Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op)
|
|
|
- Tero Hämäläinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Johdatus yliopistomatematiikkaan, 2. viikko (2 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division
2 Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b ja c arvoilla yhtälö on ratkeava? Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 30
3 Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b ja c arvoilla yhtälö on ratkeava? Esim. 1 Ratkaise yhtälöpari { x y + 1 = 0, 2x + y 4 = 0 kahdella tavalla. Mitä yhtälöparin ratkaiseminen tarkoittaa geometrisesti? Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 30
4 Yhtälöt ja epäyhtälöt Jokainen osaa ratkaista ensimmäisen asteen yhtälön ax + by + c = 0. Millä parametrien a, b ja c arvoilla yhtälö on ratkeava? Esim. 1 Ratkaise yhtälöpari { x y + 1 = 0, 2x + y 4 = 0 kahdella tavalla. Mitä yhtälöparin ratkaiseminen tarkoittaa geometrisesti? Ratkaisumenetelmää, jossa eliminoidaan jompi kumpi muuttujista x tai y, sanotaan eliminoimismenetelmäksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 30
5 Yhtälöryhmän ratkaiseminen Esim. 2 Sovella eliminoimismenetelmää yhtälöpariin { ax + by = 0, cx + dy = 0. Millä parametrien a, b, c ja d arvoilla yhtälöpari on yksikäsitteisesti ratkeava? Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 30
6 Yhtälöryhmän ratkaiseminen Esim. 3 Pohdi miten eliminoimismenetelmää voidaan käyttää kolmen muuttujan yhtälöryhmän x y + 2z = 7, 3x + y z = 4, 6x + 2y + 2z = 20 ratkaisemiseen. Mitä yhtälöryhmän ratkaiseminen tarkoittaa geometrisesti? Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 30
7 Yhtälön ratkaiseminen Palataan takaisin yhden reaalimuuttujan yhtälön ratkaisemiseen. Ensimmäiseksi on selvitettävä yhtälön määrittelyjoukko, joka on laajin reaalilukujen joukko, jossa yhtälössä esiintyvät lausekkeet on määritelty. Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 30
8 Yhtälön ratkaiseminen Palataan takaisin yhden reaalimuuttujan yhtälön ratkaisemiseen. Ensimmäiseksi on selvitettävä yhtälön määrittelyjoukko, joka on laajin reaalilukujen joukko, jossa yhtälössä esiintyvät lausekkeet on määritelty. Kuten ongelmanratkaisuosiossa mainittiin, on joskus kannattavaa (ja jopa välttämätöntä) saattaa ongelma johonkin toiseen muotoon. Tarkastellaan esimerkkiä Esim. 4 (DIA-yhteisvalinta 2011, tehtävä 1) Ratkaise yhtälöt (a) x 10 x = 3; (b) 4 2 x x = 9; (c) sin x = 1 cos 2 x, 0 x π. Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 30
9 Yhtälön ratkaiseminen Trigonometrisissä yhtälöissä pääsee pitkälle hallitsemalla yksikköympyrän ja koululaisen kolmioiden käytön. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 30
10 Yhtälön ratkaiseminen Trigonometrisissä yhtälöissä pääsee pitkälle hallitsemalla yksikköympyrän ja koululaisen kolmioiden käytön. Itseisarvoyhtälöt kannattaa ratkaista merkkikaavion avulla ja sitä kautta tarkastella eri tapaukset. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 30
11 Yhtälön ratkaiseminen Trigonometrisissä yhtälöissä pääsee pitkälle hallitsemalla yksikköympyrän ja koululaisen kolmioiden käytön. Itseisarvoyhtälöt kannattaa ratkaista merkkikaavion avulla ja sitä kautta tarkastella eri tapaukset. Esim. 5 Ratkaise yhtälöt cos(2x) = 1 2 ; sin(2x) = cos(x); x 2 = x + 1. Mitä jälkimmäisen yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa geometrisesti? Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 30
12 Epäyhtälöt Epäyhtälöitä voidaan käsitellä samaan tapaan kuin yhtälöitä. Määrittelyjoukko määritellään samalla tavalla kuin yhtälöiden tapauksessa. Epäyhtälöön voidaan puolittain lisätä ja vähentää termejä ilman, että epäyhtälön ratkaisu muuttuu. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 30
13 Epäyhtälöt Epäyhtälöitä voidaan käsitellä samaan tapaan kuin yhtälöitä. Määrittelyjoukko määritellään samalla tavalla kuin yhtälöiden tapauksessa. Epäyhtälöön voidaan puolittain lisätä ja vähentää termejä ilman, että epäyhtälön ratkaisu muuttuu. Myös positiivisella luvulla kertominen puolittain säilyttää epäyhtälön ratkaisut samana. Sen sijaan huomion arvoista on, että negatiivisella luvulla kertominen kääntää epäyhtälön suunnan. Esimerkiksi kertomalla epäyhtälö 2x < 4 puolittain luvulla 1 2 saadaan yhtäpitävä epäyhtälö x > 2, joka on siis alkuperäisen epäyhtälön ratkaisu. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 30
14 Epäyhtälöt Epäyhtälöitä voidaan käsitellä samaan tapaan kuin yhtälöitä. Määrittelyjoukko määritellään samalla tavalla kuin yhtälöiden tapauksessa. Epäyhtälöön voidaan puolittain lisätä ja vähentää termejä ilman, että epäyhtälön ratkaisu muuttuu. Myös positiivisella luvulla kertominen puolittain säilyttää epäyhtälön ratkaisut samana. Sen sijaan huomion arvoista on, että negatiivisella luvulla kertominen kääntää epäyhtälön suunnan. Esimerkiksi kertomalla epäyhtälö 2x < 4 puolittain luvulla 1 2 saadaan yhtäpitävä epäyhtälö x > 2, joka on siis alkuperäisen epäyhtälön ratkaisu. Tyypillisiä epäyhtälöitä ovat polynomiepäyhtälöt, rationaaliepäyhtälöt, trigonometriset epäyhtälöt ja itseisarvoepäyhtälöt. Tarkastellaan näitä esimerkkien avulla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 30
15 Esimerkkejä Esim. 6 Ratkaise itseisarvoepäyhtälöt (a) x + x + 1 < 2; (b) 1+ 1 < 1; x (c) x + 1 < x. Esim. 7 1 Olkoot A = {x R Osoita, että A B. 1+x < 1+x} ja B = {x R x 2}. Esim. 8 Ratkaise epäyhtälöt (a) cos(2x) > 1 2 ja (b) sin(3x) < 1 2. Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 30
16 Epäyhtälöiden käyttöä Matematiikassa on hyödyllistä käyttää epäyhtälöitä erilaisten arvioiden tekemiseen ennen kuin lähtee härkäpäisesti ratkaisemaan jotain ongelmaa. Esim. 9 Osoita, että jos n Z +, niin 1 2 < 1 n + 1 n n 1 < 1. Edellisestä epäyhtälöstä itse asiassa seuraa, että sarja ei suppene. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 30
17 Esimerkkejä Esim. 10 (a) Osoita, että x + 1 x 2 aina, kun x > 0. (b) Osoita, että (a+b+c)( 1 a + 1 b + 1 c ) 9 aina, kun a,b,c > 0 (Vihje: Käytä (a)-kohtaa). Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 30
18 Kolmioepäyhtälö Matematiikan eräs tärkeimpiä epäyhtälöitä on seuraava kolmioepäyhtälö. Lause 1 (Kolmioepäyhtälö) Kaikille x,y R on voimassa x ± y x + y. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 30
19 Kolmioepäyhtälö Matematiikan eräs tärkeimpiä epäyhtälöitä on seuraava kolmioepäyhtälö. Lause 1 (Kolmioepäyhtälö) Kaikille x,y R on voimassa x ± y x + y. Kolmioepäyhtälöllä on tärkeä seuraus Seuraus 1 Kaikilla x,y R pätee x y x ± y. Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 30
20 Kolmioepäyhtälö Yhdistämällä edelliset tulokset saadaan epäyhtälö x y x ± y x + y. Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 30
21 Kolmioepäyhtälö Yhdistämällä edelliset tulokset saadaan epäyhtälö x y x ± y x + y. Esim. 11 (a) Osoita kolmioepäyhtälön seuraus. (b) Osoita kolmioepäyhtälön avulla, että x y x z + z y kaikilla x,y,z R (c) Olkoon x 1. Määrää kolmioepäyhtälön avulla yläraja lausekkeelle 3x 2. Mikä on pienin mahdollinen yläraja? (d) Olkoot a > 0, x 1 a ja y 1 a. Osoita, että x y 2a. Tulkitse saatu tulos geometrisesti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 30
22 Funktioista Määr. 1 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Funktiolla f joukosta X joukkoon Y tarkoitetaan sääntöä f : X Y, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon x täsmälleen yhden joukon Y alkion y, ja merkitään f(x) = y. Sanotaan, että y on funktion f arvo pisteessä x (tai x:n kuva). Joukkoa X sanotaan funktion f määrittelyjoukoksi, jolle käytetään myös merkintää M f. Joukkoa Y sanotaan funktion f maalijoukoksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 30
23 Funktioista Määr. 1 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Funktiolla f joukosta X joukkoon Y tarkoitetaan sääntöä f : X Y, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon x täsmälleen yhden joukon Y alkion y, ja merkitään f(x) = y. Sanotaan, että y on funktion f arvo pisteessä x (tai x:n kuva). Joukkoa X sanotaan funktion f määrittelyjoukoksi, jolle käytetään myös merkintää M f. Joukkoa Y sanotaan funktion f maalijoukoksi. Funktion f arvojen joukkoa K f = {f(x) x M f } sanotaan arvojoukoksi (tai kuvajoukoksi). Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 30
24 Funktioista Määr. 1 Olkoot X ja Y epätyhjiä joukkoja. Funktiolla f joukosta X joukkoon Y tarkoitetaan sääntöä f : X Y, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon x täsmälleen yhden joukon Y alkion y, ja merkitään f(x) = y. Sanotaan, että y on funktion f arvo pisteessä x (tai x:n kuva). Joukkoa X sanotaan funktion f määrittelyjoukoksi, jolle käytetään myös merkintää M f. Joukkoa Y sanotaan funktion f maalijoukoksi. Funktion f arvojen joukkoa K f = {f(x) x M f } sanotaan arvojoukoksi (tai kuvajoukoksi). Funktiot f ja g ovat samat, jos niillä on sama määrittelyjoukko ja maalijoukko ja jos f(x) = g(x) kaikilla määritysjoukon alkioilla x. Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 30
25 Esimerkkejä Esim. 12 Esimerkkejä erityyppisistä funktioista: X = {tason ympyrät}, Y = R, f(x) = x:n säde ; X = {tason ympyrät}, Y = R, f(x) = x:n sisään jäävän alueen pinta-ala ; X = N, Y = {0,1,2}, f(x) = jakojäännös, kun x jaetaan 3:lla ; X = R, Y = Z, f(x) = suurin kokonaisluku x. Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 30
26 Esimerkkejä Esim. 13 Määrää funktion f määritysjoukko M f, piirrä kuvaaja sekä ilmoita arvojoukko K f, kun (a) f(x) = x, (b) f(x) = x 2 1, (c) f(x) = 2x 1 x 2, (d) f(x) = ln(ln(x)). Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 30
27 Käänteisfunktio Esim. 14 Ratkaise yhtälöistä (a) y = ax + b, missä a 0, ja (b) y = x 2 muuttuja x y:n avulla. Onko x y:n funktio? Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 30
28 Käänteisfunktio Esim. 14 Ratkaise yhtälöistä (a) y = ax + b, missä a 0, ja (b) y = x 2 muuttuja x y:n avulla. Onko x y:n funktio? Olkoon f : X Y funktio. Jos jokaista y Y kohti on olemassa täsmälleen yksi x X siten, että y = f(x), niin funktiota g : Y X, jolle g(y) = x, sanotaan funktion f käänteisfunktioksi ja merkitään g = f 1. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 30
29 Käänteisfunktio Esim. 14 Ratkaise yhtälöistä (a) y = ax + b, missä a 0, ja (b) y = x 2 muuttuja x y:n avulla. Onko x y:n funktio? Olkoon f : X Y funktio. Jos jokaista y Y kohti on olemassa täsmälleen yksi x X siten, että y = f(x), niin funktiota g : Y X, jolle g(y) = x, sanotaan funktion f käänteisfunktioksi ja merkitään g = f 1. Edellisessä esimerkissä funktiolla f(x) = ax + b on olemassa käänteisfunktio, mutta funktiolla f(x) = x 2 ei. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 30
30 Käänteisfunktio Esim. 14 Ratkaise yhtälöistä (a) y = ax + b, missä a 0, ja (b) y = x 2 muuttuja x y:n avulla. Onko x y:n funktio? Olkoon f : X Y funktio. Jos jokaista y Y kohti on olemassa täsmälleen yksi x X siten, että y = f(x), niin funktiota g : Y X, jolle g(y) = x, sanotaan funktion f käänteisfunktioksi ja merkitään g = f 1. Edellisessä esimerkissä funktiolla f(x) = ax + b on olemassa käänteisfunktio, mutta funktiolla f(x) = x 2 ei. Huomaa kuitenkin, että käänteisfunktion olemassaolo riippuu joukkojen X ja Y määrittelystä. Esimerkiksi funktiolla f : R + = {x R x > 0} R +, jolle f(x) = x 2 on olemassa käänteisfunktio, sillä jokaista y R+ vastaa täsmälleen yksi x R + siten, että f(x) = y. Nimittäin, x = y R + on kyseinen x. Näin ollen tässä tapauksessa f 1 (x) = x. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 30
31 Käänteisfunktio Käänteisfunktio voidaan määrätä (mikäli mahdollista) ratkaisemalla y x:n funktiona yhtälöstä f(x) = y. Esim. 15 Olkoot X = [ 2, [ ja Y = [1, [. Osoita, että funktiolla f : X Y, f(x) = x 2 + 4x + 5, on olemassa käänteisfunktio. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 30
32 Käänteisfunktio Käänteisfunktio voidaan määrätä (mikäli mahdollista) ratkaisemalla y x:n funktiona yhtälöstä f(x) = y. Esim. 15 Olkoot X = [ 2, [ ja Y = [1, [. Osoita, että funktiolla f : X Y, f(x) = x 2 + 4x + 5, on olemassa käänteisfunktio. Edellä olemme perustelleet käänteisfunktion olemassaolon laskemalla käänteisfunktion lausekkeen. Tämä ei kuitenkaan aina ole mahdollista eikä edes kannattavaa, vaikka se olisi periaatteessa mahdollista. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 30
33 Käänteisfunktio Käänteisfunktio voidaan määrätä (mikäli mahdollista) ratkaisemalla y x:n funktiona yhtälöstä f(x) = y. Esim. 15 Olkoot X = [ 2, [ ja Y = [1, [. Osoita, että funktiolla f : X Y, f(x) = x 2 + 4x + 5, on olemassa käänteisfunktio. Edellä olemme perustelleet käänteisfunktion olemassaolon laskemalla käänteisfunktion lausekkeen. Tämä ei kuitenkaan aina ole mahdollista eikä edes kannattavaa, vaikka se olisi periaatteessa mahdollista. Jos funktiolla on riittävästi hyviä ominaisuuksia, voidaan käänteisfunktion olemassaolo perustella käyttämällä ko. ominaisuuksia ilman, että määrätään käänteisfunktion lauseke, mikä kuten edellä tuli todettua ei aina edes ole mahdollista. Mutta tästä asiasta kerrotaan enemmän yliopiston kursseilla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 30
34 Funktion raja-arvo Eräs keskeisimpiä käsitteitä funktioiden ominaisuuksien tutkimisessa on funktion raja-arvon käsite: Määr. 2 Funktion f : X Y raja-arvo pisteessä x 0 on y 0, jos jokaista positiivista lukua ǫ kohti on olemassa sellainen positiivinen luku δ, että f(x) y 0 < ǫ aina, kun 0 < x x 0 < δ. Tällöin merkitään lim x x0 f(x) = y 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 30
35 Funktion raja-arvo Eräs keskeisimpiä käsitteitä funktioiden ominaisuuksien tutkimisessa on funktion raja-arvon käsite: Määr. 2 Funktion f : X Y raja-arvo pisteessä x 0 on y 0, jos jokaista positiivista lukua ǫ kohti on olemassa sellainen positiivinen luku δ, että f(x) y 0 < ǫ aina, kun 0 < x x 0 < δ. Tällöin merkitään lim x x0 f(x) = y 0. Määritelmän voi ymmärtää niin, että funktion arvot kasautuvat pisteen y 0 lähelle, kun x lähestyy pistettä x 0. Luku δ > 0 luonnollisesti riippuu luvun ǫ > 0 valinnasta, mutta oleellista on se, että tällainen δ löytyy olipa ǫ kuinka pieni tahansa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 30
36 Esimerkkejä Esim. 16 Olkoon f(x) = 2x + 1. Määritä sellainen väli, johon piste x 0 = 1 sisältyy ja jossa on voimassa f(x) 3 < ǫ, kun (a) ǫ = 1, (b) ǫ = 0.1 ja (c) ǫ = Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 30
37 Esimerkkejä Esim. 16 Olkoon f(x) = 2x + 1. Määritä sellainen väli, johon piste x 0 = 1 sisältyy ja jossa on voimassa f(x) 3 < ǫ, kun (a) ǫ = 1, (b) ǫ = 0.1 ja (c) ǫ = Huomaa, että funktion f ei välttämättä tarvitse olla määritelty pisteessä x 0. Esim. 17 Olkoot f(x) = x2 x 2 x 2, 2 x R, ja ǫ > 0. Tarkastellaan löytyykö sellaista lukua δ > 0, että f(x) 3 < ǫ, kun 0 < x 2 < δ. Osoita, että luvuksi δ voidaan valita δ = ǫ. Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 30
38 Raja-arvon ominaisuuksia Usein kannattaa hyödyntää funktion raja-arvon seuraavia ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että lim x x0 f(x) ja lim x x0 g(x) ovat olemassa. Tällöin lim x x0 (f(x)+g(x)) = lim x x0 f(x)+lim x x0 g(x); Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 30
39 Raja-arvon ominaisuuksia Usein kannattaa hyödyntää funktion raja-arvon seuraavia ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että lim x x0 f(x) ja lim x x0 g(x) ovat olemassa. Tällöin lim x x0 (f(x)+g(x)) = lim x x0 f(x)+lim x x0 g(x); lim x x0 λf(x) = λ lim x x0 f(x) kaikilla vakioilla λ; Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 30
40 Raja-arvon ominaisuuksia Usein kannattaa hyödyntää funktion raja-arvon seuraavia ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että lim x x0 f(x) ja lim x x0 g(x) ovat olemassa. Tällöin lim x x0 (f(x)+g(x)) = lim x x0 f(x)+lim x x0 g(x); lim x x0 λf(x) = λ lim x x0 f(x) kaikilla vakioilla λ; lim x x0 f(x)g(x) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x); Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 30
41 Raja-arvon ominaisuuksia Usein kannattaa hyödyntää funktion raja-arvon seuraavia ominaisuuksia Lause 2 Oletetaan, että lim x x0 f(x) ja lim x x0 g(x) ovat olemassa. Tällöin lim x x0 (f(x)+g(x)) = lim x x0 f(x)+lim x x0 g(x); lim x x0 λf(x) = λ lim x x0 f(x) kaikilla vakioilla λ; lim x x0 f(x)g(x) = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x); lim x x0 f(x) g(x) = limx x 0 f(x) lim x x0 g(x), jos lim x x 0 g(x) 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 30
42 Raja-arvo äärettömyydessä Raja-arvo äärettömyydessä voidaan määritellä samalla tavalla kuin edellä. Määr. 3 Olkoon f : R R funktio. Funktion raja-arvo ± :ssä on y 0, jos jokaista ǫ > 0 kohti on olemassa luku M > 0 siten, että f(x) y 0 < ǫ aina, kun ±x > M. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 30
43 Raja-arvo äärettömyydessä Raja-arvo äärettömyydessä voidaan määritellä samalla tavalla kuin edellä. Määr. 3 Olkoon f : R R funktio. Funktion raja-arvo ± :ssä on y 0, jos jokaista ǫ > 0 kohti on olemassa luku M > 0 siten, että f(x) y 0 < ǫ aina, kun ±x > M. Raja-arvoa laskettaessa voi esiintyä määrittelemättömiä muotoja 0 ±, 0 ±,, 0 ±, ± 0, 0, 0 0, 0, 1, joista on päästävä eroon esim. supistamalla tai laventamalla sopivalla lausekkeella. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 30
44 Esimerkkejä Esim. 18 Laske raja-arvot x 2 4x 4 (a) lim x 2 x 2 x 2, 2x (c) lim x x 2 3x + 1, ( 1 (b) lim x 0 x 3 + x 1 ), x (d) lim (2x 4x 2 + 1). x Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 30
45 Funktion jatkuvuus Nyt kun funktion raja-arvo määritelty, voidaan jatkuvuus määritellä seuraavasti Määr. 4 Funktio f : R R on jatkuva pisteessä x 0 R, jos lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Funktio on jatkuva joukossa S R, jos se on jatkuva jokaisessa joukon S pisteessä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 30
46 Funktion jatkuvuus Nyt kun funktion raja-arvo määritelty, voidaan jatkuvuus määritellä seuraavasti Määr. 4 Funktio f : R R on jatkuva pisteessä x 0 R, jos lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Funktio on jatkuva joukossa S R, jos se on jatkuva jokaisessa joukon S pisteessä. Funktio on siis jatkuva pisteessä x 0 täsmälleen silloin, kun sen raja-arvo pisteessä x 0 on sama kuin funktion arvo kyseisessä pisteessä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 30
47 Funktion jatkuvuus Nyt kun funktion raja-arvo määritelty, voidaan jatkuvuus määritellä seuraavasti Määr. 4 Funktio f : R R on jatkuva pisteessä x 0 R, jos lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Funktio on jatkuva joukossa S R, jos se on jatkuva jokaisessa joukon S pisteessä. Funktio on siis jatkuva pisteessä x 0 täsmälleen silloin, kun sen raja-arvo pisteessä x 0 on sama kuin funktion arvo kyseisessä pisteessä. Tutkittaessa funktion jatkuvuutta seuraava tulos on hyödyllinen Lause 3 Funktio f : R R on jatkuva pisteessä x 0 täsmälleen silloin, kun lim x x0 f(x) = lim x x0 + f(x) = f(x 0 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 30
48 Funktion jatkuvuus Funktio on siis jatkuva jos ja vain jos toispuoleiset raja-arvot yhtyvät funktion arvoon kyseisessä pisteessä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 30
49 Funktion jatkuvuus Funktio on siis jatkuva jos ja vain jos toispuoleiset raja-arvot yhtyvät funktion arvoon kyseisessä pisteessä. Suoraan raja-arvon ominaisuuksista seuraa, että jatkuvuus säilyy funktioiden yhteen-, kerto- ja jakolaskussa sekä vakiolla kertomisessa: Lause 4 Jos funktiot f ja g ovat jatkuvia pisteessä x 0, niin myös funktiot f + g, λ f (λ vakio) ja fg ovat jatkuvia pisteessä x 0. Jos lisäksi g(x 0 ) 0, niin f/g on jatkuva pisteessä x 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 30
50 Esimerkkejä Esim. 19 Osoita raja-arvon määritelmään nojautuen tarkasti, että funktio f(x) = 3x 1 on jatkuva pisteessä x 0 = 5. Esim. 20 Määrää vakiot a,b ja c siten, että funktio x 2, x < 0, f(x) = a, x = 0, bx + c, x > 0, on jatkuva kaikilla x R. Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 30
51 Funktion derivaatta Funktion derivaatan käsite on differentiaalilaskennan tärkein peruskäsite ja määritelmä lienee kaikille tuttu. Määr. 5 Olkoon f määritelty pisteen x 0 ympäristössä. Jos erotusosamäärällä f(x) f(x 0 ) x x 0 on raja-arvo, kun x x 0, niin raja-arvoa sanotaan funktion f derivaataksi pisteessä x 0 ja merkitään f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Funktiota f sanotaan tällöin derivoituvaksi pisteessä x 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 30
52 Funktion derivaatta Derivaatalle käytetään usein myös seuraavia merkintöjä f (x 0 ) = Df(x 0 ) = df dx (x 0). Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 30
53 Funktion derivaatta Derivaatalle käytetään usein myös seuraavia merkintöjä f (x 0 ) = Df(x 0 ) = df dx (x 0). Funktio on derivoituva joukossa S, jos se on derivoituva jokaisessa joukon S pisteessä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 30
54 Funktion derivaatta Derivaatalle käytetään usein myös seuraavia merkintöjä f (x 0 ) = Df(x 0 ) = df dx (x 0). Funktio on derivoituva joukossa S, jos se on derivoituva jokaisessa joukon S pisteessä. Esim. 21 Tarkastellaan derivaatan geometrista tulkintaa. Olkoon f(x) = x 2. Piirretään käyrälle y = f(x) pisteiden (0, 0) ja (x, f(x)) kautta kulkeva sekantti ja tarkastellaan mitä tapahtuu, kun x 0. Animaatio(Klikkaa tästä) Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 30
55 Funktion derivaatta Derivaatta voidaan kirjoittaa myös muodossa f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 30
56 Funktion derivaatta Derivaatta voidaan kirjoittaa myös muodossa f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Esim. 22 Laske määritelmän perusteella funktion f derivaatta, kun (a) f(x) = kx + b; (b) f(x) = x 2 ; (c) f(x) = e x e ja tiedetään, että lim h 1 h 0 h = 1; sin h (d) f(x) = cos x ja tiedetään, että lim h 0 h = 1 (Vihje: Käytä cos:n yhteenlaskukaavaa, minkä jälkeen lavenna (cos h 1):n sisältävä termi (cos h+1):llä ja käytä edellä mainittua kaavaa sin:lle). Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 30
57 Derivaatan ominaisuuksia Suoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa Lause 5 Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0, niin D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 )+Dg(x 0 ); Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 30
58 Derivaatan ominaisuuksia Suoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa Lause 5 Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0, niin D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 )+Dg(x 0 ); D(λf)(x 0 ) = λ Df(x 0 ) kaikilla vakioilla λ; Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 30
59 Derivaatan ominaisuuksia Suoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa Lause 5 Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0, niin D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 )+Dg(x 0 ); D(λf)(x 0 ) = λ Df(x 0 ) kaikilla vakioilla λ; D(fg)(x 0 ) = Df(x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )Dg(x 0 ); Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 30
60 Derivaatan ominaisuuksia Suoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa Lause 5 Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0, niin D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 )+Dg(x 0 ); D(λf)(x 0 ) = λ Df(x 0 ) kaikilla vakioilla λ; D(fg)(x 0 ) = Df(x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )Dg(x 0 ); D( f g )(x 0) = Df(x 0)g(x 0 ) f(x 0 )Dg(x 0 ) g(x 0 ) 2, jos g(x 0 ) 0. Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 30
61 Derivaatan ominaisuuksia Suoraan raja-arvojen vastaavista ominaisuuksista seuraa Lause 5 Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x 0, niin D(f + g)(x 0 ) = Df(x 0 )+Dg(x 0 ); D(λf)(x 0 ) = λ Df(x 0 ) kaikilla vakioilla λ; D(fg)(x 0 ) = Df(x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )Dg(x 0 ); D( f g )(x 0) = Df(x 0)g(x 0 ) f(x 0 )Dg(x 0 ) g(x 0 ) 2, jos g(x 0 ) 0. Yhdistetylle funktiolle (f g)(x) = f(g(x)) pätee Lause 6 (Ketjusääntö) Jos g on derivoituva pisteessä x 0 ja f on derivoituva pisteessä g(x 0 ), niin yhdistetty funktio f g on derivoituva pisteessä x 0 ja D(f g)(x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 30
62 Esimerkkejä Esim. 23 Derivoi funktiot (a) f(x) = ( x 1 ) n, (b) f(x) = (x 1) 5 (x + 1) 3. x + 1 Esim. 24 (DIA-yhteisvalinta 2011, tehtävä 3) Laskeutumisen alkaessa lentokone lentää vaakasuoraan. Tällöin kone on korkeudella y = h ja vaakasuoralla etäisyydellä x = s kiitoradasta. Kone koskettaa kiitorataa origossa vaakalennossa. Oletetaan, että laskeutumisen aikana y = ax 3 + bx 2 + cx + d. Kuinka korkealla kone on, kun sen vaakasuora etäisyys kiitoradasta on 1 3 s? Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 30
2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö
2.7 Neliöjuuriyhtälö ja -epäyhtälö Neliöjuuren määritelmä palautettiin mieleen jo luvun 2.2 alussa. Neliöjuurella on mm. seuraavat ominaisuudet. ab = a b, a 0, b 0 a a b =, a 0, b > 0 b a2 = a a > b, a
(x 0 ) = lim. Derivoimissääntöjä. Oletetaan, että funktiot f ja g ovat derivoituvia ja c R on vakio. 1. Dc = 0 (vakiofunktion derivaatta) 2.
Derivaatta kuvaa funktion hetkellistä kasvunopeutta. Geometrisesti tulkittuna funktion derivaatta kohdassa x 0 on funktion kuvaajalle kohtaan x 0 piirretyn tangentin kulmakerroin. Funktio f on derivoituva
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Derivaatta Tarkastellaan funktion f keskimääräistä muutosta tietyllä välillä ( 0, ). Funktio f muuttuu tällä välillä määrän. Kun tämä määrä jaetaan välin pituudella,
30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.
RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20
Epäyhtälön molemmille puolille voidaan lisätä sama luku: kaikilla reaaliluvuilla a, b ja c on voimassa a < b a + c < b + c ja a b a + c b + c.
Epäyhtälö Kahden lausekkeen A ja B välisiä järjestysrelaatioita A < B, A B, A > B ja A B nimitetään epäyhtälöiksi. Esimerkiksi 2 < 6, 9 10, 5 > a + + 2 ja ( + 1) 2 2 + 2 ovat epäyhtälöitä. Epäyhtälössä
Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
![Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on](/thumbs/39/20459750.jpg "Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on")
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 13 Derivaatan määritelmä Määritelmä
( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
monissa laskimissa luvun x käänteisluku saadaan näyttöön painamalla x - näppäintä.
.. Käänteisunktio.. Käänteisunktio Mikäli unktio : A B on bijektio, niin joukkojen A ja B alkioiden välillä vallitsee kääntäen yksikäsitteinen vastaavuus eli A vastaa täsmälleen yksi y B, joten myös se
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat
1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset
MAA10 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA0 Määritä se funktion f: f() = + integraalifunktio, jolle F() = Määritä se funktion f : f() = integraalifunktio, jonka kuvaaja sivuaa suoraa y = d Integroi: a) d b) c) d d) Määritä ( + + 8 + a) d 5
Aluksi. 2.1. Kahden muuttujan lineaarinen epäyhtälö
Aluksi Matemaattisena käsitteenä lineaarinen optimointi sisältää juuri sen saman asian kuin mikä sen nimestä tulee mieleen. Lineaarisen optimoinnin avulla haetaan ihannearvoa eli optimia, joka on määritelty
Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
Hyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Tekniikan kieli on matematiikka. Matematiikka tarjoaa perustan tekniikan opiskelulle ja soveltamiselle
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
Lukion. Calculus. Polynomifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
Calculus Lukion MAA Polynomifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Polynomifunktiot (MAA) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut
Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.
Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä
Esimerkkejä derivoinnin ketjusäännöstä (5.9.008 versio 1.0) Esimerkki 1 Määritä funktion f(x) = (x 5) derivaattafunktio. Funktio voidaan tulkita yhdistettynä funktiona, jonka ulko- ja sisäfunktiot ovat
Funktion raja-arvo 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot
Funktion raja-arvo 1/6 Sisältö Esimerkki funktion raja-arvosta Lauseke f() = 1 cos määrittelee reaauuttujan reaaliarvoisen funktion f, jonka lähtöjoukko muodostuu nollasta eroavista reaaliluvuista. Periaatteessa
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Derivaatta: Johdanto. Jatkuvan funktion arvojen muuttumisnopeutta voidaan mitata tangentin kulmakertoimella eli derivaatan arvolla (jos olemassa).
Derivaatta: Johdanto Kuva: Tangentteja. Jatkuvan funktion arvojen muuttumisnopeutta voidaan mitata tangentin kulmakertoimella eli derivaatan arvolla (jos olemassa). Derivaatta: Määritelmä (1/2) Sekantin
c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4. Koe 8.5.0 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
Funktion määrittely (1/2)
Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a 802152P
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 1a 802152P Luentomoniste Kari Myllylä Niina Korteslahti Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syksy 2013 Sisältö 1 Perusmatematiikkaa 3 1.1 Lukujoukot..............................
MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3
MS-A0004 - Matriisilaskenta Laskuharjoitus 3 atkaisut Tehtävä Merkitään matriisin rivejä, 2 ja 3. Gaussin eliminoinnilla saadaan 3 5 4 7 3 5 4 7 3 2 4 2+ 0 3 0 6 6 8 4 3+2 2 0 3 0 6 3 5 4 7 0 3 0 6 3+
Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Matematiikan tukikurssi 3.4.
Matematiikan tukikurssi 3.4. Neliömuodot, Hessen matriisi, deiniittisyys, konveksisuus siinä tämän dokumentin aiheet. Neliömuodot ovat unktioita, jotka ovat muotoa T ( x) = x Ax, missä x = (x 1,, x n )
1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
![1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ](/thumbs/67/57751673.jpg "1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ")
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
Esimerkki 8. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä. 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3. 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1. LM1, Kesä 2014 47/68
Esimerkki 8 Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 3x + 5y = 22 3x + 4y = 4 4x 8y = 32. 3 5 22 r 1 + r 3 3 4 4 4 8 32 1 3 10 0 13 26 4 8 32 r 3 4r 1 1 3 10 3 4 4 r 2 3r 1 4 8 32 1 3 10 0 13 26 r 2 /13 0 4 8
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Derivaatta, interpolointi, L6
, interpolointi, L6 1 Wikipeia: (http://fi.wikipeia.org/wiki/ ) Etälukio: (http://193.166.43.18/etalukio/ pitka_matematiikka/kurssi7/maa7_teoria10.html ) Maths online: (http://www.univie.ac.at/future.meia/
f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim
Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,
14. Pyörteettömät ja lähteettömät vektorikentät; potentiaali
4. Pyörteettömät ja lähteettömät vektorikentät; potentiaali 4.. Lähdekenttä ja pyörrekenttä 407. Vektorikenttä määritellään lieriökoordinaateissa asettamalla u(ρ,ϕ,z) = z 2 + (ρ ) 2 e ϕ. Kuvaile, millainen
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8..5 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Sarjakehitelmiä Palautetaan mieliin, että potenssisarja on sarja joka on muotoa a n (x x 0 ) n = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 + a 3 (x x 0 ) 3 +. n=0 Kyseinen
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo
1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Yhdistetty funktio. Älä sekoita arvo- eli kuvajoukkoa maalijoukkoon! (wikipedian ongelma!)
Yhdistetty unktio TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Määritelmä, yhdistetty unktio: Funktioiden ja g yhdistetty unktio g (luetaan g pallo ) määritellään yhtälöllä g g. Funktio g on ns. ulkounktio ja sisäunktio.
Derivaatta Maarit Järvenpää Puhtaaksikirjoitus Markus Harju
Derivaatta Maarit Järvenpää Putaaksikirjoitus Markus Harju Sisältö Derivaatan määritelmä 2 Derivoimissääntöjä 7 3 Dierentiaalilaskennan peruslauseita 3 4 Funktion ääriarvot 20 Derivaatan määritelmä Olkoon
Funktioista. Esimerkki 1
Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
Tenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.
Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
Funktion derivoituvuus pisteessä
Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))
Differentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
Nimi: Ratkaise tehtävät sivun alalaitaan. (paperi nro 1) 1. Valitse oikea toisen asteen yhtälön ratkaisukaava: (a) b ± b 4ac 2a. (b) b ± b 2 4ac 2a
paperi nro 0 a b ± b 2 4ac b b ± b 2 + 4ac c b ± b 4ac d b ± b 2 4ac 2. Ratkaise toisen asteen yhtälö x 2 + 7x 12 = 0. 3. Ratkaise epäyhtälö 3x 2 30x > 0 4. Ratkaise epäyhtälö 5x 2 + 5 < 0 paperi nro 1
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,
b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi
2. OSA: GEOMETRIA Tekijät: Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Montako tasokuviota voit muodostaa viidestä neliöstä siten, että jokaisen neliön vähintään
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 7, 28.10.2015 1. Onko olemassa yhtenäistä verkkoa, jossa (a) jokaisen kärjen aste on 6, (b) jokaisen kärjen aste on 5, ja paperille piirrettynä sivut eivät
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi
MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi Harjoitustehtäviä, syksy 00. Määrää kompleksiluvun a) = 3 j + 3j, b) = j, + j c) = ( 3 3 3 j)( j) itseisarvo ja argumentti.. Määrää sellaiset reaaliluvut x ja y, että
Pythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
2.2 Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava
. Täydellinen yhtälö. Ratkaisukaava Tulon nollasäännöstä näkee silloin tällöin omituisia sovellutuksia. Jotkut näet ajattelevat, että on olemassa myöskin tulon -sääntö tai tulon "mikä-tahansa"- sääntö.
MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.
![1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.](/thumbs/70/62889435.jpg "1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.")
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla
Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
![Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on](/thumbs/47/23658224.jpg "Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on")
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta
Simo K. Kivelä, 15.4.2003 Luonnollisten lukujen laskutoimitusten määrittely Peanon aksioomien pohjalta Aksioomat Luonnolliset luvut voidaan määritellä Peanon aksioomien avulla. Tarkastelun kohteena on
Eksponenttifunktio ja Logaritmit, L3b
ja Logaritmit, L3b eksponentti-funktio Eksponentti-funktio Linkkejä kurssi8, / Etälukio (edu.) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.) Potenssifunktio y = f (x) = 2 Vakiofunktion y = a kuvaaja on vaakasuora
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää