± r = 1e 2 2 ±
|
|
- Jarmo Laaksonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 SMG- Piirianalyysi II Ehdotuset harjoitusen asi rataisuisi 3 (a) d y ( t) dy ( t) 7 4 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) + 4r + 7 / 4 = KY ± r = / 4 e rt + 4 e rt + 7 / 4 e rt = : e rt r = / r = 7 / Kosa arateristinen yhtälö (KY) on astetta, homogeenisen yhtälön rataisuun tulee asi erillistä termiä Ja osa KY:n juuret ovat reaalisia ja erisuuria, homogeenisen yhtälön rataisu on: ( ) ( h) r ( ) ( ) t r t e e e / t e 7 / t y t C C C C = + = + Kosa rataistava yhtälö oli homogeeninen, y(t) (h) on samalla differentiaaliyhtälön ( / ) t ( 7 / ) t y t = C e + C e yleinen rataisu, joten saadaan: ( ) (b) d y t ( ) dy ( t) r ( ) + + y t = y(t) = e rt ± 4 + r + = KY r = r e rt + re rt + e rt = : e rt r = - Kosa KY on astetta, homogeenisen yhtälön rataisuun tulee asi erillistä termiä Ja osa KY on astetta, mutta sille löytyi vain ysi juuri, juuri on moninertainen, eli tässä tapausessa asinertainen Homogeenisen yhtälön rataisu on tällöin: ( ) ( ) h rt rt t t e e e e y t = C + C t = C + C t Kosa rataistava yhtälö oli homogeeninen, y(t) (h) on samalla differentiaaliyhtälön t t y t = C e + C te yleinen rataisu, joten saadaan: ( ) 3 d y ( t) dy ( t) 5 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) ± 4 5 / 4 + r + 5/ 4 = KY r = e rt + e rt + 5/ 4 e rt = : e rt r = + j r = j Kosa KY on astetta, homogeenisen yhtälön rataisuun tulee asi erillistä termiä Ja osa KY:n juuret ovat erisuuria, homogeenisen yhtälön rataisu on: h j t j t r t + e e e e ( ) ( ) r t y t = C + C = C + C
2 Kosa rataistava yhtälö oli homogeeninen, y(t) (h) on samalla differentiaaliyhtälön yleinen rataisu, joten saadaan: ( ) + j t j t e e y t = C + C (tämä oloon lausee ) Luentomonisteen muaan rataisun pitäisi uitenin olla t t y ( t) = Ce cos t + Ce sin t (tämä oloon lausee ) Kysymys siis uuluu, miten lauseeesta saadaan lausee Ja vastaushan on Euler: ( ) j j j j e t + e t t e e t t e e t y t = C + C = C + C t = e C cos t jsin t C cos t jsin t t = e C cos t jsin t C cos t jsin t + + t = e ( C + C ) cos t + j( C C ) sin t t t t = e B cos t + B sin t = Be cos t + Be sin t Nyt siis lauseeesta () on saatu lausee () Vielä saattoi uitenin jäädä hämäräsi, misi esim j(c -C ) orvattii reaalisella vaiolla B Tarastellaan tilannetta, jossa aluehtoja sijoitetaan lauseeeseen () vaioiden C ja C rataisemisesi Tällöin äy poieusetta niin, että C ja C ovat omplesionjugaatteja Eli esimerisi C = a + jb ja C = a - jb Kun yt tarastellaan ylläolevan väännön lopputulosen ertoimia B ja B, saadaan: B = C + C = a + jb + a jb = a B = j( C C ) = j( a + jb ( a jb) ) = j b = b Täten seä B että B ovat reaaliluuja 34 Tehtävänannossa pyydetään rataisemaan jännite v(t) Käytännössä tämä taroittaa sitä, että pitäisi ensin muodostaa differentiaaliyhtälö v(t):lle ja sen jäleen rataista se Tarvittava differentiaaliyhtälö saadaan, un irjoitetaan Kirchhoffin virtalai (eli solmupisteyhtälö) tarasteltavalle ytennälle: v( t) t dv( t) + v( t) + il ( ) + C = d/ R L dv( t) d v( t ) d v( t) dv( t) + v( t) + C = :C + + v ( t) = R L RC LC Muodostettu differentiaaliyhtälö on homogeeninen, sillä sen aii nollasta poieavat termit sisältävät rataistavan muuttujan v(t) Rataistaan homogeeninen
3 yhtälö (HY) Kosa aluperäinen yhtälö on homogeeninen, HY:n rataisu on samalla yleinen rataisu: v + v v RC + LC = v(t) = e rt r e rt + 4re rt + 6 e rt = :e rt r + 4r + 6 = KY r ± j9798 KY on astetta Sisi HY:n rataisuun tulee asi erillistä termiä Kosa KY:n juurina on omplesionjugaattipari, HY:n rataisusi saadaan: v(t) D e -t cos(9798t) + D e -t sin(9798t) Vaioiden D ja D rataisemiseen tarvitaan asi aluehtoa Tiedetään, että v() = V Toinen aluehto saadaan äämin virrasta hetellä nolla äyttämällä Kirchhoffin virtalaia: i L () = 5 ma, i R () = v()/r = /R = i c () = 5 ma dv Toisaalta ondensaattorin virralle voidaan irjoittaa: ic ( ) = C, joten tästä saadaan rataistua jännitteen v(t) aiaderivaatta ajanhetellä s: 3 dv( ) ic ( ) 5 = = = 98 V/s 6 C 5 Ensimmäisestä aluehdosta saadaan: v() = D e cos() + D e sin() = D = Jotta dv/:n aluehtoa pystytään äyttämään, derivoidaan yleinen rataisu Kosa ensimmäisen aluehdon perusteella tiedetään, että D saa arvon, saadaan: dv(t)/ D e -t sin(9798t) D e -t cos(9798t) Täten toinen aluehto voidaan irjoittaa muodossa: dv()/ D e sin() D e cos() = 98 D Tehtävän oonaisrataisu on siis: v(t) e -t sin(9798t) 35 Tehtävänannossa pyydetään rataisua virralle i(t) Tämä taroittaa sitä, että piiristä pitäisi ensin pystyä muodostamaan differentiaaliyhtälö i(t):lle ja tämän jäleen rataista se Virran differentiaaliyhtälö saadaan muodostettua, un irjoitetaan ytennälle Kirchhoffin jännitelai (t ) Tällöin ytin S oiosulee vastusen R : di ( t) di ( t) R E L + Ri ( t ) = E : L + i ( t) = L L Kyseessä on epähomogeeninen differentiaaliyhtälö, sillä yhtälöstä löytyy ysi nollasta poieava termi (E/L), joa ei sisällä rataistavaa muuttujaa i(t) Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön rataiseminen alaa aina homogeenisen yhtälön (HY) rataisemisella Tehdään siis epähomogeenisesta yhtälöstä homogeeninen meritsemällä epähomogeenisuustermi nollasi (E/L = ), ja rataistaan HY: di ( t) R + i ( t ) = i(t) = e st se st + (R /L)e st = : e st L s + R /L = KY s = R /L ( ) 3
4 Karateristinen yhtälö (KY) on ensimmäistä astetta, joten homogeenisen yhtälön rataisuun tulee vain ysi termi Täten saadaan: ( ) ( ) h L i t R t = De Kosa aluperäinen differentiaaliyhtälö oli epähomogeeninen, homogeenisen yhtälön rataisu ei tässä tapausessa ole differentiaaliyhtälön yleinen rataisu Haetaan sisi aluperäisen epähomogeenisen yhtälön toteuttava ysityisrataisu Kun tämä saadaan selville, differentiaaliyhtälön yleinen rataisu on summa homogeenisesta rataisusta ja ysityisrataisusta Ysityisrataisua haetaan "sivistyneellä arvausella", joa perustuu epähomogeenisuustermin muotoon Kosa epähomogeenisuustermi on nyt vaio (E/L), eli ei riipu ajasta, oeillaan vaioyritettä ysityisrataisusi Idea siis on, että sijoitetaan vaio B epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön rataistavan muuttujan i(t) paialle Tällöin saadaan: db R E R E + B = B L L + L = L E B = R Kosa B saatiin rataistua vaiosi, eli ajasta riippumattomasi, E/R elpaa ysityisratusi i(t) (p) Täten differentiaaliyhtälön yleinen rataisu on: R i(t) = i(t) (h) + i(t) (p) t E L = De + R Vielä tarvitaan aluehto D:n rataisemiseen Tehtävänannon muaan piirin virta i(t) on vaio, un t on pienempi uin s Tällöin siis äämin yli ei ole jännitettä, joten voidaan irjoittaa: E = (R + R )i(t) i(t) = E/(R + R ) Siis juuri sillä hetellä, un ytin S lyödään iinni, i(t) saadaan yllä olevasta lauseeesta, osa äämin virta ei voi muuttua epäjatuvasti Ja ytinhän lyödään iinni ajanhetellä t =, joten saadaan: i() = De + E/R = E(R + R ) E E ER E ( R + R ) RE D = = = R + R R R R + R R R + R ( ) ( ) Differentiaaliyhtälön oonaisrataisu on siis: i(t) = R t RE L E e + R R R R ( + ) 36 Rataistava differentiaaliyhtälö on epähomogeeninen, sillä nollasta poieava termi f(t) ei sisällä rataistavaa muuttujaa y(t) Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön rataiseminen alaa aina homogeenisen yhtälön (HY) rataisemisella, joten rataistaan ensin HY, joa on sama ohdissa (a)-(d): y + 4y + 4y = y = e rt r e rt + 4re rt + 4e rt = :e rt r + 4r + 4 = KY r = 4
5 Karateristinen yhtälö (KY) on astetta, joten HY:n rataisuun tulee asi erillistä termiä KY:llä on uitenin vain ysi juuri, joten juuri on asinertainen Täten homogeenisen yhtälön rataisu on: ( ) ( ) h t t e e y t = C + C t (a) Haetaan epähomogeenisen yhtälön ysityisrataisu epähomogeenisuustermiin perustuvalla "sivistyneellä arvausella" Epähomogeenisuustermi on nyt e -t, joten oeillaan ysityisrataisusi samaa muotoa olevaa termiä mahdollisimman yleisessä muodossa Koeillaan siis termiä Ae -t, jossa A on vaio Kun yseinen termi sijoitetaan epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön rataistavan muuttujan y(t) paialle, saadaan: t t t Ae 4Ae + 4Ae t = e :e -t A 4A + 4A = A = Kertoimen A piti olla vaio, ja se saatiin rataistua vaiosi, eli ajasta riippumattomasi Sisi termi Ae -t elpaa ysityisrataisusi, joten voidaan irjoittaa: ( ) ( p) y t = e t Differentiaaliyhtälön yleinen rataisu on homogeenisen rataisun ja ysityisrataisun summa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h p t t t e e e y t = y t + y t = C + C t + (b) Haetaan epähomogeenisen yhtälön ysityisrataisu epähomogeenisuustermiin perustuvalla "sivistyneellä arvausella" Epähomogeenisuustermi on nyt 5t, eli ensimmäisen asteen polynomi t:stä, joten oeillaan ysityisrataisusi samaa muotoa olevaa termiä mahdollisimman yleisessä muodossa Koeillaan siis yleistä muotoa olevaa ensimmäisen asteen polynomia t:stä, eli termiä at + b, jossa a ja b ovat vaioita Kun yseinen termi sijoitetaan epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön rataistavan muuttujan y(t) paialle, saadaan: 4a = a + 4( at + b) = 5t 4at + 4( a + b) = 5t 4a + 4b = a = 5/ 4 y ( t) ( p) = 5 t 7 ( ) ( ) ( h) ( ) ( p) t t 5 7 y t = y t + y t = Ce + Cte + t b = 7 / (c) Haetaan epähomogeenisen yhtälön ysityisrataisu epähomogeenisuustermiin perustuvalla "sivistyneellä arvausella" Kun epähomogeenisuustermi on sin- tai costermi, uten nyt sin(t), ysityisrataisusi annattaa oeilla sinin ja cosinin summaa Tämä johtuu siitä, että sinin derivaattana saadaan cosinia ja vastaavasti cosinin derivaattana (miinus) siniä Koeillaan siis ysityisrataisusi termiä Asin(t) + Bcos(t), jossa A ja B ovat vaioita Kun yseinen termi sijoitetaan epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön rataistavan muuttujan y(t) paialle, saadaan: Asin ( t ) Bcos( t ) + 4 Acos( t ) Bsin ( t ) + 4 Asin ( t ) + B cos( t ) = sin ( t ) sin ( t )[ 4A 8B + 4A] + cos( t )[ 4B + 8A + 4B] = sin ( t ) 5
6 4 8 4 A B + A = A = 4B + 8A + 4B = B = / 8 ( ) ( p ) y t = cos ( t) ( ) ( ) ( h ) ( ) ( p ) t t y t y t y t C e = + = + C te cos( t ) (d) Huomaa, että ohdan (d) epähomogeenisuustermi on summa ohtien (a), (b) ja (c) epähomogeenisuustermeistä Täten additiivisuussäännön nojalla saadaan, että (d)- ohdan ysityisrataisu on summa ohtien (a), (b) ja (c) ysityisrataisuista: ( ) ( p) 5 7 t y t = e + t cos( t ), jolloin differentiaaliyhtälön yleinen rataisu on: ( ) ( ) ( h ) ( ) ( p ) t t t 5 7 y t = y t + y t = Ce + Cte + e + t cos( t ) Additiivisuussääntö taroittaa siis sitä, että eri epähomogeenisuustermejä vastaavat ysityisrataisut voidaan haea eriseen, ja oonaisysityisrataisu on osaysityisrataisujen summa 38 Tehtävänannon perusteella ytennästä pitäisi rataista jännite y(t), un järjestelmän sisäänmenona on lähdevirta i(t) Ensin pitää siis saada aiaisesi differentiaaliyhtälö y(t):n ja i(t):n välille Kyseinen yhtälö saadaan muodostettua Kirchhoffin virtalain avulla: y ( t ) i ( t ) = ic ( t ) + ir ( t ) = Cy ( t) + y ( t) + y( t) = i( t) R RC C Muodostettu differentiaaliyhtälö on epähomogeeninen, sillä siitä löytyy ysi nollasta poieava termi (i(t)/c), joa ei sisällä rataistavaa muuttujaa y(t) Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön rataiseminen alaa aina homogeenisen yhtälön (HY) rataisemisella, joten rataistaan ensin HY sijoittamalla nolla epähomogeenisuustermin paialle: y ( t ) + y ( t) = y(t) = e rt rt rt re + e = :e rt r + = KY RC RC RC r = = RC Kosa KY on ensimmäistä astetta astetta, HY:n rataisuun tulee vain ysi termi: y(t) (h) = Ae -t Aluperäinen yhtälö on epähomogeeninen, joten haetaan seuraavasi epähomogeenisen yhtälön toteuttava ysityisrataisu epähomogeenisuustermiin e t sin(t)/c perustuvalla "sivistyneellä arvausella" Kosa epähomogeenisuustermi on sinin ja esponenttitermin tulo, oeillaan yritettä A e -t sin(t) + A e -t cos(t), jossa A ja A ovat vaioita: t t t t A e sin t + A e cos t A e cos t A e sin t + ( ) ( ) ( ) ( ) t t t A e sin t Ae cos t e sin t RC C 8 ( ) + ( ) = ( ) 8 6
7 A A RC RC C A A A = RC C A = p y t = e A A = + A A = RC t t t A A e sin ( t) + + A A e cos( t) = e sin ( t) ( ) ( ) t cos( t) Termien A ja A piti olla vaioita, ja vaioisi ne saatiin rataistua, joten yritetty termi elpaa ysityisrataisusi Kosa seä homogeenisen yhtälön rataisu että ysityisrataisu ovat nyt tiedossa, differentiaaliyhtälön yleinen rataisu on: y(t) = y(t) (h) + y(t) (p) = Ae -t - e -t cos(t) Vielä tarvitaan aluehto yleisen rataisun vaion A rataisemisesi Ulostulo y(t) = V, un t <, osa tällöin i(t) = A Ja vaia ondensaattorin levyjen välillä olisi join nollasta poieava jännite aiojen alussa ollutin, se olisi joa tapausessa purautunut vastusen R autta Täten saadaan: y() = Ae - = A =, joten oonaisrataisu on: y(t) = e -t - e -t cos(t), t 39 Kosa tässä tehtävässä tarastellaan sama järjestelmää uin tehtävässä 38, myös järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö on sama Tehtävän 38 perusteella järjestelmää uvaavasi differentiaaliyhtälösi saadaan: y ( t) + y( t) = i( t) RC C Tehtävänä on muodostaa impulssivaste yseiselle järjestelmälle Impulssivaste on taroittaa järjestelmän ulostuloa, un sisäänmenosi syötetään impulssi Sisi impulssivaste saadaan määritettyä järjestelmää uvaavasta differentiaaliyhtälöstä siten, että sijoitetaan sisäänmenosi i(t) impulssi δ(t) ja ulostulosi y(t) impulssivaste h(t): h ( t) + h( t) = δ( t) RC C h ( t ) + h ( t ) = δ( t ) Jatuva-aiaisten järjestelmien impulssivaste rataistaan aina siten, että tarastellaan järjestelmää, un t on suurempi uin s Tällöin rataistavasi tulee aina homogeeninen differentiaaliyhtälö, sillä impulssi δ(t) saa nollasta poieavan arvon vain t:n arvolla s Sisi voidaan irjoittaa (t > ): h ( t) + h( t) = h(t) = e rt rt rt re + e = :e rt r + = KY r = Kosa arateristinen yhtälö (KY) on ensimmäistä astetta, homogeenisen yhtälön t rataisusi ja samalla impulssivasteen yleisesi rataisusi saadaan: h( t ) = Ce Huomaa, että impulssivasteen rataisemiseen riittää aina homogeenisen yhtälön rataiseminen Ysityisrataisua ei tarvita osaan, sillä tarasteltavasta differentiaaliyhtälöstä tulee aina homogeeninen, un tilannetta tarastellaan positiivisilla ajanhetillä 7
8 Vielä tarvitaan aluehto C:n määrittämiseen Jatuva-aiaisten järjestelmien impulssivasteen tapausessa aluehdot saadaan aluperäisen differentiaaliyhtälön impulssin ertoimen perusteella, unhan impulssivasteen oreimman derivaattatermin erroin on ysi Aluperäinen differentiaaliyhtälö, josta impulssivastetta alettiin rataista, on nyt siis h ( t) + h( t) = δ( t) Impulssivasteen oreimman derivaattatermin ( astetta) erroin on ysi, joten aluehdot määräytyvät impulssin ertoimen ertoimen perusteella, joa nyt on Aluehdot saadaan siten, että un aluperäinen differentiaaliyhtälö on n:ttä astetta, impulssivasteen n :s derivaattatermi saa arvon ajanhetellä s, ja aiien muiden impulssivasteen derivaattatermien arvo on nolla Kosa differentiaaliyhtälön aste n on nyt ysi, n :s derivaattatermi taroittaa nollannen asteen derivaattaa, eli impulssivastetta h(t) Ja tämän termin arvon ajanhetellä s on nyt siis Täten saadaan: h = Ce = C = ( ) Nyt impulssivasteen lausee voidaan irjoittaa muodossa ( ) t h t = e 3 Jatuva-aiajärjestelmien tilamuuttujaesitysen idea on pudottaa oreampaa astetta oleva differentiaaliyhtälö useasi ensimmäistä astetta olevasi differentiaaliyhtälösi Jos aluperäinen differentiaaliyhtälö on esimerisi toista astetta (eli jos sen orein derivaattatermi on toista astetta), tarvitaan asi tilamuuttujaa, jotta yhtälö saadaan palautettua ahdesi ensimmäistä ertaluoaa olevasi differentiaaliyhtälösi Jatuva-aiajärjestelmien tilamuuttujaesitys on: x ( t) = Ax( t) + Bu( t), y ( t) = Cx( t) + Du ( t) jossa x edustaa tilamuuttujia, u järjestelmän sisäänmenoa, ja y järjestelmän ulostuloa Matriisit A, B, C ja D ovat ns tilamuuttujamatriiseja Kosa jatuva-aiaisten järjestelmien tilamuuttujaesitysessä esiintyy ylemmän yhtälön vasemmalla puolella tilamuuttujavetorin x aiaderivaatta, sähöpiiritehtävissä tilamuuttujisi annattaa valita ondensaattorin jännite v C ja äämin virta i L Tämä johtuu siitä, että ondensaattorin virta saadaan apasitanssin ja v C :n aiaderivaatan tulona, ja vastaavasti äämin jännite saadaan indutanssin ja i L :n aiaderivaatan tulona Tehtävän rataisu alaa tilamuuttujien valinnalla Oloon tilamuuttuja x (t) ondensaattorin jännite ja tilamuuttuja x (t) äämin virta Kondensaattorin virtajännite-yhtälön perusteella voidaan nyt irjoittaa: i ( t) = Cv C ( t) v C ( t) = i ( t) x ( t) = x ( t) C C Tilamuuttujaesitysen ylemmässä yhtälössä ilmaistaan tilamuuttujien aiaderivaatat tilamuuttujien ja sisäänmenon avulla Yllä olevassa lauseeessa on tehty juuri näin, eli ilmaistu x (t):n aiaderivaatta on lausuttu tilamuuttujien x (t) ja x (t) seä 8
9 sisäänmenon v(t) avulla Tässä tapausessa äy niin, että x (t):n aiaderivaatta ei riipu x (t):stä eiä sisäänmenosta, mistä seuraa nollia alioisi tilamatriiseihin Joa tapausessa ondensaattorin virta-jännite-yhtälöstä saadaan tilamuuttujaesitysen ylemmän yhtälön ensimmäinen yhtälö Vielä tarvitaan tilamuuttujaesitysen ylemmän yhtälön muainen lausee tilamuuttujan x (t) aiaderivaatalle Kosa yseinen tilamuuttuja on äämin virta, ja osa äämin yli olevan jännitteen lauseeessa esiintyy virran aiaderivaatta, lähdetään irjoittamaan piirille Kirchhoffin jännitelain muaista lauseetta Tällöin saadaan: Li t + Ri t + v t = v t Lx t + Rx t + x t = v t :L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C R L L L x ( t) = x ( t) x ( t ) + v( t) Yllä olevassa lauseeessa on lausuttu x (t):n aiaderivaatta tilamuuttujien ja sisäänmenon avulla Täten tilamuuttujaesitysen ylempään yhtälöön tarvittavat asi yhtälöä on nyt muodostettu Tilamuuttujaesitysen alempaa yhtälöä varten tarvitaan ulostulo tilamuuttujien ja sisäänmenon avulla lausuttuna Kosa ulostulo on vastusen yli oleva jännite, saadaan: v t Ri t y t = Rx t R ( ) = ( ) ( ) ( ) Nyt ulostuloin on lausuttu tilamuuttujien ja sisäänmenon avulla, joten tilamuuttujaesitys saadaan irjoitettua muodossa: x ( t) / C x ( t) x ( t ) = v( t) x ( t + ) / L R / L x ( t ) / L, y ( t) = [ R] + [ ] v( t ) x ( t) A B C D Lisäsi ysyttiin, ono järjestelmä stabiili Stabiilisuutta saadaan tarasteltua tilamatriisin A:n ominaisarvojen perusteella Kun annetut luuarvot (R = Ω, C = nf, L = mh) sijoitetaan paialleen, ominaisarvoisi saadaan: / C λ λ / C A λ I = = / L R / L λ = / L R / L λ λ ( R / L + λ ) + / ( LC) = λ + R L λ + LC = λ = Jatuva-aiainen järjestelmä on stabiili, jos tilamatriisin A aii ominaisarvot ovat reaaliosaltaan negatiivisia Nyt ehto toteutuu, joten järjestelmä on stabiili Tilamatriisin A ominaisarvot vastaavat järjestelmää uvaavan differentiaaliyhtälön arateristisen yhtälön juuria, aivan uten oli disreettipuolellain Täten järjestelmän homogeenisen yhtälön (HY) rataisu on muotoa: ( ) ( h) 6 6 t e e y t C C t t = + Tuosta HY:n rataisusta pystytään myös päättelemään jatuva-aiaisten järjestelmien stabiilisuusehto Järjestelmä on stabiili, jos y(t) (h), un t Jotta yseinen ehto toteutuu yllä olevalle y(t) (h) :lle, arateristisen yhtälön juurien on oltava reaaliosaltaan 9
10 negatiivisia, jolloin e-termit pienenevät t:n asvaessa Stabiilisuusehto osee vain KY:n juurien reaaliosia, sillä KY:n juurien imaginääriosathan tuovat rataisuun pelästään sin- ja cos-termejä, joilla ei ole mitään teemistä stabiilisuuden anssa 3 Rataistaan tehtävä solmupistemenetelmällä Ensin on siis selvitettävä, uina monta erisuurta potentiaalia ytennästä löytyy Huomataan, että erisuuria potentiaaleja on olme appaletta (ysi alareunassa, ysi vasemmassa yläulmassa, ja ysi oieassa yläulmassa) Täten ytennässä on olme solmupistettä Tämän jäleen ysi näistä solmupisteistä valitaan referenssipotentiaalisi, jona arvosi iinnitetään V Nyt referenssipotentiaali on valittu ytennän alareunaan Jäljelle jää siis asi tuntematonta potentiaalia Kun ytennän vasempaan yläreunaan valitaan potentiaali V ja oieaan yläreunaan V, solmupisteyhtälöt voidaan irjoittaa muodossa: U V V e + = I V R e + ( V V ) = () U = V - V V V V 6V V () + + = I = R R R + V V + V () V =, sij ():een e + V = V 3e 3 + 6V V = 3 Huomaa, että muodostettu yhtälö ei ratea normaalin yhtälönrataisun einoin, eli yhtälölle ei löydetä analyyttistä rataisua Sisi tehtävä on rataistava liimääräisesti eli numeerisesti Newton-Raphson-algoritmi on yleisesti äytetty menetelmä epälineaaristen yhtälöiden rataisemiseen Jotta N-R-algoritmia voidaan äyttää, f V = Tämä onnistuu helposti, rataistava yhtälö on ensin irjoitettava muodossa ( ) un siirretään yhtälön oiealle puolella oleva olmonen vasemmalle puolelle Saadaan siis: V 3e 4V 7 f V = f ( V ) = 3e V + 4V 7 + = ( ) Nyt pyritään löytämään sellainen V :n arvo, joa toteuttaa yseisen yhtälön Tätä V :n arvoa lähdetään iteroiden haemaan Newton-Raphson-algoritmilla, joa on: V ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) f V = V f ' ( V ) V V Nyt f ( V ) = 3e + 4V 7 ja ( ) f ' V = 3e + 4 Algoritmissa esiintyvä yläindesi () taroittaa iterointiierrosta eiä siis ole esponentti Jotta saadaan selville ensimmäisen iteraatioierrosen arvo V :lle, eli V (), on arvattava join arvo termille V () Arvataan, että V () = V Tällöin V V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f V 3e = V = 76 f 3e + 4 '( V ) ( ) ( ) ( ) '( V ) f V 76 3e = V f 3e + 4 ( ) ( ) 76
11 V V ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) f V 86 3e = V 86 8 f 3e + 4 '( V ) ( 3) ( ) ( 3) '( V ) 86 f V 8 3e = V 8 8 f 3e + 4 ( 4) ( 3) 8 Jännitteet pyydettiin lasemaan ahden desimaalin taruudella, ja osa tulos pysyy iteraatioiden 3 ja 4 välillä ahden (ja jopa olmen) desimaalin taruudella muuttumattomana, tämän pidemmälle ei tarvitse iteroida + 8 Täten V 8 V ja V 933 V Vaaasuunnassa olevan 6 vastusen yli oleva jännite on V - V V Vasemmassa reunassa olevien virtalähteen ja diodin yli oleva jännite on V - 8 V Kytennän oieassa reunassa olevien vastusten ja virtalähteen yli oleva jännite on V - 9 V Jännitteen plusnapa on omponenttien yläreunassa 4 Nyt siirrytään jatuva-aiaisten järjestelmien puolelta taaisin disreettiaiaisiin järjestelmiin Aletaan tarastella Z-muunnosta, joa on vaihtoehtoinen tapa differenssiyhtälöiden rataisemiseen Lähdetään liieelle Z-muunnosen määritelmästä Määritelmän muaan termin y ( ) Z-muunnos Y(Z) on: Z y = Y z = y z { } ( ) = (a) Määritelmään perustuen vaion a Z-muunnos voidaan siis irjoittaa muodossa: z a Z{ a} = az = a z = a = = = z z Yllä olevan lausee saadaan siis siten, että geometrinen sarja, jossa summattavana on z, irjoitetaan suppenevan geometrisen sarjan summasi Kyseinen summa saadaan, un summan termi jaetaan yösen ja sarjan suhdeluvun erotusella, eli: summan termi z irjoitetaan muodossa = sarjan suhdeluu (b) z 3 Z z z = = = = 3 = 3 = 3 z z 3 3
12 (c) Kohdissa (c) ja (d) ideana on lausua x +3 :n ja x 3 :n Z-muunnos x :n Z-muunnosen avulla Z (d) Z { } + m ( ) x = x z = z x z = z x z = z X z z x zx x m = = m= 3 { } m ( ) x = x z = z x z = z x z = z X z + z x + z x + z x m 3 = = m= 3 (e) Tässä haetaan disreetin impulssin δ Z-muunnos { } z z z z z z z Z δ = δ = δ + δ + δ + = = = 4 Mia Mastin luomasta hienosta tarinasta syntyy epähomogeeninen differenssiyhtälö: l + = 95l 5, jossa l on amelin vesimäärä litroissa ja uvaa tunteja Tarasteltava differenssiyhtälö on epähomogeeninen, sillä rataistava muuttuja on l, ja yhtälössä on ysi nollasta poieava termi ( 5), joa ei sisällä rataistavaa muuttujaa Rataistavana on siis epähomogeeninen differenssiyhtälö: l 95l = + 5 Rataistaan ensin homogeeninen yhtälö, eli meritään epähomogeenisuustermi nollasi: l 95l = + l = r r + 95r = :r r 95 = KY r = 95 l ( h) = C 95 Kosa arateristinen yhtälö (KY) oli ensimmäistä astetta, homogeenisen yhtälön rataisuun tuli vain ysi termi Kosa aluperäinen differenssiyhtälö oli epähomogeeninen, haetaan sitten epähomogeenisen yhtälön toteuttava ysityisrataisu Kosa epähomogeenisuustermi (-5) on vaio, oeillaan vaioyritettä A Sijoitetaan siis A epähomogeeniseen differenssiyhtälöön l :n paialle: A 95A = 5 A = 3 = l ( p) Kosa A saatiin rataistua vaiosi, se elpaa ysityisrataisusi Differenssiyhtälön yleinen rataisu on täten: ( h) ( p) l = l + l = C 95 3 Vielä tarvitaan aluehto vaion C määrittämiseen Jotta ameliin tanattu vesi riittää, vesimäärän on 5 tunnin jäleen oltava ei-negatiivinen 5 3 l5 = C 95 3 C l Nyt voidaan selvittää, uina paljon Roopen on alunperin ostettava vettä, eli saadaan lasettua suureen l arvo: l
13 Kosa vettä myydään vain tasalitroissa, Roopen on ostettava 35 litraa vettä 43 Rataistaan tehtävän 4 differenssiyhtälö l + = 95l 5 z-muunnosella Tämä taroittaa sitä, että ensin Z-muunnetaan differenssiyhtälön joainen termi, sen jäleen rataistaan tehtävä Z-tasossa, ja vielä lopusi haetaan äänteismuunnos taaisin aiatasoon Kun tarasteltavan differenssiyhtälön joainen termi Z-muunnetaan, saadaan: 5 z L( z) l = 95L( z) z Z-tason rataisun haeminen taroittaa sitä, että tästä yhtälöstä rataistaan nyt L(z), joa on l :n Z-muunnos Kun yllä oleva yhtälö errotaan puolittain z:lla, saadaan: 5z L( z) l = 95zL( z) z 5z l lz 5z l ( 5 + l ) z ( 95z) L( z) = l = = z z z l ( 5 + l ) z L( z) = 95z z Nyt amelin vesimäärä on rataistu Z-tasossa Jotta saadaan äänteismuunnos aiatasoon, L(z) on muoattava suppenevan geometrisen sarjan summan näöisesi Sisi L(z):lle tehdään osamurtoehitelmä l ( 5 + l ) z A B A( z) B ( 95z) L( z) = = + = + 95z z 95z z 95z z z 95z l ( 5 + l ) z A( z) + B ( 95z) = ( 95z)( z) ( 95z)( z) Yllä olevan yhtälön vasemman ja oiean puolen nimittäjät ovat samat, joten jotta yhtäsuuruus toteutuu, on osoittajienin oltava samat Kun osoittajien z:n ertoimia ja vaioertoimia verrataan eri puolilla yhtälöä, saadaan yhtälöpari A:lle ja B:lle: A + B = l B = l A 5 l ( ) 5 l = A = A 95 l A 95B 5 5l = 5A A = l + 3 B = 3 l + = 95z z ( ) 3 3 L z l ( l ) = Jälleen yhtälössä on ysi tuntematon teijä, joa saadaan selville ehdosta, että amelin vesimäärän on 5 tunnin jäleen oltava ei-negatiivinen: 5 3 l5 = ( l + 3) 95 3 l Päädytään siis samaan tuloseen uin tehtävässä 4: Roopen on ostettava 35 l vettä 3
14 48 Ysi Z-muunnosen eduista on, että aiatason onvoluutiosumma, jota äytettiin esimerisi tauluomenetelmän avulla, orvautuu Z-tasossa ertolasulla Täten voidaan irjoittaa Y(z) = H(z)U(z), jossa Y(z) on järjestelmän ulostulon Z-muunnos, H(z) on impulssivasteen Z-muunnos, ja U(z) on järjestelmän sisäänmenon Z-muunnos Tässä ysytään H(z):a, joa siis saadaan Y(z):n ja U(z):n osamääränä Z-muunnetaan ensin u ja y Z-muunnosen määritelmään perustuen: + ( ) 5 + = = = = Z { y } = Y ( z) = y z = z = z = z =, z / 5 + ( + ) = = = = Z { u } = U ( z) = u z = z = z = z = 4 z / Täten ysytysi H(z):n lauseeesi saadaan: Y ( z) / 5 z / 4 z / H ( z) = = = U z z / 5 / 4 5 z / 5 ( ) 49 Vaia tehtävänannossa viitataan tehtävään "olme", taroitus on viitata tehtävään 48 Tässä siis tarastellaan samaa järjestelmää uin tehtävässä 48 Ja osa impulssivaste ja sen Z-muunnos H(z) on järjestelmäohtainen suure, siirtofuntio H(z) voidaan ottaa suoraan tehtävästä 48 Nyt siis pitäisi selvittää, miä on tarasteltavan ( ) järjestelmän ulostulo, un sisäänmenosi u syötetään +, Muodostetaan ensin u :n Z-muunnos U(z) ja lasetaan sitten Y(z) siirtofuntion avulla 3 + ( ) 3 + = = = = Z { u } = U ( z) = u z = z = z = z = z / 3 4 z / ( 4 /5)( z / ) Y ( z) = H ( z) U ( z) = = 5 z / 5 3 z / 3 z / 5 z / 3 Tehdään vielä osamurtoehitelmä, jotta saadaan selville äänteismuunnos ( 4 /5)( z / ) A B A( z / 3) + B ( z / 5) Y ( z) = = + = z / 5 z / 3 z / 5 z / 3 z / 5 z / 3 A + B = 4 /5 A = 3/ 5 A/ 3 B / 5 = 4 / 3 B = / 3 y = = Y ( z) 3 = 5 z / 5 3 z / 3 4
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
Lisätiedotjärjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Disreettiaiaiset järjestelmät aiatason analsi DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen Disreettiaiaiset järjestelmät 7 3 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden
Lisätiedotjärjestelmät Luku 2 Diskreettiaikaiset järjestelmät - aikataso DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Luu 2 Disreettiaiaiset järjestelmät - aiataso DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26 Diseettiaiainen vs jatuva-aiainen Jatuvan signaalin u(t) nätteistäminen disreetisi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedotjärjestelmät Luento 4
DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotKun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotS Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotLuento 2 / 12. SMG-1200 Piirianalyysi II Risto Mikkonen
SMG-00 Piirianalsi II Lento / SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen 6.8.03 ) ( ) ( ) ( L L L L L ) ( ) ( Additiiviss Homogeeniss ) ( ) ( ) ( L L L Lineaariss 6.8.03 SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen Aiainvarianttiss
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ) SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset
SMG-11 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset. Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W saadaan lausekkeesta t1 t1,
LisätiedotEPOP Kevät
EPOP Kevät 2012 16.1.2012 Projeti 1 Muutosilmiöt Piirianalyysi 1:ssä äsitellyt tasa- ja vaihtovirta-analyysit ovat jatuvan tilan menetelmiä, joissa oletetaan, että piirin herätteet (riippumattomat lähteet)
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotEksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt II, kevät 2017 Harjoitus 5
Differentiaaliyhtälöt II, kevät 27 Harjoitus 5 Heikki Korpela 26. huhtikuuta 27 Tehtävä 2. Määrää seuraavan autonomisen systeemin kriittiset pisteet, ratakäyrät ja luonnostele systeemin aikakehitys: (t)
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Lisätiedotb 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotMAATALOUSYRITTÄJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN VAKUUTUKSEN PERUSTEET
5 TLOUYRTTÄJÄN ELÄKELN UKEN VKUUTUKEN PERUTEET PERUTEDEN OVELTNEN Näitä perusteita soelletaan..009 lähtien maatalousrittäjän eläelain 80/006 YEL muaisiin auutusiin. VKUUTUKU Vauutusmasu uodelta on maatalousrittäjän
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotHARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
LisätiedotLuento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
Lisätiedot6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia
6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedot2.2 Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W tot saadaan lausekkeesta ( )
DEE- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjoitus (3) Tehtävien ratkaisuehdotukset. Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W saadaan lausekkeesta t t () ()()
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotLaplace-muunnos: määritelmä
Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Lisätiedot1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)
. Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotEETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö
EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA Kandidaatintyö Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Jätetty tarastettavasi 11. tououuta 2009 2 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietoliienne-
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
Lisätiedot