Hyvä uusi opiskelija!

Transkriptio

1 Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Tekniikan kieli on matematiikka. Matematiikka tarjoaa perustan tekniikan opiskelulle ja soveltamiselle käytäntöön. Matematiikan taidot ovat olennainen osa diplomi-insinöörin ammatillista osaamista. Matematiikassa uusi tieto rakentuu vanhan tiedon päälle. Jos esitiedoissa on puutteita, ei uuden tiedon opiskelu onnistu. Tutkintoon sisältyy vaatimus hyväksytysti suoritetusta laskutaitotestistä (PLA Laskutaitotesti). Vaatimuksella halutaan varmistaa, että opiskelijan esitiedot yliopistomatematiikan opiskeluun ovat kunnossa. Laskutaitotesti on 10:n tehtävän monivalintatesti. Jokaiseen tehtävään annetaan 4 vastausvaihtoehtoa, joista vain 1 on oikein. Oikeasta vastauksesta saa pisteen, väärästä vastauksesta menettää pisteen. Kaikkiin tehtäviin ei tarvitse vastata. Laskutaitotesti on hyväksytty, kun pistemäärä on vähintään 7. Laskutaitotesti suoritetaan itsenäisesti ilman laskinta tms. apuvälinettä. Myöskään kirjallisuutta ei saa käyttää. Aikaa laskutaitotestin suorittamiseen on 60 minuuttia. Annamme oheisen monisteen, jotta voitte harjoitella ennen laskutaitotestiä. Laskutaitotestissä kysyttävät tehtävät tulevat tästä monisteesta. Koska laskutaitotestissä ei saa käyttää apuvälineitä, kannattaa tehtävät opetella ratkaisemaan kynällä ja paperilla. Jos tehtävien ratkaiseminen tuntuu vaikealta, niin kannattaa kerrata lukiossa tai ammattikorkeakoulussa suorittamiaan matematiikan kursseja. Laskutaitotestikertoja on 3 ja ne pidetään ma , ke ja pe Laskutaitotestin voi korvata suorittamalla kurssin PLA Johdatus yliopistomatematiikkaan, mikä alkaa ti Johdatuskurssilla esitiedot yliopistomatematiikan opiskeluun kerrataan opettajan ohjaamana. Jotta voimme aloittaa johdatuskurssin samalta viivalta, tulee jokaisen varmistaa ennen kurssin alkua, että hän osaa perusalgebran keskeisimmät käsitteet ja menetelmät. Tämä kannattaa tehdä perehtymällä Matematiikan perustietojen kertaus nimiseen oppaaseen. Opas sisältää teoriaa ja tehtäviä malliratkaisuineen. Oppaan voi ladata ilmaiseksi SAMKin kirjakaupausta. Helpoiten oppaan kuitenkin löytää googlaamalla oppaan nimellä. Jos sinulla on kysyttävää laskutaitotestistä, niin voit ottaa yhteyttä matematiikan yliopisto-opettaja Timo Rantaan (timo.ranta@tut.fi). Opettaja on tavoitettavissa pe saakka ja taas ma eteenpäin. Matematiikan opettajat toivottavat hyvää kesän jatkoa kaikille.

2 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Rationaalifunktiot 1. Kun polynomi 6x x 2 + 7x + 8 jaetaan polynomilla 2x + 3, jakojäännös on (a) 2 (b) 0 (c) 2 (d) Kun polynomi x 4 + 2x 2 x + 5 jaetaan polynomilla x 2, jakojäännös on (a) 17 (b) 5 (c) 22 (d) Kun polynomi 5x 4 + 6x 3 7x + 1 jaetaan polynomilla x 2 + x 1, jakojäännös on (a) 10x 5 (b) 10x + 5 (c) 5x 10 (d) 5x Lauseke ( 1 x x x 3 ) (x 6 + x 5 + x 4 + x 3 ) sievennettynä on (a) x 5 + x 4 + 3x 3 + x 2 + x + 1 (b) x 5 + 2x 4 + x 3 + 2x 2 + x + 1 (c) x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + 3x + 1 (d) x 5 + 3x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. ( 1 5. Lauseke + ) ( 1 x+1 x 1 / x 1 x 2 1 x) sievennettynä on Suorat (a) 2x (b) 2x 2 (c) 2/x (d) 2/x Suora s kulkee pisteiden ( 1, 3) ja (2, 1) kautta. Suoran s kulmakerroin on (a) 4 (b) 4/3 (c) 4/3 (d) 2/3. 7. Suora s kulkee pisteiden ( 1, 2) ja (3, 5) kautta. Suoran s yhtälö on (a) 4x+3y = 5 (b) 3x 4y+5 = 0 (c) 3x 4y+11 = 0 (d) y = 3(x 2)/4. 8. Suora s kulkee pisteen (3, 4) kautta ja sen kulmakerroin on 3/2. Suoran s yhtälö on (a) 3x+2y = 1 (b) 3x 2y = 1 (c) 3x+2y+5 = 0 (d) 2x/3+y 5 = Suoran s 1 yhtälö on 3x y + 5 = 0 ja suoran s 2 yhtälö on x + 3y 6 = 0. Suorien s 1 ja s 2 välinen leikkauskulma on (a) 30 (b) 60 (c) 45 (d) Pisteen (1, 2) kohtisuoraetäisyys suorasta y = x + 1 on (a) 1/ 2 (b) 2 (c) 2 (d) Suorien 4x + 3y = 0, x = 0 ja 2y 3 = 0 rajaaman kolmion pinta-ala on (a) 25/32 (b) 27/32 (c) 29/32 (d) 31/ Suorien x + y 1 = 0 ja y = x 1 välinen kohtisuoraetäisyys on (a) 1 (b) 3 (c) 8/5 (d) 2.

3 2/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (1, 3) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 2x 3y 5 = 0 vastaan? (a) 2x 3y + 6 = 0 (b) 3x + 2y + 3 = 0 (c) 2x y + 5 = 0 (d) 2x + y = Suorat 2x + 3y 4 = 0 ja ax + 2(a 1)y + 3 = 0 ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun a:n arvo on (a) 3/4 (b) 3/4 (c) 4/3 (d) Suorien 2x y + 1 = 0, y = 10x 3 ja 10x + 2y = 9 yhteinen leikkauspiste on (a) (x, y) = ( 1, 3) (b) suorilla ei ole yhteistä leikkauspistettä (c) (x, y) = (2, 5) (d) (x, y) = (1/2, 2). Logaritmit 16. Tiedetään, että log k a = 4, log k b = 1 ja log k c = 2. Lausekkeen log k (a 3 b 5 c) arvo on (a) 15 (b) 19 (c) 27 (d) Lausekkeen ln 50 + ln ln 4 arvo on (a) 3 ln 5 ln 3 (b) ln 1215 (c) 3 ln 5 + ln 3 (d) ln Yhtälö log l 15 = 5 toteutuu, kun l:n arvo on 5 (a) 15 5 (b) 3 (c) (d) Lausekkeen ((ln 25) 2 (ln 5) 2 )/ ln 5 arvo on (a) 5 (b) ln 10 (c) 3 ln 10 (d) 3 ln Yhtälö e 3x+2 = 2 toteutuu x:n arvolla (a) (2 + ln 2)/3 (b) ( 2 + ln 2)/3 (c) (2 ln 2)/3 (d) ( 3 + ln 2)/ Yhtälön log 4 x log 4 (x + 3) = 2 ratkaisu on (a) x = 1/10 (b) x = 1/5 (c) x = 1/4 (d) x = Lauseke e 2 ln cos x + (ln e sin x ) 2 sievenee muotoon (a) 2 sin 2 (2x) + cos(2x) (b) 1 (c) 0 (d) 1/(sin x cos x) Funktion ln(x/(2 + x)) määrittelyalue on (a) x < 0 (b) x > 2 (c) x < 2 x > 0 (d) 2 < x < Lauseke e 2x+3 ln x voidaan esittää muodossa (a) x 3 e 2x (b) xe 2x (c) 3x 2 e x (d) x 3 e x. 25. Lausekkeen arvo on log log log log log 10 (1/10) + log 10 (1/100) (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5.

4 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Eksponentit 26. Yhtälö 2 sin x = e cos x toteutuu x:n arvolla (a) tan 1 (ln 2 + nπ) (b) cot 1 (ln 2) + nπ (c) tan 1 (ln 2) + nπ/2 (d) cot 1 (1/ ln 2), missä n Z. 27. Yhtälön (2 x ) x 1 = 0 reaalinen ratkaisu on (a) log 2 ( 2 1) (b) log 3 ( 2 1) (c) log 2 ( 2 1) (d) ln Yhtälön (ln x) 3 2(ln x) 2 2 ln x = 0 ratkaisu on (a) e 1± 2 0 (b) e 2 0 (c) e 1 (d) e 1± Yhtälön 3 3x 3 2x+1 3 2x x 1 = 0 ratkaisut ovat (a) 1 2 (b) 1 2 (c) 2 1 (d) Yhtälö x = x toteutuu reaalisella x:n arvolla (a) ln(3/2) (b) ln(2) ln(3) (c) log 2 (2)/ log 2 (3) (d) ln(3)/ ln(2). 31. Yhtälön 3/ log 10 x = x 2 reaalinen ratkaisu on (a) 1/2 (b) 2/3 (c) 1 (d) 4/ Yhtälöparin 2 log 3 x + 4 log 4 y = 0, log 3 x + 8 log 4 y = 3/2 ratkaisu on (a) (x, y) = ( 1/ 2, 3) (b) (x, y) = (1/ 2, 3) (c) (x, y) = (1/ 3, 2) (d) (x, y) = ( 3, 1/ 2). 33. Yhtälöpari x log 10 x+log 10 y = 100, xy log 10 x = 1 ratkeaa, kun (a) (x, y) = (1, 100) (b) (x, y) = (100, 1) (c) (x, y) = (1/10, 1/10) (d) (x, y) = (1, 1/10). 34. Yhtälön 4 x+2 = 2 x2 +1 ratkaisut ovat (a) 1 1 (b) 1 3 (c) 3 1 (d) Yhtälön (ln 2) x+1 = (ln 5) ln 2 ratkaisu on (a) ln 2 ln(ln 5) ln(ln 2) 1 (b) ln 2 ln(ln 5) ln(ln 5) 1 (c) Derivointi ja tangenttisuorat ln 5 ln(ln 2) ln(ln 2) 1 (d) ln 10 ln(ln 5) ln(ln 2) Funktion f(x) = (x 3 3x 1) sin x derivaatta x:n suhteen on (a) 3 sin x x 2 cos x (b) 3(x 2 1) sin x (x 3 3x + 1) cos x (c) 3(x 2 1) sin x + (x 3 3x 1) cos x (d) (x 3 3x + 1) cos x. 37. Funktion f(t) = e xt2 3xt+x 2 derivaatta t:n suhteen on (a) (t 2 3t + 2x)e xt2 3xt+x 2 (b) (2xt 3x)e xt2 3xt+x 2 (c) e xt2 3xt+x 2 (d) e xt2 +x 2.

5 4/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Funktion f(x) = cos x/x derivaatta x:n suhteen on (a) ( x sin x cos x)/x 2 (b) (x sin x + cos x)/x 2 (c) (sin x cos x)/x 2 (d) (x 2 sin x + cos x)/x Funktion f(x) = ln(ln x) derivaatta x:n suhteen on (a) 1/ ln x (b) 1/(x ln x) (c) 1/x (d) x/ ln x. 40. Funktion f(x) = x x derivaatta x:n suhteen on (a) x x (b) x x (1 + ln x) (c) x x (ln x 1) (d) x x (1 ln x). 41. Polynomin p(x) = x 3 + 3x 2 1 kuvaajan pisteen (1, 1) kautta kulkevan tangenttisuoran yhtälö on (a) y = 2x 3 (b) 3x + y 3 = 0 (c) 2x 3y + 2 = 0 (d) 3x y 2 = Suoran ympyräpohjaisen kartion tilavuus V saadaan lausekkeesta V = πr 2 h/3. Oletetaan, että säde r ja korkeus h ovat ajan t funktioita. Olkoon kartion korkeuden muutosvauhti h = dh/dt. Jotta kartion tilavuus ei muuttuisi, niin kartion säteen muutosvauhdin r = dr/dt on oltava (a) rh /(2h) (b) rh /(2h) (c) h /h (d) rh /h. 43. Mihin käyrän y = e x+1 pisteeseen asetetun tangentin kulmakerroin on 2? (a) (ln 2, 2e) (b) (0, e) (c) (ln 2 1, 2) (d) (ln 2 + 1, 2e 2 ). 44. Käyrälle y = 2x 3 + 4x 2 + x 1 pisteeseen ( 1, 0) asetetun tangentin yhtälö on (a) y = x/2 1/2 (b) y = x + 1 (c) y = 2x 2 (d) y = x Funktion f(x) = (sin x + cos x) 2 derivaatalla on välillä 0 x 90 nollakohtana (a) 0 (b) 45 (c) 30 (d) Funktion f(x) = 3 x 2 sin(2x) derivaatta x:n suhteen on (a) (b) (c) (d) 1/3(x 2 sin(2x)) 2/3 (2x sin(2x) x 2 cos(2x)) 3/4(x 2 sin(2x)) 4/3 (2x sin(2x) x 2 cos(2x)) 1/3(x 2 sin(2x)) 2/3 (2x sin(2x) + x 2 cos(2x)) 2/3(x 2 sin(2x)) 2/3 (x sin(2x) + x 2 cos(2x)). 47. Funktion f(x) = e 3 cos(2x 3 ) derivaatta x:n suhteen on (a) 6e 3 x 2 sin(2x 3 ) (b) 3e 2 sin(2x 3 ) (c) e 3 cos(2x 3 ) 6e 3 x 2 sin(2x 3 ) (d) 3e 2 cos(2x 3 ) 6e 3 x 2 sin(2x 3 ).

6 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Integrointi 48. Integraalin 2 1 x2 1 dx arvo on (a) 8/3 (b) 0 (c) 1 (d) Funktion 3x 2 + 2x + 1 integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee pisteen ( 2, 1) kautta on (a) x 3 +2x 2 +1 (b) x 3 +2x 2 +x+3 (c) x 3 /2+x 2 +x+3 (d) x 3 +x 2 +x Funktion 2x 2 integraalifunktio, jonka kuvaaja erottaa x-akselista 4 pituusyksikön jänteen on (a) 2x 2 + 2x 15/2 (b) x 2 2x 3 (c) x 2 /2 + x 3/2 (d) x 2 /4 + 2x Funktion x/(x 2 + 1) 2 integraalifunktio, jonka kuvaajan käännepisteet ovat x-akselilla on (a) 1/(x 2 + 1) + 3 (b) 1/(2(x 2 + 1)) (c) 1/(x 2 + 1) + 3/8 (d) 1/(2(x 2 + 1)) + 3/ Olkoon F (x) se funktion f(x) = x 3 + 2x + 1 integraalifunktio, joka kohdassa x = 2 saa arvon 4. Määritä F ( 2). (a) 2/3 (b) 1 (c) 3/2 (d) Funktion ln x 2x 2 integraalifunktio on (a) ln(x 2 )+1 x 2 + C (b) ln x 1 2x + C (c) ln x+1 2x 2 + C (d) ln x 1 2x + C. 54. Määritä t siten, että 2t 0 xe(x2) dx = (e 1)/2. (a) t = 0 (b) t = 1 (c) t = ±1/2 (d) t = Paraabeli y 2 2y + x = 0 ja y-akseli rajoittavat alueen, jonka pinta-ala on (a) 1 (b) 2/3 (c) 1/2 (d) 4/ Käyrät y = x ja y = x 2 2x rajoittavat alueen, jonka pinta-ala on (a) π (b) 3 (c) 9/2 (d) Integraalin 2 1 (2/x + ex )dx arvo on (a) ln 4 + e 2 e (b) 2 ln 2 (c) 2 ln 2 + e 2 (d) ln 4 + e. Ääriarvot Oletetaan, että x ja y ovat reaalimuuttujia. 58. Kun 0 x 1, mikä on funktion f(x) = e (2+x x x) minimiarvo? (a) e 9/4 (b) e 2 (c) 1/2 (d) e 5/2

7 6/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Seuraavista funktioista yksi on sellainen, että sillä on paikallinen minimi, kun 1 x 3. Mikä funktio? (a) f(x) = (x + 1)(x 1)(x 3) (b) f(x) = (x + 1)(x 1)(x 3) (c) f(x) = (x + 1)(x 1)(x + 3) (d) f(x) = (x + 1)(x 1)(x + 3) 60. Kahden ei-negatiivisen reaaliluvun summa on 10. Niiden kuutioiden summan minimiarvo on (a) 200 (b) 250 (c) 300 (d) On puoliympyrä, jonka halkaisija on 2r. Tähän puoliympyrään piirretään suorakulmio siten, että yksi sivu on puoliympyrän halkaisijan päällä. Mikä on tällaisen suorakulmion suurin mahdollinen ympärysmitta? (a) 3r/ 2 (b) 4r/ 5 (c) 3r 2 (d) 10r/ Missä pisteessä funktiolla f(x) = x 3 x on paikallinen minimi? (a) x = 1/ 3 (b) x = 1/ 3 (c) x = 1 (d) x = 3/8 63. Kahden metrin naru leikataan kahtia. Ensimmäisestä pätkästä muodostetaan neliö ja toisesta pätkästä muodostetaan ympyrä. Jos halutaan, että neliön ja ympyrän pinta-alojen summa on mahdollisimman pieni, niin mikä on sen pätkän pituus, josta neliö muodostetaan? (Kaikki pituudet metreinä.) (a) 4/(4 + π) (b) 2π/(4 + π) (c) 8/(4 + π) (d) 4/(2 + π) 64. Kun 1 x 10, mikä on funktion f(x) = x x + 27/ x minimiarvo? (a) 36 (b) 28 (c) 3 (d) Funktion f(t) = t 2 1 maksimiarvo välillä 2 t 1 on (a) 1 (b) 1 (c) 3 (d) Funktio F (x) = (x 2 8)e x saa pienimmän arvonsa x:n arvolla (a) 2 (b) 4 (c) ± 2 2 (d) 0.

8 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Yhtälöiden ratkaiseminen Oletetaan, että x ja y ovat reaalimuuttujia. 67. Tarkastellaan reaalifunktiota f(x) = (x 2)(x + 2)(x 2 2x + 2). Monessako eri pisteessä funktio f(x) leikkaa x-akselin? (a) 0 (b) 2 (c) 3 (d) Laske yhtälön e x x = e 2x e 2x e 2 ratkaisu(t). (a) x = 2 ± 2 (b) x = 2 ± 2 (c) x = 0, x = 4 (d) x = Laske yhtälön x/2 = 2x 2 ratkaisu(t). (a) x = 4/3, x = 5/4 (b) x = 1/2 (c) x = 4/3, x = 4/5 (d) ei ole ratkaisua 70. Laske yhtälön 6x = 2x 4 ratkaisu(t). (a) ei ole ratkaisua (b) x = 1 (c) x = 1/2, x = 1 (d) x = 1/2 71. Tarkastellaan reaalifunktioita f 1 ja f 2 : f 1 (x) = 2x + 1, f 2 (x) = αx x + 2. Millä vakion α arvoilla funktiot f 1 ja f 2 leikkaavat tasan yhdessä pisteessä? (a) α = 2 (b) α = 0, α = 1, α = 9 (c) α = 0, α = 1, α = 9 (d) α saa olla mikä tahansa reaaliluku 72. Tarkastellaan reaalifunktioita f 1 ja f 2 : f 1 (x) = αx + 1, f 2 (x) = x Millä vakion α arvoilla funktiot f 1 ja f 2 eivät leikkaa missään pisteessä? (a) α = 1/2 (b) α = 1/2 (c) α = 1 (d) α 1/ Laske yhtälöiden ratkaisu(t). 1 x + 1 y = 4 xy ja x y = 2 (a) (x, y) = (2, 6), (x, y) = (2, 0) (b) (x, y) = (1, 3) (c) (x, y) = ( 3, 1) (d) (x, y) = ( 1, 3)

9 8/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Laske yhtälöiden ratkaisu(t). y = ln(2x) + 2 ja y ln x 2 = 1 (a) (x, y) = (e, ln 2 + 2) (b) (x, y) = (2e, ln 4 + 2) (c) (x, y) = (2e, ln 4 + 3) (d) (x, y) = (e 2, ln 4 + 2) 75. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä: (x + 3) 2 + (y 3) 2 = 9. Monessako pisteessä tämän yhtälön kuvaaja leikkaa y-akselin? (a) 3 (b) 2 (c) 1 (d) Mikä seuraavista yhtälöryhmistä on sellainen, että sillä on tasan 2 ratkaisupistettä? (a) y = x + 1, y = 2x (b) y = x + 1, y = 2x (c) y = x + 1, y = x/2 (d) y = x + 1, y = x/2 77. Laske yhtälön 1 + x 2/(x + 2) = 0 ratkaisu(t). (a) x = 1, x = 4 (b) x = 0, x = 3 (c) x = 2 (d) ei ole reaaliratkaisua 78. Laske yhtälöiden y = 2/(1 + x) ja x = 2/(1 + y) ratkaisu(t). (a) (x, y) = (1, 2), (x, y) = (2, 1) (b) (x, y) = ( 1, 2), (x, y) = (2, 2/3) (c) (x, y) = ( 1, 1), (x, y) = (2, 2) (d) (x, y) = (1, 1), (x, y) = ( 2, 2) 79. Mikä seuraavista funktioista leikkaa x-akselin arvoilla 2 ja 1? (a) f(x) = x(x + 2) (x + 2) (b) f(x) = (x 1)/(x + 2) (c) f(x) = sin(π(x + 2)/2) (d) f(x) = 1/(x 1) 2/x Epäyhtälöiden ratkaiseminen Oletetaan, että x on reaalimuuttuja. 80. Laske seuraavan epäyhtälöryhmän ratkaisu: x 2 2, x 3 1, x 4. (a) 2 x < 4 (b) 1 x 4 (c) x = ±2 (d) 2 < x < 3 tai 3 < x < Laske epäyhtälön (x 3)(x + 2) 6 ratkaisu. (a) 2 x 3 (b) 3 x 4 (c) 0 x 1 (d) x 0

10 Laskutaitotestin harjoitustehtävät / Laske epäyhtälön e 2x+2 > 16 ratkaisu. (a) x > ln 4 (b) x > 1 2 ln 2 (c) x > 1 + ln 2 (d) x > ln Laske epäyhtälön 2x 4 x + 3 < 1 ratkaisu. (a) x < 2/3 (b) 2/3 < x < 6 (c) x > 0 (d) 3 < x < Laske epäyhtälöiden 3x 5 < 6 ja 2x ratkaisu. (a) 1/2 x < 7 (b) x 1/2 tai x 11/3 (c) 1/2 x < 11/3 (d) x = 3/2 85. Laske epäyhtälön ratkaisu x 2x 2 2 (a) 4/5 x < 1 (b) 0 x < 1 (c) 0 x < 2 (d) 2/3 x < Laske epäyhtälön e x e x e x x ratkaisu. (a) 0 x 2 (b) x 2 tai x 0 (c) x ln 2 (d) x saa olla mikä tahansa reaaliluku 87. Jos a, b ja c ovat kaikki ei-negatiivisia reaalilukuja ja a > b ja c > 0, niin mikä seuraavista on aina tosi? (a) (a c)/(b c) > 1 (b) (a + c)/(b + c) > c (c) (a + c)/(b + c) > 1 (d) (a 2 b 2 )/c > Laske epäyhtälön 1 2/(1 + x) > 1 ratkaisu. (a) 1 < x < 0 (b) 2 x < 1 (c) x 1 (d) x < 1 tai x > Laske epäyhtälön x 2 4x ratkaisu. (a) 1 x 3 (b) x < 1 tai x > 3 (c) 3 x 1 (d) 4 x Laske epäyhtälön (2x 3) 2 9 > 0 ratkaisu. (a) 0 < x < 3 (b) x < 0 tai x > 3 (c) x < 3 (d) x = ±2

11 10/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Polynomit Oletetaan, että x on reaalimuuttuja. 91. Mikä polynomi seuraavista on se, jolla on kaksinkertainen nollakohta arvolla x = 2? (a) f(x) = x 2 4x + 4 (b) f(x) = x 3 4x 2 + 4x (c) f(x) = x 2 4 (d) f(x) = x 3 + 4x 2 + 4x 92. Mikä seuraavista funktioista on se, jonka arvo vähenee jatkuvasti, kun 3 < x < 2? (a) f(x) = x 2 + 5x + 6 (b) f(x) = x 2 5x + 6 (c) f(x) = x 2 x 6 (d) f(x) = x 2 + x Polynomin f(x) = x 2 +αx+8 suurin arvo saavutetaan pisteessä x = 2. Mikä on vakion α arvo? (a) 2 (b) 4 (c) 4 (d) Kun tarkastellaan polynomia f(x) = 2x 2 9x+4 välillä 0 < x < 2, seuraavista väitteistä vain yksi on tosi. Mikä niistä? (a) f:n arvo laskee kun x kasvaa (c) f saavuttaa maksimiarvonsa (b) f saavuttaa minimiarvonsa (d) f:lla on kaksi nollakohtaa 95. Kun f(x) = (x + 1) 3, laske f (f(1)). (Huom: f (x) on funktion f derivaatta eli df/dx.) (a) 64 (b) 12 (c) 8 (d) Kun f(x) = (x + 2) 4, mikä seuraavista ei ole totta? (Huom: f (x) on funktion f derivaatta eli df/dx.) (a) f(0) = f( 4) (c) f( 2) = f ( 2) (b) f(1) = f ( 1) (d) f saavuttaa minimiarvonsa, kun x = Kun f(x) = x 3 2x, laske f(f( 1)). (a) 1 (b) 1 (c) 33 (d) Montako reaalinollakohtaa yhtälöllä x(x 2 1)(x 2 + x + 1) = 0 on? (a) 4 (b) 5 (c) 3 (d) Mitkä ovat yhtälön 2x 2 + 9x 9 = 0 reaalinollakohdat? (a) ei ole reaalinollakohtaa (b) x = 3/2, x = 3 (c) x = 3, x = 6 (d) x = 3/2, x = 3

12 Laskutaitotestin harjoitustehtävät / Polynomilla f(x) = 2x 3 + 4x 2 + αx on kaksoisnollakohta, kun x = 1. Mikä on vakion α arvo? (a) 0 (b) 2 (c) 2 (d) Kun muodostetaan polynomien f(x) = (x 2) ja g(x) = (3x 3) 2 tulo, mikä on x 2 kerroin? (a) 36 (b) 36 (c) 0 (d) 3 Trigonometriset funktiot Oletetaan, että x on reaalimuuttuja Mikä seuraavista yhtälöistä on totta kuvan perusteella? α c a b (a) sin α = a 2 + b 2 (b) sin α = c/b (c) sin α = a/c (d) sin α = b/c 103. Sievennä tan x/ sin x sin x/ tan x. (a) tan x sin x (b) cos x (c) tan x/ cos x (d) cos x 104. Sievennä (cos x + cos( x))/ tan x. (a) 2 sin x (b) 0 (c) 2/ sin x 2 sin x (d) Kun x = π/4, laske tan x/ sin x cos( x). (a) 1 (b) 1/ 2 (c) 0 (d) π/ Sievennä sin(π + x)/ tan x cos( x). (a) tan x (b) 2 cos x (c) 0 (d) 2 cos x 107. Laske yhtälön 2/ 3 = tan x/ sin x ratkaisu(t). (a) x = ±π/6 + 2nπ, n on kokonaisluku (b) x = 1 (c) x = π/2 + 2nπ, n on kokonaisluku (d) x = nπ, n on kokonaisluku 108. Laske yhtälön 1 = sin(2x) ratkaisu(t). (a) x = π/2 + nπ, n on kokonaisluku (b) x = π/4 + nπ, n on kokonaisluku (c) x = π/4 + 2nπ, n on kokonaisluku (d) x = nπ/4, n on kokonaisluku

13 12/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Kun 0 x < π, laske yhtälön sin 2 x cos 2 x = 0 ratkaisu(t). (a) x = π 2 (b) x = 0, x = π/2 (c) x = 0, x = π (d) x = π/4, x = 3π/ Kun 0 x < 2π, laske yhtälön 2 cos 2 x + 3 sin 2 x = 3 ratkaisu(t). (a) x = 0, x = π (b) x = π/2, x = 3π/2 (c) x = π/4, x = 5π/4 (d) x = π/ Mitkä ovat yhtälöiden y = sin x ja y = sin(x)/3 yhteiset nollakohdat? (a) x = 3nπ, n on kokonaisluku (b) x = nπ/3, n on kokonaisluku (c) x = nπ, n on kokonaisluku (d) x = n, n on kokonaisluku 112. Mikä seuraavista yhtälöistä on tosi kaikilla kulman α arvoilla? (a) sin(α) = sin( π 2 α) (b) sin(α) = cos( π 2 α) (c) sin(α) = sin(α π 2 ) (d) sin(α) = cos(α + π 2 ) 113. Mikä seuraavista epäyhtälöistä on tosi, kun π 4 < x < π 2? (a) tan x > 1 (b) tan x < 1 (c) 1 < tan x < 1 (d) tan x < Kun tan x = 3, niin (a) cot x = 1 3 (b) cot x = 3 (c) cot x = 3 3 (d) cot x = Oheisen suorakulmion pinta-ala on (a) ac cos θ (b) ac sin θ (c) ac tan θ (d) ac Oheisen suunnikkaan pinta-ala on (a) ab cos θ (b) ab tan θ (c) ab sin θ (d) ab cot θ.

14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät /14 Geometria (x, y)-tasossa 117. Laske väli α:lle, kun tiedetään, että ympyrä (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 4 ja suora x = α eivät leikkaa. (a) 1 < α < 4 (b) 3 < α < 6 (c) α < 1 α > 3 (d) α > Ympyrä, jonka säde on 4, ja suora y = x sivuavat vain origossa kuvan mukaisesti. Mikä on ympyrän keskipiste? y y = x x (a) ( 2, 2) (b) (2, 2) (c) (1, 1) (d) (2 2, 2 2) 119. Missä pisteessä (pisteissä) suora y = x 2 ja ympyrä, jonka säde on 5 ja keskipiste on ( 1, 2), leikkaavat? (a) (x, y) = ( 2, 1) ja (x, y) = (1, 3) (c) (x, y) = ( 2, 1) (b) (x, y) = ( 2, 0) ja (x, y) = (1, 3) (d) ei missään pisteissä 120. Kolmion pisteet (x, y)-tasossa ovat (2, 3), (4, 5) ja (4, 1). Laske kolmion pintaala. (a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) Missä pisteessä (pisteissä) suora y = 2x + 1 ja neliö, jonka keskipiste on origo, sivut samansuuntaisia kuin x- ja y-akselit ja ympärys on 12, leikkaavat? (a) ( 3/2, 5/4) ja (3/2, 5/4) (b) ( 1, 3/2) ja (1, 3/2) (c) ( 1/4, 3/2) ja (5/4, 3/2) (d) (0, 0) ja (1, 2) 122. Laske pisteiden ( 1, 2) ja (3, 6) etäisyys. (a) 4 2 (b) 2 5 (c) 15 (d) Kun x on vaaka-akseli ja y on pystyakseli yhtälön y 2 = x 1 kuvaaja on (a) paraabeli, joka aukeaa oikealle (b) paraabeli, joka aukeaa vasemmalle (c) paraabeli, joka aukeaa alaspäin (d) paraabeli, jonka huippu on pisteessä ( 2, 1).

15 14/14 Laskutaitotestin harjoitustehtävät Mikä on alla olevan kuvaajan yhtälö? y x (a) y = x(x 2)(x 4)/4 (b) y = x(x 2)(x 4)/4 (c) y = x(x + 2)(x + 4)/4 (d) y = cos(πx/2) 125. Kun x on vaaka-akseli ja y on pystyakseli yhtälön x 2 + y 2 4x + 4 = 9 kuvaaja on (a) ympyrä, jonka keskipiste on (2,0) ja säde 3 (c) ympyrä, jonka keskipiste on (1,0) ja säde Suorat y = 2x + 1 ja (4x + 2)/y = 2 leikkaavat (a) kaikissa pisteissä (b) paraabeli, joka aukeaa ylöspäin (d) paraabeli, joka aukeaa alaspäin. (b) ei missään pisteessä (c) pisteessä ( 1, 1) (d) pisteessä (0, 1) Mikä on alla olevan kuvaajan yhtälö? y x (a) y 2 + x 2 2x + 4 = 0 (b) y x 2 /2 + 1 = 0 (c) y x = 0 (d) y 2 2x + 1 = 0