4 Kertausosa. Kertausosa. 1. a) (1, 2) ja ( 3, 7) 41 6, ,4. b) ( 5, 8) ja ( 1, 10) 10 ( 8) 1 ( 5) , ,4

Transkriptio

1 4 Kertausosa. a) (, ) ja (, 7) d 7 5 ( 4) 4 6, ,4 b) ( 5, 8) ja (, 0) d 0 ( 8) ( 5) , ,4. Koulun koordinaatit ovat (0, 0). Kodin koordinaatit ovat (,0;,0). Kodin ja koulun etäisyys d,0 0,0 0,0 (,0) 5, 6..., (km) Vastaus:, km 89

2 . Lasketaan pisteen ( 4, 8) etäisyys ympyrän keskipisteestä (0, 0). Ympyrän säde on 9. Jos piste on ympyrän ulkopuolella (eli etäisyys > 9), tangentti voidaan piirtää. d , Koska etäisyys d < 9, piste on ympyrän sisällä, joten tangenttia ei voida piirtää. 4. y k Piste (, ) on käyrällä, kun sen koordinaatit toteuttavat käyrän yhtälön. k ( ) k k 5. a) f ( 4) ( 4) 649 b) ( 4) f ( 4) ( 4) a) s (4,0) 4,905 4,0 78,48 78 (m) b) st ( ) 00 4,905t 00 :4,905 t 44, t 44, ,64... Koska aika on positiivinen t 5,64 6 (s) 90

3 7. Piirretään mallikuva. Merkitään aidattuja sivuja kirjaimilla, ja y. Aitaa on 50 m, joten talli y 50 y 50 y Pinta-alaa kuvaa lauseke y (50 ) 50 Vastaus: Ulkoilualueen pinta-ala A( ) a) f ( 0) b) f ( 4) 6 9

4 9. a) f ( ) 8 5 b) f ( ) 0 0. a) k 0 b) k 5 4 ( ) 8 6. a) Koska kulmakerroin k 0, suora on nouseva. b) Kirjoitetaan suoran yhtälö ratkaistussa muodossa. 5 y 0 y 5 ( ) y 5 Koska kulmakerroin k 5 0, on suora laskeva. 9

5 . Kirjoitetaan yhtälö ratkaistussa muodossa. y 6 0 y 6 a) -akselin leikkauspisteessä y = 0. Leikkauspiste on (6, 0). : y 0 ( ) 6 b) Suoran yhtälön ratkaistusta muodosta nähdään, että y-akselin leikkauspiste on (0, ).. Suora l kulkee pisteiden (, ) ja (0, ) kautta. Suoran kulmakerroin on k 0 ( ) 5 Kirjoitetaan toisen suoran yhtälö ratkaistussa muodossa. Suoran kulmakerroin on y 0 y k. Koska 5 <, suora l on jyrkempi. 5 9

6 4. a) t = 40,0 C pk pk W W 0,06t 4,705 0,0640,0 4,705,65,7 b) pk W,8 0,06t 4,705,8 0,06t 0,905 :( 0,6) t 4,40... t 4,4 ( C) Vastaus: a),7 b) 4,4 C 5. Lasketaan suoran kulmakerroin. k 5 0 Valitaan ( 0, y 0 ) = (0, 5). Suoran yhtälö on y 5 0 y 5 94

7 b) Lasketaan kulmakerroin. k ( 9) 0 ( 6) 8 6 Valitaan ( 0, y 0 ) = ( 6, 9). Suoran yhtälö on y ( 9) ( 6) y9 y 6 6. Suoran kulkee pisteiden (, 5) ja (, 8) kautta. Kulmakerroin on k 8 5 ( ) 4 Pisteiden (a +, 4) ja (, 5) avulla määritetty kulmakerroin on 4 5 a ( ) a a Jotta kaikki kolme pistettä olisivat samalla suoralla, kulmakertoimien on oltava samat. 4 a (a ) 4 6a 64 6a 0 :6 0 5 a 6 95

8 7. Kulmakerroin on muotoa k a 4 0 a a 4 a 4 Koska kulmakerroin on -4, saadaan yhtälö a 4 4 ( a ) 0 a a 4 4( a ) a 4 4a 4 6a 8 :6 a Suoran yhtälö on y 0 4( 4) y y Kuukausipalkka riippuu laskinten määrästä, joten = laskinten määrä (kpl) y = kuukausipalkka ( ) Suora kulkee pisteiden (70, 70) ja (90, 670) kautta. Suoran kulmakerroin on k Valitaan ( 0, y 0 ) = (70, 70). Suoran yhtälö on y 70 5( 70) y y

9 a) Sijoitetaan = 0 y ( ) b) Jos palkka on 500, niin y = ,... Laskimia on siis myytävä noin 45 kpl c) Jos laskimia ei myydä yhtään, = 0. Palkka on ( ) Vastaus: a) 0 b) 45 kpl c) 0 9. Merkitään = kävijöiden määrä (kpl) y = lipun hinta ( ) Suora kulkee pisteiden (40, 0) ja (40 40, 0 + ) = (80, ) kautta. Suoran kulmakerroin 0 k Valitaan ( 0, y 0 ) = (40, 0). Suoran yhtälö on y 0 y 0 y

10 Sijoitetaan yhtälöön = 500. y ( ) 0. a) Piirretään suorat y 7 ja 9 y 80 9 y 8 :( 9) y g ( ) = = = f ( ) 0 Kuvasta voidaan arvioida leikkauspisteeksi (, ). b) Leikkauspisteessä suorien y koordinaatit ovat samat, joten saadaan :5 98

11 Leikkauspisteen y- koordinaatti on y ( ) 7 Leikkauspiste on siis (, ).. Kirjoitetaan suorien yhtälöt ensin ratkaistussa muodossa. y y y : y y :( ) y Lasketaan suorien leikkauspisteen -koordinaatti :( 7) Leikkauspisteen y-koordinaatti on 5 y. 7 7 Leikkauspiste on 4 5,

12 Piirretään suorat samaan koordinaatistoon. y y

13 . Piirretään ensin suorat samaan koordinaatistoon. Lasketaan kolmion kärkipisteet. Piste A A -, :4 Piste B B, 8 5 :( ) 5 Piste C :6 0

14 C, 7 y Kertausosa Kolmion kanta on sivu AB. Kannan pituus on. Korkeus h saadaan huipun y-koordinaatin avulla. h Kolmion ala 4 A 6. Vastaus: Ala on 6.. Myyntitulot = hinta määrä Piirakoita myydään kappaletta,85 hintaan, joten myyntituloja kuvaa suora y,85 ( 0) Kokonaiskustannukset = kiinteät kustannukset + muuttuvat kustannukset Kiinteät kustannukset ovat 500,00. Kun piirakoita valmistetaan kappaletta, valmistuskustannukset ovat, 00. Kokonaiskustannuksia kuvaa suora y 500, 00 Lasketaan ensin, milloin kustannukset ja myyntitulot ovat yhtä suuret.,85 0,85 500,00 500,00 588,... :0,85 Kun piirakoita myydään 590 kappaletta, liiketoiminta on kannattavaa. 0

15 4. a) Suorat ovat yhdensuuntaisia, kun kulmakertoimet ovat samat. 4c 6 :4 6 c 4 b) Suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun kulmakertoimien tulo on. 64c 4c c 4 :4 5. Määritetään ensi suoran 6y kulmakerroin. 6 y 6 y y :( 6) Suoran kulmakerroin k. a) Suora t on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa, kun suorien kulmakertoimet ovat samat eli yhtälö on k t. Lisäksi suora t kulkee pisteen (7, ) kautta, joten suoran y 7 7 y y 9 0

16 b) Suoran y 0, 0 kulmakerroin on 0,. Suora t on kohtisuorassa annettua suoraa vastaan, joten 0,k k 0 ( 0) Suoran t yhtälö on y 0 7 y 0 70 y Kaupunkien A ja B kautta kulkevaa laivaväylää kuvaavan suoran kulmakerroin on 0 0 k 80 0 k,5 Laivaväylää kuvaavan suoran yhtälö on y 0,5 y,5 0 Majakan kautta kulkevan suoran normaalin kulmakerroin on,5k k,5 k :,5 04

17 Suoran normaalin yhtälö on y 60 0 y 60 0 y 80 Suoran ja sen normaalin leikkauspisteen -koordinaatti on:, : 480 6,9... ) ) Leikkauspisteen y-koordinaatti on y 480,5 55,84... Leikkauspisteen (6,9 ; 55,84 ) ja majakan (0, 60) etäisyys toisistaan on d d d d 60 55, , ,0... 8,0... (km) 8(km) Vastaus: Etäisyys on noin 8 km. 05

18 7. Tutkitaan sairastuneiden määrän kehittymistä taulukon avulla. Tautiin Vuorokaudet sairastui vuorokauden kuluttua tautiin sairastui f 7 ( ) henkilöä. 7 Viikon kuluttua tautiin sairastui f (7) henkilöä. 8. % massasta muuttuu aldehydiksi eli massasta jää jäljelle 97 %. Tunnin kuluttua alkoholia on 0,97,4 kg. Kahden tunnin kuluttua alkoholia on 0,97,4 kg. Alkoholin määrää tunnin kuluttua kuvaa funktio f ( ) 0,97,4 ( kg). a) Kolmen tunnin kuluttua alkoholin massa on f () 0,97,4,957...,96 (kg). b) Kymmenen tunnin kuluttua massa on f (0) 0,97 0,4,89...,9 (kg) c) Viikossa on tunteja 7 4 h 68h. Viikon kuluttua massa on f (68) 0,97 8,4 0, (kg) 0,094 (kg) 9,4 g 9,4 g Vastaus: a),96 kg b),9 kg c) 9,4 g 06

19 9. Eliön massa alussa on,50 kg. Massa nelinkertaistuu tunnissa. Massaa kuvaa funktio f ( ) 4, 50 (kg), missä on aika tunteina a) Massa vuorokauden kuluttua on 4,50 kg 7, kg 7,04 0 kg b) Massa 0 tuntia sitten oli 4 0,50 kg, kg 0, kg 0, g,84 mg,8 mg Vastaus: a) 7, kg b),8 mg 0. a) 0 lg0 lg lg0 lg : lg0 0 :,5 07

20 b) 0 6 : 0 lg0 lg lg0 lg :lg0 lg lg0 : lg 0, ,6 lg0 c) 7 40 lg7 lg 40 lg7 lg 40 : lg7 lg 40,995...,0 lg7. a) t 0,95 0, lg0,95 t lg0, t lg 0,95 lg 0, : lg 0,95 lg 0, t 8, lg 0,95 08

21 b) lg6 6 lg lg6 lg : lg6 lg lg6 lg : lg6 lg lg6,9..., c) : 4 5 lg 4 lg5 lg 4 lg5 : lg 4 lg5,609..., lg 4 09

22 . a) :5 4 5 lg 4 lg 5 lg4lg :lg4 5 lg 5 4 lg 5 0, ,4 4 b) lg lg lg0 :lg 0 0

23 . Yhtälön 0 5 ratkaisu a) haarukoimalla Testiarvo Toteutuuko yhtälö? Johtopäätös 0 = > 0 = < = 0,5 0 0, 5, > 0,5 0,7 = 0,7 0 5, < 0,7 = 0,6 0 0, 6, > 0,6 = 0,65 0 0, 65 4, > 0,65 0,67 = 0,67 0 4, > 0,67 = 0,69 0 0, 69 4, > 0,69 0,695 = 0, , > 0,695 Koska > 0,697 ja < 0,7, niin kahden merkitsevän numeron tarkkuudella 0,70. b) logaritmia käyttäen Logaritmin määritelmän mukaan lg5 0, ,70

24 4. Ilmanpaineen riippuvuutta merenpinnan tasosta mitatusta korkeudesta kuvaa funktio p( ) 04 0, 864 (mbar). 5 a) p (5) 04 0,864 6, (mbar) b) p ( ) 7,9(mbar) 04 0,864 0,864 lg 0,864 7,9 0, lg 0, lg 0,864 lg 0, lg 0, lg 0,864,9... (km) :04 :lg 0,864 Vastaus: a) 0 mbar b) km 5. Bakteerien massaa tunnin kuluttua kuvaa funktio f( ),4 8 (g). a),4 f ( ),0,4 lg,4 8,0 0,... lg 0,... lg,4 lg 0,... lg 0,... lg,4 :lg,4 6,5... 6,5 :8 Massa oli,0 g noin 6,5 h sitten.

25 b),4 f ( ),4 lg,4 8,7... lg,7... lg,4 lg,7... lg,7... lg,4,65...,6 :lg,4 :8 Massa on g noin,6 h kuluttua. Vastaus: a) 6,5 h sitten b),6 h kuluttua 6. Talletus kaksinkertaistui vuodessa. 58, :58, 008 lg,008 lg lg,008 lg :lg,008 lg lg,008 86, Talletus kaksinkertaistui vuoden alkuun mennessä.

26 Talletus nelinkertaistui y vuodessa. y 58, :58 y, y lg,008 lg 4 y lg,008 lg 4 :lg,008 lg 4 y lg,008 y 7, Talletus nelinkertaistui vuoden alkuun mennessä. Vuoteen 00 mennessä talletus oli ollut tilillä vuotta. Talletuksen suuruus oli frangeina 0 58,008 64, (frangia) Vastaus: -kertauistui 786 alkuun mennessä, 4-kertaistui 87 alkuun mennessä, 00 alussa 64 frangia 7. a) ,78...,78 b) s s s s 0, , , ,9 4

27 8. a) : ,974...,0 b) 6 t t 4 6 t 7 : t 6 t,5 6,5 t,... t, 9. T I T 4 4 I T T I 4 4 I : Koska T > 0, niin T 4 I 5

28 40. Merkitään kuukausittaista muutoskerrointa kirjaimella k. Aikaväli on yhdeksän kuukautta.,0 k k 9 9 5,00,6... k Kuukausittainen arvonnousu on 9,6... k, :,0, ,040...,4%. Vastaus:,4 % 4. A( r ) r,744 a) A (8,0) 8,0 87, ,744 b),744 A( r ) 5 r r r 5 96,04 96,04 r 4, r 4,58 (fm),744 Vastaus: a) 88 b) 4,58 fm 6

29 4. Merkitään muutoskerrointa kirjaimella k. Pallon korkeus alussa on 50 cm. Seitsemän pompun jälkeen korkeus on 5 cm eli 50 k k ,66... k 7 0,66... k 0, :50 Joka kerta pallon korkeus tulee siis 0,774 -kertaiseksi eli on noin 77 % edellisestä korkeudesta. Vastaus: p = Merkitään vuotuista korkokerrointa kirjaimella k. Talletus alussa on 50. Viiden vuoden kuluttua tilillä on rahaa k k ,048 k 5,048 k, :50 Merkitään kysyttyä vuosien määrää kirjaimella n. Tilillä on rahaa 800, kun n 50, :50 n,079...,44 n lg, lg,44 n lg, lg,44 :lg, lg,44 n lg, n 9, Vastaus: 0 vuoden kuluttua 7

30 44. Lämpötila nousi,5 % 5 vuoden aikana. Jos lämpötila tarkastelun alussa on t, niin 00 vuoden kuluttua se on 4,05 t,06... t Lämpötila siis nousee,06 = 0,06 6, %. Vastaus: 6, % 45. a) Merkitään kilometrikohtaista energian muutoskerrointa kirjaimella k. Olkoon energian määrä alussa on a. Kun energiahäviö on 8,0 % 5 km aikana, niin energiaa on jäljellä silloin 0,9 a. 5 ak 0,9 a : a 0 5 k 0,9 k 5 0,9 k 0, Kilometriä kohti energiaa häviää 0, , ,55% b) Merkitään kilometrien määrää kirjaimella. Energiahäviö on 4 % eli energiasta on jäljellä 0,86 a, kun a0, ,86 a : a 0 0, ,86 lg 0, lg 0,86 lg 0, lg 0,86 :lg 0, lg 0,86 lg 0, ,... 7 (km) Vastaus: a) 0,55 % b) 7 km 8

31 46. Merkitään natriumin määrää alussa kirjaimella a ja tuntikohtaista muutoskerrointa kirjaimella k. Natrium 4-isotoopin puoliintumisaika on 5 h, jolloin aineen määrä on 0,5 a. a k k 5 5 0,5a 0,5 k 5 0,5 k 0, : a 0 Merkitään kysyttyä aikaa kirjaimella t. Natriumista hajoaa 95 % eli ainetta on jäljellä 5 %, kun t a0, ,05 a : a 0 t 0, ,05 t lg 0, lg 0,05 t lg 0, lg 0,05 :lg 0, lg 0,05 t lg 0, t 64, (h) Vastaus: 65 h 9

32 Harjoituskokeet. Harjoituskoe. a) Valitaan suorilta kaksi pistettä ja määritetään yhtälöt. Suora s: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) k Suoran yhtälö on y. Suora t: (, y ) = (0, ) (, y ) = (, ) k ( ) 0 Suoran yhtälö on y. Suora u: (, y ) = (0, 0) (, y ) = (, ) k 0 0 Suoran yhtälö on y. b) Lasketaan suorien t ja u leikkauspisteen B koordinaatit. Leikkauspisteessä y -koordinaatit ovat yhtä suuret eli : 0

33 Harjoituskokeet Koska y, niin leikkauspisteen y-koordinaatti Suorien leikkauspiste on siis,. y. c) Piste B =, Lasketaan lisäksi suorien s ja u leikkauspiste A. ( ) Koska y, niin y. Piste A = (, ) Janan AB pituus on d d ( ),99...,. a) 4,5,, lg, 5,,8 lg,8 lg, lg,8 lg,8 lg, 0, ,9 :4,5 :lg,

34 Harjoituskokeet b) : , , , ,90. Suora kulkee pisteen (, ) kautta, joten koordinaatit totuttavat suoran yhtälön eli sijoitetaan = ja y = suoran yhtälöön c ( ) c c c 5c c Suoran yhtälö on siis :5 y y ( ) 5 5 y Suorat y ja y ovat kohtisuorassa, jos niiden kulmakertoimien 5 5 tulo on. Kulmakertoimien tulo on 5 5 Suorat ovat siis kohtisuorassa toisiaan vastaan.

35 Harjoituskokeet 4. a) Kuukausittain kiinteinä kuluina laskutetaan,5,60,95. Kolmen kuukauden aikana kiinteitä kuluja on siis,95 8,85. Jos sähkön kulutus kuukauden aikana on kwh, niin tällöin kiinteiden kulujen lisäksi laskutetaan 4,45,9 7,8 (snt) Tämä määrä euroina on 0,078 ( ) Kolmen kuukauden aikana sähkömaksuja yhteensä kuvaa siis funktio f ( ) 0,078 8,85. b) Jos sähkönkulutus on = 80 kwh, niin f (80) 0, ,85,4,( ) Vastaus: a) f ( ) 0,078 8,85 b), 5. a) Myrkyn määrä alussa on 9 g. Myrkyn määrä vähenee 8, % eli tulee 0,98- kertaiseksi tunnissa. Myrkkyä on jäljellä 4 h kuluttua 9 0,98 4 g,47 g,4 g

36 Harjoituskokeet b) Lasketaan milloin myrkkyä on jäljellä puolet alkuperäisestä määrästä eli 9g: 9,5g. 90,98 0,98 lg 0,98 9,5 0,5 lg 0,5 lg 0,98 lg 0,5 lg 0,5 lg 0,98 8,0... 8, (h) :9 :lg 0,98 Vastaus: a),4 g b) 8, h 6. Merkitään päästöjen määrää kirjaimella a ja kysyttyä vuosien määrää kirjaimella. Päästöt vähenevät 5 % vuosittain eli 0,85- kertaistuvat. a) Lopputilanteessa päästöt ovat neljäsosa alkuperäisestä eli 0,5a, kun a0,85 0,5 a : a 0 0,85 0,5 lg 0,85 lg 0,5 lg 0,85 lg 0,5 :lg 0,85 lg 0,5 lg 0,85 8, ,5 (vuotta) 4

37 Harjoituskokeet b) Merkitään vuotuista muutoskerrointa kirjaimella k. Päästöjen määrä pitäisi vähentyä määrään 0,5 a kolmessa vuodessa, joten a k k 0,5a 0,5 k : a ( 0) 0,5 0, Vuotuisen vähennyksen pitää siis olla 0,699 = 0,700 7 %. Vastaus: a) 8,5 a b) 7 % 5

38 Harjoituskokeet. Harjoituskoe. f ( ) y-akselin leikkauskohta on f (0) akselin leikkauskohdaksi eli nollakohdaksi saadaan 7 0 7,5 : Vastaus: Akselien leikkauspisteet ovat (0, 7) ja (,5; 0). a) 6 8 :

39 Harjoituskokeet b) 5 lg5 5 lg5 lg5 lg5 lg5 lg5 :lg5. a) Kirjoitetaan suoran yhtälö ratkaistussa muodossa. y 5 80 y 5 8 Suoran kulmakerroin on siis 5. Kysytty suora on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa, joten senkin kulmakerroin on 5. Suora kulkee lisäksi pisteen (, ) kautta, joten sen yhtälöksi saadaan y ( ) 5( ) y 5 0 y 5 7 b) Suora kulkee pisteiden (, 0) ja (, ) kautta, joten kulmakerroin on Suoran yhtälöksi saadaan 0 k ( ) y 0 ( ( ) y ( ) y 7

40 Harjoituskokeet 4. Suora : y 5 Suora : 4 y 60 y 4 6 : y 8 Leikkauspisteessä y -koordinaatit ovat yhtä suuret eli 5 8 : Koska y 5, niin leikkauspisteen y-koordinaatti on y 5 6. Leikkauspiste on siis (, 6). Piste (, 6) kuuluu suoralle y 8, jos sen koordinaatit totuttavat suoran yhtälön. Sijoitetaan = ja y = 6 suoran y 8 yhtälöön Epätosi Piste (, 6) ei ole suoralla. Vastaus: (, 6), piste ie kuulu suoralle y 8 8

41 Harjoituskokeet 5. Merkitään viikoittaista korkokerrointa kirjaimella k. Lainan määrä alussa 00,00. Laina-aika on kolme viikkoa, jonka jälkeen velka on 08,00. Saadaan yhtälö k 00,00 08,00 k,08 k, :00,00 Korkoprosentti on,059-0,059,6% Vastaus:,6 % 6. Merkitään teeren sijaintia koordinaatistossa kirjaimella C. Piste on suorien y ja y 50 leikkauspiste. Leikkauspisteessä y-koordinaatit ovat yhtä suuret :5 Leikkauspisteen y-koordinaatti on y 0 0 Teeri sijaitsee pisteessä C =(0, 0). Tutkijan A etäisyys teerestä on d A ,6... 9

42 Harjoituskokeet Tutkijan B etäisyys teerestä on d A ,88... d A Vastaus: Tutkija B on lähempänä. 7. a) Merkitään vuotuista muutoskerrointa kirjaimella k. Vuonna 998 oppilaita oli 9 ja kuuden vuoden jälkeen eli vuonna 004 oppilaita oli k k ,... k 6,... k,05... :9 Muutoskerroin positiivinen, joten k,05... Jos muutoskerroin säilyy samana, niin vuonna 00 eli 6 vuoden kuluttua vuodesta 004 oppilaita on 55, , (oppilasta) b) Jos muutoskerroin säilyy samana, niin vuonna 990 eli 4 vuotta ennen vuotta 004 oppilaita oli 4 55, , (oppilasta) 0

43 Harjoituskokeet c) Merkitään vuodesta 004 kuluneiden vuosien määrää kirjaimella n. Oppilasmäärä on 000, kun 55,05...,05... lg,05... n n n 000,86... :55 lg,86... n lg,05... lg,86... :lg,05 lg,86... n lg,05... n, , ,7... Oppilasmäärä ylittää 000 oppilaan rajan vuonna 07. Vastaus: a) 40 b) 7 c) Merkitään valon määrää pinnalla kirjaimella a ja muutoskerrointa kymmentä senttimetriä kohden kirjaimella k. Valon määrä 0 cm syvyydessä on 0,97 a. k a 0,97a k 0,97 k 0,97 k 0, : a Valon määrä tulee siis 0,9898 -kertaiseksi aina 0 cm matkalla.

44 Harjoituskokeet Olkoon kysytty syvyys a, kun 0 cm. Valon määrä on vähentynyt puoleen eli se on 0,5 0, a 0,5 a : a 0 0, ,5 lg 0, lg 0,5 lg 0, lg 0,5 :lg 0, lg 0,5 68,69... lg 0, Syvyys on 68, cm 68,69 cm 6,8 m Vastaus: 6,8 m

45 Harjoituskokeet. Harjoituskoe. a) Suora s kulkee origon kautta, joten se leikkaa y-akselin kohdassa y = 0. Lisäksi sen kulmakerroin on, joten suoran s yhtälö on y. Suoran t kulmakerroin on 5 ( ) k. 0 Suoran t yhtälö on y ( 5) 0 y 5 y 5 b) Leikkauspisteessä y-koordinaatit ovat yhtä suuret :5 Leikkauspisteen y-koordinaatti on y Leikkauspiste on siis (, ). c) Suoran, joka on yhdensuuntainen suoran s kanssa, kulmakerroin on. Koska lisäksi suora kulkee pisteen (0, ) kautta, suoran yhtälö on y 0 y y

46 Harjoituskokeet. Kylä A sijaitsee pisteessä (,5; 0). Kylä B sijaitsee pisteessä (,5; 7). Pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin on 0 ( 7),5 (,5) 7 4 4,5. Pisteiden A ja B kautta kulkevan suoran yhtälöksi saadaan y 0 4,5,5 y 0 4,5 6,75 y 4,5,65 Kylä C sijaitsee pisteessä (0, 5). Kylä D sijaitsee pisteessä (0, ). Pisteet sijaitsevat y-akselilla, joten pisteiden kautta kulkevan suoran yhtälö on = 0. Lasketaan risteyksen koordinaatit sijoittamalla = 0 yhtälöön y 4,5, 65. y 4,5 0,65,65 Kirkonkylä sijaitsee origossa eli pisteessä (0, 0). Teiden risteys on pisteessä (0;,65) eli,65 km,6km kirkonkylästä pohjoiseen. Vastaus:,6 km kirkonkylästä pohjoiseen. Suoran yhtälö ratkaistussa muodossa on y 4 0 y 4 : y 4

47 Harjoituskokeet Merkitään suoran normaalin kulmakerrointa kirjaimella k. Kohtisuoruusehdosta johtuen, kulmakertoimien tulon pitää olla. k k Koska lisäksi normaali kulkee pisteen (, ) kautta, normaalin yhtälöksi saadaan y ( ) y y Lasketaan ensin normaalin ja suoran leikkauspiste. 5 Leikkauspisteen y-koordinaatiksi saadaan Leikkauspiste on siis y , 5 5. Leikkauspisteen etäisyys pisteestä (, ) on d d 4 5 5,8,4...,4 Vastaus:,4 5

48 Harjoituskokeet 4. a) 6 0 lg6 lg0 lg6 lg0 :lg6 lg0 lg6,85..., 9 b) , ,47 c) 4 : 4 lg 4 lg lg4 lg :lg4 lg lg4 0, ,46 6

49 Harjoituskokeet 5. Väkiluku alussa on Merkitään vuotuista muutoskerrointa kirjaimella k. Viiden vuoden jälkeen väkiluku saa olla enintään k :0500 k 5,69... k 5,69... k,0... Vuotuinen kasvuprosentti on,0... 0, % Vastaus: 0 % 6. Merkitään pääomaa alussa kirjaimella a ja kysyttyä vuosien määrää kirjaimella. Vuotuinen arvonnousu on 5 %, joten pääoma,5-kertaistuu vuosittain.,5 a 5a : a,5 5 lg,5 lg 5 lg,5 lg 5 lg 5 lg,5,55... : lg,5 Vastaus: vuodessa 7

50 Harjoituskokeet 7. Testiarvo Toteuttaako yhtälön Johtopäätös > 8 <,5,5, 75 <,5,,,97 <,,,,78 >,,5,5,95 >,5,6,6,000 <,6,55,55,97... >,55 Koska,55 < <,6 on vastaus kahden desimaalin tarkkuudella, 6. 8