Kvan%fysiikan historiaa
|
|
- Hanna Pesonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925: Heisenbergin matriisimekaniikka 1926: Schrödingerin yhtälö 1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate 1928: Diracin yhtälö 1949: Quantum Electrodynamics (QED) 1964: Higgsin mekanismi 1965: kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) 1967: sähköheikko vuorovaikutus 1973: asymptoottinen vapaus : supersymmetria, Grand Unified Theory (GUT), säieteoria, supergravitaatio 1
2 Operaa3oriformalismi Heisenbergin matriisimekaniikasta juontuva nykyaikainen formalismi kvanttimekaniikalle. Kvanttimekaniikan luontainen kieli on lineaarialgebra, ja operaattoriformalismi hyödyntää sitä. Heisenbergin tavoitteena oli keskittyä siihen, mitä voidaan havaita. Ideana on se, että systeemin tilaa kuvaa täydellisesti tiettyjen kvanttilukujen kokoelma. Mitkä nämä ovat, riippuu systeemistä (eli Hamiltonin operaattorista). Esimerkiksi hiukkaselle laatikossa riittää n, vetyatomille tarvitaan n, l ja m. 2
3 Tilavektorit Keskeinen käsite on tilavektori, joka sisältää kaiken informaation (eli kvanttiluvut) systeemistä. Ei lähdetä aaltofunktiosta, se on johdettu käsite. Tilavektoria merkitään seuraavasti: tänne kaikki 8laa kuvaavat kvan%luvut Esimerkkinä vetyatomi:! = nlm n =1, 2,3,... l = 0,1, 2,..., n!1 m = 0,±1,...,±l Vetyatomilla ei ole muuta identiteettiä kuin nämä kvanttiluvut. 3
4 Systeemin kaikkien mahdollisten 8lojen muodostama vektoriavaruus on nimeltään Hilber'n avaruus. Se on ääretönulo3einen vektoriavaruus. Tila on vektori avaruudessa, jonka kannan muodostavat Hamiltonin operaa3orin ominais8lat. Aaltofunk8oiden tapauksessa kirjoi3aisimme: " a 1 % $ ' a!(t, x) =! a n! n (t, x) = $ 2 ' $ a n 3 ' $ ' #... &! 1 $ # & 0! 1 (t, x) = # & # 0 & # & "...%! 0 $ # & 1,! 2 (t, x) = # & # 0 & # & "...%, jne. 4
5 Tilavektorien tapauksessa kirjoitamme: " a 1 % $ ' a!(t) =! a n! n (t) = $ 2 ' $ a n 3 ' $ ' #... &! 1 $ # & 0! 1 (t) = # & # 0 & # & "...%! 0 $ # & 1,! 2 (t) = # & # 0 & # & "...%, jne. 5
6 Tilavektorien välinen pistetulo on määritelty, ihan kuin tavallisten (kompleksisten) vektorien pistetulo.! Jos 8la vastaa pystyvektoria ( ket- vektori ), niin vastaavaa vaakavektoria ( bra- vektori ) merkitään symbolilla Tarkalleen o3aen bra- vektori ei ole vain ket- vektorin transpoosi, vaan myös kompleksikonjugaa%.! Pistetuloa bra- vektorin m ja ket- vektorin n välillä merkitään m n (Huumori: bra- ket, bracket.) Jos vektorit ovat ortonormite3uja (eli ortogonaalisia ja normite3uja), niin pistetulo on m n =! mn Tämä on kuin tavallisessa vektoriavaruudessa: jos vektorit ovat koh8suorassa, niiden pistetulo on nolla, ja yksikkövektorin pistetulo itsensä kanssa on yksi. 6
7 Hamiltonin operaa3orin ominais8lat ovat ortogonaalisia, ja ne voi normi3aa. Tämä vastaa aaltofunk8oiden ortonormaalisuu3a: " # dx! * m (t, x)! n (t, x) = " mn $ m n = " mn!" Aaltofunk8o on normite3u siten, e3ä integraali yli koko avaruuden on 1 (hiukkanen on aina jossain). Tätä vastaa se, e3ä 8lavektorin pituus on 1. Jos hiukkanen on 8etyssä Hamiltonin operaa3orin ominais8lassa, niin todennäköisyys löytää se mistään muusta Hamiltonin operaa3orin ominais8lasta on nolla. 7
8 2 ψ 3,... superposi8o! " n=1! = c n n 1 bra- vektorin kertoimet ovat kompleksikonju- gaa3eja:! " n=1! = c * n n Todennäköisyysamplitudi löytää 8la m 8lasta ψ: m! =! c n m n! = c m " mn P(m) = c m 2 Aaltofunk8on romahtaminen 8lan romahtaminen mi3auksessa ψ = c n n n 8
9 Operaa3orit kuten liikemääräoperaa3ori tai Hamiltonin operaa3ori muu3avat vektoreita toisiksi. Vrt. matriisit ja vektorit: ˆMx n =! n x n operaa3oreita merkitään hatulla ominaisarvoa vastaava ominaisvektori operaa3ori ominaisarvo Vastaavas8 operaa3orin operoidessa 8laan! a 1 $ # & ˆM! = ˆM # a 2 & # a 3 & # & "... % ääretönulo3einen matriisi! " jos! on M:n ominais8la kääntyy Hilber8n avaruudessa joksikin toiseksi 8laksi, jos ei ole M:n ominais8la 9
10 NOTAATIO: ˆM operaa3ori! n operaa3orin ominaisarvo numero n n ominaisarvoa λ n vastaava ominais8la Operaa3ori operoi 8laan: ˆM! 10
11 Esimerkkejä operaa3oreista aaltofunk8oiden tapauksessa: Paikkaoperaa3ori kertoo aaltofunk8on paikkakoordinaa8lla: ˆx!(x,t) = x!(x,t) Liikemääräoperaa3ori derivoi aaltofunk8on: ˆp!(x,t) =!i! "! "x (x,t) Hamiltonin operaa3ori derivoi kahdes8 ja kertoo poten8aalilla: # Ĥ!(x,t) = %!!2 $ 2m " 2 "x +V(x) & (!(x,t) 2 ' Kaikki aaltofunk8ot ovat paikan ominaisfunk8oita. Tasoaallot e ikx ovat liikemäärän ominaisfunk8oita. Sta8onaariset 8lat ovat Hamiltonin operaa3orin ominaisfunk8oita. 11
12 Schrödingerin yhtälö kuvaa sitä, miten systeemi vaeltaa vektoriavaruudessa: i!!!t!(t) = Ĥ!(t) Sta8onaaristen 8lojen tapauksessa saadaan (tässä n kuvaa kaikkia kvan%lukuja) Ĥ n = E n n Schrödingerin yhtälö muu3uu osi3aisdifferen8aaliyhtälöstä lineaarialgebran yhtälöksi. 12
13 Operaa3orin odotusarvo 8lassa ψ Â =! Â!! Â = $ dx! * (t, # "# x)â!(t, x) Esimerkki: Hamiltonin operaa3orin odotusarvo ominais8lassaan. Ĥ =! n Ĥ! n! n Ĥ n = n E n n = E n n n = E n 13
14 Kommutoiminen Se, että joillakin havaintosuureilla ei voi samaan aikaan olla määrättyä arvoa, seuraa operaattoriformalismissa siitä, että operaattorien kertolasku ei kommutoi. Jos kaksi operaattoria (voi taas ajatella matriiseja) on sellaista, että niille AB=BA, sanotaan että ne kommutoivat. Jos taas AB BA, sanotaan että eivät kommutoi. (Yleensä ottaen matriisit eivät kommutoi.) Jos kahta havaintosuuretta vastaavat operaattorit eivät kommutoi, suureilla ei voi olla samaan aikaan määrättyä arvoa. 14
15 Kommutaa3ori Operaattorien A ja B kommutaattori on [Â, ˆB]! Â ˆB " ˆBÂ Esimerkki aaltofunktioiden tapauksessa [ ˆx, ˆp]! =!xi! " "x! # %!i! " $ "x (x!) & ( = i!! '! [ ˆx, ˆp] = i! Voidaan osoittaa, että ylläolevasta kommutaattorista seuraa Heisenbergin epämääräisyysperiaate:!x!p "! 2 Kulmaliikemäärän kaikilla komponenteilla ei voi olla samaan aikaan määrättyä arvoa, koska ne eivät kommutoi keskenään. 15
16 Aika ja energia Energiaa vastaa Hamiltonin operaattori. Kvanttimekaniikassa ei ole operaattoria, joka vastaisi aikaa. Aika ei myöskään ole koskaan kvantittunut, vaan se on samanlainen kuin klassisessa fysiikassa: jatkuva suure, joka on sama kaikkialla ja kaikille havaitsijoille ja joka kertoo, missä vaiheessa systeemin kehitystä ollaan. Aika ei siis koskaan ole epämääräinen, eikä ajan ja energian välillä ole samanlaista epämääräisyyssuhdetta kuin paikan ja liikemäärän. 16
17 Tahdon aaltofunk2on takaisin! x!(t) =!(t, x) Tilan ψ projek8o paikkaoperaa3orin ominais8laan kertoo, mikä todennäköisyys on löytää hiukkanen paikasta x, kun 8la on ψ. p!(t) =!(t, p) Vastaavas8 voidaan määritellä aaltofunk8o liikemäärälle, joka kertoo liikemäärän todennäköisyysjakauman. (Ei mennä tähän tarkemmin!) 17
18 Operaa9oriformalismi miksi piitata? Notaa8o on kompak8mpi: " # dx! * n (t, x)! m (t, x) $ n m!" Kvan%mekaniikan sääntöjen merkitys on läpinäkyvämpi (superposi8o, ortonormitus, operaa3oreiden epäkommuta8ivisuus). Tila on yleisempi käsite kuin aaltofunk8o (joka on paikka- avaruuden todennäköisyysamplitudi, eli vain yksi mahdollinen amplitudi muiden joukossa). Tilalla voi kuvata abstrak8mpia asioita kuin aaltofunk8olla. Esimerkiksi: tyhjö on myös 8la: hiukkasen spin: 0 s, s z 18
19 Spin Spin on hiukkasten puhtaas8 kvan%mekaaninen ominaisuus, jolla ei ole vas8ne3a klassisessa fysiikassa. Matemaa%silta ominaisuuksiltaan spin muistu3aa pyörimisliikemäärää, joten sitä voi kuvailla hiukkasen sisäiseksi pyörimiseksi. Sähköises8 varatun hiukkasen spin vuorovaiku3aa magnee%kentän kanssa kuten hiukkasen pyörimisliike, joten voi sanailla hiukkasen olevan pieni magnee%. Spiniä kuvaa vektori S, jonka pituus ja z- komponen% voivat olla samaan aikaan määrä3yjä (vrt. kulmaliikemäärä). Ŝ 2 s, s z Ŝ z s, s z =! 2 s(s +1) s, s z =!s z s, s z
20 Ŝ 2 s, s z Ŝ z s, s z =! 2 s(s +1) s, s z =!s z s, s z vrt. ˆL 2 lm =! 2 l(l +1) lm ˆL z lm =!m lm Kulmaliikemäärän tapauksessa l ja m ovat kokonaislukuja, jotka riippuvat systeemin pyörimis8lasta. Spin- vektorin pituus (eli kvan%luku s) riippuu vain hiukkastyypistä, ja se on kokonaisluku tai puoliluku. Esimerkiksi elektronille s=1/2, fotonille s=1, Higgsin bosonille s=0. Kuten m, s z muu3uu yhden yksiköissä välillä [- s,s]. Elektronille s = 1 2 ; s z = ± 1 2 elektronin spin on ½ 20
21 Elektronin spin- 2la s, s z = 1 2,± 1 2! ± s, s z s, s' z =! sz s' z Ŝ 2 s, s z =! 2 s(s +1) s, s z = 3 4!2 ± kokonaisspin Ŝ z s, s z =!s z s, s z = ± 1 2! ± spinin z- komponen% 21
22 spinin z- Ŝ z s = ( Ŝz a + + b! ) =! ( 2 a +! b! ) spinin z- komponen2n odotusarvo s Ŝz s = ( a * + + b *! )Ŝz ( a + + b! ) =! ( 2 a 2 + +! b 2!! ) =! ( 2 a 2! b 2 ) Spinin 8la on superposi8ossa epämääräinen. Mi3auksessa havaitaan, e3ä spin on joko ylös tai alas 8la romahtaa 22
23 Kun 8edetään, e3ä puhutaan elektroneista, voidaan 8lassa jä3ää merkitsemä3ä kokonaisspin usein kirjoitetaan spin ylöspäin s, s z! s z " ± Yleinen spin- 8la on spin alaspäin! = a + + b! 1= s s = ( a * + + b *! )( a + + b! ) = a 2 + +! + a* b +! + ab*! +!# " $# + b 2! " a 2 + b 2 =1 1 normitus
24 Esimerkki vetyatomi Vetyatomia kuvaa kolme kvan%lukua.! = nlm Ĥ nlm = E n nlm =!! 2 mc 2 2n 2 nlm n =1, 2,3,... l = 0,1, 2,..., n!1 m = 0,±1,...,±l n kertoo energian ˆL 2 nlm =! 2 l(l +1) nlm ˆL z nlm =!m nlm l kertoo pyörimismäärän L itseisarvon m kertoo pyörimismäärän L z- komponen8n Energia ei riipu kvan%luvuista l ja m: energia on degeneroitunut. 24
25 Vetyatomin tarkassa kuvailussa on huomioitava elektronin (ja y8men) spin:! = nlms z Ĥ 0 = ˆp 2 2m! e2 1 4"# 0 r " Ĥ0 + e 2 1 8"# 0 m 2 c 2 r 3 kokonaiskulmaliikemäärä on J = L + S ˆL# Ŝ $ Ĥ0 + Ĥspin Ĥ! = E nl nlms z energian degeneraa8o häviää osin Kun huomioidaan vielä y8men magnee%ken3ä ja spin: Ĥ 0! Ĥ0 + Ĥspin + Ĥ B Ĥ! = E nlmsz nlms z energian degeneraa8o häviää täysin (eli jokaisella 8lalla on eri energia) 25
26 E nlmsz! E n'l'm's'z = h! spektriviivojen aallonpituudet Esimerkiksi vedyn perus8lan spin- flip, missä elektronin ja protonin spinit muu3uvat vastakkaisista samansuuntaisiksi:!e = 5.9µeV "!=21cm Vetyatomin spektri johda% kvan%mekaniikkaan. Nykyään sen energiatasoja osataan laskea ja fotonien aallonpituu3a mitata eri3äin tarkas8, ja tulokset vastaavat toisiaan. Vetyatomi on fysiikan menestystarina. 26
27 Spin ja avaruudelliset kvan%luvut elävät omissa vektoriavaruuksissaan ss z voimme kirjoi3aa nlm ψ = nlmss nlm z ss z = nlm ss z Spin- operaa3ori operoi vain spin- avaruudessa: Ŝ z! = Ŝz nlms ± = Ŝz nlm s ±! Ŝz nlm ± = nlm Ŝz ± = ±! 2 nlm ± 27
28 Monihiukkas2lat Monihiukkas8la voidaan kuvata yksihiukkas8lojen suorana tulona: ψ 1! =! 1! 2!! 1! 2 ψ 2 bra- vektoria merkitään vastaavas8:! =! 1! 2!! 1! 2 28
29 Esimerkiksi kahden spin- 1/2 hiukkasen muodostama spin- 0-8la: s 1 s 1z ;s 2 s 2z = 1 2 ±; 1 2!! ±;! Yleinen tällainen 8la on muotoa a +! + b! spinien z- komponen%en summa on nolla Normitus: 1= (a * +! + b*! + )(a +! + b! + ) = a 2 + +!! + b 2!! + + = a 2 + b 2 29
30 Tilan epämääräisyys: Schrödingerin jänis Suljetaan jänis laa8kkoon (koe toimii myös kissalla, jos se on hiljainen). Laa8kossa on mukana kapseli, joka rikkoutuu - tai si3en ei- radioak8ivisen hajoamisen takia. Kapselissa on myrkkykaasua. Meitä ei kiinnosta jäniksessä muu kuin henki. Kvan%systeemissä on siten kaksi 8laa elävä jänis! 1 ja kuollut jänis! 2 Tila on laa8kon sulkemisen jälkeen superposi8ossa!! a 1 (t) 1 + a 2 (t) 2 Kun laa8kko avataan, jänis on joko elävä tai kuollut: a 1 (t) 2 + a 2 (t) 2 =1 30
31 Kvan%mekaniikan formalismin mukaan: Annetaan Hamiltonin operaa3ori, joka kuvaa kapselin hajoamista (ja muita jäniksen kuolemaan mahdollises8 johtavia tekijöitä). Sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön ja ratkaistaan yhtälö sillä alkuehdolla, e3ä a 1 (t 0 )=1 ja a 2 (t 0 )=0. Saadaan kertoimet a 1 (t) ja a 2 (t). Matemaa%ses8 selkeää, mu3a tapahtuuko näin oikeas8? Ensinnäkin: onko pupu todella sekaisin? (Onko kyse todella epämääräisyydestä eikä epä8etoisuudesta?) Toisekseen: miksei tällaista superposi8o8laa nähdä makroskooppisessa maailmassa (toisin kuin elektronien tapauksessa)? 31
32 Tilojen lomi3uminen Kysymys yksi: onko pupu sekaisin? Epämääräisyys ja epä8etoisuus voidaan ero3aa toisistaan kokeellises8 tarkastelemalla lomi3uneita 8loja. Kvan%mekaaninen 8la on kokonaisuus, joka kuvaa koko systeemiä. Jos joidenkin suureiden (kuten kahden hiukkasen spinin) arvot riippuvat toisistaan, niin yhden mi3aaminen muu3aa samalla toistakin... olivatpa hiukkaset missä vain. Hiukkasten 8lat ovat lomi2uneet (entangled). 32
33 Esimerkki:! 0! e " e + Pioni hajoaa elektroni- positronipariksi. Pionin spin on 0, ja spinin z- komponen% säilyy, joten loppu8lan spin- komponen%en summa on myös 0. Elektroni ja positroni ovat symmetrisessä asemassa, joten kummallakin on 50% todennäköisyys osoi3aa ylös tai alas:! = 1 ( 2 e! + e +! + e!! e + + ) " 1 ( 2 +! +! + ) spin ylös spin alas spin alas spin ylös elektroni ja positroni ovat epämääräisissä spin- 8loissa Jos elektronin spin on alas, niin positronin spin on ylös, ja päinvastoin. Sanotaan, e3ä 8lat ovat lomi2uneet (entangled). Lomi3unu3a 8laa ei voi kirjoi3aa yksihiukkas8lojen suorana tulona. 33
34 spin ylös Pioni hajoaa spin ylös e + π 0 e - spin alas spin alas Jos mitataan elektronin spin, määräytyy positroninkin spin. Tila on korreloitunut raja3oman pitkien matkojen yli ja romahdus muu3aa sen väli3ömäs8 kaikkialla. (Kaukovaikutus, ac@on at a distance.) Mistä positroni 8etää, e3ä elektronin spin on mita3u, jos se on matkannut jo kauas pois? Väli3yykö informaa8ota valoa nopeammin? (Einstein- Podolsky- Rosen- paradoksi.) 34
35 EPR- paradoksin ratkaisu: 8lan romahdus ei välitä informaa8ota. Kun elektronin spin on mita3u olevan ylös, positronin spinin mi3aaja tulee saamaan tuloksen alas 100% todennäköisyydellä. Mu3a hän ei 8edä sitä ellei elektronin mitannut kerro! On sa3umanvaraista, kumman tulokseen saa, joten mi3aamalla ei voi väli3ää informaa8ota. (Epädeterminismi takaa tässä kausalitee8n säilymisen 8lan epämääräisyydestä huolima3a.) Kvan%mekaniikka ei ole lokaali teoria! (Lokaali teoria: vuorovaikutukset paikallisia, muutokset etenevät valon nopeudella.) Kvan%mekaniikka on kausaalinen teoria. (Informaa8ota ei voi väli3ää ajassa taaksepäin, syy ei voi olla seurauksen jälkeen.) aukkojen lii3yy 8lojen lomi3umiseen: jos osa systeemistä putoaa mustaan aukkoon, sen informaa8o menetetään lopullises8, mu3a loppusysteemi on yhä korreloitunut tuon menetetyn informaa8on kanssa. Ei mennä tähän tarkemmin!) 35
36 Einstein: spooky at a distance (hämyä kaukovaikutusta). Ehkä kvan%mekaniikka on väärin, ja elektronin/positronin spin määräytyy pionin hajoamishetkellä? Piilomuu2ujateorioiden idea: kvan%mekaniikan taustalla on determinis8nen (ja määrä3y) ja lokaali teoria. Teorian todelliset muu3ujat ovat meille (toistaiseksi?) tuntema3omat, mu3a niiden liikeyhtälöiden approksimaa8ona saadaan Schrödingerin yhtälö. Kvan%mekaniikka on vain approksimaa8o: kaukovaikutus, epämääräisyys, epädeterminismi ovat vain näennäisiä. Todennäköisyyskuvaus johtuu 8etämä3ömyydestä. Yllä3ävää kyllä, tätä ideaa voidaan kokeellises8 testata: Minkä tahansa determinis8sen ja lokaalin teorian, jossa systeemillä on aina määrä3y 8la, korrelaa8ot ovat erilaisia kuin epädeterminis8sen, epämääräisen ja epälokaalin kvan%mekaniikan. 36
37 Bellin epäyhtälö Jos elektronilta ja positronilta mitataan molemmilta z- komponen%, niin ei voi päätellä onko 8la määrä3y vai ei. Yleisempää 8lanne3a tarkastelemalla asiaan saadaan valaistusta. Mitä käy jos elektronilta mitataan ensin spinin z- komponen%, ja si3en positronilta x- komponen%? (Spin voidaan mitata missä suunnassa tahansa.) Kvan%mekaniikan mukaan positronin spinin z- komponen% on määrä3y, joten x- komponen% on epämääräinen. (Heisenbergin epämääräisyysperiaate.) Piilomuu3ujateoriassa kaikilla komponenteilla on koko ajan määrä3y arvo. Koska alku8lan spin on 0, elektronin ja positronin spinit ovat aina vastakkaiset. Mi3auksen jälkeen 8edetään elektronin spinin z- komponen% ja x- komponen% yhtä aikaa. 37
38 Piilomuu3ujateoriassa spinillä on määrä3y arvo suunnissa a, b ja c. Voidaan lue3eloida mahdolliset mi3austulokset: tapausten lukumäärä elektroni positroni N 1 a+, b+, c+ a-, b-, c- N 2 a+, b+, c- a-, b-, c+ N 3 a+, b-, c+ a-, b+, c- N 4 a+, b-, c- a-, b+, c+ N 5 a-, b+, c+ a+, b-, c- N 6 a-, b+, c- a+, b-, c+ N 7 a-, b-, c+ a+, b+, c- N 8 a-, b-, c- a+, b+ c+ Kokonaislukumäärä on N=Σ i N i, joten tapauksen i todennäköisyys on P i =N i /N. elektroni Voimme kirjoi3aa epäyhtälön (N i 0) N 3 + N!" # $#! N + N 4 2 4!# " $# + N + N 3 7!# " $# NP(a+,b+) ( ) NP(a+,c+) ( ) NP(c+,b+) positroni " P(a+, b+)! P(a+, c+)+ P(c+, b+) Bellin epäyhtälö (1964) 38
39 Mille tahansa lokaalille piilomuu3ujateorialle siis pätee P(a+, b+)! P(a+, c+)+ P(c+, b+) Tällä välin kvan%mekaniikassa: Jos on mita3u suunnassa a elektronin spiniksi +, niin positronin spin on 8lassa "! a = cos! % " ab $ '! # 2 & b + sin! % ab $ ' + # 2 & b missä θ ab on suun8en a ja b välinen kulma. todennäköisyys saada a+ Todennäköisyys P(a+,b+) on siis ½ * sin 2 (θ ab /2). Sama ju3u todennäköisyyksille P(a+,c+) ja P(c+,b+). Saadaan siis:! sin 2 # "! ab 2 $?! & % ' sin2 # "! ac 2 $! &+ sin 2 # % "! cb 2 $ & % 39
40 ! sin 2 # "! ab 2 $?! & % ' sin2 # "! ac 2 $! &+ sin 2 # % "! cb 2 $ & % Tämä epäyhtälö ei päde kaikille kulmille. Valitaan vaikkapa θ ac =θ cb =θ ja θ ab =2θ. Saadaan epäyhtälöksi! cos 2! $? # & " 2 % ' 1 2 sin! = 2sin (! / 2)cos (! / 2) 0!!! " 2 Tämä epäyhtälö rikkoutuu kaikilla kulman arvoilla. Teoree%ses8 siis kvan%mekaniikka rikkoo Bellin epäyhtälöä. Syynä on se, e3ä systeemi ei ole määrätyssä 8lassa. 40
41 Kokeellinen testaus (1982): fotonien polarisaa8oiden korrelaa8ot rikkovat Bellin epäyhtälöä ja ovat sopusoinnussa kvan%mekaniikan kanssa. (Useita muita kokeita sen jälkeen.) lokaalit piilomuu3ujateoriat eivät kuvaa todellisuu3a Kvan%mekaniikan todennäköisyydessä on kyse epämääräisyydestä, ei epä8etoisuudesta. Empiiristä filosofiaa: maailman 8la ei ole määrä3y. Ei voida sanoa, e3ä joko väite tai sen ris8riita on tosi. (Ei ole niin, e3ä pupu olisi kuollut, mu3a ei ole myöskään niin e3ä se ei olisi kuollut.) Kvan%mekaniikka muu3aa käsityksen olemisesta ja tapahtumisesta. (Ei voida sulkea pois mahdollisuu3a, e3ä todellinen teoria on kuitenkin determinis8nen, mu3a silloin sen pitää olla ei- lokaali tai muuten kummallinen. Yritykset tällaisiksi teorioiksi eivät ole olleet kovin onnistuneita.) 41
42 Takaisin romahdukseen Pupu siis voi olla sekaisin. Miksei tätä nähdä? Miksi makroskooppisessa maailmassa asioilla näyttää olevan määrätty tila? Miten se määräytyy? Kööpenhaminan tulkinta: tila romahtaa mitattaessa. Ongelmia: Onko mittaaja erikoisasemassa? Kuka kelpaa mittaajaksi? Kuka mittaa mittaajia? (Tulkinta olettaa klassisen kuvauksen mittaajasta!) Kosmologia: eikö maailmankaikkeuden tila ole määrätty ennen kuin joku kehittyy sitä mittaamaan? (Entä inflaation kvanttifluktuaatiot?) 42
43 Dekoherenssi Osan pupuongelmaa ratkaisee dekoherenssi. Systeemi on dekoherentti, kun siinä ei esiinny interferenssiä eri mitattavien tilojen välillä. Vuorovaikutus ulkomaailman kanssa lomittaa systeemin ja maailman: Esimerkiksi elävä pupu hengittää, joten laatikosta tulee hiilidioksidimolekyylejä. (Yksinkertaisempi esimerkki: isolla molekyylillä on monta mahdollista viritystilaa, ja joku niistä voi emittoida fotonin kaksoisrakokokeen aikana.) Vuorovaikutus kytkee systeemin ja ulkomaailman yhdeksi kokonaisuudeksi, siten että molempien tila määräytyy samalla kertaa. Jäniksen tila siis näyttää aina määrätyltä! 43
44 Mutta... dekoherenssi ei kerro miten koko systeemin tila määräytyy (romahdus) eikä sitä mikä vaihtoehdoista nähdään (epädeterminismi). 44
45 Kvan%mekaniikan yhteenveto Kvan%mekaniikka on lineaarinen, epädeterminis8nen teoria, joka kuvaa N:n hiukkasen systeemiä. Systeemiä kuvaa ajasta riippuva 8lavektori, jonka aikakehitys määräytyy Schrödingerin yhtälöstä: i!!!t!(t) = Ĥ!(t) Tilavektorista voidaan johtaa aaltofunk8o ψ(t.x), joka on todennäköisyysamplitudi sille, e3ä hiukkanen löytyy pisteestä x hetkellä t. Planckin vakio h määrää kvan%efek8en merkityksen: klassinen fysiikka vastaa rajaa h 0. 45
46 Aaltohiukkasdualismi tarkoi3aa sitä, e3ä elektroni ei ole aalto eikä hiukkanen, mu3a molemmat mallit kuvaavat oikein joitain sen piirteitä. Vapaan hiukkasen ratkaisu on tasoaalto, ja toisaalta sido3ujen 8lojen energia on kvan83unut. Hiukkanen laa8kossa: hiukkasen rajoi3aminen äärelliselle alueelle johtaa energian kvan83umiseen (vrt. hyppynarun taajuudet). Realis8nen esimerkki: vetyatomi. Voidaan johtaa Bohrin atomimallin energiaspektri läh8en Schrödingerin yhtälöstä. Koska Schrödingerin yhtälö on lineaarinen, ratkaisujen lineaarikombinaa8o on ratkaisu: superposi8operiaate. Superposi8o8lassa kaikilla havaintosuureilla ei ole määrä3yä arvoa. Joidenkin suureiden arvot eivät voi olla samanaikaises8 mielivaltaisen tarkas8 määrä3yjä. (Heisenbergin epämääräisyysperiaate.) 46
47 Havaintosuureiden arvo määräytyy vasta mita3aessa. (Bellin epäyhtälö.) Mi3auksessa aaltofunk8o romahtaa johonkin 8laan. Tämä prosessi on epädeterminis8nen. Kööpenhaminan tulkinta: mi3auksen tekeminen romahdu3aa 8lan. Moderni näkemys: vuorovaikutus ympäristön kanssa (dekoherenssi) tekee 8lan määrätyn näköiseksi. 47
Kvan%fysiikan historiaa
Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925:
LisätiedotKVANTTIFYSIIKAN HISTORIAA (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!)
KVANTTIFYSIIKAN HISTORIAA (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925:
LisätiedotFysiikkaa runoilijoille Osa 4: kvanttimekaniikka
Fysiikkaa runoilijoille Osa 4: kvanttimekaniikka Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja fysiikan tutkimuslaitos www.helsinki.fi/yliopisto 1 Modernin fysiikan sukupuu Klassinen fysiikka Kvanttimekaniikka
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotSchrödingerin yhtälö ' % !!(t, x) !(t, x) = e! "(x). ' E!(x) = &"!2 % Kvan4mekaniikassa systeemin 8laa kuvaa täydellises8 aaltofunk8o.
Schrödingerin yhtälö Kvan4mekaniikassa systeemin 8laa kuvaa täydellises8 aaltofunk8o. Kun poten8aali tunnetaan, aaltofunk8o voidaan ratkaista Schrödingerin yhtälöstä. i!!!(t, x)!t $ ' = &!2 2m #2 +V(x)
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 2 Mar$kainen Jani- Petri Assarointimainos Fyssa tarvitsee assareita Noin 30 euroa tun$+ lisiä tyypillises$ n. 4h/viikko, muba voi olla enemmän/vähemmän Opintosuoritukset+ lyhyt
Lisätiedot1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus
KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen
LisätiedotKvan%fysiikan historiaa
Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925:
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli
LisätiedotBohr Einstein -väittelyt. Petteri Mäntymäki Timo Kärkkäinen
Bohr Einstein -väittelyt Petteri Mäntymäki Timo Kärkkäinen Esityksen sisältö Kvanttivallankumous Epätarkkuusperiaate Väittelyt Yhteenveto 24.4.2013 2 Kvanttivallankumous Alkoi 1900-luvulla (Einstein, Planck,
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
LisätiedotEsimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:
Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän
LisätiedotKvan%fysiikan perusteet kevät 2014
Kvan%fysiikan perusteet kevät 2014 Luennot maanantaisin ja tiistaisin 12-14, D101 Syksy Räsänen: C326 Laskuharjoitukset (25% arvosanasta) Anna-Stiina Suur-Uski (C329) ja Jussi Väliviita (A329) Neljä ryhmää:
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotTodennäköisyys ja epämääräisyysperiaate
Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain
Lisätiedotja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005
LisätiedotKVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI
LisätiedotTeoreetikon kuva. maailmankaikkeudesta
Teoreetikon kuva Teoreetikon kuva hiukkasten hiukkasten maailmasta maailmasta ja ja maailmankaikkeudesta maailmankaikkeudesta Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto Lapua 5. 5. 2012 Miten
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 76633A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 3 5-3 Kuorimalli Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 011 Kuva 7-13 esittää, miten parillis-parillisten ydinten ensimmäisen
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotYdin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1
Ydin- ja hiukkasfysiikka 04: Harjoitus 5 Ratkaisut Tehtävä a) Vapautunut energia saadaan laskemalla massan muutos reaktiossa: E = mc = [4(M( H) m e ) (M( 4 He) m e ) m e ]c = [4M( H) M( 4 He) 4m e ]c =
LisätiedotFysiikka 8. Aine ja säteily
Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotTilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz. = f(x,y,z)dx dy
z 2 y 2 x 2 z y x Tilavuusintegroin. f(x,y,z)dxdydz z 2 y 2 x 2 = f(x,y,z)dx dy dz z y x Tyypillises. kemian sovelluksissa f(x,y,z) on massa.heys, jolloin integraalin arvo on massa alueella jota integroin.rajat
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotHiukkasfysiikan luento 21.3.2012 Pentti Korpi. Lapuan matemaattisluonnontieteellinen seura
Hiukkasfysiikan luento 21.3.2012 Pentti Korpi Lapuan matemaattisluonnontieteellinen seura Atomi Aine koostuu molekyyleistä Atomissa on ydin ja fotonien ytimeen liittämiä elektroneja Ytimet muodostuvat
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotKvan%fysiikan historiaa
Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925:
LisätiedotHiukkasfysiikkaa. Tapio Hansson
Hiukkasfysiikkaa Tapio Hansson Aineen Rakenne Thomson onnistui irrottamaan elektronin atomista. Rutherfordin kokeessa löytyi atomin ydin. Niels Bohrin pohdintojen tuloksena elektronit laitettiin kiertämään
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotKvanttimekaniikka: Luento 4. Martikainen Jani- Petri
Kvanttimekaniikka: Luento 4 Martikainen Jani- Petri Viimeksi Ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö Alkuarvo- ongelman ratkaisu Aaltofunktio Tänään Mittauspostulaatti Diracin merkintätapa. Hermiittiset operaattorit
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
Lisätiedotperushiukkasista Perushiukkasia ovat nykykäsityksen mukaan kvarkit ja leptonit alkeishiukkasiksi
8. Hiukkasfysiikka Hiukkasfysiikka kuvaa luonnon toimintaa sen perimmäisellä tasolla. Hiukkasfysiikan avulla selvitetään maailmankaikkeuden syntyä ja kehitystä. Tutkimuskohteena ovat atomin ydintä pienemmät
Lisätiedot3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics
3.6 Feynman s formulation of quantum mechanics Course MAT-66000: Quantum mechanics and the particles of nature Ilkka Kylänpää Tampere University of Technology 14.10.2010 Sisältö Johdattelua Klassinen action
LisätiedotSUPER- SYMMETRIA. Robert Wilsonin Broken Symmetry (rikkoutunut symmetria) Fermilabissa USA:ssa
SUPER- SYMMETRIA Robert Wilsonin Broken Symmetry (rikkoutunut symmetria) Fermilabissa USA:ssa Teemu Löyttinen & Joni Väisänen Ristiinan lukio 2008 1. Sisällysluettelo 2. Aineen rakenteen standardimalli
LisätiedotNeutriinokuljetus koherentissa kvasihiukkasapproksimaatiossa
Neutriinokuljetus koherentissa kvasihiukkasapproksimaatiossa Graduseminaari Joonas Ilmavirta Jyväskylän yliopisto 15.6.2012 Joonas Ilmavirta (JYU) Neutriinot ja cqpa 15.6.2012 1 / 14 Osa 1: Neutriinot
Lisätiedot766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013
766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotAineen olemuksesta. Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto
Aineen olemuksesta Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto Miten käsitys aineen perimmäisestä rakenteesta on kehittynyt aikojen kuluessa? Mitä ajattelemme siitä nyt? Atomistit Loogisen päättelyn
Lisätiedot6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:
6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus
LisätiedotKvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi
Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)
LisätiedotAtomimallit. Tapio Hansson
Atomimallit Tapio Hansson Atomin käsite Atomin käsite on peräisin antiikin Kreikasta. Filosofi Demokritos päätteli (n. 400 eaa.), että äärellisen maailman tulee koostua äärellisistä, jakamattomista hiukkasista
LisätiedotJatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen
Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti
Lisätiedot766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka
1 766334A Ydin- ja hiukkasfysiikka Luentomonistetta täydentävää materiaalia: 4 Juhani Lounila Oulun yliopisto, Fysiikan laitos, 01 6 Radioaktiivisuus Kuva 1 esittää radioaktiivisen aineen ydinten lukumäärää
LisätiedotDemo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen
Demo: Kahden elektronin spintilojen muodostaminen Tämän demonstraation tarkoituksena on havainnollistaa kvanttimekaniikan operaattoriformalismin soveltamista kahden elektronin systeemin spintilojen muodostamiseen.
LisätiedotFysiikkaa runoilijoille Osa 5: kvanttikenttäteoria
Fysiikkaa runoilijoille Osa 5: kvanttikenttäteoria Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja fysiikan tutkimuslaitos www.helsinki.fi/yliopisto 1 Modernin fysiikan sukupuu Klassinen mekaniikka
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotPHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä
PHYS-C0210 Kvanttimekaniikka: peruskäsitteitä J.-P. Martikainen 1 1 Aalto Varoitus! Tämä tiedosto on tarkoitettu lyhyeksi muistutukseksi kurssilla esiintyneistä konsepteista ja keskeisimmistä kaavoista
Lisätiedotax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotAineen aaltoluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 4. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Aineen aaltoluonne Harris luku 4 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotSidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja
LisätiedotFysiikkaa runoilijoille Osa 7: kohti kaiken teoriaa
Fysiikkaa runoilijoille Osa 7: kohti kaiken teoriaa Syksy Räsänen Helsingin yliopisto, fysiikan laitos ja fysiikan tutkimuslaitos www.helsinki.fi/yliopisto 1 Modernin fysiikan sukupuu Klassinen mekaniikka
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
LisätiedotKvanttidynamiikka Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin.
Kvanttidynamiikka 30.10.2010 0.1 Bra- ja Ket-merkinnöistä Tarkastellaan ensin hieman bra/ket-merkintää ja vertaillaan sitä muihin merkintätapoihin. Oletetaan, että ket ψ ja bra φ ovat alkioita, jotka liittyvät
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotVektorialgebra 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori
Vektorialgebra 1/5 Sisältö Skalaaritulo Vektoreiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen lisäksi vektoreiden välille voidaan määritellä myös kertolasku. Itse asiassa näitä on kaksi erilaista. Seurauksena
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedotkolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti
LisätiedotArttu Haapiainen ja Timo Kamppinen. Standardimalli & Supersymmetria
Standardimalli & Supersymmetria Standardimalli Hiukkasfysiikan Standardimalli on teoria, joka kuvaa hiukkaset ja voimat, jotka vaikuttavat luonnossa. Ympärillämme näkyvä maailma koostuu ylös- ja alas-kvarkeista
LisätiedotKorrespondenssiperiaate. Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela
Korrespondenssiperiaate Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela Sisältö 1 Johdanto 2 2 Liikeyhtälöt 2 2.1 Klassisen mekaniikan liikeyhtälöt................ 2 2.2 Poissonin
Lisätiedot