ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

Transkriptio

1 KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa (Keplein lait). I LAKI eli RAALAKI: Planeettojen adat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on Auiko. P A ellipsiata II LAKI eli PINA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Auinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuet pinta-alat. t A aika t t ala A A A A t III LAKI eli KIEROAIKALAKI: Planeettojen kietoaikojen neliöt ovat veannolliset planeettojen ja Auingon välisten etäisyyksien kuutioihin. oisin sanoen: Planeettojen kietoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuten niiden ellipsiatojen isoakselien puolikkaiden kuutiot A eli k

2 ODISUS: Newtonin gavitaatiolaista seuaa Keplein III laki. (Ks. Physica 5, Esim.. s. 57). Kappaleen (esim. planeetan) m pakottaa ympyäadalle gavitaatiovoima, joten sen liikeyhtälö kietäessä kappaletta on (gavitaatiovoima keskeisvoima) v jossa atanopeus m χ m (*) m π v v Sijoittamalla atanopeuden v lauseke liikeyhtälöön (*) saadaan: m χ π m josta sievennyksen jälkeen seuaa: χ ja edelleen: χ (**) Olkoon kappaleen (planeetan) etäisyys Auingosta ja kappaleen (planeetan) etäisyys Auingosta sekä vastaavat kietoajat Auingon ympäi ja. Edellisestä yhtälöstä (**) saadaan seuaavaksi, joka on Keplein III laki. Kun planeettojen adat eivät ole ympyän vaan ellipsin muotoisia, pitää adansäde kovata isoakselin puolikkaalla a. Keplein kolme lakia antoivat mittaus-ja havaintotakuuden ajoissa täysin takkoja ennusteita tähtitieteen laskuissa. Keplein lakien syvällisemmän selityksen antoi Isaac Newton (64-77). Hän johti ne teoeettisesti laskemalla yleisestä vetovoimalaistaan (vt. edellä oleva tehtävä).

3 KEPLERIN III LAKI: EHÄVIÄ: eht.. asilla on kaksi kuuta, Phobos ja Deimos. Phoboksen kietoaika ympyänmuotoiseksi oletetulla atakäyällä, jonka säde on 970 km, on 0,9 d ja Deimoksen vastaavasti,6 d. Laske Deimoksen atakäyän säde. m m RAKAISU Keplein III laki: asin kuiden kietoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuten niiden ympyäatojen säteiden kuutiot: m Phoboksen masa, m Deimoksen massa 0,9 d, 970 km,6 d,? keotaan istiin :

4 II APA:,6d km km km 0,9d ehtävä voidaan atkaista mös lähtien gavitaatiolaista: F m χ Kumpikin kuu on gavitaatiovoiman alaisessa tasaisessa ympyäliikkeessä asin ympäi. Kuiden kiihtyvys on nomaalikihtyvyytä eli keskeiskiihtyvyyttä: a a n n π v v m χ Gavitaatiolaista F ja dynamiikan peuslaista (N II) F ma saadaan liikeyhtälöt kuille F m a sij. a F m a sij. a

5 m χ m m χ m jaetaan puolittain m m m m m m : : keotaan istiin,6d 970 km 4km 0,9d 400 km. eht.. Galileo Galilei löysi kaukoputkensa avulla neljä Jupitein kuuta. Io-niminen kuu kietää Jupitein,8 vuookaudessa ja sen etäisyys Jupiteista on noin m. Ganymedes-nimisen kuun etäisyys Jupiteista on noin 0 8 m. Laske Ganymedes-kuun kietoaika Jupitein ympäi.

6 RAKAISU m Ganymedes: 0 8 m? Io: m,8 d m Keplein III laki: Kuiden kietoaikojen neliöt ovat suoaan veannollisia Jupiteista laskettujen etäisyyksien kuutioihin; ~ ( k, k vakio) 8 0 m, m d 8, d 8, d. (Huom. ehtävä voidaan atkaista myös lähtien gavitaatiolaista, vt, teht..) eht.. asin keskietäisyys Auingosta on,5-ketainen veattuna aan etäisyyteen Auingosta. Kuinka monta vuotta asilta kuluu yhteen kieokseen Auingon ympäi? Vetaa tulosta taulukkotietoihin.

7 RAKAISU Radat ellipsejä ympyöitä. Oletus: keskietäisyys isoakselin puolikas. aa:, a as:,5,? m m Keplein III laki: k (k vakio) eli keotaan istiin :,5 a,5 a,874 a,87 a. Vt. taulukon avo:,8809 a >,874 a (AOL s. ()). Eo johtuu käyteyn etäisyyden epätakkuudesta. Jos,54, niin,88 a.

8 Newtonin johtopäätökset Keplein laeista: - Keplein II laki ketoo planeetan kiihtyvyyden suunnan planeetan kiihtyvyys suuntautuu aina kohti Auinkoa JOHOPÄÄÖS ): planeettaan vaikuttava gavitaatiovoima suuntautuu kohti Auinkoa - Kappaleen paino maanpinnalla aiheutuu Newtonin mukaan gavitaatiovoimasta, joka on suoaan veannollinen kappaleen massaan; F ~ m JOHOPÄÄÖS ): Kahden kappaleen välinen painovoima on suoaan veannollinen kummankin massaan; F ~ m ja F ~ m - Newton: Keplein III laki vetaa planeettojen kiihtyvyyksiä - planeettojen adat ovat likimain ympyäatoja ja niiden liike likimain tasaista ympyäliikettä, jonka atanopeus v s/t π/, missä ataympyän säde ja planeetan kietoaika. - planeetan Auinkoon suuntautuva nomaalikiihtyvyys on a v / (π/) / ( / )/ /. - Keplein III lain peusteella saadaan k, missä k vakio. - Sijoitetaan Keplein III laki k nomaalikiihtyvyyden a / suueyhtälöön, jolloin saadaan a / / k k kiihtyvyys a on kääntäen veannollinen etäisyyden neliöön; a ~ / JOHOPÄÄÖS ): Auingon ja planeetan välinen painovoima on kääntäen veannollinen niiden etäisyyden neliöön; F ~ /, koska Newtonin II lain v eli dynamiikan peuslain mukaan F ma ja a ~ /. a a v a v a v

9 ONKO PAINAVA ASSA HIDAS ASSA? eli onko painovoimamassa inetiaalimassa? F χ m m F ma Painovoimamassa Inetiaalimassa V A S A U S: ON, PAINOVOIAASSA INERIAALIASSA assa ominaisuus, joka vuoksi kappaleet vetävät sitä puoleensa ominaisuus, joka vastustaa nopeuden muutosta