Signaalien suodatus. Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2004 1

Transkriptio

1 Signaalin suodaus Signaalinkäsilyjärjslmä muokkaava lähösignaalisa ulosignaalin. Järjslmä koosuva ai n voidaan mallinaa yypillissi suoimisa. Näin signaalin suodaus on kskinn signaalinkäsilyn opraaio. Voidaan hlposi osoiaa, ä iyin dllyyksin ulo- ja lähösignaalin välillä on riippuvuus. Kun järjslmä suodin on linaarinn ja aikainvariani LTI-järjslmä ja sn impulssivas unnaan, voidaan lähösignaali laska aikaasossa ulon ja impulssivasn konvoluuiona. Fourir-muunnoksn konvoluuioorman pruslla aikaason konvoluuioa vasaa aajuusason krolasku, jon aajuusasossa lähösignaali voidaan määriää kromalla ulo impulssivasn Fourir-muunnokslla li järjslmän aajuusvaslla. Aikaasossa impulssivas määriää suoimn ominaisuud sim. viivn, nousuajan ja suodausominaisuud. Usimmin suoimn ominaisuuksia arkasllaan aajuusasossa muodosamalla ampliudi- ja vaihspkri. Ampliudispkri saadaan aajuusvasn isisarvona ja vaihspkri aajuusvasn umnina. Vaihspkrisä voidaan dlln määriää ryhmäviiv, joka kroo järjslmässä synyvä viiv aajuudn funkiona. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004

2 vaihspkri Fourirmuunnos Aikaaso Taajuusaso ulo x Signaalin suodaus LTI-järjslmä impulssivas h aajuusvas siirofunkio X f f lähö konvoluuio y h x Y f f X f { X } { } { f } konvoluuioorma X f f f f Y f ampliudi vaihspkri ampliudi vaih- ampliudi -spkri -spkri spkri -spkri G f ryhmäviiv Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004

3 Signaalin suodaus Linaarinn aikainvariani LTI järjslmä Järjslmällä arkoiaan ässä miä ahansa ohjlmaa ai laia joka uoaa vasn lähösignaali hräsä ulosignaali. x Järjslmä T y T{x} Järjslmä on linaarinn, jos sill on voimassa. Addiiivisuus T{x + x } T{x } + T{x } y + y kaikill signaalill x ja x. omognisuus T{ax} at{x} ay kaikill signaalill x ja vakiokroimll a. Järjslmä, joka ivä oua kumpaakin yllä olvisa hdoisa ova pälinaarisia. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 3

4 Signaalin suodaus Linaarisuudn ohlla oinn ärkä järjslmin ylinn ominaisuus on aikainvarianius. siiroinvarianius. Järjslmä on aikainvariani, jos sill pä T{x- 0 } y- 0. rän viiväsäminn aihuaa aikainvarianin järjslmän vassn siis samansuuruisn viivn. x- 0 Järjslmä T y- 0 T{x- 0 } Järjslmiä, joka ova skä linaarisia ä aikainvarianja kusuaan LTIjärjslmiksi. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 4

5 Signaalin suodaus Konvoluuio Tarkasllaan linaarisa aikainvariania järjslmää T, jossa milivalainn hrä x uoaa vasn y: x LTIjärjslmä T y T{x} Olkoon h järjslmän T impulssivas li vas, kun hränä on yksikköimpulssijono: { δ } h T Koska järjslmä T on aikainvariani, pä myös T { δ } h Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 5

6 Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 6 Signaalin suodaus räsignaali x voidaan siää impulssifunkioa käyän muodossa δ d x x Tässä siis poimiaan impulssifunkiolla kaikki hräsignaalin arvo, koska muuuja saa kaikki arvo välilä - + ja impulssifunkion määrilmän mukaissi simrkiksi x000δ-000x000, koska δ-000 on arvolaan, kun 000 ja muulloin nolla. Vasaavasi x000δ-000 uoaa hrän arvon ajanhkllä 000, jn. Kun kaikki mahdollis hräsignaalin arvo summaaan yhn ingroini saadaan uloksna hräsignaali x. Laiaan järjslmään T hräksi x ja hyödynnään järjslmän T linaarisuus homognisuus ja addiiivisuus ominaisuua: { } { } δ δ d h x d T x d x T x T y

7 Signaalin suodaus Tulos kroo siis, ä minkä ahansa linaarisn aikainvarianin järjslmän vas milivalaisn hräsignaaliin voidaan määriää dllä olvan kaavan mukaissi hräsignaalin ja järjslmän impulssivasn ingraalina. Ingraalia kusuaan konvoluuioingraaliksi ai konvoluuioksi, ja ylissi käyään mrkinää y x h x h d h x d h * x Edllä järjslmä voi olla simrkiksi suodin. suodain, joka rajoiaa vasn aajuud jollkin iyll välill, ai idonsiirokanava, joka liiää lähimn ja vasaanoimn oisiinsa. Ylismmin konvoluuio voidaan laska minkä ahansa kahdn signaalin välillä. Esimrkki. Signaalin x -α u ja x -β u konvoluuio, kun α>0 ja β>0. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 7

8 Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 8 Signaalin suodaus [ ] d d y u u u u d u u d x x x x y α β β α β β α β β α β β α β α β α β α β α < < < > / muulloin 0, 0, muulloin 0,, muulloin 0, 0, 0 0 0

9 Signaalin suodaus Alla on piirry signaali x, x ja x *x, kun α 0. ja β. 0.9 x x*x x Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 9

10 Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 0 Signaalin suodaus Sabiilius Järjslmä on sabiili, jos vas on äärllinn kaikilla hrän äärllisillä arvoilla. Olaan, ä hräsignaali x on rajoiu sin, ä sn isisarvo on pinmpi ai yhäsuuri kuin äärllinn raaliluku M, li < < M x, Vas y voidaan määriää konvoluuioingraalina d h M d x h d x h y d x h y Vas y pysyy siis äärllisnä ja järjslmä sabiilina, jos on voimassa ho

11 Signaalin suodaus h d < Kausaalius Järjslmä on kausaali, jos s uoaa vasa vasa kun hrä on annu. Kausaalill LTI-järjslmäll pä h 0, < 0 Raaliaikajärjslmä ova ylnsä kausaalja. Joissakin sovlluksissa signaalja voidaan allnaa nnn käsilyä muisiin, jolloin signaalia muokkaava järjslmä voi olla myös i-kausaali. Esimrkiksi kuvasignaali käsillään myös monissa raaliaikajärjslmissä sin, ä yksiäis kuva allaan kokonaisuudssaan muisiin nnn käsilyopraaioia. Tällöin yksiäis suodauks voiva olla ikausaalja. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004

12 Signaalin suodaus Taajuusvas Konvoluuioorman mukaissi aikaasossa apahuvaa konvoluuioa vasaa aajuusasossa krolasku: y x h Y X Tässä X on hrän x, impulssivasn h ja Y vasn y Fourirmuunnos. Impulssivasn Fourir-muunnosa kusuaan järjslmän aajuusvasksi. siirofunkioksi. F { h } h Y X j d δ x X LTIjärjslmä h y x*h YX Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004

13 Signaalin suodaus Vasn Fourir-muunnos saadaan siis kromalla aajuusvas ja hrän Fourir-muunnos X ksknään. Usin on käyännössä konvoluuioa hokkaampaa laska nopalla Fourir-muunnokslla aajuusvas ja hrän Fourir-muunnos, joka kromalla saadaan vasn Fourir-muunnos. Vassignaali saadaan ällöin käänisllä Fourir-muunnokslla. y j X d π Esimrkiksi ioliiknnsovlluksissa idonsiirokanava usin väärisää siirrävää signaalia. Jos kanavan impulssi- ai aajuusvas unnaan, voidaan väärisymä korjaa jakamalla vasaanoun signaalin Fourir-muunnos kanavan aajuusvaslla: X Y Väärisymäön signaali x saadaan ny käänisllä Fourir-muunnokslla signaalisa X. Tässä suoriaan ns. dkonvoluuio aajuusasossa. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 3

14 Ampliudi- ja vaihvas Signaalin suodaus Taajuusvas on ylisssä apauksssa komplksiarvoinn funkio, joka voidaan siää isisarvonsa ja vaihnsa avulla: j { } Isisarvoa sanoaan järjslmän ampliudivasksi. ampliudispkriksi ja vaihfunkioa {} järjslmän vaihvasksi. vaihspkriksi. Jos impulssivas h on raaliarvoinn, on aajuusvas ns. konjugaaisymmrinn, jolloin { } { } θ h θ θ h h Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 4

15 Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 5 Signaalin suodaus Mrkiään { } { } X j X X Tällöin vassignaalin aajuusason siys voidaan kirjoiaa muooon { } { } { } { } { } [ ] X j j X j Y j X X Y Y + Vassignaalin ampliudispkri saadaan siis kromalla hrän ja suoimn ampliudispkri ksknään ja vassignaalin vaihspkri puolsaan laskmalla yhn hrän ja suoimn vaihspkri. { } { } { } X Y X Y +

16 Signaalin suodaus Ryhmäviiv Ryhmäviiv määriää suoimssa hräsn synyvän viivn aajuudn funkiona. Ryhmäviiv G määrillään järjslmän vaihvasn drivaaaa käyän muodossa G dθ d G f dθ h f π df h Jos suoimn vaihvas on linaarinn, saa ryhmäviiv vakioarvon ja suodaava signaali viiväsyvä aajuudsa riippumaa vakioajan. {X}-k -d[{x]/d k Kulmakrroin -k Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 6

17 Signaalin suodaus Esimrkki. Tidonsiiro pälinaarisn vaihvasn omaavassa kanavassa. Siirrään 0.5 z:n aajuislla sinisignaalilla moduloiu 5 z:n aajuinn kanoaalo idonsiirokanavassa, jossa ryhmäviiv i ol siirrävän signaalin aajuusalulla vakio. Siirryyn signaaliin synyy väärisymiä, koska moduloidun signaalin aajuud viiväsyvä kanavassa ripiuisn ajan. Kanavan ominaisuud Ampliudi Vaih [rad] Ryhmäviiv [s ] Taajuus [z] Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 7

18 Präkkäis järjslmä Signaalin suodaus Tarkasllaan ylismmin ilanna, jossa kaksi LTI-suodina on asu präkkäin li kaskadiin. Suoimin impulssivas ova h ja h ja aajuusvas vasaavasi ja. x h h y Voidaan osoiaa, ä nämä on mahdollisa yhdisää konvoloimalla impulssivas ksknään x h * h y [h * h ] * x Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 8

19 Signaalin suodaus Taajuusasossa konvoluuioa vasaa krolasku, jon aajuusvas voidaan yhdisää kromalla n ksknään. X y X Y X Yhdisyn järjslmän ampliudispkri saadaan ny kromalla yksiäisn järjslmin ampliudispkri ksknään ja vaihspkri {} puolsaan laskmalla yksiäisn järjslmin vaihspkri yhn. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 9

20 Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 0 Signaalin suodaus { } { } { } { } [ ] { } { } { } { } j j j j + +

21 Rinnakkais järjslmä Signaalin suodaus Tarkasllaan ilanna, jossa kaksi LTI-suodina on asu rinnakkain. Suoimin impulssivas ova h ja h ja aajuusvas vasaavasi ja. Rinnakkais järjslmä voidaan arviassa yhdisää laskmalla impulssivas ai aajuusvas yhn. h x y h *x + h *x h x h + h y [h + h ] * x X + Y [ + ] X Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004

22 Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 Signaalin suodaus Alla on määriy yhdisyn suoimn ampliudi ja vaihspkri. uomaa mrkinnä A, A, θ { } ja θ { }. { } { } { } { } { } { } cos cos sin sin arcan sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos sin cos θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ A A A A A A A A A A j A A j A j A A A j j j j

23 Väärisymäön idonsiiro Signaalin suodaus Monissa sovlluksissa signaali haluaan siirää idonsiirokanavaa pikin mahdollisimman muuumaomana. Tällöin puhuaan väärisymäömäsä idonsiirrosa, jossa signaali ouaa hdon y kx d Eli väärisämäömässä idonsiirokanavassa signaalin vahvisus on k ja signaali voi viiväsyä ajan d vrran. Yhälön Fourir-muunnos on Y θ h X k k j d d. kx j Signaalin x jokainn aajuuskomponni siis vahvisuu kijällä k ja viiväsyy kijällä d. d Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 3

24 Väärisymä idonsiirokanavassa Signaalin suodaus Väärisämäömän LTI-idonsiirokanavan ampliudispkri on vakio ja vaihspkri linaarinn. Jos ampliudi- ai vaihspkri i äyä näiä hoja, signaali lvn aikaasossa kulkissaan kanavan läpi. Tällaisa väärisymisä kusuaan disprsioksi ja s on riyisn onglmallisa aikajakoisssa TDM idonsiirrossa, jossa präkkäisn pulssin ja sin myös naapurikanavin välill voi synyä inrfrnssiä. Taajuusjakoisssa FDM idonsiirrossa virh synyvä kunkin kanavan sisällä iväkä naapurikanava häiris oisiaan ällaisn väärisymin surauksna. LTI-kanavassa synyvää väärisymää voidaan vähnää liiämällä idonsiirokanavaan ylimääräinn järjslmä, joka kompnsoi päidaalisn kanavan vaikuusa. Tällaisa kniikkaa kusuaan kanavan kvalisoinniksi ja vasaavaa järjslmää kvalisaaoriksi. ulo c f q f lähö LTI-kanava kvalisaaori Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 4

25 Signaalin suodaus Ekvalisaaori suunnillaan sin, ä siiroin kokonaissiirofunkio vasaa väärisämäömän kanavan siirofunkioa, li c f q f k j πf d Ekvalisaaorin siirofunkioksi saadaan ällöin q f k j πf c d f Käyännössä kvalisoini ouaan sin, ä sn siirofunkio approksimoi mahdollisimman hyvin idaalisa siirofunkioa. Tällainn siirofunkio ouaan ylnsä FIR-suodinraknlla, jossa lähöarvo muodosaan summaamalla suodinkroimilla painouja ulosignaalin arvoja yhn li ulosignaalin arvojn linaarikombinaaiona. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 5

26 Signaalin suodaus Jos idonsiirokanava on pälinaarinn, synyy lähösignaaliin kanavassa sllaisia aajuuksia, joia alkupräisssä signaalissa i ol, mikä on onglma riyissi aajuusjakoisssa idonsiirrossa. Epälinaarisa kanavaa voidaan mallinaa sarjakhilmänä 3 k y a g + a g + a g + L + a g +L 3 k Esimrkiksi rmin a g spkri saadaan Fourir-muunnoksn krolaskuominaisuudn pruslla spkrin Gf konvoluuiona isnsä kanssa. Eli, jos g:n kaisanlvys on B, niin g :n kaisanlvys on B. Tällöin g k :n kaisanlvys on kb. Epälinaarisuudsa synyvin uusin aajuuksin määrä riippuu siis pälinaarisuudn assa. Tidonsiiroon aihuuu väärisymiä myös silloin, kun signaali saapuu vasaanoimn kaha ai usampaa ri viivn omaavaa siiroiä pikin. Esimrkiksi kaaplissa, jossa impdanssisovius on virhllinn, vasaanoopäähän saapuu alkupräinn signaali skä sn hijasuksia rilaisn viividn jälkn. Radiosiirrossa ri kohisa synyy hijasuksia, joka saapuva vasaanoimn ri aikana. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 6

27 Signaalin suodaus Edllä on olu, ä idonsiirokanavan ominaisuud säilyvä muuumaomina ajan hksä oisn. Esimrkiksi radiosiirrossa ilmankhän ominaisuuksin vaihlun vuoksi signaalin vaimnnus muuuu ajan funkiona. Tää voidaan kompnsoida mm. auomaaislla ason säädöllä AGC. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 7

28 Signaalin suodaus Suodaim Suodin on järjslmä, joka muokkaa hrän ampliudia- ja vaiha haluulla avalla. Suodauksssa hrän aajuussisälö ylnsä muuuu. Prussuoim ova alipääsö-,ylipääsö-, kaisanpääsö- ja kaisansosuodin, joka muokkaava ampliudja. Tämän lisäksi ärkiä suoimia ova vaihn muokkauksn käyävä kokopääsösuodin kulkuaikakorjain ja ilbr-muunnin. Suoim määrillään ylnsä anamalla pääsö-, so- ja siirymäkaisan rajaaajuud. Suoimll voidaan aajuusvasn pruslla määrillä myös kaisanlvys simrkiksi aajuusvasn nollakohin ai 3 db:n pisn pruslla. Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 8

29 Signaalin suodaus. Siirymäkaisa Pääsökaisa Esokaisa Kaisanlvys Β B Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 9

30 Signaalin suodaus. w Siirymäkaisa Pääsökaisa Esokaisa Esokaisa Kaisanlvys Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 30

31 Idaalinn alipääsösuodin Signaalin suodaus Idaalisn alipääsösuoimn aajuusvas saa pääsökaisalla arvon ja sokaisalla arvon 0. Olaan, ä suoimn rajaaajuus on B. Taajuusvas voidaan ällöin siää muodossa LPF j 0, d, B muulloin Impulssivas voidaan määriää käänisllä Fourir-muunnokslla h LPF j B LPF d sinc d π π [ B ] Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 3

32 Signaalin suodaus h LPF B/π Idaalisn alipääsösuoimn impulssivas Idaalisn alipääsösuoimn ampliudi- ja vaihvas LPF -B 0 B θ LPF d π/β B -B 0 Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 3

33 Idaalinn ylipääsösuodin Signaalin suodaus Idaalisn ylipääsösuoimn aajuusvas saa pääsökaisalla arvon ja sokaisalla arvon 0. Olaan, ä suoimn rajaaajuus on B. Taajuusvas voidaan ällöin siää muodossa PF jd, B jd LPF 0, muulloin PF θ PF -B 0 B B -B 0 Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 33

34 Idaalinn kaisanpääsösuodin Signaalin suodaus Idaalisn kaisanpääsösuoimn aajuusvas voidaan siää muodossa BPF 0, j d, B B muulloin BPF θ BPF -B -B 0 B B -B -B 0 B B Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 34

35 Signaalin suodaus Idaalinn kaisansosuodin Idaalisn kaisansosuoimn aajuusvas voidaan siää muodossa j d BSF BPF BSF θ BSF -B -B 0 B B -B B B -B 0 Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 35

36 Signaalin suodaus ilbr-muunnin Tarkasllaan suodina, jonka aajuusvas on muooa π j π + j + j, j, > 0 < 0 j sgn Suodin ouaa posiiivisilla aajuuksilla -π/:n suuruisn vaihsiirron ja vasaavasi ngaiivisilla aajuuksilla +π/:n suuruisn vaihsiirron. Ampliudivahvisus on sn sijaan kaikilla aajuuksilla, jon ampliudi i suodauksssa muuu. Tällaisa suodina kusuaan ilbr-muunimksi ja sillä on kskinn mrkiys idonsiirokniikassa kapakaisaisn signaalin käsilyssä. ilbr θ ilbr +π/ 0 0 -π/ Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S004 36

37 Signaalin suodaus ilbr-muunimn impulssivas voidaan määriää aajuusvassa käänisllä Fourir-muunnokslla. Tuloksksi saadaan h ilbr π Milivalaisn signaalin x ilbr-muunnos voidaan määriää ilbr-muunimn impulssivasn ja signaalin konvoluuiona xˆ x hilbr x * d π π x d Tässä on riyissi huomaava, ä ilbr-muunnu signaali on ajan funkio, li ilbr-muunnos i uoa signaalisa aajuusason siysä. ilbr-muunnoksn käänismuunnos määrillään muodossa x xˆ hilbr xˆ * d π π Jyrki Laiinn TL53 Signaalioria S xˆ d