Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Topologia IA, kesä 2017 Harjoitus 1"

Transkriptio

1 Topologia IA, kesä 07 Harjoitus Heikki Korpela 5. toukokuuta 07 Tehtävä. Todista ( luonnollisin oletuksin, kirjoita ne!) kaava 0.8., so. että f j J B j = j J f B j, huolellisesti tarkastellen yksittäisiä alkioita. Osoita toiseksi (vrt ), että kaavaan f[a A ] fa fa ei aina saada yhtälöä. (Vastaesimerkki?) Vastaus: Oletetaan, että f : X Y ja J on jokin indeksijoukko, jota vastaa joukkojen kokoelma {B j, B j,..., B jn }, missä B j Y kaikilla j J.. Käsitellään ensin alta pois tyhjä joukko, jotta voidaan olettaa jokin alkio joukosta. Jos j J B j on tyhjä, niin kaikki joukot B j ovat tyhjiä kaikilla j J. Tyhjän joukon alkukuva on tyhjä ja tyhjien joukkojen yhdiste on tyhjä, joten yhtäsuuruus pätee myös tässä erityistapauksessa. Oletetaan sitten, että j J on epätyhjä, ja käsitellään yhtäsuuruus kumpaankin suuntaan erikseen. : Oletetaan, että x on jokin alkio joukossa f j J B j. Tällöin alkukuvan määritelmän mukaan f(x) = y j J B j. Tästä taas yhdisteen määritelmän mukaan seuraa, että y kuuluu ainakin johonkin joukoista B j. Toisin ilmaisten: on ainakin yksi sellainen j 0 J, että y B j0. Kiinnitetään tämä j 0. Soveltamalla taas alkukuvan määritelmää saadaan f(x) = y B j0 x f B j0. Vastaavasti yhdisteen määritelmän mukaan x j J f B j. : Oletetaan jälleen, että x on jokin alkio joukossa j J f B j. Yhdisteen ja alkukuvan määritelmiä hyödyntämällä saadaan jälleen: x f j J j 0 J s.e. x f B j0 f(x) = y B j0 y B j j J x f j J B j. Tarvittaessa koko päättely oltaisiin tietenkin voitu käsitellä myös ekvivalensseilla miettimällä joka kohta molempiin suuntiin: x f j J B j f(x) = y j J B j y B j0 jollain j 0 J x f B j0 x j J f B j.

2 Määritetään sitten kysytty vastaesimerkki. Olkoon: Nyt mutta joten fa fa = {0, } {0}. X = {0,, }, Y = {0, }, A = {0, }, A = {0, }, f : X Y, f(x) = {x 0} = { 0, x = 0,, x 0 A A = {0} f[a A ] = {0}, fa = {f(0), f()} = {0, } = {f(0), f()} = fa, (Vielä yksinkertaisempi, muttei ehkä yhtä havainnollinen esimerkki saataisiin valitsemalla X = {0, }, Y = X, A = {0}, A = {}, f : X Y, f(x) = 0; tällöin fa = fa = {0} = fa fa, mutta A A = f[a A ] = {0}.) Tehtävä. Aletaan tutustua joukkoon (ks..7.) E = raj(d, R) = {f : D R : f on rajoitettu } ja sen päälle rakennettuihin avaruuksiin (vektori-, normi- ja metriseen): (a) Osoita, että jos f, g E, niin myös f + g E. Neuvo: Joukon E laskutoimitukset kuten kohdan. loppupuolella. Palauta analyysistä mieleen, mitä tarkoittaa olla rajoitettu funktio. (b) Ns. sup-normi E:hen saadaan yhtälöstä f = sup f(x) x D Normiudelle on todistus.7.:ssä. Täydennä/selitä ehdon (N) osoitus. (c) Tärkeitä sovelluksia ovat l = raj(n, R) ja metrinen avaruus C[0, ]. Mieti hieman näitä. Miten esim. jälkimmäinen saa ns. sup-metriikkansa?. Vastaus: (a) Olkoon f, g E. (Tätä osaa varten D:n ei tarvitse edes olla epätyhjä.) Tällöin määritelmän mukaan (kurssikirjan s. 5, v. 0 painos) on olemassa luvut M f 0, M g 0 siten, että f(x) M f ja g(x) M g kaikilla x D. Siten kaikilla x D pätee (funktioiden pisteittäinen yhteenlasku kuten kirjassa sekä tavanomainen reaalilukujen kolmioepäyhtälö): (f + g)(x) = f(x) + g(x) f(x) + g(x) M f + M g, missä M f + M g on jokin luku. Siis myös f + g on rajoitettu kuvaus (luvulla M f + M g ). (b) Esitetään osoitus laveammin selitetyssä muodossa. Olkoon D, E = raj(d, R), f, g E ja x D. Koska f on rajoitettu, joukko { f(x) : x D} on ylhäältä rajoitettu jollain luvulla M f 0. Lisäksi joukko on epätyhjä, koska D on epätyhjä. Siten joukolla on supremum, joten normi f = sup{ f(x) : x D} on hyvin määritelty. Sama pätee g:lle. Erityisesti sama pätee f + g:lle, koska myös f + g oli rajoitettu. Ensimmäinen.7.:n yhtäsuuruus saadaan kuvauksien yhteenlaskun pisteittäisestä määrityksestä: koska (f + g)(x) = f(x) + g(x) kaikilla x D, niin (f + g)(x) = f(x) + g(x)

3 Koska f ja g ovat kuvauksia R:lle, f(x) ja g(x) ovat reaalilukuja kaikilla x D. Voidaan siis soveltaa kolmioepäyhtälöä: f(x) + g(x) f(x) + g(x) Seuraavaksi voimme supremumin määritelmän nojalla arvioida kumpaakin näistä luvuista ylhäältä supremumillaan: f(x) + g(x) sup{ f(x) : x D} + sup{ g(x) : x D} = f + g. Lopuksi todetaan, että koska tämä yhtälö pätee mielivaltaisella x D, sen täytyy päteä myös f:n ja g:n summan supremumille: siis joka oli osoitettava väite. f + g = sup{ (f + g)(x) : x D} f + g, (c) Näistä l on rajoitettujen jonojen joukko, koska jonot voidaan määritellä (tai karakterisoida) kuvauksina N:lta R:lle. Tästä karakterisoinnista saadaan heti tulokseksi, että rajoitettujen jonojen summat ovat rajoitettuja ja että rajoitettu jono kerrottuna vakiolla on rajoitettu. Eräs (muttei tietenkään ainoa) kiinnostava rajoitettujen jonojen osajoukko on suppenevien jonojen joukko. C[0, ] on suljetulla välillä [0, ] jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden joukko. Koska jatkuvat funktiot ovat tunnetusti suljetulla välillä rajoitettuja (ja ne jopa saavuttavat suurimman ja pienimmän arvonsa suljetulla välillä), ne ovat rajoitettujen funktioiden joukon aliavaruus (ja erityisesti niillä on supremum). Tehtävä 3. (:4) Tutki, ovatko seuraavat funktiot f ja g metriikkoja reaaliakselilla R: (a) f(x, y) = x y ; (b) g(x, y) = x y. (Ks. neuvo kirjasta.) Vastaus: 3. (a) Osoitetaan, että f ei ole metriikka, vastaesimerkillä. Olkoon vaikkapa x =, y =, z = 3. Nyt f(x, z) = 3 = = 4 > + = + 3 = f(x, y) + f(y, z) Koska löytyi alkiot x, y, z R, joilla f ei toteuta metriikan kolmioepäyhtälöä (M), f ei ole metriikka. (b) Osoitetaan g metriikaksi. Ensin osoitetaan aputulos neuvon mukaan. Olkoon a 0, b 0. Tällöin juuria ja neliöitä otettaessa voidaan edetä yhtälöketjuissa molempiin suuntiin, ja pätee: 0 ab a + b a + ab + b ( a + b) ( a + b) a + b a + b Tarkistetaan sitten metriikan ehdot. Oletetaan, että x, y, z R. (M) Juurifunktion monotonisuuden nojalla voidaan soveltaa kolmioepäyhtälöä juurenoton sisällä: g(x, z) = x z = x y + y z x y + y z, ja aputuloksen perusteella saadaan x y + y z x y + y z = g(x, y) + g(y, z) 3

4 (M) Ilmeinen: g(x, y) = x y = y x = g(y, x) suoraan reaalilukujen vähennyslaskun vaihdannaisuuden mukaan. (M3) Todetaan ekvivalenssiketju, jossa hyödynnetään vain g:n määritelmää sekä juurifunktion ja itseisarvon ominaisuuksia: g(x, y) = 0 x y = 0 x y = 0 x y = 0 x = y Metriikan ehtojen tultua näin tarkistetuiksi on osoitettu, että g on metriikka reaaliakselilla. Tehtävä 4. Määritä tason joukkojen etäisyys, kun R :ssa on (a) tavallinen metriikka, (b) {0, }-metriikka. 4. Vastaus: A 0 = {(x, y) R : xy = 0} ja A = {(x, y) R : xy = } (a) Siirrytään vektorimerkintöihin; lihavoiduilla u, w viitataan alla A 0 :n ja A :n pisteisiin eli vektoreihin. Aluksi todetaan, mitä haetaan: joukkojen pisteiden etäisyyksien suurinta alarajaa, inf{d(u, w) : u A 0, w A } merk. = inf K Tarkastellaan hieman joukkoja. Oletetaan, että u = (u, u ) A 0, w = (w, w ) A. Tulon nollasäännön nojalla u u = 0 u = 0 tai u = 0 (itse asiassa A on tavanomaisten reaalitason x- ja y-akselien yhdiste). Samaisen tulon nollasäännön nojalla w w = w 0 w. Toisin sanoen koordinaateilla on myös (esimerkiksi) esitys w = w. Esimerkiksi kuvaajaa tämän perusteella hahmottelemalla tai lauseketta tarkastelemalla huomataan, että kun w on hyvin suuri tai hyvin pieni, w on hyvin lähellä nollaa, ja päinvastoin (t.s. kasvattamalla toista koordinaateista pisteet lähestyvät asymptoottisesti tason xy-akseleita jommaltakummalta puolelta). Arvataan näiden havaintojen perusteella, että etäisyyksien alarajaksi saadaan nolla. Osoitetaan tämä kahdessa osassa (infin ε-kriteeri). (i) 0 on alaraja: selvä, koska d on metriikka eli kuvaus R + :lle. (ii) 0 + ε ei enää ole alaraja millään ε > 0: oletetaan, että ε > 0. Lausekkeita tai kuvaajia pohtimalla havaitaan, että riittää hakea (esimerkiksi) niin suuri w ( x-koordinaatti ), että w = (w, w ) A on lähempänä reaalitason x-akselia kuin ε; tämän jälkeen valitaan vain A 0 :sta vastaava piste. Arkhimedeen lauseen nojalla löytyy luonnollinen luku n, jolla n > ε n < ε. Nyt piste u = (n, n ) kuuluu joukkoon A, koska n n =. Vastaavasti piste w = (n, 0) kuuluu joukkoon A tulon nollasäännön nojalla. Etäisyydeksi saadaan: ( d(u, w) = u w = n n, ) ( ( n 0 = 0, n) ) = = n n = n < ε Siten 0 on infin ε-kriteerin nojalla etäisyysjoukon K infimum eli joukkojen etäisyys d(a, A ). (b) Äsken jo käytännössä havaittiin, että A 0 ja A eivät kohtaa. Täydennetään tämä vielä todistukseksi pienellä toistolla. Merkitään tätä varten {0, }-metriikkaa e:llä. Oletetaan, että u = (u, u ) A 0, w = (w, w ) A. Nyt soveltamalla tulon nollasääntöä joukon A 0 määrityksestä u u = 0 seuraa u = 0 tai u = 0. Vastaavasti w w = w 0 w. Siis u = 0 w tai u = 0 w. Koska siis u w, e(u, w) =. Koska u, w olivat mielivaltaiset, saadaan {e(u, w) : u A 0, w A } = {} Tämän yksiön infimum on selvästi sen ainoa alkio, luku, joka on siis joukkojen etäisyys. 4

5 Tehtävä 5. Tutkitaan toisaalta metristä avaruutta (C[0, ], d), missä C[0, ] = {f : [0, ] R : f on jatkuva} ja missä d on sup-normin määräämä metriikka (ks. ylle), toisaalta metristä avaruutta ([0, ] R, e), missä e on tavan mukaisesti euklidinen metriikka. Merkitään f = (x x) ja g = (x x) : [0, ] R. Määritä d(f, g) ja e(g f, G g ), kun G f ja G g ovat funktioiden f ja g kuvaajat ( [0, ] R). Vastaus: Todetaan, että d(f, g) on kahden alkion f ja g etäisyys: 5. d(f, g) = f g = g f = sup{ g(x) f(x) : x [0, ]} = sup{ x : x [0, ]} =, missä tieto on yläraja seuraa ilmeisestä yhtälöketjusta 0 x 0 x x x ja tieto on pienin yläraja siitä, että kun x = 0, x = (eli jopa kuuluu joukkoon). e(g f, G g ) taas on kahden joukon etäisyys eli seuraava infimum: e(g f, G g ) = inf{e(u, v) : u G f, v G g } Kahden joukon etäisyys on aina nolla, jos joukot leikkaavat. (Kurssikirja tai ilmeiset perusteet: metriikan määritelmästä saadaan alarajaksi nolla. Jos alaraja nolla saavutetaan jossain pisteessä, se on automaattisesti minimi ja infimum. Hyödyntämällä metriikan määritelmän kohtaa M3 saadaan, että pisteen etäisyys itsestään on nolla.) Riittää siis osoittaa, että on olemassa jokin z = (x, y), jolle z G f, z G g. Koska f( ) =, g( ) = =, piste z = (, ) kuuluu molempiin joukkoihin eli joukkojen etäisyys on nolla. Tehtävä 6. (3:) Tutki määritelmään nojautuen, onko joukko A R avoin, kun (a) A = {(x, y) R : x }, (b) A = {(x, y) R : x + y < 0} Vihje: Kohdassa (b) voi muttei ole pakko käyttää analyysin kurssien tietoja jatkuvista funktioista. Vastaus: 6. (a) Osoitetaan, että A ei ole avoin, ristiriitatodistuksella. Valitaan piste z = (, 0). Väitetään, että ei löydy sellaista sädettä ε > 0, että kuula B(z, ε) kokonaan sisältyisi A:han. Vastaoletus: löytyypäs, olkoon se ε. Nyt pisteelle u = ( ε, 0) pätee d(u, z) = u z = ( ε, 0) = ε < ε, joten se sisältyy kuulaan B(z, ε). Mutta u:n ensimmäinen koordinaatti on pienempi kuin, joten se ei kuulu joukkoon A. Saatiin ristiriita, joten vastaoletus on epätosi ja väite tosi. Siis A:sta löytyi piste, jonka ympärille ei voi rakentaa kuulaa, joka kokonaan kuuluisi A:han. Siten A ei ole avoin. (b) Tulkitaan, että analyysin kurssien tiedoilla tarkoitetaan myös useamman muuttujan reaalifunktioiden jatkuvuutta (jota on käsitelty mm. kurssilla Analyysin jatkokurssi). Hyödynnetään näistä tiedoista kahta perustietoa: ensinnäkin, polynomifunktiot (myös usean muuttujan) ovat jatkuvia kaikkialla. Toisekseen, useamman muuttujan reaalifunktion f jatkuvuus pisteessä z 0 voidaan määritellä seuraavasti: ε > 0 : δ > 0 s.e. z z 0 < δ f(z) f(z 0 ) < ε (Määritelmä on siis tässä liki sama kuin yhden muuttujan tapauksessa, itseisarvot on vain yleistetty normeiksi ja pisteet vektoreiksi.) 5

6 Todetaan, että A voidaan karakterisoida myös alkukuvana seuraavasti. Olkoon f : R R, f(x, y) = x + y. Tällöin alkukuvan määritelmää hyödyntämällä saadaan A = {a = (x, y) R : x + y < 0} = {a R : f(a) < 0} = f [(, 0)] Merkitään negatiivista reaaliakselia B = (, 0), jolloin A = f B. Oletetaan, että a 0 on A:n piste. Alkukuvan määritelmän nojalla a 0 f B b 0 = f(a 0 ) B. Siis b 0 < 0. Halutaan soveltaa jatkuvuuden määritelmää sellaiseen maalin osajoukkoon, joka pysyy B:ssä, joten tarvitaan sopiva ε > 0. Valitaan vaikkapa ε = b 0 > 0, jolloin b b 0 < ε b < 0. Toisin ilmaisten: väli I = (b 0 ε, b 0 + ε) = ( 3 b 0, b 0) sisältyy kokonaan väliin B = (, 0), koska b 0 < 0. f on polynomina jatkuva koko R :ssa ja siten myös sen kaikissa osajoukoissa. Siis hyödyntämällä kuulan ja jatkuvuuden määritelmiä äsken asetettua ε > 0 vastaa jokin δ > 0 siten, että a B(a 0, δ) a a 0 < δ f(a) f(a 0 ) < ε Kuten aiemmin todettiin, tämä tarkoittaa, että b = f(a) kuuluu väliin I, joka taas kokonaan sisältyi joukkoon B. Hyödyntämällä kuvan ja alkukuvan määritelmiä saadaan täydennettyä implikaatio: f(a) f(a 0 ) < ε f(a) I B a f B = A Siis löytyi pistettä a 0 vastaava δ > 0-säteinen kuula B(a 0, δ), jonka jokainen mielivaltainen piste a sisältyy A:han (eli kuula kokonaan sisältyy A:han). Koska a 0 oli mielivaltainen A:n piste, A on avoin. (Tässä vaiheessa todetaan, että kyseessä oli erityistapaus sen paljon yleisemmän tuloksen osoittamisesta, että kuvauksen ɛ/δ-jatkuvuus takaa sen, että kuvajoukon avointen joukkojen alkukuvat ovat avoimia. Implikaatio pätee jopa molempiin suuntiin, mutta tässä tarvittiin vain toista suuntaa.) Tulokseen ei tarvita tietoja usean muuttujan funktioista; yhden muuttujan jatkuvuus riittää. Ensin pieni aputulos. Aputulos. Todetaan ilmeisehkö havainto: euklidisessa metriikassa r-säteinen kuula voidaan aina rajoittaa jonkin sellaisen kuution sisään, jonka sivun pituus on r. Jos U = B(z 0, r), niin mielivaltaiselle pisteelle z = (x, y) U pätee metriikan kolmioepäyhtälön mukaan d((x, y 0 ), z 0 ) d((x, y 0 ), z) + d(z, z 0 ) < r }{{}}{{} 0 <r d((x, y 0 ), z 0 ) = (x x 0, y 0 y 0 ) = x x 0 < r Tai, suoremmin, x x 0 = (x x 0 ) (x x 0 ) + (y y 0 ) = (x x 0, y y 0 ) = z z 0 = d(z, z 0 ) < r. Vastaava pätee myös y-koordinaatille (ja yleistyy ilmeisellä tavalla n-ulotteiseen tapaukseen jokaiselle koordinaatille). Vaihtoehtoinen todistus yhden muuttujan funktion jatkuvuudella. Olkoon jälleen a 0 = (x 0, y 0 ) A. Rakennetaan tulos lopusta alkuun: määritetään, mitä ehtoja kuulan säteen r > 0 pitää toteuttaa, jotta kuulan B(a 0, r) = U mielivaltainen piste b = (x, y) kuuluu A:han eli y > x +. (Alla siis puhutaan tällaisesta hypoteettisestä säteestä ja kuulasta, vaikka vasta lopuksi selviää, että tällainen r aina voidaan valita. Tarkoitus on valottaa, miten todistus on rakentunut.) Todetaan, että jos b kuuluu kuulaan U, käytettävissä on tieto y y 0 < r y 0 r < y < y 0 + r. Koska haluamme rajoittaa y:tä alhaalta, meille riittää y > y 0 r. Yhden muuttujan funktion jatkuvuuden perusteella millä tahansa ε > 0 löytyy sellainen δ x > 0, jolla voidaan rajoittaa x x 0 < ε, kun x x 0 < δ x. (Jatkuvuuden määritelmän 6

7 lisäksi tarvitaan vain tietoa, että f : R R, f(x) = x on esimerkiksi selvästi jatkuvien identtisten kuvauksien x x tulona jatkuva kaikkialla ja siten myös pisteessä x 0.) Näistä epäyhtälö x x 0 < r δ x toteutuu, jos a kuuluu U:hun ja U:n säde r on enintään yhtä suuri kuin jatkuvuuden nojalla löydetty luku δ x. Kuvapuolelta tarvitsemme rajaa x < x 0 + ε. Nyt etsittävänä on siis kaksi lukua: ε ja r. Vielä tarvitaan tietoa, että koska a 0 kuuluu A:han, pätee y 0 > x 0 +. Voidaan kirjoittaa δ y = y 0 x 0 > 0, jolloin siis y 0 = x δ y. Selvästi ε ja r tulevat jotenkin riippumaan δ y :sta. Kootaan yhteen: { { y > y 0 r = x δ y r, y > x δ y r, x < x 0 + ε x 0 + ε + > x + Huomataan, että kuulan pisteille b = (x, y) pätee joukon A ehto y > x +, kunhan vain x δ y r > x 0 + ε y + δ y r > ε r < δ y ε Asetetaan ensin ε = δ y > 0. Nyt f:n jatkuvuus takaa, että löytyy jokin δ x > 0, jolla x x 0 < ε, kun x x 0 < δ x. Jos säde δ x riittää pitämään x :n lähellä x 0:sta, pienempikin säde tietysti riittää. Toisin sanoen määräämällä r = min{ 3 δ y, δ x } > 0 saadaan tarvittavat epäyhtälöt: 0 < x x 0 < r δ x x x 0 < ε, 0 < r 3 δ y < δ y ε = δ y δ y = δ y Siis löytyi pistettä a 0 vastaava r > 0-säteinen kuula B(a 0, r), jonka jokainen mielivaltainen piste b sisältyy A:han (eli kuula kokonaan sisältyy A:han). Koska a 0 oli mielivaltainen A:n piste, A on avoin. Luonnollisesti todistus on rakennettavissa myös kokonaan jatkuvuusargumentointia. Vaihtoehtoinen todistus ilman jatkuvuutta. Olkoon jälleen a 0 = (x 0, y 0 ) A. Edetään taas lopusta alkuun. Tapaus x 0 = 0. Aputuloksen mukaan r < x < r ja y 0 r < y < y 0 +r. Aina y 0 > x 0 +. Huomataan, että riittää, että x + < r + < y 0 r < y Ensimmäinen epäyhtälö on selvä: se voidaan kirjoittaa muodossa x + < r +, ja aputuloksen mukaan x < r = r. Neliöfunktio x x on positiiviluvuilla kasvava eli järjestyksen säilyttävä funktio. Samoin viimeinen epäyhtälö y 0 r < y seuraa suoraan aputuloksesta. Riittää siis, että r + < y 0 r r + r + ( y 0 ) < 0 Epäyhtälö voidaan nyt samaistaa kysymykseen siitä, milloin ylöspäin aukeavan parabeelin kuvaajan pisteet ovat alemmalla puolitasolla (karteesisessa koordinatistossa y-akselin alapuolella, mutta muuttuja y on jo varattu). Näin on silloin, kun r-koordinaatit ovat leikkauspisteiden välissä. Etsitään nollakohdista suurempi toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: r 0 = + 4( y 0 ) 4y0 3 = = 4y0 3 4 = y

8 Tämä on positiivinen, koska y 0 > y > 4 y > 4 =. (Toinen nollakohta y on triviaalisti negatiivinen, koska se on summa negatiiviluvusta ja neliöjuuren vastaluvusta.) Riittävä ehto epäyhtälön totuudelle on siis 0 < r < r 0, joten riittää valita r = r 0 > 0, niin B(a 0, r) A. Tapaus x 0 > 0. Tarkastellaan aiempaan tapaan epäyhtälöketjua: x + < (x 0 + r) + < y 0 r < y Viimeinen epäyhtälö seuraa aputuloksesta kuten aiemmin. Ensimmäinen epäyhtälö pätee, jos r:lle asetetaan lisäehto, että että 0 < x 0 r < x < x 0 + r, koska tällöin x < (x 0 + r). Huolehditaan tästä lisäehdosta lopuksi ja tutkitaan ensin toista epäyhtälöä: Nollakohdista suurempi: r + ( + x 0 )r + (x 0 + y 0 ) < 0 (x 0 + r) + < y 0 r r 0 = ( + x 0) + ( + x 0 ) 4(x 0 + y 0) Tätä voisi sieventää, mutta ei ole pakko; riittää todeta, että tämä on selvästi positiivinen ja reaalinen. Tämä on melko ilmeistä: positiiviluvun u neliöön lisätään jotain positiivista, otetaan juuri ja vähennetään u, joten tuloksena on jotain positiivista. Tarkemmin: A:n määrityksen nojalla y 0 > x 0 + x 0 + y 0 < 0 δ = 4(x 0 + y 0 ) > 0. Lisäksi merkitsemällä u = ( + x 0 ) > 0 saadaan u + δ > u u + δ > u = u u + δ u > 0. Vastaavan kaltaisin perustein nähdään, että toinen nollakohta on negatiivinen. Siis kun 0 < r < r 0, epäyhtälö toteutuu. Lisäksi piti varmistaa, että x 0 r > 0. Tämä ehto toteutuu, kun asetetaan r valitaan sitten r = min{ r 0, r }. Tapaus x 0 < 0. Vielä viimeinen tapaus. Tarkastellaan epäyhtälöketjua: x + < (x 0 r) + < y 0 r < y = x0, ja Ensimmäinen epäyhtälö toteutuu, kunhan x 0 r < x < 0, koska neliöinti on reaaliakselin negatiivisella puolella vähenevä eli järjestyksen kääntävä operaatio. (Vaikkapa seuraavalla perusteella: olkoot b < a < 0. Nyt b < a b = bb > ab, koska negatiiviluvulla kertominen kääntää epäyhtälön merkin; vastaavasti b < a ab > aa = a, eli b > ab > a.) Asetetaan r:lle edellisen tapauksen tapaan katto r = x0 = x0, jolloin x < x 0 + r x 0 + r x < x 0 < 0. Toinen epäyhtälö: Nollakohdista suurempi: r + ( x 0 )r + (x 0 + y 0 ) < 0 (x 0 r) + < y 0 r r 0 = ( x 0) + ( x 0 ) 4(x 0 + y 0) Tämä on positiivinen (ja toinen nollakohta negatiivinen) samoin perustein kuin aiemmin, joten ottamalla r = min{ r 0, r } koko epäyhtälöketju toteutuu. Yhdistetään saadut ratkaisut. Ensin todetaan, että kahdessa jälkimmäisessä tapauksessa (x 0 0) toiseksi ylärajaksi kelpaa r = x 0. Tapauksessa x 0 = 0 tämä ei voi olla yläraja, koska r:n pitää olla aidosti positiivinen. Koska tapauksessa x 0 = 0 tämän ylärajan suuruus ei toisaalta ole ongelma (riittää, että r < r 0 ), voidaan yleistää yläraja r kaikkiin tapauksiin vaikkapa määrityksellä: r = {x 0 0} x 0 + {x 0 = 0} = { x 0, x 0 0, x 0 = 0. 8

9 Sitten havaitaan, että kaikissa kolmessa tapauksessa (oli x 0 mikä tahansa) r 0 voidaan kirjoittaa ekvivalentissa muodossa ( + x0 ) r 0 = 4(x 0 + y 0) ( + x 0 ) Ottamalla käyttöön merkinnät δ = y 0 x 0 > 0 (joka kertoo, kuinka etäällä piste on kuvaajasta y = x + eli joukon A alarajasta ) ja q = (+ x 0 ) > 0 saadaan vaihtoehtoinen esitys: tai q + 4δ q r 0 =, r 0 = ( ) 4y0 + 4 x 0 3 x 0 (Luonnollisesti mikä tahansa pienempikin positiiviluku käy; arvata saattaa, että r 0 :lle varmaankin löytyisi esteettisempiäkin muotoja.) Yhteenvetona todettakoon, että näillä määrityksillä mielivaltaisella pisteellä a 0 = (x 0, y 0 ) on kuulaympäristö B(a 0, r), joka kokonaan sisältyy A:han, kun säteeksi r valitaan { } r = min r 0, r. 9

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen

Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto

Näin ollen saadaan tulos rad(g) diam(g). Toisaalta huomataan, että verkon G kaikilla solmuilla x ja y pätee kolmioepäyhtälön nojalla havainto Tehtävä 3 : 1 Olkoon G mielivaltainen epätyhjä verkko. Erityisesti siltä ei vaadita äärellisyyttä. Polut ovat verkon G koosta riippumatta määritelmän mukaan aina äärellisiä, joten kahden solmun välisen

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

(2n 1) = n 2

(2n 1) = n 2 3.5 Induktiotodistus Induktiota käyttäen voidaan todistaa luonnollisia lukuja koskevia väitteitä, jotka ovat muotoa väite P (n) on totta kaikille n =0, 1, 2,... Tässä väite P (n) riippuu n:n arvosta. Todistuksessa

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Laskutoimitusten operaattorinormeista

Laskutoimitusten operaattorinormeista Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause

Lisätiedot

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot