MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

Transkriptio

1 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 8906 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty Ratkaisussa on oltava tarvittavat laskut tai muut riittävät perustelut sekä lopputulos Arvioinnissa kiinnitetään huomiota kokonaisuuteen, ja ratkaisu pyritään arvioimaan kolmiosaisesti: alku, välivaiheet ja lopputulos Laskuvirheet, jotka eivät olennaisesti muuta tehtävän luonnetta, eivät alenna pistemäärää merkittävästi Sen sijaan tehtävän luonnetta muuttavat lasku- ja mallinnusvirheet saattavat alentaa pistemäärää huomattavasti Laskin on kokeen apuväline, jonka rooli arvioidaan tehtäväkohtaisesti Jos ratkaisussa on käytetty symbolista laskinta, sen on käytävä ilmi suorituksesta Analysointia vaativien tehtävien ratkaisemisessa pelkkä laskimella saatu vastaus ei riitä ilman muita perusteluja Sen sijaan laskimesta saatu tulos yleensä riittää rutiinitehtävissä ja laajempien tehtävien rutiiniosissa Tällaisia ovat esimerkiksi lausekkeiden muokkaaminen, yhtälöiden ratkaiseminen sekä funktioiden derivointi ja integrointi Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906

2 A-osa ( piste/koht Kaava Väite Kaava nro b a A Luku b on 50 % suurempi kuin luku a b 0,5a B Luku a on neljäsosa luvusta b 5 b,5a C Luku b on puolet luvusta a b a D Luku b on 5 % suurempi kuin luku a 6 5 b a E Luku b on kaksinkertainen lukuun a verrattuna b a F Luku a on nelinkertainen lukuun b verrattuna 6 5 b) Neliöjuuren sisällä tai erikseen huomattu tehty a a Toistettu kolmesti, vastauksena a Vastaus - 0 f( x), x joten f () 0 Derivointi myös osamääränä tai negatiivista eksponenttia käyttäen Derivointivirhe, kaksi termiä ja sijoitus oikein c) Löydetty integraalifunktiot cos(x) ja sin(x) Saatu vastaus Merkkivirhe integroinnissa maks Sijoitus funktioon sin cos 0 Integroimisvakio vastauksessa - Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906

3 x lb( x ) lb( x) lb ( = ei vaadit, x josta x 8x 7x x 7 b) lb = lb 8 = niin kelvollisia ovat arvot n,5,6,7,8 Vastaus voidaan antaa myös muodossa 8 tai vastaava => => 8 joten n,5,6,7,8 Aidosti kasvavuus tai monotonisuus mainitsematta -0 Määrittelyehto 0 puuttuu -0 Suorakulmion sivut ovat x ja x Pinta-ala, (0 Derivaatta A( x) x, jonka nollakohdat ovat x Vain positiivinen arvo riittää Koska A( x ) on suljetulla välillä 0, määritelty derivoituva funktio ja A(0) A() 0 TAI kulkukaaviosta, niin suurin A A 6 9 ( Käsitelty pinta-alana vain funktiota x +0 Vastaus summamuodossa - Derivointivirhe, nollakohta välillä (0,) maks Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906

4 B-osa 5 Merkitään kulmia aa, dja a d Kulmien summa on ad 80, josta ad 60 Suurin kulma on ad 0 (Ei tarvitse perustell ad 0 Saadaan yhtälöpari, a d 60 josta 7 ja Kulmien suuruudet 7,60 ja 0 Merkitään kulmia a d, a ja a d Kulmien summa on a 80, josta a 60 Suurin kulmista on ad 0, joten d Kulmien suuruudet ovat siten 7,60 ja tai vastaava Pelkkä kuva, jossa yksi kulma on 0 0 Pelkkä vastaus b) Merkitään kulmia x, qx ja qx, joista pienin on x 7 Kulmien summa on 7 ( q q ), josta saadaan ehto q q60 qq (ei kelpa Kulmien suuruudet ovat siten 7, ja 7 7 Jos annettu kulma keskimmäinen ja kulmat ovat, ja, joista ++, niin ja kulmat,, Toinen ratkaisuista riittää, b-kohdasta voi saada pistettä joko yhdellä täysin oikealla ratkaisulla tai kahdella ratkaisulla, joissa ensimmäiset kaksi askelta oikein Pelkkä vastaus Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906

5 6 b) Kaukalo on suora särmiö Jos päätykolmion pinta-ala on A, niin kaukalon tilavuus Vk Ab Jäljelle jäänyt vesi muodostaa kolmisivuisen pyramidin, jonka tilavuus V v Ab Poistuneen veden tilavuus on siten V Ab V k Vettä on valunut pois koko määrästä, eli a a Päätykolmion korkeus H ja pinta-ala A d Päätykolmioiden pinta-aloja vertaamalla tai yhtälöstä a a saadaan d (kuvio all d a a Veden korkeus on siten Likiarvot ok, jos vastaus 0,5a tai a/, muuten maks Käytetty lukuarvoja a:lle tai b:lle a-kohta väärin b-kohdassa maks maks Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906

6 7 Etäisyysehto antaa yhtälön x y y (jo hyvä kuva antaa + ensimmäisen pisteen), josta x y y y, joten yx (viimeiset kaksi askelta myös laskimell HUOM: y= tai f(x)= vaaditaan Havaittu paraabeliksi ja kolmen pisteen ja yhtälöryhmän avulla saatu funktion lauseke Itseisarvomerkit puuttuvat -0 b) Käyrä leikkaa x-akselin, kun y 0 Tällöin x 0, josta x x Koska alue jää x-akselin yläpuolelle (ja on symmetrinen y-akselin suhteen), on kysytty pinta-ala ( x ) dx / x x Määrätyn integraalin arvo laskimesta -0 a-kohta väärin, mutta alaspäin aukeava paraabeli, b-kohta maks 8 Eri reitit: Reittien todennäköisyydet vasemmalta:, 8,,,, 8 Yksi tai kaksi todennäköisyyttä väärin - Vähintään yksi reitti ja sen todennäköisyys oikein Neljä reittiä todennäköisyyksineen oikein b) (Mahdolliset kohtauspaikat ovat pisteet P ja P ) Tn kohdata pisteessä P on p ( )( ) Tn kohdata pisteessä P on p ( )( ) TAI ja Kysytty todennäköisyys on p 9 5 p Laskettu käyttäen vain toista kohtauspaikkaa maks a-kohta väärin, mutta todennäköisyyksien summa, b-kohdasta maks Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906

7 9 Tekijöihin jako: n 6n 7 nn( n 6n7) ( n) n( n 7) TAI 6 ei vaikuta jaollisuuteen Peräkkäisistä luvuista n ja n toinen on varmasti parillinen, joten luvussa on tekijänä luku Jos toinen tekijöistä n ja n on kolmella jaollinen, niin luvussa on tekijänä myös luku Jos näin ei ole, niin silloin varmasti luku n on kolmella jaollinen, kuten on myös luku ( n) 6n 7 Koska alkuperäinen luku on jaollinen luvuilla ja, on se jaollinen myös luvulla 6 Tekijöihin jako: n 6n 7 nn( n 6n7) ( n) n( n 7) Peräkkäisistä luvuista n ja n toinen on varmasti parillinen, joten luvussa on tekijänä luku Koska n n (mod ), n7n (mod ) (jann (mod )), niin n, n ja n 7 ovat keskenään eri luokkaa (mod ) Siis jokin niistä on 0 (mod ) eli kolmella jaollinen Koska alkuperäinen luku on jaollinen luvuilla ja, on se jaollinen myös luvulla 6 Huomattu parilliseksi ja tutkittu, ja Tutkittu 6, 6,,6 5 Tekijöihin jako ja sijoitukset laskimella ok Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906

8 9 (Laskettu 60 80) x 60x8 x x x 8x 6x x (osoittajan tekijäjako riittää) x x josta havaittu, että sijoitus ei johda muotoon l Hôspitalin säännöllä perustellen Pelkkä laskinvastaus raja-arvotoiminnolla 0 Tekijöihin jako tai vastaava laskimella ok b) Koska x ( x)( x ), niin äärellinen raja-arvo voi olla olemassa vain, jos x on myös osoittajan tekijä, eli luku on sen nollakohta Saadaan ehto n 8 0, n 7 josta, eli n 7 (Raja-arvo on siten olemassa vain arvolla n 7) Kokeilu lukuarvoilla 0 Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906

9 B-osa 0 Aloitetaan x lnx iterointi: x0, x ln, x ln,69, x ln,69,9907, x,0955, x5,99, x6,0, x7,5, x8,56, x9,60, x0,6 (609) esitetty riittävän monella desimaalilla pyöristyksen perusteluksi Vastaus on,6 b) x x lnx0lnx xxe Iterointi: x0 x 0,678 x 0955 x 0,65 x 0,595 x5 0,587 x6 0,586 x7 0,585 x8 x9 x0 0,585 ( ) esitetty riittävän monella desimaalilla pyöristyksen perusteluksi Vastaus on 0,59 Tarkkuusvirhe -- Iterointi kesken, lopetettu esim kierrokseen -- Pyöristys ei näy - iterointikierrokset,,, puuttuu -0 Pelkät vastaukset 0 Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906

10 Kuva jossa käyrän normaali kulkee ympyrän keskipisteen läpi TAI Alla olevassa kuviossa ympyrän säde on r sekä käyrän y x ja ympyrän sivuamispiste A( a, a ) Koska y( x) x, niin pisteeseen A asetetun tangentin kulmakerroin on a Samaan pisteeseen asetetun normaalin kulmakerroin on siten a Koska normaali kulkee myös ympyrän keskipisteen K( r,0) kautta, voidaan sen kulmakerroin esittää muodossa a a r Saadaan yhtälö a a ar eli a ( ar) () Toisaalta suorakulmaisesta kolmiosta KBA saadaan Pythagoraan mukaan yhtälö ( ar) a r () Muodostetaan yhtälöistä a ( ar) () ja () pari ( ar) a r Ylemmästä yhtälöstä saadaan a r, josta r a Sijoittamalla nämä molemmat alempaan yhtälöön, saadaan a ja edelleen a, josta a, joista vain 6 6 a a a a positiivinen arvo kelpaa Lopulta saadaan a r a a a 7 7 ( 0,877 0,88) Laskimen normaali- ja muita toimintoja voidaan hyödyntää osana ratkaisua Yhtälöryhmän voi ratkaista laskimella a a Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906

11 0 5 ( ) ( ) ( ) N r r i j k x i y j z k ( x ) ( y) 5( z) x y 5z5 0 x y5z (Vakiot ovat siten a, b, c 5 ja d ) b) Saatu yhtälö toteutuu arvoilla x, y ja z, koska 5, joten piste on tasolla c) Yhtälön x 5y7z toteuttaa esim piste (7,0,0) Voidaan siis valita r 0 7i Tällöin rr0 ( x7) i y j zk (Myös esim vektori r 0 k kelpa Jos N aibjck, niin N( rr0 ) 0 ax ( 7) bycz 0 ax by cz 7a, joka on sama kuin x 5y7z, kun a, b 5 ja c 7, jolloin N i5j7k Jos ratkaisee vektorin väärällä r_0 Voi tehdä myös esimerkiksi valitsemalla ensin vektorin maks Laskimen dotp ja muita toimintoja voi käyttää osana ratkaisua Yksittäinen laskuvirhe - Luku x on yhtälön x 0 eli myös yhtälönx 0 juuri Polynomi on siten Pa ( x) x b) Neliöimällä yhtälö x saadaan x Polynomiksi kelpaa siten ( ) P b x x c) Jos x, niin x, josta neliöimällä saadaan ( x ) x x 0 Polynomiksi käy siten ( ) P c x x x d) Jos x, niin x 5 6, josta x 5 6 Neliöimällä uudelleen saadaan ( x 5), joten polynomi on P ( x) x 0x d Jokaiseen kohtaan on useita ratkaisuja Voi ratkaista esimerkiksi käyttämällä nollakohtien ja tekijäesityksen välistä yhteyttä sekä neliöiden erotusta Matematiikan koe, pitkä oppimäärä 8906