. Kahvi ja pulla maksavat 8E-luokan pitämässä kahviossa yhteensä. Pulla maksaa kaksi kertaa niin paljon kuin kahvi. Kuinka paljon pulla maksaa? 710. Niilo osti uuden kilpapyörän ja pyöräilykypärän, jotka maksoivat yhteensä Pyörä oli 1050 kalliimpi kuin kypärä. Kuinka paljon pyörä maksoi? 711. Elmon ostaman pingismailan ja pallotuubin hinta oli yhteensä 68. Pallotuubin hinta oli seitsemäsosa mailan hinnasta. Minkä hintaisia maila ja pallotuubi olivat? 712. Aikuisten elokuvalippu on kalliimpi kuin lastenlippu. Jimi meni isänsä kanssa elokuviin. Liput maksoivat yhteensä 18. Mikä oli lastenlipun hinta? 71. Poptähti Justus Piiparin konsertin lippua myytiin hetkessä loppuun. Istumapaikkoja oli enemmän kuin seisomapaikkoja. Kuinka monta istumapaikkaa areenalla oli? 714. Salibandyjoukkue Kynäilijät teki kolme maalia enemmän kuin vastustaja Tykkimiehet. Pelissä verkko heilui yhteensä 15 kertaa. Mikä oli pelin lopputulos? 715. Virvoitusjuomapullo ja sen sisältö maksavat. Sisältö maksaa 2 enemmän kuin pullo. Kuinka paljon pelkkä pullo maksaa? 24

25 716. Vili, Roope ja Kassu olivat ongella. He saivat yhteensä 128 ahventa. Vili sai kaksi kertaa niin paljon kaloja kuin Roope, joka sai 8 kalaa vähemmän kuin Kassu. Kuinka monta kalaa kukin sai? 717. Siskokset Janna, Hanna ja Sanni saivat palkkaa lumitöistä tekemänsä työmäärän mukaisesti yhteensä 27. Sanni sai yhden euron enemmän kuin Hanna, ja Janna sai kaksi kertaa niin paljon kuin Sanni. Kuinka paljon kukin sai? 718. Kun paidan hinta joulun jälkeen kolminkertaistui, oli hinnankorotus 40. Mikä oli paidan alkuperäinen hinta jouluna? 719. Jalkapallojoukkue FC Parsaloona pelasi kauden aikana ottelua. Voittoja kertyi 18 enemmän kuin tappioita. Tasapelejä joukkue pelasi 9. Kuinka monta ottelua FC Parsaloona voitti? 720. Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 171. Mikä on suurin luvuista? 721. Kolmen peräkkäisen parillisen luvun summa on 168. Mitkä luvut ovat kyseessä? 722. Ada on 6 vuoden kuluttua kaksi kertaa niin vanha kuin 11 vuotta sitten. Kuinka vanha Ada on tällä hetkellä? 72. Neela on vuoden kuluttua kaksi kertaa niin vanha kuin vuosi sitten. Minkä ikäinen Neela on nyt? 724. Auton vuokraus maksoi 19 vuorokaudelta ja lisäksi 0,20 ajokilometriltä. Laske ajetun matkan pituus, kun kahden vuorokauden matkasta jouduttiin maksamaan Maanviljelijällä on kanoja ja lampaita yhteensä 490 kappaletta. Montako kanaa ja montako lammasta maanviljelijällä on, kun jalkoja eläimillä on yhteensä 1140? 25

26 726. Tasakylkisen kolmion huippukulma on kolme kertaa niin suuri kuin kantakulma. Laske kolmion kulmat Jalkapallokenttä on suorakulmion muotoinen. Kentän piiri on 46 m. Laske kentän pituus ja leveys, kun kentän pituus on 7 m pidempi kuin leveys Nealla ja Jatalla on kesätyö hevostallilla. Nean tuntipalkka on 2 suurempi kuin Jatan. Kun kumpikin on työskennellyt 7 tuntia, he ovat ansainneet yhteensä 154. Laske tyttöjen tuntipalkat Parkkipaikan autoissa ja mopoissa on yhteensä 540 rengasta. Mopoja on neljäsosa autojen määrästä. Laske mopojen määrä. 70. Grillibileisiin varataan jokaiselle vieraalle yksi maissi, kaksi kanapihviä ja kolme makkaraa. Kuinka monta vierasta juhliin on tulossa, kun maisseja, kanapihvejä ja makkaroita on yhteensä 180 kpl? 71. Kaksinumeroisen luvun ensimmäinen numero on 5. Kun luvun numeroiden paikkaa vaihdetaan, saadaan luku, joka on 27 suurempi kuin alkuperäinen luku. Mikä on alkuperäinen luku? 26

27 Vastaukset 701. a) 110 b) a) 0,5 b) a) + 5 = 16, = 11 b) - 7 = 14, = a) = 21, =7 b) 4 = -6, = Emma 11 ja Siiri Manu 140 ja Veeti ottelua vuotta maila 59,50 ja pallotuubi 8, , istumapaikkaa 714. Kynäilijät voitti , Vili 60 ahventa, Roope 0 ahventa ja Kassu 8 ahventa Janna 14, Hanna 6 ja Sanni ottelua , 56 ja v. 72. v km kanaa ja 80 lammasta 726. huippukulma 108 o ja kantakulmat 6 o 727. pituus 105 m ja leveys 68 m 728. Nea 12 /h ja Jatta 10 /h mopoa vierasta Takaisin tehtäviin 27

28 Toisen asteen yhtälö Katso apua: urly.fi/nil 801. Ratkaise yhtälö. a) 2 = 25 b) 2 = 9 c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) 2 = 4 b) 2 = 81 c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) 2 = 100 b) 2 = 1 c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) 2 = -6 b) 2 = 7 c) 2 = 0, Ratkaise yhtälö. a) 2 = 12 b) 2 = 0,04 c) 2 = Ratkaise yhtälö. a) 2-49 = 0 b) 2-1 = 0 c) 2 - = Ratkaise yhtälö. a) 4 2 = 16 b) 2 2 = 18 c) = 28

29 808. Luvun neliö on 64. Mikä luku on kyseessä? 809. Mikä on neliön sivun pituus, jos neljän samanlaisen neliön pinta-ala on yhteensä 16 m 2? 810. Ratkaise yhtälö. a) 2-48 = 0 b) = 0 c) 2-27 = Ratkaise yhtälö. a) = 0 b) = 8 2 c) = Ratkaise yhtälö. a) 2( 2-1) = 0 b) 2( 2 + 4) = 24 c) 5(1-2 ) + = Millä vakion a arvoilla yhtälöllä on ratkaisu? a) 2 = a b) 2 = a Muotoa a 2 + b + c = 0 olevan toisen asteen yhtälön yleinen ratkaisu on 2 b ± b 4ac = 2a. Ratkaise yhtälöt. a) = 0 b) = 0 c) =

30 Vastaukset 801. a) = ± 5 b) = ± c) = ± a) = ± 2 b) = ± 9 c) = ± a) = ± 10 b) = ± 1 c) = ± a) ei ratkaisua b) = ± 7 c) = ± 0, a) = ± 12 b) = ± 0,2 1 c) = ± 806. a) = ± 7 b) = ± 1 c) = ± a) = ± 2 b) = ± c) ei ratkaisua m 810. a) = ± 4 b) = ± 2 c) = ± 811. a) = ± 10 b) = ± 5 c) = ± a) = ± 4 b) = ± 4 c) ei ratkaisua 81. a) a 0 b) a voi olla mikä tahansa reaaliluku 814. a) = 1 tai = -2 b) = c) ei ratkaisua Takaisin tehtäviin 0

31 Epäyhtälö Katso apua: urly.fi/nim 901. Onko epäyhtälö tosi vai epätosi? a) 2 < 5 b) - > -1 c) Kirjoita kaikki kokonaisluvut, jotka toteuttavat molemmat epäyhtälöt. a) > 4 ja < 8 b) 12 ja 15 c) > 7 ja < Kirjoita kaikki kokonaisluvut, jotka toteuttavat molemmat epäyhtälöt. a) > -4 ja < -1 b) -15 ja -12 c) > -2 ja Ratkaise epäyhtälö. a) + > 9 b) c) - 5 < Ratkaise epäyhtälö. a) 5 15 b) 4 < - 6 c) Ratkaise epäyhtälö. a) b) 2 - > c) 9-2 <

32 907. Ratkaise epäyhtälö. a) + 1 < + 7 b) 5 > c) < Ratkaise epäyhtälö. a) + (2-4) > 8 b) 4( - 1) < Ratkaise epäyhtälö. a) 2(5 + 1) ( + 2) b) - < - (10 + ) 910. Millä muuttujan arvoilla lauseke saa positiivisia arvoja? 1 a) b) - 4 c) d) Millä muuttujan arvoilla lauseke saa negatiivisia arvoja? a) -5 b) 7 c) + 9 d) Ratkaise päättelemällä. a) 2 < 1 b) 2-4 > 0 c) < Ratkaise epäyhtälö ( + 4 ) < 5 ( - 4 ). (YO k95) 2

33 Vastaukset 901. a) tosi b) epätosi c) epätosi 902. a) 5, 6 ja 7 b) 12, 1, 14 ja 15 c) ei ole 90. a) - ja -2 b) ei ole c) -1, 0 ja a) > 6 b) - c) < a) b) < -2 c) a) -2 b) < -4 c) < a) < b) > 0 c) < a) > 4 7 b) < 909. a) 4 b) > 910 a) > 0 b) > 4 c) < d) < a) > 0 b) < 0 c) < d) < 0, a) -1 < < 1 b) -2 < < 2 c) -4 < < < Takaisin tehtäviin

34 Testaa taitosi 2 Tee testi: urly.fi/nin 4