Mat Matematiikan erikoistyöt Whitneyn sateenvarjo suihkuavaruudessa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat-1.139 Matematiikan erikoistyöt Whitneyn sateenvarjo suihkuavaruudessa"

Transkriptio

1 Mat-1139 Matematiikan erikoistyöt Witneyn sateenvarjo suikuavaruudessa Kenrick Bingam A, Tf ttp://wwwutfi/ kenny/

2 Sisältö 1 Jodanto 3 Singulaarinen systeemi suikuavaruudessa 3 1 Witneyn sateenvarjo 3 Klassiset ratkaisut 5 3 Ratkaiseminen suikuavaruusmenetelmällä 5 4 Ongelmia 6 41 Tapaus Tapaukset ja Tapaus Tapaukset 4 ja Systeemin jatkaminen ja primääridekompositio 7 31 Jatkaminen 7 3 Primääridekompositio 9 4 Jatkettujen systeemien ratkaiseminen 1 41 Tapaus 1 4 Tapaus Tapaus Yteenveto 16 Merkinnät ja nimitykset 17 Viitteet 18 Liite 1: Axiom-komentojonot 19

3 1 Jodanto Differentiaaligeometrinen menetelmä on eräs tavallisten differentiaaliytälöiden ratkaisumenetelmä Siinä tarkastellaan geometrisesti differentiaaliytälön määräämää pintaa suikuavaruudessa Suikuavaruutta voidaan ajatella :na, jossa koordinaatit ovat differentiaaliytälön vapaa muuttuja, ratkaisu ja sen derivaatat Differentiaaliytälön ratkaisukäyrä kulkee tällä pinnalla Käyrän suunta pinnan kussakin pisteessä määräytyy, kun uomioidaan lisäksi :den derivaattaluonne Ratkaisukäyrää voidaan laskea numeerisesti etenemällä aina pieni askel kerrallaan näin laskettuun suuntaan Jos pinta leikkaa itsensä, saattaa ratkaisukäyrän suunnan laskeminen tuottaa ongelmia: kun eri ledillä kulkevat ratkaisukäyrät leikkaavat toisensa, ratkaisukäyrän kulkusuunta ei ole yksikäsitteinen niiden leikkauspisteessä Jos kuitenkin ratkaisukäyrien korkeamman kertaluvun derivaatat eroavat, voidaan siirtyä korkeamman kertaluvun suikuavaruuteen, jossa ratkaisukäyrät kulkevat erillään, eikä pinta enää leikkaa itseään Korkeamman kertaluvun derivaatoille saadaan riippuvuuksia derivoimalla alkuperäistä differentiaaliytälöä :n suteen, ja poistamalla pinnasta epäoleelliset osat yödyntäen kommutatiivisen algebran ns primääridekompositiota Tässä erikoistyössä tarkastellaan esimerkkinä erästä itsensä leikkaavaa pintaa, ns Witneyn sateenvarjoa, kolmiulotteisessa suikuavaruudessa Koska kolme koordinaattia voidaan ajatella :ksi, :ksi ja :ksi tavalla, saadaan kuusi erilaista tapausta Näistä kolmessa leikkauskodan kautta kulkee useita ratkaisuja Leikkauskota saadaan kaikissa kolmessa tapauksesa kierrettyä siirtymällä neliulotteiseen avaruuteen Differentiaaligeometrinen menetelmä soveltuu myös differentiaaliytälösysteemien ratkaisemiseen, jolloin joudutaan toimimaan väintään viidessä ulottuvuudessa (,,,, ) Tässä erikoistyössä on avainnollisuuden ja yksinkertaisuuden vuoksi rajoituttu tarkastelemaan yden tuntemattoman funktion differentiaaliytälöitä Lukijalle lienee eduksi differentiaaligeometrian ja algebran peruskäsitteiden tuntemus esimerkiksi läteiden [7] ja [8] pojalta Koko ajan liikutaan kuitenkin :ssa ja :ssa, joten ensimmäisen vuoden korkeakouluopinnot matematiikassa antanevat riittävän pojan asian ymmärtämiselle pääpiirteissään, kenties lukuunottamatta primääridekompositio-osuutta Singulaarinen systeemi suikuavaruudessa 1 Witneyn sateenvarjo Witneyn sateenvarjoksi kutsutaan ytälön!# &% (' (1) ratkaisujoukkoa :ssa Se koostuu pinnasta puoliavaruudessa ' (ks kuva 1) sekä sateenvarjon kavasta +' *) ' Pinta on näistä mielenkiintoisempi osa tarkasteltaessa jatkossa -, differentiaaliytälöitä, jotka saadaan ajattelemalla :a suikuavaruutena / Pinnan poikkileikkaukset -tasossa ovat kaksi toisensa leikkaavaa, origon kautta kulkevaa suoraa, 3

4 joiden kulmakertoimet ovat 1# Poikkileikkaukset -tasossa puolestaan ovat paraabeleja ja - tasossa käyriä (3 4 5 x x3 1 4 x Kuva 1: Witneyn sateenvarjon pinta Kyseessä ei ole -monisto, sillä pinta leikkaa itsensä pitkin positiivista -akselia Sitä voidaan kuitenkin tarkastella moniston osajoukkona, jolloin, ja ovat :n lokaaleja koordinaatteja Avaruus voidaan nyt tulkita suikuavaruudeksi /, kun muuttujien, ja ajatellaan olevan differentiaaliytälön vapaa muuttuja, differentiaaliytälön ratkaisu ja sen derivaatta Muuttujat, ja voidaan samaistaa muuttujiin, ja kuudella eri tavalla: Tällöin ytälö (1) määrää differentiaaliytälön (' () jonka ratkaisukäyrä kulkee sateenvarjopinnalla Singulariteetissa eli sillä suoralla, jolla pinta leikkaa itsensä, ratkaisun käyttätymiseltä tai sen laskemiselta voidaan odottaa jotakin erikoista 4

5 ; I T 9 b E 9 _ B 9 ^ B g g E B ) ) : Klassiset ratkaisut Differentiaaliytälölle () saadaan kaikilla eri permutaatioilla klassiset ratkaisut: % ('(< = < 8> < A B % D ('(< 6 1 E < F< ' % ('(< 6 = < % % < A = HG % ('(< 1 < J KMLNLO 1? J < SR ' N% ('(< 16 U< 1 = < 1 = ' N% ('(< 6 1 < J KMLVLW 1? J LX< Q Y>[Z = -R ' 3 Ratkaiseminen suikuavaruusmenetelmällä Differentiaaliytälöä voidaan läteä ratkaisemaan suikuavaruudessa numeerisesti seuraavalla differentiaaligeometrisella menetelmällä [1,, 9] on 1-kodimensioinen tangentti- 9 Pinnan \' tangenttitaso pisteessä ] S^ / avaruuden _ / a` aliavaruus b 9c ëd 'f# g ^ / a` L b 9 g (' missä (3) b 9 i? b? b ^ _kj / l (4) 9 9 on :n differentiaali Koska differentiaaliytälön ratkaisukäyrä kulkee pinnalla (', sen tangenttivektori sijaitsee tässä tasossa Suikuavaruuden rakenteesta ei vielä käy ilmi, että :n pitää olla ratkaisukäyrällä :n derivaatta: m Tämä eto voidaan kirjoittaa kontaktimuodon n&6 b % b _kj / l (5) avulla no g p', mikä sekin määrää 1-kodimensioisen aliavaruuden eli tason _ / a` :ssä 3 Ratkaisukäyrän tangenttivektori sijaitsee myös tässä tasossa Ytälöt b 9 g (no g (' (6) määräävät siis pisteessä ] aliavaruuden, joka määrää ratkaisukäyrän tangenttivektorin suunnan yksikäsitteisesti, jos sen dimensio on 1 eli jos tasot leikkaavat toisensa Näiden aliavaruuksien muodostamaa kimppua kutsutaan systeemin distribuutioksi ja ratkaisukäyrää distribuution integraalimonistoksi Jos merkitään tangenttivektoria normaalikannassa gmqg? g? g sr g ut (7) Funktion differentiaali vastaa vvw :n vektorianalyysin Jacobin matriisia, joten ytälö xzyw{} ~& voidaan kirjoittaa kenties ˆ 3 Huomattakoon, että ytälö Š5Œx 6Žm Š x #ˆ saadaan formaalisti kertomalla ytälö Š a x :llä tutummin merkinnöin #y ƒ 5

6 R d ytälöt (6) voidaan kirjoittaa matriisimuodossa ts(' missä (8) Š % ; ' (9) nolla-avaruutta š t L ts('yf ; Distribuutio vastaa siis kussakin pisteessä matriisin Jos nyt matriisin rangi on eli œž ŸSš, ratkaisukäyrää voidaan läteä seuraamaan etenemällä lyyt askel distribuution suuntaan ja projisoimalla näin saatu piste takaisin monistolle 4 Ongelmia Jos kuitenkin œ ŸSš, distribuutio ei määrää ratkaisukäyrän suuntaa, eikä ratkaisukäyrää voida laskea tällä menetelmällä Tilanne on tällainen esimerkiksi pinnan () leikkaussuoralla 41 Tapaus 1 Koska tapauksessa 1 singulariteetissa FA(' matriisin % ; ' % D % H, joten singulariteetissa ratkaisu- toinen vaakarivi on nollarivi, on distribuution dimensio œž ŸSš käyrän seuraaminen on madotonta % ; ' ' ' ' (1) Jos klassiseen ratkaisuun B sijoitetaan singulariteetti s', saadaan ' Singulariteetin kautta kulkee siis ainoastaan ratkaisu M 4 Tapaukset ja 5 Tapauksessa singulaariset ratkaisut ovat sellaisia, joissa F (' Klassisen ratkaisun ensimmäinen derivaatta on c äb (11) joten kaikki ratkaisut kulkevat singulariteetin kautta Nyt on edellisen lisäksi se ongelma, että korkeudella kulkee nyt kaksi ratkaisua, jotka :n 1 (1) Singulariteetissa joten taas œ ŸSš % ; ' % % D H Š ' ; ' ' ' ' (13) Tapauksessa 5 tilanne on samanlainen: Ensimmäinen derivaatta on 1 = (' 6 (14)

7 ; R kun ', joten kaikki ratkaisut kulkevat singulariteetin kautta Korkeudella kulkee taas kaksi ratkaisua, jotka :n 1 Distribuution dimensio on jälleen, koska % ; ' % % H Š ' ; ' ' ' ' (15) 43 Tapaus 3 Nyt ratkaisut A HG kulkevat kaikki singulariteetin FA(' kautta Lisäksi ; ; kun ', joten kaikki ratkaisukäyrät kulkevat lisäksi korkeudella ; (16) Saman pisteen kautta ei siis kulje nyt ainoastaan kaksi ratkaisua, vaan ääretön määrä ratkaisuja Ratkaisukäyrää ei voida seurata singulariteetissa, koska ja siis œž ŸSš % ; ' % % Y HO ' ; ' ' ' ' (17) 44 Tapaukset 4 ja 6 Tapauksissa 4 ja 6 singulariteetti ei aieuta ongelmia Ytälölle :n eri arvoilla erilaisia eksponenttimuotoisia ratkaisuja, jotka on määritelty :n positiivisilla arvoilla Niistä mitkään eivät kulje singulariteetin MF ' kautta :n arvolla saadaan triviaaliratkaisu A(', joka vastaa sateenvarjon kavaa Tapauksessa 4 ratkaisukäyrä määräytyy matriisin % ; ' % % (18) nolla-avaruudesta Muualla kuin triviaaliratkaisulla mª ', joten ainoastaan triviaaliratkaisulla œ ŸSš Myös tapauksessa 6 matriisin % ; ' % % (19) nolla-avaruus on yksiulotteinen, kun (' ª 3 Systeemin jatkaminen ja primääridekompositio 31 Jatkaminen Systeemin jatkamisella tarkoitetaan alkuperäisen differentiaaliytälön 9 (' () 7

8 g g b n n b ^ ' ^ _ «derivoimista :n suteen, jolloin saadaan uusi ytälö Se saa tapauksissa 1 6 seuraavat muodot: (' (1) % % D (' () % D % (' (3) % % (' (4) D % % (' (5) [ % % A(' (6) % D % (' (7) jatkon differentiaalille saadaan b M+? b? b? b _kj / l / Ytälöt () ja (1) määrittelevät neliulotteisessa avaruudessa kaksiulotteisen pinnan, jolla ratkaisut kulkevat Sen tangentin määräävät nyt kaksi ytälöä Entinen ytälö b 9 g (' muuntuu muotoon b 9 g b 9 b N g l (' (8) / ± missä ±²³ ±^ / on kanoninen projektio Sen lisäksi j b g (' (3) Kontaktimuotojakin on nyt kaksi Entisestä kontaktimuodosta no ^ _ j / l saadaan kanonisella projektiolla 1-muoto j n ^ / l _ j Ytälön j no g (n& b N g ' (31) lisäksi on :n derivaattaominaisuuden = = määrittelevä ytälö g (' missä (9) (3) b % / l _kj (33) on toinen kontaktimuoto Ytälöt (8), (3), (31) ja (3) ovat nyt matriisimuodossa tµ ' (34) missä ja tµ g g I Fgq r? g Š Š % ; ' 7 ' = % ' ; '? g? g Fg ^ / l (35) (36) 8

9 d ] d Ã Ä Ä ^ Ã Ó Ä Ä ` f à ^ Ê Koska nämä ytälöt ovat differentiaaliytälöstä konsistentisti jatkettuja ytälöitä, matriisia vastaavan l lineaarikuvauksen ydin on väintään yksiulotteinen Jos œ ŸSš ;, differentiaaliytälön ratkaisuja voidaan laskea edellä esitetyllä menetelmällä :ssä ei ole monisto, vaan se leikkaa itsensä, joten ratkaisukäyrän seuraaminen on madotonta leikkauskäyrän pisteissä; lisäksi läellä singulariteettia se voi olla numeerisesti vaikeaa Jatketun systeemin kodalla tilanne voi olla samanlainen, jolloin ratkaisukäyrän laskeminen ei onnistu pinnan leikkauspisteissä Ytälön 9 ' määräämä pinta / 3 Primääridekompositio Ytälöiden 9 ' [8] 8 ¹º' määräämää pintaa voidaan tarkastella polynomien 9 ja virittämän ideaalin 9 af inina varieteettina [5] ¾k 8 d 9?*¼ ½L ] ja ¼ muuttujien,, ja polynomeja f (37) V^ / L ] ^ ^ ja À ª Ideaalia sanotaan primääri-ideaaliksi, jos aina kun À Á Primääridekompositioksi kutsutaan renkaan  ideaalin ajotelmaa missä primääri-ideaalit 1 Mikään Ä ª Ç Ä ^ Ã Ä Â toteuttavat seuraavat edot: Ä ei sisällä muiden ideaalien leikkausta, kun È É ª ('6 ], niin Á ^ 8 ^ (38) jollakin ] (39) &Å ÆÆ ÆÅ Ä c Å Å Æ ÆÆYÅ Primääridekompositio on yödyllinen konstruktio, jos rengas   :n ideaalilla on äärellinen määrä virittäjiä: on Noeterin rengas eli kun jokaisella Lause 31 Noeterin renkaan aidolla ideaalilla on yksikäsitteinen primääridekompositio Todistus löytyy läteestä [3] 8 voidaan siis muodostaa primääri- Koska tarkasteltavat ideaalit ovat äärellisesti viritettyjä, ideaalille dekompositio Jättämällä leikkauksen ideaaleista osa pois saadaan laajempi ideaali Ë 8 8 Ä ÄWÌ8ÍmÎÏ Ð ÐÒÑ ÑÒÑ Ð (4) (41) Sen varieteetti on vastaavasti pienempi, koska varieteetin pisteille asetetaan enemmän rajoituksia Sopivalla valinnalla voidaan saada se varieteetti, jolla differentiaaliytälön ratkaisuna mielekäs käyrä kulkee Koska kiinnostuksen koteena on läinnä ideaalin varieteetti, voidaan alkuideaalien sijaan tarkastella niiden radikaali-ideaaleja Ä ] L ]DÕ jollakin Ö f, sillä ^ 9

10 Ê ^ ^ Å ^ ' ^ Lause 3 Jos on ideaalin uø mielival- Todistus Koska selvästi ¾± Olkoon mielivaltainen, jolloin siis ] tainen Tällöin ¼ ^ Õ jollakin Ö radikaali-ideaali, niin varieteetit ¾k ja ¾k l, niin ¾k Ø ¾k, joten riittää osoittaa, että ¾k Ø ¾k ' ¾k kaikille ] Olkoon ¼ ^, joten ¼ l Õ U' ja siis myös ¼ U' ¾k Siten ovat samat Primääridekompositio ja radikaali-ideaalit on laskettu Axiom-ojelmiston [6] avulla Käytetyt komentojonot on esitetty liitteessä 1 4 Jatkettujen systeemien ratkaiseminen 41 Tapaus Tapauksessa jatko on Tällöin singulariteetissa % D % (' (4) % % D ' ' ' ' ' % [ % % % ' % % ; ' ' ' ; ' ' (43) % ' ; ' % ' ; ' H Š[ l joten œ ŸSš, täsmälleen silloin kuin 9 ;, jolloin :n vasemman alakulman / -alimatriisin determinantti on nolla Kuten ytälöistä Ù ' käy ilmi, ratkaisukäyrillä nimenomaan pätee singulariteetissa D ; l, joten š ei määrää ratkaisukäyrän suuntaa singulariteetissa Ratkaisun seuraaminen onnistuu kuitenkin yödynnettäessä primääridekompositiota missä Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat Huomattakoon, että ideaalin 8 8 &Å (44) 6 [ % Ú? % Ú % Ú %? % Ú? N%? % Ú? % % %? %? % Ú? radikaali-ideaali on %? Ú? N%? % % % 1? N% (45) (46) % (47)

11 9 Ë I ; % ; ; âû â B B B c 9 B ja :n virittäjät saadaan lisäämällä tämän virittäjiin polynomi %? 9 %, ja että tässä, kuten muillakin permutaatioilla, viimeisessä ideaalissa esiintyy alkuperäinen ytälö (', joiden varieteetit ovat systeemin singulari- Jätetään uomiotta mielenkiinnottomat ideaalit teetti ja origo Valitaan siis 8 Merkitään (' saadaan ratkaistua Ë ja :n virittäjiä ytälössä (46) esitetyssä järjestyksessä 9, 9, 9, 9 ja 9eÛ Asettamalla 9 6 FD? % 1 (48) Neliöjuuren merkin eri valinnoilla saatavat pinnat eivät leikkaa toisiaan, sillä kun ³ ', ³ÝÜ Kun nämä :n ja :n lausekkeet sijoitetaan ytälöiin 9 ', 9 ' 9ÞÛ ja ', ne toteutuvat identtisesti Täten :n informaatio sisältyy jo polynomeiin 9 9 ja siinä mielessä, että ¾k ¾k l ¾kl 9 l (49) Tämä on numeeristen laskujen kannalta mukavaa, koska distribuutio voidaan nyt laskea neliömatriisin nolla-avaruudesta 7 Š 78 Š 7 Š 7 Š Š 7 7 = 78 = 78 7 = 7 78 = 7 Š 7 = % ; ' ' = % ' ; ' Lausekkeista (48) nädään, että -akseli ei leikkaa pintaa ¾k A D % ; % % ;? % ; ' ' % ' ; (5) Tämä sopii yteen klassisen ratkaisun (51) kanssa sikäli, että ainoa ytälöt uùußà' toteuttava ratkaisu :n arvolla, jonka toinen derivaatta läestyy ääretöntä, kun ³ ' = (5) Kuvassa on piirrettynä kolme tapauksen ratkaisukäyrää, joiden alkupisteet ja niitä vastaavat klassisen ratkaisun arvot ovat: á á á % % % ; > % ;Y; % > ä ;Y; % ä Näistä kaksi ensimmäistä leikkaa toisensa singulariteetissa korkeudella > Kolmas läpäisee singulariteetin korkeudella >lå çæ Laskut on tety Matematica-ojelmistolla käyttäen läteessä [] esiteltyä ojelmaa Kuvassa 3 on piirretty -tasoon pisteestä % ; askelta, toleranssi,1) sekä tarkka ratkaisu A % ä 11 ; ;Y; lätien numeerisesti laskettu ratkaisu (1 (53)

12 4 x y y Kuva : Ratkaisuja tapauksessa Kuva 3: Tarkka (out viiva) ja numeerisesti laskettu ratkaisu (paksu viiva) tapauksessa 1

13 â % % ' % Å Å B è 4 Tapaus 3 Tapauksen 3 kaikki klassiset ratkaisut kulkevat / :ssä pisteen A ' ; kautta, minkä takia ratkaisukäyrän suunnan laskeminen tuossa pisteessä ei voi onnistua Systeemin jatkaminen auttaa, sillä toinen derivaatta riippuu sillä (54) (55) arvosta Jatketun systeemin distribuutio on singulariteetissa silti kaksiulotteinen, % '? % % % ; ' ' % ' ; ' HO jonka / -alimatriisin determinantti % (', onan 6 ; ' ' ' ' % ' ' % ; ' ' % ' ; ' kaikilla ratkaisuilla (56) Eteenpäin päästään käyttämällä primääridekompositiota 8 &Å (57) missä 6 % %? ; %? % %? %? Ú %?????? %? %? % Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat % ;? %? Näistä ylätään taas mielenkiinnottomina muut kuin % Ú? %? (58) (59), jonka virittäjiä merkitään ytälössä (59) esi- 9 tetyssä järjestyksessä 9, ja 9 Eto 6 ; 9 singulariteetissa saadaan tällöin sijoittamalla :n lausekkeeseen FA(', jolloin saadaan ; % (' < ('ßéˆ ; ja uomaamalla, että jos (', saadaan pelkästään triviaaliratkaisu Mê(' Varieteetti ¾± 9 saadaan nyt käyttämällä pelkästään ytälöitä M' 9 ja voidaan ratkaista % ; 1 A öì ; 13 ë' : Jos (6) ë' ª, niistä (61)

14 Ë Û % Û ; Û % Û Û â % 9 ä ' ja 9 sijoitettaessa nämä ytälö ' toteutuu identtisesti Lausekkeissa esiintyvät ¾k 1 - ja ì -merkit eivät nytkään ole osoitus siitä, että pinta leikkaisi itsensä, sillä koska ; í' ª, aarat eivät ydy missään Jos taas = = ', voidaan ratkaista suoraan 9 (' < ('#é ; (' < F mitkä toteuttavat identtisesti ytälön 9 neliömatriisin (6) (63) î' Ratkaisun tangentti voidaan siis laskea singulariteetissa % I? % ' % % 5 ' % ' ' % ; ' ' % ; ' ' (64) % ' ; ' % ' ; ' Y HO nolla-avaruudesta, sillä Ë :n vasemman alakulman / -osamatriisin determinantti on % 6 % ' ª, sillä ratkaisukäyrällä ; -1 y 1 3 y x 1 Kuva 4: Ratkaisuja tapauksessa 3 Kuvassa 4 näkyy kolme ratkaisukäyrää, jotka leikkaavat toisensa pisteessä alkupisteet ja vastaavat klassisen ratkaisun (54) á á á % % % Û (' ; % ä arvot ovat: ' ; Niiden Ratkaisukäyrät on laskettu ja piirretty nytkin []-läteen ojelman avulla 14

15 Ë % % Å Å ' è 43 Tapaus 5 Tapauksessa 5 matriisin % ' ' ' ' '? % % ' % % ; ' ' ' ; ' ' % ' ; ' % ' ; ' H Š 9 nolla-avarus on singulariteetissa kaksiulotteinen, sillä samoin kuin tapauksessa nädään ytälöistä ï(', että AF Primääridekompositioksi saadaan nyt missä % % % % Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat 8 % % % % % Ë Jätetään jälleen 9 uomiotta muut kuin järjestyksessä 9,, 9 ja 9 9 Ytälöistä 9 AF %? 9 jotka toteuttavat ytälöt 9 (' Å % % (65) (66) % % % % N% % (67) (68) ja merkitään sen virittäjiä ytälössä (68) esiintyvässä (' voidaan nyt ratkaista suoraan 6F Ratkaisukäyrän tangentti määräytyy singulariteetissa siis neliömatriisin % (69) % % ; % ; % ' % ; ' %? ' % ; ' % ' % ; ' ' % ; ' ' (7) % ' ; ' % ' ; ' Š nolla-avaruudesta, joka on yksiulotteinen paitsi, kun (' Jos º', seuraa ytälöstä 9 Ẍº', että µð' Tämä tilanne vastaa vain ytä yksittäistä klassista ratkaisua: arvon täytyy olla, jolloin M ñ çæ Tällöin mistään ideaalin polynomista ei saada etoa - eikä -komponentille, joten ratkaisukäyrän seuraaminen ei onnistu Systeemin jatkaminen uudelleen saattaisi tällöin tuottaa tuloksia Kuvassa 5 on piirrettynä kaksi tapauksen 5 ratkaisukäyrää, joiden alkupisteet ja niitä vastaavat klassisen ratkaisun A (71) arvot ovat: 15

16 I Û % y y x - Kuva 5: Ratkaisuja tapauksessa 5 á á % % çæ % I ; % ; Ratkaisukäyrät leikkaavat toisensa singulariteetissa korkeudella 1 Huomattakoon jälkimmäisen ratkaisun kodalla mielenkiintoinen kulkeminen sateenvarjon ledeltä toiselle laakson A(' kautta 5 Yteenveto Systeemin jatkaminen ja primääridekomposition soveltaminen väärien komponenttien poistamiseen osoittautui Witneyn sateenvarjon kodalla toimivaksi menetelmäksi singulariteetin poistamiseen / Tapauksessa 5 jäi yksittäinen ratkaisu, jonka laskeminen ei onnistunut ratkaisu kulki singulariteetin kautta / :ssäkään alkuperäisen systeemin singulariteettikodassa Tämä tilanne muistuttaa tapauksen 1 tilannetta, jossa vain yksi :ssä Systeemin jatkaminen saattaisi auttaa molemmissa tapauksissa, mutta sitä ei kokeiltu Menetelmä vaatii jonkin verran käsityötä sen analysoinnissa, mitkä primääridekomposition antamista ideaaleista jätetään uomiotta, kun alutaan poistaa varieteetin epäoleelliset komponentit Jotta menetelmästä saataisiin elppokäyttöinen algoritmi, tämä askel pitäisi saada automatisoitua Tällöin olisi myös syytä selvittää teoreettisesti, onko tällainen ylipäätään aina madollista 16

17 ò Merkinnät š _ b 7 ô ô ¾ _ ô ô f ô r Vastaa 7ó Moniston ô lokaalin koordinaatin õ suuntainen kantavektori tangenttiavaruudessa _ õ Moniston ô koordinaattifunktion õ differentiaali eli _ j œ Ÿ / _ j / :n 7 7ó :lle duaalinen kantavektori Vektoriavaruuden ¾ dimensio Tavallisten reaalisten differentiaaliytälöiden ensimmäisen kertaluvun suikuavaruus Tavallisten reaalisten differentiaaliytälöiden d toisen kertaluvun suikuavaruus Luonnollisten ; lukujen joukko Matriisin nolla-avaruus Kanoninen projektio Reaalilukujen joukko Moniston ô tangenttiavaruus :n duaali eli moniston ô tangenttiavaruuden lineaaristen funktionaalien lineaariavaruus Nimitykset Distribuutio Distribution 3 Integraalimonisto Integral manifold 3 Jatkaminen, jatko Prolongation 31 Kontaktimuoto ontact form, 31 Noeterin rengas Noeterian ring 3 Primääridekompositio Primary decomposition 3 Suikuavaruus Jet space 1 Varieteetti Variety 3 17

18 ö Viitteet [1] Teijo Arponen, Jukka Tuomela, On te Numerical Solution of Involutive Ordinary Differential Equations: Numerical Results, Researc Report A37, Institute of Matematics, Helsinki University of Tecnology, 1996 [] Teijo Arponen, Differentiaalialgebrallisten ytälöiden numeerinen laskenta, diplomityö Teknillisen korkeakoulun teknillisen matematiikan ja fysiikan osastolla, 1996 [3] Tomas Becker, Volker Weispfenning, Gröbner Bases: A omputational Approac to ommutative Algebra, Springer-Verlag, 1993 [4] William M Bootby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Second Edition, Academic Press, 1986 [5] David ox, Jon Little, Donal O Sea, Ideals, Varieties, Algoritms, Springer-Verlag, 199 [6] Ricard D Jenks, Robert S Sutor, Axiom: Te Scienti c omputation System, Springer-Verlag, 199 [7] Klaus Jänic, Vektoranalysis, Auage, Springer-Verlag, 1993 [8] W Keit Nicolson, Introduction to Abstract Algebra, PWS-Kent, 1993 [9] Jukka Tuomela, On te Numerical Solution of Involutive Ordinary Differential Equations, Researc Report A383, Institute of Matematics, Helsinki University of Tecnology,

19 Liite 1 Axiom-komentojonot Primääridekomposition laskemiseen on käytetty seuraavia axiom-komentojonoja: Tapaus dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y*y1**-x^; -- tapaus )read djaprdec Tapaus 3 dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y1*x**-y**; -- tapaus 3 )read djaprdec Tapaus 5 dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y*x**-y1**; -- tapaus 5 )read djaprdec Näissä talletetaan Orderly DifferentialPolynomial -tyyppiseen muuttujaan p1 käsiteltävä 9 polynomi / ³ Vapaata muuttujaa merkitään x:llä ja ratkaisua y:lla Ratkaisun derivaattoja ja merkitään y1:llä ja y:lla Lopuksi kutsutaan jäljempänä esitettävää djaprdec-komentojonoa Yteinen osuus: djaprdec p:=d(p1); pz1:=(eval(p1,[y1=z1,y=z]) :: DMP([z,z1,z,x],FRA INT)); pz:=(eval(p,[y1=z1,y=z,y=z]) :: DMP([z,z1,z,x],FRA INT)); idp:=ideal([pz1,pz]); radical(idp) dec:=primarydecomp(idp); #dec for i in 1#dec repeat output deci for i in 1#dec repeat output radical(deci) Yteisessä osuudessa derivoidaan ensin p1:llä merkitty polynomi 9 Näin saatava jatko talletetaan nimelle p 19

20 Seuraavaksi p1 ja p muunnetaan Distributed Multivariate Polynomial -tyyppisiksi ja tallennetaan nimille pz1 ja pz, koska primääridekompositio on määritelty axiomissa vain tämäntyyppisten olioiden virittämille ideaaleille Näissä polynomeissa merkitään :ää edelleen x:llä, mutta :tä ja sen derivaattoja ja merkitään z:lla, z1:llä ja z:lla Polynomien pz1 ja pz virittämä ideaali tallennetaan muuttujaan idp ja sen radikaali-ideaali lasketaan mielenkiinnon vuoksi Seuraavaksi lasketaan idp:n primääridekompositio ja se tallennetaan muuttujaan dec Lopuksi tulostetaan primääridekomposition ideaalit sekä niiden radikaali-ideaalit

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio

Taso. Hannu Lehto. Lahden Lyseon lukio Taso Hannu Lehto Lahden Lyseon lukio Taso avaruudessa Piste P 0 ja tason normaalivektori n määräävät tason. n=a i+b j+c k P 0 (x 0,y 0,z 0 ) Hannu Lehto 17. syyskuuta 2010 Lahden Lyseon lukio 2 / 7 Taso

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari

Sijoitusmenetelmä. 1.2. Yhtälöpari MAB Yhtälöpari Yhtälöpari Yhtälöparilla tarkoitetaan tilannetta, missä on kaksi htälöä, joiden tät toteutua htä aikaa Tämä on sama asia kuin että kstään, missä pisteessä tai missä pisteissä htälöitä vastaavat

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät

1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,

Lisätiedot

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0

Tensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0 Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet

Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima

Lineaarialgebra MATH.1040 / voima Lineaarialgebra MATH.1040 / voima 1 Seuraavaksi määrittelemme kaksi vektoreille määriteltyä tuloa; pistetulo ja. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta.

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2015

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2015 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 25 MATRIISIALGEBRA, s. 25, Ratkaisuja/ M.Hamina 2. Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V seuraavissa tapauksissa. a V = R 3 ja S = {(, 4,3,(,3,,(3, 5,,(,2, 2}.

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

6.1 Lineaarinen optimointi

6.1 Lineaarinen optimointi 6.1 Lineaarinen optimointi Suora a + b + c = 0 jakaa -tason kahteen puolitasoon. Tason jokainen piste, joka on suoralla, toteuttaa suoran htälön ja kääntäen. Jos siis tason mielivaltaisen pisteen koordinaatit

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen.

Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Pns ratkaisu (Kr. 20.5, Lay 6.5 C-II/KP-II, 20, Kari Eloranta Monissa käytännön ongelmissa ei matriisiyhtälölle Ax = b saada ratkaisua, mutta approksimaatio on silti käyttökelpoinen. Määritelmä Jos A on

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus

Lisätiedot

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään

(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.

Lisätiedot

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut

Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet (Mikkola/Ärölä) 4. harjoituksen ratkaisut Teknillinen korkeakoulu Mat-5.187 Epälineaarisen elementtimenetelmän perusteet Mikkola/Ärölä 4. harjoituksen ratkaisut Teht. 1 Jacobin determinantin J det F materiaalisen aikaderivaatan laskemiseksi lasketaan

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.

( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto. Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Palmikkoryhmät kryptografiassa

Palmikkoryhmät kryptografiassa Palmikkoryhmät kryptografiassa Jarkko Peltomäki 27. marraskuuta 2010 Palmikkoryhmät ovat epäkommutatiivisia äärettömiä ryhmiä. Niillä on monimutkainen rakenne, mutta toisaalta niillä on geometrinen tulkinta

Lisätiedot

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa

2.3. Lausekkeen arvo tasoalueessa Monissa käytännön tilanteissa, joiden kaltaisista kappaleessa Epäyhtälöryhmistä puhuttiin, tärkeämpää kuin yleinen mahdollisten ratkaisujen etsiminen, on löytää tavalla tai toisella jotkin tavoitteet täyttävät

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

LINEAARIALGEBRA, osat a ja b

LINEAARIALGEBRA, osat a ja b LINEAARIALGEBRA, osat a ja b Martti E. Pesonen Epsilon ry. huhtikuuta 06 LUKIJALLE Lineaarialgebran kursseja edeltäviksi opinnoiksi suositellaan jotain lukion matematiikkaa teoreettiselta kannalta täydentävää

Lisätiedot

Luento 3: 3D katselu. Sisältö

Luento 3: 3D katselu. Sisältö Tietokonegrafiikan perusteet T-.43 3 op Luento 3: 3D katselu Lauri Savioja Janne Kontkanen /27 3D katselu / Sisältö Kertaus: koordinaattimuunnokset ja homogeeniset koordinaatit Näkymänmuodostus Kameran

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit

Renkaat ja modulit. Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Renkaat ja modulit Tässä osassa käsiteltävät renkaat ovat vaihdannaisia, ellei toisin mainita. 6. Ideaalit Tekijärenkaassa nollan ekvivalenssiluokka on alkuperäisen renkaan ideaali. Ideaalin käsitteen

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Matematiikka vuosiluokat 7 9

Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikka vuosiluokat 7 9 Matematiikan opetuksen ydintehtävänä on tarjota oppilaille mahdollisuus hankkia sellaiset matemaattiset taidot, jotka antavat valmiuksia selviytyä jokapäiväisissä toiminnoissa

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2

Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Riikka Kangaslampi Syksy 214 2 Esipuhe Tämä on Aalto-yliopiston Matematiikan ja systeemianalyysin laitoksen kurssin ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 tueksi

Lisätiedot

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio

3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio 3.1 Funktion käsite. Ensiasteen polynomifunktio Arkikielessä saatetaan sanoa esimerkiksi niin, että auton jarrutusmatka on vauhdin funktio tai että jäätien kantavuus on jään paksuuden funktio. Nämä sanonnat

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot