YLIOPPILASTUTKINTO MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
|
|
- Esa Salonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne], jolloin kaikkien kohtien käsittely kuuluu tehtävän täydelliseen suoritukseen Tasakylkisen kolmion piiri on 5 cm Sen kyljet ovat,5 cm pitemmät kuin kanta Laske kolmion ala Lukion jazzyhtyeen konsertin tuotto 9 euroa ( ) on jaettava tasan yhtyeen jäsenille Jos jäseniä olisi enemmän, jokainen saisi 8 vähemmän Montako jäsentä yhtyeessä on? a) Sievennä lauseke b) Sievennä lauseke c) Ratkaise tämän jälkeen yhtälö 4 Tuoreissa omenissa on vettä 8 % ja sokeria 4 % uinka monta prosenttia sokeria on samoissa omenissa, kun ne on kuivattu siten, että kosteusprosentti on? 5 aksi matkapuhelinmastoa näkyy paikkaan, jonka etäisyys toisesta mastosta on 5,7 km ja toisesta,6 km Tähtäyssuunnat mastoihin muodostavat 7' 5' suuruisen kulman uinka etäällä mastot ovat toisistaan? Etäisyydet mitataan vaakasuorasti, eikä maaston mahdollisia korkeuseroja oteta huomioon 6 ulman kärkionpisteessä (, ), ja pisteet (4, 6), (, ) sijaitsevat sen kyljillä Laske kulman puolittajan suuntainen yksikkövektori 7 Reaalilukujen joukossa määritellyn funktion f kuvaajan mielivaltaiseen pisteeseen (, y) piirretyn tangentin kulmakerroin on k() = e Funktion f pienin arvo on Määritä f 8 Puhelinkeskukseen tulevien puhelujen määrä noudattaa ns Poissonin jakaumaa: todennäköisyys, että minuutissa tulee n (> ) puhelua, on, jossa vakio kuvaa keskuksen ruuhkaisuutta Laske todennäköisyys, että keskukseen tulee minuutissa ainakin 5 puhelua, kun a = 9 Pisteen P keskusprojektio suoralle s projektiokeskuksena piste määritellään pisteiden ja P kautta kulkevan suoran ja suoran s leikkauspisteeksi (mikäli tämä on olemassa) Olkoon projektiokeskus = (,4) ja suora s akseli Olkoon = (, ) ja = (4,) Tutki, mille akselin välille janan pisteet kyseisessä keskusprojektiossa projisioituvat Mihin pisteeseen projisioituu janan keskipiste? Jos janalle asetetaan jakopisteitä tasavälisesti, projisioituvatko nämä tasaväliseksi pisteistöksi akselille? uution jokaiselle sivutahkolle asetetaan samanlainen säännöllinen nelisivuinen pyramidi Näiden yhteinen korkeus määräytyköön siten, että kahden vierekkäisen pyramidin huiput ja vastaavien tahkojen leikkaussärmä sijaitsevat samassa tasossa Tällöin syntyy monitahokas, jota kutsutaanrombidodekaedriksi Sen sivutahkot ovat suunnikkaita, jotka muodostuvat kahdesta :45:7
2 INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page vierekkäisten pyramidien sivutahkosta a) Laske pyramidin korkeuden ja kuution särmän pituuden suhde b) Laske rombidodekaedrin sivutahkon kulmat asteen tarkkuudella c) Laske rombidodekaedrin ja kuutiontilavuuksien suhde stia on kärjellään seisova avonainen ympyräkartio artion pohjan säde on 6,6 cm ja sivujana, cm stia ontäynnä vettä stiaan asetetaan pallo, joka sivuaa kartionvaippaa Määritä pallon säde siten, että astiasta valuva vesimäärä on mahdollisimman suuri Ovatko seuraavat väitteet tosia? a) Jos funktion derivaatta on positiivinen kaikilla muuttujan arvoilla, niin funktio kasvaa rajatta eli b) Josfunktion derivaatta on positiivista vakiota suurempi kaikilla muuttujan arvoilla, niin Perustele vastauksesi Laske funktion f, f() = e (sin + cos ), derivaatta Osoita, että käyrän y = e sin ja akselin alueessa > rajoittamien alueiden,,, pintaalat muodostavat geometrisen jonon Laske integraali 4 esätapahtumassa hyttysten määrä oli tilaisuuden alussa ja kolme tuntia myöhemmin 7 Määrän kasvunopeus hetkellä t oli suoraan verrannollinen hyttysten määrään sinä hetkenä Muodosta hyttysten määrää kuvaava differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisuna hyttysten määrä mielivaltaisella hetkellä t Mikä oli hyttysten määrä viiden tunnin kuluttua tilaisuuden alkamisesta? 5 Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 486 ja 46 suurin yhteinen tekijä syt (486,46) Esitä tämä lukujen lineaariyhdistelynä, ts määritä kokonaisluvut a ja b siten, että syt(486, 46) = 486 a + 46 b :45:7
3 MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) Tasakylkisen kolmion piiri on 5 cm Sen kyljet ovat,5 cm pitemmät kuin kanta Laske kolmion ala Ratkaisu: Jos kolmion kanta on cm, ovat sen kyljet + 5 cm oska kolmion piiri on 5 cm, niin + ( +,5) = = 5 = : = 4 + olmion kantaa vasten piirrety korkeusjana saadaan Pythagoraan lauseen avulla h + = 5,5 h = 5,5 = 6, 5 4 6,5 olmion ala on»,47 Vastaus: cm Lukion jazzyhtyeen konsertin tuotto 9 euroa ( ) on jaettava tasan yhtyeen jäsenille Jos jäseniä olisi enemmän, jokainen saisi 8 vähemmän Montako jäsentä yhtyeessä on? Ratkaisu: Jos yhtyeesä on n (> ) jäsentä, on 9 9 = 8 nn ( + ) n n+ 9( n+ ) 9n= 8 n( n+ ) 9n+ 84 9n= 8n + 6n 8n 6n+ 84= : 8 n + n 48= ( ) a) Sievennä lauseke + b) Sievennä lauseke ( )( + ) c) Ratkaise tämän jälkeen yhtälö = + ( )( + ) Ratkaisu: ( )( + ) a) = = = = = b) = = = = ( )( + ) ( ) ( ) ± ± 96 ± 4 n = = = n= = 6 tai n= =8 ei käy c) lkuperäinen yhtälö on määritelty, kun > ja ¹ Yhtälö voidaan nyt esittää muodossa = Þ = Vastaus: a), b), c) = Vastaus: Jäseniä on 6 +,5 +,5 h 4 Tuoreissa omenissa on vettä 8 % ja sokeria 4 % uinka monta prosenttia sokeria on samoissa omenissa, kun ne on kuivattu siten, että kosteusprosentti on? Ratkaisu: Massa ennen kuivausta a uivauksen jälkeen vettä,8a vettä a sokeria,4a sokeria,4a muuta,6a muuta,6a + + +
4 MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) Massa kuivausen jälkeen,4a +,6a + a = (, + )a oska kosteusprosentti on, niin saadaan yhtälö a =, (, + ) a : a =,4 +,,8 =,4 :,8 + =,5 Täten omenien ainemäärä kuivauksen jälkeen on a (,8a,5a) =,5a Tästä sokerin osuus on,4a,6 6%,5a = = Vastaus: uivatuissa omenissa on sokeria 6 % + 5 aksi matkapuhelinta näkyy paikkaan, jonka etäisyys toisesta mastosta on 5,7 km ja toisesta,6 km Tähtäyssuunnat mastoihin muodostavat 7 5 suuruisen kulman uinka etäällä mastot ovat toisistaan? Etäisyydet mitataan vaakasuorasti, eikä maston mahdollisia korkeuseroja oteta huomioon Ratkaisu: Piirretään kuvio olmiossa on voimassa kosinilause = 5, 7 +,6 5, 7,6 cos 7 5» 7, 98» 5, Huomaa, että 7 5 = (7 + ) = Vastaus: Mastojen välinen etäisyys on 5,8 km 6 ulman kärki on pisteessä (, ), ja pisteet (4, 6), (, ) sijaitsevat sen kyljillä Laske kulman puolittajan suuntainen yksikkövektori Ratkaisu: Olkoon piste O origo Tällöin pisteiden (, ), (4, 6) ja (, ) paikavektorit uuur uuur uuur O = i + j, O = 4i + 6 j ja O = i j ja uuur uuur = 4i + 6 j ( i + j ) = i + 4 j ; = + 4 = 5 uuuur uuuur = i j ( i + j ) = i 5 j ; = + 5 = + Jos D on kulman puolittajan ja :n leikkauspiste, niin D : D = : (kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteesa) Tällöin uuuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur 5 uuur uuuur D = + D = + = + ( + ) = i + 4 j + (i j (4i + 6 j)) = i + 4 j + (9i 9 j) = i + 4j + i j 5 D 8 uuuur = + = + = + i j; D æ ö æ ö è ø èø Puolittajan suuntainen yksikkövektori on uuuur D i + j uuuur = = D ( i + j ) Vastaus: ulman puolittajan suuntainen yksikkövektori on + +,6 km 7 5 5,7 km (i + j) +
5 MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) 7 Reaalilukujen joukossa määritellyn funktion f kuvaajan mielivaltaiseen pisteeseen (, y) piirretyn tangentin kulmakerroin on k ( ) = e Funktion f pienin arvo on Määritä f Ratkaisu: Tangentin kulmakerroin on derivaatta pisteessä eli f ( ) = e Tälöin f on muotoa f( ) = ò ( e ) d= + e + + Vain ääriarvokohdassa jatkuvan funktion derivaatta on nolla eli f ( ) = Û e = e = ( e = ) = = + oska nyt f ( ) = e ja siten f () = e = = >, niin = on minimikohta ja ainoana ääriarvokohtana funktio saa tässä kohdassa pienimmän arvonsa + Täten integraalifunktion on täytettävä ehto f() = eli + e + = Huom Voit myös perustella, että kohdassa saadaan pienin arvo derivaatan merkkikaavion = = + avulla antamalla derivaatalle arvoja nollakohdan kummaltakin puolelta; jatkuvana funktiona se Vastaus: f( ) = + e + + ei voi vaihtaa etumerkkiä muualla kuin nollakohdissa 8 Puhelinkeskukseen tulevien puhelujen määrä noudattaa ns Poissonin jakaumaa: todennäköisyys, että minuutissa tulee n ( ³ ) puheluja, on pn = e, jossa vakio a kuvaa keskuk an a n! sen ruuhkaisuutta Laske todennäköisyys, että keskukseen tulee minuutissa ainakin 5 puhelua, kun a = 4 Ratkaisu: P(ainakin 5) = p p p p p4 = e ( ) =!!!! 4! e ( ) = e», Vastaus: Todennäköisyys, että minuutissa tulee ainakin 5 puhelua on,8 + 9 Pisteen P keskusprojektio suoralle s projektiokeskuksena piste määritellään pisteiden ja P kautta kulkevan suoran ja suoran s leikkauspisteeksi (mikäli tämä on olemassa) Olkoon projektiokeskus = (, 4) ja suora s akseli Olkoon = (, ) ja = (4, ) Tutki, mille akselin välille janan pisteet kyseisessä keskusprojektiossa projisioituvat Mihin pisteeseen projisioituu janan keskipiste? Jos janalle asetetaan jakopisteitä tasavälisesti, projisioituvatko nämä tasaväliseksi pisteistöksi akselille? y Ratkaisu: Pisteen P keskusprojektio P on nyt pisteiden 4 ja P kautta kulkevan suoran s(, P) ja akselin leikkauspiste Janan jokaisen pisteen P projektiosuora s(, P) on päätepisteiden ja projektiosuorien s(, ) ja s(, ) välisessä sektorissa Tästä seuraa, että kaikki janan pisteet projisioituvat päätepisteiden projektioiden väliselle janalle Suoran s(, ) yhtälö on y = Suora leikkaa akselin pisteessä (,), joten = (,) Vastaavasti suoran s(, ) yhtälö on y = ( 4), josta saadaan = (, ) Jana projisioituu siis akselin janalle
6 MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) + é, ù + êë ú Janan keskipiste = (, ) Suoran s(, ) yhtälö on ( ) û y = ja suora leikkaa akselin pisteessä (, ), joten keskipisteen projektio = (, ) Janan pituus on ja janan pituus Näin ollen janan keskipiste ei projisioidu janan keskipisteeksi Janan tasavälinen jako ei projisioidu tasaväliseksi pisteistöksi akselille, koska jana ei ole akselin suntainen é Vastaus: Janan pisteet projisioituvat välile, ù êë ú eskipiste (, ) projisioituu pisteeksi (, ) ei projisioidu tasaväliseksi pisteistöksi û + uution jokaiselle sivutahkolle asetetaan samanlainen säännöllinen nelisivuinen pyramidi Näiden yhteinen korkeus määräytyköön siten, että kahden vierekkäisen pyramidin huiput ja vastaavien tahkojen leikkaussärmä sijaitsevat samassa tasossa Tällöin syntyy monitahokas, jota kutsutaan rombidodekaedriksi Sen sivutahkot ovat suunnikkaita, jotka muodostuvat kahdesta vierekkäisten pyramidien sivutahkoista a) Laske pyramidin korkeuden ja kuution särmän pituuden suhde b) Laske rombidodekaedrin sivutahkon kulmat asteen tarkkuudella c) Laske rombidodekaedrin ja kuution tilavuuksien suhde Ratkaisu: Piirretään kuvio a) Tarkastellaan tasoa, appale sivulta Hahmotelma kappaleesta joka kulkee kuution keskipisteen O ja kahden vie h a D a F rekkäisen pyramidin huippujen ja kautta E O Merkitään, että kuution särmän pituus on a ja pyramidin korkeus h Suorakulmaiset kolmiot D ja O ovat yhdenmuotoiset (kk) Lisäksi kolmio O on tasakylkinen kolmio, joten myös D on tasakylkinen kolmio Täten h = D = D = a Siis pyramidin korkeus on puolet kuution särmästä b) ärkien ja määräämän sivutahkon muut kärjet olkoon E ja F Piste on sivutahkon keskipiste a)kohdan nojalla = a ja E = a Jos nyt SEF = S F = a, niin suorakulmaisesta kolmiosta E saadaan a tana =», 77 a a» 5, 64 a» 7,58 + Toisaalta jos SE = S F = b, niin tiedosta, että nelikulmion kulmain summa on 6, saadaan b = 8 a» 9, c) Pyramidin tilavuus on ( a) a= a 4 Rombidodekaedrin tilavuus on siten 6 a + ( a) = 8a + 8a = 6 a 6a ysyty tilavuuksien suhde on = 8a Vastaus: a) Suhde on :, b) 9 ja 7, c) suhde : + 4
7 MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) stia on kärjellään seisova avonainen ympyräkartio artion pohjan säde on 6,6 cm ja sivujana, cm stia on täynnä vettä stiaan asetetaan pallo, joka sivuaa kartion vaippaa Määritä pallon säde siten, että astiasta valuva vesimäärä on mahdollisimman suuri Ratkaisu: Olkoon kartiossa pohjan keskipiste ja O kärki Olkoon pallon keskipiste P ja säde r sekä pallon piste, joka on lähinnä kartion kärkeä P on janalla O tai sen jatkeella Janan O pituus on 6,6 = 8,8 Yhdenmuotoisista kolmiosta saadaan, r P että OP = r Pallon sisässä oleva osa on pallosegmentti, jonka r 6,6 korkeus h = = O OP + r = 8,8 r Siis r= (8,8 h) Valuva vesimäärä on suurin, kun pallosegmentin tilavuus V = ph ( r h) on suurin Lausutaan tilavuus h:n funktiona 6 Vh ( ) = p(, h h) < h< 8,8 Derivaatan merkkikaavio Derivoidaan V ( h) = p(6,4h5,5 h ) V + h Derivaatan nollakohta 4,8 6,4h 5,5h = h= tai 6, 4 5, 5h= h = 4,8 Vastaus: Säde on 6, cm + Tällöin pallon säde r = (8,8 4,8) 6, = Ovatko seuraavat väitteet tosia? a) Jos funktion f : derivaatta on positiivinen kaikilla muuttujan arvoilla, niin funktio kasvaa rajatta eli lim f() = b) Jos funktion f : derivaatta on positivista vakiota suurempi kaikilla muutujan arvoilla, niin lim f() = Perustele vastauksesi Ratkaisu: a) Tarkastellaan funktiota f( ) = e Sen derivaatta f ( ) = e > kaikilla reaaliluvuilla Toisaalta lim f( ) = lime = Näin ollen kohdan a väite ei ole tosi + b) Jos on olemassa a > siten, että f ( ) > a kaikilla Î, saadaan väliarvolauseesta, että f( ) f() = f ( )( ) > a kaikilla > f( ) > a+ f() Näin ollen lim f( ) ³ lim ( a+ f()) = Vastaus: a) epätosi, b) tosi Laske funktion f, f() e ( ) = sin + cos, derivaatta Osoita, että käyrän y= e sin ja akselin alueessa ³ rajoittamien alueiden,,, pintaalat muodostavat geo metrisen jonon Laske integraali ò e + sin d 8,8 Ratkaisu: f:n derivaatta saadaan tulon derivoimissäännön avulla f ( ) = e (sin + cos ) + e (cos sin ) = e [sin cos + cos sin ] =e sin 4,8 O
8 MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) äyrä y= e sin leikkaa akselia kohdissa (sinifunktion nollakohdat) np ( nî ) lueen n pintaala on ( n+ ) p ( n+ ) p n np ònp a = e sin d= () ( e sin ) d n ò un huomioidaan tehtävän alkuosa, niin n ( ) / n + p np n ( n+ ) p np n n+ ( n+ ) p n np p np e e e e a = () e (sin+ cos ) = n = () {[ e (sin( n+ ) p + cos( n+ ) p)] [ e (sin np + cos np)]} = = () {() ( ) } = ( + ) Peräkkäisten alueiden pintaalojen suhde a n+ an p ( n+ ) p ( + e ) e p = = e p np ( + e ) e < e <, niin pintaalat muodostavat suppenevan geometrisen jonon oska Täten p p e e p e ò e d å an p p n= e e p e e sin p ( + )( ) + sin = = =»,545 Vastaus: Derivaatta ja integraali e +», esätapahtumassa hyttysten määrä oli tilaisuuden alussa ja kolme tuntia myöhemmin 7 Määrän kasvunopeus hetkellä t oli suoraan verrannollinen hyttysten määrään sinä hetkenä Muodosta hyttysten määrää kuvaava differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisuna hyttysten määrä mielivaltaisella hetkellä t Mikä oli hyttysten määrä viiden tunnin kuluttua tilaisuuden alkamisesta? Ratkaisu: Muutosnopeus on suoraan verrannollinen hyttysten lukumäärään eli kyseessä on kertaluvun differentiaaliyhtälö m () t = km dm = km dt dm = kdt m ò ò dm = kdt m ò ln m = kt+ kt+ m= e kt m= e + k lukuehdosta m() = saadaan e = Þ = + Ehdosta m() = 7 saadaan nyt k e = 7 : k e =, 5 ln k = ln,5 ln,5 k =»,
9 MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ (HS) Hyttysten määrä ajan hetkellä t on siten ln,5 t mt () = e Hyttysten määrä 5 tunnin kuluttua on ln,5 5 e» 6,65» 6 Vastaus: Differentiaaliyhtälö m () t = km ja sen tietty ratkaisu 5 tunnin kuluttua hyttysiä on 6 ln,5 t mt () = e + 5 Määritä Eukleideen algoritmilla lukujen 486 ja 46 suurin yhteinen tekijä syt(486, 46) Esitä tämä lukujen lineariyhdistelynä, ts määritä kokonaisluvuta a ja b siten, että syt(486, 6) = 486a + 46b Ratkaisu: Sovelletaan Eukleiden algoritmia lukuihin: 4 86 = = = = = 8 Näin ollen syt(4 86, 4 6) = 8 äyttämällä Eukleiden algoritmia toisinpäin 8 = 5 4 = 5 (4 86 5) = = ( ) ( ) = = ( ) 4 86 = Vastaus: syt(4 86, 4 6) = 8, a = 97 ja b =
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotPythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotPitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotGeometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotKun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.
Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotLukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
Lisätiedotx + 1 πx + 2y = 6 2y = 6 x 1 2 πx y = x 1 4 πx Ikkunan pinta-ala on suorakulmion ja puoliympyrän pinta-alojen summa, eli
BM0A5810 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus, Syksy 015 1. a) Funktio f ) = 1) vaihtaa merkkinsä pisteissä = 1, = 0 ja = 1. Lisäksi se on pariton funktio joten voimme laskea vain pinta-alan
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Lisätiedot2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotKERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Lisätiedot4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
Lisätiedotcos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedotx = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x
KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9
Lisätiedot( ) ( ) ( ) ( ( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 271 Päivitetty 19.2.2006. 701 a) = keskipistemuoto.
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 7 Päivitetty 9..6 7 a) + y = 7 + y = 7 keskipistemuoto + y 7 = normaalimuoto Vastaus a) + y = ( 7 ) + y 7= b) + y+ 5 = 6 y y + + = b) c) ( ) + y
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan
Lisätiedot30 + x. 15 + 0,5x = 2,5 + x 0,5x = 12,5 x = 25. 27,5a + 27,5b = 1,00 55 = 55. 2,5a + (30 2,5)b (27,5a + 27,5b) = 45 55.
RATKAISUT, Insinöörimatematiikan koe 1.5.201 1. Kahdessa astiassa on bensiinin ja etanolin seosta. Ensimmäisessä astiassa on 10 litraa seosta, jonka tilavuudesta 5 % on etanolia. Toisessa astiassa on 20
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to
Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!
MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
Lisätiedota b c d + + + + + + + + +
28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
LisätiedotMatematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.
7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f
Lisätiedotkartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi
5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen
LisätiedotMAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka
Ratkaisut MA Preliminääri kevät 5 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5. a) Ratkaise epäyhtälö >. b) Määritä kaikki luvut, jotka toteuttavat vaatimuksen: Luvun neliön ja vastaluvun summa on. c) Sievennä
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotLASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!
Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
LisätiedotKartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Lisätiedotmassa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5
A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.
LisätiedotKertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli
Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Lisätiedota) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 2 = 7? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 5 4 x
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 01 Arkkitehtimatematiikan koe, 1..01, Ratkaisut (Sarja A) 1. Anna kohdissa a), b) ja c) vastaukset tarkkoina arvoina. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat
LisätiedotMb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1
Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotXXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut
XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki
Lisätiedotmäärittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.
MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotLääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri
Lisätiedotderivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
Lisätiedot