EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA. Kandidaatintyö
|
|
- Minna Järvinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 EETU OJANEN SIGNAALIN ENNUSTAMINEN KALMAN-SUOTIMELLA Kandidaatintyö Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Jätetty tarastettavasi 11. tououuta 2009
2 2 TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietoliienne- eletroniian oulutusohjelma OJANEN, EETU: Signaalin ennustaminen Kalman-suotimella Kandidaatintyö, 18 sivua, 1 liitesivu Tououu 2009 Pääaine: Signaalinäsittely ja multimedia Tarastaja: Lehtori Konsta Koppinen Avainsanat: Ennustaminen, Lineaarinen Kalman-suodin Työn taroitusena on ennustaa signaalia Kalman-suotimen avulla. Yleisesti Kalmansuotimen idea on poistaa ohinaa mittaussignaalista. Työn aihetta andidaatintyösi ehdotti eräs teollisuuden yritys ja taroitus on myös selvittää yrityselle Kalmansuotimen soveltuvuutta ennustusessa. Ennustamisen testaamiseen on työssä äytetty juuri yritysen signaaleja. Työn taroitusena ei ole onnistua ennustamaan signaalia tietyllä taruudella, vaan tarastella ja simuloida suuntaa antavasti ennustamista Kalman-suotimella. Ennustusta vertaillaan mitattuun ja Kalman-suodatettuun signaaliin virheen arvioimisesi.
3 3 ALKUSANAT Kandidaatintyö tehtiin yhteistyössä erään yritysen ja Tampereen tenillisen yliopiston signaalinäsittelyn laitosen anssa. Työ oli myös osana laitosen andidaatintyöseminaaria. Haluan iittää laitosen Konsta Koppista ja tuntemattomana pysyvän yritysen yhdyshenilöä työn ohjaamisesta. 10. tououuta 2009
4 4 SISÄLLYS Termit ja niiden määritelmät Johdanto Kalman-suodin Tilamalli ja mittausmalli Suodattimen algoritmi Ennustus Päivitys Esimeritilanne Ennustettavan signaalin luonne Suodattimen testaus ennustuseen Suodattimen toteutus Suodattimen testaus Ennustusen virhe Johtopäätöset Lähteet Liitteet... 19
5 5 TERMIT JA NIIDEN MÄÄRITELMÄT z x 1 aia-asel Mitattu tilavetori Tilavetori x ˆ Prioriestimaatti tilasta ˆx Posterioriestimaatti tilasta w v u F B H Q R P K I f s MSE tilamallin virhevetori mittausmallin virhevetori ohjausensiirtovetori Tilansiirtomatriisi Ohjausensiirtomatriisi Mittausensiirtomatriisi tilamallin ovarianssimatriisi mittausmallin ovarianssimatriisi tilan virheovarianssimatriisi Kalmanin vahvistus Identiteettimatriisi näytteenottotaajuus esineliövirhe (mean square error)
6 6 1. JOHDANTO Digitaalisen signaalin ennustuseen on olemassa useita erilaisia menetelmiä. Nyyään ehä äytetyin on lineaarinen ennustus, jossa esimerisi ennustetaan joa neljäs näyte olmen sitä edellisen näytteen perusteella tietyillä painoertoimilla. Ennustamista äytetään myös tiedon paaamisessa, jolloin esimerisi tallennetaan vain ennustusen virhe tai muutos, joa on esitettävissä enties pienemmällä bittimäärällä. Ennustusen hyvyys riippuu signaalista ja signaalin luonteeseen sopivasta ennustusalgoritmista. Kalman-suotimen ehitti nimensä muaisesti unarilaissyntyinen Rudolf Emil Kalman Yhdysvalloissa 1950-luvun lopulla. Kalman ajatteli lisätä tuolloin tilan äsitteen Wiener-suodattimeen. Ensimmäisiä sovellusohteita Kalman-suotimelle oli Yhdysvaltain National Aeronautics and Space Administration (NASA) Apollo-projetin parissa seä lentooneiden liieratojen estimointi tutien anssa 1960-luvulla. Suodin on ollut siitä lähtien muana lähes joaisessa uluvälineen liieratoja estimoivassa järjestelmässä. [1, s ] Suodinta on äytetty myös ennustamaan asioita, joita ihminen ei voi todennäöisesti ohjata uten joen virtaamista tulvan aiana seä tuotteen hintaa marinoilla [1, s. 1]. Tässä työssä Kalman-suodinta äytetään paian ennustamiseen ja työ on selvitys eräälle yrityselle suotimen ennustusen soveltuvuudesta teollisuuden tarpeisiin. Tarasteltava ennustuspituus on puolen seunnin ja seunnin välissä.
7 7 2. KALMAN-SUODIN Kalman-suodinta äytetään estimoimaan dynaamisen järjestelmän tilaa seä analysoimaan järjestelmiä. Jos järjestelmän iinnostavat ominaisuudet muuttuvat ajan myötä, järjestelmää utsutaan dynaamisesi. [1, s. 3-4, 29] Kappaleessa 2.1 esitetään lähteen [1, s ] muaisesti lineaarisen stoastisen disreettiaiaisen järjestelmän tilan estimointiongelma äyttämällä mittausia, jota ovat lineaarisia funtioita tilasta Tilamalli ja mittausmalli Lineaarisessa Kalman-suotimessa tilamalli on missä x F x 1 w, (3.1) x on järjestelmän tila hetellä. Tilansiirtomatriisi F uvaa edellisen tilan perusteella seuraavan tilan. Tilamalliin summataan myös josus ohjausensiirtomatriisin B seä ohjausensiirtovetorin u tulo, minä taroitusena on mallintaa jotain ohjaavaa teijää, uten esimerisi gravitaation vaiutusta appaleeseen [2, s. 20]. Kalman-suotimessa tilamalliin summautuu myös ohinaa, jona odotusarvo on nollavetori. Yleensä oletetaan ohinan olevan normaalijaautunutta, eli missä Q mittausmalli on w ~ N( 0, Q ), (3.2) on tilamallin ovarianssimatriisi. Havainnoituun tietoon äytettävä z H x v. (3.3) Ainoa järjestelmästä mitattava suure on z. H on mittausensiirtomatriisi, joa ertoo miä on mittausen ja oiean tilan suhde. Myös mittausmalliin oletetaan summautuvan yleensä normaalijaautunutta ohinaa, jona odotusarvo on nollavetori missä v ~ N( 0, R ), (3.4) R on mittausmallin ovarianssimatriisi. Matriisit H ja F oletetaan tunnetuisi ja usein ajasta riippumattomisi. määritellään ja Moniulotteisissa normaalijaaumissa ovarianssimatriisit Q ja R T Q E[ w w ] (3.5)
8 8 T R E[ v v ]. (3.6) Jos ohinoilla ei ole orrelaatiota, ovat muut uin diagonaalialiot nollia ovarianssimatriiseissa [3, s ]. Usein oletetaan myös, että ovarianssimatriisit eivät riipu ajasta Suodattimen algoritmi Algoritmia on esitelty ja johdettu lähteissä. [1,2 & 3] Kalman-suotimen algoritmi oostuu aluarvausesta ja ahdesta vaiheesta yhdellä aia-aseleella, mitä uva 2.1 havainnollistaa. Ennustusvaiheessa seuraava tila ennustetaan (tilansiirtymämatriisin avulla) sitä edellisen tilan avulla siis ennen mittausta. Ennustettua tilaa sanotaan prioritilaestimaatisi. Toisessa vaiheessa eli päivitysvaiheessa päivitetään ennustettu tila mittausen avulla posteriori-tilaestimaatisi. Kuva 2.1 Kalman-suotimen luonne Ennustus Kalman-suotimessa ennustus tilalle eli priori-tilaestimaatti on x ˆ F x, (3.7) ˆ mille on siis ehtona, että edellinen tila on estimoitu. Tässä vaiheessa lasetaan myös tilaestimaatin virheovarianssimatriisille priori-estimaatti Päivitys P F P F Q. (3.8) T Posteriori-tilaestimaatti on x xˆ K ( z H xˆ ), (3.9) missä K ˆ 1 1 on almanin vahvistus. Kaavassa (3.7) suleiden sisällä olevaa lauseetta sanotaan mittausresiduaalisi. Kalmanin vahvistus lasetaan joaisella ierrosella aavalla K P. (3.10) T T 1 1H ( HP 1H R )
9 9 Tilan lisäsi myös tilan virheovarianssimatriisi päivitetään ennustusesta estimaatisi aavalla P. (3.11) ( I K H ) P Esimeritilanne Tarastellaan myös työn altaista esimeritilannetta, jossa paia mitataan näytteenottotaajuudella 1 Hz ysiulotteisesti, mutta tilamalli on toista astetta, eli Tilamallissa x 1 v 0 1 x f s 1 v 1 1 w w x uvaa paiaa ja 1, 2,. tilan vetorin tuloa avatessa huomaa, että uusi paia 1 x x 1 v 1, f s y uvaa nopeutta. Tilansiirtomatriisin ja edellisen ja nopeus oletetaan samasi uin edellisessä tilassa. Kolmannen asteen eli iihtyvyyden vaiutus oletetaan siis ohinana niin tilamallin ovarianssimatriisisi tulee w. Olettaen, että w 1, ja w, 2 eivät riipu toisistaan, Q 2, 0 2 missä varianssit mallintavat vantisointiohinaa ja iihtyvyyden vaiutusta. Mittausmallisi supistuu salaaritilanne, osa paia on ainoa mittaus, eli z x 1 0 y v. Mittausmallin varianssi Valitaan R mallintaa mittausjärjestelmästä aiheutuvaa ohinaa. 2 z , 2 10 ja 2 z 1 järjestelmään, jossa mitataan nesteen pinnanoreutta senttimetrin taruudella. Kuvassa 2.2 on esitetty mitatut oreudet sinisillä pisteillä, seä Kalman-suodatettu signaali mustana viivana. Tilan aluarvaus on nollavetori. Tilan virheovarianssimatriisi P on myös aluasetusena nollamatriisi. Alussa estimaatit ovat harhallisempia unnes virheovarianssimatriisi onvergoituu arvoon , joa on sama uin lopussa. Kalman-suodatettu signaali on mitattuun signaaliin verrattuna luonteeltaan alipäästösuodattunut, vaia taralleen sanottuna pyriiin minimoimaan esineliövirheen (MSE) lauseeet joaisella aia-aseleella E[ x ( ) xˆ ( )] 2, missä äy vetorin x rivit läpi [3, s.114].
10 Kuva 2.2: Nesteen pinnanoreus ajan funtiona, missä pisteet ovat mittausia ja viiva on Kalman-suodatettu arvio. 10
11 11 3. ENNUSTETTAVAN SIGNAALIN LUONNE Signaali ertoo teollisuudessa olevan hydraulisen toimilaitteen osan paian ysiulotteisesti, muita mittausia ei ole. Paia on useimmiten paloittain aidosti nouseva tai laseva ajan suhteen, mutta saattaa sisältää notahdusia tai värähdysenin altaisia piirteitä, uten on uvassa 2.1. Tässä työssä errallaan tarasteltava signaali on estoltaan ymmenien seuntien ertaluoaa. Paiasignaali päivittyy toimilaitteen dataväylälle esimäärin noin 50 Hz taajuudella. Heitto näytteenottotaajuudessa on esiarvoltaan signaaleissa 0,01 Hz luoaa, joten tässä työssä oletin näytteenottotaajuuden f s vaiosi. Kuvassa 2.1 on uvattu toimilaitteen osan prosessia toistuvasti (7 ertaa) havainnollistamaan erilaisia realisaatioita prosessista. Signaalin näytteen arvon vaihteluväli on 0..5 metrin välissä mittaustaruudella 1 millimetri. Kuva 2.1: Tyypillinen aiatason uva signaalista
12 12 4. SUODATTIMEN TESTAUS ENNUSTUKSEEN 4.1. Suodattimen toteutus Toteutin Kalman-suotimen Matlab-ohjelmistolla, josta eseinen suodinosuus on liitteenä. Kalman-suotimen virheiden ovarianssimatriisit valitsin vaioarvoisisi ajan suhteen. Arvaamalla ja Matlabilla oeilemalla eri luuarvoja päädyin tilamallin ovarianssimatriisin luuarvoihin 1 0 Q, 0 50 seä mittausmallin varianssin luuarvoon R 1. Siis oletan, että ovarianssimatriisissa ei ole riippuvuutta virheiden välillä. Aluarvona tilan virheovarianssimatriisille P äytän nollamatriisia, osa se on paras arvaus. Tilansiirtomatriisi F on F f s Tilan paialle annoin aluarvausena ensimmäisen mittausen ja nopeudelle annoin arvosi nolla Suodattimen testaus Otin testauseen asi testisignaalia, jota meritsen signaalisi A ja signaalisi B. Kuvassa 4.1 ovat signaalien A ja B mitatut paiat ja paioista lasetut nopeudet paian 1. asteen differenssinä ajan suhteen. Nopeus ei siis ole mitattu, mutta on suuntaa antava. Signaalit A ja B edustavat erilaisia tilanteita, jossa A uvaa vain pelän monotonisen nousun vastapainona B:lle, jossa on edestaaista liiettä paian suhteen.
13 13 Kuva 4.1: Signaali A:n paia vasemmalla ylhäällä ja nopeus vasemmalla alhaalla ja vastaavasti signaali B oiealla. Kun edelliset signaalit A ja B suodatetaan Kalman-suotimella, saadaan uvan 4.2 muaiset aiatason uvat, joita on rajattu, jotta näisi sinisellä viivalla merittyä suodatettua signaalia paremmin. Kuvasta näee myös Kalman-suotimelle tyypillisen viiveen muutosessa mittausen osoittavaan suuntaan, missä viiveen suuruus riippui oeillessani suuresti ovarianssimatriisin ja varianssin valinnoista. Työssä on pyritty haemaan tilannetta, jossa Kalman-suodatettu paiasignaali seuraisi mittausia. Kuva 4.2: Kuvassa on osia signaaleista A ja B, missä sininen viiva on Kalman-suodatus, punaiset pisteet ovat ylemmissä uvissa mittausia ja alemmissa uvissa paiasta lasettuja nopeusia.
14 Ennustusen virhe Seuraavan tilan ennustus tapahtuu siis aina aavan (3.8) avulla. Kuvassa 4.3 on havainnollistettu miten ennuste suhteutuu suodatettuun ja mitattuun signaaliin ajanhetestä 40 seuntia eteenpäin. Kuvastain voi päätellä, että ennustus onnistuu signaalin eri ohdissa vaihtelevasti. Kuva 4.3: Punaiset pisteet ovat vasemmalla mittausista lasettuja ja oiealla mittausia, musta on Kalman-suodatettu signaali ja sininen on ennuste hetestä 40 seuntia eteenpäin. Kosa yllä oleva uva 4.3 ertoo ennusteen yhdestä ohdasta eteenpäin, on parempi lasea ennustamisen virhettä oo signaalista. On hyvä muistaa, että mittauset ovat ohinaisia todellisesta tilasta ja Kalman-suodin on estimaattori mittausille. Kuvassa 4.4 on epäsuoraa perustelua sille, että Kalman-suodin suodattaa ohinaa pois. Kuvan histogrammit osoittavat, että ohina on lähes nolla odotusarvoltaan, seä ohina on hajaantunut nollan ympärille tasavertaisesti. Kuva 4.4: Histogrammeissa on esitetty virheen jaauma Kalman-suodatetun ja mittaussignaalin välillä. Signaalista A on vasemmalla paian virheen histogrammi ja oiealla on signaalin B paian virheen histogrammi.
15 15 Olettaen, että Kalman-suodatettu signaali on lähes oieassa, voidaan ennustusvirhe määritellä ennusteen ja suodatetun signaalin näytteen erotusen itseisarvosi. Lasemalla tietyllä ennustuspituudella aii ennustusvirheet yhteen, saadaan ennustusvirheiden summa. Kyseinen summa on lasettu signaalien A ja B paioille ja nopeusille ennustuspituuden funtiona uvassa 4.5. Kuva antaa luonnollisen tulosen ennustusesta: mitä enemmän arvaa, sitä enemmän on virhettä esimäärin. Kuva 4.5: Kuvaan on lasettu summat ennustusvirheestä ennustuspituuden funtiona. Ylärivi osee signaalia A ja alarivi signaalia B. Virhe on saatu vertailemalla ennustetta Kalmansuodatettuun signaaliin. Vertailun vuosi lasetaan virhettä samalla tavalla, mutta vertaamalla mitattuun signaaliin, minä tulos on esitetty uvassa 4.6. Kuva antaa lähes samat tuloset uvan 4.5 anssa niin uin pitääin, sillä Q ja R valittiin niin, että suodatettu paiasignaali seuraisi joseenin mittausia. Kosa signaalien A ja B pituudet ovat 4000 ja 6134 näytettä, tulee esimerisi puolen seunnin ennustusella esimääräisesi paian virheesi A:lle noin 1,5 mm ja B:lle noin 7,7 mm, un verrataan Kalman-suodatettuun signaaliin. Nopeuden ennustusessa taas esimääräinen virhe on A:lle 3,1 mm/s ja B:lle 18,4 mm/s.
16 Kuva 4.6: Kuvaan on lasettu summat ennustusvirheestä ennustuspituuden funtiona. Vasemmalla on lasettu signaalista A ja oiealla B:stä. Virhe on saatu vertaamalla ennustetta mitattuun signaaliin. 16
17 17 5. JOHTOPÄÄTÖKSET Työssä suodatettiin Kalman-suotimella ensin yritysen testisignaaleja, minä jäleen suodatetuista signaaleista ennustettiin tilansiirtomatriisin avulla ennusteita. Yhteenvetona voidaan sanoa, että tämän tyylisiä signaaleja voisi paian suhteen ennustaa 1 10 millimetrin taruudella esimääräisesti puolen seunnin päähän. Nopeutta ennustettaessa virhe on esimääräisesti noin asinertainen paian virheeseen. Paian ennustusvirheen summa ennustuspituuden funtiona asvoi esponentiaalisen luonteisesti. Kosa ohinaa on vaiea saada signaalista pois, on sitä myös vaiea nähdä numeroina signaalissa summautuneena. Kohinan ovarianssimatriisien arvojen todellinen vaiutus tuloselle on siten epäselvä. Jatopohdiselua vaatisi ovarianssimatriisien arvojen perusteltu haeminen joo vaiona tai joa aiaaseleella päivittyvänä, jolloin ennustus saataisiin optimoitua. Ohjausensiirtomatriisin ja -vetorin äyttö voisi myös optimoida ennustusta, jos yritysen laitteistosta saa Kalman-suotimelle ohjaavan tiedon.
18 18 LÄHTEET [1] Mohinder, S.G & Angus, P.A Kalman Filtering: Theory and Practice. Yhdysvallat. [2] Welch G & Bishop Gary An Introduction to the Kalman Filter. University of North Carolina at Chapel Hill. [WWW]. [viitattu ]. Saatavissa: [3] Bozic, S.M Digital and Kalman Filtering. Englanti.
19 19 LIITTEET function [x,oo]=f(z,f,h,q,r) % KALMAN suodatin % merinnät: % F tilansiirtymämatriisi % H mittausensiirtomatriisi % K Kalmanin vahvistus % Q tilamallin virheovarianssimatriisi % R mittausmallin virheovarianssimatriisi % P tilaestimaatin virheovarianssimatriisi % t on aia % z on mitattu signaali % alustuset: oo=size(z) P=zeros(2,2,oo(2)); P(:,:,1)=zeros(2,2); x=zeros(2,oo(2)); x(1,1)=z(1); y=zeros(1,oo(2)); K=zeros(2,oo(2)); for =1:oo(2) end end % tilan ennustus if > 2 x(:,)=f*x(:,-1); P(:,:,)=F*P(:,:,-1)*F'+Q; end % tilan päivitys y(:,)=z(:,)-h*x(:,); K(:,)=P(:,:,)*H'*inv(H*P(:,:,)*H'+R); x(:,)=x(:,)+k(:,)*y(:,); P(:,:,)=(eye(2,2)-K(:,)*H)*P(:,:,);
[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotEstimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4
Estimointi Laajennettu Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelymenetelmät Lasuharjoitus 4 Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, un prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
LisätiedotHARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
LisätiedotAntti Somppi Paloittain päivittävä Kalmanin suodatin. Kandidaatintyö
Antti Somppi Paloittain päivittävä Kalmanin suodatin Kandidaatintyö I TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenis-luonnontieteellinen oulutusohjelma TEKIJÄN NIMI: Antti Somppi Kandidaatintyö 15 sivua,
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
Lisätiedot6 Lineaarisen ennustuksen sovelluksia
6 Lineaarisen ennustusen sovellusia Lineaarisella ennustusella on hyvin täreä asema monessa puheenäsittelyn sovellusessa. Seuraavassa on esitetty esimerejä siitä miten lineaarista ennustusta voidaan hyödyntää.
LisätiedotDISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
LisätiedotKalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät. Laskuharjoitus 3
Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelmenetelmät Lasuhajoitus 3 Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( ) u B A x Slide 2 Ideaalisen posessin tilamalli x( 1) x( ) Ax( ) Bu( )
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotVakuutusmatematiikan sovellukset 20.11.2008 klo 9-15
SHV-tutinto Vauutusmatematiian sovelluset 20.11.2008 lo 9-15 1(7) Y1. Seuraava tauluo ertoo vauutusyhtiön masamat orvauset vahinovuoden ja orvausen masuvuoden muaan ryhmiteltynä (tuhansina euroina): Vahinovuosi
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotProjekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotDynaamiset regressiomallit
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt
Lisätiedot(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
Lisätiedot1974 N:o 622. Vakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely. Liite 1.
1974 N:o 622 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) Muu
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
LisätiedotVakuutusteknisistä riskeistä johtuvien suureiden laskemista varten käytettävä vakuutuslajiryhmittely.
1144/2011 7 Liite 1 Vauutustenisistä riseistä johtuvien suureiden lasemista varten äytettävä vauutuslajiryhmittely. Vauutuslajiryhmä Vauutusluoat Ensivauutus 1 Laisääteinen tapaturma 1 (laisääteinen) 2
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
LisätiedotSYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN
SYMBOLIVIRHETODENNÄKÖISYYDESTÄ BITTIVIRHETODENNÄKÖISYYTEEN Miten modulaation P S P B? 536A Tietoliienneteniia II Osa 4 Kari Käräinen Sysy 05 SEP VS. BEP D-SIGNAALIAVARUUDESSA Kullein modulaatiolle johdetaan
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotESIM. ESIM.
1 Vierintäita f r lasetaan samannäöisellä aavalla uin liuuitain: Ihmisunnan erästä suurimmista esinnöistä eli pyörää äytetään sen taia, että vierintäitaerroin µ r on paljon pienempi uin liuuitaerroin:
LisätiedotVALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus Tässä työssä tutit valoa aaltoliieenä. Ensimmäisessä osassa tutustut valon taipumiseen eli
LisätiedotBINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS A Tietoliikennetekniikka II Osa 11 Kari Kärkkäinen Syksy 2015
BINÄÄRISET TIEDONSIIRTOMENETELMÄT TÄRKEIMPIEN ASIOIDEN KERTAUS 536A Tietoliienneteniia II Osa Kari Käräinen Sysy 5 Kantataajuusjärjestelmä lähettää ±A -tasoisia symboleita T:n välein. Optimaalinen vastaanotin
LisätiedotMiehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
LisätiedotNaulalevylausunto Kartro PTN naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-04256-14 1 (6) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö ITW Construction Products Oy Jarmo Kytömäi Timmermalmintie 19A 01680 Vantaa 18.9.2014 Jarmo Kytömäi VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL
LisätiedotSattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
LisätiedotLAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO
LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPITO TYÖOHJE 2009 Keianteniian osasto Tenillisen eian laboratorio BJ90A0900 Tenillisen eian ja tenillisen polyeerieian laboratoriotyöt Ohje: Irina Turu, Katriina Liiatainen,
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
LisätiedotSimo Ali-Löytty Kalmanin suodatin ja sen laajennukset paikannuksessa
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenis-luonnontieteellinen osasto Simo Ali-Löytty Kalmanin suodatin ja sen laajennuset paiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty osastoneuvostossa 10.3.2004 Tarastaja: professori
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017
KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan
LisätiedotSimo Ali-Löytty Kalmanin suodatin ja sen laajennukset paikannuksessa
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tenis-luonnontieteellinen osasto Simo Ali-Löytty Kalmanin suodatin ja sen laajennuset paiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty osastoneuvostossa 10.3.2004 Tarastaja: professori
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotEksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
LisätiedotK-KS vakuutussumma on kiinteä euromäärä
Kesinäinen Henivauutusyhtiö IIIELLA TEKNIIKALLA LAKUPERUTE H-TUTKINTOA ARTEN HENKIAKUUTU REKURIIIELLA TEKNIIKALLA OIMAAOLO 2 AIKALAKU JA AKUUTUIKÄ Tätä lasuperustetta sovelletaan..25 alaen myönnettäviin
Lisätiedot1. Harjoituskoe. Harjoituskokeet. 1. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (x 1, y 1 ) = (0, 2) (x 2, y 2 ) = (1, 2)
. Harjoitusoe. a) Valitaan suorilta asi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) 0 0 0 Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) ( ) 0 Suoran yhtälö on y.
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotS , Fysiikka III (ES) Tentti Tentti / välikoeuusinta. Laaditaan taulukko monisteen esimerkin 3.1. tapaan ( nj njk Pk
S-.35, Fysiia III (ES) entti 8..3 entti / välioeuusinta I älioeen alue. Neljän tunnistettavissa olevan hiuasen miroanonisen jouon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, ε,, jota aii ovat degeneroitumattomia.
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
LisätiedotSTOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
LisätiedotNäkymäalueanalyysi. Joukhaisselkä Tuore Kulvakkoselkä tuulipuisto 29.03.2012. Annukka Engström
Näyäalueanalyysi Jouhaisselä Tuore Kulvaoselä tuulipuisto 29032012 Annua Engströ Näyäalueanalyysin uodostainen Näeäalueanalyysilla saadaan yleisuva siitä, ihin tuulivoialat äytettyjen lähtötietojen perusteella
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotM y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y
36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotRunkomelu. Tampereen kaupunki Juha Jaakola PL Tampere
Tampereen aupuni Juha Jaaola PL 487 33101 Tampere LAUSUNTO RAIDELIIKENTEEN NOPEUDEN KASVATTAMISESTA RANTA- TAMPELLAN ALUEEN RUNKOMELU- JA TÄRINÄRISKIIN Ranta-Tampellan alueen tärinää on arvioitu selvitysessä
LisätiedotS-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä käyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin tarkistus: ZN-Face
S-114.240 Hahmontunnistus ihmisläheisissä äyttöliittymissä Kasvojen tunnistus ja identiteetin taristus: ZN-Face Kalle Korhonen sorhon@cc.hut.fi 13.4.2000 Tiivistelmä: Raportissa tutustutaan aupalliseen
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
LisätiedotJärjestelmän kuvaus aikatasossa
Digitaalinen Signaalinäsittel T25 Luento 2-24.3.26 Jaro.Vuori@evte.fi Man cannot inherit the past; he has to recreate it Arthur Koestler, The act of creation, 964 Järjestelmän uvaus aiatasossa Differenssihtälö
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotEnnustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin
Ennustaminen ARMA malleilla ja Kalmanin suodin MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017
Lisätiedot± r = 1e 2 2 ±
SMG- Piirianalyysi II Ehdotuset harjoitusen asi rataisuisi 3 (a) d y ( t) dy ( t) 7 4 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) + 4r + 7 / 4 = KY ± r = 4 4 4 7 / 4 e rt + 4 e rt + 7 / 4 e rt = : e rt r = /
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotNaulalevylausunto LL13 naulalevylle
LAUSUNTO NRO VTT-S-3259-12 1 (4) Tilaaja Tilaus Yhteyshenilö Lahti Levy Oy Asonatu 11 151 Lahti 27.4.212 Simo Jouainen VTT Expert Services Oy Ari Kevarinmäi PL 11, 244 VTT Puh. 2 722 5566, Fax. 2 722 73
LisätiedotAPTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPERUSTEET
APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄ- ELÄKEVAKUUTUKSEN LASKUPEUSTEET Koooma 28.3.2006. Viimeisin perustemuutos on ahistettu 16.1.2003. APTEEKKIEN ELÄKEKASSAN TEL:N MUKAISEN LISÄELÄKEVAKUUTUKSEN LASKU-
Lisätiedot7.1 Taustamelun estimoinnista
7 Puheen ehostus Puheen ehostamisea taroitetaan seaisia menetemiä, joia puheen aatua pyritään parantamaan. Kuuostaa ysinertaiseta, mutta mitä sitten taroitetaan aadua? Siä voidaan taroittaa ainain seeyttä
Lisätiedotjärjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Disreettiaiaiset järjestelmät aiatason analsi DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen Disreettiaiaiset järjestelmät 7 3 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden
LisätiedotAMBIGUITEETTIONGELMA KANTOAALLONVAIHEMITTAUKSESSA. JUKKA TOLONEN Teknillinen korkeakoulu Maanmittaustieteiden laitos jotolone@cc.hut.
MIGUITEETTIONGELM KNTOLLONVIHEMITTUKSESS JUKK TOLONEN Tenillinen oreaoulu Maanmittaustieteiden laitos otolone@cc.hut.fi . Johdanto Satelliittipaiannus perustuu vastaanottimen a satelliittien välisen etäisyyden
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi
02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai
LisätiedotONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV. Suomen Aktuaariyhdistyksen vuosikokousesitelmä
ONKO SUOMALAINEN VAHINKOVAKUUTUSYHTIÖ TASOITUSVASTUUNSA VANKI? fil. tri Martti Pesonen, SHV Suomen Atuaariyhdistysen vuosioousesitelmä 27.2.2006 2 Sisällysluettelo: sivu 1. Tasoitusvastuujärjestelmän uvaus
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotHelsinki University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology
Helsini University of Technology Laboratory of Telecommunications Technology Kertausta: AWGN-anava n(t) S-38.211 Signaalinäsittely tietoliienteessä I Signal Processing in Communications (2 ov) Sysy 1998
LisätiedotTL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen
TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 2 (ver 1.0) Jyrki Laitinen TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op), K2005 1 Suorita oheisten ohjeiden mukaiset tehtävät Matlab-ohjelmistoa käyttäen. Kokoa erilliseen
LisätiedotMAB7 Talousmatematiikka. Otavan Opisto / Kati Jordan
3.3 Laiat MAB7 Talousmatematiia Otava Opisto / Kati Jorda Laia ottamie Suuri osa ihmisistä ottaa laiaa jossai elämävaiheessa. Pailaiaa tarvitaa yleesä vauusia ja/tai taausia. Laiatulle pääomalle masetaa
LisätiedotKÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS
KÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS Kiitos Canon-tuotteen ostamisesta. EOS 1000D on digitaalinen SLR (Single-Lens Reflex) -amera, jossa on 10,10 megapiselin uvaenno. Kamerassa on luuisia toimintoja, uten huippunopea
LisätiedotMissä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot
Missä mennään systeemi mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot käyttö- (fysikaalinen) mallintaminen luonnonlait yms. yms. identifiointi kokeita kokeita + päättely päättely vertailu mallikandidaatti validointi
LisätiedotRATKAISUT: 21. Induktio
Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön
Lisätiedot"Ohjelmiston aloitusopas" ja "Pikaopas" ovat tämän käyttöoppaan lopussa. SUOMI KÄYTTÖOPAS
"Ohjelmiston aloitusopas" ja "Piaopas" ovat tämän äyttöoppaan lopussa. SUOMI KÄYTTÖOPAS Johdanto 1100D on huippulaatuinen digitaalinen SLR (Single-Lens Reflex) -amera, jossa on erittäin tara 12,2 tehollisen
LisätiedotLuku kahden alkuluvun summana
Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun
LisätiedotMS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely
MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, 5 op Esittely Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2017 Aikataulu ja suoritustapa (Katso MyCourses) Luennot
LisätiedotKÄYTTÖOPAS SUOMI KÄYTTÖOPAS. Pikaopas ja Ohjelmiston aloitusopas ovat tämän käyttöoppaan lopussa.
KÄYTTÖOPAS Piaopas ja Ohjelmiston aloitusopas ovat tämän äyttöoppaan lopussa. SUOMI KÄYTTÖOPAS Johdanto EOS 550D on huippulaaduas ja suoritusyyinen digitaalinen järjestelmäamera, jossa on huipputara 18,0
LisätiedotNurmijärven kunnan kaupan palveluverkkoselvitys 28.5.2012
aupan palveluveroselvitys 28.5.2012 aupan palveluveroselvitys 1 Sisällysluettelo 1 JOHDANTO 2 2 KAUPAN NYKYTILAN KARTOITUS JA KUVAUS 3 2.1 Vähittäisaupan toimipaiat ja myynti 3 2.2 Ostovoima ja ostovoiman
LisätiedotTuomo Mäki-Marttunen Stokastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaikannuksessa
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Luonnontieteiden ja ympäristöteniian tiedeunta Tuomo Mäi-Marttunen Stoastiset ja tavalliset differentiaaliyhtälöt inertiapaiannusessa Diplomityö Aihe hyväsytty tiedeuntaneuvostossa
Lisätiedot4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?
Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki
Lisätiedot6. Tietokoneharjoitukset
6. Tietokoneharjoitukset 6.1 Tiedostossa Const.txt on eräällä Yhdysvaltalaisella asuinalueella aloitettujen rakennusurakoiden määrä kuukausittain, aikavälillä 1966-1974. Urakoiden määrä on skaalattu asuinalueen
LisätiedotELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.
/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta
Sähöstatiia ja magnetismi Meaniian etausta Antti Haato 17.05.013 Newtonin 1. lai Massan hitauden lai Jatavuuden lai Kappaleen nopeus on vaio tai appale pysyy paiallaan, jos siihen ei vaiuta voimia. Newtonin
Lisätiedot