Signaaliteoria. TkT Jyrki Laitinen Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria (S2004) 1
|
|
|
- Saija Kahma
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Signliori TkT Jyrki Liinn Jyrki Liinn TL53 Signliori S004
2 Johdno Signli on yksirvoinn funkio, jok kulj muknn informio. Signlill on kullkin jnhkllä yksikäsiinn rvo. Mmissi simrkiksi signli g voidn siää muodoss g g, missä ik on in rlirvoinn. Usimmin signlin rvo g siävä jonkun ilmiön mpliudirvo jn funkion. Nliöimällä mpliudirvo sdn vsv nrgin vrrnnollinn rvo, li nrgi ~ mpliudi. Signli voiv oll yksi i usmpiuloisi. Esimrkiksi hrmsävykuv on kksiuloinn D signli, joss signlin mpliudirvo riippuu khds kuvpisn pikn kuvss määriäväsä koordinirvos g gx,y. Tällä opinojksoll käsillään vin yksiuloisi signlj j niidn käsilyyn käyyjä mnlmiä. Jyrki Liinn TL53 Signliori S004
3 Johdno Esimrkki. Yksiuloinn signli g jn funkion. g siää AM-moduloiu signli. Nop muuoks vsv knolojuu. Mljuinn informio näkyy kkoviivoill siyissä signlin g vrhokäyrissä. 3 Ampliudi g [s] Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 3
4 Johdno Esimrkki. Kksiuloinn signli gx,y pikn x,y funkion. gx,y on ässä hrmsävykuv, joss signlirvo g ilmis pisn vlussn j pikkkoordini x j y pisn sijinnin kuvss. Hrmsävykuv Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 4
5 Johdno Signlinkäsilyyn liiyy prusmäärilmiä j oprioi, jok on siy survss kuvss. Käsilävää signli kusun ulosignliksi lyhymmin uloksi j mrkiään usin x. Vsvsi signlinkäsilyn uloksn sv signli kusun lähösignliksi lyhymmin lähö i vs j mrkiään usin y. Jo lähösignlin muoo voidn määriää, äyyy un signli muokkv järjslmä. Voidn osoi, ä järjslmän äyässä iy hdo sn impulssivs h on riiävä kuvmn järjslmä äydllissi. Tällis hdo äyäviä järjslmiä kusun linrisiksi ikinvriniksi li LTI-järjslmiksi. Pääos ri sovlluksiss sim. idonsiirokniikk siinyvisä järjslmisä voidn käsillä LTI-järjslminä. Käyännössä signli muokkv järjslmä voi oll vikkp suunnilun uloksn synyny suodin, signlin siiroi kpli, rdioi i näidn muodosm kokonisuus, joss signli kulk usn suoimn j siiroin ku. Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 5
6 Johdno Järjslmän impulssivs voidn joko mi limll järjslmän uloksi lyhyksoinn impulssi j mimll ällöin sv vs i s unnn suodinsuunnilun uloksn. Jälkimmäisssä puksss impulssivs kuvn usin suodinkroimill. Edllä kuvun lähsymisvn k hokkksi s, ä lähdön j ulon välillä voidn ylissi osoi yhys y h * x, missä * vii mmisn oprioon, jo kusun konvoluuioksi. Jos siis unnn LTI-järjslmän impulssivs, voidn järjslmän uom vs mihin hns uloon määriää impulssivsn j ulon konvoluuion. Jos s hlun järjslmän muokkvn signli iyllä vll, suunnilln järjslmän impulssivs sllisksi, ä hluu vimusmäärily ouuu. Edllä on kuvu ylinn signlinkäsilyn pri iksoss, s. signlill, jok ov jn funkioi. Käsily voidn kuinkin ou myös juussoss, joss signli siään juudn funkion. Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 6
7 Johdno Aiksos juussoss voidn siiryä mmisll oprioll, jo kusun Fourir-muunnoksksi. Päinvsinn siiryminn phuu käänisllä Fourir-muunnoksll. Fourir-muunnoksn uloksn sv signli on komplksirvoinn s. muodosuu komplksiluvuis. Signli on pn hvinnollis lskmll komplksiluvuis isisrvo li mpliudi j vihkulm. Kun mpliudi j vih siään juudn funkion puhun mpliudi- j vihspkrisä. Tjuussoss lähö Yf voidn määriää kromll ulo Xf juusvsll Hf. Ny Xf on ulon x j Hf impulssivsn h Fourir-muunnos. Lähö y voidn määriää signlin Yf käänisnä Fourir-muunnoksn. Signlinkäsily on juussoss usin hoks, kosk konvoluuion sms riiää krolskun lskminn. Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 7
8 Johdno vihspkri Fourirmuunnos Tjuusso Aikso ulo x LTI-järjslmä impulssivs h juusvs X f H f lähö konvoluuio y h x Y f H f X f { X } { H } rg{ H f } konvoluuioorm X f rg f H f rg f Y f mpliudi vihspkri mpliudi vih- mpliudi -spkri -spkri spkri -spkri Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 8
9 Johdno Esimrkki. Signli x ylin kuv, mpliudispkri Xf kskimmäinn kuv j vihspkri rg{xf} lin kuv. Ampliudi x [s ] Ampliudi Xf f [H] V ih rgxf f [H] Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 9
10 Mmiikn krus Signliori muodos pohjn mm. idonsiirokniikn kskisn mnlmin ymmärämisll. Tämän vuoksi ärkiä signlioriss käsiläviä sioi ov simrkiksi Fourir-muunnoks j rilisn moduliomnlmin usll olv mmis oprio, jok prusuv ksponnimuooisn signlin ingroiniin j komplksilukujn käsilyyn. Tässä kpplss krrn komplksilukujn prusori skä ksponnifunkioidn käsilyä j ingroinimnlmiä. Komplksiluvu Suorkulminn j rigonomrinn siysmuoo Komplksiluvun suorkulminn siysmuoo on muoo + bj, missä R{} on komplksiluvun rlios, b Im{} on komplksiluvun imginrios j j imginriyksikkö, joll pä j -. Komplksiluvu voidn siää pisinä i vkorin komplksisoss. Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 0
11 Mmiikn krus Im +jb b sinθ θ R cosθ Kuvs nähdään hlposi komplksiluvun rigonomrinn siysmuoo cosθ + j sinθ {cosθ + jsinθ}, missä on :n isisrvo moduli li mpliudi j θ on :n vihkulm li rgumni. Nämä voidn määriää kvois Jyrki Liinn TL53 Signliori S004
12 Mmiikn krus + b b θ rg{ } rcn Eksponnisiysmuoo li npkoordinisiys Komplksiluvu siään usin ksponnimuodoss, jok voidn hlposi määriää käyän Eulrin kvoj jθ jθ cosθ + cosθ j sinθ j sinθ Vrmll Eulrin kvoj j komplksiluvun rigonomris siysmuoo sdn hlposi komplksiluvun ksponnisiysmuoo jθ Jyrki Liinn TL53 Signliori S004
13 Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 3 Mmiikn krus Komplksilukujn ksponnisiysmuoo on usin dullinn, kosk komplksilukujn välisn kro- j jkolskujn kminn on ässä muodoss ylnsä hlpomp kuin suorkulmisss siysmuodoss. Survss joikin komplksilukujn pruslskuoimiuksi kvoin: θ θ θ θ θ θ θ jn n n j j j j b b j jb jb ± + ± ± Komplksilukujn yhnlsku on hlpoin suori suorkulmisss muodoss, kro- j jkolsku skä ponssiinkorous onnisuv prhin ksponimuodoss.
14 Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 4 Mmiikn krus Sinill j kosinill voidn Eulrin kvoj käyän joh komplksisiyks θ θ θ θ θ θ j j j j j + cos sin Komplksiluvun liioluku li komplksikonjugi Komplksiluvun + jb komplksikonjugi * määrillään muodoss * jb -jθ. Komplksiluvuill j niidn komplksikonjugill pä {} {} * * * * * * * * * *, Im, R, *, * + ± ±
15 Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 5 Mmiikn krus Eksponnifunkioidn lskusäänöjä Mon signlinkäsilyn kskis oprio mm. Fourir-muunnos prusuv ingrlimuunnoksiin, joiss ingroivn on yyppiä olvll ksponnifunkioll krrou signli. Tämän vuoksi on ärkää un ksponnifunkioidn käsilyn prusoprio. Pruslskusäänöjä b b b b b b b + 0
16 Mmiikn krus Driv j ingrli d d d d d d d d d f f df d Määräy ingrli 0 / 0 0 [ ] [ 0 ] 0 d Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 6
17 Osiisingroini Mmiikn krus Ingrlimuunnosn lskn on pääsäänöissi vrsin hnkl j moniss ilniss ingrli i ol ds suljuss muodoss lskviss. Prusingroimissäänöjn lisäksi osiisingroini on ärkä pumnlmä rkisun hkmisss. Osiisingroinnin lskusäänö voidn joh diffrnioimll funkioidn u j v ulo: d uv dv du d uv dv u + v d uv u d + d d d d d dv du u d uv v d d d Tämä voidn myös siää muodoss ' ' u v d u v v u d v du d d Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 7
18 Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 8 Mmiikn krus Esimrkki. C d d v v u u mrk d u v v u d v u d +.? ' ' ' ' Tässä C on ingroimisvkio. Trkis ulos drivoimll rkisu!
19 Mmiikn krus Järjslmin mllinmisss j ioliiknn oriss hyödynnään usin räiä signlj, jok on lyhysi määrily survss: Yksikköskl Yksikköskl li Hvisidn funkio u määrillään muodoss u, 0, > 0 < 0 Yksikköskl on päjkuv j sn rvo on määrilmäön kohdss 0. Yksikköimpulssi Yksikköimpulssi li Dircin dlfunkio määrillään muodoss δ, 0, 0 0 Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 9
20 Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 0 Mmiikn krus Edllä φ on mikä hns jkuv funkio jnhkllä 0. Voidn osoi, ä sklfunkion driv on impulssifunkio: d du u ' δ 0 φ δ φ δ d d Yksikköimpulssifunkion ingrlill pä Joikin impulssifunkion ominisuuksi: x x x x d δ δ δ δ δ δ δ δ φ δ φ
21 Mmiikn krus Esimrkki. δ δ u d[u/d] Jyrki Liinn TL53 Signliori S004
22 Mmiikn krus Signumfunkio Signumfunkio sgn määrillään muodoss, > 0 sgn 0, 0, < 0 Huom sgn u u Pngrfunkio Pngrfunkio li rmppi r A määrillään muodoss sgn r A r A A, 0, 0 < 0 Jyrki Liinn TL53 Signliori S004
23 Mmiikn krus Sinc-funkio Sinc-funkio sinc määrillään muodoss s inc sinπ π Sinc-funkion rvo pisssä 0 voidn määriää, kun muisn sin π lim 0 π sinc Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 3
24 Signlin luokilu Signlj voidn luokill usll ri vll dllä puhuiin simrkiksi yksi- j kksiuloisis signlis. Mui yypillisiä poj luokill signlj on simrkiksi jk n jkuv-ikisiin j diskrihin signlihin, nlogisiin j digilisiin signlihin, rlirvoisiin j komplksirvoisiin signlihin, jn. Luokilun rkoiuksn on hvi signlis sllisi yhisiä ominisuuksi, jok joko hlpov niidn käsilyä i viv iynyyppisä käsilyä. Edllissä pukss simrkkinä voidn mini symmriominisuuksin prusll phuv luokilu simrkiksi prillisiin j priomiin signlihin. Jälkimmäisä pus puolsn kuv simrkiksi jko nlogisiin j digilisiin signlihin. Survss on lyhysi käsily signliorin opinojn knnl kskisiä luokilukäyänöjä. Joilkin osin luokilu äsmnnään opinojkson kuluss. Signli x on prillinn, jos sill pä x x-, j prion, jos x- -x. Prion signlin s in rvon 0 jnhkllä 0 0. Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 4
25 Signlin luokilu Drminisinn vs. sunnissignli Signli x on drminisinn, jos sn rkk rvo on idoss kikkin jnhkinä. Signlill voidn kirjoi nlyyinn lusk, jonk vull s voidn siää yksikäsiissi. Jos signlin x rkk rvo i void nnus, s on sunnissignli. Signliss i prosssiss on kuinkin säännönmukisuuksi, jok voidn kuv odnnäköisyyslsknnll. Tällisn signlin voidn jll olvn yksi näy suurs joukos signlj, joiss kullkin signlill on om lomuoons. Kullkin joukon signlill on iy siinymisodnnäköisyys. Drminisis signli on pn jk jksollisiin j jksoomiin signlihin j jksollis signli dlln kosinisignliin j komplksissi jksollisiin signlihin j jksoom signli mlkin jksollisiin j rnsinisignlihin. Sunnissignli voidn jk sionäärisiin j päsionäärisiin signlihin j sionääris signli rgodisiin j pärgodisiin signlihin ähän pln myöhmmin. Sisälää usi juuskomponnj. Mm. sunnis pulssi j pursk. Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 5
26 Signlin luokilu Drminisinn signli Sunnissignli Jksollinn Jksoon Sionäärinn Epäionäärinn Komplksissi jksollinn Kosini Ergodinn Epärgodinn Mlkin jksollinn Trnsinisignli Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 6
27 Jksollinn vs. jksoon signli Signlin luokilu Signlin jksollisuus on kskinn olus moniss signlinkäsilymnlmissä. Vin jksollinn signli voidn un rksi. Jksooms signlis jää in os unm, kosk käyännössä signlis voidn käsillä vin äärllisn piuis os. Signli x on jksollinn, jos on olmss posiiivinn luku T 0, joll pä x+t 0 x. Pinin T 0 :n rvo, joll ho on voimss, on signlin x jkso. Jkson käänisluku kusun signlin prusjuudksi f 0 : f 0 /T 0 [H]. Prusjuudn kokonislukukrrnnisi kusun puolsn signlin hrmonisiksi monikrroiksi. Signli, joll jksollisuusho i ol voimss millään T0:n rvoll, on jksoon. Jksoomn signlin jksonpiuus T0. Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 7
28 Enrgi- vs. hosignli Signlin luokilu Signli on nrgisignli, jos sn kokonisnrgill E pä 0 < E <. Signli on hosignli, jos sn kskimääräisll holl P pä 0 < P <. Signli i voi oll yhä ik skä nrgi- ä hosignli. Enrgisignlin kskimääräinn ho on noll j hosignlin kokonisnrgi äärön. Ylnsä jksollis j sunnis signli ov hosignlj, kun s drminisis j jksoom signli ov nrgisignlj. Signlin x kokonisnrgi E j kskimääräinn ho P voidn määriää kvoill: E x d T lim P x d T T T Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 8
29 Signlin luokilu Huom, ä kokonisnrgin lskukvss summn ingroidn signlin x kikki nrgi-rvo x yhn, jolloin uloksn sdn kokonisnrgi E [J]. Vsvsi kskimääräisn hon lskukvss lskn kokonisnrgi [J] iyllä ikvälillä j jn loppuulos ikvälin piuudll [s], jolloin uloksn sdn kskimääräinn ho [J/s] [W]. Käyännössä näissä lskn ik-kslin j signlin x väliin jäävää pin-l j signlin x kskirvo. Esimrkki. Suorkidpulssin x kokonisnrgi. A x mpliudi x mpliudin nliö ho A Pin-l A T kokonisnrgi -T/ T/ -T/ T/ E x d A T Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 9
30 Signlin luokilu Esimrkki. Jksollisn suorkidpulssijonon x kskimääräinn ho. x A x A -T 0 / T 0 / T -T 0 / T 0 / T Kokonisnrgi E. Yhdn jkson nrgi A T. Kskimääräinn ho P on ny yhdn jkson nrgi jun jkson piuudll signlin kskirvo. Eli P A T/T 0. Jyrki Liinn TL53 Signliori S004 30
Signaaliteoria. TkT Jyrki Laitinen Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria (S2005) 1
Signliori TkT Jyrki Liinn www.omk.fi/~jyrkil Jyrki Liinn TL53 Signliori S005 Johdno Signli on yksirvoinn funkio, jok kulj muknn informio. Signlill on kullkin jnhkllä yksikäsiinn rvo. Mmissi simrkiksi signli
Signaalit aika- ja taajuustasossa
Sili lomuoo Sili ik- uussoss Alomuoo kuv sili käyäyymisä fukio li iksoss. Ylsä lomuoo rksll simrkiksi oskilloskoopi äyöllä. Siimuooi sili Asiφ Asiπf φ i Acosφ Acosπf φ muodos prus kikki sili uussisällö
a) Miksi signaalin jaksollisuus on tärkeä ominaisuus? Miten jaksollisuus vaikuttaa signaalin taajuussisältöön?
L53, Sinaalioria J. Laiinn..5 E3SN, E3SN5Z Väliko, rakaisu Vasaa lyhysi suraaviin kysymyksiin. 6p a Miksi sinaalin aksollisuus on ärkä ominaisuus? Min aksollisuus vaikuaa sinaalin aauussisälöön? b Miä
5 Jatkuvan funktion integraali
5 Jkuvn funkion inegrli Derivlle kääneisä käsieä kusun inegrliksi. Aloien inegrliin uusuminen esimerkillä. Esimerkki 5.. Tuonolioksess on phunu kemiklivuoo. Määriellään funkio V sien, eä V () on vuoneen
SATE1050 Piirianalyysi II syksy / 8 Laskuharjoitus 2 / Transientti-ilmiö (ratkaisut muodostaen diff. yhtälöt, EI saa käyttä Laplace-muunnosta!
SAT5 Piirinlyysi II syksy 6 / 8 skuhrjoius / Trnsini-ilmiö (rkisu muodosn diff. yhälö, I s käyä plc-muunnos!) Thävä. All olvss kuvss siyssä piirissä kykin siiryy hkllä = snnos snoon viivä (= induknssin
SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /6 Laskuharjoitus 6/ / Sähkömagneettisiin aaltoihin liittyvä teho
SAT14 Dninn knäori sks 16 1 /6 Lskuhrjoius 6/ / Sähkögnisiin loihin liivä ho Thävä 1. Trksl survi rlisi sähköknäfunkioluskki, jok osoiv knän pikk- j ikriippuvuudn: ) cos c 1 ) sin c) cos 3 issä,,, c j
3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA
S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas
z = Amplitudi = itseisarvo ja vaihe = argumentti (arg). arg Piirretään vielä amplitudi- ja vaihespektri:
Määriä suraavi komplksiluku/siaali ampliudi- a vaiharvo. Piirrä b-kohdassa ampliudi a vaih aauud fukioa ampliudi- a vaihspkri. 6p 8 a z 7, z 8 a z. { } b z cos. Ampliudi isisarvo a vaih arumi ar. a z 7
TV13 Integraalimunnokset Tentti Metropolia/AK Vastauksia
3 Igrlimuoks i 7.4.5 Mropoli/K suksi. Jokiss kohds oss iää pisä. Kiroi kuki suks prää lyhy pruslu. Jksollis sigli ksopiuus o 8 ms. Kuik suuri o sigli prusuus hrsiä? sus: 5 Hz li ksopiuud kääisluku. b Shrällo
ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.
Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak
X(t) = X 0 + tx 1 + t 2 X 2 + t 3 X ,
Ma-1.1332 Mariisiksponnifunkio, KP3-II, syksy 2007 Pkka Alsalo Johdano. Tämä monis sisälää kurssilla arviava ido mariisiksponnifunkiosa. Mariisiksponnifunkio. Suraavassa A on raalinn n n-mariisi, jonka
2. Esitä tehtävän 1 a) ja b)-kohdan luvut eksponenttimuodossa ja c) ja d) kohdan luvut suorakulmaisessa muodossa.
L5, Sigliri S Lsuhriusi. Määriä survi mplsiluu isisrv vihulm: 5 5 - -. Esiä hävä b-h luvu spimuss c h luvu surulmisss muss.. Suri surv lsuimius: 6 7 5. Jh Eulri v hyöyä sii sii mplsisiys: si cs 5. Määriä
>LTI-järjestelmä. >vaihespektri. >ryhmäviive
TL53, Signaalioria (J. Laiinn) 9..4 TTESN, TTESN5X, TTESN5Z Väliko, rakaisu Täydnnä ohisn kuvaan > - ai < -mrkiy kohda. Miä arkoiaan idonsiirokanavan kvalisoinnilla? Esiä lausk kvalisaaorin siirofunkioll,
Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.
S-8. Sähkönsiirtoärstlmät Tntti 8..7 Vst thtäviin -4 vlits toinn thtävistä 5 6. Vstt siis nintään viitn thtävään.. Tutkitn ll piirrttyä PV-käyrää, ok kuv sllist vrkko, oss on tuotntolu kuormituslu niidn
Tehtävän 1 moottorin kuormana an työkone, jonka momentti on vakio T=30 Nm. Laske
SÄHKÖENERGAEKNKKA Hrjoius - lueno 9 ehävä 1 Oheisess kuvss on ssähkökoneen sijiskykenämlli. Joh pyörimisnopeuden kv momenin funkion, kun mgneoinivuo φ j nkkurijännie V ov vkioin. Piirrä johmsi kv -ω soss,
exp(x) = e x x n n=0 v(x, y) = e x sin y
4 Alkisfunktioita 41 Eksponnttifunktio Eksponnttifunktio xp : R R on määritlty khitlmällä xp(x) = x x n = n! Pyrimm laajntamaan määritlmän koko tasoon C sitn, ttä 1 xp : C C on analyyttinn ja xp(x) = x,
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 09: Yhden vapausasteen vaimeneva ominaisvärähtely
9/ VÄRÄHTELYMEKNKK SESSO 9: Yhn vpun vinv oinivärähly LKEYHTÄLÖ Viooi vinnu vinnuvoin oln olvn uorn vrrnnollinn värählvän n nopun li F v () jo on vinnuvio. Kuv on viooii vinnun värählijän prulli, jo vinnu
KANTATAAJUINEN BINÄÄRINEN SIIRTOJÄRJESTELMÄ AWGN-KANAVASSA
KJUI BIÄÄRI SIIROJÄRJSLMÄ WG-KVSS Kaajaajui siiro iformaaio siiro johdossa sllaisaa ilma kaoaalo- ai pulssimodulaaioa 536 ioliikkiikka II Osa 3 Kari Kärkkäi Syksy 5 JÄRJSLMÄMLLI Bii kso. Symboli {} ja
ELEC- E8419 välikoe b) Yhtiö A ilmoittaa että sillä on liian korkea jännite solmussa 1.
ELE- E89 väliko 8..5 rkiu. ll olvn kuvn muki vrko on onglmi. Tiln ov kuvillii ikä kiki vihohdoi ol kyä mnlinn vrkko. Vli opivi oimnpiiä, oill onglm dn poiu miä hdään minn nn rkiulli prulu. Vikk ohonkin
sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
![1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [](/thumbs/58/42571602.jpg "1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [")
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
PARTIKKELIN KINEMATIIKKA
PRTIKKELIN KINEMTIIKK Pikklill li msspisllä koi kppl, jok mi o päolllis pi ksl hää kl. Kimiik häää o sliää, mi oid määiää pikkli sm, opus j kiihyyys s liikkuss käyääsä piki. z τ P y R z φ x y Rkäyä x Tkslu
( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 1, Kevät Tarvittava akseptoridouppaus p-tyypin kerrokseen saadaan kaavalla
OY/PJKOMP R1 17 Puolijohkoonnttin rustt 5171A Rtkisut 1, Kvät 17 1. ( Trvittv kstoriouus tyyin krroksn sn kvll kbt ln Ł ni ni Ł kbt 1 ( 1 c,85 V 17» 1,8 1 c. 17 1 c Ł,59V Mtrilivkiot on otttu luntoonistn
Rak RAKENTEIDEN MEKANIIKAN PERUSTEET Luentomoniste
Rk-5. RKENTEIDEN EKNIIKN ERUSTEET unomonis Jukk lo ( ) ( ) 6 q EI 6 q EI EI qd d d q ds dq ( q ds) d ds ds q . STTTISESTI ÄÄRÄTTYJEN R- KENTEIDEN STTIIKK Tässä luvuss pln sissi määräjn rknidn siikn käsiln.
Luento 7 Järjestelmien ylläpito
Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan
Äärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
Signaalien suodatus. Jyrki Laitinen TL5231 Signaaliteoria S2004 1
Signaalin suodaus Signaalinkäsilyjärjslmä muokkaava lähösignaalisa ulosignaalin. Järjslmä koosuva ai n voidaan mallinaa yypillissi suoimisa. Näin signaalin suodaus on kskinn signaalinkäsilyn opraaio. Voidaan
( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
6 Integraali ja derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 6 Inegrli j deriv 6. Inegrli ylärjns funkion. Olkoon Määriä kun () [, ], (b) ], 3]., kun [, ],, kun ], 3]. f() d, [, 3],. Osoi, eä jos funkio f on Riemnn-inegroiuv
Lämmönsiirto (ei tenttialuetta)
ämmönsiirto um 4..3 ämmönsiirto (i tnttialutta) rminologiaa ämpötila on suur, joka kuvaa, mitn kuuma jokin sin tai ain on. ämpötilaa (lat. tmpratura) mitataan SI-järjstlmässä klvinillä (K) tai clsiusastilla
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
Kompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
Luento 11. Stationaariset prosessit
Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan
Tietoliikennesignaalit
ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime
YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)
YKSISIVUKAISTAODULAATIO SSB ien kaisaa voi sääsää verrauna DSB- a A-modulaaioihin? ikä on Hilber-munnin? 5357A Tieoliikenneekniikka I Osa 9 Kari Kärkkäinen Kevä 05 YKSISIVUKAISTAODULAATION IDEA DSB & A-inormaaio
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 16: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, yleinen jaksollinen kuormitus
6/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 6: Yhde vpussee vimeev poväähely, yleie jsollie uomius YLEINEN JAKSOLLINEN KUORMITUS Hmois heäeä vsv pysyvä poväähely lusee löyyy helposi oeilemll. Hmoise heäee eoi void hyödyää
3 Fourier-muunnos...23
L 9 8 Z S I G N A A L I E O R I A O S A I I : F O U R I E R - M U U N N O S 3 Fourir-muunnos...3 3. Fourir-ingraalin suppnminn... 5 3. Muuamia rikoisfunkioia... 6 Rc-funkio... 6 3.. Signum-funkio... 7
SATE.10xx Staattisen kenttäteorian laajentaminen Sähkömagneettiseksi kenttäteoriaksi
ATE.1xx tttisen kenttäteorin ljentminen ähkömgneettiseksi kenttäteoriksi syksy 212 1 / 5 skuhrjoitus 1: iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. Määritä tjuus, millä johtvuusvirrn tiheys
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi II Harjoitus Ratkaisuhdotuksia Aapo Tvanlinna. Lask sivun 4 simrkin tapaan sllainn likiarvo luvull, ttä virhn itsisarvo on pinmpi kuin 5. Huomataan nsin,
x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
( ds ) A (2) ψ ξ dv + ψ 2 ξ dv = ψ 2 ξ ξ 2 ψ ) V
Kenttäteorian matemaattisia apuneuvoja 4..7. Gaussin ja Stokesin lauseet V S ds A = dl A = V S A dv, =, tai ) ds ) A ). Greenin kaavat I : II : 3. Diracin deltafunktio 4. Vektorilaskentaa V V ψ ξ dv +
Riemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
S Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 6, Kevät 2017
OY/PJKOMP R6 017 Puolijohdoponnin pru 571A Riu 6, Kvä 017 1. MOSondnori (MlOxidSiconducor) oouu ninä uii lli hil, oidiriä j doupu puolijoh (Kuv 1). Idlii hilll u jänni G ippuu oidirro jännin vrrn j puolijohn
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Luento 4. Fourier-muunnos
Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:
(x) (tasaisesti suppeneva sarja)
6.3 MATEMAATTISET OPERAATIOT SARJOIE Jos srjss o äärellie äärä erejä, void derivoii i iegroii suori huole ereiäi. Ääreöä srj puksess ereiäi operoii o slliu, jos srj suppeee sisesi. Esi. Trksell ääreöä
2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
Viitteet. Viitteet. Viitteet
Vii Vii Vii 1 2 1. Mariisiksponnifunkio Hikki Apiola Sisälää Pkka Alsalon ja Timo Eirolan mariaalia myös. Viiiä TE Timo Eirola: Linaarialgbra, lunomonis EN EirolaNvanlinna: Diyhälösysmi, lunomonis LAODEGolubiskyDllniz:
Pintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
4. Integraalilaskenta
4. Inegrlilsken Joh8elev esimerkki: kun hiukksen pikk s( erivoin jn suheen, sn hiukksen nopeus: v( = s'( Kun nopeus erivoin jn suheen sn kiihyvyys ( = v'( Kääneinen ongelm: hiukksen kiihyvyys on (. Mikä
KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN
YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä
a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että
![a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että](/thumbs/62/47649895.jpg "a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että")
TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
& # # w. œ œ œ œ # œ œ œ œ œ # œ w. # w nœ. # œ œ œ œ œ # œ w œ # œ œ œ Œ. œ œ œ œ œ œ œ œ # œ w. œ # œ œ œ w œ œ w w w w. W # w
Epainn muis (1.1., 6.12.) # œ œ œ œ œ # œ w i nun Kris lis sä py hää muis tus Tofia (6.1.) jo Jo pai a, y lis n [Ba li nu a, os,] kun ni, l nä ru k, i dän Ju ma lis, y lis ka i dän h tm h nk sl nu a, o
VAIHELUKKOTEKNIIKKA JA TAKAISINKYTKETYT DEMODULAATTORIT KULMAMODULAATION ILMAISUSSA
VIHELUOTENII J TISINYTETYT DEMODULTTORIT ULMMODULTION ILMISUSS Vaihohoinn ilmaisumnlmä kulmamoulaaioill? 5357 Tioliiknnkniikka I Osa 9 ari ärkkäinn ä 05 VIHELUO PLL FM & PM -ILMISINPIIRINÄ Ellä on arkaslu
Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x
1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
VEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
Koska yhteys tavalliseen eksponenttifunktion sarjakehitelmään on selvä, asetetaan seuraava määritelmä.
Ma-.433/433/45 Mariisiksponnifunkio, K3/P3/V3, syksy 22 Pkka Alsalo/(Hikki Apiola) Pkan ysävällissi käyööni anamaan lähkooiin oln hny omia lisäyksiäni, HA Viiiä [TE] Timo Eirola: Linaarialgbra, lunomonis
SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy / 6 Laskuharjoitus 0: Siirrosvirta ja indusoitunut sähkömotorinen voima
ATE14 Dynminen kenttäteori syksy 1 1 / skuhrjoitus : iirrosvirt j inusoitunut sähkömotorinen voim Tehtävä 1. All olevss kuvss esitetyssä pitkässä virtlngss kulkee virt i 1 (t) j sen vieressä on kuvn mukinen
Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Säännöllisestä lausekkeesta deterministiseksi tilakoneeksi: esimerkki
Säännöllisstä luskkst dtrministisksi tilkonksi: simrkki Hikki Turiinn Yksinkrtistn säännöllistn luskkidn muuttminn dtrministisiksi tilkoniksi onnistuu usin plkästään lusktt tutkimll. Jos luskkn rknn on
4. Määritä oheisen kehän plastinen rajakuorma. Tarkista, ettei myötöehtoa rikota missään. Piirrä tasapainoehdot toteuttava taivutusmomenttijakauma.
Rk-4.00 Rkenteiden mekniikk I tentti/exm,..0 Kirjoit jokiseen koeeriin selvästi - ointojkson nimi, koodi j tentin äivämäärä - kikki nimesi uhuttelunimi lleviivttun - koulutusohjelm, oiskelijnumero, myös
AS Säätötekniikan matemaattiset apuneuvot Esimerkkitentti (vuodelta 1998)
S-7 Sääöniin mmi pnvo Eimrini vodl 998 niä oll mn irj Virnn Sääöniin mmii mriiin vioi drminni äänimriii Millä vioidn j rvoill äänimriii on olm? Millä prmrin rlirvoill mriii on inglrinn äänimriii i ol n
K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A
K Ä Y T T Ö S U U N N I T E L M A 2 0 1 7 Y H D Y S K U N T A L A U T A K U N T A Forssan kaupunki Talousarvio ja -suunnitelma 2017-2019 / T O I M I A L A P A L V E L U 50 YHDYSKUNTAPALVELUT 5 0 0 T E
TENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Tilastollinen laadunvalvonta
TENTISSÄ KÄYTETTÄVÄ KAAVAKOKOELMA KURSSILLE Tilastollie laauvalvota Shewharti muuttujakartat ARL I = α ARL II = β x-kartta x = x + + x Ex =µ ja Vx = µ ± k Φx = π x e t t α = Φk β =Φk Φ k S-kartta S = x
Teoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min
S-11446 Fysiikk IV (Sf), I Välikoe 154 1 Elektronisuihku, joss elektronien noeus on v, suu kohtisuorsti rkoon, jonk leveys on d Ron läi kuljettun elektronit osuvt etäisyydellä D olevn vrjostimeen Mikä
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
Muuttuvan kokonaissensitiivisyyden mallinnus valvontaohjelman riskinarvioinnissa esimerkkinä munintaparvet
Muuuvan kokonaissnsiiivisyyn mallinnus valvonaohjlman riskinarvioinnissa simrkkinä muninaarv Tausa: Aimma salmonllarojki FooBUG rojki ja uusi malli muninaarvill 8. EFSA WG: salmonlla muninaarvissa. Samaa
HERTTONIEMI HERTTON S
/ L 00 Hronmn y 0 00 HM r 0 0 0 HM H (/) 0 s 0 : =0. P Hronmn y 0 Pos Y =0. - (/) L D Y =.00 0 (/) (/) Lsn vo m- ~ j m 0 Y m (/) 0 Y Prso 00+yh0 Pvo P00 0 m 00 rh vm 0 00 m 0 so 0 0 0 H 0 P r 0 0 0 =0.
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
Analyyttiset funktiot ja integrointiteorian alkeita
Anlyyttiset funktiot j integrointiteorin lkeit 6. helmikuut 2006 isältö 1 Kertust 1 2 Anlyyttiset funktiot 2 2.1 Anlyyttiset funktiot tsoll................... 2 2.2 Monogeeniset funktiot vruudess R n.............
4 KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää.
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa.
/ ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO : Gaussin intgrointi mojanan alussa. JOHDANO Ylisssä lujuusopin lmnttimntlmässä lmntin jäykkyysmatriisi [ k ] ja kvivalnttinn solmukuormitusvktori { r } lasktaan määrätyistä
Ristitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2 Tieoliikenneekniikka I 521359A Kari Kärkkäinen Osa 3 Konvoluuio ja kerolasku ajassa ja aajuudessa Kanaaajuussignaali baseband sanomasignaali sellaisenaan ilman modulaaioa Kaisanpääsösignaali