KERTAUSTEHTÄVIEN RATKAISUT

Transkriptio

1 KERTAUSTEHTÄVIEN RATKAISUT 1. Viiteen pyöähdykseen kulunut aika mitattiin neljä ketaa. Lasketaan mitattujen aikojen keskiao: 6,40 s + 6,4 s + 6,41 s + 6,41 s = 6,41s. 4 N 5 1 Pyöimisnopeus on n = = 0,8. Ft 6,41 s s. a) Rakoley on pyöinyt 3,4 ensimmäisen sekunnin aikana 15, ad eli 15, ad,4 kieosta. Täysiä kieoksia on. ad b) Rakoleyn kulmanopeus on 4,4 ad/s.

2 3. a) Pyöän säde on = 4,5 cm. Pyöän pyöähtäessä yhden kieoksen hiihtäjä etenee matkan s =. Lenkin aikana kieoksia tulee 10000m π 0,045m b) Renkaan kulmanopeus on ω = πn = π,5ad/s = 5π ad/s 15,7 ad/s. Kietokulma on ϕ = ωt = 5π ad/s 6 60s 5654,87 ad. Pyöäilijän kuudessa minuutissa pyöäilemä matka on s= ϕ = 5654,87 ad 0,34 m 1,9 km. Rengas pyöähtää kokonaisia kieoksia 5654,87ad 900 kpl. 110 m/s 4. a) Auton kulmanopeus on ω = 3,6 0,0ad/s. = 150m b) Auton adalla pitään oiman suuuus on 110 m/s 3,6 F m = = 1050 kg 6,5kN. 150m c) Auton pitää adalla (tiellä) auton enkaiden ja tienpinnan älinen lepokitka. (Jos kitka on liian pieni, auto suistuu tieltä. Jos auto lähtee liukumaan, kyseessä ei ole enää lepokitka, aan lepokitka on muuttunut liukukitkaksi.) Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

3 d) Vaikka auton ataauhti on akio, nopeuden suunta kuitenkin muuttuu koko ajan. Autolla on nomaalikiihtyyyttä, joka suunta on kohti adan keskipistettä. π 5. a) Napakelkan atanopeus on =, josta saadaan kelkan kieosajaksi T π π 4,5m T = = = 11,3097 s 11s. m,5 s 1 1 b) Pyöimisnopeus on n = = 0,088. T 11,3097 s s 6. Takastellaan autoon mäennyppylän ylimmässä kohdassa aikuttaia oimia. Newtonin II lain mukaan on Σ F = ma eli N + G = ma. n n Kun suunta alas on alittu positiiiseksi, saadaan skalaaiyhtälö N + mg = m. Radan ylimmässä kohdassa, kun auto juui ja juui on itoamassa tien pinnasta, tien pinnasta autoon kohdistuan tukioiman m suuuus on N = 0. Yhtälöstä mg = auton nopeudeksi saadaan = g = 9,81 m/s 45m 1 m/s 76 km/h. 7. a) Oletetaan, että kysytyillä hetkillä tangenttikiihtyyys on nolla. Lentäjään kohdistuat paino G ja penkistä tukioima. N

4 b) Silmukan alimmassa kohdassa on Newtonin II lain mukaan F = man eli N + G = ma. n Soitaan suunta kohti adan keskipistettä positiiiseksi. Skalaaiyhtälöstä N = ma + G = m + G. n N G = man tukioiman suuuus on Tukioiman suuuus oi olla N 9G eli m mg 9mg +. Yhtälöstä g 9g + eli 8g säteen suuuudelle saadaan ehto: 1500 m/s 3,6 =, km. 8g 8 9,81m/s T 8. Keplein III laista T = saadaan Pluton keskietäisyydeksi Auingosta ( ) 3 149, m (46,8a) = = = 3 T T1 (1,0000a) 1 6 5, m km. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

5 9. a) Autot etäät toisiaan puoleensa oimalla, jonka suuuus on mm 1 11 Nm 100kg 1600kg 5 F = γ = 6, ,1 10 N. kg (,5m) Autot etäät toisiaan puoleensa yhtä suuella mutta astakkaissuuntaisella oimalla (Newtonin III laki). b) Newtonin II lain mukaan on F = ma. n Koska gaitaatiooiman mm suuuus on F = γ, nomaalikiihtyyyden suuuus a n = ja mm ilmanastus pieni, saadaan yhtälö γ = m, jossa R on Maan säde. ( R) R Nopeus on / , Nm /kg 5, kg γ M = = 5,59 km/s. 6 R 6, m 10. a) Olkoon lentokoneen massa m. Gaitaatiokentän oimakkuus 1,0 km kokeudella maanpinnasta on mm γ 4 F M / 11 Nm 5, kg g = = = γ = 6, ,76m/s. m m kg (6378 km + 1,0 km)

6 11. Putoamiskiihtyyys toisen planeetan pinnalla on g m 100M M = γ = γ = γ Planeetta Planeetta Planeetta (10 R) R 4 / 11 Nm 5, kg = 3 6, ,80 m/s. kg ( m) 1. Newtonin II lain mukaan on F = man. Koska gaitaatiooiman mma suuuus on F = γ ja nomaalikiihtyyyden suuuus an =, A yhtälöstä γ mm m = saadaan Auingon massaksi M (4,13 10 m/s) 7, m 30 A = = 1, kg. γ / 11 Nm 6, kg 13. Lasketaan ensin satelliitin atanopeus. Newtonin II lain mukaan on mm F = ma n. Koska gaitaatiooiman suuuus on F = γ, nomaalikiihtyyyden suuuus an = ja ilmanastus pieni, saadaan yhtälö γ mm m =, jossa M on Maan massa, m satelliitin massa ja atanopeus. Satelliitin atanopeus on / 11 4 γ M 6, Nm /kg 5, kg = = 7597,9 m/s m m Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

7 Satelliitin liike-enegia on E k kg (7597,9 m/s), J = m =. Satelliitin potentiaalienegia on E p 4 mm / kg 5, kg =/ γ =/ 6, Nm /kg m m 10 / 5, J. Satelliitin mekaaninen enegia on, J + ( 5, J), J. 14. a) Punnuksen jaksonaika on 0,67 s ja taajuus 1 1 f = 1,5 Hz. T = 0,67 s

8 b) Punnuksen auhti hetkellä 1,5 s on 0,13 m/s. c) Punnuksen suuin kiihtyyys on,4 m/s. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

9 15. a) Väähtelyn jaksonaika on 3 T = s =,46154 s,5 s. 13 Taajuus on f 1 1 = = 0,41 Hz. T,46154 s b) Sydämen äähtelytaajuus on f = ,61667 Hz,6 Hz. min = 60 s = Jaksonaika on 1 1 T = = 0,38 s. f 1,61667 s 16. Punnuksen kymmeneen äähdykseen kulunut aika mitattiin iisi ketaa. Aikojen keskiao oli T 10 = 8,10 s, joten punnuksen äähdysaika on T = 0,810 s. Koska punnuksen massa oli 0,000 kg, jaksonajan yhtälöstä m 4 m 4 0,000 kg T = π saadaan jousen jousiakioksi k = = 1 N/m. k T (0,810 s) m 17. a) Väähteleän punnuksen äähtelyn jaksonaika on T 1 = π, kun m k on punnuksen massa ja k jousen jousiakio. Kun punnuksen massa on m, jakson aika ont = π m = π m = π m = T k k k 1, joten jaksonaika muuttuu -ketaiseksi. b) Kun punnuksen massa on 1 m ja jousiakio k, jakson aika on 1 m 1 m 1 m 1 T = = = = T1, joten jaksonaika muuttuu k 4 4k k 1 -ketaiseksi eli pienenee puoleen.

10 18. Pianoon kohdistua painon suuuus on G = mg = 60 kg 9,81 m/s = 550,6 N. Köyden ylöspäin suuntautua jousioima on F = kx, joten köyden F enymän suuuus on x =. Tasapainotilanteessa köyden jousioima k on yhtä suui kuin pianoon kohdistua paino. Valitaan suunta alas positiiiseksi, jolloin jousioima on negatiiinen eli F = 550,6 N. Köyden enymän suuuus on F / 550,6 N x =/ =/ = 3 0, m 4,5 cm. k N/m 19. a) Lisätään taulukkoon jousen enymä x = l l 0, kun l 0 on jousen alkupeäinen pituus 185 mm. F (N) 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 l (mm) x (mm) Esitetään mittaustulokset x,f -- koodinaatistossa. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

11 a) Jousen jousiakio on k = 0,15 N/mm 130 N/m. b) Jos oletetaan, että oima on hamoninen myös mittausalueen ulkopuolella enymän ollessa 5 mm, taittaa oima on F = 5 mm 0,15 N/mm 6,5 N. 0. a) Väähtelyn taajuus säilyy, aikka äähdysliike siityy jousesta toiseen. Väähdysliikkeen etenemisnopeus jousessa B on B = λ f = 0,80 m 5,0 Hz = 4,0 m/ s. b) B on aalto-opillisesti tiheämpää ainetta, koska nopeus B on pienempi kuin nopeus A (aallonpituus jousessa on suuempi). Aallon heijastuessa aalto-opillisesti tiheämmästä aineesta tapahtuu puolen aallon aihesiito. 1. Huomaa, että atkaisussa käytetyt mitatut aallonpituudet oat ohjeellisia, koska aallonpituus iippuu kuan suuennossuhteesta. Piioksesta saadaan mittaamalla λ 1 10,0 mm ja λ 4,7 mm sekä α 1 44 ja α 19.

12 Lasketaan λ mitattujen kulmien aulla taittumislaista: sinα1 n1 sinα sin19 = joten n = n1 = 10,0 mm 4,7 mm. sinα n sinα sin44 1 Taitekeoin n 1 saadaan kulmien aulla, n sinα sin = = sinα sin19,1. Taitekeoin oidaan laskea myös aallonpituuksien aulla: n1 10,0 mm n1 = =,1. n 4,7 mm. a) Oikein. Aaltolähde määää taajuuden. b) Vääin. Aaltoliikkeen peusyhtälön = λf mukaan jos aallonpituus pienenee, nopeuskin pienenee, koska taajuus on akio. 3. a) Taittumislain sinα sin 1 1 α = mukaan sinα 700 m/s sin59 = = =, joten taitekulma 1 sinα 0, m/s α 78. b) Kokonaisheijastumisessa aallon tulokulma α1 on samalla kokonaisheijastumisen ajakulma α ja taitekulma on 90. Taittumislaki sinα1 1 sinα = sinα m/s saa muodon =, joten sin90 sinα = = 0, m/s Kokonaisheijastumisen ajakulma on α Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

13 c) Maanjäistysaaltojen etenemisestä tehdään haaintoja ei puolilla maailmaa oleilla tutkimusasemilla (seismogafisilla asemilla). Aaltojen etenemisestä, heijastumisista, taittumisista ja nopeuksista saadaan tietoa etaamalla samojen aaltojen haaitsemishetkiä ei asemilla. d) Kun selitetään maanjäistysaaltojen eteneminen maankuoessa, samalla saadaan tietoa maapallon sisuksen akenteesta: esimekiksi tiedetään, että maapallon ytimen uloin osa on nestemäinen. 4. a, c 5. a) Kumpikin kii synnyttää eden pinnalle muutamia ympyänmuotoisia aaltointamia. Kun aaltointamat kohtaaat, ne intefeoiat. Samankokoiset kiet synnyttäät likimain yhtä oimakasta aaltoilua. Tietyissä suunnissa haaitaan likimain tyyni eden pinta, koska näissä suunnissa aaltojen aallonhajat oat astakkaisessa aiheessa, jolloin amplitudiltaan yhtä suuet aallot sammuttaat toisensa. Tietyissä suunnissa haaitaan oimakasta aaltoilua. Näissä suunnissa aallot oat samassa aiheessa. Aallot ahistaat toisiaan. b) Jokainen kien pinnan kohta, johon aaltointama tömää, on uuden ympyänmuotoisen alkeisaallon lähde. Syntyneet alkeisaallot intefeoiat. Syntyneiden aaltointamien suunta poikkeaa alkupeäisten aaltointamien suunnasta. Tätä kutsutaan diffaktioksi. Veden aallot oiat edetä näin ollen myös kien taakse. 6. Kun pulssit oat samassa paikassa, asemmalle liikkuan pulssin poikkeama tasapainoasemasta alas pitää olla joka kohhdassa yhtä suui kuin oikealle liikkuan pulssin poikkeama ylös. Tällöin jousi on hetkellisesti suoa.

14 7. a) Määitetään intefeenssiaallolle muutamia poikkeamia tasapainoasemasta. * Huomataan, että f(0) = 0, joten s(0) = g(0) = 1. * Lasketaan yhteen poikkeamat f 1 ja g 1 : f 1 + g 1 = s 1. * Koska g(x ) = 0, s(x ) = f(x ). * Intefeenssiaallon poikkeama s 3 tasapainoasemasta on s 3 = g 3 + f 3, kun suunta ylös on positiiinen. Määitä astaaalla taalla muutamia muita intefeenssiaallon poikkeamia tasapainoasemasta. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

15 Hahmotellaan intefeenssiaalto s-nuolien käkien kautta. Käyä s(x) esittää intefeenssiaaltoa. b) Funktion s(x) = f(x) + g(x) = sinx + cosx kuaaja esittää intefeenssiaaltoa.

16 8. a) Funktion s kuaaja esittää intefeenssiaaltoa. b) s = f + g. c) Kaikilla aalloilla on yhtä suui aallonpituus. Kun b = 3,5, aallonpituus on 1,8 m. d) Kun kohtaaien aaltojen huiput oat samalla kohdalla ja pohjat samalla kohdalla, intefeenssiaallon huippukohtaan asetetun pisteen y-koodinaatti ilmaisee suuimman amplitudin. Intefeenssiaallon suuin amplitudi on 3,0 dm. e) Kun intefeoiien aaltojen huiput ja pohjat oat samalla kohdalla, intefeenssiaallolla on pienin amplitudi 1,0 dm. 9. a) Jos muuttujaa b suuennetaan, aaltojen aallonpituus pienenee, ja jos b:tä pienennetään, aallonpituus kasaa. b) Muuttuja c määää intefeoiien aaltojen paikan. c) Jos aallonpituus kasaa, aallon nopeus kasaa. d) Käyille f, g ja s asetetaan y-akselin suuntaiset nuolet (ektoit), joiden x-akselilla olea alkupiste on sama ja loppupisteet oat käyillä f, g ja s. Kohtaaien aaltojen amplitudien summa oidaan laskea nuolien päätepisteiden koodinaateista ja sitä eataan intefeenssiaallon amplitudiin. Intefeoiien aaltojen amplitudien summa on yhtä suui kuin intefeenssiaallon amplitudi. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

17 Esimekki amplitudeista, kun b = 1,1 ja c = 1,55. Kuan esimekkitapauksessa s:n amplitudia kuaa nuoli u, f:n amplitudia nuoli ja g:n amplitudia nuoli w. Käkien y-koodinaateista saadaan amplitudit: u = 1,0 dm, = 1,0 ja w =,0 dm. Koska 1,0 dm,0 dm = 1,0 dm, kohtaaien aaltojen amplitudien summa on yhtä suui kuin intefeenssi aallon amplitudi. Vastaaa lopputulos oidaan todeta missä tahansa kupujen huippukohdassa. e) Kun intefeoiat aallot oat kohdakkain niin, että toisen aallon huippu on toisen aallon pohjan kohdalla, intefeenssiaallolla on pienin mahdollinen amplitudi. Intefeoiien aaltojen amplitudit oat ei suuet, joten niiden summa on koko ajan nollasta eoaa.

18 30. a) Matkaeot pisteissä oat seuaaat: A: 1 1 5λ λ = λ, B: 3λ 3λ = 0 ja C: λ λ = λ. b) Aallot ahistaat toisiaan, kun aaltojen matkaeo on x = nλ, jossa n = 0, 1,, 3, eli pisteissä B ja C. Aallot heikentäät toisiaan, kun aaltojen matkaeo on n = 0, 1,, 3, eli pisteessä A. 1 x = n+ n, 31. Niissä kohdissa, joissa kohtaaien pulssien amplitudit oat samaan suuntaan, summapulssi saadaan kohtaaien pulssien amplitudien summana. Niissä kohdissa, joissa kohtaaien pulssien amplitudit oat astakkaisiin suuntiin, intefeenssipulssi saadaan kohtaaien pulssien amplitudien eotuksina. Huomaa, että pulssit liikkuat nopeudella 1 m/s astakkaisiin suuntiin. Kuassa on pulssien paikka hetkellä 1,0 s. Kua b esittää intefeenssipulssia. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

19 3. (Kysymys: Kasaako ai pieneneekö äähtelyn taajuus, kun kupujen ja solmujen määä ideolla kasaa? Peustele.) Vastaus: Aaltoliikkeen peusyhtälö on = fλ, joten f =. Koska aallon λ etenemisnopeus langassa on akio, taajuus ja aallonpituus oat kääntäen eannollisia. Kun kupujen ja solmujen määä kasaa, aallonpituus pienenee, jolloin taajuus kasaa. (Tehtää: Selitä statiiista lähteän lyhyen langanpätkän äähtely.) Vastaus: Langan toinen pää on kiinnitetty statiiiin, joten siihen syntyy solmu. Sopialla taajuudella lankaan syntyy toinenkin solmu. Langan toinen pää oi äähdellä apaasti, joten sinne syntyy kupu. Kun taajuus on sopia, langanpätkässä nähdään seisoa aalto, jossa on kaksi solmua ja kaksi kupua. Tällöin langanpätkän pituus aallonpituuteen eattuna on 3. 4 λ 33. a) Kuassa oikealla olea laite on äähtelijä, joka äähtelee kohtisuoassa suunnassa lankaan nähden. Näin äähtelijä lähettää poikittaisia aaltoja lankaan. Langan toinen pää on kiinnitetty statiiiin, josta aalto heijastuu (astakkaisessa aiheessa) takaisin. Vastakkaisiin suuntiin eteneät aallot intefeoiat. Kun taajuus on sopia, lankaan syntyy seisoa aaltoliike, joka näkyy langassa solmukohtina ja kupuina. Solmukohdissa lanka on paikallaan. Kupujen kohdalla lanka äähtelee poikittain. b) 1) Aallonpituus on noin 0,45 m. ) Koska aallonpituus on 0,45 m, langan pituus on,5 0,45 m = 1,15 m 1,1 m.

20 3) Aaltoliikkeen peusyhtälön mukaan aallon etenemisnopeus langassa 1 on = fλ = 58,7 0,45 m 6 m/s. s 34. a) Aaltoliikkeen peusyhtälön = fλ mukaan aallonpituus on 6,4 m/ s λ = = 1,6 m. f 1 4,0 s Jousi on kiinnitetty molemmista päistä, joten kiinnityskohtiin muodostuu seisoan aallon solmut. Seinästä lukien solmujen paikat oat 1,6 m = 0,80 m ja 1,6 m. b) Ensimmäinen kupu on kohdassa 1,6 m = 0,40 m ja toinen 4 1,6 m 0,40m+ = 1,m. 35. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

21 a) Peusäähtelyssä langan pituus l on puolet aallonpituudesta, joten λ = l = 0,90 m = 1,8 m. Ensimmäisessä ylääähtelyssä aallon pituus on yhtä suui kuin langan pituus, joten λ = l = 0,90 m. Toisessa ylääähtelyssä langan pituus on 3 l = λ, joten aallonpituus on λ = l = 0,90 m = 0,60 m. 3 3 b) Aaltoliikkeen peusyhtälön mukaan nopeus on 1 m = λ f = 1,8 m s s 36. a) Pitkittäinen seisoa aaltoliike syntyy, kun pitkittäinen aalto heijastuu takaisin tulosuuntaansa. Tällöin astakkaisiin suuntiin eteneät aallot intefeoiat. Kun taajuus on sopia, syntyy pitkittäinen seisoa aaltoliike. Pitkittäisessä seisoassa aaltoliikkeessä kupujen kohdalla aineen akenneosaset äähteleät aallon etenemissuunnassa ja solmujen kohdalla akenneosaset oat paikallaan. b) Aallon etenemisnopeus pysyy akiona jousessa, aikka aallon taajuus muuttuu. Aaltoliikkeen peusyhtälön = fλ mukaan aallonpituus on λ =. Kun taajuus muuttuu, mutta aallonnopeus pysyy akiona, f aallonpituus muuttuu. Samalla solmujen ja kupujen paikat muuttuat. Aina kun nauha on solmun kohdalla, nauha pysyy paikallaan. Kun nauha on kuun kohdalla, nauha äähtelee.

22 37. a) Matalataajuinen täinä etenee äänen nopeudella kiinteässä maassa, esimekiksi ganiitissa 4000 m/s. Äänen nopeus ilmassa on ain ajaa kymmenesosa tästä, joten täinä haaitaan ennen ääntä. b) Ääni kulkee maapeässä nopeammin kuin ilmassa, mutta tästä syntyällä aikaeolla ei ole suuta mekitystä puhelinmetsästyksen kannalta. Mekitystä on sen sijaan sillä, että maapeässä ääni aimenee ähemmän kuin ilmassa, koska ilmassa kulkeaa ääntä heikentäät maaston muodot ja kasillisuus. Maapeän kautta äänet oat kuultaissa kauempaa. 38. Äänennopeus ilmassa on = 340 m/s. a) Aaltoliikkeen peusyhtälöstä = fλ oidaan atkaista keskimäääinen aallonpituus: λ = 340 m/s 0,017 m cm. 3 f = 0 10 Hz = b) Aaltoliikkeen peusyhtälöstä = fλ saadaan λ = 1500 m/s 150 m. f = 10 Hz c) Ihmisen nomaali kuuloalue on 0 Hz 0 khz, joten ihminen kuulee heinäsikan siityksen, mutta ei sinialaan ääntä. Ihmisen ikääntyessä kokeiden taajuuksien kuuleminen heikkenee, jolloin heinäsikan ääni lakkaa kuulumasta. 39. Taulukkokijan mukaan äänen nopeus ilmassa, jonka lämpötila on 0 C, on ilma = 331,4 m/s, ja nopeus jäässä, jonka lämpötila on 4 C, on jää = 380 m/s. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

23 a) Ilmassa ääneltä kuluu aika s 750 m t = =,3 s. 331,4 m/s ilma b) Jäätä pitkin ääneltä kuluu aika s 750 m t = = 0,3 s. 380 m/s jää Jäässä molekyylit oat sidottu toisiinsa kemiallisilla sidoksilla, joten siinä paineaallon aiheuttamat äähtelyt siityät nopeasti molekyylistä toiseen. Ilmassa paineaallon aikutus siityy molekyylien satunnaisten tömäysten seuauksena. Tämän takia ääni etenee ilmassa hitaammin kuin jäässä. 40. Äänen intensiteettitaso on / 3 I 1, 10 W/m L = 10 db log = 10 db log 91 db / 1. I 10 W/m Kuulokäyää esittään kuaajan (s. 140) mukaan 80 db:n intensiteettitasoa astaa intensiteetti I 1 = 10 4 W/m. Kolmen samanlaisen moottoipyöän äänen intensiteetti on I = 3I 1 = W/m. Kolmen moottoipyöän äänen intensiteettitaso on / 4 I 3 10 W/m L = 10 db log = 10 db log 85 db. / 1 I 10 W/m 0

24 Kolmen moottoipyöän aiheuttama intensiteettitaso on noin 85 db eli moottoipyöien määän kolminketaistuminen lisää intensiteettitasoa 5 db. 4. a) Kun koakäytäässä on seisoa aalto, käytään aoimessa päässä on kupu ja suljetussa päässä solmu. Mallinnetaan koakäytäää oheisilla piioksilla. Matalataajuisimman seisoan aallon tapauksessa on L = λ, jossa L on 4 koakäytään pituus ja λ on aallonpituus. Seuaaan seisoan aallon tapauksessa on 3 L = λ. 4 Aaltoliikkeen peusyhtälöstä = fλ saadaan taajuudeksi f =, jossa λ on äänen nopeus ilmassa, = 340 m/s. Matalin seisoan aallon taajuus on silloin 340 m/s f = 3,4 khz. λ = 4L = 4 0,05 m Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

25 Toiseksi matalataajuisimman seisoan aallon taajuus on 340 m/s f = = = 10 khz. λ 4 4 L 0,05 m 3 3 b) Äänekkyystasokäyistä nähdään, että ihminen kuulee pahaiten ääntä, jonka taajuus on Hz. Tämä johtuu siitä, tämän taajuiset äänet muodostaat koakäytäään seisoan aallon, jolloin ääniaallon enegia siityy tehokkaammin ilmasta ihmiseen kuin muilla taajuuksilla. Samoin huomataan, että ihmisellä on hekän kuulon alue myös unsaan Hz:n taajuusalueella, mikä ilmenee äänekkyystasokäyissä oleana kuoppana. Tämä astaa taajuudeltaan toiseksi alimman seisoan aallon syntymistä koakäytäään. 43. Kun äänilähde ja kuulija etääntyät toisistaan nopeudella h, muuttuu h äänen taajuus aosta 0 f aoon f = f0. Mekitään taajuuden f0 f suhteellista muutosta kijaimella eli =. Silloin f0 h f f 0 h h h = = = 1 = =. f f Tästä yhtälöstä oidaan atkaista l : h = 0 0 a) Kun = 1 %, saadaan h = = 340 m/s 0,01 3 m/s. b) Kun = 10 %, saadaan h = = 340 m/s 0,1 34 m/s.

26 44. a) Äänen kulkiessa ilmasta eteen taitesuhde on m/ s n1 = = 0, m/ s b) Taittumislaki sin sinα = sinα 340 m/ s 1 1 saadaan muotoon sinα = sin α = =, josta saadaan kokonaisheijastumisen 1500 m/ s ajakulmaksi α 13. Suuin tulokulma on 13. eli 45. Ääniaudan äänen aallonpituus on m 340 λ = = s 0,7777 m. f s a) Laatikon aoimeen päähän muodostuu kupu ja suljettuun solmu, jolloin laatikon pituus on neljäsosa aallonpituudesta. Laatikon pituudeksi λ 0,7777 m saadaan l = = 19 cm. 4 4 b) Nyt laatikon molemmissa päissä on kupu, joten laatikon pituus on λ puolet aallonpituudesta eli l =. Taajuus on 340m/s f = = 880 Hz. λ 1 0,7777 m 46. Sopialla nopeudella ajettaessa tikkaiden ohi itaaa iima saa ilman äähtelemään ja synnyttää seisoan aallon askelmien sisälle. Askelmat oat aonaisia molemmista päistään, joten askelmien päissä on seisoan Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

27 aallon kuut. Vauhdin kasaessa syntyy ensin matalin ääni, jolloin askelman sisällä oleassa ilmapatsaassa on yksi solmu. Askelman pituus on silloin puolet seisoan aallon aallonpituudesta. Yhtälöstä l = λ/ aallonpituudeksi saadaan λ = l = 0,55 m = 1,1 m. Äänen taajuus on f 343m/s = = 310Hz. λ 1,1m 47. Haaitun äänen taajuus on f = 6 Hz. Aaltolähteen taajuus f 0 = 596 Hz. Äänen etenemisnopeus on = 343 m/s ja l on aaltolähteen nopeus. Kun aaltolähde lähestyy haaitsijaa, haaittu taajuus on Dopplein ilmiön seuauksena. f = f 0 l Ratkaistaan yhtälöstä aaltolähteen (linnun) nopeus l : f( l ) = f 0, f f l = f 0, f f 0 = f l,

28 josta saadaan linnun (aaltolähteen) nopeudeksi f / f f 6Hz 343m/s / 596Hz 343m/s 0 l = = = 6Hz 14,3376 m/s 5km/h. 48. a) Ultaäänen Dopplein ilmiön aulla oidaan tutkia een itausnopeuksia sydämen ei osissa ja saada sillä taalla selille sydämen mahdollinen nomaalista poikkeaa toiminta. Doppein ilmiön takia liikkuasta kohteesta heijastuneen ultaäänipulssin taajuus eattuna antuin lähetystaajuuteen muuttuu. b) Äänen kulkema matka ihon pinnasta kohteeseen ja takaisin on s = t = = / m/s s 0,06355 m. Heijastaan kohteen etäisyys ihon pinnasta on 1 1 d = s= 0,06355 m 3, cm. 49. Kien putoamiseen onkalon pohjalle ja äänen kulkemiseen pohjalta ylös kulua kokonaisaika on t = t p + t ä =,7 s, jossa t p on kien putoamiseen kulua aika ja t ä ääneltä kulua aika. 1 Mekitään onkalon syyyttä kijaimella s. Silloin s = gtp ja s = tä, jossa 1 1 on äänennopeus. Tästä seuaa yhtälö tä = gtp = g ( t tä ) eli tä ttä + t = tä eli edelleen tä t+ tä + t = 0. g g Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

29 Toisen asteen yhtälön atkaisukaaan aulla tästä saadaan atkaistua t ä : 1 tä = t+ ± t+ / 4t g g 340 m/s m/s =,7 s + 4,7 s 4 (,7 s) 0, s. 9,81 m/s ± + / = 9,81 m/s Vain negatiiinen mekki neliöjuuilausekkeen edessä kelpaa, koska positiiinen mekki antaa äänen kulkuajalle suuemman aon kuin,7 s. Onkalon syyydeksi saadaan silloin s = t ä = 340 m/s 0, s 33 m. Ääneltä kuluu edestakaiseen matkaan kaion pohjalle 0, s 0, s. Ihminen ei kykene luotettaasti mittaamaan näin lyhyttä aikaa esimekiksi sekuntikellolla, joten kaiun aulla ei olisi mahdollista aioida kaion syyyttä luotettaasti. (Ihmisen eaktioaika odotettaissa oleaan tapahtumaan on noin 0, s.) Jos mukana olisi ääniantui, mittaus olisi tätä takempi. 50. a) Ääniauta saa siihen kiinnitetyn kaikukopan ja tämän sisällä olean ilman äähtelemään, jolloin äähtely leiää oimakkaampana ympäöiään ilmaan. b) Kun ääniautaan lisätään paino, sen ominaistaajuus ei ole sama kuin ääniaudan alkupeäinen ominaistaajuus. c) Koska ääniautojen ominaistaajuudet oat eilaiset, ne oat älillä samassa aiheessa, jolloin niiden äänet ahistaat toisiaan, ja älillä taas astakkaisessa aiheessa, jolloin niiden äänet heikentäät toisiaan. Tämä

30 saa niiden yhteisaikutuksena syntyän äänen oimakkuuden aihtelemaan jaksollisesti eli huojumaan. d) Ääniaudan piikit äähteleät yläpäästään suuemmalla amplitudilla kuin alapäästään. Yläpäähän asetettu paino aikuttaa tämän takia enemmän äähtelytaajuuteen kuin alapäähän asetettu paino, koska siellä sen hitauden (massan) jauttaa aikutus äähtelyyn on suuempi. Mitä alempana paino on, sitä lähempänä taajuus on ääniaudan omaa ominaistaajuutta. 51. a) Koska g:n jakso on pitempi kuin f:n, g:n taajuus on pienempi. b) Koska f:n jakso on pitempi kuin g:n, f:n taajuus on pienempi. c) Huojuntaa ei esiinny, kun c = 1. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

31 d) Kun c = 1,1, jaksonaika on T = 94,5 ms -- 31,4 ms 6,83 ms ja taajuus f = 1/T = 1/(6,83 ms) 16 Hz. Myös tapauksessa c = 0,9 jaksonaika on T = 63 ms ja taajuus siten sama kuin edellisessä tapauksessa eli f 16 Hz.

32 VANHOJA YLIOPPILASTEHTÄVIÄ S016/5 (osa) a) Newtonin II lain mukaan aunuun aikuttaa kokonaisoima on Σ F = ma. Koska aunu on hekkäliikkeinen ja jousi keyt, kitkaa ja jousen massaa ei oteta huomioon. Mittaustulokset asettuat a,f - koodinaatistossa suoalle. Valitaan suoalta kaksi pistettä ja määitetään niiden aulla suoan fysikaalinen kulmakeoin. Vaunun massaksi saadaan FF 0,4N // ( 0,41 N) m = = = 0,33kg 0,33 kg. Fa 1,5 m/s /(/ 1,5 m/s ) b) Hooken lain mukaan jousioiman yhtälö on F = kx. Mittaustulokset asettuat a,f -koodinaatistossa suoalle. Jousiakio k saadaan tämän suoan fysikaalisesta kulmaketoimesta: FF 0,4 N // ( 0,41N) N N k =/ =/ = 5,8865 5,9. F x / / 0,070m/s 0,071m/s m m K013/6 a) l = 1,5 m, m = 87 g, α = 41 Palloon kohdistuat oimat oat langan jännitysoima F ja paino G. Palloon kohdistua ilmanastus on pieni. Pallo on tasaisessa ympyäliikkeessä, joten kiihtyyys a n on nomaalikiihtyyyttä, joka suuntautuu kohti ympyän keskipistettä. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

33 b) Pallon on ympyäliikkeessä, joten kietoliikkeen jaksonaika on pallon s yhden kieoksen aika T = =, jossa on ympyäadan säde ja ataauhti. Koska pallo on ympyäadalla, Newtonin II lain mukaan on Σ F = ma n eli G + F = man, jossa a n on pallon nomaalikiihtyyys. Vektoit F, G ja ma muodostaat suoakulmaisen kolmion. n Pythagoaan lauseen peusteella G +(ma n ) = F eli G + m = F, jossa = lsinα. Ratkaistaan (symbolisella laskimella) yhtälöstä ataauhti 4 : m F G F G 4 = m 4 = 4 ( ) ( l sinc ) ( mg ) ( ) mg cosc 1 4 ( sinc ) 1 = = l g m cosc m 1 m 1,5 m sin 41 9,81 1, s cos 41 s = 4 =

34 lsinα 1,5 m sin 41 Jaksonaika on T = = = 1,9 s. m,64449 s c) Palloon kohdistua langan jännitysoiman suuuus saadaan kohdan b G suoakulmaisesta kolmiosta: cosc =, josta F m 0,087 kg 9,81 G mg F = = = s 1,1 N. cosc cosc cos41 Langan palloon kohdistama oima on Newtonin III lain mukaan yhtä suui kuin pallon lankaan kohdistama, lankaa jännittää oima mutta astakkaissuuntainen. Lankaa jännittää oima on suuuudeltaan 1,1 N, ja sen suunta on langan suunta alaiistoon. K014/11 a) Vedenpinnan aaltoliike muodostuu, kun lähteiden synnyttämät aallot intefeoiat keskenään. Aaltojen aaleissa ja tummissa kohdissa lähteiden synnyttämät aallot oat samassa aiheessa (ahistaa intefeenssi): aaltojen huiput osuat päällekkäin, samoin pohjat. Näissä kohdissa lähteistä mitattujen etäisyyksien eotus on aallonpituuksien kokonainen moniketa eli Fd = nλ, n = 0,1,,. Näissä kohdissa aaltoliike on oimakasta ja kohtia nimitetään aaltojen maksimeiksi. Hamaiden juoien esittämissä kohdissa aallot oat astakkaisessa aiheessa (heikentää intefeenssi). Tällöin yhdestä lähteestä saapuan aallon pohja ja toisen lähteen aallon huippu osuat päällekkäin ja aallot sammuttaat toisensa. Näissä kohdissa lähteistä mitattujen etäisyyksien eotus on aallonpituuksien puolikkaiden kokonainen moniketa eli Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

35 n d = (n+ 1), n= 0,1,,... Aallot sammuttaat toisensa täysin ain, mikäli aaltojen amplitudit oat yhtä suuet. Tällöin esi ei aaltoile. Aaltojen amplitudi kuitenkin pienenee etäisyyden kasaessa. Siksi aallot eiät täysin sammuta toisiaan kohdissa, joissa etäisyyseo lähteisiin on saanut aikaan huomattaan eon aaltojen amplitudeihin. b) Oletetaan aaltojen nopeus = fλ akioksi. Tällöin taajuuden kaksinketaistuessa aallonpituus pienenee puoleen ja aaltojen etenemissuunnassa aallon huippujen ja pohjien älimatka lyhenee. Vahistaat ja heikentäät intefeenssit toteutuat pienemmillä matkaeoilla kuin kuassa eli hamaiden kohtien muodostama iuhka tiiistyy. c) Kun toisen lähteen aihe käännetään astakkaiseksi, aallot oat samassa aiheessa ja ahistaat toisiaan pisteissä, joissa aaltojen matkaeo on paiton moniketa aallonpituuden puolikkaita. Vastaaasti aallot oat astakkaisessa aiheessa ja heikentäät toisiaan, kun matkaeo on aallonpituuden kokonainen moniketa. Alkupeäiseen kuaan eattuna minimit ja maksimit aihtaat paikkaa keskenään. K004/5 a) Seisoa aalto syntyy, kun kaksi astakkaisiin suuntiin eteneää samanlaista aaltoa intefeoiat. Intefeenssiaallon poikkeama tasapainoasemasta aihtelee paikallisesti. Kupujen keskellä äähtelyn amplitudi on maksimissaan ja solmuissa äähtelijät oat paikallaan. Seisoa aalto ei etene eikä siiä enegiaa. Seisoa aalto syntyy taallisesti heijastuksessa. Monissa soittimissa, esimekiksi pianossa ja kitaassa, on sopiaan kieyteen jännitettyjä tankoja tai lankoja, joissa saadaan

36 syntymään seisoia aaltoja. Puhallinsoittimien putkien sisällä syntyy seisoia aaltoja, joissa äähteleät ilmapatsaat synnyttäät halutun taajuista ääntä. Soittimien kielien äähtelyt oat seisoaa aaltoliikettä. b) Kun haaitsija ja aaltolähde oat liikkeessä toistensa suhteen, haaitsijan ekisteöimän aallon taajuus on eilainen eattuna taajuuteen, kun molemmat oat paikallaan. Esimekiksi paikallaan oleaa haaitsijaa kohti tulean moottoipyöän tai paloauton lähettämän äänen taajuus kuulostaa haaitsijasta kokeammalta (taajuus suuempi) kuin se kuulostaa äänilähteen mukana liikkuan haaitsijan aistimana; astaaasti loittonean lähteen ääni kuuluu matalampana (taajuus pienempi). Etääntyien tähtien lähettämän alon spektiiiat oat siityneet kohti spektin punaista päätä (punasiitymä). Tällöin alon haaittu taajuus on pienempi kuin astaaan paikallaan olean lähteen lähettämän alon taajuus. c) Vain poikittaisessa aaltoliikkeessä oi esiintyä polaisaatiota. Jos aaltoliikkeessä on ain yksi etenemissuuntaa astaan kohtisuoassa olea äähtelysuunta, aalto on täydellisesti polaisoitunut. Valo on täydellisesti polaisoitunut, jos sähkökenttä äähtelee ain yhdessä suunnassa. Valo polaisoituu kulkiessaan auinkolasien polaisoian lasin läpi tai heijastuessaan eistemateiaalin pinnasta sopiassa kulmassa. Tiedonälityksessä käytetään antenneissa synnytettyjä polaisoituneita aaltoja. Nestekidenäytöistä heijastunut alo on polaisoitunutta. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

37 K013/4 (osa) Ratkaistaan yhden ihmisen äänen intensiteetti I intensiteettitason I yhtälöstä L = 10 db log : I L I = log, josta saadaan 10 db I 0 0 L/(10 db) / 1 W (55 db)/(10 db) / 6,5 W / 6 W I = I010 = = 10 = 0, m m m Viiden ihmisen äänen intensiteetti on I 5 = 5I, ja tätä astaaa intensiteettitaso on L 5 6 W 5I 5 0, = 10 db log = 10 db log m 6 db. I0 1 W 10 m S004/5 a) Intefeenssin aikutuksesta putkeen syntyy seisoa aalto. Putken aoimiin päihin syntyy kuut ja älille yksi tai useita solmukohtia. Äänenoimakkuuden ensimmäinen maksimi syntyy, kun putkessa on yksi solmu, jolloin äähteleän ilmapatsaan pituus on puolet l aallonpituudesta eli l =. Toinen maksimi syntyy, kun putkessa on kaksi solmua, jolloin ilmapatsaan pituus on kaksi aallonpituuden λ puolikasta eli l = = λ.

38 b) Kun ensimmäinen äänenoimakkuuden maksimi haaitaan, aallonpituus on λ1 = l = 1,10 m =,0 m. 1 Äänen nopeus on 1= λ1f1=,0 m 150 = 330 m/ s. s Kun haaitaan toinen äänenoimakkuuden maksimi, aallonpituus on 1 λ = l = 1,10 m. Äänen nopeus on = λf = 1,10 m 95 = 34,5 m/s. s Lasketaan nopeuksien keskiao: m/ s + 34,5 m/ s = = 37 m/s. Äänen nopeus on 37 m/s. S003/5. a) Ääni etenee ilmassa pitkittäisenä aaltoliikkeenä. Äänen etenemisen suunnassa ilman molekyylit äähteleät edestakaisin, jolloin ilmaan syntyy peäkkäisiä tihentymiä ja haentumia. Fysiikka 5 Tehtäien atkaisut tekijät ja Sanoma Po Oy 017

39 b) Äänen intensiteetti sekä äänen taajuus aikuttaat eniten kuuloaistimuksen oimakkuuteen. c) Ihmisen kuuleman äänen oimakkuus ei ole suoaan eannollinen äänen intensiteettiin. Myös koan hekkyys ei taajuisten äänien suhteen aihtelee. Äänen intensiteettitason yhtälö on L = 10 db log I, jossa I0 / 1 I 0 = 10 W/m on äänen intensiteetti kuulokynnyksellä. Intensiteettitason yksikkö on 1 db. Intensiteettitason asteikko on logaitminen, koska sen mukainen matemaattinen lainalaisuus astaa koan todellista toimintaa. Esimekiksi tuotaessa yhden sähkömoottoin ieelle toinen sähkömoottoi aistitun melutason oimakkuus ei kaksinketaistu, aikka intensiteetti kaksinketaistuu.