Kvan%fysiikan historiaa

Transkriptio

1 Kvan%fysiikan historiaa (hiukkasfysiikkaan painottunut katsaus!) 1900: Planckin säteilylaki 1905: Einsteinin selitys valosähköilmiölle 1913: Bohrin atomimalli 1924: de Broglien aaltohiukkasdualismi 1925: Heisenbergin matriisimekaniikka 1926: Schrödingerin yhtälö 1927: Heisenbergin epämääräisyysperiaate 1928: Diracin yhtälö 1949: Quantum Electrodynamics (QED) : kvarkit, Quantum Chromodynamics (QCD) 1964: Higgsin mekanismi 1967: sähköheikko vuorovaikutus 1973: asymptoottinen vapaus (Gross, Politzer, Wilczek) : supersymmetria, Grand Unified Theory (GUT), säieteoria, supergravitaatio 1

2 OPERAATTORIFORMALISMI Heisenbergin matriisimekaniikasta juontuva moderni formalismi Idea: systeemin 5laa kuvaa täydellises5 5e9yjen kvan%lukujen kokoelma. Mitkä nämä ovat, riippuu systeemistä (eli Hamiltonin operaa9orista). Esimerkiksi hiukkaselle laa5kossa rii9ää n, vetyatomille tarvitaan n, l ja m. Tilavektoria merkitään seuraavas5: tänne kaikki 5laa kuvaavat kvan%luvut Esimerkki: vetyatomi! = nlm n =1, 2,3,... l = 0,1, 2,..., n!1 m = 0,±1,...,±l Vetyatomilla ei ole muuta iden5tee%ä kuin nämä kvan%luvut. 2

3 Ei käsitellä ensisijaises5 aaltofunk5ota, vaan 5lavektoria. Systeemin kaikkien mahdollisten 5lojen muodostama vektoriavaruus on nimeltään Hilber'n avaruus. Se on ääretönulo9einen vektoriavaruus. Aaltofunk5ota voi ajatella vektorina avaruudessa, jonka kannan muodostavat Hamiltonin operaa9orin ominais5lat. " a 1 % $ ' a!(x,t) =! a n! n (x,t) = $ 2 ' $ a n 3 ' $ ' #... &! 1 $ # & 0! 1 (x,t) = # & # 0 & # & "...%! 0 $ # & 1,! 2 (x,t) = # & # 0 & # & "...%, jne. 3

4 Aaltofunk5ot ovat ortonormite9uja 5lat ovat ortogonaalisia ja normite9uja. " # dx! * n (t, x)! m (t, x) = " nm n m = δ nm!" Aaltofunk5ota vastaa ket- vektori m pistetulo, vrt. X! Y Aaltofunk5on kompleksikonjugaa%a vastaa bra- vektori Niiden pistetulo on (huomatkaa huumori: bra- ket): n n m Yleises5 "! " = # dx! *(t, x)"(t, x)!" 4

5 2 ψ 3,... superposi5o! " n=1! = c n n 1 bra- vektorin kertoimet ovat kompleksikonju- gaa9eja:! " n=1! = c * n n Todennäköisyysamplitudi löytää 5la m 5lasta ψ: m! =! c n m n! = c m " mn P(m) = c m 2 Aaltofunk5on romahtaminen 5lan romahtaminen mi9auksessa ψ = c n n n 5

6 Operaa9orit kuten liikemääräoperaa9ori tai Hamiltonin operaa9ori muu9avat nyt vektoreita toisiksi. Vrt. matriisit ja vektorit: ˆMx n =! n x n operaa9oreita merkitään hatulla ominaisarvoa vastaava ominaisvektori operaa9ori ominaisarvo Vastaavas5 operaa9orin operoidessa funk5oon! a 1 $!"(x) jos! on M:n ominaisfunk5o # & ˆM!(x,t) = ˆM # a 2 & # a 3 & # & "... % kääntyy funk5oiden avaruudessa joksikin ääretönulo9einen matriisi toiseksi funk5oksi, jos! ei ole M:n ominaisfunk5o 6

7 NOTAATIO: ˆM operaa9ori! n operaa9orin ominaisarvo numero n n ominaisarvoa λ n vastaava ominais5la Operaa9ori operoi 5laan: ˆM! 7

8 Esimerkkejä operaa9oreista aaltofunk5oiden tapauksessa: Paikkaoperaa9ori kertoo aaltofunk5on paikkakoordinaa5lla: ˆx!(x,t) = x!(x,t) Liikemääräoperaa9ori derivoi aaltofunk5on: ˆp!(x,t) =!i! "! "x (x,t) Hamiltonin operaa9ori derivoi kahdes5 ja kertoo poten5aalilla: # Ĥ!(x,t) = %!!2 $ 2m " 2 "x +V(x) & (!(x,t) 2 ' Kaikki aaltofunk5ot ovat paikan ominaisfunk5oita. Tasoaallot e ikx ovat liikemäärän ominaisfunk5oita. Sta5onaariset 5lat ovat Hamiltonin operaa9orin ominaisfunk5oita. 8

9 OperaaDoreita operoimassa ominaiseloihinsa: Ĥ n = E n n operaa9orin ominaisarvo Hamiltonin operaa9ori ˆx x = x x operaa9orin paikka- ominaisarvo operaa9ori operaa9orin ominais5la paikkaoperaa9orin ominais5la ˆp p = p p Huom: ˆp x!! x 9

10 Schrödingerin yhtälö kuvaa sitä, miten systeemi vaeltaa vektoriavaruudessa: i!!!t!(t) = Ĥ!(t) Sta5onaaristen 5lojen tapauksessa saadaan (tässä n kuvaa kaikkia kvan%lukuja) Ĥ n = E n n Schrödingerin yhtälö muu9uu osi9aisdifferen5aaliyhtälöstä lineaarialgebran yhtälöksi. 10

11 Operaa9orin odotusarvo 5lassa ψ Â =! Â! ( bracket ) Hamiltonin operaa9orin odotusarvo ominais5lassaan: Ĥ =! n Ĥ! n! n Ĥ n = n E n n = E n n n = E n 11

12 Operaa9oreiden järjestys tärkeä: (matriisikertolasku ei kommutoi) Kommutaa3ori on keskeinen käsite: Â ˆB! ˆBÂ [Â, ˆB]! Â ˆB " ˆBÂ Esimerkki: [ ˆx, ˆp]! =!xi! " "x! # %!i! " $ "x (x!) & ( = i!! ' [ ˆx, ˆp] = i! Suureilla, joita kuvaavat operaa9orit eivät kommutoi, ei voi olla samanaikaises5 määrä9yä arvoa: Heisenbergin epämääräisyysperiaate seuraa ylläolevasta yhtälöstä. (Emme osoita sitä tässä!)!x!p "! 2 12

13 Tahdon aaltofunkeon takaisin! x!(t) =!(t, x) Tilan ψ projek5o paikkaoperaa9orin ominais5laan kertoo, mikä todennäköisyys on löytää hiukkanen paikasta x, kun 5la on ψ. p!(t) =!(t, p) Vastaavas5 voidaan määritellä aaltofunk5o liikemäärälle, joka kertoo liikemäärän todennäköisyysjakauman. (Ei mennä tähän tarkemmin!) 13

14 OperaaDoriformalismi miksi piitata? Notaa5o on kompak5mpi: " # dx! * n (t, x)! m (t, x) $ n m!" Kvan%mekaniikan sääntöjen merkitys on läpinäkyvämpi (superposi5o, ortonormitus, operaa9oreiden epäkommuta5ivisuus). Tila on yleisempi käsite kuin aaltofunk5o (joka on paikka- avaruuden todennäköisyysamplitudi, eli vain yksi mahdollinen amplitudi muiden joukossa). Tilalla voi kuvata abstrak5mpia asioita kuin aaltofunk5olla. Esimerkiksi: tyhjö on myös 5la: hiukkasen spin: 0 s, s z 14

15 Esimerkki kvanjluvuista: vetyatomi Vetyatomia kuvaa kolme kvan%lukua.! = nlm Ĥ nlm = E n nlm =!! 2 mc 2 2n 2 nlm n =1, 2,3,... l = 0,1, 2,..., n!1 m = 0,±1,...,±l n kertoo energian ˆL 2 nlm =! 2 l(l +1) nlm ˆL z nlm =!m nlm l kertoo pyörimismäärän L itseisarvon m kertoo pyörimismäärän L z- komponen5n Energia ei riipu kvan%luvuista l ja m: energia on degeneroitunut. 15

16 Spin Spin on hiukkasten puhtaas5 kvan%mekaaninen ominaisuus, jolla ei ole vas5ne9a klassisessa fysiikassa. Matemaa%silta ominaisuuksiltaan spin muistu9aa pyörimisliikemäärää, joten sitä voi kuvailla hiukkasen sisäiseksi pyörimiseksi. Sähköises5 varatun hiukkasen spin vuorovaiku9aa magnee%kentän kanssa kuten hiukkasen pyörimisliike, joten voi sanailla hiukkasen olevan pieni magnee%. Spiniä kuvaa vektori S, jonka pituus ja z- komponen% voidaan 5etää (vrt. kulmaliikemäärä) Ŝ 2 s, s z Ŝ z s, s z =! 2 s(s +1) s, s z =!s z s, s z

17 Ŝ 2 s, s z Ŝ z s, s z =! 2 s(s +1) s, s z =!s z s, s z vrt. ˆL 2 lm =! 2 l(l +1) lm ˆL z lm =!m lm Kulmaliikemäärän tapauksessa l ja m ovat kokonaislukuja, jotka riippuvat systeemin pyörimis5lasta. Spin- vektorin pituus (eli kvan%luku s) riippuu vain hiukkastyypistä, ja se on kokonaisluku tai puoliluku. Esimerkiksi elektronille s=1/2, fotonille s=1, Higgsin bosonille s=0. Kuten m, s z muu9uu yhden yksiköissä välillä [- s,s]. Elektronille s = 1 2 ; s z = ± 1 2 elektronin spin on ½ 17

18 Elektronin spin- Ela s, s z = 1 2,± 1 2! 1 2,± s, s z s, s' z =! sz s' z Ŝ 2 s, s z =! 2 s(s +1) s, s z = 3 4!2 1 2,± kokonaisspin Ŝ z s, s z =!s z s, s z = ± 1 2! 1 2,± spinin z- komponen% 18

19 Kun 5edetään, e9ä puhutaan elektroneista, voidaan 5lassa jä9ää merkitsemä9ä kokonaisspin usein kirjoitetaan spin ylöspäin s, s z! s z " ± Yleinen spin- 5la on spin alaspäin! = a + + b! 1= s s = ( a * + + b *! )( a + + b! ) = a 2 + +! + a* b +! + ab*! +!# " $# + b 2! " a 2 + b 2 =1 1 normitus

20 spinin z- komponenj Ŝ z s = ( Ŝz a + + b! ) =! ( 2 a +! b! ) spinin z- komponenen odotusarvo s Ŝz s = ( a * + + b *! )Ŝz ( a + + b! ) =! ( 2 a 2 + +! b 2!! ) =! ( 2 a 2! b 2 ) Spinin 5la on superposi5ossa epämääräinen. Mi9auksessa havaitaan, e9ä spin on joko ylös tai alas 5la romahtaa 20

21 Vetyatomin tarkassa kuvailussa on huomioitava elektronin (ja y5men) spin:! = nlms z Ĥ 0 = ˆp 2 2m! e2 1 4"# 0 r " Ĥ0 + e 2 1 8"# 0 m 2 c 2 r 3 kokonaiskulmaliikemäärä on J = L + S ˆL# Ŝ $ Ĥ0 + Ĥspin Ĥ! = E nl nlms z energian degeneraa5o häviää osin Kun huomioidaan vielä y5men magnee%ken9ä ja spin: Ĥ 0! Ĥ0 + Ĥspin + Ĥ B Ĥ! = E nlmsz nlms z energian degeneraa5o häviää täysin (eli jokaisella 5lalla on eri energia) 21

22 E nlmsz! E n'l'm's'z = h! spektriviivojen aallonpituudet Esimerkiksi vedyn perus5lan spin- flip, missä elektronin ja protonin spinit muu9uvat vastakkaisista samansuuntaisiksi:!e = 5.9µeV "!=21cm Vetyatomin spektri johda% kvan%mekaniikkaan. Nykyään sen energiatasoja osataan laskea ja fotonien aallonpituu9a mitata eri9äin tarkas5, ja tulokset vastaavat toisiaan. Vetyatomi on fysiikan menestystarina. 22

23 Spin ja avaruudelliset kvan%luvut elävät omissa vektoriavaruuksissaan ss z voimme kirjoi9aa nlm ψ = nlmss nlm z ss z = nlm ss z Spin- operaa9ori operoi vain spin- avaruudessa: Ŝ z! = Ŝz nlms ± = Ŝz nlm s ±! Ŝz nlm ± = nlm Ŝz ± = ±! 2 nlm ± 23

24 MonihiukkasElat Monihiukkas5la voidaan kuvata yksihiukkas5lojen suorana tulona: ψ 1! =! 1! 2!! 1! 2 ψ 2 bra- vektoria merkitään vastaavas5:! =! 1! 2!! 1! 2 24

25 Esimerkiksi kahden spin- 1/2 hiukkasen muodostama spin- 0-5la: s 1 s 1z ;s 2 s 2z! 1 2 ±; 1 2!! ±;! Yleinen tällainen 5la on muotoa a +! + b! spinien z- komponen%en summa on nolla Normitus: 1= (a * +! + b*! + )(a +! + b! + ) = a 2 + +!! + b 2!! + + = a 2 + b 2 25

26 Esimerkki: 0 π e + e Pioni hajoaa elektroni- positronipariksi. Pionin spin on 0, ja spinin z- komponen% säilyy, joten loppu5lan spin- komponen%en summa on myös 0. Elektroni ja positroni ovat symmetrisessä asemassa, joten kummallakin on 50% todennäköisyys osoi9aa ylös tai alas:! = 1 ( 2 e+ + e!! + e +! e! + ) " 1 ( 2 +! +! + ) spin ylös spin alas spin alas spin ylös elektroni ja positroni ovat epämääräisissä spin- 5loissa Jos elektronin spin on alas, niin positronin spin on ylös, ja päinvastoin. Sanotaan, e9ä 5lat ovat lomi2uneet (entangled). Lomi9unu9a 5laa ei voida kirjoi9aa yksihiukkas5lojen suorana tulona. 26

27 Tilan epämääräisyys: Schrödingerin jänis Suljetaan jänis laa5kkoon (koe toimii myös kissalla, jos se on hiljainen). Laa5kossa on mukana kapseli, joka rikkoutuu - tai si9en ei- radioak5ivisen hajoamisen takia. Kapselissa on myrkkykaasua. Meitä ei kiinnosta jäniksessä muu kuin henki. Kvan%systeemissä on siten kaksi 5laa elävä jänis! 1 ja kuollut jänis! 2 Tila on laa5kon sulkemisen jälkeen superposi5ossa!! a 1 (t) 1 + a 2 (t) 2 Kun laa5kko avataan, jänis on joko elävä tai kuollut: a 1 (t) 2 + a 2 (t) 2 =1 27

28 Kvan%mekaniikan formalismin mukaan: Annetaan Hamiltonin operaa9ori, joka kuvaa kapselin hajoamista (ja muita jäniksen kuolemaan mahdollises5 johtavia tekijöitä). Sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön ja ratkaistaan yhtälö sillä alkuehdolla, e9ä a 1 (t 0 )=1 ja a 2 (t 0 )=0. Saadaan kertoimet a 1 (t) ja a 2 (t). Matemaa%ses5 selkeää, mu9a tapahtuuko näin oikeas5? Ensinnäkin: onko pupu todella sekaisin? (Onko kyse todella epämääräisyydestä eikä epä5etoisuudesta?) Toisekseen: miksei tällaista superposi5o5laa nähdä makroskooppisessa maailmassa (toisin kuin elektronien tapauksessa)? 28

29 Tilojen lomi9uminen Kysymys yksi: onko pupu sekaisin? Epämääräisyys ja epä5etoisuus voidaan ero9aa toisistaan kokeellises5 tarkastelemalla lomi9uneita 5loja. Kvan%mekaaninen 5la on kokonaisuus, joka kuvaa koko systeemiä. Jos joidenkin suureiden (kuten kahden hiukkasen spinin) arvot riippuvat toisistaan, niin yhden mi9aaminen muu9aa samalla toistakin... olivatpa hiukkaset missä vain. Hiukkasten 5lat ovat lomi2uneet (entangled). 29

30 spin ylös Pioni hajoaa spin ylös e + π 0 e - spin alas spin alas Jos mitataan elektronin spin, määräytyy positroninkin spin. Tila on korreloitunut raja9oman pitkien matkojen yli ja romahdus muu9aa sen väli9ömäs5 kaikkialla. (Kaukovaikutus, acbon at a distance.) Mistä positroni 5etää, e9ä elektronin spin on mita9u, jos se on matkannut jo kauas pois? Väli9yykö informaa5ota valoa nopeammin? (Einstein- Podolsky- Rosen- paradoksi.) 30

31 EPR- paradoksin ratkaisu: 5lan romahdus ei välitä informaa5ota. Kun elektronin spin on mita9u olevan ylös, positronin spinin mi9aaja tulee saamaan tuloksen alas 100% todennäköisyydellä. Mu9a hän ei 5edä sitä ellei elektronin mitannut kerro! Kvan%mekaniikka ei ole lokaali teoria! (Lokaali teoria: vuorovaikutukset paikallisia, muutokset etenevät valon nopeudella.) Kvan%mekaniikka on kausaalinen teoria. (Informaa5ota ei voi väli9ää ajassa taaksepäin, syy ei voi olla seurauksen jälkeen.) (MusBen aukkojen informaaboparadoksi lii9yy 5lojen lomi9umiseen: jos osa systeemistä putoaa mustaan aukkoon, sen informaa5o menetetään lopullises5, mu9a loppusysteemi on yhä korreloitunut tuon menetetyn informaa5on kanssa. Ei mennä tähän tarkemmin!) 31

32 Einstein: spooky acbon at a distance (hämyä kaukovaikutusta). Ehkä kvan%mekaniikka on väärin, ja elektronin/positronin spin määräytyy pionin hajoamishetkellä? Piilomuu2ujateorioiden idea: kvan%mekaniikan taustalla on determinis5nen (ja määrä9y) ja lokaali teoria. Teorian todelliset muu9ujat ovat meille (toistaiseksi?) tuntema9omat, mu9a niiden liikeyhtälöiden approksimaa5ona saadaan Schrödingerin yhtälö. Kvan%mekaniikka on vain approksimaa5o: kaukovaikutus, epämääräisyys, epädeterminismi ovat vain näennäisiä. Todennäköisyyskuvaus johtuu 5etämä9ömyydestä. Yllä9ävää kyllä, tätä ideaa voidaan kokeellises5 testata: Minkä tahansa determinis5sen ja lokaalin teorian, jossa systeemillä on aina määrä9y 5la, korrelaa5ot ovat erilaisia kuin epädeterminis5sen, 32 epämääräisen ja epälokaalin kvan%mekaniikan.

33 Jos elektronilta ja positronilta mitataan molemmilta z- komponen%, niin ei voi päätellä onko 5la määrä9y vai ei. Yleisempää 5lanne9a tarkastelemalla asiaan saadaan valaistusta. Mitä käy jos elektronilta mitataan ensin spinin z- komponen%, ja si9en positronilta x- komponen%? (Spin voidaan mitata missä suunnassa tahansa.) Kvan%mekaniikan mukaan positronin spinin z- komponen% on määrä9y, joten x- komponen% on epämääräinen. (Heisenbergin epämääräisyysperiaate.) Piilomuu9ujateoriassa kaikilla komponenteilla on koko ajan määrä9y arvo. Koska alku5lan spin on 0, elektronin ja positronin spinit ovat aina vastakkaiset. Mi9auksen jälkeen 5edetään elektronin spinin z- komponen% ja x- komponen% yhtä aikaa. 33

34 Mitataan spin suunnissa a, b ja c ja lasketaan eri tapaukset: tapausten lukumäärä elektroni positroni N 1 a+, b+, c+ a-, b-, c- N 2 a+, b+, c- a-, b-, c+ N 3 a+, b-, c+ a-, b+, c- N 4 a+, b-, c- a-, b+, c+ N 5 a-, b+, c+ a+, b-, c- N 6 a-, b+, c- a+, b-, c+ N 7 a-, b-, c+ a+, b+, c- N 8 a-, b-, c- a+, b+ c+ Mi9austen kokonaislukumäärä on N=Σ i N i, joten tapauksen i todennäköisyys on P i =N i /N. elektroni Voimme kirjoi9aa epäyhtälön (N i 0) N 3 + N!" # $#! N + N 4 2 4!# " $# + N + N 3 7!# " $# NP(a+,b+) ( ) NP(a+,c+) ( ) NP(c+,b+) " P(a+, b+)! P(a+, c+)+ P(c+, b+) Bellin epäyhtälö (1964) positroni 34

35 Mille tahansa lokaalille piilomuu9ujateorialle siis pätee P(a+, b+)! P(a+, c+)+ P(c+, b+) Tällä välin kvan%mekaniikassa: Jos on mita9u suunnassa a elektronin spiniksi +, niin positronin spin on 5lassa "! a = cos! % " ab $ '! # 2 & b + sin! % ab $ ' + # 2 & b missä θ ab on suun5en a ja b välinen kulma. todennäköisyys saada a+ Todennäköisyys P(a+,b+) on siis ½ * sin 2 (θ ab /2). Sama ju9u todennäköisyyksille P(a+,c+) ja P(c+,b+). Saadaan siis:! sin 2 # "! ab 2 $?! & % ' sin2 # "! ac 2 $! &+ sin 2 # % "! cb 2 $ & % 35

36 ! sin 2 # "! ab 2 $?! & % ' sin2 # "! ac 2 $! &+ sin 2 # % "! cb 2 $ & % Tämä epäyhtälö ei päde kaikille kulmille. Valitaan vaikkapa θ ac =θ cb =θ ja θ ab =2θ. Saadaan epäyhtälöksi! cos 2! $? # & " 2 % ' 1 2 0!!! " 2 Tämä epäyhtälö rikkoutuu kaikilla kulman arvoilla. Teoree%ses5 siis kvan%mekaniikka rikkoo Bellin epäyhtälöä. Syynä on se, e9ä eri mahdollisuuksien todennäköisyydet eivät ole addi5ivisia: 5lavektorit lasketaan yhteen, ja todennäköisyydessä esiintyy interferenssitermi. Systeemi ei ole määrätyssä 5lassa. 36

37 Kokeellinen testaus (1982): fotonien polarisaa5oiden korrelaa5ot rikkovat Bellin epäyhtälöä ja ovat sopusoinnussa kvan%mekaniikan kanssa. (Useita muita kokeita sen jälkeen.) lokaalit piilomuu9ujateoriat eivät kuvaa todellisuu9a Kvan%mekaniikan todennäköisyydessä on kyse epämääräisyydestä, ei epä5etoisuudesta. Empiiristä filosofiaa: maailman 5la ei ole määrä9y. Ei voida sanoa, e9ä joko väite tai sen ris5riita on tosi. (Pupu ei ole joko kuollut tai elävä.) (Ei voida sulkea pois mahdollisuu9a, e9ä todellinen teoria on kuitenkin determinis5nen, mu9a silloin sen pitää olla ei- lokaali tai muuten kummallinen. Yritykset tällaisiksi teorioiksi eivät ole olleet kovin onnistuneita.) 37

38 Takaisin romahdukseen Pupu siis voi olla sekaisin. Miksei tätä nähdä? Miksi makroskooppisessa maailmassa asioilla näyttää olevan määrätty tila? Miten se määräytyy? Kööpenhaminan tulkinta: tila romahtaa mitattaessa. Ongelmia: Onko mittaaja erikoisasemassa? Kuka kelpaa mittaajaksi? Kuka mittaa mittaajia? (Tulkinta olettaa klassisen kuvauksen mittaajasta!) Kosmologia: eikö maailmankaikkeuden tila ole määrätty ennen kuin joku kehittyy sitä mittaamaan? (inflaation kvanttifluktuaatiot) 38

39 Dekoherenssi Osan pupuongelmaa ratkaisee dekoherenssi. Systeemi on dekoherentti, kun siinä ei esiinny interferenssiä eri mitattavien tilojen välillä. Vuorovaikutus ulkomaailman kanssa lomittaa systeemin ja maailman: Esimerkiksi elävä pupu hengittää, joten laatikosta tulee hiilidioksidimolekyylejä. (Yksinkertaisempi esimerkki: isolla molekyylillä on monta mahdollista viritystilaa, ja joku niistä voi emittoida fotonin kaksoisrakokokeen aikana.) Vuorovaikutus kytkee systeemin ja ulkomaailman yhdeksi kokonaisuudeksi, siten että molempien tila määräytyy samalla kertaa. Jäniksen tila siis näyttää aina määrätyltä! 39

40 Mu9a... dekoherenssi ei kerro miten koko systeemin 5la määräytyy (romahdus) eikä sitä mikä vaihtoehdoista nähdään (epädeterminismi). 40

41 Kvan%mekaniikan yhteenveto Kvan%mekaniikka on lineaarinen, epädeterminis5nen teoria, joka kuvaa N:n hiukkasen systeemiä. Systeemiä kuvaa ajasta riippuva 5lavektori, jonka aikakehitys määräytyy Schrödingerin yhtälöstä: i!!!t!(t) = Ĥ!(t) Tilavektorista voidaan johtaa aaltofunk5o ψ(t.x), joka on todennäköisyysamplitudi sille, e9ä hiukkanen löytyy pisteestä x hetkellä t. Planckin vakio h määrää kvan%efek5en merkityksen: klassinen fysiikka vastaa rajaa h 0. 41

42 Aaltohiukkasdualismi tarkoi9aa sitä, e9ä elektroni ei ole aalto eikä hiukkanen, mu9a molemmat mallit kuvaavat oikein joitain sen piirteitä. Vapaan hiukkasen ratkaisu on tasoaalto, ja toisaalta sido9ujen 5lojen energia on kvan59unut. Hiukkanen laa5kossa: hiukkasen rajoi9aminen äärelliselle alueelle johtaa energian kvan59umiseen (vrt. hyppynarun taajuudet). Realis5nen esimerkki: vetyatomi. Voidaan johtaa Bohrin atomimallin energiaspektri läh5en Schrödingerin yhtälöstä. Koska Schrödingerin yhtälö on lineaarinen, ratkaisujen lineaarikombinaa5o on ratkaisu: superposi5operiaate. Superposi5o5lassa kaikilla havaintosuureilla ei ole määrä9yä arvoa. Joidenkin suureiden arvot eivät voi olla samanaikaises5 mielivaltaisen tarkas5 määrä9yjä. (Heisenbergin epämääräisyysperiaate.) 42

43 Havaintosuureiden arvo määräytyy vasta mita9aessa. (Bellin epäyhtälö.) Mi9auksessa aaltofunk5o romahtaa johonkin 5laan. Tämä prosessi on epädeterminis5nen. Kööpenhaminan tulkinta: mi9auksen tekeminen romahdu9aa 5lan. Moderni näkemys: vuorovaikutus ympäristön kanssa (dekoherenssi) tekee 5lan määrätyn näköiseksi. 43