Mat Matematiikan erikoistyöt Whitneyn sateenvarjo suihkuavaruudessa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Mat-1.139 Matematiikan erikoistyöt Whitneyn sateenvarjo suihkuavaruudessa"

Transkriptio

1 Mat-1139 Matematiikan erikoistyöt Witneyn sateenvarjo suikuavaruudessa Kenrick Bingam A, Tf ttp://wwwutfi/ kenny/

2 Sisältö 1 Jodanto 3 Singulaarinen systeemi suikuavaruudessa 3 1 Witneyn sateenvarjo 3 Klassiset ratkaisut 5 3 Ratkaiseminen suikuavaruusmenetelmällä 5 4 Ongelmia 6 41 Tapaus Tapaukset ja Tapaus Tapaukset 4 ja Systeemin jatkaminen ja primääridekompositio 7 31 Jatkaminen 7 3 Primääridekompositio 9 4 Jatkettujen systeemien ratkaiseminen 1 41 Tapaus 1 4 Tapaus Tapaus Yteenveto 16 Merkinnät ja nimitykset 17 Viitteet 18 Liite 1: Axiom-komentojonot 19

3 1 Jodanto Differentiaaligeometrinen menetelmä on eräs tavallisten differentiaaliytälöiden ratkaisumenetelmä Siinä tarkastellaan geometrisesti differentiaaliytälön määräämää pintaa suikuavaruudessa Suikuavaruutta voidaan ajatella :na, jossa koordinaatit ovat differentiaaliytälön vapaa muuttuja, ratkaisu ja sen derivaatat Differentiaaliytälön ratkaisukäyrä kulkee tällä pinnalla Käyrän suunta pinnan kussakin pisteessä määräytyy, kun uomioidaan lisäksi :den derivaattaluonne Ratkaisukäyrää voidaan laskea numeerisesti etenemällä aina pieni askel kerrallaan näin laskettuun suuntaan Jos pinta leikkaa itsensä, saattaa ratkaisukäyrän suunnan laskeminen tuottaa ongelmia: kun eri ledillä kulkevat ratkaisukäyrät leikkaavat toisensa, ratkaisukäyrän kulkusuunta ei ole yksikäsitteinen niiden leikkauspisteessä Jos kuitenkin ratkaisukäyrien korkeamman kertaluvun derivaatat eroavat, voidaan siirtyä korkeamman kertaluvun suikuavaruuteen, jossa ratkaisukäyrät kulkevat erillään, eikä pinta enää leikkaa itseään Korkeamman kertaluvun derivaatoille saadaan riippuvuuksia derivoimalla alkuperäistä differentiaaliytälöä :n suteen, ja poistamalla pinnasta epäoleelliset osat yödyntäen kommutatiivisen algebran ns primääridekompositiota Tässä erikoistyössä tarkastellaan esimerkkinä erästä itsensä leikkaavaa pintaa, ns Witneyn sateenvarjoa, kolmiulotteisessa suikuavaruudessa Koska kolme koordinaattia voidaan ajatella :ksi, :ksi ja :ksi tavalla, saadaan kuusi erilaista tapausta Näistä kolmessa leikkauskodan kautta kulkee useita ratkaisuja Leikkauskota saadaan kaikissa kolmessa tapauksesa kierrettyä siirtymällä neliulotteiseen avaruuteen Differentiaaligeometrinen menetelmä soveltuu myös differentiaaliytälösysteemien ratkaisemiseen, jolloin joudutaan toimimaan väintään viidessä ulottuvuudessa (,,,, ) Tässä erikoistyössä on avainnollisuuden ja yksinkertaisuuden vuoksi rajoituttu tarkastelemaan yden tuntemattoman funktion differentiaaliytälöitä Lukijalle lienee eduksi differentiaaligeometrian ja algebran peruskäsitteiden tuntemus esimerkiksi läteiden [7] ja [8] pojalta Koko ajan liikutaan kuitenkin :ssa ja :ssa, joten ensimmäisen vuoden korkeakouluopinnot matematiikassa antanevat riittävän pojan asian ymmärtämiselle pääpiirteissään, kenties lukuunottamatta primääridekompositio-osuutta Singulaarinen systeemi suikuavaruudessa 1 Witneyn sateenvarjo Witneyn sateenvarjoksi kutsutaan ytälön!# &% (' (1) ratkaisujoukkoa :ssa Se koostuu pinnasta puoliavaruudessa ' (ks kuva 1) sekä sateenvarjon kavasta +' *) ' Pinta on näistä mielenkiintoisempi osa tarkasteltaessa jatkossa -, differentiaaliytälöitä, jotka saadaan ajattelemalla :a suikuavaruutena / Pinnan poikkileikkaukset -tasossa ovat kaksi toisensa leikkaavaa, origon kautta kulkevaa suoraa, 3

4 joiden kulmakertoimet ovat 1# Poikkileikkaukset -tasossa puolestaan ovat paraabeleja ja - tasossa käyriä (3 4 5 x x3 1 4 x Kuva 1: Witneyn sateenvarjon pinta Kyseessä ei ole -monisto, sillä pinta leikkaa itsensä pitkin positiivista -akselia Sitä voidaan kuitenkin tarkastella moniston osajoukkona, jolloin, ja ovat :n lokaaleja koordinaatteja Avaruus voidaan nyt tulkita suikuavaruudeksi /, kun muuttujien, ja ajatellaan olevan differentiaaliytälön vapaa muuttuja, differentiaaliytälön ratkaisu ja sen derivaatta Muuttujat, ja voidaan samaistaa muuttujiin, ja kuudella eri tavalla: Tällöin ytälö (1) määrää differentiaaliytälön (' () jonka ratkaisukäyrä kulkee sateenvarjopinnalla Singulariteetissa eli sillä suoralla, jolla pinta leikkaa itsensä, ratkaisun käyttätymiseltä tai sen laskemiselta voidaan odottaa jotakin erikoista 4

5 ; I T 9 b E 9 _ B 9 ^ B g g E B ) ) : Klassiset ratkaisut Differentiaaliytälölle () saadaan kaikilla eri permutaatioilla klassiset ratkaisut: % ('(< = < 8> < A B % D ('(< 6 1 E < F< ' % ('(< 6 = < % % < A = HG % ('(< 1 < J KMLNLO 1? J < SR ' N% ('(< 16 U< 1 = < 1 = ' N% ('(< 6 1 < J KMLVLW 1? J LX< Q Y>[Z = -R ' 3 Ratkaiseminen suikuavaruusmenetelmällä Differentiaaliytälöä voidaan läteä ratkaisemaan suikuavaruudessa numeerisesti seuraavalla differentiaaligeometrisella menetelmällä [1,, 9] on 1-kodimensioinen tangentti- 9 Pinnan \' tangenttitaso pisteessä ] S^ / avaruuden _ / a` aliavaruus b 9c ëd 'f# g ^ / a` L b 9 g (' missä (3) b 9 i? b? b ^ _kj / l (4) 9 9 on :n differentiaali Koska differentiaaliytälön ratkaisukäyrä kulkee pinnalla (', sen tangenttivektori sijaitsee tässä tasossa Suikuavaruuden rakenteesta ei vielä käy ilmi, että :n pitää olla ratkaisukäyrällä :n derivaatta: m Tämä eto voidaan kirjoittaa kontaktimuodon n&6 b % b _kj / l (5) avulla no g p', mikä sekin määrää 1-kodimensioisen aliavaruuden eli tason _ / a` :ssä 3 Ratkaisukäyrän tangenttivektori sijaitsee myös tässä tasossa Ytälöt b 9 g (no g (' (6) määräävät siis pisteessä ] aliavaruuden, joka määrää ratkaisukäyrän tangenttivektorin suunnan yksikäsitteisesti, jos sen dimensio on 1 eli jos tasot leikkaavat toisensa Näiden aliavaruuksien muodostamaa kimppua kutsutaan systeemin distribuutioksi ja ratkaisukäyrää distribuution integraalimonistoksi Jos merkitään tangenttivektoria normaalikannassa gmqg? g? g sr g ut (7) Funktion differentiaali vastaa vvw :n vektorianalyysin Jacobin matriisia, joten ytälö xzyw{} ~& voidaan kirjoittaa kenties ˆ 3 Huomattakoon, että ytälö Š5Œx 6Žm Š x #ˆ saadaan formaalisti kertomalla ytälö Š a x :llä tutummin merkinnöin #y ƒ 5

6 R d ytälöt (6) voidaan kirjoittaa matriisimuodossa ts(' missä (8) Š % ; ' (9) nolla-avaruutta š t L ts('yf ; Distribuutio vastaa siis kussakin pisteessä matriisin Jos nyt matriisin rangi on eli œž ŸSš, ratkaisukäyrää voidaan läteä seuraamaan etenemällä lyyt askel distribuution suuntaan ja projisoimalla näin saatu piste takaisin monistolle 4 Ongelmia Jos kuitenkin œ ŸSš, distribuutio ei määrää ratkaisukäyrän suuntaa, eikä ratkaisukäyrää voida laskea tällä menetelmällä Tilanne on tällainen esimerkiksi pinnan () leikkaussuoralla 41 Tapaus 1 Koska tapauksessa 1 singulariteetissa FA(' matriisin % ; ' % D % H, joten singulariteetissa ratkaisu- toinen vaakarivi on nollarivi, on distribuution dimensio œž ŸSš käyrän seuraaminen on madotonta % ; ' ' ' ' (1) Jos klassiseen ratkaisuun B sijoitetaan singulariteetti s', saadaan ' Singulariteetin kautta kulkee siis ainoastaan ratkaisu M 4 Tapaukset ja 5 Tapauksessa singulaariset ratkaisut ovat sellaisia, joissa F (' Klassisen ratkaisun ensimmäinen derivaatta on c äb (11) joten kaikki ratkaisut kulkevat singulariteetin kautta Nyt on edellisen lisäksi se ongelma, että korkeudella kulkee nyt kaksi ratkaisua, jotka :n 1 (1) Singulariteetissa joten taas œ ŸSš % ; ' % % D H Š ' ; ' ' ' ' (13) Tapauksessa 5 tilanne on samanlainen: Ensimmäinen derivaatta on 1 = (' 6 (14)

7 ; R kun ', joten kaikki ratkaisut kulkevat singulariteetin kautta Korkeudella kulkee taas kaksi ratkaisua, jotka :n 1 Distribuution dimensio on jälleen, koska % ; ' % % H Š ' ; ' ' ' ' (15) 43 Tapaus 3 Nyt ratkaisut A HG kulkevat kaikki singulariteetin FA(' kautta Lisäksi ; ; kun ', joten kaikki ratkaisukäyrät kulkevat lisäksi korkeudella ; (16) Saman pisteen kautta ei siis kulje nyt ainoastaan kaksi ratkaisua, vaan ääretön määrä ratkaisuja Ratkaisukäyrää ei voida seurata singulariteetissa, koska ja siis œž ŸSš % ; ' % % Y HO ' ; ' ' ' ' (17) 44 Tapaukset 4 ja 6 Tapauksissa 4 ja 6 singulariteetti ei aieuta ongelmia Ytälölle :n eri arvoilla erilaisia eksponenttimuotoisia ratkaisuja, jotka on määritelty :n positiivisilla arvoilla Niistä mitkään eivät kulje singulariteetin MF ' kautta :n arvolla saadaan triviaaliratkaisu A(', joka vastaa sateenvarjon kavaa Tapauksessa 4 ratkaisukäyrä määräytyy matriisin % ; ' % % (18) nolla-avaruudesta Muualla kuin triviaaliratkaisulla mª ', joten ainoastaan triviaaliratkaisulla œ ŸSš Myös tapauksessa 6 matriisin % ; ' % % (19) nolla-avaruus on yksiulotteinen, kun (' ª 3 Systeemin jatkaminen ja primääridekompositio 31 Jatkaminen Systeemin jatkamisella tarkoitetaan alkuperäisen differentiaaliytälön 9 (' () 7

8 g g b n n b ^ ' ^ _ «derivoimista :n suteen, jolloin saadaan uusi ytälö Se saa tapauksissa 1 6 seuraavat muodot: (' (1) % % D (' () % D % (' (3) % % (' (4) D % % (' (5) [ % % A(' (6) % D % (' (7) jatkon differentiaalille saadaan b M+? b? b? b _kj / l / Ytälöt () ja (1) määrittelevät neliulotteisessa avaruudessa kaksiulotteisen pinnan, jolla ratkaisut kulkevat Sen tangentin määräävät nyt kaksi ytälöä Entinen ytälö b 9 g (' muuntuu muotoon b 9 g b 9 b N g l (' (8) / ± missä ±²³ ±^ / on kanoninen projektio Sen lisäksi j b g (' (3) Kontaktimuotojakin on nyt kaksi Entisestä kontaktimuodosta no ^ _ j / l saadaan kanonisella projektiolla 1-muoto j n ^ / l _ j Ytälön j no g (n& b N g ' (31) lisäksi on :n derivaattaominaisuuden = = määrittelevä ytälö g (' missä (9) (3) b % / l _kj (33) on toinen kontaktimuoto Ytälöt (8), (3), (31) ja (3) ovat nyt matriisimuodossa tµ ' (34) missä ja tµ g g I Fgq r? g Š Š % ; ' 7 ' = % ' ; '? g? g Fg ^ / l (35) (36) 8

9 d ] d Ã Ä Ä ^ Ã Ó Ä Ä ` f à ^ Ê Koska nämä ytälöt ovat differentiaaliytälöstä konsistentisti jatkettuja ytälöitä, matriisia vastaavan l lineaarikuvauksen ydin on väintään yksiulotteinen Jos œ ŸSš ;, differentiaaliytälön ratkaisuja voidaan laskea edellä esitetyllä menetelmällä :ssä ei ole monisto, vaan se leikkaa itsensä, joten ratkaisukäyrän seuraaminen on madotonta leikkauskäyrän pisteissä; lisäksi läellä singulariteettia se voi olla numeerisesti vaikeaa Jatketun systeemin kodalla tilanne voi olla samanlainen, jolloin ratkaisukäyrän laskeminen ei onnistu pinnan leikkauspisteissä Ytälön 9 ' määräämä pinta / 3 Primääridekompositio Ytälöiden 9 ' [8] 8 ¹º' määräämää pintaa voidaan tarkastella polynomien 9 ja virittämän ideaalin 9 af inina varieteettina [5] ¾k 8 d 9?*¼ ½L ] ja ¼ muuttujien,, ja polynomeja f (37) V^ / L ] ^ ^ ja À ª Ideaalia sanotaan primääri-ideaaliksi, jos aina kun À Á Primääridekompositioksi kutsutaan renkaan  ideaalin ajotelmaa missä primääri-ideaalit 1 Mikään Ä ª Ç Ä ^ Ã Ä Â toteuttavat seuraavat edot: Ä ei sisällä muiden ideaalien leikkausta, kun È É ª ('6 ], niin Á ^ 8 ^ (38) jollakin ] (39) &Å ÆÆ ÆÅ Ä c Å Å Æ ÆÆYÅ Primääridekompositio on yödyllinen konstruktio, jos rengas   :n ideaalilla on äärellinen määrä virittäjiä: on Noeterin rengas eli kun jokaisella Lause 31 Noeterin renkaan aidolla ideaalilla on yksikäsitteinen primääridekompositio Todistus löytyy läteestä [3] 8 voidaan siis muodostaa primääri- Koska tarkasteltavat ideaalit ovat äärellisesti viritettyjä, ideaalille dekompositio Jättämällä leikkauksen ideaaleista osa pois saadaan laajempi ideaali Ë 8 8 Ä ÄWÌ8ÍmÎÏ Ð ÐÒÑ ÑÒÑ Ð (4) (41) Sen varieteetti on vastaavasti pienempi, koska varieteetin pisteille asetetaan enemmän rajoituksia Sopivalla valinnalla voidaan saada se varieteetti, jolla differentiaaliytälön ratkaisuna mielekäs käyrä kulkee Koska kiinnostuksen koteena on läinnä ideaalin varieteetti, voidaan alkuideaalien sijaan tarkastella niiden radikaali-ideaaleja Ä ] L ]DÕ jollakin Ö f, sillä ^ 9

10 Ê ^ ^ Å ^ ' ^ Lause 3 Jos on ideaalin uø mielival- Todistus Koska selvästi ¾± Olkoon mielivaltainen, jolloin siis ] tainen Tällöin ¼ ^ Õ jollakin Ö radikaali-ideaali, niin varieteetit ¾k ja ¾k l, niin ¾k Ø ¾k, joten riittää osoittaa, että ¾k Ø ¾k ' ¾k kaikille ] Olkoon ¼ ^, joten ¼ l Õ U' ja siis myös ¼ U' ¾k Siten ovat samat Primääridekompositio ja radikaali-ideaalit on laskettu Axiom-ojelmiston [6] avulla Käytetyt komentojonot on esitetty liitteessä 1 4 Jatkettujen systeemien ratkaiseminen 41 Tapaus Tapauksessa jatko on Tällöin singulariteetissa % D % (' (4) % % D ' ' ' ' ' % [ % % % ' % % ; ' ' ' ; ' ' (43) % ' ; ' % ' ; ' H Š[ l joten œ ŸSš, täsmälleen silloin kuin 9 ;, jolloin :n vasemman alakulman / -alimatriisin determinantti on nolla Kuten ytälöistä Ù ' käy ilmi, ratkaisukäyrillä nimenomaan pätee singulariteetissa D ; l, joten š ei määrää ratkaisukäyrän suuntaa singulariteetissa Ratkaisun seuraaminen onnistuu kuitenkin yödynnettäessä primääridekompositiota missä Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat Huomattakoon, että ideaalin 8 8 &Å (44) 6 [ % Ú? % Ú % Ú %? % Ú? N%? % Ú? % % %? %? % Ú? radikaali-ideaali on %? Ú? N%? % % % 1? N% (45) (46) % (47)

11 9 Ë I ; % ; ; âû â B B B c 9 B ja :n virittäjät saadaan lisäämällä tämän virittäjiin polynomi %? 9 %, ja että tässä, kuten muillakin permutaatioilla, viimeisessä ideaalissa esiintyy alkuperäinen ytälö (', joiden varieteetit ovat systeemin singulari- Jätetään uomiotta mielenkiinnottomat ideaalit teetti ja origo Valitaan siis 8 Merkitään (' saadaan ratkaistua Ë ja :n virittäjiä ytälössä (46) esitetyssä järjestyksessä 9, 9, 9, 9 ja 9eÛ Asettamalla 9 6 FD? % 1 (48) Neliöjuuren merkin eri valinnoilla saatavat pinnat eivät leikkaa toisiaan, sillä kun ³ ', ³ÝÜ Kun nämä :n ja :n lausekkeet sijoitetaan ytälöiin 9 ', 9 ' 9ÞÛ ja ', ne toteutuvat identtisesti Täten :n informaatio sisältyy jo polynomeiin 9 9 ja siinä mielessä, että ¾k ¾k l ¾kl 9 l (49) Tämä on numeeristen laskujen kannalta mukavaa, koska distribuutio voidaan nyt laskea neliömatriisin nolla-avaruudesta 7 Š 78 Š 7 Š 7 Š Š 7 7 = 78 = 78 7 = 7 78 = 7 Š 7 = % ; ' ' = % ' ; ' Lausekkeista (48) nädään, että -akseli ei leikkaa pintaa ¾k A D % ; % % ;? % ; ' ' % ' ; (5) Tämä sopii yteen klassisen ratkaisun (51) kanssa sikäli, että ainoa ytälöt uùußà' toteuttava ratkaisu :n arvolla, jonka toinen derivaatta läestyy ääretöntä, kun ³ ' = (5) Kuvassa on piirrettynä kolme tapauksen ratkaisukäyrää, joiden alkupisteet ja niitä vastaavat klassisen ratkaisun arvot ovat: á á á % % % ; > % ;Y; % > ä ;Y; % ä Näistä kaksi ensimmäistä leikkaa toisensa singulariteetissa korkeudella > Kolmas läpäisee singulariteetin korkeudella >lå çæ Laskut on tety Matematica-ojelmistolla käyttäen läteessä [] esiteltyä ojelmaa Kuvassa 3 on piirretty -tasoon pisteestä % ; askelta, toleranssi,1) sekä tarkka ratkaisu A % ä 11 ; ;Y; lätien numeerisesti laskettu ratkaisu (1 (53)

12 4 x y y Kuva : Ratkaisuja tapauksessa Kuva 3: Tarkka (out viiva) ja numeerisesti laskettu ratkaisu (paksu viiva) tapauksessa 1

13 â % % ' % Å Å B è 4 Tapaus 3 Tapauksen 3 kaikki klassiset ratkaisut kulkevat / :ssä pisteen A ' ; kautta, minkä takia ratkaisukäyrän suunnan laskeminen tuossa pisteessä ei voi onnistua Systeemin jatkaminen auttaa, sillä toinen derivaatta riippuu sillä (54) (55) arvosta Jatketun systeemin distribuutio on singulariteetissa silti kaksiulotteinen, % '? % % % ; ' ' % ' ; ' HO jonka / -alimatriisin determinantti % (', onan 6 ; ' ' ' ' % ' ' % ; ' ' % ' ; ' kaikilla ratkaisuilla (56) Eteenpäin päästään käyttämällä primääridekompositiota 8 &Å (57) missä 6 % %? ; %? % %? %? Ú %?????? %? %? % Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat % ;? %? Näistä ylätään taas mielenkiinnottomina muut kuin % Ú? %? (58) (59), jonka virittäjiä merkitään ytälössä (59) esi- 9 tetyssä järjestyksessä 9, ja 9 Eto 6 ; 9 singulariteetissa saadaan tällöin sijoittamalla :n lausekkeeseen FA(', jolloin saadaan ; % (' < ('ßéˆ ; ja uomaamalla, että jos (', saadaan pelkästään triviaaliratkaisu Mê(' Varieteetti ¾± 9 saadaan nyt käyttämällä pelkästään ytälöitä M' 9 ja voidaan ratkaista % ; 1 A öì ; 13 ë' : Jos (6) ë' ª, niistä (61)

14 Ë Û % Û ; Û % Û Û â % 9 ä ' ja 9 sijoitettaessa nämä ytälö ' toteutuu identtisesti Lausekkeissa esiintyvät ¾k 1 - ja ì -merkit eivät nytkään ole osoitus siitä, että pinta leikkaisi itsensä, sillä koska ; í' ª, aarat eivät ydy missään Jos taas = = ', voidaan ratkaista suoraan 9 (' < ('#é ; (' < F mitkä toteuttavat identtisesti ytälön 9 neliömatriisin (6) (63) î' Ratkaisun tangentti voidaan siis laskea singulariteetissa % I? % ' % % 5 ' % ' ' % ; ' ' % ; ' ' (64) % ' ; ' % ' ; ' Y HO nolla-avaruudesta, sillä Ë :n vasemman alakulman / -osamatriisin determinantti on % 6 % ' ª, sillä ratkaisukäyrällä ; -1 y 1 3 y x 1 Kuva 4: Ratkaisuja tapauksessa 3 Kuvassa 4 näkyy kolme ratkaisukäyrää, jotka leikkaavat toisensa pisteessä alkupisteet ja vastaavat klassisen ratkaisun (54) á á á % % % Û (' ; % ä arvot ovat: ' ; Niiden Ratkaisukäyrät on laskettu ja piirretty nytkin []-läteen ojelman avulla 14

15 Ë % % Å Å ' è 43 Tapaus 5 Tapauksessa 5 matriisin % ' ' ' ' '? % % ' % % ; ' ' ' ; ' ' % ' ; ' % ' ; ' H Š 9 nolla-avarus on singulariteetissa kaksiulotteinen, sillä samoin kuin tapauksessa nädään ytälöistä ï(', että AF Primääridekompositioksi saadaan nyt missä % % % % Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat 8 % % % % % Ë Jätetään jälleen 9 uomiotta muut kuin järjestyksessä 9,, 9 ja 9 9 Ytälöistä 9 AF %? 9 jotka toteuttavat ytälöt 9 (' Å % % (65) (66) % % % % N% % (67) (68) ja merkitään sen virittäjiä ytälössä (68) esiintyvässä (' voidaan nyt ratkaista suoraan 6F Ratkaisukäyrän tangentti määräytyy singulariteetissa siis neliömatriisin % (69) % % ; % ; % ' % ; ' %? ' % ; ' % ' % ; ' ' % ; ' ' (7) % ' ; ' % ' ; ' Š nolla-avaruudesta, joka on yksiulotteinen paitsi, kun (' Jos º', seuraa ytälöstä 9 Ẍº', että µð' Tämä tilanne vastaa vain ytä yksittäistä klassista ratkaisua: arvon täytyy olla, jolloin M ñ çæ Tällöin mistään ideaalin polynomista ei saada etoa - eikä -komponentille, joten ratkaisukäyrän seuraaminen ei onnistu Systeemin jatkaminen uudelleen saattaisi tällöin tuottaa tuloksia Kuvassa 5 on piirrettynä kaksi tapauksen 5 ratkaisukäyrää, joiden alkupisteet ja niitä vastaavat klassisen ratkaisun A (71) arvot ovat: 15

16 I Û % y y x - Kuva 5: Ratkaisuja tapauksessa 5 á á % % çæ % I ; % ; Ratkaisukäyrät leikkaavat toisensa singulariteetissa korkeudella 1 Huomattakoon jälkimmäisen ratkaisun kodalla mielenkiintoinen kulkeminen sateenvarjon ledeltä toiselle laakson A(' kautta 5 Yteenveto Systeemin jatkaminen ja primääridekomposition soveltaminen väärien komponenttien poistamiseen osoittautui Witneyn sateenvarjon kodalla toimivaksi menetelmäksi singulariteetin poistamiseen / Tapauksessa 5 jäi yksittäinen ratkaisu, jonka laskeminen ei onnistunut ratkaisu kulki singulariteetin kautta / :ssäkään alkuperäisen systeemin singulariteettikodassa Tämä tilanne muistuttaa tapauksen 1 tilannetta, jossa vain yksi :ssä Systeemin jatkaminen saattaisi auttaa molemmissa tapauksissa, mutta sitä ei kokeiltu Menetelmä vaatii jonkin verran käsityötä sen analysoinnissa, mitkä primääridekomposition antamista ideaaleista jätetään uomiotta, kun alutaan poistaa varieteetin epäoleelliset komponentit Jotta menetelmästä saataisiin elppokäyttöinen algoritmi, tämä askel pitäisi saada automatisoitua Tällöin olisi myös syytä selvittää teoreettisesti, onko tällainen ylipäätään aina madollista 16

17 ò Merkinnät š _ b 7 ô ô ¾ _ ô ô f ô r Vastaa 7ó Moniston ô lokaalin koordinaatin õ suuntainen kantavektori tangenttiavaruudessa _ õ Moniston ô koordinaattifunktion õ differentiaali eli _ j œ Ÿ / _ j / :n 7 7ó :lle duaalinen kantavektori Vektoriavaruuden ¾ dimensio Tavallisten reaalisten differentiaaliytälöiden ensimmäisen kertaluvun suikuavaruus Tavallisten reaalisten differentiaaliytälöiden d toisen kertaluvun suikuavaruus Luonnollisten ; lukujen joukko Matriisin nolla-avaruus Kanoninen projektio Reaalilukujen joukko Moniston ô tangenttiavaruus :n duaali eli moniston ô tangenttiavaruuden lineaaristen funktionaalien lineaariavaruus Nimitykset Distribuutio Distribution 3 Integraalimonisto Integral manifold 3 Jatkaminen, jatko Prolongation 31 Kontaktimuoto ontact form, 31 Noeterin rengas Noeterian ring 3 Primääridekompositio Primary decomposition 3 Suikuavaruus Jet space 1 Varieteetti Variety 3 17

18 ö Viitteet [1] Teijo Arponen, Jukka Tuomela, On te Numerical Solution of Involutive Ordinary Differential Equations: Numerical Results, Researc Report A37, Institute of Matematics, Helsinki University of Tecnology, 1996 [] Teijo Arponen, Differentiaalialgebrallisten ytälöiden numeerinen laskenta, diplomityö Teknillisen korkeakoulun teknillisen matematiikan ja fysiikan osastolla, 1996 [3] Tomas Becker, Volker Weispfenning, Gröbner Bases: A omputational Approac to ommutative Algebra, Springer-Verlag, 1993 [4] William M Bootby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Second Edition, Academic Press, 1986 [5] David ox, Jon Little, Donal O Sea, Ideals, Varieties, Algoritms, Springer-Verlag, 199 [6] Ricard D Jenks, Robert S Sutor, Axiom: Te Scienti c omputation System, Springer-Verlag, 199 [7] Klaus Jänic, Vektoranalysis, Auage, Springer-Verlag, 1993 [8] W Keit Nicolson, Introduction to Abstract Algebra, PWS-Kent, 1993 [9] Jukka Tuomela, On te Numerical Solution of Involutive Ordinary Differential Equations, Researc Report A383, Institute of Matematics, Helsinki University of Tecnology,

19 Liite 1 Axiom-komentojonot Primääridekomposition laskemiseen on käytetty seuraavia axiom-komentojonoja: Tapaus dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y*y1**-x^; -- tapaus )read djaprdec Tapaus 3 dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y1*x**-y**; -- tapaus 3 )read djaprdec Tapaus 5 dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y*x**-y1**; -- tapaus 5 )read djaprdec Näissä talletetaan Orderly DifferentialPolynomial -tyyppiseen muuttujaan p1 käsiteltävä 9 polynomi / ³ Vapaata muuttujaa merkitään x:llä ja ratkaisua y:lla Ratkaisun derivaattoja ja merkitään y1:llä ja y:lla Lopuksi kutsutaan jäljempänä esitettävää djaprdec-komentojonoa Yteinen osuus: djaprdec p:=d(p1); pz1:=(eval(p1,[y1=z1,y=z]) :: DMP([z,z1,z,x],FRA INT)); pz:=(eval(p,[y1=z1,y=z,y=z]) :: DMP([z,z1,z,x],FRA INT)); idp:=ideal([pz1,pz]); radical(idp) dec:=primarydecomp(idp); #dec for i in 1#dec repeat output deci for i in 1#dec repeat output radical(deci) Yteisessä osuudessa derivoidaan ensin p1:llä merkitty polynomi 9 Näin saatava jatko talletetaan nimelle p 19

20 Seuraavaksi p1 ja p muunnetaan Distributed Multivariate Polynomial -tyyppisiksi ja tallennetaan nimille pz1 ja pz, koska primääridekompositio on määritelty axiomissa vain tämäntyyppisten olioiden virittämille ideaaleille Näissä polynomeissa merkitään :ää edelleen x:llä, mutta :tä ja sen derivaattoja ja merkitään z:lla, z1:llä ja z:lla Polynomien pz1 ja pz virittämä ideaali tallennetaan muuttujaan idp ja sen radikaali-ideaali lasketaan mielenkiinnon vuoksi Seuraavaksi lasketaan idp:n primääridekompositio ja se tallennetaan muuttujaan dec Lopuksi tulostetaan primääridekomposition ideaalit sekä niiden radikaali-ideaalit

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.

Injektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet

5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet .3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot

2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot 2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III

802320A LINEAARIALGEBRA OSA III 802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja

Lisätiedot

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen

Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Riemannin pintojen visualisoinnista

Riemannin pintojen visualisoinnista Riemannin pintojen visualisoinnista eli Funktioiden R R kuvaajat Simo K. Kivelä 7.7.6 Tarkastelun kohteena olkoon kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio f : C C, f(z) = w eli f(x + iy) = u(x, y)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

2.8. Kannanvaihto R n :ssä

2.8. Kannanvaihto R n :ssä 28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b

7. PINTA-ALAFUNKTIO. A(x) a x b 7. PINTA-ALAFUNKTIO Edellä on käsitelty annetun funktion integraalifunktion määrittämiseen liittyviä asioita kurssille asetettuja vaatimuksia jonkin verran ylittäenkin. Jodantoosassa muistanet mainitun,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Mat. tukikurssi 27.3.

Mat. tukikurssi 27.3. Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit

3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit .4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2

ja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2 Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006

Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006 Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt

Suorien ja tasojen geometriaa Suorien ja tasojen yhtälöt 6. Suorien tasojen geometriaa 6.1. Suorien tasojen yhtälöt 55. Osoita, että yhtälöt x = 3 + τ y = 1 3τ esittävät samaa tason suoraa. Yhteinen piste 1,5) suunta i 3j. x = 1 6τ y = 5 + 9τ 56. Määritä suoran

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.

Tällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI. 39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle.

niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus- ja miinuslaskut vasemmalta oikealle. Alkeistason matikkaa Plus-, miinus-, kerto- ja jakolaskujen laskujärjestys Esim. jos pitää laskea tällainen lasku:? niin järjestys on tämä: ensin kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle, sen jälkeen plus-

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:

Lineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot: Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut

1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen

Lisätiedot