MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8..5 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa arvostelussa käytettävistä kriteereistä päättää tutkintoaineen sensorikunta. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty. Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos. Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos. Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi. Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti. Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti. Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta. Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja. Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa. Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi. Alustava pisteitys. Kuhunkin kohtaan merkitään piste yksikköympyrän kehälle sekä kaari, joka osoittaa kulman loppukyljen sijainnin ja kulman suuntauksen b) Kyseessä on myötäpäivään suunnattu kulma 9. c) rad = 5 4 Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8..5

2 . Kaksoisepäyhtälö y x toteutuu xy-tason alueessa, jota rajoittavat käyrät y x, x, y x, x, x-akseli sekä pystysuorat x ja x. Kuvio (Kuva lopuss b) Yhtälö x x x voi toteutua vain, kun x. Tällöin se voidaan neliöidä puolittain. Saadaan: x ( x) x x x x xx ( x) xx x xxx. Luku ei kuitenkaan toteuta neliöintiehtoa x, joten ratkaisu on x x.. Vieraskielisten lukumäärä mt ( ) a,75 t. Määrä aluksi vuonna on m() a. Vuonna määrä on m() a,75. Vuonna määrä on m() a,75. Jos vuosittainen kasvukerroin vuoden aikana on k, niin saadaan yhtälö ak a,75, josta k,75 k,75,48..., joten keskimääräinen vuosittainen kasvuprosentti on ollut noin 4,8. 4. Kun t, niin yhtälö on x x ( x ) (tai ratkaisukaavalla x 44 ) x x. ( x ) b) Koska t, on kyseessä toisen asteen yhtälö. Tällöin sillä on ainakin yksi ratkaisu, kun sen diskriminantti D. D 4 t 4t t t t t t t 4 t t t t ) (tai Koska tulon ensimmäinen tekijä on aina, niin epäyhtälö toteutuu, kun t t t. Vastaus on siten t t. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8..5

3 5. Janojen kulmakertoimet ovat k, k 4 AB 5 CD s : y ( x) y x ja ja yhtälöt 8 AB scd : y ( x) y4x. x 5 5 Vertaamalla oikeita puolia saadaan: 8 4x x 4x 5 x 9. Sijoittamalla tämä yhtälöön CD Leikkauspiste on siten 9, y s saadaan: 6. Normitus: Kun älykkyysosamäärä X noudattaa jakaumaa N (,5), niin muuttuja Z X noudattaa normitettua jakaumaa N (,). 5 Olkoon kysytty yläraja a. Tällöin on oltava P( a X,5, joten normaalijakauman symmetrian perusteella on oltava PX (,75, P Z a a, eli 5 5 Kertymäfunktiotaulukon mukaan a,68, 5 josta a 5,68,. Kysytty väli on siten, 9,tai 89,. Rajat voidaan ilmaista myös yhden desimaalin tarkkuudella. Lauseke ln(sin x ) on määritelty, kun sin x n x n [ n x(n ) ], nz. b) ln(sin x) ln(sin x) sin x e. Etumerkki + ei kelpaa sillä, e. Saadaan sin x e, jonka yksi ratkaisu on x,57...,4 ja muut annetulla välillä olevat ratkaisut ovat x x,58...,, x x6, ,4 ja x4 x9, ,9. Yksi ratkaisu väärin Useampi ratkaisu väärin + Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8..5

4 8. Säiliön poikkileikkausympyrän säde r dm ja säiliön pituus on l. litra = dm. Säiliön tilavuus V r l l (dm ). 4 Tästä saadaan l,68... (dm). Säiliön pituus on siten n., m tai,6 m. b) Kuvion merkinnöin r 65 cm, a rh5 cm ja b r a 6 6 (cm). Keskuskolmion ala A k baab 5 (cm ). (Kuvio 8 lopuss Jos keskuskulman puolikas on, niin sille pätee b 6 sin,9..., josta 67,8.... r 65 Sektorin ala As r 4968,6... cm 49, dm. 6 Segmentin ala A As Ak 4, dm. Jäljellä olevan öljyn tilavuus on siten Al 78, dm 784 litraa. 9. Olkoon teltan pohjan säde r ja sivujana s, jolloin korkeus h s r. Teltan vaipan ala A rs 6, josta s 6 r. Teltan tilavuus V r h r s r. Sijoitetaan tähän s 6, jolloin saadaan r V() r r 56 r 6 r 56r r. 6 V (r) on suurin, kun juurrettava f() r 56 r r, r, on suurin. Derivoidaan: f ( r) 5r 6 r 5 r56 r 4 Nollakohdat: f( r) r r Näistä vain r r. 4 r on kelvollinen, ja sen likiarvo on,75. Se on myös tilavuuden V( r ) maksimikohta, joten kysytty lattian halkaisija r,4 (m). Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8..5

5 . Pyörähdyskappaleen tilavuus / V y dx a xdx a x a. (Saadaan myös suoraan pyörähdysparaboloidin kaavalla V r h.) Tilavuusehto antaa yhtälön a a 4a, joista vain etumerkki + kelpaa. Koska nyt y x, niin y. x x Kysytty vaipan ala x x A y y dx dx 4 x dx x / 4 x dx 4 / x / 8 5,77 5, pinta-alayksikköä. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8..5

6 . Kuusinumeroinen 7-kantainen luku (6 ) 4(6 ) (6 ) (6 ) (6 ) na a a a a a kirjoitetaan muotoon a a a a a a. Binomikaavan mukaan (6) a, jossa a on kokonaisluku. Vastaavaan muotoon saadaan myös kaikki alemmat lausekkeen 6 potenssit. Näin ollen na5(6 a4(6b) a(6c) a(6d ) a(6e) a 6( aa 5 ab 4 ac ad ae ) ( a5 a4 aa a Koska summan ensimmäinen termi on kuudella jaollinen, on koko summa ja siten myös luku n jaollinen kuudella täsmälleen silloin, kun numeroiden summa a5 a4 a a a a on jaollinen kuudella. TAI: n n Koska 7 (mod 6), niin 7 (mod 6), kun n,,, a5 7 a4 7 a 7 a 7 a 7 a Siten a a a a a a a a a a a a (mod 6). Väite on siten todistettu b) Merkitään f( x) x x x. Tällöin f( x) x 4x. Yhtälön x 4x diskriminantti D 6. Derivaatalla f ( x) ei ole nollakohtia, joten funktio f ( x) on aidosti monotoninen. Alkuperäisellä yhtälöllä on siten korkeintaan yksi juuri. Koska f () 7 ja f () 6, niin juuria on täsmälleen yksi. x Iteraatiokaava n xn xn xn xn xn 4xn antaa x, x, , x, , x, , x4 x5, Neljäs kierros antaa siten jo vaaditun likiarvon. Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8..5

7 . b) f ( h) f() Erotusosamäärä ( h ) h h h h h f () kun h. Väite on siten todistettu. x, x, x x x ( x) Koska f( x), niin f( x). x x, x, x x ( x) gh ( ) g() Erotusosamäärää tarkastellaan erikseen tapauksissa, kun h h ja h. a-kohdan mukaan g() f(). Kun h, niin gh ( ) f( h) ja erotusosamäärä on ( h) hh h, kun h ( h) h( h) ( h) h. Kun h, niin f( h) ja erotusosamäärä on ( h) ( ) h hh h, kun h. h h( h) ( h) Koska toispuoleiset raja-arvot (toispuoleiset derivaatat) ovat erisuuret ja, niin funktiolla gx ( ) ei ole derivaattaa origossa. *4. Jos molempiin näyttelyihin ilmoitettiin x koiraa, niin x 4 7. Siis x 98. P(L ja S) = 98 7, %. b) Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos P(A ja B) PA ( ) PB ( ). c) 9 4 PL ( ) PS ( ), P(L ja S), joten tapahtumat L ja S eivät ole riippumattomia. d) Riippumattomuusehto on b-kohdan mukaan P(L ja S) PL ( ) PS ( ), b ab bc eli b( abc) ( ab)( b c) abc abc abc ab b bc ab ac b bc ac a c Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8..5

8 *5. k kk ( ) k kk ( ) 4 4 k kk ( ) k kk ( ) k kk ( ) n Arvaus on siten: n ( ) n k kk b) k) k) c) d). A B ( A B) k A. kk ( ) k k kk ( ) A B A Tämä toteutuu kaikilla k Z +, kun. A B n n kk ( ) k k k k... n n n n n. Arvaus on siten todistettu oikeaksi. n n lim n k kk ( ) lim n ( n n n = lim n n. Kuvio Kuvio 8 Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8..5