Matematiikan kurssikoe, Maa 9 Integraalilaskenta RATKAISUT Torstai A-OSA

Transkriptio

1 Matematiikan kussikoe, Maa 9 Integaalilaskenta RATKAISUT Tostai..8 A-OSA Sievin lukio. a) Integoi välivaiheineen i) (x t ) dt ii) x dx. b) Määittele integaalifunktio. c) i) Olkoon 5 f(x) dx =, f(x) dx =, 5 g(x) dx =. Määitä ( f(x) g(x)) dx. ii) Kuvioon mekityt pinta-alat ovat A = A =, ja A =, 5. Määitä pinta-alojen ja funktion f kuvaajan avulla ) f(x) dx ) funktion f integaalifunktion F avon muutos välillä [, ]. a) Saadaan i) (x ) dt = xt ln t + C t ii) x dx = x dx = (x ) dx

2 = (x ) = [( ) ( ) ] = [() () ] = [ ] = b) Olkoon funktio f määitelty tietyllä välillä. Jos on olemassa sellainen funktio F, että välin kaikissa pisteissä pätee F (x) = f(x), niin funktiota F sanotaan funktion f integaalifunktioksi. c) i) Määätyn integaalin ominaisuuksista ja annetuista tiedoista saadaan ( f(x) g(x)) 5 = ( f(x) ii) Saadaan kuvan tiedoista ) F() F ( ) = dx = f(x) dx + f(x) 5 dx g(x) 5 dx = ( f(x) dx + f(x) 5 dx) + g(x) dx = ( + ) + = + = ) f(x) dx =,,5 =, f(x) dx = f(x) dx) + g(x) dx dx + f(x) dx = 6,55 +, = 5,5.

3 . a) Määitä se funktion f: f(x) = x integaalifunktio, joka leikkaa x-akselin kohdassa 4. Hahmota funktion f kuvaaja (esim. Liben Daw-ohjelmalla, kuvan ei tavitse olla "täydellinen") (5p) b) Laske F( ). (p) a) Nyt funktio f on itseisavofunktiona jatkuva kaikilla x R, joten integaalifunktio F on olemassa. Lisäksi f on paloittain määitelty, sillä Näin ollen x, kun x eli kun x x = { (x ), kun x < eli kun x <. (x ) dx, kun x F(x) = { ( x) dx, kun x < = { x x + C, kun x. x + x + C, kun x < Integaalifunktion on oltava jatkuva kaikkialla (koska se on määitelmän peusteella deivoituva), joten takastellaan jatkuvuutta kohdassa x =. Täytyy siis olla eli lim F(x) = lim F(x) = F() x x + lim ( x x + x + C ) = lim ( x + x x + C ) = F() C = 9 + C C = 4,5 9 + C + 4,5 9 = C 9 Siis integaalifunktioksi tulee (nyt vain yksi integoimisvakio mukana!) F(x) = { x x + C, kun x (= (x ) x + C ). x + x + C 9, kun x < tätä ei vaadita Vielä pitää etsiä se tietty integaalifunktio, joka kulkee pisteen (4,) kautta. Toisin sanoen integaalifunktion avo kohdassa x = 4 on, eli F(4) =. Pitää valita oikea lauseke, koska integ.funk. on paloittain määitelty. Valitaan vaihtoehdoista (x tai x < ) se lauseke, jolla x = 4 toteutuu, eli lauseke x x + C, saadaan

4 F(4) = C = C = 4, ja loppujen lopuksi kysytty integaalifunktio on y (katso myös kuvat) F(x) = { x x + 4, kun x x + x 5, kun x < Punaisella on piietty funktio f: f(x) = x Mustalla on piietty integaalifunktioita F vakion x C avoilla, 5, 6, 8, ja sinisellä on piietty tehtävässä määitetty integaalifunktio (C = 4). b) Koska x = <, niin avon F( ) laskemiseksi valitaan x + x 5. Saadaan F( ) = ( ) + ( ) 5 = 8 = 8.

5 Matematiikan kussikoe, Maa 9 Integaalilaskenta RATKAISUT Tostai..8 B-OSA Sievin lukio. a) Funktion f toisen ketaluvun deivaatta f (x) = 4 sin x 4 cos x. Lisäksi tiedetään, että f ( π 4 ) = ja f (π ) = 6 Määitä f(x) sekä f ( π ). Piiä ja liitä vastaukseesi funktion f kuvaaja väliltä [ π, π]. 8 b) Laske ensimmäisessä neljänneksessä olevan yksikköympyän x + y = pinta-alan likiavo muodostamalla keskiavo (s + S ), missä s vastaa alasummaa ja S vastaa yläsummaa. Hyödynnä laskinohjelmistoja. Esim. TI laskee hakasulkujen { } sisällä useita muuttujien avoja kealla, katso kuva alla. Hakasulut saat nomaalista hakasulkumekistä näppäimistöltä. a) Koska f (x) = 4 sin x 4 cos x, niin f (x) = f (x) dx = ( 4 sin x + 4 cos x) dx = cos x sin x + C ja koska = f ( π 4 ) = cos (π ) = sin ( π ) C= niin C =. Siis f (x) = cos x sin x. Edelleen koska + C = f(x) = f (x) dx = ( cos x sin x) dx = sin x + cos x + D ja koska =/ f ( π 6 ) = sin (π ) = / + cos ( π ) D= + D =

6 niin D =. Siis f(x) = sin x + cos x. Ja lopuksi f ( π 8 ) = sin (π 4 ) + cos (π 4 ) = =. b) Hyödynnetään Geogeban komentoja alasumma ja yläsumma: Muodostuva funktion lauseke saadaan yksikköympyästä Joten (Oikea avo A = π 4, ) x + y = y = x (s + S ) (, , ) =, TAI Laskee avoja ja muodostaa summat.

7 4. a) Miten vakio M > pitää valita, jotta funktioiden f: f(x) = M x ja g: g(x) = x M kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala on? Etsi ensin likiavo kahden desimaalin takkuudella aineistot-osion geogeba-tiedostoa tehtavaa_bosa.ggb käyttäen ja määitä sitten takka avo algeballisesti laskien. Peustele välivaiheiden (integointi on oltava vastauksessa, mutta sijoituksen saa tehdä ohjelmistoilla) avulla. (4p) b) Keksi jatkuva funktio f, joka ei ole vakiofunktio ja jolle f(x) dx = ja f(x), kun x. Hyödynnä esim. geogebaa. (p) c) Määitä välivaiheiden avulla (eli sijoitukset ja laskut pitää olla näkyvillä.)(p) x x + dx. a) Likiavo M,9. (Avoa M,9 ei hyväksytä koska tällöin M <.) Määitetään ensin käyien y = f(x) ja y = g(x) leikkauspisteet:

8 laskin y = y eli Mx = x M x = M x = M Koska M >, niin M < M. Näin ollen integoimisväliksi tulee [ M, M]. Tällä välillä paaabeli eli käyä y = x M aukeaa ylöspäin, joten paaabeli kulkee suoan y = Mx alapuolella. Näin ollen saadaan M [f(x) g(x)] M M dx = [Mx (x M )] M M dx = [ x + Mx + M ] dx M = M M x + M x + M x = = 9 M Lopuksi määitetään vakio M, niin että määätty integaali saa avon. Siis 9 M = M =,9 b) Esimekiksi funktio f: f(x) = 4x 4 tai g: g(x) = 4x + 8 tai h: h(x) = π cos (xπ + π ). Katso kuvat: tai k: k(x) = x c) Lasku antaa x x + dx = 4x x + dx = 4x(x + ) = (x + ) = (x + ) = [9 ] = 6 = 5 5. a) Käyät y = ln(x + ) ja y = ln(x ) ajoittavat välillä y kaksiosaisen alueen. Laske sen pinta-ala peustellen, eli välivaiheet (integointi ja sijoitus on oltava näkyvissä, sitten iittää laskin). Anna takka vastaus, kolmidesimaalinen likiavo ja liitä kuva vastaukseesi. dx

9 b) i) Kuinka moneen yhtä suueen osaan on väli [, 5] jaettava, jotta funktioon g: g(x) = 5 kuuluvat x ylä- ja alasummat poikkeavat toisistaan vähemmän kuin, :n vean? ii) Entä kuinka moneen yhtä suueen osaan on väli [, 5] vähintään jaettava, jotta ns. välisumma voidaan pyöistää likiavoon 8, 4. Hyödynnä aineistot-osiosta löytyvää geogebatiedostoa tehtavab_bosa.ggb. Entä mikä on välisumman avo viiden desimaalin takkuudella, kun osavälejä on 5 kpl. a) Piietään kuva, alla. x = y x = / y = y = ln(x ) y = ln(x + ) x JOKO x-akselin SUHTEEN INTEGROINTI TAI y AKSELIN: y -AKSELIN SUHTEEN: Leikkauspisteet: Käyien y = ln(x + ) ja y = ln(x ) leikkauspiste: ln(x ) = ln(x + ) x = x + x = (, ln(5)) (;,6) Käyät ja alue: Käyästä y = ln(x + ) tulee x = e y ja käyästä y = ln(x ) tulee x = ey +. Välillä [, ln(5)] käyä x = ey + e y saa suuempia avoja kuin käyä x = ey +. Näin ollen ln(5) saa suuempia avoja kuin käyä x = e y, välillä [ln(5), ] käyä x = A = ( ey + e y + ) dy + (e y ey + LASKIN ) dy = 6, ,9 ln(5)

10 TAI x -AKSELIN SUHTEEN: Leikkauspisteet: Käyien y = ln(x + ) ja y = ln(x ) leikkauspisteet x -akselin kanssa: (,) ja (, ) logaitmien ominaisuutta ln() = käyttäen. Käyien y = ln(x + ) ja y = ln(x ) leikkauspisteet suoan y = kanssa: = ln(x + ) e = x + e = x (e, ) (8,9; ) = ln(x ) e = x e + = x ( e +, ) (,54; ) Käyien y = ln(x + ) ja y = ln(x ) leikkauspiste: ln(x ) = ln(x + ) x = x + x = (, ln(5)) (;,6) Alue: Välillä [,] käyä y = ln(x + ) saa suuempia avoja kuin käyä y =, välillä [,] käyä y = ln(x + ) saa suuempia avoja kuin käyä y = ln(x ), Välillä [, e + ] käyä y = ln(x ) saa suuempia avoja kuin käyä y = ln(x + ), Välillä [ e +, e ] käyä y = saa suuempia avoja kuin käyä y = ln(x + ), joten A = (ln(x + ) ) dx + (ln(x + ) ln(x )) e + dx + (ln(x ) ln(x + )) LASKIN = 5 ln 5 + e = 6, ,9 e dx + ( ln(x + )) dx e + b) i) Aluksi todetaan, että funktio g(x) = 5 on takasteltavalla välillä [,5] aidosti vähenevä. Tällöin (aidon x vähenevyyden nojalla) kaikilla välin [,5] jakoon liittyvillä osaväleillä funktio g saa pienimmän avonsa osavälien päätekohdissa ja vastaavasti funktio g saa suuimman avonsa osavälien alkukohdissa. Lisäksi pätee, että ensimmäisellä osavälillä suoan minimiavo m on toisella osavälillä maksimiavo M ja yleisesti m n = M n+. Näin ollen ala- ja yläsummista supistuu suuin osa temeistä pois, eli S n = M x + M x + + M n x s n = m x + m x + m x + + m n x S n s n = M x m n x. Joten, milloin

11 Silloin, kun S n s n = (M m n ) x = (g() g(5)) 4 n = (5 ) 4 n <,? 6 n <, 6 < n 6 < n., Näin ollen, kun väli jaetaan vähintään 6 osaan, on ala- ja yläsummien välinen eotus S n s n pienempää kuin,. Katso kuva alla. ii) Hyödynnetään aineistot-osion geogebatiedostoa. Kun n = 69, eli kun välisummaan otetaan 69 summattavaa, niin tällöin välisumma voidaan pyöistää avoon 8,4. Katso kuvat. Ja kun osavälejä otetaan välisummaan 5 kpl, eli n = 5, niin välisumman avo on 8,4458. Katso kuva alla.

12 6. a) Käyän y = e x ja suoan y =, välillä [, ] ajoittama kaksiosainen alue pyöähtää y-akselin ympäi. Laske tilavuus ja hahmota/piiä se tasoalue, joka pyöähtää. Kuvan ei siis tavitse olla takka (geogeballa tehty), sen voi tehdä esim. Libeofficen Daw-ohjelmalla, mutta iittävän selkeästi ja tavittavat tiedot sisältäen. Geogeba toki antaa heti takan kuvan. b) Käyän y = e x ja suoan y = c, missä c >, välillä [, ] ajoittama kaksiosainen alue pyöähtää e suoan y = c ympäi. Miten tulisi vakio c valita, jotta syntyvän pyöähdyskappaleen tilavuus olisi mahdollisimman pieni? Integointi iittää tehdä laskinohjelmilla, mutta lauseke tai integaali pitää olla esillä sekä muut peustelut. a) Käyän y = e x ja suoan y = leikkauspiste: y = y e x = x = Ja tällöin y =. Siis piste (,). Katso kuva oik. Välillä [,] käyä y = f(x) = e x on suoan y = alapuolella ja välillä [,] yläpuolella, katso kuva yllä. Näin ollen pyöähdyskappaleen tilavuudeksi saadaan

13 V = π (e e ) π (ln y) e V lieiö e dy = π (e e Kuvia (ei vaadita!). Alue on pintojen väliin jäävä alue. e ) π (ln y) e dy = = laskin 4 π 4,6 e b) Nyt siis vakio c > ja lisäksi pyöähdys tapahtuu x-akselin suuntaisen suoan y = c suhteen. Integ- e ointiväli on selvä ja nyt kannattaa käyttää itseisavoa eli funktiota h: h(x) = e x c. Näin ollen tilavuusfunktio muuttujan c suhteen on V: V(c) = π e x c dx = π (e x c) dx = π (e x ce x + c ) dx = π (e x ce x + c ) dx = π ex ce x + c x = = π (c + ( e e) c + (e e )) laskin Tämä saatu lauseke nomaalisti deivoidaan ja etsitään deivaatan nollakohta jne. Saadaan V (c) = π (4c + e e) Millä c:n avolla V (c) =? c = e e 4 = = e e Edelleen joko mekkikaavio tai testiavot. Lasketaan testiavot:

14 V ( e e ) = = e,4 ja V (e e ) = = e e 9,4 Näin ollen vakion c avolla c = e e,5 saavuttaa tilavuusfunktio V minimiavon. Katso kuvat (ei vaadita) alla.

15 . Juustoa myydään suoan ympyälieiön muotoisessa pakkauksessa. Lieiön kokeus on h ja sen pohjan säde on. Juusto leikataan ensin pystysuoassa suunnassa kahteen yhtäsuueen osaan. Toisesta puolikkaasta leikataan vinosti kuvion osoittama pienempi pala, jonka kokeus on h. Laske tämän juustopalan tilavuus integoimalla. [YO K4/] VIHJE: Voit tehdä paloittelun joko x- tai y-akselia vastaan kohtisuoilla tasoilla. Piietään pai kuvaa ylhäältä ja sivulta SIVUYLHÄÄLTÄ YLHÄÄLTÄ y = h x y y y x x x A x Poikkileikkauspinta on suoakulmio, jonka pohja saadaan Pythagoaasta: y = x

16 ja kokeus suoasta y = h x, joten pinta-ala A on A(x ) = y h x = x h x kanta kokeus Näin ollen kappaleen tilavuus saadaan integoimalla yli välin [, ], huomaa, että nyt alaindeksi on otettu pois! V = dv = A(x) = h dx = x h x dx = h x ( x ) / ( x ) = h [ ( ) ] = h = h dx TAI Tekee paloittelun y-akselin suhteen, jolloin poikkileikkauspinta-ala on suoakulmainen kolmio. Tällöin pintaala A on A(y ) = x h x kanta kokeus = y kanta h y kokeus = h ( y ) Näin ollen kappaleen tilavuus saadaan integoimalla yli välin [, ], jälleen alaindeksi on otettu pois. V = dv = A(y) dy = h ( y ) dy = h ( y ) dy = h y y = h [( ) ( + )] = h ( ) = h 4 = h

17 8. Olkoon f:f(x) funktio, joka on määitelty välillä x. Alla on esitetty funktion F:F(x)= xf(t)dt kuvaaja välillä x. Avioi kuvaajan peusteella a) määättyä integaalia 4f(t)dt, b) millä väleillä funktio f on vakio ja c) millä väleillä funktio f on aidosti vähenevä. [YO S/] Olkoon \(f\colon f(x)\) funktio, joka on määitelty välillä \(\leq x \leq \). Alla on esitetty funktion\[f\colon F(x)=\int_{}^{x}f(t)dt\]kuvaaja välillä \(\leq x \leq \). Avioi kuvaajan peusteella a) määättyä integaalia \[\int_{}^{4}f(t)dt\,\]b) millä väleillä funktio \(f\) on vakio ja c) millä väleillä funktio \(f\) on aidosti vähenevä. [YO S/]