Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2013
|
|
- Teemu Korpela
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kasaiväliset matematiikkaolympialaiset 013 Tehtävie ratkaisuja 1. Todista, että jokaista positiiviste kokoaislukuje paria k ja kohdeoolemassak sellaista positiivista kokoaislukua m 1,m,..., m k,jotkaeivät välttämättä ole eri lukuja, että 1+ k 1 ) ) 1+ )1+ 1m1 1m 1+ 1mk. Ratkaisu. Osoitetaa väite todeksi iduktiolla k: suhtee. Kaikilla o Tehdää sitte iduktio-oletus, joka mukaa tehtävässä olevayhtälö saadaa toteutumaa arvolla. Iduktioaskel k k + 1 tehdää eri tavoi se mukaa, oko parito vai parillie. Edellisessä tapauksessa +1 o kokoaisluku. Voidaa kirjoittaa 1+ k+1 1 +k ) +1 + k ) +k+1 1) ) ) 1+ k ) Tulo jälkimmäie tekijä o iduktio-oletukse mukaa k: muotoa oleva luvu a tekkijä, jote koko tulo o k + 1): samamuotoise luvu tulo. Jos o parillie, kirjoitetaa vastaavasti k+1 1 +k 1 1 +k+1 1) + k+1 ) + k+1 ) ) ) 1 1+ k 1) k+1 + k+1 + k ) 1+ k 1 Johtopäätös o sama kui parittoma : tapauksessa. Väite o todistettu taso pistee asetelmaa kutsutaa kolumbialaiseksi, jos se koostuu 013 puaisesta ja 014 siisestä pisteestä, joista mitkää kolme eivät ole samalla suoralla. Taso jaetaa useaksi alueeksi piirtämällä joukko suoria. Suorie joukko o suopea kolumbialaiselle asetelmalle, jos seuraavat kaksi ehtoa täyttyvät:.
2 mikää suora ei kulje mikää asetelma pistee kautta; missää alueessa ei ole erivärisiä asetelma pisteitä. Etsi piei sellaie k, että jokaista 407 pistee kolumbialaista asetelmaa kohde o olemassa tälle asetelmalle suopea k: suora sijoittelu. Ratkaisu. Osoitetaa esi iduktiolla, että jos asetelmassa o parito määrä pisteitä + 1, ii :llä suoralla voidaa muodostaa suopea sijoittelu, riippumatta siitä, kuika suuri osuus pisteistä o siisiä. Jos 1,äi selvästi o. Oletaa, että jokaisee 1 pistee asetelmaa liittyy suopea 1: suora sijoittelu. Olkoo sitte asetelmassa + 1 pistettä. Tarkastellaa iide koveksia verhoa. [Se o piei moikulmio, joka sisältää kaikki pisteet. Äärellise pistejouko E koveksi verho voi ajatella sytyvä ii, että tarkastellaa esi jotaki mielivaltaista suoraa l, jokamäärittämistä puolitasoista toisee E kokoaa sisältyy. Kaikista l: suutaisista ja E: pisteide kautta kulkevista suorista jotki kaksi ovat sellaisia, että kaikki E: pisteet ovat joko suoralla tai toisessa suora määrittämistä puolitasoista. Jos suoralla o aiaki kaksi E: pistettä, äistä kaksiäärimmäistä ovat koveksi verho kärkipisteitä. Jos suoralla o vai yksi E: piste A, tarkastellaa A: ja E: muide pisteide kautta kulkevia suoria. Näistä jotki kaksi ovat sellaisia, että kaikki E: pisteet ovat joko suoralla tai kokoaa toisessa suora määrittämistä puolitasoista. A ja suoralla kauimpaa A:sta oleva E: piste ovat koveksi verho kärkiä.] Jos koveksi verho kärkipisteissä o kaksi vierekkäistä samaväristä, A ja B, o olemassa AB: suutaie suora l, joka toisella puolella ovat A ja B ja toisella puolella 1 asetelma pistettä. Iduktio-oletukse mukaa ämä voidaa jakaa 1:llä suoralla ii, että jokaalueessaovaiyhdevärisiä pisteitä. Pisteet A ja B ovat joko samassa tai eri alueissa; alueissa joissa e ovat, ei ole muita sijoittelu pisteitä, jote sijoittelu o suopea. Oletetaa sitte, että kaikki koveksi vierekkäiset kärkipisteet ovat erivärisiä. Valitaa iistä jällee kaksi A ja B. Iduktio-oletukse mukaa o olemassa 1:suorasuopea sijoittelu, joka jakaa loput 1 pistettä alueisii, joissa kussaki o vai yhdevärisiä asetelma pisteitä. Jos A ja B ovat samassa alueessa, ii tässä alueessa o vai joko A: tai B: värisiä asetelma pisteitä. Suora, joka erottaa erivärise pistee muista täydetää sijoittelu halutuksi. Jos A ja B ovat eri alueissa, ii AB: suutaie suora erottaa e muista asetelma pisteistä alueisii, joissa saotut pisteet ovat aluee aioat pisteet. Iduktioaskel o otettu. Tehtävä luvui 013 suoraa riittääaia. Osoitetaa vielä, että o tilateita, joissa tarvitaa 013 suoraa. Tarkastellaa 406 pistettäympyrä kehällä, vuorotelle siisiä ja puaisia ja yksi siie piste jossaki). Sijoittelussa,jokaosuopeatälle asetelmalle täytyy olla jokaista kahta vierekkäistä pistettä kohde suora, joka leikkaa pisteide välise jaa ja siis myös iide välise kaare. Suorie ja ympyrä leikkauspisteitä o oltava aiaki 406, ja koska suora leikkaa ympyrä eitää kahdessa pisteessä, suoria o oltava aiaki Kolmio ABC kärje A vastaie sivuympyrä sivutkoosivuabc pisteessä A 1.Määriteltäköö sivu CA piste B 1 ja sivu AB piste C 1 vastaavasti käyttämällä kärkie B ja C vastaisia sivuympyröitä. Oletetaa, että kolmio A 1 B 1 C 1 ympäri piirrety ympyrä keskipiste sijaitsee kolmio ABC ympäri piirretyllä ympyrällä. Todista, että kolmioabc o suorakulmaie.
3 Kolmio ABC kärje A vastaie sivuympyrä o ympyrä, joka sivuaa jaaa BC, puolisuoraa AB jaa AB jatkeella ja puolisuoraa AC jaa AC jatkeella. Kärkie B ja C vastaiset sivuympyrät määritellää vastaavasti. Ratkaisu. Olkoot kolmio ABC sivut a, b, c, kulmat α, β, γ, se sivuympyröide keskipisteet I a,i b,i c ja A,B,C ABC: sisäympyrä ja kolmio sivuje sivuamispisteet. Olkoo vielä B c piste, jossa I b -keskie sivuympyrä sivuaa puolisuoraa BA ja p a + b + c. Koska kolmio A 1 B 1 C 1 ympärysympyrä keskipiste o kolmio ulkopuolella, kolmio o tylppäkulmaie. Voidaa olettaa, että C 1 A 1 B 1 o tylppä. Kolmio A 1 B 1 C 1 ympärysympyrä keskipiste o silloi samalla kolmio ABC ympärysympyrä kaarella kui A. Olkoo M tämä kaare keskipiste. Osoitetaa, että M o kolmio A 1 B 1 C 1 ympärysympyrä keskipiste. O tuettua ja helppo todistaa) että pisteet A 1,B 1,C 1 ovat kolmio ABC piiri puolittajia, ts. AB + BA 1 AC + CA 1 je. Siis esimerkiksi BC 1 CB 1 p a. Koska M o kaare BAC keskipiste, M o jaa BC keskiormaalilla. Lisäksi MBC 1 MBA MCA MCB 1. Kolmiot MBC 1 ja MCB ovat yhteeviä sks), jote MB 1 MC 1. Koska kolmio A 1 B 1 C 1 ympärysympyrä keskipistee tiedetää oleva kaarella BAC, keskipiste o todellaki M. Koska BA 1 p c CA, kolmiot MBA 1 ja MCA ovat yhteeviä. Siis MA MA 1, jote piste A o kolmio A 1 B 1 C 1 ympärysympyrällä. Osoitetaa sitte, että myös piste B c o tällä ympyrällä. Osoitetaa esi, että M o jaalla I b I c.tämä tulee osoitetuksi, jos äytetää, että BAM ja BAI c ovat vieruskulmia. Todellaki: BAM BCM 1 β + γ) ja BAI b α + 1 β + γ), jote BAM + BAI b α + β + γ 180.Koska kulma ja se vieruskulma puolittajat ovat toisiaa vastaa kohtisuorassa, A, B, C ovat kolmio I a I b I c korkeusjaoje katapisteet. Kolmio ABC ympärysympyrä oäi olle kolmio I a I b I c yhdeksä pistee ympyrä, joka tuetusti kulkee sivuje keskipisteide kautta. M o siis jaa I b I c keskipiste. Koska I c C 1 AB I b B, M o suorie I c C 1 ja I b B c suuatisella suoralla, yhtä etäällä molemmista suorista. Mutta tämä merkitsee sitä, että M o jaa B c C 1 keskiormaalilla, jote MB c MC 1 A 1 B 1 C 1 : ympärysympyrä säde. Tarkastellaa yt pistee B potessia A 1 B 1 C 1 : ympärysympyrä suhtee. Pätee BA 1 BA BC 1 BB c. Nyt BA 1 p c ja tuetusti tai helposti todistettavasti) BA p b. Lisäksi BB c p. Siis p c)p b) pp a). Tämä yhtälö sieveee muotoo b + c a 0. Pythagoraa lausee kääteislausee perusteella kolmio ABC o siis suorakulmaie. 4. Olkoo ABC teräväkulmaie kolmio, joka korkeusjaoje leikkauspiste o H, ja olkoo W sivu BC piste, joka sijaitsee aidosti pisteide B ja C välissä. Pisteet M ja N olkoot kärjistä B ja C lähtevie korkeusjaoje kaat. Merkitää ω 1 :llä kolmio BWN ympäri piirrettyä ympyrää, ja olkoo X ympyrä ω 1 se piste, jolle WX o ympyrä ω 1 3
4 halkaisija. Merkitää ω :lla vastaavasti kolmio CWM ympäri piirrettyä ympyrää, ja olkoo Y se ympyrä ω piste, jolle WY o ympyrä ω halkaisija. Todista, että X, Y ja H ovat samalla suoralla. Ratkaisu. Olkoot kolmio ABC kulmat α, β, γ. Olkoo Z ympyröide ω 1 ja ω toie leikkauspiste. Koska WX ja WY ovat ω 1 : ja ω : halkaisijat, kulmat WZX ja WZY ovat suoria. X, Z ja Y ovat siis samalla suoralla. Jäeelikulmioista BWZN ja WCMZ saadaa kulmaksi NZM NBW+ WCM β+γ. Kulma NZM o siis kulma MAN α vieruskulma, jote Z o pisteide A, N, M kautta kulkevalla ympyrällä. Koska ANH ja AMH ovat suoria kulmia, myös H o tällä ympyrällä jaah o ympyrä halkaisija. Mutta silloi AZH o suora kulma. Osoitetaa vielä, että myös AZX o suora. Tämä seuraa kehäkulmalausee ja kulmie AHN ja ABC yhtäsuuruude vuoksi siitä, että AZX AZN + NZX AHN + XBN ABC + XBN XBW. Siis H o samalla suoralla kui Z, X, Y,javäite o todistettu. 5. Olkoo Q >0 positiiviste ratioaalilukuje joukko. Olkoo f : Q >0 R kuvaus, joka toteuttaa seuraavat kolme ehtoa: i) kaikilla x, y Q >0 pätee fx)fy) fxy); ii) kaikilla x, y Q >0 pätee fx + y) fx)+fy); iii) o olemassa ratioaaliluku a>1, jolle fa) a. Todista, että jokaisella x Q >0 pätee fx) x. Ratkaisu. Koska a fa) fa 1) fa)f1) af1), ii f1) 1. Tästä seuraa iduktiolla, että fk) k kaikilla positiivisilla kokoaisluvuilla k: josfk) k, ii fk +1) fk) +f1) k +1. Jos m ja ovat positiivisia kokoaislukuja, ii f)f m ). Tästä seuraa, että fx) > 0 kaikilla positiivi- m fm) f m ) silla ratioaaliluvuilla. Ehdosta ii) seuraa yt, että f o kasvava fuktio. Erityisesti a fa) fa ), ja iduktiolla ähdää, että yleisesti fa k ) a k. Samoi iduktiolla ähdää, että fka) kfa) kaikilla positiiviisilla kokoaisluvuilla k. Osoitetaa yt, että itse asiassa fka) ka kaikilla k. Todistetaa epäsuorasti: oletetaa, että jollai m o fma) ma t>0. Jos yt o sellaie kokoaisluku, että t > a, ii fma) fma) ma + t > ma + a. Koska a>1, o olemassa sellaie kokoaisluku p, että a p >m. Silloi a p+1 fa p+1 ) f a p a) f a p m)a + ma) f a p m)a)+fma) > a p m)a + ma + a a a p )+1), eli a p > a p +1. Tämä ei ole mahdollista, jote vastaoletus oli virheellie. Siis fka) ka kaikilla positiivisilla kokoaisluvuilla k. 4
5 Koska a o ratioaaliluku, a p joillai positiivisilla kokoaisluvuilla p ja q. Josk q, q ii fp) f k p ) fka) ka p. Toisaalta fp) pf). Siis f). q Koska, ii kui alussa huomautettii, f), ooltavaf) kaikilla positiivisilla kokoaisluvuilla. Oletetaa sitte, että jollai ratioaaliluvulla x olisi fx) x u>0. Jos o sellaie kokoaisluku, että x o kokoaisluku, o x fx) fx) > x + u. Ristiriita; siis maiitulaista ratioaalilukua x ei ole olemassa, jote fx) x kaikilla x. O vielä torjuttava mahdollisuus fy) <yjollai ratioaaliluvulla y. Jos o sellaie kokoaisluku, että y o kokoaisluku, ii y fy) f)fy) fy) < y. Ristiriita taas. Todistus o valmis. 6. Olkoo 3 kokoaisluku. Tarkastellaa ympyrää, jolle o merkitty +1 pistettä tasaisi välei. Tarkastellaa pisteide kaikkia mahdollisia imeämisiä luvuilla 0, 1,...,, missä kutaki lukua käytetää täsmällee kerra; tällaisia imeämisiä pidetää samoia, jos e voidaa saada toisistaa ympyrä kierrolla. Nimeämistä kutsutaa kauiiksi, jos a:ksi ja d:ksi imettyje pisteide välie jäe ei leikkaa b:ksi ja c:ksi imettyje pisteide välistä jäettä, ku eljälle imelle a<b<c<dpätee a + d b + c. Olkoo M kauiide imeämiste lukumäärä, ja olkoo N iide positiiviste kokoaislukuje järjestettyje parie x, y) lukumäärä, joille x + y ja s.y.t.x, y) 1.Todista, että M N Ratkaisu. Puhutaa imeämise sijaa umeroiista. Sellaisia lukupareja x, y), joilla s.y.t.x, y) 1jax + y o tasa yhtä mota kui sellaisia lukupareja z, y), missä 1 y<z. Väite tulee todistetuksi, ku osoitetaa, ettäyhtä lukuuottamatta jokaie kauis umeroiti vastaa yksikäsitteisesti tällaista lukuparia. Kostruoidaa siis jokaista paria z, y) kohde kauis umeroiti ja osoitetaa, että äi sytyvät kaikki kauiit umeroiit. Olkoo S {0, 1,,..., } ja olkoot pisteide umerot myötäpäivää a 0 0, a 1,..., a. Olkoo kaikilla k S fk) se yksikäsitteie luku, jolle a fk) k; saomme, että fk) ok: ideksi. Merkitä i j tarkoittaa samaa kui fi) <fj); tällöi siis i o ee j:tä. Numeroiti o kauis, jos ja vai jos aia ku a b c d, o a + d b + c. Huomataa, että josa 1 1, ii a j j kaikilla j. Ellei äi olisi, olisi i +1 i jollai i ja siis 0 1 i +1 i ja 0 + i +1)1+i. Oletetaa sitte, että a 1 1. Tehtävä väite tulee todistetuksi, ku osoitetaa, että kaikki muut kauiit umeroiit saadaa seuraavasti. Olkoo z, y) sellaie järjestetty lukupari, että1 y < z ja s.y.t.x, y) 1. Kaikilla i 0, 1,,..., z 1 asetetaa E i {k 0 k ja k yi mod z}. Tämä jälkee aetaa pisteille esi E 0 : umerot suuruusjärjestyksessä, sitte E 1 : je. Todetaa, että aiaa 0 0jaa 1 z. [Jos esimerkiksi y 3,z 5, 3,
6 umeroiti o 0, 5, 10, 15, 0, 3, 8, 13, 18, 3, 1, 6, 11, 16, 1, 4, 9, 14, 19,, 7, 1, 17,.] Osoitetaa, että äi sytyvät umeroiit ovat kauiita. Ellei äi olisi, löytyisi luvut a, b, c, d ii, että a b c d ja a + c b + d. Tällöi a E i1, b E i, c E i3 ja d E i4, missä 0 i 1 i i 3 i 4 < z. Koska s.y.t.y, z) 1, tästä seuraa i 1 +i 3 i +i 4 mod z. Mutta i +i 4 ) i 1 +i 3 )i 4 i 1 i 3 i ) i 4 i 1 z 1, jote i 1 + i 3 i + i 4.Tämä o mahdollista vai, jos i 1 i ja i 3 i 4. Koska umeroiissa o oudatettu suuruusjärjestystä E i1 :ssäjae i3 :ssa, o a<bja c<d, jote oki a+c <b+d. Ristiriita osoittaa, että jokaie kuvatulla tavalla syytetty umeroiti o kauis. Osoitetaa sitte, että kaikki kauiit umeroiit o tuotettu kuvatulla tavalla. Tehdää iduktio : suhtee. Ku 3, mahdolliset parit z, y) ovat3, 1), 3, ) ja, 1). Ne tuottavat triviaalia umeroitia lukuu ottamatta kaikki kauiit umeroiit, 0, 3, 1,, 0, 3,, 1ja0,, 1, 3. Oletetaa yt, että meetelmä tuottaa kaikki k: pistee kauiit umeroiit, ku k. Tarkastellaa jotai + 1): pistee umeroitia a 0 0,a 1,..., a, missä a 1 > 1. Olkoo a 1 z. Tarkastellaa eriksee tapauksia a 1 ja a 1 <. Olkoo siis a 1 z. Asetetaa y a. Osoitetaa, että a k+1 ky mod z. Väitetää, että josäi ei olisi, olisi olemassa i ja j ii, että y i j ja i j y mod. Silloi olisi joko i j y tai j i y. Koska0 y i j, edellie vaihtoehto ei käy, koska y i j, jälkimmäie vaihtoehtokaa ei käy. Todistetaa yt esitetty väite. Jos s.y.t.y, z) 1,väite o triviaalisti tosi, koska lukuje ky jakojääökset mod z ovat kaikki eri suuria. Jos taas s.y.t.y, z) > 1eikäväittee mukaisia lukuja i ja j ole olemassa, ii 1 1+y 1+y... luvut mod z) Joo palaa jossai vaiheessa 1:ee, mikä o ristiriita. Tarkastellaa sitte sellaisia umeroiteja, joissa a 1. Poistetaa piste, jolla o umero. Iduktio-oletukse mukaa o olemassa joki : pistee kauis umeroiti, joka oudattaa esitettyä kostruktiota joillai z, y). Pyritää osoittamaa, että tällaisee umeroitii voidaa liittää piste, joka umero o vai yhdellä tavalla ii, että umeroiti o kauis ja sellaie, joka perustuu parii z, y) yllä kuvatulla tavalla, ja jossa siis a 1 z. Olkoo ky mod z, 0 k<z. Osoitetaa, että o sijoitettava lukuje z ja jouko E k+1 pieimmä alkio v välii. Huomataa, että v + y mod z. Osoitetaa esi, että ooltava z. Koskaa 0 0jaa 1 z, oz. Jos z, ei voi olla z [0, ]ja[z, z] leikkaisivat). Jos z, sekä että z ovat ympyrä kehällä 0:jaz: jälkee, ja z: o edellettävä :ää. Osoitetaa sitte, että o sijoitettava välittömästi : jälkee. Käsitellää eri mahdollisuudet. Jos k z 1, ii z z 1)y mod z o E z 1 : suuri alkio ja siis umeroii viimeie; silloi voidaa sijoittaa vai z: ja 0: välii. Jos sitte k 0eli 0modz, ii tz ja t. Nyt v y. Koska t 1)z y y z + y, ii o sijoitettava t 1)z: ja z + y: välii. :ää ei kuitekaa voi sijoittaa y: jälkee, koska y E z 1 ja äi sekä y että ovat 0: ja y): välissä. Oletetaa sitte, että tz + u, misstä t 1ja 0 <u<z;myös 0 <v<z. Edellä tehdystä huomautuksesta seuraa, että jokov u + y tai v + z u + y. Jos v u + y, ii tz y v, koska y seuraa heti tz:aa). Jos v + z u + y, ii z v v + z, jote o sijoitettava z): ja v + z): välii. Koska v t +1)z y, ii v o umeroii viimeie. Siis 0, v v, jote o oltava v. 6
7 Iduktioaskel o yt otettu, ja väite todistettu. 7
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 3
83 Tekijä Pitkä matematiikka 7..07 a) Osoitetaa sijoittamalla, että yhtälö toteutuu, ku x =. + 6= 0 6 6= 0 0= 0 tosi Luku x = toteuttaa yhtälö x + x 6= 0. b) Osoitetaa ratkaisemalla yhtälö. x + x 6= 0
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015
Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lisätiedot33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut
33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotVuosien Baltian tie -kilpailutehtävien ratkaisuja
f Vuosie 000 08 Baltia tie -kilpailutehtävie ratkaisuja 00.. Koska (x+y+z) =(x+y+z)(x +y +z +xy+xz+yz) =x +y +z +xy + x y+y z+yz +x z+xz +6xyz, havaitaa, ettäkutehtävä yhtälöide vasemmista puolista kaksi
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat
Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)
Lisätiedot52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset
52. Kansainväliset matematiikkaolympialaiset Tehtävien ratkaisuja Tehtävä 1.Olkoon A = {a 1,a 2,a 3,a 4 } joukko, jonka alkioina on neljä eri suurta positiivista kokonaislukua. Joukon alkioiden summaa
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie 1999 Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a 1,a,...,a ja b 1,b,...,b pätee Cauchy epäyhtälö (a 1 b 1 + a
LisätiedotKansainväliset matematiikkaolympialaiset 2012
Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 01 Tehtävien ratkaisuja 1. Olkoot kolmion kulmat α, β ja γ ja olkoon ω ympyrä, jonka halkaisija on AJ. Koska kulmat JKA ja JLA ovat suoria, niin K ja L ovat tällä
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
Lisätiedot4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
LisätiedotHilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen
Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotT Datasta tietoon, syksy 2005 Laskuharjoitus 8.12., ratkaisuja Jouni Seppänen
T-1.1 Datasta tietoo, syksy 5 Laskuharjoitus.1., ratkaisuja Joui Seppäe 1. Simuloidaa tasoittaista algoritmia. Esimmäisessä vaiheessa ehdokkaia ovat kaikki yhde muuttuja joukot {a}, {b}, {c} ja {d}. Aaltosulkeide
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
LisätiedotHarjoitustehtävät, syyskuu Helpommat
Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotKahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotGeometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio
Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 2014 vaativammat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Onko olemassa ehdot a + b + c = d ja 1 ab + 1 ac + 1 bc = 1 ad + 1 bd + 1 cd toteuttavia reaalilukuja a, b, c, d?
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
Lisätiedot0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
Lisätiedot! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.
9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
Lisätiedot102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja
LisätiedotLasketaan esimerkkinä seuraava tehtävä. Monisteen sivulla 14 on vastaavanlainen. x 1
Kertausta Luku o viimeistä pkälää (iduktio) lukuu ottamatta kertausta koulukurssi asioista (tai asioista joide pitäisi kuulua koulukurssii) Tämä luku kädää siksi lueoilla läpi opeasti Jos asiat eivät ole
Lisätiedot29. Pohjoismainen matematiikkakilpailu
29. Pohjoismainen matematiikkakilpailu Tiistai, 24. maaliskuuta 2015 Tehtävien ratkaisuja 1. Olkoon ABC kolmio ja Γ ympyrä, jonka halkaisija on AB. Kulman BAC puolittaja leikkaa Γ:n (myös) pisteessä D
LisätiedotHarjoitustehtävät, joulukuu 2013, (ehkä vähän) vaativammat
Harjoitustehtävät, joulukuu 013, (ehkä vähän) vaativammat Ratkaisuja 1. Viisinumeroinen luku a679b on jaollinen 7:lla. Määritä a ja b. Ratkaisu. Luvun on oltava jaollinen 8:lla ja 9:llä. Koska luku on
LisätiedotNoora Nieminen. Hölderin epäyhtälö
Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise
LisätiedotBaltian Tie 2005 ratkaisuja
Baltian Tie 2005 ratkaisuja. Osoitetaan, että jonossa on aina kaksi samaa lukua. Olkoon k pienin positiivinen kokonaisluku, jolle on voimassa (k +) 9 2005 < 0 k. (Tällainen luku on olemassa, koska epäyhtälön
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
LisätiedotPseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mia Salmi Pseudoalkuluvuista ja alkulukutestauksesta Luootieteide tiedekuta Matematiikka Kesäkuu 2017 Tamperee yliopisto Luootieteide tiedekuta SALMI, MINNA: Pseudoalkuluvuista
Lisätiedot6 Geometria koordinaatistossa
64 6 Geometria koordinaatistossa Rakentamamme euklidisen tasogeometrian järjestelmä, vaikka se pyrkiikin mallintamaan havaintomaailmaa, on sinänsä abstrakti ja muusta matematiikasta irrallaan. Perusjoukko
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon
LisätiedotStokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015
Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Lisätiedot1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma
1.2 Kulma. Kulmien luokittelua. Paralleeliaksiooma Pisteen, suoran ja tason avulla lähdetään muodostamaan uusia geometrian käsitteitä. Jos suora sahataan (keskeltä!!) poikki ja heitetään toinen puoli pois,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedot{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +
9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +
LisätiedotLaajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut
91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N
Lisätiedot2 u = 0. j=1. x 2 j=1. Siis funktio v saavuttaa suurimman arvonsa jossakin alueen Ω pisteessä x. Pisteessä x = x on 2 v. (x ) 0.
0. Maksimiperiaate Laplace-yhtälölle 0.. Maksimiperiaate. Alueessa Ω R määritelty kaksi kertaa erivoituva fuktio u o harmoie, jos u = j= = 0. 2 u x 2 j Lause 0.. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja u C(Ω) C
LisätiedotBaltian Tie Ratkaisuja
Baltian Tie 2007. Ratkaisuja. Tehtävän summa S n on suurin, kun P = {, 2}, P 2 = {3, 4} jne.: jos pareissa olisi {, k}, k>2ja{2, m}, m>2, olisi 2 + km k ( 2m = )( m 2 ) > 0, k joten suuurimmassa summassa
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
LisätiedotLukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014
Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Ratkaisuja Sulkeissa oleva nimi osoittaa, että kyseinen ratkaisu perustuu asianomaisen henkilön kilpailuvastaukseen. 1. Oletetaan, että
Lisätiedot3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p
MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Lisätiedota b c d
1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on
Lisätiedot3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.
3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus
Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun
LisätiedotMatematiikan olympiavalmennus 2015 toukokuun tehtävät
Matematiikan olympiavalmennus 05 toukokuun tehtävät Ratkaisuja Kuperan viisikulmion jokainen lävistäjä on jonkin viisikulmion sivun suuntainen Osoita, että jokaisessa tällaisessa parissa lävistäjän ja
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotAlgebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut
Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b
Lisätiedot-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi
-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotTilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotKenguru 2019 Student Ratkaisut
sivu 0 / 22 3 pistettä TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 VASTAUS C B D C B E C A 4 pistettä TEHTÄVÄ 9 10 11 12 13 14 15 16 VASTAUS B B E D A E A A 5 pistettä TEHTÄVÄ 17 18 19 20 21 22 23 24 VASTAUS E E D D C C B
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedotx+3 = n(y 3) y +n = 3(x n). Kun ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan x = n(y 3) 3 ja sijoitetaan alempaan, saadaan
19.1. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ ÐÓÔÔÙ ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 2018 1. Eevalla ja Martilla on kokonaislukumäärä euroja. Martti sanoi Eevalle: Jos annat minulle kolme euroa, niin minulla on n-kertainen määrä rahaa sinuun
Lisätiedot5.3 Matriisin kääntäminen adjungaatilla
Vaasa yliopisto julkaisuja 08 Sec:MatIvAdj 53 Matriisi käätämie adjugaatilla Määritelmä 3 -matriisi A adjugaatti o -matriisi adj(a) (α i j ), missä α i j ( ) i+ j det(a ji ) (, joka o siis alkioo a ji
Lisätiedot(2n 1) = n 2
3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa
Lisätiedot169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus
5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja
Lisätiedot