järjestelmät Luku 1 Johdanto; termit ja käsitteet 1 DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
|
|
|
- Aune Kyllönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Luu Johdanto; termit ja äsitteet DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
2 DEE-00 Lineaariset järjestelmät I+II periodi Luennot, Risto Mionen, SH 3 Harjoituset, Tiina Salmi, SH 309 Valtteri Lahtinen, SH 304 ti 2 4 SA 207 ti 4 6 SE 20(SE 2) to 2 4 K 2330 (2.per. 0-2 SE 20) to 0 SA 207 (vain I periodi) pe 0 2 SE 20 Tutintovaatimuset: Hväststi suoritettu tentti tai välioeet Kirjallisuus: Luentomoniste Gabel & Roberts: Signals and Linear Sstems 2 Nilsson & DEE-00 Riedel: Lineaariset Electric järjestelmät Circuits Risto Mionen
3 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Opinnot Lineaariset järjestelmät Ennaotehtävät Lasuharjoituset Hvitspisteet 3 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
4 Mitä sähöteniian liopisto-opiselu taroittaa? 4 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
5 Mallit ja menetelmät abstratiotason ääripäät Piirianalsissa olmiulotteiset appaleet uvataan sinertaisilla malleilla, joissa sähö- ja magneettienttien sijaan ätetään jännitteitä ja virtoja. 5 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
6 Lineaariset järjestelmät opintojason tavoitteet Järjestelmiä uvaavan terminologian tunteminen Järjestelmää uvaavan mallin muodostaminen Ssteemiä uvaavien htälöiden eri rataisumenetelmät Järjestelmien stabiilisuustarastelut Siirtminen aiataso vs muunnostaso Tarjota matemaattinen perusoneisto möhempiä ursseja varten 6 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
7 Opintojason raenne Rataistava ongelma Vero Järjestelmä Tarastelun luoitus Disreettiaiainen Jatuva-aiainen Analsointitaso Aiataso Muunnostaso 7 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
8 Jatuva-aiainen vs disreettiaiainen Jatuvan signaalin u(t) nätteistäminen disreetisi signaalisi u 8 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
9 Esimeri (disreettiaiainen) Joeen nousee joa vuosi 000 alaa. Joa talvi aloista selvit 30 % evääseen. Kuina monta alaa joessa on vuosina =, 2,? Minä ooisesi populaatio muodostuu pitällä aiavälillä? 9 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
10 Esimeri (jatuva-aiainen) 3 e t sin2t 0 di t) L dt ( 3 Ri( t) t Vt ( t) e sin2t. ertaluvun vaioertoiminen, lineaarinen, epähomogeeninen differentiaalihtälö Misi en rataise piiriä osoitinlasennan avulla? DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
11 Järjestelmähieraria DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
12 u u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u % 0.5 g uivattuja ruusunmarjoja 3 g psiä arviaismarjoja 0.4 g rusinoita 3 g soeria 8 g vettä pussi hiivaa pussi ravintosuolaa pussi viininselvitettä 5 g otiviiniä JÄRJESTELMÄ Yleisnimits mutiaalle oonaisuudelle, jolle on ominaista, että tiett sisäänmenevät vaiuttimet aiheuttavat hden tai useamman vasteen. u 2 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
13 Järjestelmätppejä Kemialliset Sähöiset Meaaniset Termodnaamiset Hdrodnaamiset Sosiaaliset Jne. 3 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
14 Järjestelmät - analogia 4 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
15 Voima-virta -analogia Meaaninen järjestelmä Sähöinen järjestelmä Voima (p) Virta (I) Massa (m) Kapasitanssi (C) Vaimennuserroin (b) Kondutanssi (/R) Jousivaio () Indutanssin inverssi (/L) Siirtmä (x) Käämivuo ( x v Nopeus ( ) Jännite (e) 5 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
16 Case väestön asvun mallintaminen 6 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
17 Väestönasvun mallintaminen Thomas Malthus ( ) Charles Darwin ( ) a p( t) a dt const. p( t0) 7 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen d p 0 p( t)
18 Mallintaminen Muutostiloja uvaavat liiehtälöt Alu- ja reunaehdot Yhtälöiden muoaaminen Yhtälöiden rataisu Tulosten tulinta 8 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
19 Kiinteäparametrinen / jaautunut järjestelmä Järjestelmän suureet riippuvat ainoastaan ajasta. Mallintaminen differentiaalihtälöiden avulla. Järjestelmän suureet riippuvat ajan lisäsi mös paiasta. Mallintaminen osittaisdifferentiaalihtälöiden avulla. E( t) L di( t) dt Ri( t) C t 0 i( ) d u C (0) 9 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
20 Jaautunut järjestelmä T t 2 T E g c p 20 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
21 Deterministinen / stoastinen järjestelmä Ssteemioperaattori L(D) samoin uin sisäänmeno u(t) tunnetaan tarasti. Malli fsiian lainalaisuusiin nojautuen. Järjestelmän parametrit tunnetaan tilastollisesti. Malli (siirtofuntio) oemuseen nojautuen. E( t) L di( t) dt Ri( t) C t 0 i( ) d u C (0) 2 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
22 Esplisiittinen / implisiittinen järjestelmä Ulostulo riippuu pelästään sisäänmenosta. Ulostulo on funtio seä sisäänmenosta että aiaisemmasta ulostulosta. f ( u, u, u 2,...) f ( u, u,,... 2,...) 22 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
23 Lineaarisuus ) ( ) ( ) ( u u L u L u L u L u L ) ( ) ( Additiivisuus Homogeenisuus ) ( ) ( ) ( 2 2 u L u L u u L 23 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
24 Review Question Veron sisäänmenon u ja ulostulon suhteen on voimassa htälö au b missä a ja b ovat vaioita. Ono vero lineaarinen? 24 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
25 Review Question 2 Oheisessa piirissä sisäänmenona u on lähdejännite U ja ulostulona on vastusen R 3 autta uleva virta. Millainen ehto lähdejännitteelle U 2 tulee asettaa, että ssteemi on lineaarinen? R = R 2 = R 3 =. (Muodosta Kirchhoffin laeihin nojautuen htälö sisäänmenon ja ulostulon välille ja tarastele lineaarisuutta.) i i 3 i 2 25 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
26 Esimeri Oheisen piirin sisäänmenona on lähdejännite u(t) ja ulostulona (t) on 6 :n resistanssin autta uleva virta. Ono ssteemi lineaarinen? 26 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
27 Esimeri Määritä oheisessa verossa jännite v 0. Aseta jännitteen arvosi V ja määritä jännitteen oiea arvo lineaarisuutta hödntäen. v 0 27 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
28 Esimeri Tarastellaan oheista tentää, jona sisäänmenona on lähdevirta J ja ulostulona uvaan meritt jännite U. Arvataan seisen jännitteen arvosi U = V. Todenna lineaarisuuden äsitteen avulla seisen jännitteen oiea arvo. R = 2, R 2 = 0.5, R 3 =, R 4 =, J = 6 A. 28 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
29 Staattinen / dnaaminen järjestelmä Ulostulo riippuu joaisella ajanhetellä vain sen hetisestä sisäänmenon arvoista. U = f (I, R) Ulostulo riippuu historiallisesti sisäänmenosta. U = f (I, R, L, C) 29 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
30 Aiainvarianttisuus Ssteemioperaattori L(D) ei muutu ajan muana. Ajanheti, jolla ssteemi ännistetään ei vaiuta ssteemin dnamiiaan (samaa sisäänmenoa vastaten saadaan aina sama ulostulo). 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 u u t t t t u t t u 30 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
31 Esimeri Rhmittele seuraavat tapauset ahdella eri luoittelutavalla Staattinen / dnaaminen Aiainvariantti / aiavariantti Raetin ohjaaminen töntömoottorilla, un raetti ulee tietn matan avaruudessa. Jääieo liuuu itattomalla jäällä ja törmää immoisasti entän reunaan ulmassa. Kahviuppi on huoneessa, jona lämpötila on vaio S astetta. Kupin lämpötila T(t) jääht Newtonin läähtmislain muaisesti dt( t) dt ( T( t) S) 3 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
32 Review Question 3 Veroa uvaava htälö on ( t) u( t) cost Ono vero A) lineaarinen B) aiainvariantti 32 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
33 Disreettiaiaiset järjestelmät Kuvaa htettä eri nätejonojen välillä. Elementit voidaan määrittää: Meritsemistapoja f() = f(t ) = f t = T Analttisenä htälönä f 2 Numerotauluona T nätteenottoväli f 0,,5, 3, DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
34 Lineaariset differenssihtälöt a 0 u b a u b a m... u b m n n Järjestelmä muuttaa luujonon u luujonosi. Lohoaaviot oostuvat siöviive-, vaioerroin- ja summauselementeistä. Ulostulo on hdistelmä sisäänmenon nisistä ja vanhoista arvoista seä ulostulon vanhoista arvoista. 34 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
35 Esimeri Bilateraalinen auppamalli Kansantulo Y määrät tuotantoustannusten C, nettoinvestointien i ja viennin x summana vähennettnä tuonnilla M. Kotimaan aupan tuotantoustannuset D määrätvät oonaistuotantoustannusten C ja tuonnin M erotusena. mallinnetaan seuraavasti Aia jaautuu tasavälisiin periodeihin. Kaii suureet muuttuvat periodin muana paitsi i, joa on vaio. D ja M unain periodina ovat verrannollisia edellisen periodin ansantuloon Määritä maiden ansantuloja uvaavat htälöt. 35 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
36 Lineaariset differentiaalihtälöt a n D n a n D n... a D a 0 ( t) b m D m b m D m... b D b 0 u( t) Järjestelmä muuntaa funtion u(t) funtiosi (t). Lohoaaviot muodostuvat derivaattoreista / integraattoreista, vaioerroin- ja summauselementeistä. Merintä D i taroittaa i:nen ertaluvun derivaattaa ajan suhteen. Yleisesti siis n:nen ertaluvun, vaioertoimien, lineaarinen epähomogeeninen differentiaalihtälö. 36 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
37 Yhteenveto luu Veroa uvaa sisäänmenon u(t) ja ulostulon (t) välillä htälö 2 d ( t) u( t) u( t) dt Ono vero A) additiivinen B) homogeeninen C) lineaarinen 37 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
38 Yhteenveto luu Järjestelmän sisäänmenona on äämin li oleva jännite ja ulostulona äämin virta. Tarastele ssteemin lineaarisuutta. 38 DEE-00 Lineaariset järjestelmät Risto Mionen
Luento 2 / 12. SMG-1200 Piirianalyysi II Risto Mikkonen
SMG-00 Piirianalsi II Lento / SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen 6.8.03 ) ( ) ( ) ( L L L L L ) ( ) ( Additiiviss Homogeeniss ) ( ) ( ) ( L L L Lineaariss 6.8.03 SMG-00 Piirianalsi II Risto Mionen Aiainvarianttiss
järjestelmät Luku 2 Diskreettiaikaiset järjestelmät - aikataso DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Luu 2 Disreettiaiaiset järjestelmät - aiataso DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen 6.9.26 Diseettiaiainen vs jatuva-aiainen Jatuvan signaalin u(t) nätteistäminen disreetisi
järjestelmät Diskreettiaikaiset järjestelmät aikatason analyysi DEE Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen
DEE- Lineaariset järjestelmät Disreettiaiaiset järjestelmät aiatason analsi DEE- Lineaariset järjestelmät Risto Mionen Disreettiaiaiset järjestelmät 7 3 5 Lineaaristen, vaioertoimisten differenssihtälöiden
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
Kun annettu differenssiyhtälö z-muunnetaan puolittain, saadaan: 1 1 z Y z zy z z/4 4
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli
Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja
Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. Ryhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. Ryhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
Luku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Luentomonisteen harjoitustehtävien vastauset Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt. Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen,
2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
Järjestelmän kuvaus aikatasossa
Digitaalinen Signaalinäsittel T25 Luento 2-24.3.26 Jaro.Vuori@evte.fi Man cannot inherit the past; he has to recreate it Arthur Koestler, The act of creation, 964 Järjestelmän uvaus aiatasossa Differenssihtälö
Projekti 5 Systeemifunktiot ja kaksiportit. Kukin ryhmistä tarkastelee piiriä eri taajuuksilla. Ryhmäni taajuus on
EPOP Kevät 2012 Projeti 5 Systeemifuntiot ja asiportit Tämä projeti tehdään 3 hengen ryhmissä. yhmääni uuluvat Kuin ryhmistä tarastelee piiriä eri taajuusilla. yhmäni taajuus on Seuraavan projetin aiana
järjestelmät Luento 4
DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä
[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
![[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.](/thumbs/70/63966855.jpg "[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.")
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
KJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017
KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan
Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
Luento 2. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Luento 2 1 Luento 1 - Recap Opintojakson rakenne ja tavoitteet Sähkötekniikan historiaa Sähköiset perussuureet Passiiviset piirikomponentit 2 Luento 2 - sisältö Passiiviset piirikomponentit
Mekaniikan jatkokurssi Fys102
Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,
Todennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Aktiiviset piirikomponentit 1 Aktiiviset piirikomponentit Sähköenergian lähteitä Jännitelähteet; jännite ei merkittävästi riipu lähteen antamasta virrasta (akut, paristot, valokennot)
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
Sattuman matematiikkaa III
Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
EPOP Kevät
EPOP Kevät 2012 16.1.2012 Projeti 1 Muutosilmiöt Piirianalyysi 1:ssä äsitellyt tasa- ja vaihtovirta-analyysit ovat jatuvan tilan menetelmiä, joissa oletetaan, että piirin herätteet (riippumattomat lähteet)
SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS SÄÄÖJÄRJESELMIEN SUUNNIELU Enso Ionen professori säätö- ja ssteemiteniia http://cc.oulu.fi/~io Oulun liopisto Äläät oneet ja järjestelmät helmiuu 209 ENSO IKONEN PYOSYS 2 Oppimistavoitteet
± r = 1e 2 2 ±
SMG- Piirianalyysi II Ehdotuset harjoitusen asi rataisuisi 3 (a) d y ( t) dy ( t) 7 4 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) + 4r + 7 / 4 = KY ± r = 4 4 4 7 / 4 e rt + 4 e rt + 7 / 4 e rt = : e rt r = /
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi
02/1 VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 02: Vapausasteet, värähtelyiden analysointi VAPAUSASTEET Valittaessa systeeille lasentaallia tulee yös sen vapausasteiden luuäärä äärätysi. Tää taroittaa seuraavaa: Lasentaallin
J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
DEE Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Tasasähköpiirien systemaattinen ratkaisu: kerrostamismenetelmä, silmukkavirtamenetelmä, solmupistemenetelmä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet silmukkavirtamenetelmä
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
järjestelmät Luento 8
DEE-111 Lineaariset järjestelmät Luento 8 1 Lineaariset järjestelmät Risto Mikkonen 7.8.214 Luento 7 - Recap Z-muunnos ja sen ominaisuudet Lineaaristen dierenssiyhtälöiden käsittely Alku- ja loppuarvot
Luento 4 / 12. SMG-1100 Piirianalyysi I Risto Mikkonen
SMG-00 Piirianalyysi I Luento 4 / Kerrostamismenetelmä Lineaarisuus = Additiivisuus u u y y u + Homogeenisuus u y y Jos verkossa on useita energialähteitä, voidaan jokaisen lähteen vaikutus laskea erikseen
HARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
Luento 6. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Luento 6 1 DEE-11000 Piirianalyysi Ensimmäinen välikoe keskiviikkona 19.11. klo 13-16 salissa S1. Aihepiiri: Tasasähköpiirin analyysi (monisteen luvut 1-6) 2 Solmupistemenetelmä
RATKAISUT: 21. Induktio
Physica 9 2. painos 1(6) ATKAISUT ATKAISUT: 21.1 a) Kun magneettienttä muuttuu johdinsilmuan sisällä, johdinsilmuaan indusoituu lähdejännite. Tätä ilmiötä utsutaan indutiosi. b) Lenzin lai: Indutioilmiön
Lauri Puranen Säteilyturvakeskus Ionisoimattoman säteilyn valvonta
LC-577 Sähömagneettisten enttien ja optisen säteilyn biologiset vaiutuset ja mittauset Sysy 16 PINTAAJUIST SÄHKÖ- JA MAGNTTIKNTÄT Lauri Puranen Säteilyturvaesus Ionisoimattoman säteilyn valvonta SÄTILYTURVAKSKUS
S Piirianalyysi 2 1. Välikoe
S-55.0 Piirianalyyi. Välioe 9.3.007 ae tehtävät eri paperille uin tehtävät 3 5. Muita irjoittaa joaieen paperiin elväti nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehtävät laetaan oaton oepaperille. Muita
DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit
DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin
Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet 1 Vaihtovirta vs tasavirta Sähkömagneettinen induktio tuottaa kaikissa pyörivissä generaattoreissa vaihtojännitettä. Vaihtosähköä on
SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit
SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin lait,
Heilurin differentiaaliyhtälö
LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen
Sähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta
Sähöstatiia ja magnetismi Meaniian etausta Antti Haato 17.05.013 Newtonin 1. lai Massan hitauden lai Jatavuuden lai Kappaleen nopeus on vaio tai appale pysyy paiallaan, jos siihen ei vaiuta voimia. Newtonin
V. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 12: Tasokehän palkkielementti, osa 2.
/ ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO : Tasoehän palielementti, osa. NELJÄN VAPAUSASTEEN PALKKIELEMENTTI Kun ahden vapausasteen palielementin solmuihin lisätään loaalin -aselin suuntaiset siirtmämittauset,
Eksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä 1 Verkon systemaattinen ratkaisu Solmupisteiden lukumäärä n (node) Haarojen lukumäärä b (branch) 2 Verkon systemaattinen ratkaisu Muodostetaan
termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
Estimointi Laajennettu Kalman-suodin. AS , Automaation signaalinkäsittelymenetelmät Laskuharjoitus 4
Estimointi Laajennettu Kalman-suodin AS-84.2161, Automaation signaalinäsittelymenetelmät Lasuharjoitus 4 Estimointi Systeemin tilaa estimoidaan, un prosessin tilamalli tunnetaan Tilamalli voi olla lineaarinen
Sähköiset perussuureet. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Sähköiset perussuureet 1 DEE-11000 Piirianalyysi kevät 2016 ; III + IV periodi Luennot, III periodi Ma 10 12 S1 Ti 14 15 S4 Luennot, IV periodi Ma 10 12 S1 Harjoitukset, III + IV
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 21: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Lagrangen
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usean vapausasteen systeein liieyhtälöien johto Lagrangen yhtälöillä JOHDANO Kirjoitettaessa liieyhtälöitä suoraan Newtonin laeista äytetään systeeistä irrotettujen osien tai
9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Kertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
Miehitysluvuille voidaan kirjoittaa Maxwell Boltzmann jakauman mukaan. saamme miehityslukujen summan muodossa
S-4.7 Fysiia III (EST) Tetti..6. Tarastellaa systeemiä, jossa ullai hiuasella o olme mahdollista eergiatasoa, ε ja ε, missä ε o eräs vaio. Oletetaa, että systeemi oudattaa Maxwell-Boltzma jaaumaa ja, että
III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA
Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
b 4i j k ovat yhdensuuntaiset.
MAA5. 1 Koe 29.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää! Muista tehdä pisteytysruuduo ensimmäisen onseptin yläreunaan! Perustele vastausesi välivaiheilla! 1. Oloon vetorit a 2i 6 j 3 ja b i 4 j 3 a) Määritä
Luento 1. 1 SMG-1100 Piirianalyysi I
SMG-1100 Piirianalyysi I Luento 1 1 SMG-1100 Piirianalyysi I I + II periodi Luennot Harjoitukset ti 8 10 S4 ma 10 12 TB 110 pe 9 10 S4 ti 12 14 TC 161 Risto Mikkonen, SC 312 ti 12 14 SC 163 ke 14 16 SC
2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
y + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA. Taustaa
Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa / DISKREETIN MATEMATIIKAN SOVELLUKSIA: KANAVA-EKVALISOINTI TIEDONSIIRROSSA Taustaa Disreetin matematiian excursio: anava-evalisointi tiedonsiirrossa
Passiiviset piirikomponentit. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen
DEE-11000 Piirianalyysi Passiiviset piirikomponentit 1 DEE-11000 Piirianalyysi Risto Mikkonen Passiiviset piirikomponentit - vastus Resistanssi on sähkövastuksen ominaisuus. Vastuksen yli vaikuttava jännite
2. Laskuharjoitus 2. siis. Tasasähköllä Z k vaipan resistanssi. Muilla taajuuksilla esim. umpinaiselle koaksiaalivaipalle saadaan = =
2 Lasuarjoitus 2 21 Kytentäimpedanssin asenta Mitä taroittaa ytentäimpedanssi? 5 ma:n suuruinen äiriövirta oasiaaiaapein vaipassa (uojoto) aieuttaa 1 mv:n suuruisen äiriöjännitteen 1 m:n mataa Miä on ytentäimpedanssin
funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos
SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 1 Maxwellin & Kirchhoffin laeista Piirimallin
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Demonstraatio 7, 6.7... Ratkaise dierentiaalihtälöpari = = Vastaus: DY-pari voidaan esittää muodossa ( = Matriisin ominaisarvot ovat i ja i ja näihin kuuluvat ominaisvektorit (
Matemaattinen Analyysi
Vaasan liopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analsi 8. harjoitus, viikko 18 R1 ma 16 18 D115 (27.4.) R2 ke 12 14 B209 (29.4.) 1. Määritä funktion (x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun (0) = 2 ja
Magneettinen energia
Luku 11 Magneettinen energia 11.1 Kelojen varastoima energia Sähköstatiikan yhteydessä havaittiin, että kondensaattori kykenee varastoimaan sähköstaattista energiaa. astaavalla tavalla kela, jossa kulkee
(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut
BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti
Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t.
DEE- Piirianalyysi Harjoitus / viikko 4 Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä jännitteen ja virran arvot ovat t Kun t, v te t 5t 8 V, i te t 5t 5 A, a) Määritä
VALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus Tässä työssä tutit valoa aaltoliieenä. Ensimmäisessä osassa tutustut valon taipumiseen eli
Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kirchhoffin lait, rinnan- ja sarjakytkentä, lähdemuunnokset Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Kirchhoffin virtalaki rinnankytkentä sarjakytkentä
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia
1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
Eksponenttifunktio. Johdanto. Määritelmä. Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto
Solmu 3/08 3 Esponenttifuntio Pea Alestalo Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Jodanto Esponenttifuntio e x on eräs täreimmistä matematiiassa ja varsinin sen sovellusissa esiintyvistä
Luku 2. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2010 Luu 2. Jatuvuus ja opatisuus 1. Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia
Talousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista
Interaktiiviset menetelmät
Interatiiviset menetelmät. Johdanto. Interatiivinen SWT-menetelmä 3. GDF-menetelmä 4. Yhteenveto Optimointiopin seminaari - Kevät 000 /. Johdanto Interatiivisissa menetelmissä päätösenteijä ja analyytio
M y. u w r zi. M x. F z. F x. M z. F y
36 5.3 Tuipaalutusen lasenta siitmämenetelmällä 5.3.1 Yleistä Jos paaluvoimia ei voida määittää suoaan tasapainohtälöistä (uten ohdassa 5.), on smsessä staattisesti määäämätön paalutus, jona paaluvoimien
10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
ESIM. ESIM.
1 Vierintäita f r lasetaan samannäöisellä aavalla uin liuuitain: Ihmisunnan erästä suurimmista esinnöistä eli pyörää äytetään sen taia, että vierintäitaerroin µ r on paljon pienempi uin liuuitaerroin:
Luku 11. Jatkuvuus ja kompaktisuus
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Taperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2008 Luu 11. Jatuvuus ja opatisuus 11.1 Jatuvat futiot ja uvauset Tässä luvussa tarastellaa yleisiillää vetoriuuttuja vetoriarvoisia