Mat Matematiikan erikoistyöt Whitneyn sateenvarjo suihkuavaruudessa
|
|
- Aurora Kähkönen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-1139 Matematiikan erikoistyöt Witneyn sateenvarjo suikuavaruudessa Kenrick Bingam A, Tf ttp://wwwutfi/ kenny/
2 Sisältö 1 Jodanto 3 Singulaarinen systeemi suikuavaruudessa 3 1 Witneyn sateenvarjo 3 Klassiset ratkaisut 5 3 Ratkaiseminen suikuavaruusmenetelmällä 5 4 Ongelmia 6 41 Tapaus Tapaukset ja Tapaus Tapaukset 4 ja Systeemin jatkaminen ja primääridekompositio 7 31 Jatkaminen 7 3 Primääridekompositio 9 4 Jatkettujen systeemien ratkaiseminen 1 41 Tapaus 1 4 Tapaus Tapaus Yteenveto 16 Merkinnät ja nimitykset 17 Viitteet 18 Liite 1: Axiom-komentojonot 19
3 1 Jodanto Differentiaaligeometrinen menetelmä on eräs tavallisten differentiaaliytälöiden ratkaisumenetelmä Siinä tarkastellaan geometrisesti differentiaaliytälön määräämää pintaa suikuavaruudessa Suikuavaruutta voidaan ajatella :na, jossa koordinaatit ovat differentiaaliytälön vapaa muuttuja, ratkaisu ja sen derivaatat Differentiaaliytälön ratkaisukäyrä kulkee tällä pinnalla Käyrän suunta pinnan kussakin pisteessä määräytyy, kun uomioidaan lisäksi :den derivaattaluonne Ratkaisukäyrää voidaan laskea numeerisesti etenemällä aina pieni askel kerrallaan näin laskettuun suuntaan Jos pinta leikkaa itsensä, saattaa ratkaisukäyrän suunnan laskeminen tuottaa ongelmia: kun eri ledillä kulkevat ratkaisukäyrät leikkaavat toisensa, ratkaisukäyrän kulkusuunta ei ole yksikäsitteinen niiden leikkauspisteessä Jos kuitenkin ratkaisukäyrien korkeamman kertaluvun derivaatat eroavat, voidaan siirtyä korkeamman kertaluvun suikuavaruuteen, jossa ratkaisukäyrät kulkevat erillään, eikä pinta enää leikkaa itseään Korkeamman kertaluvun derivaatoille saadaan riippuvuuksia derivoimalla alkuperäistä differentiaaliytälöä :n suteen, ja poistamalla pinnasta epäoleelliset osat yödyntäen kommutatiivisen algebran ns primääridekompositiota Tässä erikoistyössä tarkastellaan esimerkkinä erästä itsensä leikkaavaa pintaa, ns Witneyn sateenvarjoa, kolmiulotteisessa suikuavaruudessa Koska kolme koordinaattia voidaan ajatella :ksi, :ksi ja :ksi tavalla, saadaan kuusi erilaista tapausta Näistä kolmessa leikkauskodan kautta kulkee useita ratkaisuja Leikkauskota saadaan kaikissa kolmessa tapauksesa kierrettyä siirtymällä neliulotteiseen avaruuteen Differentiaaligeometrinen menetelmä soveltuu myös differentiaaliytälösysteemien ratkaisemiseen, jolloin joudutaan toimimaan väintään viidessä ulottuvuudessa (,,,, ) Tässä erikoistyössä on avainnollisuuden ja yksinkertaisuuden vuoksi rajoituttu tarkastelemaan yden tuntemattoman funktion differentiaaliytälöitä Lukijalle lienee eduksi differentiaaligeometrian ja algebran peruskäsitteiden tuntemus esimerkiksi läteiden [7] ja [8] pojalta Koko ajan liikutaan kuitenkin :ssa ja :ssa, joten ensimmäisen vuoden korkeakouluopinnot matematiikassa antanevat riittävän pojan asian ymmärtämiselle pääpiirteissään, kenties lukuunottamatta primääridekompositio-osuutta Singulaarinen systeemi suikuavaruudessa 1 Witneyn sateenvarjo Witneyn sateenvarjoksi kutsutaan ytälön!# &% (' (1) ratkaisujoukkoa :ssa Se koostuu pinnasta puoliavaruudessa ' (ks kuva 1) sekä sateenvarjon kavasta +' *) ' Pinta on näistä mielenkiintoisempi osa tarkasteltaessa jatkossa -, differentiaaliytälöitä, jotka saadaan ajattelemalla :a suikuavaruutena / Pinnan poikkileikkaukset -tasossa ovat kaksi toisensa leikkaavaa, origon kautta kulkevaa suoraa, 3
4 joiden kulmakertoimet ovat 1# Poikkileikkaukset -tasossa puolestaan ovat paraabeleja ja - tasossa käyriä (3 4 5 x x3 1 4 x Kuva 1: Witneyn sateenvarjon pinta Kyseessä ei ole -monisto, sillä pinta leikkaa itsensä pitkin positiivista -akselia Sitä voidaan kuitenkin tarkastella moniston osajoukkona, jolloin, ja ovat :n lokaaleja koordinaatteja Avaruus voidaan nyt tulkita suikuavaruudeksi /, kun muuttujien, ja ajatellaan olevan differentiaaliytälön vapaa muuttuja, differentiaaliytälön ratkaisu ja sen derivaatta Muuttujat, ja voidaan samaistaa muuttujiin, ja kuudella eri tavalla: Tällöin ytälö (1) määrää differentiaaliytälön (' () jonka ratkaisukäyrä kulkee sateenvarjopinnalla Singulariteetissa eli sillä suoralla, jolla pinta leikkaa itsensä, ratkaisun käyttätymiseltä tai sen laskemiselta voidaan odottaa jotakin erikoista 4
5 ; I T 9 b E 9 _ B 9 ^ B g g E B ) ) : Klassiset ratkaisut Differentiaaliytälölle () saadaan kaikilla eri permutaatioilla klassiset ratkaisut: % ('(< = < 8> >?*@ < A =?*@ B % D ('(< 6 1 E < =?*@ F< A?*@ ' % ('(< 6 = < % % < A = HG % ('(< 1 < J KMLNLO 1? J < SR ' N% ('(< 16 U< 1 = < 1 = ' N% ('(< 6 1 < J KMLVLW 1? J LX< Q Y>[Z = -R ' 3 Ratkaiseminen suikuavaruusmenetelmällä Differentiaaliytälöä voidaan läteä ratkaisemaan suikuavaruudessa numeerisesti seuraavalla differentiaaligeometrisella menetelmällä [1,, 9] on 1-kodimensioinen tangentti- 9 Pinnan \' tangenttitaso pisteessä ] S^ / avaruuden _ / a` aliavaruus b 9c ëd 'f# g ^ / a` L b 9 g (' missä (3) b 9 i? b? b ^ _kj / l (4) 9 9 on :n differentiaali Koska differentiaaliytälön ratkaisukäyrä kulkee pinnalla (', sen tangenttivektori sijaitsee tässä tasossa Suikuavaruuden rakenteesta ei vielä käy ilmi, että :n pitää olla ratkaisukäyrällä :n derivaatta: m Tämä eto voidaan kirjoittaa kontaktimuodon n&6 b % b _kj / l (5) avulla no g p', mikä sekin määrää 1-kodimensioisen aliavaruuden eli tason _ / a` :ssä 3 Ratkaisukäyrän tangenttivektori sijaitsee myös tässä tasossa Ytälöt b 9 g (no g (' (6) määräävät siis pisteessä ] aliavaruuden, joka määrää ratkaisukäyrän tangenttivektorin suunnan yksikäsitteisesti, jos sen dimensio on 1 eli jos tasot leikkaavat toisensa Näiden aliavaruuksien muodostamaa kimppua kutsutaan systeemin distribuutioksi ja ratkaisukäyrää distribuution integraalimonistoksi Jos merkitään tangenttivektoria normaalikannassa gmqg? g? g sr g ut (7) Funktion differentiaali vastaa vvw :n vektorianalyysin Jacobin matriisia, joten ytälö xzyw{} ~& voidaan kirjoittaa kenties ˆ 3 Huomattakoon, että ytälö Š5Œx 6Žm Š x #ˆ saadaan formaalisti kertomalla ytälö Š a x :llä tutummin merkinnöin #y ƒ 5
6 R d ytälöt (6) voidaan kirjoittaa matriisimuodossa ts(' missä (8) Š % ; ' (9) nolla-avaruutta š t L ts('yf ; Distribuutio vastaa siis kussakin pisteessä matriisin Jos nyt matriisin rangi on eli œž ŸSš, ratkaisukäyrää voidaan läteä seuraamaan etenemällä lyyt askel distribuution suuntaan ja projisoimalla näin saatu piste takaisin monistolle 4 Ongelmia Jos kuitenkin œ ŸSš, distribuutio ei määrää ratkaisukäyrän suuntaa, eikä ratkaisukäyrää voida laskea tällä menetelmällä Tilanne on tällainen esimerkiksi pinnan () leikkaussuoralla 41 Tapaus 1 Koska tapauksessa 1 singulariteetissa FA(' matriisin % ; ' % D % H, joten singulariteetissa ratkaisu- toinen vaakarivi on nollarivi, on distribuution dimensio œž ŸSš käyrän seuraaminen on madotonta % ; ' ' ' ' (1) Jos klassiseen ratkaisuun s?@ B sijoitetaan singulariteetti s', saadaan ' Singulariteetin kautta kulkee siis ainoastaan ratkaisu M 4 Tapaukset ja 5 Tapauksessa singulaariset ratkaisut ovat sellaisia, joissa F (' Klassisen ratkaisun ensimmäinen derivaatta on 6?*@ c äb (11) joten kaikki ratkaisut kulkevat singulariteetin kautta Nyt on edellisen lisäksi se ongelma, että korkeudella kulkee nyt kaksi ratkaisua, jotka :n 1 (1) Singulariteetissa joten taas œ ŸSš % ; ' % % D H Š ' ; ' ' ' ' (13) Tapauksessa 5 tilanne on samanlainen: Ensimmäinen derivaatta on 1 = (' 6 (14)
7 ; R kun ', joten kaikki ratkaisut kulkevat singulariteetin kautta Korkeudella kulkee taas kaksi ratkaisua, jotka :n 1 Distribuution dimensio on jälleen, koska % ; ' % % H Š ' ; ' ' ' ' (15) 43 Tapaus 3 Nyt ratkaisut A HG kulkevat kaikki singulariteetin FA(' kautta Lisäksi ; ;?*@ ; kun ', joten kaikki ratkaisukäyrät kulkevat lisäksi korkeudella ; (16) Saman pisteen kautta ei siis kulje nyt ainoastaan kaksi ratkaisua, vaan ääretön määrä ratkaisuja Ratkaisukäyrää ei voida seurata singulariteetissa, koska ja siis œž ŸSš % ; ' % % Y HO ' ; ' ' ' ' (17) 44 Tapaukset 4 ja 6 Tapauksissa 4 ja 6 singulariteetti ei aieuta ongelmia Ytälölle :n eri arvoilla erilaisia eksponenttimuotoisia ratkaisuja, jotka on määritelty :n positiivisilla arvoilla Niistä mitkään eivät kulje singulariteetin MF ' kautta :n arvolla saadaan triviaaliratkaisu A(', joka vastaa sateenvarjon kavaa Tapauksessa 4 ratkaisukäyrä määräytyy matriisin % ; ' % % (18) nolla-avaruudesta Muualla kuin triviaaliratkaisulla mª ', joten ainoastaan triviaaliratkaisulla œ ŸSš Myös tapauksessa 6 matriisin % ; ' % % (19) nolla-avaruus on yksiulotteinen, kun (' ª 3 Systeemin jatkaminen ja primääridekompositio 31 Jatkaminen Systeemin jatkamisella tarkoitetaan alkuperäisen differentiaaliytälön 9 (' () 7
8 g g b n n b ^ ' ^ _ «derivoimista :n suteen, jolloin saadaan uusi ytälö Se saa tapauksissa 1 6 seuraavat muodot: (' (1) % % D (' () % D % (' (3) % % (' (4) D % % (' (5) [ % % A(' (6) % D % (' (7) jatkon differentiaalille saadaan b M+? b? b? b _kj / l / Ytälöt () ja (1) määrittelevät neliulotteisessa avaruudessa kaksiulotteisen pinnan, jolla ratkaisut kulkevat Sen tangentin määräävät nyt kaksi ytälöä Entinen ytälö b 9 g (' muuntuu muotoon b 9 g b 9 b N g l (' (8) / ± missä ±²³ ±^ / on kanoninen projektio Sen lisäksi j b g (' (3) Kontaktimuotojakin on nyt kaksi Entisestä kontaktimuodosta no ^ _ j / l saadaan kanonisella projektiolla 1-muoto j n ^ / l _ j Ytälön j no g (n& b N g ' (31) lisäksi on :n derivaattaominaisuuden = = määrittelevä ytälö g (' missä (9) (3) b % / l _kj (33) on toinen kontaktimuoto Ytälöt (8), (3), (31) ja (3) ovat nyt matriisimuodossa tµ ' (34) missä ja tµ g g I Fgq r? g Š Š % ; ' 7 ' = % ' ; '? g? g Fg ^ / l (35) (36) 8
9 d ] d Ã Ä Ä ^ Ã Ó Ä Ä ` f à ^ Ê Koska nämä ytälöt ovat differentiaaliytälöstä konsistentisti jatkettuja ytälöitä, matriisia vastaavan l lineaarikuvauksen ydin on väintään yksiulotteinen Jos œ ŸSš ;, differentiaaliytälön ratkaisuja voidaan laskea edellä esitetyllä menetelmällä :ssä ei ole monisto, vaan se leikkaa itsensä, joten ratkaisukäyrän seuraaminen on madotonta leikkauskäyrän pisteissä; lisäksi läellä singulariteettia se voi olla numeerisesti vaikeaa Jatketun systeemin kodalla tilanne voi olla samanlainen, jolloin ratkaisukäyrän laskeminen ei onnistu pinnan leikkauspisteissä Ytälön 9 ' määräämä pinta / 3 Primääridekompositio Ytälöiden 9 ' [8] 8 ¹º' määräämää pintaa voidaan tarkastella polynomien 9 ja virittämän ideaalin 9 af inina varieteettina [5] ¾k 8 d 9?*¼ ½L ] ja ¼ muuttujien,, ja polynomeja f (37) V^ / L ] ^ ^ ja À ª Ideaalia sanotaan primääri-ideaaliksi, jos aina kun À Á Primääridekompositioksi kutsutaan renkaan  ideaalin ajotelmaa missä primääri-ideaalit 1 Mikään Ä ª Ç Ä ^ Ã Ä Â toteuttavat seuraavat edot: Ä ei sisällä muiden ideaalien leikkausta, kun È É ª ('6 ], niin Á ^ 8 ^ (38) jollakin ] (39) &Å ÆÆ ÆÅ Ä c Å Å Æ ÆÆYÅ Primääridekompositio on yödyllinen konstruktio, jos rengas   :n ideaalilla on äärellinen määrä virittäjiä: on Noeterin rengas eli kun jokaisella Lause 31 Noeterin renkaan aidolla ideaalilla on yksikäsitteinen primääridekompositio Todistus löytyy läteestä [3] 8 voidaan siis muodostaa primääri- Koska tarkasteltavat ideaalit ovat äärellisesti viritettyjä, ideaalille dekompositio Jättämällä leikkauksen ideaaleista osa pois saadaan laajempi ideaali Ë 8 8 Ä ÄWÌ8ÍmÎÏ Ð ÐÒÑ ÑÒÑ Ð (4) (41) Sen varieteetti on vastaavasti pienempi, koska varieteetin pisteille asetetaan enemmän rajoituksia Sopivalla valinnalla voidaan saada se varieteetti, jolla differentiaaliytälön ratkaisuna mielekäs käyrä kulkee Koska kiinnostuksen koteena on läinnä ideaalin varieteetti, voidaan alkuideaalien sijaan tarkastella niiden radikaali-ideaaleja Ä ] L ]DÕ jollakin Ö f, sillä ^ 9
10 Ê ^ ^ Å ^ ' ^ Lause 3 Jos on ideaalin uø mielival- Todistus Koska selvästi ¾± Olkoon mielivaltainen, jolloin siis ] tainen Tällöin ¼ ^ Õ jollakin Ö radikaali-ideaali, niin varieteetit ¾k ja ¾k l, niin ¾k Ø ¾k, joten riittää osoittaa, että ¾k Ø ¾k ' ¾k kaikille ] Olkoon ¼ ^, joten ¼ l Õ U' ja siis myös ¼ U' ¾k Siten ovat samat Primääridekompositio ja radikaali-ideaalit on laskettu Axiom-ojelmiston [6] avulla Käytetyt komentojonot on esitetty liitteessä 1 4 Jatkettujen systeemien ratkaiseminen 41 Tapaus Tapauksessa jatko on Tällöin singulariteetissa % D % (' (4) % % D ' ' ' ' ' % [ % % % ' % % ; ' ' ' ; ' ' (43) % ' ; ' % ' ; ' H Š[ l joten œ ŸSš, täsmälleen silloin kuin 9 ;, jolloin :n vasemman alakulman / -alimatriisin determinantti on nolla Kuten ytälöistä Ù ' käy ilmi, ratkaisukäyrillä nimenomaan pätee singulariteetissa D ; l, joten š ei määrää ratkaisukäyrän suuntaa singulariteetissa Ratkaisun seuraaminen onnistuu kuitenkin yödynnettäessä primääridekompositiota missä Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat Huomattakoon, että ideaalin 8 8 &Å (44) 6 [ % Ú? % Ú % Ú %? % Ú? N%? % Ú? % % %? %? % Ú? radikaali-ideaali on %? Ú? N%? % % % 1? N% (45) (46) % (47)
11 9 Ë I ; % ; ; âû â B B B c 9 B ja :n virittäjät saadaan lisäämällä tämän virittäjiin polynomi %? 9 %, ja että tässä, kuten muillakin permutaatioilla, viimeisessä ideaalissa esiintyy alkuperäinen ytälö (', joiden varieteetit ovat systeemin singulari- Jätetään uomiotta mielenkiinnottomat ideaalit teetti ja origo Valitaan siis 8 Merkitään (' saadaan ratkaistua Ë ja :n virittäjiä ytälössä (46) esitetyssä järjestyksessä 9, 9, 9, 9 ja 9eÛ Asettamalla 9 6 FD? % 1 (48) Neliöjuuren merkin eri valinnoilla saatavat pinnat eivät leikkaa toisiaan, sillä kun ³ ', ³ÝÜ Kun nämä :n ja :n lausekkeet sijoitetaan ytälöiin 9 ', 9 ' 9ÞÛ ja ', ne toteutuvat identtisesti Täten :n informaatio sisältyy jo polynomeiin 9 9 ja siinä mielessä, että ¾k ¾k l ¾kl 9 l (49) Tämä on numeeristen laskujen kannalta mukavaa, koska distribuutio voidaan nyt laskea neliömatriisin nolla-avaruudesta 7 Š 78 Š 7 Š 7 Š Š 7 7 = 78 = 78 7 = 7 78 = 7 Š 7 = % ; ' ' = % ' ; ' Lausekkeista (48) nädään, että -akseli ei leikkaa pintaa ¾k A D % ; % % ;? % ; ' ' % ' ; '?*@ (5) Tämä sopii yteen klassisen ratkaisun (51) kanssa sikäli, että ainoa ytälöt uùußà' toteuttava ratkaisu :n arvolla, jonka toinen derivaatta läestyy ääretöntä, kun ³ ' = =?*@ (5) Kuvassa on piirrettynä kolme tapauksen ratkaisukäyrää, joiden alkupisteet ja niitä vastaavat klassisen ratkaisun arvot ovat: á á á % % % ; > % ;Y; % > ä ;Y; % ä Näistä kaksi ensimmäistä leikkaa toisensa singulariteetissa korkeudella > Kolmas läpäisee singulariteetin korkeudella >lå çæ Laskut on tety Matematica-ojelmistolla käyttäen läteessä [] esiteltyä ojelmaa Kuvassa 3 on piirretty -tasoon pisteestä % ; askelta, toleranssi,1) sekä tarkka ratkaisu A % ä 11 ; ;Y; lätien numeerisesti laskettu ratkaisu (1 (53)
12 4 x y y Kuva : Ratkaisuja tapauksessa Kuva 3: Tarkka (out viiva) ja numeerisesti laskettu ratkaisu (paksu viiva) tapauksessa 1
13 â % % ' % Å Å B è 4 Tapaus 3 Tapauksen 3 kaikki klassiset ratkaisut kulkevat / :ssä pisteen A ;?*@ ' ; kautta, minkä takia ratkaisukäyrän suunnan laskeminen tuossa pisteessä ei voi onnistua Systeemin jatkaminen auttaa, sillä toinen derivaatta riippuu sillä ;?*@ (54) (55) arvosta Jatketun systeemin distribuutio on singulariteetissa silti kaksiulotteinen, % '? % % % ; ' ' % ' ; ' HO jonka / -alimatriisin determinantti % (', onan 6 ; ' ' ' ' % ' ' % ; ' ' % ' ; ' kaikilla ratkaisuilla (56) Eteenpäin päästään käyttämällä primääridekompositiota 8 &Å (57) missä 6 % %? ; %? % %? %? Ú %?????? %? %? % Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat % ;? %? Näistä ylätään taas mielenkiinnottomina muut kuin % Ú? %? (58) (59), jonka virittäjiä merkitään ytälössä (59) esi- 9 tetyssä järjestyksessä 9, ja 9 Eto 6 ; 9 singulariteetissa saadaan tällöin sijoittamalla :n lausekkeeseen FA(', jolloin saadaan ; % (' < ('ßéˆ ; ja uomaamalla, että jos (', saadaan pelkästään triviaaliratkaisu Mê(' Varieteetti ¾± 9 saadaan nyt käyttämällä pelkästään ytälöitä M' 9 ja voidaan ratkaista % ; 1 A öì ; 13 ë' : Jos (6) ë' ª, niistä (61)
14 Ë Û % Û ; Û % Û Û â % 9 ä ' ja 9 sijoitettaessa nämä ytälö ' toteutuu identtisesti Lausekkeissa esiintyvät ¾k 1 - ja ì -merkit eivät nytkään ole osoitus siitä, että pinta leikkaisi itsensä, sillä koska ; í' ª, aarat eivät ydy missään Jos taas = = ', voidaan ratkaista suoraan 9 (' < ('#é ; (' < F mitkä toteuttavat identtisesti ytälön 9 neliömatriisin (6) (63) î' Ratkaisun tangentti voidaan siis laskea singulariteetissa % I? % ' % % 5 ' % ' ' % ; ' ' % ; ' ' (64) % ' ; ' % ' ; ' Y HO nolla-avaruudesta, sillä Ë :n vasemman alakulman / -osamatriisin determinantti on % 6 % ' ª, sillä ratkaisukäyrällä ; -1 y 1 3 y x 1 Kuva 4: Ratkaisuja tapauksessa 3 Kuvassa 4 näkyy kolme ratkaisukäyrää, jotka leikkaavat toisensa pisteessä alkupisteet ja vastaavat klassisen ratkaisun (54) á á á % % % Û (' ; % ä arvot ovat: ' ; Niiden Ratkaisukäyrät on laskettu ja piirretty nytkin []-läteen ojelman avulla 14
15 Ë % % Å Å ' è 43 Tapaus 5 Tapauksessa 5 matriisin % ' ' ' ' '? % % ' % % ; ' ' ' ; ' ' % ' ; ' % ' ; ' H Š 9 nolla-avarus on singulariteetissa kaksiulotteinen, sillä samoin kuin tapauksessa nädään ytälöistä ï(', että AF Primääridekompositioksi saadaan nyt missä % % % % Niitä vastaavat radikaali-ideaalit ovat 8 % % % % % Ë Jätetään jälleen 9 uomiotta muut kuin järjestyksessä 9,, 9 ja 9 9 Ytälöistä 9 AF %? 9 jotka toteuttavat ytälöt 9 (' Å % % (65) (66) % % % % N% % (67) (68) ja merkitään sen virittäjiä ytälössä (68) esiintyvässä (' voidaan nyt ratkaista suoraan 6F Ratkaisukäyrän tangentti määräytyy singulariteetissa siis neliömatriisin % (69) % % ; % ; % ' % ; ' %? ' % ; ' % ' % ; ' ' % ; ' ' (7) % ' ; ' % ' ; ' Š nolla-avaruudesta, joka on yksiulotteinen paitsi, kun (' Jos º', seuraa ytälöstä 9 Ẍº', että µð' Tämä tilanne vastaa vain ytä yksittäistä klassista ratkaisua: arvon täytyy olla, jolloin M ñ çæ Tällöin mistään ideaalin polynomista ei saada etoa - eikä -komponentille, joten ratkaisukäyrän seuraaminen ei onnistu Systeemin jatkaminen uudelleen saattaisi tällöin tuottaa tuloksia Kuvassa 5 on piirrettynä kaksi tapauksen 5 ratkaisukäyrää, joiden alkupisteet ja niitä vastaavat klassisen ratkaisun A =?*@ (71) arvot ovat: 15
16 I Û % y y x - Kuva 5: Ratkaisuja tapauksessa 5 á á % % çæ % I ; % ; Ratkaisukäyrät leikkaavat toisensa singulariteetissa korkeudella 1 Huomattakoon jälkimmäisen ratkaisun kodalla mielenkiintoinen kulkeminen sateenvarjon ledeltä toiselle laakson A(' kautta 5 Yteenveto Systeemin jatkaminen ja primääridekomposition soveltaminen väärien komponenttien poistamiseen osoittautui Witneyn sateenvarjon kodalla toimivaksi menetelmäksi singulariteetin poistamiseen / Tapauksessa 5 jäi yksittäinen ratkaisu, jonka laskeminen ei onnistunut ratkaisu kulki singulariteetin kautta / :ssäkään alkuperäisen systeemin singulariteettikodassa Tämä tilanne muistuttaa tapauksen 1 tilannetta, jossa vain yksi :ssä Systeemin jatkaminen saattaisi auttaa molemmissa tapauksissa, mutta sitä ei kokeiltu Menetelmä vaatii jonkin verran käsityötä sen analysoinnissa, mitkä primääridekomposition antamista ideaaleista jätetään uomiotta, kun alutaan poistaa varieteetin epäoleelliset komponentit Jotta menetelmästä saataisiin elppokäyttöinen algoritmi, tämä askel pitäisi saada automatisoitua Tällöin olisi myös syytä selvittää teoreettisesti, onko tällainen ylipäätään aina madollista 16
17 ò Merkinnät š _ b 7 ô ô ¾ _ ô ô f ô r Vastaa 7ó Moniston ô lokaalin koordinaatin õ suuntainen kantavektori tangenttiavaruudessa _ õ Moniston ô koordinaattifunktion õ differentiaali eli _ j œ Ÿ / _ j / :n 7 7ó :lle duaalinen kantavektori Vektoriavaruuden ¾ dimensio Tavallisten reaalisten differentiaaliytälöiden ensimmäisen kertaluvun suikuavaruus Tavallisten reaalisten differentiaaliytälöiden d toisen kertaluvun suikuavaruus Luonnollisten ; lukujen joukko Matriisin nolla-avaruus Kanoninen projektio Reaalilukujen joukko Moniston ô tangenttiavaruus :n duaali eli moniston ô tangenttiavaruuden lineaaristen funktionaalien lineaariavaruus Nimitykset Distribuutio Distribution 3 Integraalimonisto Integral manifold 3 Jatkaminen, jatko Prolongation 31 Kontaktimuoto ontact form, 31 Noeterin rengas Noeterian ring 3 Primääridekompositio Primary decomposition 3 Suikuavaruus Jet space 1 Varieteetti Variety 3 17
18 ö Viitteet [1] Teijo Arponen, Jukka Tuomela, On te Numerical Solution of Involutive Ordinary Differential Equations: Numerical Results, Researc Report A37, Institute of Matematics, Helsinki University of Tecnology, 1996 [] Teijo Arponen, Differentiaalialgebrallisten ytälöiden numeerinen laskenta, diplomityö Teknillisen korkeakoulun teknillisen matematiikan ja fysiikan osastolla, 1996 [3] Tomas Becker, Volker Weispfenning, Gröbner Bases: A omputational Approac to ommutative Algebra, Springer-Verlag, 1993 [4] William M Bootby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Second Edition, Academic Press, 1986 [5] David ox, Jon Little, Donal O Sea, Ideals, Varieties, Algoritms, Springer-Verlag, 199 [6] Ricard D Jenks, Robert S Sutor, Axiom: Te Scienti c omputation System, Springer-Verlag, 199 [7] Klaus Jänic, Vektoranalysis, Auage, Springer-Verlag, 1993 [8] W Keit Nicolson, Introduction to Abstract Algebra, PWS-Kent, 1993 [9] Jukka Tuomela, On te Numerical Solution of Involutive Ordinary Differential Equations, Researc Report A383, Institute of Matematics, Helsinki University of Tecnology,
19 Liite 1 Axiom-komentojonot Primääridekomposition laskemiseen on käytetty seuraavia axiom-komentojonoja: Tapaus dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y*y1**-x^; -- tapaus )read djaprdec Tapaus 3 dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y1*x**-y**; -- tapaus 3 )read djaprdec Tapaus 5 dp:=odpol(up(x,fra INT)); y:=makevariable( y)dp; p1:dp:=y*x**-y1**; -- tapaus 5 )read djaprdec Näissä talletetaan Orderly DifferentialPolynomial -tyyppiseen muuttujaan p1 käsiteltävä 9 polynomi / ³ Vapaata muuttujaa merkitään x:llä ja ratkaisua y:lla Ratkaisun derivaattoja ja merkitään y1:llä ja y:lla Lopuksi kutsutaan jäljempänä esitettävää djaprdec-komentojonoa Yteinen osuus: djaprdec p:=d(p1); pz1:=(eval(p1,[y1=z1,y=z]) :: DMP([z,z1,z,x],FRA INT)); pz:=(eval(p,[y1=z1,y=z,y=z]) :: DMP([z,z1,z,x],FRA INT)); idp:=ideal([pz1,pz]); radical(idp) dec:=primarydecomp(idp); #dec for i in 1#dec repeat output deci for i in 1#dec repeat output radical(deci) Yteisessä osuudessa derivoidaan ensin p1:llä merkitty polynomi 9 Näin saatava jatko talletetaan nimelle p 19
20 Seuraavaksi p1 ja p muunnetaan Distributed Multivariate Polynomial -tyyppisiksi ja tallennetaan nimille pz1 ja pz, koska primääridekompositio on määritelty axiomissa vain tämäntyyppisten olioiden virittämille ideaaleille Näissä polynomeissa merkitään :ää edelleen x:llä, mutta :tä ja sen derivaattoja ja merkitään z:lla, z1:llä ja z:lla Polynomien pz1 ja pz virittämä ideaali tallennetaan muuttujaan idp ja sen radikaali-ideaali lasketaan mielenkiinnon vuoksi Seuraavaksi lasketaan idp:n primääridekompositio ja se tallennetaan muuttujaan dec Lopuksi tulostetaan primääridekomposition ideaalit sekä niiden radikaali-ideaalit
Lineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotSuora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste
Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotTaso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora
Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
Lisätiedot3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö
3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
LisätiedotKäyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa
Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotLauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:
Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotSolmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:
Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotA = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:
11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotKolmannen ja neljännen asteen yhtälöistä
Solmu /019 7 Kolmannen neljännen asteen yhtälöistä Esa V. Vesalainen Matematik och statistik, Åbo Akademi Tämän pienen artikkelin tarkoituksena on satuilla hieman algebrallisista yhtälöistä. Erityisesti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotSuorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009
Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
Lisätiedot2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot
2.6 Funktioiden kuvaajat ja tasa-arvojoukot Olkoon I R väli. Yhden muuttujan funktion g : I R kuvaaja eli graafi on avaruuden R 2 osajoukko {(x, y) R 2 : x I, y = g(x)}. 1 0 1 2 3 1 0.5 0 0.5 1 Kuva 2.1:
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotEsimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi
. Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotGaussin ja Jordanin eliminointimenetelmä
1 / 25 : Se on menetelmä lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sitä käytetään myöhemmin myös käänteismatriisin määräämisessä. Ideana on tiettyjä rivioperaatioita käyttäen muokata yhtälöryhmää niin,
LisätiedotEsimerkki 19. Esimerkissä 16 miniminormiratkaisu on (ˆx 1, ˆx 2 ) = (1, 0).
Esimerkki 9 Esimerkissä 6 miniminormiratkaisu on (ˆx, ˆx (, 0 Seuraavaksi näytetään, että miniminormiratkaisuun siirtyminen poistaa likimääräisongelman epäyksikäsitteisyyden (mutta lisääntyvän ratkaisun
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotMatriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0
MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c
LisätiedotDerivointiesimerkkejä 2
Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Lisätiedot