Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Aluksi. Ympyrästä. Ympyrän osat. MAB2: Ympyrä 4"

Transkriptio

1 MAB: Ympyä 4 Aluksi Tämän luvun aihe on ympyä. Ympyä on yksi geometisista peusmuodoista ja on sinulle ennestään hyvinkin tuttu. Mutta oletko tullut ajatelleeksi, että ympyää voidaan pitää säännöllisen monikulmion ääimmäisenä eikoistapauksena? Ympyästä Ympyä voidaan määitellä tai mieltää monella tavalla. Yksi tapa on ajatella, että aloitetaan valitsemalla yksi tason piste ympyän keskipisteeksi. Sitten valitaan jana, jonka pituus on puolet aiotusta ympyän halkaisijasta. Akikielessähän ympyän kokoa kuvataan yleensä ilmoittamalla halkaisija. Jatketaan asettamalla valitun janan toinen loppupiste valittuun pisteeseen ja pidetään se siinä. Annetaan janan pyöähtää täysi kieos ympäi niin, että keskipisteessä oleva loppupiste pysyy paikoillaan ja toinen loppupiste liikkuu. Tällöin liikkuva piste piitää ympyän. Tätä menetelmää itse asiassa käytetään, kun ympyä piietään hapin avulla. Toinen tapa aloitetaan kuten ensimmäinen: valitaan ympyälle keskipiste ja halkaisija. Sitten ajatellaan, missä ne pisteet ovat, joiden etäisyys keskipisteestä on takalleen puolet valitusta halkaisijasta. Kaikki nämä pisteet ovat ympyän kehällä eikä ympyän kehällä toisaalta ole muita pisteitä. Minulta on joskus kysytty Kuuluuko kehä ympyään?. Tämä on asia, jonka ympyän piitäjä atkaisee. Äskeisten kahden määitelmän valossa ympyään ei muuta kuulukaan kuin ympyän kehä. Kysyjällä on siis mielessä lähinnä, kuuluuko ympyäviiva ympyälevyyn. Jos ympyä määitellään niin, että siinä ovat ne pisteet, jotka ovat takalleen etäisyydellä keskipisteestä tai lähempänä kuin :n etäisyydellä siitä, niin ympyään kuuluvat sekä ympyälevy että ympyäviiva. Voidaan myös määitellä, että takastellaan ympyää, jonka pisteet ovat lähempänä kuin :n päässä keskipisteestä. Tällöin ympyäviiva ei ole mukana ympyässä. Jos muuta ei nimenomaisesti sanota tai asiayhteys toisin osoita, niin tällä kussilla sana ympyä takoittaa ympyäviivaa eli ympyän kehää. Ympyän osat Luettelen ensin ne ympyän osat, jotka tavitsemme jatkossa. kehä Oheisen kuvion musta viiva on ympyän kehä. Ympyään piietty viheä jana on ympyän säde ja sininen jana on ympyän halkaisija. Halkaisija voidaan tulkita kahtena, takalleen peäkkäin olevana säteenä ja säde puolestaan halkaisijan puolikkaana. Halkaisijan molemmat päätepisteet ovat ympyän kehällä; säteen toinen päätepiste on ympyän keskipisteessä, toinen ympyän kehällä. keskipiste halkaisija säde Pieni, keltainen tähti ympyän keskellä on

2 keskipisteen paikka, mikä seikka ei liene yllätys! Kaikkiaan ympyä on edelleen se sama pyöeä, täydellinen olio, jonka olet tuntenut jo kauan. Nyt takastelemme sitä ehkä vain aiempaa takemmin. Keskipisteen symbolina käytän usein kijainta O, säteen symbolina kijainta ja halkaisijan symbolina kijainta d. Ympyän kehän symbolina käytetään usein kijainta D. Joskus vasinkin tekniikassa ympyän halkaisijaa mekitään keikkalaisella kijaimella φ eli (iso) fii. Ympyä nimetään tavallisesti keskipisteensä mukaan. Jos ympyän keskipiste on O, myös itse ympyää sanotaan ympyäksi O. Katsotaan vielä, millä ei tavoilla ympyä voidaan jakaa alueisiin. kaai α sektoi segmentti jänne Piioksen kulma α on sektoin keskuskulma. Ympyänsektoi tai vain sektoi on suljettu kuvio, jota ajoittavat kaksi ympyän sädettä ja ympyän kaaen osa eli sektoin kaai. Kaaen ajoittavat ne mainittujen säteiden käjet, jotka ovat ympyän kehällä. Piioksen vasemmassa ympyässä olevan sektoin käki on ympyän keskipisteessä. Sektoi on siis kulma, jonka käki on ympyän keskipisteessä ja jonka kylkinä on kaksi ympyän sädettä. Myös sektoin tapauksessa voidaan puhua vasemmasta ja oikeasta kyljestä kuten kulman tapauksessa. Nimeämällä sektoin kyljet voidaan määitellä myös se, kumpaa kahdesta mahdollisesta sektoista takoitetaan. Yllä olevan piioksen oikeanpuoleisessa ympyässä oleva kulma α on sektoin keskuskulma. Keskuskulmalla ei ole muita kokoajoituksia, kuin että se on kokeintaan 360 astetta niin ja vähintään 0 astetta. Jos keskuskulma on 360 astetta, niin koko ympyä on mukana sektoissa. Puoliympyää puolestaan vastaa 180 asteen keskuskulma. Huomaa, että tämä matematiikassa käytössä oleva sektoin määitelmä on sopusoinnussa sellaisten käsitteitten kanssa kuin taloussektoi tai julkinen sektoi. Tämä temihän viittaa tilastotieteelliseen piiakkakuvioon, jonka eäs siivu eli sektoi edustaa talousalan osuutta yhteiskunnassa. Ja kun leikkaat pyöeästä kakusta viipaleen, leikkaat kakusta oikeastaan sektoin.

3 Piioksen vasemmassa ympyässä on myös toinen suljettu ympyän osa-alue, ympyän segmentti. Sitä ajoittavat jänne ja ympyän kaaen osa. Jänteen molemmat päätepisteet ovat ympyän kehällä ja ajaavat tuon kaaenosan ympyän kehältä. Segmentti voidaan määitellä myös niin, että valitaan ympyän kehältä kaksi pistettä, jotka yhdistetään sekä janalla että kehän kaaella. Ympyän kehä Ympyän kehään liittyy luku, joka lienee maailman tunnetuin. Se on ympyän kehän pituuden ja halkaisijan pituuden suhde ja tunnetaan nimellä pii. Alun pein tuo sana pii, joka nykyään siis on eään luvun nimi, takoittaa keikkalaista kijainta π. Vaikka keikkalaiset ovat toki saaneet pitää kijaimensa, tätä heidän kijaintaan käytetään myös mainitun luvun symbolina kansainvälisesti ihan standadina. Meillekin siis π on pii eli ympyän kehän pituuden ja ympyänhalkaisijan pituuden suhde. Piietään kuva ja kijoitetaan piin määitelmä sen mekinnöin vielä uudestaan. D d Pii on siis ympyän kehän pituuden eli ympyän ympäysmitan ja halkaisijan pituuden osamäää: D π = d 3, Pii ei ole ationaaliluku Yksi huomattava piin ominaisuus on, että se ei ole ationaaliluku. Toisin sanoen, piitä ei voi takasti esittää mutolukuna ja niin ollen ei myöskään desimaalilukuna. On sinulla siis kuinka takka piin

4 likiavo tahansa, niin sinulla ei ole takinta mahdollista piin likiavoa puhumattakaan siitä, että sinulla olisi lopullisen takka piin desimaaliesitys. Huomaa, että kaikissa funktiolaskimissa on pii näppäin. Funktiolaskimeen piitä ei kannata koskaan näppäillä käsin, vaan aina käyttää tätä näppäintä piin käsin näppäilemisen sijasta. Jos kuitenkaan joudut käyttämään laskinta, jossa ei ole piitä, usein likiavo 3,14 on iittävän takka. Tämä likiavo täytyy muistaa. Tekstinkäsittelyohjelmassa saat π - kijaimen aikaiseksi kaavaeditoilla (tai mikä sen nimi sitten ohjelmassasi onkin) tai kijoittamalla kijaimen p ja valitsemalla sen fontiksi Symbol. Ainakin Windows -pohjaisissa ohjelmissa sen voi myös lisätä valitsemalla Lisää Mekki. Antiikin keikkalaisille filosofeille muun muassa pythagoalaisille tuotti suuta päänvaivaa se, kun huomattiin, että on olemassa lukuja, joita ei voi esittää kokonaislukujen osamääänä. Esimekki 1 Kaivonenkaan suu on ympyänmuotoinen. Jos sen halkaisija on 75 cm, kuinka pitkä on sen kehä? Koska kehä on pii ketaa halkaisija eli D = πd, niin D = π 75cm 35, cm. Käytin laskimen pii-näppäintä ja pyöistin tuloksen kolmen numeon takkuuteen. Katsotaan, kuinka käy, jos käytän piille avoa 3,14. Silloin D = 35,5 cm oli noin 36 cm. Eo näkyy juui ja juui. Vastaus: Ympyän kehä on 36 sentin pituinen. Esimekki Ympyän säde on 40 cm. Laske ympyän kehän pituus. Säteen avulla ilmoitettu kehän pituus on Vastaus: Kehän pituus on 51 cm. π, joten kehä on 51 sentin pituinen. Esimekki 3 Oletetaan, että sinulla pallo, jonka halkaisija on 4 cm. Kieät sen ympäille nauhan, jonka pingotat tiukasti pallon ympäille. Nauhan pituus on nyt sama kuin pallon ympäysmitan pituus. Sitten lisäät tuohon nauhaan yhden metin lisää ja asettelet sen pallon ympäille takasti niin, että se on joka puolella yhtä kaukana pallon pinnasta. Kuinka kauas pallon pinnasta nauha joutuu?

5 D + 1m Tehtävämme on tutkia, kuinka paljon nauhan säde kasvaa. Huomaa, että tutkimme, kuinka paljon säde kasvaa. Halkaisija ei kiinnosta juui nyt. Yksi tapa selvittää tämä asia on laskea suoaviivaisesti uuden säteen pituus ja veata sitä vanhaan. Toinen tapa on lähteä liikkeelle siitä, että kijoitetaan uusi säde vanhan funktiona. Käytän tätä jälkimmäistä tapaa. Yleisesti siis ympyän kehä on ympyähän tuo pallon ympäille kiedottu nauha on D = π, kun on säde, joten D =. π Olkoon alkupeäinen säde nyt s ja uusi säde s en halua käyttää :ää uudestaan, koska sillä olisi nyt vähän ei mekitys. Tällöin s = D π ja

6 D + 1m s' =. π Säteiden eotus eli muutos on siis ( D + 1m) D s' s = π π D + 1m D = π 1m = π 16cm Säde kasvaa siis 16 senttiä ja halkaisija jos sitä kysyttäisiin kasvaisi 3 senttiä. Mihin tavittiin tietoa pallon halkaisijasta? Ei mihinkään. Vastaus: Nauha joutuu noin 16 sentin päähän pallosta. Ympyänsektoin kaaen pituus Sektoin kaaen pituus sekä sektoin keskuskulman suuuus kulkevat käsikädessä sikäli, että samassa ympyässä niitten suuuudet vastaavat toisiaan yksikäsitteisesti. Tähän peustuu niin sanottu absoluuttinen aste eli adiaani. Emme tapaa adiaania tällä kussilla enää uudestaan: = πad. Tämä vastaavuus takoittaa sitä, että niin suui osa kuin kaaen pituus on koko ympyän kehän pituudesta, niin niin suui osa myös sektoin keskuskulma on täydestä ympyästä eli 360 asteesta ja kääntäen. Kijoitetaan tämä sama asia yhtälönä. Valitaan keskuskulmalle symboli α ja sektoin kaaelle symboli c. Ympyän säde olkoon kuten tavallista. Silloin α c 360 = π Tästä voidaan atkaista sektoin kaaen pituus, jolloin saadaan c = α π. tai sektoin keskuskulman suuuus, jolloin saadaan

7 c α =. π Esimekki 4 Hammaspyöän halkaisija on 17,0 cm ja kunkin hampaan keskuskulma on 6,74 astetta. Kuinka leveä hammas on? 6,74 Koska hampaan keskuskulma on 6,74º, niin sen osuus koko ympyästä on. osaa. Toisaalta 360 6, , 74. osaa kehästä puolestaan on π 17cm 100, cm. Hampaan leveys on siis yksi sentti. 360 Vastaus: Hampaan leveys on 1,00 cm. Esimekki 5 Kuinka suuta keskuskulmaa vastaa ympyänsektoin kaai, jonka pituus on sama kuin ympyän säde? Jos ympyän säde on, niin myös kaaen pituus on. Keskuskulman α suuuus on siis α = π 180 = π 57, 9578 Vastaus: Säteen pituista kaata vastaa noin 57,3 asteen keskuskulma. Ympyän osien pinta-aloja Takastellaan seuaavia piioksia.

8 Vasen ympyä on jaettu kahteen yhtä suueen osaan eli kahteen puoliympyään. Oikea ympyä on jaettu yhteen ja kolmeen neljännesympyään. Molempien ympyöitten jakaminen on tehty sektoien avulla. Vasemman sektoin keskuskulma on 180º ja oikean ympyän 90º tai 70º iippuen siitä, kumpaa sektoia takastellaan. On helppo uskoa, että nämä ympyöiden osien alat edustavat myös puolikasta, yhtä neljäsosaa ja kolmea neljäsosaa ympyän koko alasta. Huomattavaa tässä on se, että kunkin sektoin keskuskulman asteluvun suhde koko ympyän astelukuun on sama kuin sektoin alan suhde koko ympyän alaan. Vetaa tätä suhdetta edellä olevaan ympyän kaaen pituuden ja asteluvun suhteeseen! Tämä tieto yleistetään koskemaan kaikkia ympyänsektoeita ja niitten aloja. Ensin tavitaan kuitenkin ympyän ala. Ympyän pinta-ala Mitä suuemmaksi säännöllisen n-kulmion luku n kasvaa sitä lähempänä n-kulmio on ympyää. Koska sinulla on keinot laskea säännöllisen n-kulmion ala, sinulla on peiaatteessa keinot johtaa ympyän ala tästä. Tulos on π, missä on ympyän säde. Ympyän pinta-ala A saadaan kaavasta A = π missä on ympyä säde. Jos ympyän halkaisijaa mekitään d:llä, ympyän ala voidaan esittää myös muodossa d π A = π = d. 4 Esimekki 6 Ympyän säde on 1,0 m. Laske ympyän ala.

9 Nyt = 1,0 m, joten A = π ( 1, 0m) = πm. Vastaus: Ympyän ala on noin 3,1 m. Esimekki 7 Ympyän halkaisija on 1,0 m. Laske ympyän ala. Edellä annetun kaavan avulla ympyän alan voi laskea suoaan halkaisijan avulla. Suosittelen kuitenkin, että opettelet vain toisen kaavan ulkoa ja toisen mahdollisesti niin, että osaat tavittaessa johtaa sen. Lasketaan ala nyt molemmilla kaavoilla. π A = d 4 π = 10, m 4 Ensin ala suoaan halkaisijasta eli ( ) 0, 8m. Sitten säteen avulla. Jos ympyän halkaisija on 1,0 m, niin sen säde on 0,5 m. Joten ( 0, 5m) 0, 8m A = π = π. Vastaus: Ympyän ala on noin 0,8 m. Esimekki 8 Pukissa oleva maali iittää 10 neliömetin alan maalaamiseen. Kuinka suuen ympyän sillä voi maalata? Koska A = π, niin A 10m =. Siis = 1, 8m π π Vastaus: Maali iittää sellaisen ympyän maalaamiseen, jonka säde on noin 1,8 metiä.. Esimekki 9 Leikkimökin äystäs koistellaan pipakakkukuvioin. Reunan yksi pipai koostuu puoliympyästä ja suoakulmiosta. Mitat annetaan kuvassa. Pipakakkueunan väi on punainen ja taustalaudan väi on valkoinen. Taustalaudan leveys on 7 cm. Kuinka suui on valkoiseksi maalattava alue, kun pipakakkueunaa ja taustaa tulee kaikkiaan 13 metiä? 4 cm,5 cm cm

10 13m Koska = 35, niin äystääseen tavitaan pipaeita 35 kappaletta. Siten pipaien 4cm suoakulmaisten osien yhteenlaskettu ala on 35, 5cm 4cm = 350cm. Puoliympyöitä on tietenkin myös 35 kappaletta. Puoliympyän halkaisija on 4 cm, joten sen säde on cm. Näillä tiedoilla saamme kaikkien puoliympyöitten yhteenlasketun alan, joka on ( cm ) = π cm. Koska koko eunalaudan ala on 7cm 13m = 9100cm 9100cm 350cm 04 = 3808cm., valkoinen ala on Vastaus: Valkoiseksi maalattavan alueen pinta-ala on noin 3800 cm. Ympyän sektoin pinta-ala Edellä jo todettiin, että sektoin keskuskulman asteluvun suhde koko ympyän astelukuun on sama kuin sektoin alan suhde koko ympyän alaan. Esimekiksi siis kolme neljäsosaa koko ympyästä olevan sektoin ala on kolme neljäsosaa koko ympyän alasta. Toisaalta 3 70 = ja vastaavasti (neljännesympyä) 1 90 = Jos sektoin keskuskulma on α ja ympyän säde, niin sektoin ala on α π Esimekiksi puoliympyä on sektoi, jonka keskuskulma on 180 astetta. Sen ala vaikkapa A on siis puolet koko ympyän alasta:

11 π A = 180 = π Esimekki 10 Laske ympyänsektoin pinta-ala, kun ympyän säde on 1 cm ja sektoin keskuskulma on 8º. α π 8 π Sektoin ala on = ( 1cm) = 35cm Vastaus: Ympyänsektoin pinta-ala on noin 35 cm.. Esimekki 11 Laske ympyänsektoin keskuskulma, kun ympyän säde on 14 cm ja sektoin pinta-ala on 0 cm. Sektoin pinta-alan laskukaava on α A = π, josta A 0cm α = = = 1. π π ( 14cm) Vastaus: Ympyänsektoin keskuskulma on noin 1 astetta. Esimekki 1 Laske ympyän ala, kun sellaisen ympyänsektoin ala on 5 cm, jonka keskuskulma on 15º. Ympyänsektoin alan kaavasta α A = π saadaan

12 π = A α = 5cm 15 = 600cm, joten kysytty ala on 600 cm. Vastaus: Ympyän ala on 600 cm. Esimekki 13 Antenninvalmistaja väittää, että heidän lähetysantenninsa säteilykulma siis kulma, josta antennin lähettämä säteily on havaittavissa on 35º. Antenninvalmistaja väittää samasta antennista myös, että minimiteholla heidän antenninsa lähettämä signaali on kuultavissa huonoissa olosuhteissa 30 metin ja ihanteellisissa olosuhteissa 60 metin päästä. Laske epävaman alueen pinta-ala. Kysytty ala saadaan, kun sellaisen sektoin alasta, jonka säde on 60 metiä ja keskuskulma 35º, vähennetään sellaisen sektoin ala, jolla on sama keskuskulma, mutta jonka säde on 30 metiä. Mekitään kysyttyä aluetta A:lla. Epävama alue 35 A = π 35 = π 85m 35 ( 60m) π ( 30m) [( 60m) ( 30m) ] Vastaus: Antennin epävaman kuuluvuusalueen ala on noin 85 m.

13 Ympyän segmentin pinta-ala Edellä olevasta segmentin kuvauksesta näemme, että sektoi ja segmentti liittyvät vahvasti toisiinsa samaan tapaan kuin sektoin kaai sekä sektoin keskuskulma. Aina kun määittelemme sektoin, määittelemme myös segmentin ja kääntäen. Samalla tulemme määitelleeksi myös janan, sektoin jänteen. Käytetään tätä havaintoa nyt sillä tavalla, että huomataan, että tämä jana jänne voidaan nähdä myös sellaisen tasakylkisen kolmion kantana, jonka kylkinä ovat sektoin kyljet. Jaetaan segmentin alan takasteleminen nyt kahteen tapaukseen. Toinen tapaus on sellainen, jossa sektoin keskuskulma on alle 180º ja toinen sellainen, jossa keskuskulma on yli 180º. No, eikö keskuskulma on tasan 180º ole tapaus? Jos sektoin keskuskulma on 180º, niin segmentti on puoliympyä kuten samaa kulmaa vastaava sektoikin ja segmentin jänne on siis sama kuin halkaisija. Tätä käsiteltiin eikseen jo aiemmin. Olkoon sektoin keskuskulma alle 180º. Jos keskuskulmaa mekitään α :lla, niin α < 180º. 180 α Tällöin kolmion kantakulma on ja kolmio tunnetaan, jos ympyän säde tunnetaan. Nyt segmentin ala saadaan vähentämällä tasakylkisen kolmion ala sektoin alasta. Jos keskuskulma on pienempi kuin 180º, niin segmentin ala on sektoin ja kolmion alojen eotus.

14 Olkoon sektoin keskuskulma yli 180º (kuva). Oheiseen piiokseen tilanteemme mukaisen segmentin jänne on piietty sinisellä viivalla. Sitä vastaavan kolmion tausta on valkoinen ja sektoin tausta punainen. Jos keskuskulma on suuempi kuin 180º, niin segmentin ala on sektoin ja kolmion alojen summa. α Esimekki 14 Laske segmentin ala kun sitä vastaavan keskuskulman asteluku on 5 ja ympyän säde eli on 15 cm. Piietään kuva, jonka avulla nimetään tavittavat oliot. Huomaa, että kuvassa määitellään jana s niin, että se on puolet segmentin jänteestä. Määitelmien mukaan h s sin 1, 5 = s = 15 cm ja α = 5º

15 h cos 1, 5 =. Näistä saadaan s = sin1, 5 ja h = cos1, 5, joten segmentin ala on 5 1 π cos( 1, 5 ) sin( 1, 5 ) 15, cm. Vastaus: Segmentin ala on noin 1,5 cm. Esimekki 15 Ympyän säde on 30 cm. Laske segmentin ala ja segmenttiä vastaavan sektoin kaaen pituus, kun segmentin jänteen pituus on 35cm. Piietään ensin lähtötilanne: Takastellaan ympyän niitä säteitä, jotka yhdistävät jänteen loppupisteet ja ympyän keskipisteen. Tällöin muodostuu tasakylkinen kolmio, jonka kokeus olkoon h ja kanta eli jänne olkoon b. Tällöin jänteen puolikas on b ja siis b = 17,5 cm. Mekitään vielä kolmion huippukulmaa kijaimella α ja ympyän sädettä kijaimella. Toinen piios esittää tätä tilannetta. jänteen pituus on 35 cm säde = 30 cm Koska kuvion tasakylkisen kolmion puolikas, joka on saatu aikaan jakamalla alkupeäinen kolmio kokeusjanalla kahtia, on suoakulmainen, ovat seuaavat yhtälöt voimassa = b + h b b ja α sin = b, h α joista

16 h = b ja α = sin -1 b Segmentin ala on siis -1 35cm sin 30cm π ja sektoin kaaen pituus on 1 35cm ( 30cm) 35cm ( 30cm) 134cm 35cm -1 sin 30cm π 30cm 37 cm Vastaus: Segmentin ala on noin 134 neliösenttimetiä ja sektoin kaaen pituus on noin 37 senttimetiä. Esimekki 16 A=cm Segmentin ala on cm. Mikä on koko ympyän ala, kun segmenttiä vastaavan keskuskulman asteluku on 30 ja ympyän säde on 15 cm. Piietään kuva. Määittelen kuvan avulla taas tavittavia muuttujia. Näitten lisäksi tavitaan segmentin jänne, olkoon se s ja kolmion kokeus olkoon h. Haluat ehkä tehdä oman piioksen ja mekitä siihen myös nämä muuttujat. Käyttämällä näitä muuttujia ilman lukuavoja saadaan yhtälö (katso Esimekki 14) =15 cm α A = π α = π sh α α sin cos α=30º

17 Ratkaistaan tästä yhtälöstä ympyän säde : α A = π = α α sin cos α α α A = π sin cos A α α α π sin cos cm = π sin cos 13cm Täten ympyän ala on noin 533 cm. Vastaus: Ympyän ala on noin 530 cm. Ympyän tangentti Ympyän tangentti on suoa, joka liittyy kahteen pisteeseen: piste, jossa tangentti sivuaa ympyää ja ympyäviivan ulkopuolinen piste, jonka kautta tangentti kulkee. Piste, jossa tangentti sivuaa ympyää, on ympyän ja tangentin ainoa yhteinen piste. Jos suoalla ja ympyällä on kaksi yhteistä pistettä, suoa ei ole ympyän tangentti. Jos yhteisiä pisteitä ei ole yhtään, suoa ei myöskään ole ympyän tangentti. Suoa on ympyän tangentti takalleen silloin, kun ympyällä ja suoalla on yksi yhteinen piste Saman asian voi sanoa toisinkin. Suoa on ympyän tangentti takalleen silloin, kun suoa sivuaa ympyää yhdessä pisteessä Mieti, miksi ympyäviivan sisäänsä sulkeman kuvion ympyän! sisällä olevan pisteen kautta ei voi piitää samalle ympyälle tangenttia.

18 Olen piitänyt oheiseen kuvaan ympyän ja sille yhden tangentin. Huomaa siinä seuaava seikka, jota ei peustella. Ympyälle piietty tangentti on kohtisuoassa sivuamispisteeseen piiettyä sädettä vastaan. Takastellaan nyt seuaavaa kuvaa, johon piisin ensin ympyän ja sen ulkopuolelle pisteen P. Sitten piisin kolme suoaa, jotka jokainen kulkevat ympyän ulkopuolisen pisteen P kautta. Kaksi niistä, suoat s ja t, ovat ympyän tangentteja ja kolmas, suoa l, kulkee ympyän keskipisteen O kautta. α B β A O t s l Pisteen P kautta voidaan piitää ympyälle O kaksi tangenttia. Olkoon niitten välinen kulma α. Tämä ympyän tangenttien välinen kulma on nimeltään tangenttikulma. Tangenttien välistä kulmaa sanotaan tangenttikulmaksi

19 Pisteet A ja B ovat pisteitä, joissa tangentit sivuavat ympyää. Kuvaan on mekitty myös kaksi sädettä, jotka leikkaavat tangentteja näissä pisteissä. Nämä leikkauskulmat ovat siis suoat. Mekitään näitten säteitten muodostamaa (pienempää) kulmaa kijaimella β. Kuvaan piietyt säteet, jotka määitelmänsä mukaisesti kohtaavat ympyänkehän tangenttien sivuamispisteissä, muodostavat keskenään kulman, jota ole kuviossa mekinnyt kijaimella β. Sitä sanotaan näitä tangentteja vastaavaksi keskuskulmaksi. Tangenttien sivuamispisteissä ympyäviivaa leikkaavat säteet muodostavat tangentteja vastaavan keskuskulman Kolmioitten AOP ja BOP kaikkien kulmien summa on 360 astetta, koska yhden kolmion kulmien summa on 180 astetta. Koska suoa l puolittaa kulmat α ja β, puolet molemmista kulmista on toisessa kolmiossa, toinen puoli toisessa. Saadaan yhtälö kolmion AOP kulmat + kolmion BOP kulmat = 360º α β α β = α + β = α + β = 180, koska kolmiot AOP ja BOP ovat suoakulmaiset. Olemme päätyneet tulokseen Tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on 180 astetta Ympyään ja sen tangentteihin liittyvät laskut ovat usein atkaistavissa Pythagoaan lauseen ja tigonometian avulla. Tämä johtuu siitä, että tangentit ja niitä vastaavat ympyän säteet muodostavat kaksi suoakulmaista kolmiota. Esimekki 17 Rantapallon halkaisija on 60 cm. Jos katsot sitä 9,7 metin päästä, kuinka suuessa kulmassa näet sen?

20 Ajatellaan tilannetta tasossa emme tavitse palloa, vaan ympyän. Tehtävämme on atkaista tangenttikulman suuuus, kun ympyän keskipiste on etäisyydellä 10 m = 9,7 m + 0,3 m ympyän ulkopuolisesta pisteestä, sanokaamme pisteestä P. Selvennetään asiaa piioksen avulla. Mekitsen kysyttyä kulmaa α :lla jotta saan laskuihin kokonaisen kulman. Edellähän tangenttikulmaa mekittiin α :lla. Sini-funktion määitelmän nojalla saadaan yhtälö sin α =, s josta edelleen α = 3, 4 = 3 6'. Vastaus: Kysytty kulma on noin 3,4 astetta. s α P Esimekki 18 Rantapallon halkaisija on 60 cm. Kuinka kaukaa sitä pitää katsoa, jotta tangenttikulmaa vastaavan keskuskulman suuuus on 178? Kuinka suui tangenttikulma on tällöin? Otetaan uusi kopio Esimekin 17 piioksesta. Käytän taas kaksinketaisia kulmia kuvan määitelmissä, jotta saan kokonaisia kulmia laskuihin. Täten esimekiksi keskuskulma = 178 = β. Koska tangenttikulman ja sitä vastaavan keskuskulman summa on 180 astetta, annettua keskuskulmaa vastaava tangenttikulma saadaan yhtälöstä β s α P α + β = 180, josta α =. Sini-funktion määitelmän mukaan sin α =, s josta

21 s = = 17m. sinα Vastaus: Rantapalloa on katsottava noin 17 metin päästä. Tangenttikulma on tällöin. Esimekki 19 Kuinka ylös on noustava, jotta näkisi Suomen kokonaan? Suomen pituus on 1150 kilometiä ja Maan säde on 6367,5 kilometiä. Määitellään kuvan avulla seuaavat suueet. Etäisyydet: = Maan säde, s = Maan keskipisteen ja kuvitellun katselupisteen välinen etäisyys sekä t = piste, jossa näkösäde sivuaa Maata. Kulmat: Kulma, jossa Suomi näkyy ylhäältä = α, Suomen pituutta vastaavan kaaen keskuskulma = β. Huomaa vielä, että t kuten edellä. Kun vetaat Suomen pituutta Maan säteeseen, huomaat, että oheisen piioksen mittasuhteet eivät ole kohdallaan. Se ei kuitenkaan haittaa. Lasketaan Suomen pituutta vastaavan kaaen keskuskulma, kun ympyän säde on 6367,5 kilometiä: t α s 1150 β = π 6367, 5, = 10, 3 β joten β = 5, 17. Kosini-funktion määitelmän mukaan cos β =. s Siis s = cos β = 6394

22 Etäisyys pinnalta on siis 6 kilometiä. Vastaus: Suomi näkyy kokonaan noin 6 kilometin kokeudesta.

23 Keskeisiä käsitteitä π Keskipiste Ympyä Säde Halkaisija Kehä Sivuamispiste Segmentti Sektoi Tangentti Puoliympyä Vasen kylki Tangenttikulma Oikea kylki Kaai Keskuskulma Jänne Jänteen kokeus

Öljysäiliö maan alla

Öljysäiliö maan alla Kaigasniemen koulu Öljysäiliö maan alla Yläkoulun ketaava ja syventävä matematiikan tehtävä Vesa Maanselkä 009 Ostat talon jossa on öljylämmitys. Takapihalle on kaivettu maahan sylintein muotoinen öljysäiliö

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun

1 Laske ympyrän kehän pituus, kun Ympyrään liittyviä harjoituksia 1 Laske ympyrän kehän pituus, kun a) ympyrän halkaisijan pituus on 17 cm b) ympyrän säteen pituus on 1 33 cm 3 2 Kuinka pitkä on ympyrän säde, jos sen kehä on yhden metrin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 904 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten iiteiden, sisältöjen ja isteitysten luonnehdinta

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

Sähkökentät ja niiden laskeminen I

Sähkökentät ja niiden laskeminen I ähkökentät ja niiden laskeminen I IÄLTÖ: 1.1. Gaussin lain integaalimuoto ähkökentän vuo uljetun pinnan sisään jäävän kokonaisvaauksen laskeminen Vinkkejä Gaussin lain käyttöön laskettaessa sähkökenttiä

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan.

Tämä luku nojaa vahvasti esimerkkeihin. Aloitetaan palauttamalla mieleen, mitä koordinaatistolla tarkoitetaan. MAB: Koordinaatisto geometrian apuna Aluksi Geometriassa tulee silloin tällöin eteen tilanne, jossa piirroksen tekeminen koordinaatistoon yksinkertaistaa laskuja. Toisinaan taas tilanne on muuten vaan

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora

Tapa II: Piirretään voiman F vaikutussuora ja lasketaan momentti sen avulla. Kuva 3. d r. voiman F vaikutussuora VOIMAN MOMENTTI Takastellaan jäykkää kappaletta, joka pääsee kietymään akselin O ympäi. VOIMAN MOMENTTI on voiman kietovaikutusta kuvaava suue. Voiman momentti määitellään voiman F ja voiman vaen tulona:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA

Lujuusopin jatkokurssi IV.1 IV. KUORIEN KALVOTEORIAA Lujuusoin jatkokussi IV. IV. KUORIE KALVOTEORIAA Kuoien kalvoteoiaa Lujuusoin jatkokussi IV. JOHDATO Kuoiakenteen keskiinta on jo ennen muoonmuutoksia kaaeva inta. Kaaevasta muoosta seuaa että keskiinnan

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin

2.3 Voiman jakaminen komponentteihin Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan

Tietoa sähkökentästä tarvitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimerkiksi jos halutaan 3 Sähköstatiikan laskentamenetelmiä Tietoa sähkökentästä tavitaan useissa fysikaalisissa tilanteissa, esimekiksi jos halutaan tietää missäläpilyönti on todennäköisin suujännitelaitteessa tai mikä on kahden

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa

Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa Lineaarialgebra MATH.1040 / trigonometriaa 1 Aste, 1 (engl. degree) Täsi kierros on 360 (360 astetta). Yksi aste jaetaan 60 kulmaminuuttiin (1 = 60 ) ja ksi kulmaminuutti jaetaan 60 kulmasekuntiin (1 =

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m

Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat. KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½. MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa

Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Mohrin-Mascheronin lause kolmiulotteisessa harppi-viivaingeometriassa Matematiikka Sakke Suomalainen Helsingin matematiikkalukio Ohjaaja: Ville Tilvis 29. marraskuuta 2010 Tiivistelmä Harppi ja viivain

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma

Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään

Lisätiedot

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien

I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien I Geometrian rakentaminen pisteestä lähtien Koko geometrian voidaan ajatella koostuvan pisteistä. a) Matemaattinen piste on sellainen, millä EI OLE LAINKAAN ULOTTUVUUKSIA. Oppilaita voi johdatella pisteen

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT

4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TURUN AMMATTIKORKEAKOULU TYÖOHJE 1/7 FYSIIKAN LABORATORIO V 1.6 5.014 4757 4h. MAGNEETTIKENTÄT TYÖN TAVOITE Työssä tutkitaan vitajohtimen aiheuttamaa magneettikentää. VIRTAJOHTIMEN SYNNYTTÄMÄ MAGNEETTIKENTTÄ

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat

* Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa * Trigonometristen funktioiden kuvaajat Trigonometria. a) Määrittele trigonometriset funktiot. b) Vertaa trigonometristen funktioiden ominaisuuksia määritys- ja arvojoukko sekä perusjakso). * Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa

Lisätiedot

Kenguru 2015 Student (lukiosarja)

Kenguru 2015 Student (lukiosarja) sivu 1 / 9 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta saat miinuspisteitä

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola

matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola 798 matematiikka E Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Otavan asiakaspalvelu Puh. 0800 17117

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa I

Sattuman matematiikkaa I Sattuman matematiikkaa I klassinen todennäköisyys Mika Koskenoja ssistentti Matematiikan laitos, Helsingin yliopisto Johdanto loitan todennäköisyyslaskennasta ketovan kijoitussajan, jonka toinen osa ilmestynee

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut Oulun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Kolmen peräkkäisen kokonaisluvun summa on 42. Luvuista keskimmäinen on a) 13 b) 14 c) 15 d) 16. Ratkaisu. Jos luvut

Lisätiedot

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi)

Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosikurssi) Kenguru 2014 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä?

4. Varastossa on 24, 23, 17 ja 16 kg:n säkkejä. Miten voidaan toimittaa täsmälleen 100 kg:n tilaus avaamatta yhtään säkkiä? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 3.2.2012 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Analyyttinen geometria. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA Analttinen geometria Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Analttinen geometria (MAA) Pikatesti ja Kertauskokeet Tehtävien

Lisätiedot

SÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN

SÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN SÄHKÖMAGNEETTINEN KYTKEYTYMINEN H. Honkanen SÄHKÖMAGNEETTISEN KYTKEYTYMISEN TEORIAA Sähkömagneettinen kytkeytyminen on häiiöiden siitymistä sähkömagneettisen aaltoliikkeen välityksellä. Sähkömagneettisen

Lisätiedot

Yksinkertainen korkolasku

Yksinkertainen korkolasku Sivu 1/7 Rahan lainaus voidaan innastaa tavaan vuokaukseen, jolloin lainatusta ahasta maksetaan kokoa sitä enemmän, mitä suuemmasta ahamääästä on kysymys ja mitä pidempään aha on lainattuna. äyttöön saatua

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut

XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut XXIII Keski-Suomen lukiolaisten matematiikkakilpailu 23.1.2014, tehtävien ratkaisut 1. Avaruusalus sijaitsee tason origossa (0, 0) ja liikkuu siitä vakionopeudella johonkin suuntaan, joka ei muutu. Tykki

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2014 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 4.9.04 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT

Cadets 2004 - Sivu 1 RATKAISUT Cadets 2004 - Sivu 1 3 pistettä 1/ Laske 2004 4 200 A 400800 B 400000 C 1204 1200 E 2804 2004 4 200= 2004 800= 1204 2/ Tasasivuista kolmiota AC kierretään vastapäivään pisteen A ympäri. Kuinka monta astetta

Lisätiedot

Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka

Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 4. - 5. luokka 3 pisteen tehtävät Kenguru Ecolier, ratkaisut (1 / 5) 1. Missä kenguru on? (A) Ympyrässä ja kolmiossa, mutta ei neliössä. (B) Ympyrässä ja neliössä, mutta ei kolmiossa. (C) Kolmiossa ja neliössä, mutta

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms.

Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Selitä päätelmäsi lyhyesti tai perustele ratkaisusi laskulausekkeella, kuviolla tms. 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa

Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Solmu 3/2008 1 Käyrien välinen dualiteetti (projektiivisessa) tasossa Georg Metsalo georg.metsalo@tkk.fi Tämä kirjoitus on yhteenveto kaksiosaisesta esitelmästä Maunulan yhteiskoulun matematiikkapäivänä

Lisätiedot

a b c d + + + + + + +

a b c d + + + + + + + 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÖ Ø ÙØ 014 È ÖÙ Ö ÒÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P1. Junan nopeus (liikkeellä) on aluksi v 0 ja matka-aika T 0. Matkan pituus s on

Lisätiedot

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus

Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 Vastaus Kenguru Benjamin, vastauslomake Nimi Luokka/Ryhmä Pisteet Kenguruloikka Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Jätä ruutu tyhjäksi,

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA

AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 2008 MATEMATIIKKA AMMATTIKORKEAKOULUJEN LUONNONVARA- JA YMPÄRIS- TÖALAN VALINTAKOE 008 MATEMATIIKKA TEHTÄVIEN RATKAISUT Tehtävä. Maljakossa on 0 keltaista ja 0 punaista tulppaania, joista puutarhuriopiskelijan on määrä

Lisätiedot

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta:

Ratkaisu: Maksimivalovoiman lauseke koostuu heijastimen maksimivalovoimasta ja valonlähteestä suoraan (ilman heijastumista) tulevasta valovoimasta: LASKUHARJOITUS 1 VALAISIMIEN OPTIIKKA Tehtävä 1 Pistemäinen valonlähde (Φ = 1000 lm, valokappaleen luminanssi L = 2500 kcd/m 2 ) sijoitetaan 15 cm suuruisen pyörähdysparaboloidin muotoisen peiliheijastimen

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1

Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 2010 Ratkaisuja OSA 1 Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu 010 Ratkaisuja OSA 1 1. Mikä on suurin kokonaisluku, joka toteuttaa seuraavat ehdot? Se on suurempi kuin 100. Se on pienempi kuin 00. Kun se pyöristetään

Lisätiedot

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka)

Kenguru 2013 Cadet (8. ja 9. luokka) sivu 1 / 12 3 pistettä 1. Annalla on neliöistä koostuva ruutupaperiarkki. Hän leikkaa paperista ruutujen viivoja pitkin mahdollisimman monta oikeanpuoleisessa kuvassa näkyvää kuviota. Kuinka monta ruutua

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti

235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti 8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain.

OSA 3: GEOMETRIAA. Alkupala. Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. OSA 3: GEOMETRIAA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen, Pekka Vaaraniemi Alkupala Kokoa neljästä alla olevasta palasesta M kirjain. G. GEOMETRIAA Hannu ja

Lisätiedot

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE

PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7

Luvuilla laskeminen. Esim. 1 Laske 6 21 7 Luvuilla laskeminen TI-84 Plus käyttää laskujen suorittamiseen ns. yhtälönkäsittelyjärjestelmää (EOS TM, Equation Operating System), jonka avulla lausekkeiden syöttö tapahtuu matemaattisessa kirjoitusjärjestyksessä.

Lisätiedot

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3

Metropolia ammattikorkeakoulu 05.02.2015 TI00AA43-3004: Ohjelmointi Kotitehtävät 3 : http://users.metropolia.fi/~pasitr/2014-2015/ti00aa43-3004/kt/03/ratkaisut/ Tehtävä 1. (1 piste) Tee ohjelma K03T01.cpp, jossa ohjelmalle syötetään kokonaisluku. Jos kokonaisluku on positiivinen, niin

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2008 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5..008 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. Ratkaise

Lisätiedot

7. Resistanssi ja Ohmin laki

7. Resistanssi ja Ohmin laki Nimi: LK: SÄHKÖ-OPPI Tarmo Partanen Teoria (Muista hyödyntää sanastoa) 1. Millä nimellä kuvataan sähköisen komponentin (laitteen, johtimen) sähkön kulkua vastustavaa ominaisuutta? 2. Miten resistanssi

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Ville-Pekka

Lisätiedot