MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA"

Anton Aki Halttunen
9 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa olla ohjelmoitava eikä graafinen laskin ERITYISTÄ HUOMATTAVAA: Vastaa kaikkiin neljään pakolliseen kysymykseen. Valitse kolmesta valinnaisesta kysymyksestä vastattavaksi kaksi ja merkitse ne rastilla lomakkeen ruutuihin. Laske jokainen tehtävä erilliselle paperille. Sivu 1/8 FI

Funktiolaskin, joka ei saa olla ohjelmoitava eikä graafinen laskin ERITYISTÄ HUOMATTAVAA: Vastaa kaikkiin neljään

2 PAKOLLINEN KYSYMYS 1 ANALYYSI Tarkastellaan funktiota f, joka määritellään: 2 x 1 f( x). 2 x a) i. Määritä funktion f määrittelyjoukko, välit joilla f on kasvava tai vähenevä sekä funktion f kuvaajan asymptoottien yhtälöt. ii. Hahmottele funktion f kuvaaja. b) i. Funktion f kuvaajalle pisteeseen ( 1, 2) piirretty tangentti leikkaa x-akselin pisteessä A ja y-akselin pisteessä B. Laske janan AB pituus. ii. Laske sen alueen pinta-ala, jonka rajoittavat funktion f kuvaaja, x-akseli sekä suorat x = 1 ja x = 2. 5 pistettä 1 piste Sivu 2/8

3 PAKOLLINEN KYSYMYS 2 ANALYYSI Kemiallisessa reaktiossa valmistuu uutta yhdistettä. Ajassa t sekuntia valmistuneen yhdisteen massa on m grammaa. Funktio mt () toteuttaa seuraavan differentiaaliyhtälön: dm dt 2 (50 m). 500 a) Ratkaise tämä differentiaaliyhtälö, kun ajassa t = 0 massa m = 0. 6 pistettä b) i. Laske 100 sekunnissa valmistuneen yhdisteen massa. 2 pistettä ii. Laske aika, jonka kuluttua valmistuneen yhdisteen massa on 40 grammaa. iii. Osoita, että reaktiossa valmistuneen yhdisteen massa ei voi koskaan ylittää 50 grammaa. 2 pistettä 2 pistettä Sivu 3/8

500 a) Ratkaise tämä differentiaaliyhtälö, kun ajassa t = 0 massa m = 0. 6 pistettä b) i. Laske 100 sekunnissa valmistuneen yhdisteen massa.

4 PAKOLLINEN KYSYMYS 3 GEOMETRIA Kolmiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa annetaan pisteet O(0, 0, 0), P (1, 1, 3), Q (1, 5, 2), R (0, 3, 1) ja S (1, 4, 1). a) i. Osoita, että suora OP on kohtisuorassa suoria OQ ja OR vastaan. ii. Määritä tasolle QOR koordinaattimuotoinen yhtälö ja osoita sitten, että piste S on tässä tasossa. b) i. Laske pisteen P etäisyys tasosta QOR. ii. Laske kolmion SPR pinta-ala. 4 pistettä Sivu 4/8

Osoita, että suora OP on kohtisuorassa suoria OQ ja OR vastaan. ii.

5 PAKOLLINEN KYSYMYS 4 TODENNÄKÖISYYS Neljä korttia nostetaan yksi toisensa jälkeen umpimähkään kymmenen kortin pakasta palauttamatta korttia takaisin. Kortit on numeroitu 1:stä 10:een. a) i. Laske todennäköisyys, että kaikki nostetut numerot ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin 6. ii. Laske todennäköisyys, että nostettujen neljän numeron tulo on parillinen. b) i. Laske todennäköisyys, että toisena, kolmantena ja neljäntenä nostettu numero on kukin 1:tä suurempi kuin edellisenä nostettu numero. ii. Tiedetään, että ensimmäiset kaksi nostettua numeroa ovat parillisia. Laske todennäköisyys, että jokainen nostettu numero on parillinen. 4 pistettä Sivu 5/8

Laske todennäköisyys, että nostettujen neljän numeron tulo on parillinen. b) i.

6 VALINNAINEN KYSYMYS I ANALYYSI Tarkastellaan funktiota f, joka määritellään: 2 f ( x) ( 2x 4 x)e x. a) i. Määritä funktion f nollakohdat, välit joilla f on kasvava tai vähenevä, funktion f kuvaajan ääriarvopisteiden koordinaatit. 7 pistettä ii. Tutki funktion f (x) käyttäytymistä, kun x ja kun x +. Määritä mahdollisten asymptoottien yhtälöt. b) i. Osoita, että funktion f kuvaajalle kohtaan x 1 piirretyn tangentin t 2 4 yhtälö voidaan kirjoittaa: y x. e e ii. Laske tangentin t ja x-akselin välinen terävä kulma. 2 pistettä c) i. Hahmottele funktion f kuvaaja ja tangentti t samaan koordinaatistoon. ii. Määritä vakiot b ja c siten, että F x x 2 bx c funktion f (x) integraalifunktio. 2 e x on iii. Laske sen alueen pinta-ala, jonka rajoittavat funktion f kuvaaja ja tangentti t. 4 pistettä Sivu 6/8

Määritä mahdollisten asymptoottien yhtälöt. b) i. Osoita, että funktion f kuvaajalle kohtaan x 1 piirretyn tangentin t 2 4 yhtälö voidaan kirjoittaa: y x. e e ii.

7 VALINNAINEN KYSYMYS II TODENNÄKÖISYYS Erään suuren kaupungin julkisen liikenteen käyttäjäkunta U on tutkittu ja siitä on saatu seuraavia tuloksia: 40 % U:sta on miehiä ja 60 % U:sta on naisia. 25 %:lla U:n miehistä ja 50 %:lla U:n naisista on kausikortti. a) Yksi henkilö valitaan umpimähkään U:sta. i. Osoita, että tällä henkilöllä on kausikortti todennäköisyydellä 0,4. ii. Käy ilmi, että tällä henkilöllä ei ole kausikorttia. Laske todennäköisyys, että hän on mies. b) Kymmenen henkilöä valitaan umpimähkään U:sta. Laske todennäköisyys, että i. täsmälleen 6:lla näistä kymmenestä henkilöstä on kausikortti, ii. ainakin 2:lla näistä kymmenestä henkilöstä on kausikortti. c) U:sta valitaan umpimähkään 200 henkilön otos. Satunnaismuuttuja X ilmoittaa tämän otoksen niiden henkilöiden lukumäärän, joilla on kausikortti. i. Ilmoita, mikä on satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma sekä laske X:n odotusarvo (keskiarvo) ja keskihajonta. ii. Laske P(60 X 100) käyttäen sopivaa approksimaatiota. Perustele tämän approksimaation käyttö. iii. Käyttäen samaa approksimaatiota määritä pienin kokonaisluku k, jolle P(X k) > 0,90. 5 pistettä 5 pistettä Sivu 7/8

Käy ilmi, että tällä henkilöllä ei ole kausikorttia. Laske todennäköisyys, että hän on mies. b) Kymmenen henkilöä valitaan umpimähkään U:sta. Laske todennäköisyys, että i.

8 VALINNAINEN KYSYMYS III GEOMETRIA Kolmiulotteisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa annetaan: taso : x 2y 3z 12, pallo S : sekä x y z x y z pisteet A(12, 0, 0), B(0, 6, 0), C(0, 0, 4) ja P(5; 1,5; 5). a) Määritä niiden pisteiden koordinaatit, joissa taso leikkaa x-, y- ja z-akselit. b) A, B, C ja origo O ovat kolmisivuisen pyramidin kärjet. Laske tämän pyramidin tilavuus. c) i. Määritä pyramidin OABC kärkien kautta kulkevan pallon yhtälö. Osoita, että tämä pallo on S. ii. Osoita, että pallon S keskipiste on pyramidin OABC ulkopuolella. 2 pistettä 5 pistettä iii. Taso leikkaa pallon S pitkin ympyrää. 4 pistettä Määritä tämän ympyrän keskipiste ja säde. d) i. Osoita, että piste P on pallon S sisäpuolella. 2 pistettä ii. Q on se pallon S pinnan piste, joka on lähimpänä pistettä P. Määritä pisteen Q koordinaatit. iii. Tasolla on ainoastaan piste Q yhteisenä pallon S kanssa. Määritä tasolle koordinaattimuotoinen yhtälö. Sivu 8/8

Määritä pyramidin OABC kärkien kautta kulkevan pallon yhtälö. Osoita, että tämä pallo on S. ii. Osoita, että pallon S keskipiste on pyramidin OABC ulkopuolella. 2 pistettä 5 pistettä iii.

Samankaltaiset tiedostot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,