Schrödingerin yhtälö ' % !!(t, x) !(t, x) = e! "(x). ' E!(x) = &"!2 % Kvan4mekaniikassa systeemin 8laa kuvaa täydellises8 aaltofunk8o.

Transkriptio

1 Schrödingerin yhtälö Kvan4mekaniikassa systeemin 8laa kuvaa täydellises8 aaltofunk8o. Kun poten8aali tunnetaan, aaltofunk8o voidaan ratkaista Schrödingerin yhtälöstä. i!!!(t, x)!t $ ' = &!2 2m #2 +V(x) )!(t, x) % ( Etsitään sta8onaarisia 8loja Et!i!(t, x) = e! (x). Aaltofunk8on paikkariippuvuuden kertoo sta$onaarinen Schrödingerin yhtälö $ ' E!(x) = &!2 2m #2 +V(x) )!(x) % ( 1

2 Kvan4luvut Sta8onaarisella Schrödingerin yhtälöllä on sidocujen 8lojen ratkaisuja vain, jos energia E saa 8eCyjä diskreecejä arvoja, eli se on kvan$7unut. (Myös liikemäärä on kvan8cunut.) Energian arvoa vastaa 8eCy kvan4luku, ja tätä vastaa 8eCy aaltofunk8o. Systeemin mahdollisia 8loja lueceloi jokin kokoelma diskreecejä lukuja: systeemin 8la on kvan8cunut. Pienintä energian arvoa vastaava 8la on perus$la, muut ovat virite7yjä $loja. Systeemillä ei ole muuta iden8tee4ä kuin nämä kvan4luvut. Kaksi hiukkasta laa8kossa, joilla on sama kvan4luku n, ovat iden4siä. Vastaavas8 kaksi atomiydintä kiertävää elektronia ovat iden4siä, jos niillä on samat kvan4luvut. 2

3 Vetyatomi Tarkastellaan vetyatomia (tai yleisemmin atomia, jonka y8messä on Z protonia). Millaiset kvan4luvut kuvaavat vetyatomia? Miten Schrödingerin yhtälön ratkaisu suhtautuu Bohrin (kokeellises8 menestyksekkääseen) atomimalliin? Kirjoitetaan Schrödingerin yhtälö: i!!!(t, x)!t $ ' = &!2 2µ #2 +V(x) )!(t, x) % ( Poten8aali on V(r)=! Ze2 4! 0 r. (Pieni yksityiskohta: tässä ei esiinny elektronin massa, vaan redusoitu massa µ = m e Zm p / (Zm p + m e )! m e. Tämä piirre on olemassa jo klassisessa mekaniikassa, ja liicyy protonin liikkeeseen.) 3

4 Etsitään sta8onaariset 8lat: Et!i!(t, x) = e! (x). Ratkaistavaksi jää sta8onaarinen Schrödingerin yhtälö! 2 (x)+ 2µ! 2 E #V(r) [ ](x) = 0 V(r)=! Ze2 4! 0 r Poten8aali on pallosymmetrinen, joten käytetään pallokoordinaaceja:!(x) =!(r,!,) $! 2 = #2 #x + #2 2 #y + ' & #2 ) % 2 #z 2 ( * = 1 # $ # ', & r 2 #r % r2 )+ + #r ( 1 r 2 sin! Etsitään separoituvia ratkaisuja!(r,!,) = R(r)(!)#() # $ #! sin! # ' & )+ % #! ( x y z = r sinθ cosϕ = r sinθ sinϕ = r cosθ 1 # 2 - / r 2 sin 2! # 2. 4

5 Sta8onaarinen Schrödingerin yhtälö on nyt tämä puoli riippuu vain r:stä 1!! % $ R(r)!r # r2 'R(r)+ 2µr2 [ E (V(r)]!r &! ! = ( )(!)*() sin!!! sin!! % $ '+ 1! )(!)*(), #!! & sin!! 2 / tämä puoli riippuu vain kulmista Jos yhtälö on muotoa f(x)=g(y), ja x ja y ovat riippumacomia, niin ainoa ratkaisu on se, ecä f(x)=g(y)=vakio. 1 r 2 $ 3 R(r) # ( 4! 2 R!r r 1 )()*(#)!R!r % '+ 2µr2 & [ ] =!! 2 E (V(r) 1 +! sin! sin! % $ '+ 1! )()*(#) =!, #! & sin!# 2 / Tässä λ on mielivaltainen kompleksinen vakio. 5

6 Kulmaosuus voidaan jakaa vastaavalla tavalla +! 1 # 2 (!) = m 2 - (!) #! 2, - 1 $() sin # % ' # sin # ( *$()+ # sin 2 = m 2.- & # ) Tässä m on mielivaltainen kompleksinen vakio (ei massa!). Ylempi yhtälö antaa! 2 (!)!! 2 + m 2 (!) = 0 # (!) = e im! Aaltofunk8o yksikäsiceinen:!(!) =!(! + 2 ) m = 0,±1,±2,... Tästä saadaan kvan%tusehto: m on ensinnäkin reaalinen ja toisekseen kokonaisluku. 6

7 Vastaavas8 R ja Θ voidaan ratkaista seuraavista yhtälöistä: 0!! % ), $!r # r2 'R(r)+ 2µr2 + E (V(r)(!!2.R = 0 2!r &! 2 * 2µr sin!! $!! sin!! % '/(!)+ ( sin 2! ( m 2 )/ = #!! & Voidaan osoicaa, ecä poten8aalille 4! 0 r normicuvia ratkaisuja on vain, jos E on kvan8cunut, E=E n, missä n=1,2,3,... ja λ=l(l+1), missä l=0,1,2,3,..., n- 1. Saadaan myös ehto m l. Aaltofunk8oiksi saadaan kaikkiaan V(r)=! Ze2 - R on Laguerren liicopolynomi kertaa eksponen4funk8o - Θ on Legendren polynomi R = R nl (r) ; n =1, 2,3,... ; l = 0,..., n!1! = P lm (cos!); l = 0,1, 2,..., n 1 ; m = 0,±1,...,±l - Φ on eksponen4funk8o! m (!) = e im! ; m = 0,±1,±2,... ± l 7

8 Koko ratkaisu on!(t, x) = e!i E nt! nlm (r,,#) = e!i E nt! R nl (r)p lm (cos)e im# Vetyatomia kuvaa kolme kvan4lukua n, l ja m. Energia riippuu vain kvan4luvusta n, jota tämän takia kutsutaan pääkvannluvuksi. Vakiot I ja m eli sivukvannluvut kertovat aaltofunk8on kulmariippuvuuden, eli ne liicyvät siihen, miten todennäköisyys elektronin löytämiseen riippuu kulmasta. ( Miten elektroni kiertää ydintä. ) E n =! 1 2 µc2! 2 Z 2 n 2 L 2 =! 2 l(l +1) L z =!m n kertoo energian l kertoo kulmaliikemäärän itseisarvon m kertoo kulmaliikemäärän z- komponen8n 8

9 Energialle saadaan 8smalleen sama lauseke kuin Bohrin atomimallissa. Nyt kyseessä ei ole hypoteesi, vaan laskun tulos. Lasku osoicaa myös, ecä vaikka energia meni Bohrin atomimallissa oikein, kuvailu atomin rakenteesta kiinteine ratoineen on väärin. Katsotaan muutamia ensimmäisiä aaltofunk8oita. Perus8lassa n=1, joten l=m=0. Aaltofunk8on muoto on (a 0 on Bohrin säde) ( P 00 (cos!) = 1 * 4 )! R 10 (r) = 2# Z 3/2 * $ & + * a 0 % R 30 (r) = 2 3 3! # Z a 0 $ & % e ' Zr a 0 3/2, 1' 2Zr + 2!. # -. 3a 0 27 Zr $ & % a 0! 100 (r) = 1 $! # 2 / 1 0 Zr 1 e' 3a 0 Z a 0 % ' & 3/2 e ( Zr a 0 9

10 dp(r) dr Aaltofunk8o on normitecu: 1=! d 3 r nlm (r,!,) # # =! d! d! sin! # lm (!) 2 $! drr 2 R nl (r) Perus8lalle saadaan 1 = dr 4r 2 R 10 (r) 2!# # $! 0 dp(r) dr elektronin sijainnin todennäköisyysjakauma Z r/a 0 r+dr Hiukkanen löytyy etäisyydeltä r todennäköisyydellä P(r) =! dr dp(r). dr r 10

11 Perus8la näycää suunnilleen siltä, miltä Bohrin mallin perusteella voisi odocaa. Toisin on viritecyjen 8lojen kohdalla. dp(r) dr R 20 (r) = 1 2! # Z a 0 $ & % 3/2 ( * 1' Zr ) 2a 0 + -e ', Zr 2a 0 dp(r) dr R 30 (r) = 2 3 3! # Z a 0 $ & % 3/2 ( 1' 2Zr + 2! Zr $ * # & )* 3a 0 27 a 0 % 2 + -, Zr - e' 3a 0 Todennäköisyysjakauma on varsin leveä Bohrin säteen yksiköissä, ja sillä on n huippua. 11 (Bohrin mallissa säteellä - ja liikemäärällä- on tarkka arvo.)

12 Alkuaineet Toistaiseksi on tarkasteltu yhtä hiukkasta. Jos ydintä kiertää useampi kuin yksi elektroni, niin voidaan ensiksi approksimoida, ecä ne vuorovaikucavat kukin yksinään y8men kanssa. Silloin jokaista elektronia kuvaa oma aaltofunk8onsa, joka kertoo sen todennäköisyysjakauman, ja jokaisella on omat kvan4luvut n, l, m. Elektronit ovat fermioneja, ja Paulin kieltosäännön mukaan kaksi fermionia ei voi olla samassa 8lassa, ts. niillä ei voi olla samoja kvan4lukuja. (Tästä lisää myöhemmin!) Elektroneilla on energian ja kulmaliikemäärän lisäksi myös yksi sisäinen vapausaste, spin, joka voi saada kaksi eri arvoa. (Tästäkin myöhemmin lisää!) Tämä tarkoicaa sitä, ecä korkeintaan kahdella elektronilla voi olla samat n, l ja m. 12

13 Esimerkiksi jos atomissa on kaksi elektronia, molemmilla voi olla n=1, l=m=0. MuCa jos elektroneja on kolme, pitää vähintään yhdellä olla n=2, l=1,0 ja m= ±1,0. Ts. perus8lan energia riippuu elektronien lukumäärästä. Korkeamman pääkvan4luvun n omaavat 8lat ovat korkeaenergisempiä, eli heikommin sidocuja. Atomissa on Z protonia ja Z elektronia. Se, miten atomi vuorovaikucaa määräytyy siitä, miten sen elektronit ovat sidocuja ja vuorovaikucavat, ts. luvusta Z. Lisäksi pitää ocaa huomioon atomin elektronien vuorovaikutukset keskenään. Kemia pohjaa kvan4mekaniikkaan. 13

14 14

15 Palataan fysiikkaan: elektronia kuvaa siis täysin energia, kulmaliikemäärän itseisarvo ja sen z- komponen4. Entä kulmaliikemäärän muut komponen8t? Tarkastelimme vain separoituvia 8loja. Mielivaltainen 8la voidaan esicää niiden lineaarikombinaa8ona. MuCa mikä on sellaisen 8lan fysikaalinen tulkinta? Vastaavas8, kahden sta8onaarisen 8lan summa on myös ratkaisu. Mitä tällainen aaltofunk8o kuvaa? 15

16 Hamiltonin operaacori Määritellään Hamiltonin operaa7ori H: $ ' Ĥ!(t, x)! &!2 2m #2 +V(x) )!(t, x) % ( Ts. Ĥ!!2 2m #2 +V(x). Ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö voidaan siis kirjoicaa i!!!(t, x) = Ĥ!(t, x)!t Ĥ!(t, x) = E!(t, x) Sta8onaarisille 8loille kertoo mikä systeemin energia on., eli Hamiltonin operaacori 16

17 Ominais8lat Tarkastellaan systeemin vaikka hiukkasen laa8kossa sta8onaarisia 8loja ψ n. Kullakin sta8onaarisella 8lalla on määräcy energia E n. Ĥ! n (t, x) = E n! n (t, x) E n on Hamiltonin operaacorin ominaisarvo, ja ψ n on sen ominaisfunk$o; vastaava 8la on Hamiltonin operaacorin ominais$la. Kahden sta8onaarisen 8lan summa on Schrödingerin yhtälön ratkaisu, muca se ei ole enää Hamiltonin operaacorin ominais8la: Ĥ! = (aĥ! 1 + bĥ! 2) = ae 1! 1 + be 2! 2! c! Vain arvot E n ovat mahdollisia micaustuloksia, eivät mitkään niiden yhdistelmät. Mikä siis on tällaisen 8lan tulkinta? 17

18 Superposi8operiaate Schrödingerin yhtälö on lineaarinen: i!!!t!(t, x) = Ĥ!(t, x) Jos ψ 1 ja ψ 2 ovat ratkaisuja, myös lineaarikombinaa8o ψ = a ψ 1 +b ψ 2 on ratkaisu. i!!!t! = i!!!t (a! 1 + b! 2 ) = (aĥ! 1 + bĥ! 2) = ae 1! 1 + be 2! 2 Lineaarikombinaa8ota sanotaan superposi$o$laksi. Superposi8operiaaCeen mukaan kaikki fysikaalises8 sallicujen ratkaisujen lineaarikombinaa8ot ovat myös fysikaalises8 sallicuja ratkaisuja. (OleCaen, ecä ne on normitecu.) 18

19 Fysikaalisten 8lojen pitää olla normitecuja (tarkastellaan yksiuloceista 8lanneCa): # 1= dx!(t, x) *!(t, x)! # ( ) * ( a! 1 (t, x)+ b! 2 (t, x) ) = dx a! 1 (t, x)+ b! 2 (t, x)! # = a 2 dx! 1 2!!# $# 1 = a 2 + b 2 # + b 2 dx! 2 2!!# $# 1 $ ' & ) + 2 Re ab * * & # dx! 1! 2 ) &!!# $# ) % ( Hamiltonin operaacorin ominaisfunk8ot ovat ortonormite7uja (ortogonaalisia ja normitecuja), ts. # dx! m (t, x) *! n (t, x) = mn! 0 19

20 Superposi8o8la on siis fysikaalises8 hyväksycävä, jos a 2 + b 2 =1. Superposi8o8la kuvaa 8laa, jossa energia ei ole määräcy. Superposi8o8lan fysikaalinen tulkinta on, ecä a 2 ja b 2 kertovat mahdollisten micaustulosten E 1 ja E 2 todennäköisyyden. Energian odotusarvo on E = a 2 E 1 + b 2 E 2 20

21 Ei tarvitse tyytyä kahden 8lan superposi8oon: yleises8!(t, x) =! a n! n (t, x) =! a n e i E n t! # n (x) n n! Normitus on vastaavas8 a n 2 n =1 Ja energian odotusarvo on! E = a n 2 E n n Hiukkasen 8la voi olla sekoitus kaikista mahdollisista energian ominais8loista. Kääntäen: voidaan osoicaa, mielivaltainen ratkaisu voidaan esicää energian ominais8lojen lineaarikombinaa8ona, eli ne muodostavat kannan ratkaisujen avaruudessa. 21

22 Odotusarvo Suureen odotusarvo on mahdollisten micaustulosten keskiarvo, painotecuna niiden todennäköisyydellä. Yleises8 ocaen suureen f odotusarvo on f = # dx! * (t, x) ˆf!(t, x),! ˆf missä on suureca f vastaava operaacori. Esimerkiksi hiukkasen x- koordinaa8n tapauksessa f=x, liikemäärän tapauksessa ˆf =!i! ja energian tapauksessa x ˆf = Ĥ =!!2 2m 2 x 2 +V(x). 22

23 Siis: # x = dx! * (t, x)x!(t, x)! # p =!i! dx! * (t, x)! $!(t, x) $x & ) E = # dx! * (t, x) (!!2 2m %2!(t, x)+v(x)!(t, x) + ' *! Esimerkiksi jos systeemi on kahden energian ominais8lan superposi8o8lassa! = a! 1 + b! 2, saadaan energian odotusarvoksi # E = dx! * (t, x)ĥ!(t, x)! # = dx(a *! 1 * + b *! 2 * )(ae 1! 1 + be 2! 2 )! = a 2 E 1 + b 2 E 2 23

24 Aaltofunk8on romahdus Superposi8o8la kehicyy Schrödingerin yhtälön kuvaamalla tavalla: kukin energian ominais8la värähtelee eri taajuudella. MuCa kun energia mitataan, saadaan yksi 8eCy arvo. Jos micaus toistetaan, saadaan sama tulos: systeemi ei enää ole superposi8o8lassa, vaan energian ominais8lassa. Systeemi löytyy 8lasta ψ n todennäköisyydellä a n 2.! =! a n! n! i n MitaCaessa aaltofunk8o romahtaa 8laan ψ i. Aaltofunk8on romahdus on lisäoletus jota ei voi johtaa mistään. Se on eräs kvan4mekaniikan keskeinen aksiooma. Tulemme näkemään, ecä se on myös kvan4mekaniikan tulkintaongelmien suurin syy. 24

25 Esimerkki: hiukkanen laa8kossa olkoon!(t, x) = a 1 e!ie 1t/! 1 (x)+ 1 2 e!ie 2t/! 2 (x) normitus: a = 1 a1 = 3 2 (kertaa irrelevan4 vaihe) E n = 2 n h 8mL 2 2 ψ 1 P = 3 4!(t, x) mi0aus E =! 2 n a n ψ 2 P = E n = 3 4 E E 2 = E 1 =1.75E

26 Epämääräisyys ja interferenssi Mistä voidaan 8etää, onko systeemi todella epämääräisessä 8lassa ennen micausta? Eräs tapa nähdä tämä on se, ecä eri ominais8lat interferoivat keskenään, ja interferenssikuvio on mitacavissa. Oletetaan, ecä systeemi on kahden energian ominais8lan superposi8o8lassa!(t, x) = a! 1 (t, x)+ b! 2 (t, x) = ae!i E 1t! 1 (x)+ be!i E 2t! 2 (x) Valitaan kertoimet a ja b sekä funk8ot Ψ 1 (x) ja Ψ 2 (x) reaalisiksi. 26

27 #!(t, x) 2 = a 2! 1 (x) 2 + b 2! 2 (x) 2 + ab! 1 (x)! 2 (x) e i E 1t % $! e +i E 2t! + e i E 1t #( E = a 2! 1 (x) 2 + b 2! 2 (x) 2 + 2ab! 1 (x)! 2 (x)cos 1 E 2 )t & % ( $! '! e i E 2t! & ( ' Todennäköisyys löytää hiukkanen paikasta x oskilloi ajan myötä. Näitä oskillaa8oita sanotaan kvannfluktuaa$oiksi. Jos hiukkanen olisi koko ajan ominais8lassa, kvan4fluktuaa8oita ei olisi. Kvan4fluktuaa8ot voi todentaa esimerkiksi micaamalla hiukkasen paikan todennäköisyysjakaumaa. 27

28 Superposi8o8la yleises8 Olemme sanoneet, ecä superposi8o8la on lineaarikombinaa8o kahdesta tai useammasta 8lasta, joilla on erilainen energian ominaisarvo. (Eli energian ominais8loista.) Sama pätee yleisemmin mihin tahansa havaintosuureeseen: superposi8o8la on lineaarikombinaa8o jonkin havaintosuureen eri ominaisarvoa vastaavista ominais8loista. Esimerkiksi vetyatomin tapauksessa 8lan ψ nlm kvan4luvuista n määrää energian, l kulmaliikemäärän itseisarvon ja m kulmaliikemäärän z- komponen8n. Esimerkiksi 8lassa a ψ b ψ 310 energia on määräcy, samoin kulmaliikemäärän z- komponen4, muca kulmaliikemäärän itseisarvo ei ole määräcy. 28

29 Esimerkiksi tasoaalto! = e ikx on liikemäärän ominais8la, se kuvaa aaltoa joka liikkuu määrätyllä nopeudella määräcyyn suutaan. LiikemääräoperaaCori on ˆp =!i! # ˆp! =!i!! x x =!k!. Mielivaltainen funk8o voidaan esicää superposi8o8lana liikemäärän ominais8loista:!(x) = # dk a(k) e ikx! Yleises8 ocaen liikemäärä ei ole määräcy, sille on vain joku todennäköisyysjakauma, jonka todennäköisyysamplitudi on a(k). Eli todennäköisyys8heys saada arvo ħk kun liikemäärää mitataan on a(k) 2. Liikemäärällä on jokin epämääräisyys, aivan kuten paikalla. Nämä kaksi ovat yhteydessä toisiinsa. Tarkastellaan asiaa gaussisen aaltopake8n avulla. 29

30 Gaussinen aaltopake4 Tarkastellaan gaussista aaltopake4a, joka kuvaa origon ympäristöön 1.0 lokalisoitunuca hiukkasta:!(x)!(x) = Ne! x = dka(k)e ikx #! normitusvakio 0.2 a(k) = 1 # dx(x)e!ikx = N 2! 2!! Voidaan osoicaa, ecä liikemäärän todennäköisyysamplitudi a(k) on dx e! x 2 2# 2 e!ikx = N 'e!1 2 # 2 k # 2.! x /! 30

31 a(k) = N 2! #! dx e! x e!ikx Lasketaan integraali neliöksi täydentämällä: e!x2 /2! 2 e!ikx = e! 1 2! 2 (x2 +2i! 2 kx) Integraali yli ensimmäisen termin antaa vain vakion. (Integroimisrei4 siirtyy kompleksitasoon, joten asiaa pitää tarkastella hieman tarkemmin kuin reaalisen muucujanvaihdon tapauksessa, muca näin kuitenkin käy.)! a(k) = N 'e 1 2! 2 k 2 = e! 1 2! 2[ x2 +2i! 2 kx+(i! 2 k) 2!(i! 2 k) 2 ] = e! 1 2! 2 (x+i! 2 k) 2! 1 2! 2 k 2 e! 1 2! 2 z2 e!1 2! 2 k 2 31

32 Keskihajonta Paikan keskihajonta on!x x 2 # x 2. Liikemäärän keskihajonta on!p p 2 # p 2. Paikan keskihajonta kuvaa sitä, kuinka paljon hiukkasen paikka tyypillises8 heicää paikan keskiarvosta, ja liikemäärän hajonta sitä, ja vastaavas8 liikemäärän hajonnalle. Minkä tahansa x:n funk8on f(x) odotusarvo on f (x) = # dx! * (t, x) f (x)!(t, x).! Liikemäärän odotusarvossa f:n paikalla on ˆp! i! # #x. 32

33 Heisenbergin epämääräisyysperiaate Gaussisen aaltofunk8on leveys paikka- avaruudessa on!x =! 2 Liikemääräjakauman leveys on!p =!!k =! 2! Δx kertoo, kuinka kaukana origosta hiukkanen luultavas8 on, ja Δp kuinka kaukana levosta se on. Niiden tulolle pätee!x!p =! 2 Gaussinen aaltofunk8o antaa tämän tulon minimin. Voidaan osoicaa, ecä mielivaltaiselle aaltofunk8olle pätee!x!p! 2 Heisenbergin epämääräisyysperiaate 33

34 Heisenbergin epämääräisyysperiaaceen mukaan hiukkasen paikka ja liikemäärä ovat epämääräisiä. Mitä tarkemmin paikka on määräcy, sitä epämääräisempi on liikemäärä, ja toisin päin. Erikoistapauksena hiukkanen, jonka liikemäärä tunnetaan tarkas8 (tasoaalto): tällöin hiukkasen paikka on täysin epämääräinen, eli todennäköisyys8heys on sama kaikkialla. Vastaavas8, jos hiukkasen paikka 8edetään tarkas8, sen liikemäärä on täysin epämääräinen. Nimi epämääräisyysperiaate on oikeampi kuin epätarkkuusperiaate. Kyse ei ole siitä, ecä systeemiä ei tunnecaisi tarpeeksi tarkas8, vaan siitä, ecä sen 8la ei ole määräcy. Vastaava suhde pätee kulmaliikemäärän komponen4en välillä: jos z- komponen4 tunnetaan, x- ja y- komponen8t ovat epämääräiset. 34

35 Klassinen raja Kun skaala on suuri verracuna Planckin vakioon, epämääräisyysperiaaceella ja kvan8cumisella ei ole suurta merkitystä, ja maailma näycää klassiselta. Suhteellisuusteoriassa Newtonin II laki pätee suunnilleen, kun nopeudet ovat pieniä verracuina valonnopeuteen. Katsotaan miten kvan4mekaniikassa käy. Kvan4mekaniikassa käsiceellinen ero klassiseen mekaniikkaan on isompi kuin suppeassa suhteellisuusteoriassa. Ei ole enää edes käsitecä hiukkasen rata, eli paikka ajan funk8ona, on vain todennäköisyys8heys. Lähimpänä klassisen mekaniikan käsitecä paikka ajan funk8ona on hiukkasen paikan odotusarvo ajan funk8ona. x (t) = # dx! * (t, x)x!(t, x)! Newtonin toisen lain mukaan!!x = F m =! 1 V(x) m x. d 2 Miten käycäytyy x? dt 2 35

36 Ensimmäinen aikaderivaaca on d dt d dt x = d dt! % # dx! * $! (t, x)x!(t, x) = # * dx x! +! * x $! ( ' * & $t $t )! KäyCämällä Schrödingerin yhtälöä! + x = # dx! 1 % i!!!2 $ 2 ' & 2m $x +V(x) ( *! * x! ) i!! % * x!!2 $ 2 ' & 2m $x +V(x) (. - *! 0, 2 ) / =! 2mi #! + $ 2! * dx x!!! * x $2!. - 0, $x 2 $x 2 /!!!t = 1 # % i!!2 $ 2m! 2!x +V(x) & (! 2 ' saadaan Halutaan päästä eroon tekijästä x integraalissa. Kirjoitetaan integraalin sisällä oleva funk8o seuraavas8:! 2! * x!! * x!2!!x 2!x =! #!! * 2!x!x x!! * x!! & # % (!! * $!x '!x!! *!! & % ( $!x ' =!!x #!! *!x x!! * x!! & % (! $!x '!x! *! ( ) + 2! *!!!x 36

37 Oletetaan, ecä aaltofunk8o ja sen paikkaderivaaca häviävät äärecömyydessä. Tällöin saadaan d dt x =! mi # $ # dx! *!!!x = # 1 m dx! % * i!!! # ( 1 $ ' * = $ &!x ) m dx! * ˆp! = # # 1 m ˆp Ts. paikan odotusarvon aikaderivaaca on sama kuin liikemäärän odotusarvo. Tämä vastaa klassisen mekaniikan yhteycä!x = p / m. OCamalla toinen aikaderivaaca, käycämällä taas Schrödingerin yhtälöä ja osicaisintegroimalla taas saadaan d 2 x =! 1 # dt 2 m dx! * V $ x! =! 1 m!# Jos paikan odotusarvo kehicyisi kuten klassisessa mekaniikassa, niin olisi V x d 2 dt 2 x =! 1 m V( x ) x 37

38 Se, kuinka paljon <V (x)> ja V (<x>) eroavat toisistaan riippuu jakauman hajonnasta. Kun Δx on iso, klassinen rata ei kuvaa edes suunnilleen oikein sitä, mistä hiukkanen todennäköises8 löytyy. Kun Δx on pieni verracuna systeemiä kuvaaviin pituuksiin, paikan odotusarvo noudacaa suunnilleen samaa rataa kuin klassisen mekaniikan hiukkanen. Ts. todennäköisyys sille, ecä hiukkanen löytyy jostain muualta kuin klassiselta radalta on pieni. Hiukkasella ei sil8 ole rataa siinä mielessä, ecä sillä olisi määräcy paikka ajan funk8ona. Ennen micausta hiukkasen paikka on epämääräinen. MuCa kun hajonta on pieni, hiukkanen luultavas8 löytyy sieltä, missä klassinen mekaniikka ennustaisi sen olevan. NäyCää siis siltä kuin hiukkasella olisi rata. 38

39 Energian odotusarvo Suppeassa suhteellisuusteoriassa hiukkasen energia on suunnilleen sama kuin klassisessa mekaniikassa, plus lepoenergia, kun nopeus on pieni. Kvan4mekaniikassa energian odotusarvo on E = # dx! * (t, x)ĥ!(t, x)! % = # dx! * (t, x)!! 2 $ 2 $x +V(x) ( ' *!(t, x) & 2 )! % ˆp = # 2 dx! * (t, x) ' & 2m +V(x) ( *!(t, x) )! = 1 2m p2 + V(x) 39

40 Kun sekä x:n ecä p:n hajonta on pieni, saadaan E = 1 2m p2 + V(x)! 1 2m p 2 +V( x ). Hiukkasen liikemäärän ja paikan odotusarvot liicyvät tällöin energian odotusarvoon samalla tavalla kuin klassisessa fysiikassa. 40

41 Kvan4mekaniikan rakenne Yhteenvetona, kvan4mekaniikan rakenne on seuraavanlainen. Systeemiä (eli yhtä hiukkasta) kuvaa täydellises8 aaltofunk8o. Aaltofunk8on itseisarvon neliö on todennäköisyys8heys hiukkasen löytämiselle paikasta x. Aaltofunk8o toteucaa Schrödingerin yhtälön: i!!!(t, x)!t $ ' = &!2 2m #2 +V(x) )!(t, x) % ( Systeemin määricää täydellises8 poten8aali V. (Aivan kuten klassisessa mekaniikassa.) Energian ja muiden havaintosuureiden kvan8cuminen ei ole oletus: se seuraa vaa8muksesta, ecä Schrödingerin yhtälön ratkaisut ovat sidocuja 8loja, jotka häviävät äärecömyydessä. 41

42 Schrödingerin yhtälöstä saadaan energian arvot E n ja energian ominais8lat ψ n. Koska Schrödingerin yhtälö on lineaarinen, kahden ratkaisun summa on ratkaisu. Kahden sellaisen 8lan, jotka vastaavat havaintosuureiden (kuten energian) eri arvoja, lineaarikombinaa8o on nimeltään superposi8o8la. Superposi8o8lan tulkinta on se, ecä systeemin 8la on epämääräinen. MiCauksen tulosta ei voi ennustaa, ainoastaan sen mitkä ovat mahdollisia micaustuloksia, ja millä todennäköisyydellä ne saadaan. Kvan4mekaniikka on epädeterminis8nen teoria. Kun tehdään micaus, aaltofunk8o romahtaa 8eCyyn ominais8laan. (Tai näin ainakin tulkitaan: tästä lisää myöhemmin!) 42