Harjoitus 3 - Ratkaisut

Transkriptio

1 Hrjoitus 3 - Rtkisut Fymm II 4..4 Yhtälöiden luokitteleminen j krkteristiset pinnt Kosk luentomoniste käsittelee toisen kertluvun kvsilineristen osittisdierentiliyhtälöiden luokittelun j krkterististen pintojen lskemisen melko sekvsti, kerrtn luksi lskumenetelmät j niiden soveltmistilnteet. Aloitetn yleisimmästä mhdollisest luokittelutvst, jok on ominisrvojen tutkiminen. Oletetn luksi, että meillä on yleinen n:n muttujn toisen kertluvun osittisdierentiliyhtälö ( A ij u + F u, x i, u =, ( x i x j x i i,j= missä kerroinmtriisi A on symmetrinen n n-mtriisi, jok voi oll muttujien x i funktio. Mtriisin A ominisrvot sdn lskettu kvll det(a λ n =, ( missä n on n n-yksikkömtriisi. Ominisrvoyhtälöstä sdn mtriisille A n kpplett ominisrvoj λ i, joist os voi oll smoj (degeneroituneit, j nämä ominisrvot määräävät yhtälön tyypin. Jos yksi ti usempi ominisrvo on noll, yhtälö on prbolinen, jos kikki rvot ovt smnmerkkisiä (negtiivisi ti positiivisi, yhtälö on elliptinen j jos os ominisrvoist on negtiivisi j os positiivisi, yhtälö on hyperbolinen. Tämä luokitusmenetelmä soveltuu kikille toisen kertluvun osittisdierentiliyhtälöille muuttujien määrästä j kertoimien tyypistä riippumtt. Trkstelln sitten krkteristisi pintoj ω(x i = vkio. Yleisessä tpuksess pinnt sdn muodostmll nk. krkteristinen yhtälö j rtkisemll se. Yhtälöön ( liittyvä krkteristinen yhtälö on i,j= A ij ω x i ω x j =. (3 Nyt tulee huomt, että yhtälö (3 on ensimmäisen kertluvun epälinerinen osittisdifferentiliyhtälö krkteristiklle ω. Yleisessä tpuksess krkteristikt täytyy rtkist siis rtkist dierentiliyhtälöstä (mikä stt oll hyvinkin vike.

2 Oletetn seurvksi, että kertoimet ovt vkioit eli mtriisi A ei riipu muuttujist x i, jolloin mtriisi A voidn digonlisoid. Mtriisin digonlisointi on opetettu Mpu II:ll, mutt kerrtn tässä olenniset sit. Mtriisi A voidn digonlisoid määrittämällä sen ominisrvoj vstvt ominisvektorit, jotk sdn yhtälöstä A v i = λ i v i, (4 missä v i on ominisrvo λ i vstv ominisvektori. Ominisvektoriin jää in yksi määrittämätön prmetri, jok sdn määrättyä normittmll vektori v i =. (5 Normitus on ehdottomsti tehtävä, jott digonlisointi onnistuu. Nyt meillä on n ominisvektori, joist os stt oll smoj (yksi ti usempi ominisrvo degeneroitunut. Ominisvektoreist voidn nyt muodost mtriisi O, jok digonlisoi mtriisin A. Se tphtuu settmll ominisvektorit mtriisin O srkevektoreiksi O = ( v v v n. (6 Nyt tulee huomt, että luentomoniste määrittelee mtriisin O hiemn eri tvll eli monisteen mtriisi O on tässä käytetyn mtriisin O trnspoosi. Kosk ominisvektorit ovt normitettuj j ortogonlisi v O T v O =..... = n. (7 v n Digonlisoiv mtriisi muodostettess vektorien järjestys voidn vlit vpsti, j järjestys määrää ominisrvojen järjestyksen digonlisoiduss mtriisiss. λ O T λ AO = (8 λ n Dierentiliyhtälön digonlisoimiseksi täytyy siis tehdä muuttujnvihto ξ i = O T ijx j = O ji x j x i = O ij ξ j, (9 j= j= Luentomonisteess siis ominisvektorit setettisiin mtriisin O rivivektoreiksi. Määritelmät ovt mtemttisesti yhtäpitävät, mutt likimin koko muu milm käyttää srkevektoreihin perustuv konventiot, joten käytämme sitä näissä muistiinpnoiss j tehtävien mllivstuksiss. Kirjoittj väitti lskuhrjoituksiss, että vektoreiden järjestystä ei voisi vlit vpsti. Tämä ei siis pidä pikkns, j virheellinen väittämä johtui eroist luentomonisteen käyttämässä konventioss mtriisille O. j=

3 jolloin derivtt lkuperäisten muuttujien suhteen voidn kirjoitt x i = j= ξ j ξ j x i = Sijoittmll lkuperäiseen dierentiliyhtälöön sdn i,j= A ij k= ξ k O ik l= (O T AO kl ξ k λ k δ kl ξ k k,l= k,l= k j= ( O jl u + F u, ξ i, ξ l ξ l u + F ξ l u + F λ k u + F ξk ξ j O ij, ( ( u, ξ i, ( u, ξ i, ( u, ξ i, = ξ i ( = ξ i ( = ξ i (3 = ξ i. (4 Nyt yhtälö on normlimuodoss. Muuttujt voidn vielä sklt ξ i λ i ξ i, mutt se ei ole pkollist. Trkstelln seurvksi khden muttujn toisen kertluvun dierentiliyhtälöitä u x + b u xy + c u y + F (u, u x, u y, x, y =, (5 missä kertoimet voivt riippu muuttujist (eli = (x, y jne.. Kerroinmtriisi on nyt ( b A =, (6 b c j ominisrvoyhtälöstä sdn det(a λ = ( λ(c λ b = λ ( + cλ (b c =. (7 Ominisrvot ovt siis selvästi λ = ( + c ± ( + c + 4(b c = + c ± ( + c 4 det(a. (8 Yhtälö voidn nyt luokitell kerroinmtriisin determinntin merkin perusteell. Jos determinntti on noll, toinen ominisrvoist on noll, j yhtälö on prbolinen. Jos determinntti on suurempi kuin noll, neliöjuuri on pienempi kuin ensimmäisen termin itseisrvo, jolloin ominisrvot ovt smnmerkkiset j yhtälö elliptinen. Jos ts determinntti 3

4 on pienempi kuin noll, neliöjuuri on suurempi kuin ensimmäisen termin itseisrvo, joten ominisrvot ovt erimerkkiset j yhtälö on prbolinen. Sdn siis säännöt det(a < hyperbolinen (9 det(a = prbolinen ( det(a > elliptinen. ( Nämä säännöt pätevät yhtälöille, joiss on tsn kksi muuttuj, mutt kertoimet voivt siis edelleenkin riippu muuttujist x j y, jolloin yhtälön tyyppi voi vihdell pisteittäin. Trkstelln seurvksi krkteristikoit. Soveltmll yhtälöä (3 sdn krkteristiseksi yhtälöksi ( ω + b ω ( ω ω x x y + c =. ( y Jetn krkteristinen yhtälö nyt ωy, jolloin smme toisen steen yhtälön ( ( ωx ωx + b + c = (3 yhdistelmälle ω x /ω y. Normli rtkisukv käyttämällä smme ω y ω y ω x = b ± ω y 4b 4c = b ± b c = b ± det A. (4 Tässä viheess tulee huomt kksi si: ensinnäkin, yhtälö (4 on dierentiliyhtälö krkteristiklle j toiseksi, kertoimet, b, c voivt riippu muuttujist x j y. Yhtälön (4 rtkiseminen yksinkertistuu, kun otetn huomioon ehto ω(x, y = vkio. Ottmll molemmilt puolilt dierentili sdn dω = ω ω dx + x y dy = ω x = dy ω y dx. (5 Sijoittmll tämän tuloksen yhtälön (4 vsemmlle puolelle smme dy dx = b ± det A. (6 Yhtälö (6 on ensimmäisen kertluvun dierentiliyhtälö y:lle, joss oike puoli voi riippu sekä x:stä että y:stä. Kerrtn lopuksi vielä ltorintmmenetelmä, jot voi soveltn inostn vkiokertoimisille khden muuttujn osittisdierentiliyhtälöille. Altorintmmenetelmässä ω = αx + βy jolloin ω x ω y = α β = b ± det A γ = α β = b ± c b, (7 4

5 Menetelmä Muuttuji Kertoimet Yhtälön tyyppi Ominisrvojen merkit n funktioit Determinntin merkki funktioit Yhtälön digonlisointi n vkioit Krkteristikt Krkteristinen yhtälö n funktioit Dierentiliyhtälö y:lle funktioit Altorintmmenetelmä vkioit Tulukko : Eri menetelmät j niiden soveltmislueet. missä oiken puolen kertoimet, b j c ovt nyt vkioit. Krkteristikt voidn nyt kirjoitt muodoss ω = β(γx + y = vkio y + γx = vkio. (8 Altorintmmenetelmän trkempi kertus on jätetty tehtävään kksi, kosk se jää luultvsti pois luentomonisteen seurvst versiost. Tulukkoon on vielä koottu kikki eri rtkisumenetelmät j yhtälötyypit, joille ne sopivt. 5

6 Tehtävä Yhtälön luokittelemiseksi trvitn luksi kerroinmtriisi A, jok sdn lukemll eri derivtttermien kertoimet dierentiliyhtälöstä A = 4. (9 Kksi sm derivtt sisältävien termien kertoimet tulevt digonlille j ristitermien kertoimet tulevt symmetrisesti digonlin ulkopuolelle. Dierentiliyhtälö voidn tällöin kirjoitt muodoss DAD T u =, (3 missä D on vektorimuotoinen dierentilioperttori (tutummin kirjoitettun, jok on esitetty vkvektorin D = ( x y z. (3 Tässä tulee huomt, että yhtälö (3 pätee vin vkiokertoimisille yhtälöille. Yhtälön luokittelemiseksi trvitn mtriisin A ominisrvot λ i, jotk sdn rtkisemll ominisrvoyhtälö det(a λ =, (3 missä on identiteettimtriisi. Sijoittmll A j lskemll determinntti sdn ominisrvoyhtälöksi (( λ(4 λ 4( λ = λ(5 λ( λ =. (33 Rtkisut ovt selvästi λ =, λ = j λ 3 = 5. Yksi ominisrvoist on noll j kksi muut ovt positiivisi, joten kyseessä on (normlinen prbolinen yhtälö. Suoritetn seurvksi muuttujnvihto. Muuttujnvihto ei ollut selitetty luentomonisteess, joten käydään tämä koht läpi hiemn trkemmin. Muuttujnvihto vrten trvitn sellinen mtriisi O, jok digonlisoi mtriisin A O T AO = λ λ λ 3. (34 Mpu II:ll on käsitelty mtriisej j linerilgebr, joten summtn tässä vin oleelliset sit. Mtriisin A digonlisoiv mtriisi O kootn mtriisin A ominisvektoreist v i niin, että jokinen ominisvektori muodost yhden srkkeen. Ominisvektorit puolestn sdn yhtälöstä Av i = λ i v i. (35 6

7 Lsketn mlliksi ominisrvo λ = vstv ominisvektori. Merkitsemällä v :n komponenttej, b j c sdn Av = 4 b c = b + 4b c = λ v =. (36 Rtkisemll yhtälöryhmä sdn tulokseksi = b j c =. Hemme normitettuj ominisvektoreit, joten ehdost v = sdn määrättyä vielä b = / 5. Tulos on siis v = (/ 5, / 5,. Smll menetelmällä sdn rtkistu v = (,, j v 3 = (/ 5, 5,. Seurvksi muodostetn digonlisoiv mtriisi O, jonk srkevektorej ominisvektorit ovt 3. Sdn siis 4 O = (37 Trkistetn vielä lskemll O T AO = 5. (38 Huom, että ominisrvot settuvt digonlille ominisvektoreiden mukisess järjestyksessä. Lopuksi trvitn vielä koordinttimuunnos, jok plutt dierentiliyhtälön normlimuotoon. Muunnos voidn määritellä suorn digonlisoivn mtriisin vull x = O T x j x = O x. (39 Jälkimmäisestä sdn koordinttimuunnokseksi x = 5 x 5 y y = 5 x + 5 y. (4 z = z Lopuksi trkistetn vielä sijoittmll lkuperäiseen dierentiliyhtälöön, jok sdn tällöin muotoon 5u x x + u z z =. (4 3 Käytetty konventio ero nyt luentomonisteen konventiost, ktso sivu 4 Kuriositeettin minittkoon, että O on rottiomtriisi, jok kääntää x- j y-kseleit noin 63. 7

8 Tehtävä Muodostetn luksi kerroinmtriisi ( A = 6 j lsketn ominisrvot, (4 det(a λ = ( λ( 6 λ 4 = λ + 4λ 6 =. (43 Rtkisut λ = (± 5 ovt erimerkkiset, joten yhtälö on hyperbolinen. Etsitään sitten krkteristikt yleisessä tpuksess ltorintmmenetelmällä. Oletetn luksi että L(u = u x + b u xy + c u y = (44 u(x, y = F (ω(x, y, (45 joillkin funktioill F j ω. Sijoittmll yleiseen yhtälöön sdn [ ( ω F (ω + b ω ( ] ω ω x x y + c + F (ωl(ω =. (46 y Oletetn sitten, että ω(x, y = αx + βy, jolloin L(ω = j täytyy oll Jetn tämä yhtälö β:ll j kirjoitetn γ = α/β jolloin Rtkisu on nyt selvästi jolloin Krkteristikt ovt siis α + bαβ + cβ =. (47 γ = b ± 4b 4c Sijoittmll =, b =, c = 6 sdn j krkteristikt ovt siis γ + bγ + c =. (48 = b ± det A, (49 ω(x, y = β(y + γx = vkio. (5 y + γx = vkio. (5 γ = ±, (5 y + 3x = vkio j y x = vkio. (53 Todetn vielä tässä viheess, että krkteristikoj löytyi kksi, kosk yhtälö on hyperbolinen. 8

9 b Edellisen tehtävän menetelmällä sdn ominisrvot λ = j λ = 3. Kosk toinen ominisrvo on noll, yhtälön tyyppi on (normlinen prbolinen. Edellisen tehtävän menetelmällä sdn γ:lle vin yksi rvo γ = 3, j krkteristik on y 3 x = vkio. (54 c Kerroinmtriisi on nyt A = ( xy, (55 jost sdn ominisrvoiksi λ = j λ = x y. Yhtälön tyyppi riippuu nyt muuttujien x j y rvoist. Jos x = ti y =, yhtälö on prbolinen. Jos x j y <, yhtälö on elliptinen. Jos ts x j y >, yhtälö on hyperbolinen. Kosk kertoimet eivät ole vkioit, emme voi käyttää edellisten kohtien menetelmää krkteristikoiden etsimiseen. 5 Sen sijn meidän täytyy rtkist dierentiliyhtälö =, (56 ( ω x + b ω ω x y + c ( ω y missä, b j c ovt lkuperäisen yhtälön kertoimet. Sijoittmll kertoimet sdn ( ω x x y ( ω y = ( ωx = ( yωy. (57 x Kosk krkteristikt ovt käyriä khden muttujn tpuksess, täytyy oll ω = f(x+g(y. Käyttämällä tätä yritettä sdn ( f (x x = ( yg (y f (x x = ± yg (y. (58 Molempien puolien täytyy nyt oll vkioit { f (x = αx g (y = ±αy { f(x = αx + C g (y = ±α y + C. (59 Krkteristikt ovt siis ω = x ± y = vkio. (6 5 Tässä käytetty menetelmä perustuu luentomonisteeseen. Tämän tehtävän c j d kohdiss olisimme voineet käyttää myös lun tiivistelmässä esiteltyä menetelmää, joss muodostettiin dierentiliyhtälö y:lle. 9

10 d Tällä kert ( A = y (x + y (x + y x, (6 joten ominisrvojen lskeminen on työlästä. Siksi trkstelemme vin determinntti, jok määrää kksiulotteisess tpuksess yhtälön tyypin. Determinntti on det A = xy 4 (x + y = 4 (x y. (6 Nyt determinntti on noll silloin kun x = y, j muuten negtiivinen. Näin ollen yhtälö on prbolinen kun x = y j muuten hyperbolinen. Krkteristikoj lskettess joudutn edellisen kohdn tpn rtkisemn dierentiliyhtälö Jkmll ω y sdn yω x + (x + yω x ω y + xω y =. (63 y ( ωx ω y + (x + y ω x ω y + x =, (64 jok on toisen steen yhtälö kombintiolle ω x /ω y. Täytyy siis oll ω x (x + y ± (x + y 4xy = = ti x ω y y y Smme siis kksi uutt dierentiliyhtälöä { ωx = ω y ω x = x y ω y. (65. (66 Olettmll jälleen, että ω = f(x + g(y smme rtkisuiksi { ω = x y = vkio ω = x y. (67 = vkio Tehtävä 3 Yleinen rtkisu on krkteristikoiden mielivltisten funktioiden summ. Lskimme krkteristikt edellisessä tehtävässä ltorintmmenetelmällä, joten voimme suorn kirjoitt vstuksen -kohdlle u(x, y = F (y + 3x + G (y x. (68 Kosk b-kohdn yhtälö oli prbolinen, simme vin yhden krkteristikn, joten yksi rtkisu on F (y 3 x. Toinen rtkisu on tällöin esimerkiksi yg(y 3 x, j täydellinen rtkisu on u(x, y = F (y 3x + yg(y 3 x. (69

11 Tehtävä 4 Tulee siis osoitt, että nnetut lkuehdot määräävät rtkisun yksikäsitteisesti. Aloitetn johtmll putulos E(t = vkio, kun u toteutt homogeenisen ltoyhtälön. Trkstelln E:n ikderivtt de dt = dt d dt Jälkimmäinen termi voidn osittisintegroid / dt u x u xt = u x u t Tehtävässä u:lle nnetuist reunehdoist sdn Näin ollen täytyy oll j E:n derivtt on de dt = [ ] [ ] c u t + u x = dt c u tu tt + u x u xt. (7 dt u xx u t. (7 u(, t = u(, t = u t (, t = u t (, t =. (7 dt u x u xt = dt u xx u t, (73 [ ] [ ] dt c u tu tt u t u xx = dt u t c u tt u xx. (74 Hksulkeisiin jäävä luseke on nyt homogeenisen ltoyhtälön vsen puoli, joten lusekkeen täytyy oll noll, jolloin koko integrli on noll. Näin ollen E:n ikderivtt on noll j siten E(t on vkio. Sovelletn sitten tätä putulost epähomogeenisen ltoyhtälön khden eri rtkisun erotukseen. Oletetn siis, että u j u ovt epähomogeenisen ltoyhtälön rtkisuj, mutt u u. Rtkisuille u, u pätee siis Vähentämällä jälkimmäinen yhtälö ensimmäisestä sdn u c t u = F (t, x x (75 u c t u = F (t, x x. (76 c t (u u x (u u =, (77 eli rtkisujen erotus ũ = u u toteutt homogeenisen ltoyhtälön. Kosk u j u toteuttvt nnetut reunehdot, niiden erotukselle pätevät seurvt reunehdot ũ(, t = u (, t u (, t = h(t h(t = (78 ũ(, t =. (79

12 Nämä ovt smt reunehdot kuin u:ll ikisemmin, joten edellä lsketun tuloksen perusteell täytyy siis oll [ ] E(t = dx c ũ t + ũ x = vkio. (8 Lisäksi erotukselle ũ pätevät seurvt lkuehdot ũ(x, = u (x, u (x, = f(x f(x = (8 ũ t (x, =. (8 Derivoimll ensimmäistä ehto x:n suhteen smme lisäksi ehdon ũ t (x,. (83 Kun t =, ũ:n derivtt ovt nolli joten täytyy oll E( =. Toislt E(t on vkio, joten täytyy oll myös E(t =. Nyt siis [ ] E(t = dx c ũ t + ũ x =. (84 Oletetn seurvksi, että rtkisu ũ on relinen. Tällöin pätee ũ t j ũ x. (85 Jott integrli (84 olisi noll, täytyy siis oll u t = u x = eli u(x, t = vkio. Toislt simme iemmin ũ:lle reunehdon ũ(x, =, joten täytyy oll ũ =, jost seur u = u, mikä on ristiriidss lkuperäisen oletuksen u u knss. Ei siis ole olemss kht eri rtkisu niin, että molemmille pätisivät tehtävässä nnetut lkuehdot. Täten lkuehdot määräävät rtkisun yksikäsitteisesti. Tehtävä 5 Rtkistvn on siis Lplcen yhtälö Seproidn muuttujt käyttämällä yritettä u = u x + u y + u z =. (86 u = X(xY (yz(z. (87 Sijoittmll Lplcen yhtälöön j jkmll XY Z:ll sdn X X x + Y Y y + Z Z z =. (88

13 Nyt termien täytyy oll erikseen vkioit, joten smme kolme dierentiliyhtälöä X = α X Y = β Y. (89 Z = γ Z Lisäksi vkioille sdn sidosehto γ = α + β. Kksi ensimmäistä yhtälöä ovt hrmonisen oskillttorin yhtälöitä, joten rtkisut ovt X(x = A sin(αx + B cos(αx (9 Y (y = C sin(βy + D cos(βy, (9 missä A, B, C j D ovt vkioit. Kolmnnen yhtälön rtkisuj ovt hyperboliset funktiot Z(z = E sinh(γz + F cosh(γz, (9 missä E j F ovt vkioit. Tässä viheess knntt tehdä pieni peliliike, j kirjoitt vstus hiemn toisess muodoss Z(z = E sinh(γ(z z, (93 missä E j z ovt vkioit. Näin voidn tehdä, kosk hyperboliselle sinifunktiolle pätee Yleinen rtkisu on siis sinh(γ(z z = sinh(γz cosh(γz cosh(γz sinh(γz. (94 u(x, y, z = ((A sin(αx + B cos(αx (C sin(βy + D cos(βy (E sinh(γ(z z. (95 Asetetn seurvksi reunehdot, j edetään yksinkertisist ehdoist monimutkisempiin. Pinnll x = tulee oll Vstvsti pinnll y = u(x = = BY (yz(z = B =. (96 u(y = = DX(xZ(z = D =. (97 Lisäksi voidn sett A = C =, jolloin rtkisu on u(x, y, z = E sin(αx sin(βy sinh(γ(z z. (98 Asetetn seurvksi reunehto pinnll x = u(x = = E sin(α sin(βy sinh(γ(z z = α n = nπ, n N. (99 3

14 Vstvsti pinnll y = b u(y = b = E sin(α n x sin(βb sinh(γ(z z = β n = mπ b, m N. ( Rtkisu on nyt summ kikkien mhdollisten n:n j m:n rvojen yli u(x, y, z = E nm sin(α n x sin(β m b sinh(γ nm (z z, ( n.m= missä γ nm = αn + βm sdn sidosehdost. Asetetn seurvksi reunehto pinnll z = c u(z = c = E nm sin(α n x sin(β m b sinh(γ nm (c z = z = c. ( n,m= Tässä viheess ikisemmst peliliikeestä oli huomttv hyötyä, sillä säästyimme hyperbolisten funktioiden (ti vihtoehtoisesti eksponenttifunktioiden knss säätämiseltä. Nyt on jäljellä viimeinen j ino todell vike reunehto. Pinnll z = tulee oll u(z = = E nm sin(α n x sin(β m b sinh( γ nm c = H(x, y. (3 n,m= Käytetään sitten hyväksi sinifunktioiden ortogonlisuutt. Trkstelln integrli missä siis dx sin(α n x sin(α n x, (4 α n = nπ j α n = n π. (5 Voidn helposti osoitt (esimerkiksi osittisintegroimll khdesti, että integrli on noll, jos n n. Jos ts n = n, sdn dx sin (α n x = Tulokset voidn kirjoitt yhdessä Kroneckerin deltn vull. (6 dx sin(α n x sin(α n x = δ nn. (7 Kerrotn nyt yhtälö (3 yhdistelmällä sin(α n x sin(β m y j integroidn x:n j y:n yli b dx dy E nm sin(α n x sin(α n x sin(β m b sin(β m y sinh( γc n.m= = dx b dy H(x, y sin(α n x sin(β m y. (8 4

15 Vsemmll puolell integrlit voi siirtää summn sisäpuolelle j sen jälkeen sdn yhtälöä (7 soveltmll n.m= E nm δ nn b δ mm sinh( γ nmc = dx b dy H(x, y sin(α n x sin(β m y. (9 Kroneckerin deltojen nsiost summ on nyt helppo lske j sdn E nm b 4 sinh( γ nmc = dx b dy H(x, y sin(α n x sin(β m y, ( missä olemme jo vihtneet indeksit n n, m m. Kertoimet E nm ovt siis E nm = 4 b sinh (γ nm c dx b dy H(x, y sin(α n x sin(β m y, ( missä miinusmerkki on vielä otettu ulos hyperbolisest sinistä. Lopullinen rtkisu on siis u(x, y, z = n,m= missä vkiot α n, β m, γ nm ovt E nm sin(α n x sin(β m y sinh(γ nm (z c, ( α n = πn, β m = πm b, γ nm = α n + β m, (3 j kertoimet E nm on nnettu yhtälössä (. 5