Kvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri

Transkriptio

1 Kvanttimekaniikka: Luento 2 Mar$kainen Jani- Petri

2 Assarointimainos Fyssa tarvitsee assareita Noin 30 euroa tun$+ lisiä tyypillises$ n. 4h/viikko, muba voi olla enemmän/vähemmän Opintosuoritukset+ lyhyt pos$ = pääset pos$tuslistalle assistants- physics@aalto.fi

3 Viimeksi Pikakatsaus klassiseen mekaniikkaan Painopiste asioilla, jotka pysyvät relevanbeina kvanhmekaniikassa Lagrangen funk$o ja variaa$operiaate Hamiltonin funk6o ja liikeyhtälöt Tänään KvanHmekaniikan esihistoriaa KvanHlogiikkaa PostulaaH 1/4 : OperaaBorit ja observaabelit Mitä ne ovat? Esimerkkejä. Miksi?

4 Planck (1900):Mustan kappaleen säteily Stefan- Boltzmann: P / T 4 voidaan ymmärtää klassises$ Wien s displacement law : jakauman muoto sama kaikissa lämpö$loissa. Energia moodissa riippuu vain suhteesta!/t Alhaiset taajuudet: Rayleigh- Jeans (ultravioleh katastrofi klassisesta teoriasta). B propto T omega^2

5 Einstein (1905): Valosähköinen ilmiö Valoa metallipintaan ja jos taajuus oli riibävän korkea elektroneita irtoaa Elektroneiden maksimienergia ei riipu intensitee$stä Elektroneiden määrä riippuu intensitee$stä Maxwellin yhtälöt antoivat ymmärtää, ebä elektronin energia olisi verrannollinen intensiteehin???!!! Einstein ratkaisi tämän postuloimalla, ebä valo muodostuu diskreeteistä paketeista fotoneista, joilla kullakin energia ~! Aalto- hiukkasdualismi nostaa päätään!

6 Valosähköinen ilmiö Ainut oikeas, vallankumouksellinen ajatus mitä minulla on ollut A. Einstein ajatuksestaan kohdella valoa hiukkasina

7 J.J. Thomson (1897): elektroni Katodisäteet kaartuivat sähkökentässä Elektronin massan ja varauksen suhde Millikanin öljy$ppakoe: elektronin diskreeh varaus (allegedly ) Plum Pudding model atomeille

8 Rutherford (1911, Geiger&Marsden): atomin ydin Pommitetaan aineba alfa- hiukkasilla Joskus hiukkanen ponnahtaa suoraan taaksepäin! It was quite the most incredible event that has ever happened to me in my life. It was almost as incredible as if you fired a 15- inch shell at a piece of,ssue paper and it came back and hit you.

9 Bohr (1913): atomimalli Elektronit voivat kiertää ydintä vain $etyillä stabiileilla radoilla (hatusta ja ris$riidassa klassisen fysiikan kanssa) Elektronit voivat hyppiä radalta toiselle jolloin fotoneja emiboituu tai absorptoituu niin, ebä energia säilyy (hatusta myös) Ennus$ hyvin vedyn tunnetun spektrin!

10 L. de Broglie (1924), Davisson- Germer: aineaallot De Broglie ehdoh (väitöskirjassaan), ebä hiukkasiin liibyy aalto- ominaisuuksia Valolle tunnehin p = ~k = ~ 2 E = ~! Sanotaan, ebä sama hiukkasille eli = h/p = h/mv Davisson- Germer 1927: kokeellinen vahvistus elektroneille

11 Heisenberg ja epämääräisyys Emme voi mitata (edes periaabeessa) paikkaa ja liikemäärää samaanaikaan mielivaltaisen tarkas$

12 Kvanttiloogisia implikaatioita Yhdessä hiukan materiaalia muualla

13 Postulaatit (tai kvanttimekaniikan perusideat) 1: Obervaabelit ja mahdolliset mibaustulokset? 4:Aikakehitys? 2:MiBaukset? 3:Tieto aaltofunk$ossa? 1: Obervaabelit ja mahdolliset mibaustulokset? 4:Aikakehitys? 3:Tieto aaltofunk$ossa? 2:MiBaukset?

14 Operaattorit ja observaabelit Postulaa> I: Jokaista fysikaalista observaabelia A vastaa operaacori (vaikka Â)niin, ebä sen mibaus antaa tulokseksi jonkin  :n ominaisarvon a. Miksi?: Klassises$ saatoibe suoraan laskea esim. liikeyhtälöt mitabaville asioille kuten vaikka paikka tai nopeus KvanHmekaniikassa laskece ensin aaltofunk6on, josta lasketaan todennäköisyyksiä eri mibauksille. Aaltofunk$olle täytyy tehdä jotain / operoida ennen kuin saamme esim. todennäköisyydet laskebua. Hajurako mibaustuloksen (numero) ja aaltofunk$on manipuloinnin (operaabori) välillä

15 Observaabeli: demo Observaabeli: silmien väri Omainaisarvot: vihreä, punainen, ruskea, sininen

16 Observaabeleita Mitä niitä voisi olla?

17 Ominaisarvoyhtälö OperaaBorin ominaisarvot (a) ja niitä vastaavat ominais6lat saadaan ratkaisemalla: Esim. liikemääräoperaabori (ainakin dimensiot ovat ehkä oikein) ˆp = Â i~r = a Yhdessä ulobuvuudessa siis sama on ˆp Miksi näin? Tarkistetaan liitutaululla, ebä tämä ei ole ihan älytöntä. Liikemäärän ominais$lat ja ominaisarvot?

18 Ominaisarvoyhtälö: esimerkki Siis (x) =p (x) Helppo differen$aaliyhtälö, jolla ratkaisu (x) =e ipx/~ Tämä on siis liikemääräoperaacorin ominais6la, jota vastaava ominaisarvo on p. Voit myös lisätä funk$oon asioita, jotka eivät riipu x:stä. Funk$o on edelleen ominais$la samalla ominaisarvolla. p on siis mahdollinen mibaustulos liikemäärälle suuntaan x.

19 Ominaisarvoyhtälö: esim. Bornin tulkinnan mukaan todennäköisyys löytää hiukkanen, jolla liikemäärä p välillä x x+dx on / (x) 2 dx / dx Ei siis riipu paikasta! Hiukkanen samalla todennäköisyydellä missä tahansa. Vrt. Heisenbergin epämääräisyysperiaate! Tämä on jaksollinen funk$o: Jos k = p/~ (x) =e ikx = e ik(x+ )! k =2! p = ~k = h/

20 Energiaoperaattori aka Hamiltonin operaabori Ĥ = ˆp2 2m + V (x) = ~ V (x) Tämän ominaisarvoyhtälö on. ~ V (x) (x) =E (x) Eli ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö! Ominaisarvo on E ja se on energian mibauksen mahdollinen tulos

21 Energiaoperaattori: esim. Ilman poten$aalia V(x)=0: ~ = E (x) Jolla ratkaisu (x) =Ae ikx + Be ikx Sijoitus yhtälöön ja löydät yhteyden E:n ja k:n välille E = ~2 k 2 2m Huom: ˆp :n ominais$lat ovat myös tämän Hamiltonin operaaborin ominais$loja! Vapaalla hiukkasella E ja p voivat saada mitä tahansa arvoja. (tällöin ovat siis jatkuvia eivät diskreebejä)

22 Tänään KvanHmekaniikan esihistoriaa KvanHlogiikkaa PostulaaH 1/4 : OperaaBorit ja observaabelit Mitä ne ovat? Esimerkkejä. Miksi?

23 Tämän jälkeen Ehkä jotain materiaalia jota emme eh$neet käsitellä luennolla tämän jälkeen

24 Energiaoperaattori

25 Schrödinger (1926): yhtälö aineaalloille S$muloitui de Broglien työstä ja ehdoh yhtälöä kuvaamaan hiukkasten käytöstä Ratkaisi vedyn energia$lat Aaltofunk6o kuvaamaan hiukkasia Born: aaltofunk$osta saadaan todennäköisyysjakauma (x, t) = (x, t) 2 EpämääräisyyBä, ei varmoja ennusteita, todennäköisyyksiä!

26 Heisenberg et al. (1926): matriisimekaniikka Vaihtoehtoinen tapa Schrödingerin yhtälölle Mutkikkaampi ja ei niin visuaalises$ intui$ivinen PeriaaBeessa kuitenkin ekvivalenh tapa Epämääräisyysperiaate: paikka ja liikemäärä komplementaarisia mibaa toinen tarkas$ ja toisen epämääräisyys kasvaa