KVANTTIFYSIIKAN HISTORIAA (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!)
|
|
- Ilona Mäkinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 KVANTTIFYSIIKAN HISTORIAA (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925: Heisenbergin matriisimekaniikka 1926: Schrödingerin yhtälö 1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate 1928: Diracin yhtälö (ennustaa antihiukkaset) 1932: positroni löydetään 1949: Quantum Electrodynamics (QED) : kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) 1964: Higgsin mekanismi 1967: sähköheikko vuorovaikutus 1973: asymptoottinen vapaus (Gross, Politzer, Wilczek) : supersymmetria, Grand Unified Theory (GUT), säieteoria, supergravitaatio 1
2 OPERAATTORIFORMALISMI Heisenbergin matriisimekaniikasta juontuva moderni formalismi Idea: systeemin -laa kuvaa täydellises- -e3yjen kvan5lukujen kokoelma. Mitkä nämä ovat, riippuu systeemistä (eli Hamiltonin operaa3orista). Esimerkiksi hiukkaselle laa-kossa rii3ää n, vetyatomille tarvitaan n, l ja m. Tilavektoria merkitään seuraavas-: tänne kaikki -laa kuvaavat kvan5luvut Esimerkki: vetyatomi! = nlm n =1, 2,3,... l = 0,1, 2,..., n!1 m = 0,±1,...,±l Vetyatomilla ei ole muuta iden-tee5ä kuin nämä kvan5luvut! 2
3 Ei käsitellä ensisijaises- aaltofunk-ota, vaan -lavektoria. Systeemin kaikkien mahdollisten -lojen muodostama vektoriavaruus on nimeltään Hilber)n avaruus. Se on ääretönulo3einen euklidinen vektoriavaruus. Aaltofunk-ota voi ajatella vektorina avaruudessa, jonka kannan muodostavat Hamiltonin operaa3orin ominais-lat. " a 1 % $ ' a!(x,t) =! a n! n (x,t) = $ 2 ' $ a n 3 ' $ ' #... &! 1 $ # & 0! 1 (x,t) = # & # 0 & # & "...%! 0 $ # & 1,! 2 (x,t) = # & # 0 & # & "...%, jne. 3
4 Aaltofunk-ot ortonormaalisia -lat ortogonaalisia * dx n( x) ψ m( x) ψ = δ nm n m = δ nm Aaltofunk-ota vastaa ket- vektori m pistetulo, vrt. X! Y Aaltofunk-on kompleksikonjugaa5a vastaa bra- vektori Niiden pistetulo on (huomatkaa huumori: bra- ket): n n m Yleises- ψ ϕ = dxψ *( x) ϕ( x) 4
5 ψ 2 3,... superposi-o! " n=1! = c n n 1 bra- vektorin kertoimet ovat kompleksikonju- gaa3eja:! " n=1! = c * n n Todennäköisyysamplitudi löytää -la m -lasta ψ: m! =! c n m n! = c m " mn P(m) = c m 2 Aaltofunk-on romahtaminen -lan romahtaminen mi3auksessa ψ = c n n n 5
6 Operaa3orit kuten liikemääräoperaa3ori tai Hamiltonin operaa3ori muu3avat nyt vektoreita toisiksi. Vrt. matriisit ja vektorit: ˆMx n =! n x n operaa3oreita merkitään hatulla ominaisarvoa vastaava ominaisvektori operaa3ori ominaisarvo Vastaavas- operaa3orin operoidessa funk-oon! a 1 $!"(x) jos! on ominaisfunk-o # & ˆM!(x,t) = ˆM # a 2 & # a 3 & # & "... % kääntyy funk-oiden avaruudessa joksikin ääretönulo3einen matriisi toiseksi funk-oksi, jos! ei ole ominaisfunk-o 6
7 NOTAATIO: ˆM operaa3ori! n operaa3orin ominaisarvo numero n n ominaisarvoa λ n vastaava ominais-la Operaa3ori operoi -laan: ˆM! 7
8 Esimerkkejä operaa3oreista aaltofunk-oiden tapauksessa: Paikkaoperaa3ori kertoo aaltofunk-on paikkakoordinaa-lla: ˆx!(x,t) = x!(x,t) Impulssioperaa3ori derivoi aaltofunk-on: ˆp!(x,t) =!i! "! "x (x,t) Hamiltonin operaa3ori derivoi kahdes- ja kertoo poten-aalilla: # Ĥ!(x,t) = %!!2 $ 2m " 2 "x +V(x) & (!(x,t) 2 ' Kaikki aaltofunk-ot ovat paikan ominaisfunk-oita. Vain tasoaallot e ikx ovat impulssin ominaisfunk-oita. Vain sta-onaariset -lat ovat Hamiltonin operaa3orin ominaisfunk-oita. 8
9 OperaaDoreita operoimassa ominaiseloihinsa: Ĥ n = E n n operaa3orin ominaisarvo Hamiltonin operaa3ori ˆx x = x x operaa3orin paikka- ominaisarvo operaa3ori operaa3orin ominais-la paikkaoperaa3orin ominais-la ˆp p = p p Huom: ˆp x!/ x 9
10 Schrödingerin yhtälö kuvaa sitä, miten systeemi vaeltaa vektoriavaruudessa: i!!!t!(t) = Ĥ!(t) Sta-onaaristen -lojen tapauksessa saadaan (tässä n kuvaa kaikkia kvan5lukuja) Ĥ n = E n n Schrödingerin yhtälö muu3uu osi3aisdifferen-aaliyhtälöstä lineaarialgebran yhtälöksi. 10
11 Operaa3orin odotusarvo -lassa ψ Â =! Â! ( bracket ) Hamiltonin operaa3orin odotusarvo ominais-lassaan: Ĥ =! n Ĥ! n! n Ĥ n = n E n n = E n n n = E n 11
12 Operaa3oreiden järjestys tärkeä: (matriisikertolasku ei kommutoi) Kommutaa5ori on keskeinen käsite: Â ˆB! ˆBÂ [Â, ˆB]! Â ˆB " ˆBÂ Esimerkki: [ ˆx, ˆp]! =!xi! " "x! # %!i! " $ "x (x!) & ( = i!! ' [ ˆx, ˆp] = i! Suureilla, joita kuvaavat operaa3orit eivät kommutoi, ei voi olla samanaikaisesmäärä3yä arvoa: Heisenbergin epämääräisyysperiaate seuraa ylläolevasta yhtälöstä. (Emme osoita sitä tässä!)!x!p "! 2 12
13 Tahdon aaltofunkeon takaisin! x! =!(x) Tilan ψ projek-o paikkaoperaa3orin ominais-laan kertoo, mikä todennäköisyys on löytää hiukkanen paikasta x, kun -la on ψ. p! =!(p) Vastaavas- voidaan määritellä aaltofunk-o liikemäärälle, joka kertoo liikemäärän todennäköisyysjakauman. (Ei mennä tähän tarkemmin!) 13
14 OperaaDoriformalismi miksi piitata? Notaa-o on kompak-mpi: * dxψ ( x) ψ n m ( x) n m Kvan5mekaniikan sääntöjen merkitys on läpinäkyvämpi (superposi-o, ortonormitus, operaa3orien ei- kommuta-ivisuus). Tila on yleisempi käsite kuin aaltofunk-o (joka on paikka- avaruuden todennäköisyysamplitudi, eli vain yksi mahdollinen amplitudi muiden joukossa). Tilalla voi kuvata abstrak-mpia asioita kuin aaltofunk-olla Esimerkiksi: tyhjö on myös -la: hiukkasen spin: 0 s, s z 14
15 Esimerkki kvanjluvuista: vetyatomi Vetyatomia kuvaa kolme kvan5lukua.! = nlm Ĥ nlm = E n nlm =!! 2 mc 2 2n 2 nlm n =1, 2,3,... l = 0,1, 2,..., n!1 m = 0,±1,...,±l n kertoo energian ˆL 2 nlm =! 2 l(l +1) nlm ˆL z nlm =!m nlm l kertoo pyörimismäärän L itseisarvon m kertoo pyörimismäärän L z- komponen-n Energia ei riipu kvan5luvuista l ja m: energia on degeneroitunut. 15
16 SPIN Spin on hiukkasten puhtaas- kvan5mekaaninen ominaisuus, jolla ei ole vas-ne3a klassisessa fysiikassa. Matemaa5silta ominaisuuksiltaan spin muistu3aa pyörimisliikemäärää, joten sitä voi kuvailla hiukkasen sisäiseksi pyörimiseksi. Sähköises- varatun hiukkasen spin vuorovaiku3aa magnee5kentän kanssa kuten hiukkasen pyörimisliike, joten voi sanailla hiukkasen olevan pieni magnee5. Spiniä kuvaa vektori S, jonka pituus ja z- komponen5 voidaan -etää (vrt. kulmaliikemäärä) Ŝ 2 s, s z Ŝ z s, s z =! 2 s(s +1) s, s z =!s z s, s z
17 Ŝ 2 s, s z Ŝ z s, s z =! 2 s(s +1) s, s z =!s z s, s z vrt. ˆL 2 lm =! 2 l(l +1) lm ˆL z lm =!m lm Kulmaliikemäärän tapauksessa l ja m ovat kokonaislukuja, jotka riippuvat systeemin pyörimis-lasta. Spin- vektorin pituus (eli kvan5luku s) riippuu vain hiukkastyypistä, ja se on kokonaisluku tai puoliluku. Esimerkiksi elektronille s=1/2, fotonille s=1, Higgsin bosonille s=0. Kuten m, s z muu3uu yhden yksiköissä välillä [- s,s]. Elektronille s = 1 2 ; s z = ± 1 2 elektronin spin on ½ 17
18 Elektronin spin- Ela s, s z = 1 2,± 1 2! 1 2,± s, s z s, s' z =! sz s' z Ŝ 2 s, s z =! 2 s(s +1) s, s z = 3 4!2 1 2,± kokonaisspin Ŝ z s, s z =!s z s, s z = ± 1 2! 1 2,± spinin z- komponen5 18
19 Kun -edetään, e3ä puhutaan elektroneista, voidaan -lassa jä3ää merkitsemä3ä kokonaisspin usein kirjoitetaan spin ylöspäin s, s z! s z " ± esimerkki: eräs mahdollinen spin- -la on spin alaspäin normitus! = N( + +! ) 1= s s = N 2 ( + +! )( + +! ) " % = N $! +! + +! + +! ' # & ( N =
20 spinin z- komponenj Ŝ z s = 1 2 Ŝ z ( + +! ) =! ( 2 2 +!! ) spinin z- komponenen odotusarvo s Ŝz s = 1 ( 2 + +! )Ŝz ( + +! ) =! ( 4 + +!!! ) = 0 Vaikka kyseessä on spin- 1/2 hiukkanen, spinin odotusarvo on 0. Spinin -la on superposi-ossa epämääräinen. Mi3auksessa havaitaan, e3ä spin on joko ylös tai alas -la romahtaa 20
21 Vetyatomin tarkassa kuvailussa on huomioitava elektronin (ja y-men) spin:! = nlms z Ĥ 0 = ˆp 2 2m! e2 1 4"# 0 ˆr " Ĥ0 + e 2 1 8"# 0 m 2 c 2 ˆr 3 kokonaiskulmaliikemäärä on J = L + S ˆL# Ŝ $ Ĥ0 + Ĥspin Ĥ! = E nl nlms z energian degeneraa-o häviää osin Kun huomioidaan vielä y-men magnee5ken3ä ja spin: Ĥ 0! Ĥ0 + Ĥspin + Ĥ B Ĥ! = E nlmsz nlms z energian degeneraa-o häviää täysin 21
22 E nlmsz! E n'l'm's'z = h! spektriviivojen aallonpituudet Esimerkiksi vedyn perus-lan spin- flip, missä elektronin ja protonin spinit muu3uvat vastakkaisista samansuuntaisiksi:!e = 5.9µeV "!=21cm Vetyatomin spektri johda5 kvan5mekaniikkaan. Nykyään sen energiatasoja osataan laskea ja fotonien aallonpituu3a mitata eri3äin tarkas-, ja tulokset vastaavat toisiaan. Vetyatomi on fysiikan menestystarina. 22
23 Huom.: spin ja avaruudelliset kvan5luvut elävät omissa vektoriavaruuksissaan ss z voimme kirjoi3aa nlm ψ = nlmss nlm z ss z = nlm ss z Spin- operaa3ori operoi vain spin- avaruudessa: Ŝ z! = tämä tarkoi3aa suoraa tuloa Ŝz nlms ± = Ŝz nlm s ±! Ŝz nlm ± = nlm Ŝz ± = ±! 2 nlm ± 23
24 MonihiukkasElat Monihiukkas-la voidaan kuvata yksihiukkas-lojen suorana tulona: ψ 1! =! 1! 2!! 1! 2 ψ 2 bra- vektoria merkitään vastaavas-:! =! 1! 2!! 1! 2 24
25 Esimerkiksi kahden spin- 1/2 hiukkasen muodostama spin- 0- -la: 0, 0 = s 1 s 1z ;s 2 s 2z! 1 2 ±; 1 2!! ±;! Yleinen tällainen -la on muotoa a +! + b! spinien z- komponen5en summa on nolla Normitus: 1 = 0,0 0,0 = ( a* + + b* + )( a + + b + ) = a b = a 2 + b 2 25
26 Esimerkki: 0 π e + e Pioni hajoaa elektroni- positronipariksi. Pionin spin on 0, ja spinin z- komponen5 säilyy, joten loppu-lan kokonaisspin on myös 0. Elektroni ja positroni ovat symmetrisessä asemassa, joten kummallakin on sama 50% todennäköisyys osoi3aa ylös tai alas:! = 1 ( 2 e+ + e!! + e +! e! + ) " 1 ( 2 +! +! + ) spin ylös spin alas spin alas spin ylös elektroni ja positroni ovat epämääräisissä spin- -loissa Jos elektronin spin on alas, niin positronin spin on ylös, ja päinvastoin. Sanotaan, e3ä -lat ovat lomi5uneet (entangled). Lomi3unu3a -laa ei voida kirjoi3aa yksihiukkas-lojen suorana tulona. 26
27 Spin- staeseikka- teoreema Hiukkasilla ei ole muuta iden-tee5ä kuin niiden kvan5luvut. Niinpä monihiukkas-lassa havaintosuureiden pitää pysyä samana, kun vaihdetaan kaksi samat kvan5luvut omaavaa hiukkasta. Tila voi sil- muu3ua, koska havaintosuureet eivät riipu -lan vaiheesta. Tarkastellaan esimerkiksi heliumatomia (Z=2) ja jätetään elektronien keskinäiset vuorovaikutukset sikseen. Tila on silloin! = n 1 l 1 m 1 s z1 n 2 l 2 m 2 s z2! n 1 l 1 m 1 s z1 ;n 2 l 2 m 2 s z2 Pitää siis olla n 2 l 2 m 2 s z2 ;n 1 l 1 m 1 s z1 = e i! n 1 l 1 m 1 s z1 ;n 2 l 2 m 2 s z2 Vakio α on reaalinen. 27
28 n 2 l 2 m 2 ;n 1 l 1 m 1 = e i! n 1 l 1 m 1 ;n 2 l 2 m 2 Kvan5ken3äteoriassa voidaan osoi3aa, e3ä 1) Ainoastaan arvot ovat mahdollisia. 2) Merkin ja spinin s välillä on yhteys (spin- sta)s)ikka- teoreema)*: Toisin sanoen: e i! = ±1 Jos hiukkasen spin on kokonaisluku, -la on symmetrinen (+merkki). Jos hiukkasen spin on puoliluku, -la on an-symmetrinen (- merkki). Hiukkasia, joiden spin on kokonaisluku, sanotaan bosoneiksi, ja hiukkasia joiden spin on puoliluku, sanotaan fermioneiksi.! = i2"s (*Mielenkiintoinen yksityiskohta: Teoreema pätee vain kun avaruuden ulo3uvuuksia on kolme tai enemmän. Kaksiulo3eisissa systeemeissä on olemassa anyoneja, joille α voi olla mikä tahansa reaaliluku.) 28
29 Paulin kieltosääntö Spin- sta-s-ikkateoreemasta seuraava Paulin kieltosääntö sanoo, e3ä kaksi saman lajin fermionia (elektroni, positroni, myoni, protoni,...) ei voi olla samassa -lassa (eli omata samoja kvan5lukuja). Esimerkiksi heliumatomin (Z=2) perus-lassa molemmilla elektroneilla on n=1, l=0 ja m=0, mu3a s z on erilainen. Mu3a jo li-umin (Z=3) tapauksessa alimmalle energiatasolle ei enää mahdu elektroneja, joten perus-lassa yhden elektronin on pakko olla -lassa n=2. Alkuaineiden elektronikuorten rakenne (ja siten erilainen käy3äytyminen) seuraa Paulin kieltosäännöstä. Kemia pohjaa kvanjkendäteoriaan! 29
30 Tilan epämääräisyys: Schrödingerin jänis Suljetaan jänis laa-kkoon (koe toimii myös kissalla, jos se on hiljainen). Laa-kossa on mukana kapseli, joka rikkoutuu - tai si3en ei- radioak-ivisen hajoamisen takia. Kapselissa on myrkkykaasua. Meitä ei kiinnosta jäniksessä muu kuin henki. Kvan5systeemissä on siten kaksi -laa elävä jänis! 1 ja kuollut jänis! 2 Tila on laa-kon sulkemisen jälkeen superposi-ossa!! a 1 (t) 1 + a 2 (t) 2 Kun laa-kko avataan, jänis on joko elävä tai kuollut: a 1 (t) 2 + a 2 (t) 2 =1 30
31 Kvan5mekaniikan formalismin mukaan: Annetaan Hamiltonin operaa3ori, joka kuvaa kapselin hajoamista (ja muita jäniksen kuolemaan mahdollisesjohtavia tekijöitä). Sijoitetaan Schödingerin yhtälöön ja ratkaistaan yhtälö sillä alkuehdolla, e3ä a 1 (t 0 )=1 ja a 2 (t 0 )=0. Saadaan kertoimet a 1 (t) ja a 2 (t). Matemaa5ses- selkeää, mu3a tapahtuuko näin oikeas-? Ensinnäkin: onko pupu todella sekaisin? (Onko kyse todella epämääräisyydestä eikä epä-etoisuudesta?) Toisekseen: miksei tällaista superposi-o-laa nähdä makroskooppisessa maailmassa (toisin kuin elektronien tapauksessa)? 31
32 Tilojen lomiduminen (entanglement) Kysymys yksi: onko pupu sekaisin? Epämääräisyys ja epä-etoisuus voidaan ero3aa toisistaan kokeellisestarkastelemalla lomi3uneita -loja. Kvan5mekaaninen -la on kokonaisuus, joka kuvaa koko systeemiä. Jos joidenkin suureiden (kuten kahden hiukkasen spinin) arvot riippuvat toisistaan, niin yhden mi3aaminen muu3aa samalla toistakin... olivatpa hiukkaset missä vain. 32
33 spin ylös Pioni hajoaa spin ylös e + π 0 e - spin alas spin alas Jos mitataan elektronin spin, määräytyy positroninkin spin. Tila on korreloitunut raja3oman pitkien matkojen yli, ja romahdus muu3aa sen väli3ömäs- kaikkialla. (Kaukovaikutus, ac)on at a distance.) Mistä positroni -etää, e3ä elektronin spin on mita3u, jos se on matkannut jo kauas pois? Väli3yykö informaa-ota valoa nopeammin? (Einstein- Podolsky- Rosen- paradoksi.) 33
34 EPR- paradoksin ratkaisu: -lan romahdus ei välitä informaa-ota. Kun elektronin spin on mita3u olevan ylös, positronin spinin mi3aaja tulee saamaan tuloksen alas 100% todennäköisyydellä. Mu3a hän ei -edä sitä ellei elektronin mitannut kerro! Kvan5mekaniikka ei ole lokaali teoria! (Lokaali teoria: vuorovaikutukset paikallisia, muutokset etenevät valon nopeudella.) Kvan5mekaniikka on kausaalinen teoria. (Informaa-ota ei voi väli3ää ajassa taaksepäin, syy ei voi olla seurauksen jälkeen.) (Mus-en aukkojen informaa-oparadoksi lii3yy -lojen lomi3umiseen: jos osa systeemistä putoaa mustaan aukkoon, sen informaa-o menetetään lopullises-, mu3a loppusysteemi on yhä korreloitunut tuon menetetyn informaa-on kanssa. Ei mennä tähän tarkemmin!) 34
35 Einstein: spooky ac)on at a distance (hämyä kaukovaikutusta). Ehkä kvan5mekaniikka on väärin, ja elektronin/positronin spin määräytyy pionin hajoamishetkellä? Piilomuu3ujateorioiden idea: kvan5mekaniikan taustalla on determinis-nen ja lokaali teoria. Teorian todelliset muu3ujat ovat meille (toistaiseksi?) tuntema3omat, mu3a niiden liikeyhtälöiden approksimaa-ona saadaan Schrödingerin yhtälö. Kvan5mekaniikka on vain approksimaa-o ja kaukovaikutus, epämääräisyys, epädeterminismi ovat vain näennäisiä. Todennäköisyyskuvaus johtuu -etämä3ömyydestä. Yllä3ävää kyllä, tätä ideaa voidaan kokeellises- testata: Minkä tahansa determinis-sen ja lokaalin teorian korrelaa-ot ovat erilaisia kuin epädeterminis-sen ja epälokaalin kvan5mekaniikan. 35
36 Jos elektronilta ja positronilta mitataan molemmilta z- komponen5, niin ei voi päätellä onko -la määrä3y vai ei. Yleisempää -lanne3a tarkastelemalla asiaan saadaan valaistusta. Mitä käy jos elektronilta mitataan ensin spinin z- komponen5, ja si3en positronilta x- komponen5? (Spinhän voidaan mitata missä suunnassa tahansa.) Kvan5mekaniikan mukaan positronin z- komponen5 on määrä3y, joten x- komponen5 on epämääräinen. (Heisenbergin epämääräisyysperiaate.) Piilomuu3ujateoriassa kaikilla komponenteilla on koko ajan määrä3y arvo. Koska alku-lan spin on 0, elektronin ja positronin spinit ovat aina vastakkaiset. Mi3auksen jälkeen -edetään elektronin spinin z- komponen5 ja x- komponen5 yhtä aikaa. 36
37 Mitataan spin suunnissa a, b ja c ja lasketaan eri tapaukset: tapausten lukumäärä elektroni positroni N 1 a+, b+, c+ a-, b-, c- N 2 a+, b+, c- a-, b-, c+ N 3 a+, b-, c+ a-, b+, c- N 4 a+, b-, c- a-, b+, c+ N 5 a-, b+, c+ a+, b-, c- N 6 a-, b+, c- a+, b-, c+ N 7 a-, b-, c+ a+, b+, c- N 8 a-, b-, c- a+, b+ c+ Mi3austen kokonaislukumäärä on N=Σ i N i, joten tapauksen i todennäköisyys on P i =N i /N. elektroni Voimme kirjoi3aa epäyhtälön (N i 0) N 3 + N!" # $#! N + N 4 2 4!# " $# + N + N 3 7!# " $# NP(a+,b+) ( ) NP(a+,c+) ( ) NP(c+,b+) " P(a+, b+)! P(a+, c+)+ P(c+, b+) Bellin epäyhtälö (1964) positroni 37
38 Mille tahansa lokaalille piilomuu3ujateorialle siis pätee P(a+, b+)! P(a+, c+)+ P(c+, b+) Tällä välin kvan5mekaniikassa: Jos on mita3u suunnassa a elektronin spiniksi +, niin positronin spin on -lassa "! a = cos! ab $ # 2 % " '! & b + sin! ab $ # 2 % ' + & b missä θ ab on suun-en a ja b välinen kulma. todennäköisyys saada a+ Todennäköisyys P(a+,b+) on siis ½ * sin 2 (1/2 θ ab ). Sama ju3u todennäköisyyksille P(a+,c+) ja P(c+,b+). Saadaan siis:! sin 2 # "! ab 2 $?! & % ' sin2 # "! ac 2 $! &+ sin 2 # % "! cb 2 $ & % 38
39 ! sin 2 # "! ab 2 $?! & % ' sin2 # "! ac 2 $! &+ sin 2 # % "! cb 2 $ & % Tämä epäyhtälö ei päde kaikille kulmille. Valitaan vaikkapa θ ac =θ cb =θ ja θ ab =2θ. Saadaan epäyhtälöksi! cos 2! $? # & " 2 % ' 1 2 0!!! " 2 Tämä epäyhtälö rikkoutuu kaikilla kulman arvoilla. Teoree5ses- siis kvan5mekaniikka rikkoo Bellin epäyhtälöä. Syynä on se, e3ä eri mahdollisuuksien todennäköisyydet eivät ole addi-ivisia: -lavektorit lasketaan yhteen, ja todennäköisyydessä esiintyy interferenssitermi. 39
40 Kokeellinen testaus (1982): fotonien polarisaa-oiden korrelaa-ot rikkovat Bellin epäyhtälöä ja ovat sopusoinnussa kvan5mekaniikan kanssa. (Useita muita kokeita sen jälkeen.) lokaalit piilomuu3ujateoriat eivät kuvaa todellisuu3a Kvan5mekaniikan todennäköisyydessä on kyse epämääräisyydestä, ei epä-etoisuudesta. Empiiristä filosofiaa: maailman -la ei ole määrä3y. Ei voida sanoa, e3ä joko väite tai sen ris-riita on tosi. (Kissa ei ole joko kuollut tai elävä.) (Ei voida sulkea pois mahdollisuu3a, e3ä todellinen teoria on kuitenkin determinis-nen, mu3a silloin sen pitää olla ei- lokaali tai muuten kummallinen. Yritykset tällaisiksi teorioiksi eivät ole olleet kovin onnistuneita.) 40
41 Takaisin romahdukseen Pupu siis voi olla sekaisin. Miksei tätä nähdä? Miksi makroskooppisessa maailmassa asioilla näyttää olevan määrätty tila? Miten se määräytyy? Kööpenhaminan tulkinta: tila romahtaa mitattaessa. Ongelmia: Onko mittaajaa erikoisasemassa? Kuka kelpaa mittaajaksi? Kuka mittaa mittaajia? (Tulkinta olettaa klassisen kuvauksen mittaajasta!) Kosmologia: eikö maailmankaikkeuden tila ole määrätty ennen kuin joku kehittyy sitä mittaamaan? (Inflaation kvanttifluktuaatiot) 41
42 Dekoherenssi Osan pupuongelmaa ratkaisee dekoherenssi. Systeemi on dekoherentti, kun siinä ei esiinny interferenssiä eri mitattavien tilojen välillä. Vuorovaikutus ulkomaailman kanssa lomittaa systeemin ja maailman: Esimerkiksi elävä pupu hengittää, joten laatikosta tulee hiilidioksidimolekyylejä. (Yksinkertaisempi esimerkki: isolla molekyylillä on monta mahdollista viritystilaa, ja joku niistä voi emittoida fotonin kaksoisrakokokeen aikana.) Vuorovaikutus kytkee systeemin ja ulkomaailman yhdeksi kokonaisuudeksi, siten että molempien tila määräytyy samalla kertaa. Jäniksen tila siis näyttää aina määrätyltä! Mutta... dekoherenssi ei kerro miten koko systeemin tila määräytyy (romahdus) eikä sitä mikä vaihtoehdoista nähdään (epädeterminismi). 42
43 KvanJmekaniikka summa summarum Kvanttimekaniikka on lineaarinen, epädeterministinen teoria, joka kuvaa N:n hiukkasen systeemiä. Systeemin tilaa kuvaa tilavektori tai aaltofunktio Ψ, jonka aikakehityksen kertoo Schrödingerin yhtälö. i!!" % ( = H" = '#!2!t 2m $2 +V(x) *" & ) Ψ on todennäköisyysamplitudi: Ψ 2 on todennäköisyystiheys. Planckin vakion h määrää kvanttiefektien merkityksen: klassinen fysiikka vastaa rajaa h 0. Aaltohiukkasdualismi: vapaan hiukkasen ratkaisu on aalto, ja toisaalta energia (ja tietyt muut suureet) ovat kvantittuneita. E =!! p =!k 43
44 Schrödingerin yhtälö on lineaarinen, eli ratkaisujen summa on ratkaisu: superpositioperiaate. Superpositiotilassa kaikilla havaintosuureilla ei ole määrättyä arvoa. (Bellin epäyhtälö.) Havaintosuureiden arvo määräytyy vasta mitattaessa. Joidenkin suureiden arvot eivät voi olla samanaikaisesti mielivaltaisen tarkasti määrättyjä: Heisenbergin epämääräisyysperiaate.!x!p "! 2 Mittauksessa aaltofunktio romahtaa johonkin tilaan. Tämä prosessi on epädeterministinen eikä sillä ole mitään matemaattista kuvailua. Kööpenhaminan tulkinta: mittauksen tekeminen romahduttaa tilan. Moderni näkemys: vuorovaikutus ympäristön kanssa (dekoherenssi) plus jäljelle jäävä epädeterminismin kummallisuus... Hiukkanen laatikossa: hiukkasen rajoittaminen äärelliselle alueelle johtaa energian kvantittumiseen (vrt. hyppynarun taajuudet). Realistinen esimerkki: vetyatomi. Voidaan johtaa Bohrin atomimallin energiaspektri lähtien Schrödingerin yhtälöstä. 44
Kvan%fysiikan historiaa
Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925:
LisätiedotKvan%fysiikan historiaa
Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925:
LisätiedotFysiikkaa runoilijoille Osa 4: kvanttimekaniikka
Fysiikkaa runoilijoille Osa 4: kvanttimekaniikka Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja fysiikan tutkimuslaitos www.helsinki.fi/yliopisto 1 Modernin fysiikan sukupuu Klassinen fysiikka Kvanttimekaniikka
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotBohr Einstein -väittelyt. Petteri Mäntymäki Timo Kärkkäinen
Bohr Einstein -väittelyt Petteri Mäntymäki Timo Kärkkäinen Esityksen sisältö Kvanttivallankumous Epätarkkuusperiaate Väittelyt Yhteenveto 24.4.2013 2 Kvanttivallankumous Alkoi 1900-luvulla (Einstein, Planck,
LisätiedotKvan%fysiikan historiaa
Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925:
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 2 Mar$kainen Jani- Petri Assarointimainos Fyssa tarvitsee assareita Noin 30 euroa tun$+ lisiä tyypillises$ n. 4h/viikko, muba voi olla enemmän/vähemmän Opintosuoritukset+ lyhyt
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotTeoreetikon kuva. maailmankaikkeudesta
Teoreetikon kuva Teoreetikon kuva hiukkasten hiukkasten maailmasta maailmasta ja ja maailmankaikkeudesta maailmankaikkeudesta Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto Lapua 5. 5. 2012 Miten
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotHiukkasfysiikan luento 21.3.2012 Pentti Korpi. Lapuan matemaattisluonnontieteellinen seura
Hiukkasfysiikan luento 21.3.2012 Pentti Korpi Lapuan matemaattisluonnontieteellinen seura Atomi Aine koostuu molekyyleistä Atomissa on ydin ja fotonien ytimeen liittämiä elektroneja Ytimet muodostuvat
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
Lisätiedotja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005
LisätiedotKVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotTodennäköisyys ja epämääräisyysperiaate
Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotFysiikka 8. Aine ja säteily
Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotSchrödingerin yhtälö ' % !!(t, x) !(t, x) = e! "(x). ' E!(x) = &"!2 % Kvan4mekaniikassa systeemin 8laa kuvaa täydellises8 aaltofunk8o.
Schrödingerin yhtälö Kvan4mekaniikassa systeemin 8laa kuvaa täydellises8 aaltofunk8o. Kun poten8aali tunnetaan, aaltofunk8o voidaan ratkaista Schrödingerin yhtälöstä. i!!!(t, x)!t $ ' = &!2 2m #2 +V(x)
LisätiedotEsimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:
Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka 04: Harjoitus 5 Ratkaisut Tehtävä a) Vapautunut energia saadaan laskemalla massan muutos reaktiossa: E = mc = [4(M( H) m e ) (M( 4 He) m e ) m e ]c = [4M( H) M( 4 He) 4m e ]c =
LisätiedotKvan%fysiikan perusteet kevät 2014
Kvan%fysiikan perusteet kevät 2014 Luennot maanantaisin ja tiistaisin 12-14, D101 Syksy Räsänen: C326 Laskuharjoitukset (25% arvosanasta) Anna-Stiina Suur-Uski (C329) ja Jussi Väliviita (A329) Neljä ryhmää:
LisätiedotKvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi
Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotSUPER- SYMMETRIA. Robert Wilsonin Broken Symmetry (rikkoutunut symmetria) Fermilabissa USA:ssa
SUPER- SYMMETRIA Robert Wilsonin Broken Symmetry (rikkoutunut symmetria) Fermilabissa USA:ssa Teemu Löyttinen & Joni Väisänen Ristiinan lukio 2008 1. Sisällysluettelo 2. Aineen rakenteen standardimalli
LisätiedotHiukkasfysiikkaa. Tapio Hansson
Hiukkasfysiikkaa Tapio Hansson Aineen Rakenne Thomson onnistui irrottamaan elektronin atomista. Rutherfordin kokeessa löytyi atomin ydin. Niels Bohrin pohdintojen tuloksena elektronit laitettiin kiertämään
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
LisätiedotAineen olemuksesta. Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto
Aineen olemuksesta Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto Miten käsitys aineen perimmäisestä rakenteesta on kehittynyt aikojen kuluessa? Mitä ajattelemme siitä nyt? Atomistit Loogisen päättelyn
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotNeutriinokuljetus koherentissa kvasihiukkasapproksimaatiossa
Neutriinokuljetus koherentissa kvasihiukkasapproksimaatiossa Graduseminaari Joonas Ilmavirta Jyväskylän yliopisto 15.6.2012 Joonas Ilmavirta (JYU) Neutriinot ja cqpa 15.6.2012 1 / 14 Osa 1: Neutriinot
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotTilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy
z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
Lisätiedot8. MONIELEKTRONISET ATOMIT
8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8.1. ELEKTRONIN SPIN Epärelativistinen kvanttimekaniikka selittää vetyatomin rakenteen melko tarkasti, mutta edelleen kokeellisissa atomien energioiden mittauksissa oli selittämättömiä
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
LisätiedotKvan%fysiikan historiaa
Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925:
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotHiukkasfysiikka. Katri Huitu Alkeishiukkasfysiikan ja astrofysiikan osasto, Fysiikan laitos, Helsingin yliopisto
Hiukkasfysiikka Katri Huitu Alkeishiukkasfysiikan ja astrofysiikan osasto, Fysiikan laitos, Helsingin yliopisto Nobelin palkinto hiukkasfysiikkaan 2013! Robert Brout (k. 2011), Francois Englert, Peter
LisätiedotAtomimallit. Tapio Hansson
Atomimallit Tapio Hansson Atomin käsite Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Filosofi Demokritos päätteli (n. 400 eaa.), että äärellisen maailman tulee koostua äärellisistä, jakamattomista hiukkasista
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
Lisätiedotperushiukkasista Perushiukkasia ovat nykykäsityksen mukaan kvarkit ja leptonit alkeishiukkasiksi
8. Hiukkasfysiikka Hiukkasfysiikka kuvaa luonnon toimintaa sen perimmäisellä tasolla. Hiukkasfysiikan avulla selvitetään maailmankaikkeuden syntyä ja kehitystä. Tutkimuskohteena ovat atomin ydintä pienemmät
LisätiedotJatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotJukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2
S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotKvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.
Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät
LisätiedotArttu Haapiainen ja Timo Kamppinen. Standardimalli & Supersymmetria
Standardimalli & Supersymmetria Standardimalli Hiukkasfysiikan Standardimalli on teoria, joka kuvaa hiukkaset ja voimat, jotka vaikuttavat luonnossa. Ympärillämme näkyvä maailma koostuu ylös- ja alas-kvarkeista
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
Lisätiedot766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013
766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotFysiikkaa runoilijoille Osa 7: kohti kaiken teoriaa
Fysiikkaa runoilijoille Osa 7: kohti kaiken teoriaa Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja fysiikan tutkimuslaitos www.helsinki.fi/yliopisto 1 Modernin fysiikan sukupuu Klassinen mekaniikka
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotFysiikkaa runoilijoille Osa 5: kvanttikenttäteoria
Fysiikkaa runoilijoille Osa 5: kvanttikenttäteoria Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja fysiikan tutkimuslaitos www.helsinki.fi/yliopisto 1 Modernin fysiikan sukupuu Klassinen mekaniikka
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotFysiikan maailmankuva 2015
Fysiikan maailmankuva 2015 Luento 9/Juha Vaara juha.vaara@iki.fi (Merkittävä osa esitettävästä materiaalista on peräisin FT Teemu S. Pennaselta) Symmetria Aineen rakenne SISÄLTÖ Kuuluisia fyysikoita (ajan
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotFysiikan Nobel 2008: Uusia tosiasioita aineen perimmäisistä rakenneosasista
Fysiikan Nobel 2008: Uusia tosiasioita aineen perimmäisistä rakenneosasista K. Kajantie keijo.kajantie@helsinki.fi Tampere, 14.12.2008 Fysiikan (teoreettisen) professori, Helsingin yliopisto, 1970-2008
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 4. Martikainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 4 Martikainen Jani- Petri Viimeksi Ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö Alkuarvo- ongelman ratkaisu Aaltofunktio Tänään Mittauspostulaatti Diracin merkintätapa. Hermiittiset operaattorit
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot2m 2 r + V (r) ψ n (r) = ɛ n ψ n (r)
Kvanttimekaniikka I. 5. 4 tentti : 4 tehtävää, 4 tuntia. (a (p. Tarkastellaan keskeisliikettä potentiaalissa V (r = V (r, missä r = r on keskeisliikkeeseen liittyvä suhteellinen etäisyys. Separoi Schrödingerin
LisätiedotSidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja
LisätiedotSMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO
SMG KENTTÄ JA LIIKKUVA KOORDINAATISTO LiikeJla vaiku5aa siihen, miten kentät syntyvät ja miten hiukkaset kokevat kenben väli5ämät vuorovaikutukset ja miltä kentät näy5ävät. Vara5u hiukkanen kokee sähkömagneebsen
LisätiedotDemo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen
Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.
Lisätiedot