-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi"

Kirsti Hukkanen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei oikeaa vastausta) -lähtökohtana on aksioomat: tieto, jota ei tarvitse todistaa (eikä voi), "itsestäänselvää" (kts. s.10 ja 15) -esim. vaihdantalait: a+b = b+a ja ab = ba esim. 202 Väite: kaikilla a,b ja c jotka kuuluvat reaalilukuihin, pätee (a+b)c = ac + bc Todistus: (vaihdantalaki) (osittelulaki) (vaihdantalaki)

2 -väite on lause, joka osoitetaan todeksi -oletus on olettama, millä väite perustellaan Esim. Oletus: Eräälle reaalifunktiolle f on voimassa kaikilla reaaliluvuilla x ja y: f(x+y) = f(x)*f(y) Väite:

3 Aiemmin esitetty merkki ( < = > tai <-> ) on nimeltään ekvivalenssi. Se on yksi logiikan käyttämistä konnektiiveista. Sillä voidaan näyttää, että lauseet (esim yhtälöt) ovat keskenään samanarvoisia, sillä kummastakin voidaan päästä toiseen jollakin operaatiolla. Jos siis todistamisessa osoitetaan, että oletuksista (eka yhtälö) seuraa väite (vika yhtälö), niin väite on silloin osoitettu. Jos on käytetty vain ekvivalenssia, niin silloin myös väitteestä seuraa oletus! Ts. oletus ja väite ovat sama asia. Implikaatio (=> tai ->) on konnektiivi, jossa yhdestä asiasta seuraa toinen, mutta ei (välttämättä) toiseen suuntaan. Esim. Olkoon a reaaliluku, jolle a > 1. Osoita, että a > 0. Oletus: a>1 Väite : a>0

4 Huomaa, että jos a>0 niin siitä ei aina seuraa, että a>1! Tämän vuoksi kyse ei ole ekvivalenssista vaan implikaatiosta. Siksi myös väitteestä ei seuraa oletus! Jos pelkistä oletuksista saadaan (esim. implikaatioiden ja ekvivalenssien avulla) muodostettua väite, kutsutaan tällaista todistusta suoraksi todistukseksi. Oletetaan, että meillä on kaksi lausetta: p ja q (esim yhtälöitä). Nämä lauseet voivat olla joko tosia tai epätosia. Onko sitten p => q tosi? Totuustaulu on taulukko, jolla testataan kaikki vaihtoehdot. (tosi = 1 tai t ja epätosi = 0 tai e)

5 Logiikan kuuluisin lause, kuuluu seuraavasti: Ihmiset ovat kuolevaisia Sokrates on ihminen Sokrates on kuolevainen (Tämä päättely on nimeltään modus ponens) 3.2 Konjunktio ja disjunktio Esim. Oletetaan, että x = 5. Onko x = 5? Jotta väite voidaan todeta todeksi tai epätodeksi, tarvitaan lisätietoa. Oletetaan myös, että x>0. Kun x =5 JA x>0 NIIN x=5. (Vaihtoehtoisesti Kun x =5 JA x<0 NIIN x 5. ) Niin-merkintä voidaan ajatella implikaationa, mutta ja-merkintä tarvitsee uuden konnektiivin. Konjuktio merkitään symbolilla ^.

6 Edellinen lause olisi loogisesti ilmaistuna siis x =5 ^ x>0 => x=5 Usein todistuksissa joudutaan perustelemaan useampien oletusten avulla, jotka yhdessä muodostavat väitteen. Joskus joudutaan myös tapauskohtaiseen tarkasteluun: Esim. Oletus: x on reaaliluku ( ) Väite: x+1 > x On tarkasteltava kaksi tapausta: 1' x+1 0 eli x -1 ja 2' x+1 < 0 eli x < -1 1' x+1 = x+1 (itseisarvon määritelmä) => x+1 > x (koska x+1 > x) 2' x+1 = -x-1 (itseisarvon määritelmä) => x+1 > 1-1 (koska x<-1 ja -x>1) <=> x+1 > 0 => x+1 > x (koska x<-1<0)

7 Väite toteutuu kaikissa tapauksissa (1' ja 2'), joten väite on tosi. Lause voidaan muotoilla myös loogisesti: Kun x -1 TAI x<-1 NIIN x+1 > x Tai-merkintä voidaan ilmaista konnektiivinä. Disjunktion symboli on v. eli x -1 v x<-1 => x+1 > x Konjunktio ja disjunktio voidaan ilmaista jälleen totuustaulussa: Disjunktio (=tai) on erilainen logiikassa kuin arkikielessä. Esim. "Kahvi tai tee?" ei voi tarkoittaa molempia mutta "kahvi v tee" voi.

8 Vertaa Venn-diagrammeihin: (lisää kpl 5) 3.2 Epäsuora todistus Kolmannen poissuljetun laki = väittämä on joko tosi tai epätosi (klassisessa logiikassa ei ole mitään muita vaihtoehtoja) Viimeinen välttämätön konnektiivi on negaatio. Sen symboli on ja tarkoittaa vastakohtaa. Esim jos väite p tarkoittaa että Antti on opettaja niin p tarkoittaa että Antti ei ole opettaja Jos q tarkoittaa että x <4, niin silloin q tarkoittaa että x 4

9 Negaation totuustaulu: Suora todistus = oletuksista päätellään lause Epäsuora todistus = osoitetaan, että väitteen negaatio on epätosi, jolloin väite on tosi Esim. Väite: Ei ole olemassa suurinta (reaali)lukua. Vastaoletus: on olemassa luku M, joka on kaikkein suurin reaaliluku. Koska kaikille reaaliluvuille x pätee, että x+1 on reaaliluku, on myös M+1 reaaliluku. Mutta koska M< M+1, syntyy ristiriita! Tällöin vastaoletus on väärä, ja väite tosi.

10 4.1 Lauselogiikka Esim. syksy15/6 Oletus 1: Jos kuu on juustoa, niin minä olen sammakko. Oletus 2:Minä en ole sammakko. Väite: Kuu ei ole juustoa. Jos oletukset ovat totta, niin onko väite totta? Tarkastellaan totuustaulun avulla! olkoon p = minä olen sammakko ja q = kuu on juustoa. Tällöin oletus1 on q => p oletus2 on p ja väite on q Muodostetaan totuustaulu

11 Kun katsotaan rivejä, jossa oletukset ovat 1, huomataan, että myös väite on 1. Väite on siis tosi! Totuustaulussa olevat lauseet eli loogiset ilmaisut ovat nimeltään prepositiolauseita. Kun prepositiolause on aina tosi, kutsutaan sitä tautologiaksi. Äskeisen esimerkin viimeinen prepositiolause on tautologia, sillä riippumatta p:n ja q:n totuusarvoista, on se tosi. Tätä lausetyyppiä kutsutaan modus tollensiksi. Koska modus tollens on tautologia, voidaan tällaista loogista päättelyä pitää aukottoman hyvänä. Samoin muut käytetyt loogiset rakenteet, (esim epäsuora todistus) ovat tautologioita. Jos jotkin prepositiolauseet saavat täsmälleen samat totuusarvot, niin kutsutaan niitä loogisesti yhtäpitäviksi (tai loog. ekvivalenteiksi).

12 Esim. 411

Samankaltaiset tiedostot

Loogiset konnektiivit

Loogiset konnektiivit Tavallisimmat loogiset konnektiivit ovat negaatio ei konjunktio ja disjunktio tai implikaatio jos..., niin... ekvivalenssi... jos ja vain jos... Sulkeita ( ) käytetään selkeyden vuoksi