Analyysi 1. Pertti Koivisto

Transkriptio

1 Analyysi Pertti Koivisto Syksy 204

2 Alkusanat Tämä moniste on tarkoitettu oheislukemistoksi Tampereen yliopistossa pidettävälle kurssille Analyysi. Monisteen tavoitteena on tukea luentojen seuraamista, harjoitustehtävien ratkaisemista ja tentteihin valmistautumista. Moniste sisältää melko kattavasti kurssilla käsiteltävät asiat, mutta paikoitellen lisäselitykset ja mahdollinen lisämateriaali helpottanevat tekstin seuraamista ja esitettyjen asioiden ymmärtämistä. Moniste ei varsinaisesti ole tarkoitettu kattavaksi itseopiskelupaketiksi. Monisteen rakenne ja sisältö pohjautuvat suurelta osin jo edesmenneen Seppo Vepsäläisen aikoinaan Tampereen yliopistossa pitämiin luentoihin. Sisältöä on jonkin verran muokattu kevyempään suuntaan ja myös rakenteessa on tehty muutoksia. Kurssin menestyksellinen seuraaminen edellyttää lukion pitkän matematiikan hyvää hallintaa. Tampereen yliopiston opintojaksot Matematiikan peruskäsitteitä ja Johdatus analyysiin pitäisi suorittaa vähintään samanaikaisesti kurssin Analyysi kanssa. Matematiikan opiskelu saattaa tuntua joskus työläältä, ja tämänkin kurssin opiskelu vaatii useimmilta melko lailla aikaa ja välillä kovaakin ponnistelua. Pelkkä luentojen kuunteleminen tai luentomonisteen toistuvakaan läpilukeminen ei kuitenkaan johda oppimiseen. Oppimisen kannalta tärkeintä on itsenäinen työskentely. Esitetyt todistukset ja esimerkit pitää käydä yksityiskohtaisesti läpi kynää ja paperia käyttäen sillä tarkkuudella, että kaikki yksityiskohdat ja päättelyt tulevat ymmärretyksi. Myös harjoitustehtävien ratkominen on olennaista, sillä esitetyn asian hallitsee vasta, kun pystyy itsenäisesti käsittelemään siihen liittyviä tehtäviä. Kurssin suorittamisen vaatimaa ajankäyttöä suunnitellessa kannattaa huomioida edellä mainitun itsenäisen työn suuri osuus. Jos lukion matematiikka tai muut esitiedot ovat päässeet unohtumaan tai niiden hallinnassa on muusta syystä puutteita, myös esitietojen kertaamiseen pitää varata riittävästi aikaa (kurssin Analyysi seuraamisen ohessa). Todistuksien ja esimerkkien huolellinen läpikäynti synnyttää usein paperijätettä. Harjoitustehtäviä ratkaistaessa taas ensimmäinen yritelmä ei läheskään aina tuota oikeaa lopputulosta. Roskakori tai paperinkeräyslaatikko onkin kurssin asioita opiskeltaessa kynän ja paperin ohella hyödyllinen apuväline. Lopuksi esitän kiitokset kaikille, jotka ovat kommenteillaan, ehdotuksillaan ja neuvoillaan auttaneet minua tämän monisteen teossa. Pertti Koivisto

3 Sisältö Reaalilukujen teoriaa. Merkintöjä ja peruskäsitteitä Itseisarvo Reaaliluvut Reaalilukujen joukon täydellisyys Lukujonon raja-arvo Määritelmä ja perusominaisuuksia Laskusääntöjä Monotonisista jonoista Cauchyn jonoista Raja-arvokäsitteen laajentaminen Funktion raja-arvo Reaauuttujan funktioista Raja-arvon määritelmä ja perustuloksia Toispuoleiset raja-arvot Monotoniset funktiot Raja-arvokäsitteen laajentaminen Funktion jatkuvuus Määritelmä ja perustuloksia Jatkuvia funktioita koskevia tuloksia Suljetulla välillä jatkuvan funktion ominaisuuksia Käänteisfunktion jatkuvuudesta Tasainen jatkuvuus Funktion derivaatta 4 5. Määritelmiä ja perusominaisuuksia Yhdistetyn funktion ja käänteisfunktion derivaatta Rollen lause ja väliarvolause Transkendenttisia alkeisfunktioita Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot Eksponenttifunktio

4 6.3 Logaritmifunktio Yleinen eksponentti-, logaritmi- ja potenssifunktio Derivoituvan funktion ominaisuuksia Väliarvolauseen yleistys, l Hospitalin sääntö Funktion ääriarvot

5 Reaalilukujen teoriaa. Merkintöjä ja peruskäsitteitä Aluksi esitetään lyhyesti muutamia käytettäviä merkintöjä ja peruskäsitteitä. Käytännön syistä asioita esitetään vain siinä laajuudessa kuin on tarpeen kurssin seuraamiseksi. Täsmällisesti näitä ja muita vastaavia asioita tutkitaan muilla matematiikan kursseilla... Loogisia symboleja ja merkintöjä Konnektiiveja ja kvanttoreita käytetään tällä kurssilla lähinnä lyhennysmerkintöinä luonnollisen kielen ilmaisuille. negaatio ei konjunktio ja Konnektiivit disjunktio tai implikaatio jos... niin ekvivalenssi silloin ja vain silloin eksistenssi on olemassa Kvanttorit universaali kaikilla Merkintää käytetään lyhenteenä merkityksessä ei ole olemassa. Esimerkki.. Kvanttorien ja konnektiivien avulla voidaan esittää matemaattisia väitteitä täsmällisessä muodossa: (i) (x 2 + < 0) x 2 + 0, (ii) x > 0: x 2 = 0, (iii) x > 0: y > 0: y 2 = x. Selvästi ensimmäinen väite on tosi, mutta kahden jälkimmäisen totuus riippuu siitä, missä perusjoukossa tarkastelu suoritetaan (ks. esimerkki.7, s. 4). Edellä mainittujen loogisten symbolien lisäksi käytetään merkintää tarkoittamaan seurausta. Merkintä voidaan tulkita lyhenteeksi esimerkiksi sanoille siis, siten, täten, tällöin jne. Kaksoispistettä käytetään joskus lyhenteenä sanonnalle siten, että.

6 ..2 Joukko ja osajoukko Joukko voidaan antaa esimerkiksi luettelemalla sen alkiot tai ilmoittamalla sen alkiot määrittävä ominaisuus. Esimerkki.2. A = {, 2, 3} = {, 2, 3,, 3} = joukko, jonka alkiot ovat, 2 ja 3. Esimerkki.3. A = {x on kokonaisluku x 2 = 4} = { 2, 2}. Kurssilla käytetään seuraavia joukko-opillisia merkintöjä. a A a on joukon A alkio, ts. a kuuluu joukkoon A. a / A a ei ole joukon A alkio, ts. a ei kuulu joukkoon A. A B A B Joukko A on joukon B osajoukko, jos kaikki A:n alkiot ovat myös joukon B alkioita. Tällöin sanotaan, että A sisältyy joukkoon B. Jos A B ja A B, niin tällöin A on joukon B aito osajoukko. T yhjä joukko on joukko, johon ei kuulu yhtään alkiota. Huomautus. Jos A on joukko, niin A ja A A...3 Tärkeimpien lukujoukkojen merkinnät Tärkeimmillä lukujoukoilla on vakiintuneet merkintänsä. Tällä kurssilla N = {0,, 2, 3,...} on luonnollisten lukujen joukko, Z = {..., 2,, 0,, 2,...} on kokonaislukujen joukko, Z + = {, 2, 3,...} on positiivisten kokonaislukujen joukko, Z = {x x Z + } on negatiivisten kokonaislukujen joukko, Q = { p p Z, q Z, q 0} on rationaalilukujen joukko, q R on reaalilukujen joukko, C = {a + bi a, b R, i 2 = } on kompleksilukujen joukko. Joukot Q +, Q, R + ja R määritellään vastaavalla tavalla kuin kokonaisluvuillekin. 2

7 Huomautus. Vaikka termit ovat vakiintuneet, ne eivät kuitenkaan ole täysin standardeja. Luonnollisten lukujen joukko nimittäin tarkoittaa toisinaan nyt määritellyn joukon sijasta joukkoa {, 2, 3,...}. Tällä kurssilla tuota joukkoa kutsutaan positiivisten kokonaislukujen joukoksi (= Z + ). Huomautus. Nyt pätee Z + N Z Q R C. Esimerkki.4. Parillisten ja parittomien luonnollisten lukujen joukot voidaan esittää {0, 2, 4,...} = {n N k N : n = 2k}, {, 3, 5,...} = {n N k N : n = 2k + }. Esimerkki.5 (Bernoullin epäyhtälö). Jos x R, x >, niin ( + x) n + nx kaikilla n N. Bernoullin epäyhtälö on helppo todistaa käyttämällä induktioperiaatetta (harjoitustehtävä)...4 Joukkojen perusoperaatiot Seuraavaksi esitetään muutamia joukko-opillisia operaatioita, joita käyttäen voidaan muodostaa tunnetuista joukoista uusia joukkoja. Olkoot siis A ja B joukkoja. Tällöin joukkojen A ja B yhdiste (unioni) A B = {x x A tai x B}, leikkaus A B = {x x A ja x B}, erotus A \ B = {x x A ja x B}. Usein joukkoja tarkastellaan jonkin laajemman joukon osajoukkoina. Tällaista joukkoa sanotaan perusjoukoksi ja sitä merkitään usein symbolilla Ω. Tällöin voidaan muodostaa joukon A komplementti A c = Ω \ A = {x Ω x A}. Komplementista käytetään joskus myös muita merkintöjä, esimerkiksi A, A, Ã, A, \A, A, C(A). 3

8 Esimerkki.6. (a) N = Z + {0}, (b) Z + \ { x Z + x 2 Z +} = {, 3, 5,...}, (c) A \ A = aina, kun A on joukko. Esimerkki.7. Jatketaan esimerkin. väitteiden (ii) x > 0: x 2 = 0 ja (iii) x > 0: y > 0: y 2 = x käsittelyä. Jos väitteitä tarkastellaan esimerkiksi joukossa R, molemmat väitteet ovat tosia. Väitteessä (ii) voidaan nimittäin valita x = ja väitteessä (iii) vastaavasti y = x (kun x > 0). Joukossa R \ {2} väite (ii) on edelleen tosi, mutta väite (iii) muuttuu epätodeksi. Jos nimittäin x = 4, niin minkään joukkoon R \ {2} kuuluvan positiivisen reaaliluvun neliö ei ole x. Joukossa R \ {, 2} taas kumpikaan väite ei päde, ja jos perusjoukoksi valitaan R \ {}, niin väite (ii) on epätosi ja väite (iii) tosi...5 Reaalilukuvälit Reaalilukuväliä eli lyhyemmin väliä merkitään usein kirjaimella I tai. Olkoon a, b R ja a < b. Tällöin voidaan määritellä (äärelliset) reaalilukuvälit [a, b] = {x R a x b} (suljettu väli), ]a, b[ = {x R a < x < b} (avoin väli), [a, b[ = {x R a x < b} (puoliavoin väli), ]a, b] = {x R a < x b} (puoliavoin väli). Koska a < b, niin tyhjä joukko tai yksittäinen piste ei ole väli. Myös seuraavista joukoista käytetään väli-nimitystä (a R): [a, [ = {x R x a}, ]a, [ = {x R x > a}, ], a] = {x R x a}, ], a[ = {x R x < a}, ], [ = R. Huomautus. Yllä on symboli, joka on suurempi kuin mikä tahansa reaaliluku. Tällöin on pienempi kuin mikä tahansa reaaliluku. Siis tai eivät ole reaalilukuja. 4

9 ..6 Rajoitettu joukko Tarkastellaan seuraavaksi vielä lyhyesti, mitä rajoitetulla reaalilukujen osajoukolla tarkoitetaan. Määritelmä.. Olkoon A R, A. Joukko A on ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa M R siten, että a M kaikilla a A. Tällöin M on (eräs) joukon A yläraja. Määritelmä.2. Olkoon A R, A. Joukko A on alhaalta rajoitettu, jos on olemassa m R siten, että a m kaikilla a A. Tällöin m on (eräs) joukon A alaraja. Huomautus. Joukko R ei itse ole ylhäältä eikä alhaalta rajoitettu. Huomautus. Olkoon A R, A. Jos M R on joukon A yläraja ja M > M, niin myös M on joukon A yläraja. Vastaavasti jos m R on joukon A alaraja ja m < m, niin myös m on joukon A alaraja. Huomautus. Olkoon A R, A. Jos M R on joukon A yläraja, niin A ], M], ja jos m R on joukon A alaraja, niin A [m, [. Esimerkki.8. Olkoon A = ], 5]. Tällöin joukon A ylärajoja ovat luku 5 ja kaikki lukua 5 suuremmat reaaliluvut. Alarajoja ovat vastaavasti luku ja kaikki lukua pienemmät reaaliluvut. Erityisesti on syytä huomata, että joukon ylä- tai alarajan ei tarvitse kuulua joukkoon, mutta se voi kuulua. Määritelmä.3. Joukko on rajoitettu, jos se on sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettu. Huomautus. Jos A R, A, niin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä. (i) Joukko A on rajoitettu. (ii) On olemassa sellaiset m R ja M R, että m a M kaikilla a A. (iii) On olemassa sellaiset m R ja M R, että A [m, M]. (iv) On olemassa sellainen M > 0, että A [ M, M]. 5

10 ..7 Summa ja tulo Jos n Z + ja a, a 2,..., a n R, niin merkitään a + a a n = n a i (= i= n+2 i=3 a i 2 = n a k ). k= Summan rajoja voidaan muuttaa, jos muutos kompensoidaan vastaavalla muutoksella summattavassa lausekkeessa. Summausindeksin merkintäkirjaimella ei myöskään ole merkitystä. Huomautus. Merkintä voidaan laajentaa tapaukseen n < (tai yleisemmin tapaukseen yläraja < alaraja) sopimalla, että kyseessä on ns. tyhjä summa, jonka arvoksi määritellään 0. Esimerkki.9. Lukujen, 2, 3, 4 neliöiden summa = 4 i 2. i= Esimerkki.0. Lukujen, 2,..., 00 neliöiden summa voidaan merkitä 00 i= i 2 = 99 i=0 (i + ) 2 = 0 k=2 (k ) 2. Esimerkki.. Summattaessa tapahtuu usein kumoutumista. Esimerkiksi n (a i a i ) = (a a 0 ) + (a 2 a ) + + (a n a n ) i= = a n a 0. Esimerkki.2. Jos summattava ei sisällä summausindeksistä riippuvia lausekkeita, saadaan yksinkertaisesti n a = i= n kpl {}}{ a + a + + a = na. Palautetaan vielä mieleen luvun n N kertoma ja binomikerroin n! = 2 n (= n (n )!) (n ), 0! = ( ) n k = n! k!(n k)! (0 k n), jonka avulla voidaan kätevästi esittää binomikaava. Kaavan todistus (induktio tai kombinatorinen perustelu) jätetään harjoitustehtäväksi. 6

11 Esimerkki.3 (Binomikaava). Jos x, y R ja n Z +, niin (x + y) n = Vastaavasti kuin summalle merkitään n i=0 ( ) n x n i y i. i a a 2 a n = n a i. i= Huomautus. Tämäkin merkintä voidaan laajentaa tapaukseen n < (tai yleisemmin tapaukseen yläraja < alaraja) sopimalla, että kyseessä on ns. tyhjä tulo, jonka arvoksi määritellään. Esimerkki.4. Lukujen, 2, 3, 4 neliöiden tulo = 4 i 2. i= Jos x = 0 tai y = 0, on binomikaavan summamuodossa tulkittava 0 0 =. Jos käytetään muotoilua (x + y) n = ( ) n x n + 0 tulkintaongelmia ei synny. ( ) n x n y + ( ) ( ) n n x n 2 y xy n + 2 n 7 ( ) n y n, n

12 .2 Itseisarvo.2. Määritelmä ja perusominaisuuksia Määritelmä.4. Reaaliluvun x itseisarvo x, kun x 0, x = x, kun x < 0. Huomautus.. Selvästi x = x (kaikilla x R). Lause.2. Olkoon x, y R. Tällöin (a) x x x, (b) x > 0, jos x 0, ja x = 0, jos x = 0, (c) xy = x y. Todistus. Kohdat (a) ja (b) seuraavat suoraan itseisarvon määritelmästä. Kohta (c) seuraa itseisarvon määritelmästä, kun tarkastellaan erikseen lukujen x ja y eri merkkiyhdistelmiä. Täsmällinen suoritus jätetään harjoitustehtäväksi. Lause.3. Olkoon x, y R. Tällöin x 2 < y 2 x < y. Todistus. Lauseen.2c ja itseisarvon määritelmän nojalla x 2 = x x = x x = x 2 = x 2 kaikilla x R. Jos x = y = 0, niin lauseen väite on selvästi tosi. Jos taas x 0 tai y 0, niin lauseen.2b nojalla x + y > 0, joten x 2 < y 2 x 2 < y 2 x 2 y 2 < 0 ( x + y ) ( x y )) < 0 x y < 0 x < y. 8

13 .2.2 Itseisarvo etäisyytenä Geometrisesti x y tarkoittaa lukujen x ja y välistä etäisyyttä. Erityisesti x on luvun x etäisyys nollasta. Lause.4. Jos a, x R, niin x < a a < x < a. Todistus. Jos a 0, niin lause on triviaalisti tosi. Olkoon siis a > 0. Tarkastellaan ensin suuntaa, ja oletetaan, että x < a. Tällöin on kaksi mahdollisuutta.. Jos x 0, niin a < x = x < a. 2. Jos x < 0, niin a > x = x > a. Siis kummassakin tapauksessa väite on tosi. Tarkastellaan sitten suuntaa, ja oletetaan, että a < x < a. Tällöin on kaksi mahdollisuutta.. Jos x 0, niin x = x < a. 2. Jos x < 0, niin x = x < ( a) = a. Siis kummassakin tapauksessa väite on tosi. Seuraavat lauseen.4 seuraukset ovat ilmeisiä. Seuraus.5. Jos a, x R, niin x > a x > a tai x < a. Seuraus.6. Jos a, b, x R, niin x b < a b a < x < b + a. Seuraus.7. Joukko A R, A, on rajoitettu täsmälleen silloin, kun on olemassa sellainen M R, että a M kaikilla a A. Esimerkki.5. Jos x y < 2, niin lukujen x ja y välinen etäisyys on pienempi kuin 2. Jos esimerkiksi x = 5, niin 3 < y < 7 eli y ]3, 7[. 9

14 Esimerkki.6. Milloin epäyhtälö x 3 + x < 4 on voimassa? Suoraviivainen tapa ratkaista tehtävä on poistaa itseisarvot jakamalla reaalilukujoukko sopiviin osiin. Ratkaistaan tehtävä nyt kuitenkin tutkimalla etäisyyksiä. Epäyhtälö tarkoittaa, että pisteen x etäisyys pisteistä ja 3 on yhteensä vähemmän kuin 4. Koska pisteiden ja 3 välinen etäisyys on 2, kyseeseen tulevat ensinnäkin kaikki välin [, 3] pisteet. Kyseisen välin ulkopuolelta mukaan tulevat pisteet, joiden etäisyys välin päätepisteistä on vähemmän kuin eli välien ]0, [ ja ]3, 4[ pisteet. Siis vastaukseksi saadaan välin ]0, 4[ pisteet. Esimerkki.7. Osoitetaan, että jos x 3 < 7 3, niin x 2 9 < 7 2. Valitaan x R siten, että x 3 < 7 3. Aputuloksena havaitaan ensin, että tällöin x 3 <, joten x ]2, 4[ ja edelleen 5 < x + 3 < 7. Täten lauseen.2c, itseisarvon määritelmän, aputuloksen ja oletuksen nojalla x 2 9 = (x + 3)(x 3) = x + 3 x 3 = (x + 3) x 3 7 x 3 < = 7 2. Esimerkki.8. Etsitään sellainen h > 0, että jos x 4 < h, niin x 2 < 0 5. Voidaan olettaa, että h < 4. Tällöin x 4 < 4, joten x > 0 ja edelleen x > 0. Täten ( x 2)( x + 2) x 2 = x + 2 = x > 0 = x 4 x + 2 x + 2 x 4 x > 0 x 4 2 < 0 5, kun x 4 < Siis voidaan valita h =

15 .2.3 ε-ympäristö Määritelmä.5. Olkoon ε > 0. Pisteen a R lukujen x R joukko, jotka toteuttavat ehdon ε-ympäristö U ε (a) on niiden x a < ε. Toisin sanoen U ε (a) = { x R x a < ε }. Huomautus. Pisteen a ε-ympäristöä merkitään myös U(a, ε). Huomautus. Pisteen a ε-ympäristö on niiden lukujen x joukko, joiden etäisyys pisteestä a on pienempi kuin ε. Seurauksen.6 perusteella a ε < x < a + ε eli U ε (a) = ]a ε, a + ε[. Esimerkki.9. U (5) = U(5, ) = ]4, 6[, U(2, n ) = ]2 n, 2 + n [ (n Z +). Määritelmä.6. Pisteen a puhkaistu ε-ympäristö U ε(a) on pisteen a ε-ympäristö, josta itse piste a on poistettu. Toisin sanoen U ε(a) = ]a ε, a + ε[ \ {a}. Esimerkki.20. U 2(5) = ]3, 5[ ]5, 7[..2.4 Kolmioepäyhtälö Lause.8 (Kolmioepäyhtälö). Olkoon x, y R. Tällöin x ± y x + y. Todistus. Koska y = y, riittää todistaa tapaus x + y. Lauseen.2a nojalla x x, x x, y y, y y x, y R, joten x + y x + y ja (x + y) x + y. Siis itseisarvon määritelmän perusteella x + y x + y.

16 Huomautus. Kolmioepäyhtälöstä käytetään usein merkintää -ey. Esimerkki.2. Osoitetaan, että jos x < 2 ja y < 3, niin x y < 5. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla (vrt. seuraus.0) x y = (x ) (y ) x + y < = 5. Seuraus.9 (Käänteinen kolmioepäyhtälö). Olkoon x, y R. Tällöin x y x ± y. Todistus. Nytkin riittää todistaa tapaus x + y. Kolmioepäyhtälön ja huomautuksen. (s. 8) nojalla joten y = ( x) + (x + y) x + x + y, x = ( y) + (x + y) y + x + y, ( x y ) x + y, Siis itseisarvon määritelmän perusteella x y x + y. x y x + y. Seuraus.0. Olkoon x, y, z R. Tällöin x y x z + y z. Todistus. Kolmioepäyhtälön nojalla x y = (x z) (y z) x z + y z. Seuraus. (Kolmioepäyhtälön yleistys). Olkoon x, x 2,..., x n R. Tällöin n n x i x i. i= Todistus. Induktiolla (harjoitustehtävä). i= 2

17 Lause.2 (Cauchy-Schwarzin epäyhtälö). Olkoon a,..., a n, b,..., b n R. Tällöin (.) ( n ) 2 ( n )( a i b i a 2 n ) i b 2 i i= }{{ } i= }{{} i= }{{} C A B Todistus. Olkoot A, B ja C kuten yllä on merkitty. Tällöin väite saa muodon Neliöiden summana C 2 AB. 0 n (a i u + b i v) 2 = Au 2 + 2Cuv + Bv 2 u, v R. i= Valitaan u = B ja v = C. Tällöin 0 AB 2 2BC 2 + BC 2 = B(AB C 2 ). Jos nyt B = 0 (B 0 aina), niin b i = 0 kaikilla i =, 2,..., n, joten (.) on voimassa. Jos taas B > 0, niin AB C 2 0. Siis C 2 AB. 3

18 .3 Reaaliluvut Määritellään reaaliluvut ja laskutoimitukset + ja suoraan aksiomaattisesti. Tällöin joukon R on täytettävä. kunta-aksioomat (joukon R algebralliset ominaisuudet), 2. järjestysaksioomat (epäyhtälöiden käsittelysäännöt), 3. täydellisyysaksiooma (käsitteen raja-arvo määrittely)..3. Kunta-aksioomat Kunta-aksioomista A A6 seuraavat reaalilukujen algebralliset ominaisuudet. Aksioomat ovat A. x, y R : x + y = y + x, xy = yx (vaihdantalait), A2. x, y, z R : x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z (liitäntälait), A3. x, y, z R : x(y + z) = xy + xz (osittelulaki), A4. 0 R : x R : x + 0 = x (nolla-alkio), R : x R : x = x (ykkösalkio), A5. x R : ( x) R : x + ( x) = 0 (vasta-alkio), A6. x R \ {0}: x R : x x = (käänteisalkio). Huomautus. Symbolit 0,, x ja x ovat merkintöjä. Huomautus. Jos johonkin joukkoon K liittyy kaksi sellaista laskutoimitusta (binäärioperaatiota, nk. summa ja tulo), että aksioomat A A6 ovat voimassa joukon K alkioille, sanotaan joukkoa K kunnaksi. Esimerkiksi R on (eräs) kunta. Huomautus. Edellisessä huomautuksessa mainittujen laskutoimitusten yksikäsitteisten tulosten täytyy tietysti kuulua joukkoon K. Esimerkiksi joukon N vähennyslasku ja joukon Z jakolasku eivät kelpaa ko. laskutoimituksiksi. Vaihtoehtoinen tapa olisi määritellä ensin luonnolliset luvut (esimerkiksi Peanon aksioomien avulla) ja laajentaa sitten asteittain luonnollisten lukujen joukkoa. 4

19 Huomautus.3. Aksioomissa A A6 esiintyvistä binäärioperaatioista summa ja tulo saadaan edelleen operaatiot erotus: osamäärä: potenssi: x y = x + ( y), x y = x y, missä y 0, x n = x x x }{{} n kpl (n Z + ). Jos x 0, niin voidaan lisäksi määritellä ja x 0 = x n = (x ) n (n Z + ), jolloin potenssi x n tulee määritellyksi kaikille kokonaisluvuille n (kun x 0). Määrittely laajennetaan myöhemmin rationaali- ja reaalilukupotensseille esimerkeissä 4.23 (s. 09) ja 6.7 (s. 7). Kunta-aksioomista seuraavat reaalilukujen summaa ja tuloa koskevat tavanomaiset laskusäännöt. Kyseiset laskusäännöt oletetaan kurssilla tunnetuksi ilman erityisempiä perusteluja, ja osaa niistä käytettiinkin jo aiemmissa luvuissa..3.2 Järjestysaksioomat Järjestysaksioomista A7 A0 seuraavat tavalliset epäyhtälöiden käsittelysäännöt. Aksioomat ovat A7. x, y R : täsmälleen yksi ehdoista x < y, y > x ja x = y on voimassa, A8. x, y R : x < y ( z R : x + z < y + z), A9. x, y, z R : x < y y < z x < z, A0. x, y R : x > 0 y > 0 xy > 0. Edellä edellytetään tietenkin, että reaalilukujen joukossa R on määritelty järjestysrelaatio < (= pienempi kuin). Yleisimmin järjestyksiä koskevassa terminologiassa edellytetään, että järjestysrelaatio on refleksiivinen eli kukin alkio on relaatiossa itsensä kanssa. Koska < ei ole refleksiivinen ( sen sijaan on), niin < ei tällöin ole järjestysrelaatio. Sitä kutsutaankin usein tiukaksi järjestykseksi tai aidoksi järjestykseksi. Tämän kurssin kannalta asialla ei kuitenkaan ole merkitystä, ja myös relaatiota < voidaan kutsua järjestykseksi. 5

20 Huomautus. Jos jossakin kunnassa K on määritelty relaatio <, joka toteuttaa ehdot A7 A0, sanotaan kuntaa K järjestetyksi kunnaksi. Siis R on (eräs) järjestetty kunta pienempi kuin relaatiolla. Huomautus. Myös Q on järjestetty kunta pienempi kuin relaatiolla. Myös järjestysaksioomista seuraavat tavanomaiset epäyhtälöiden käsittelysäännöt oletetaan kurssilla tunnetuksi ilman erityisempiä perusteluja. Näistäkin osaa käytettiin jo aiemmissa luvuissa..3.3 Täydellisyysaksiooma Aksioomat A A0 eivät vielä yksikäsitteisesti määritä reaalilukujen joukkoa. Lopullisesti reaalilukujen joukko määritetään vaatimalla, että epätyhjän ylhäältä rajoitetun reaalilukujoukon ylärajoista joku on pienin (ks. määritelmä.7, s. 7). Tämä ominaisuus ei seuraa aksioomista A A0, vaan se on otettava uudeksi aksioomaksi. Kyseistä aksioomaa kutsutaan täydellisyysaksioomaksi. A. Jokaisella joukon R epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla osajoukolla on pienin yläraja. Huomautus. Järjestettyä kuntaa K, jonka jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla osajoukolla on pienin yläraja, sanotaan täydelliseksi kunnaksi. Siis R on täydellinen (järjestetty) kunta. Huomautus. Rationaalilukujen joukko Q ei ole täydellinen kunta. 6

21 .4 Reaalilukujen joukon täydellisyys Luvussa.3.3 viitattiin jo ylhäältä rajoitetun joukon pienimpään ylärajaan. Tarkastellaan nyt kyseistä käsitettä täsmällisemmin. Määritelmä.7. Olkoon A R, A. Jos joukon A ylärajojen joukossa on pienin, niin se on joukon A pienin yläraja eli supremum (merkitään sup A). Määritelmä.8. Olkoon A R, A. Jos joukon A alarajojen joukossa on suurin, niin se on joukon A suurin alaraja eli infimum (merkitään inf A). Huomautus. Reaalilukujoukon supremum ja infimum ovat yksikäsitteisiä (jos ovat olemassa). Täydellisyysaksiooman (ks. luku.3.3) nojalla jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla joukon R osajoukolla on pienin yläraja. Vastaava tulos pätee myös suurimman alarajan suhteen. Lause.4. Jokaisella epätyhjällä alhaalta rajoitetulla joukon R osajoukolla on suurin alaraja. Todistus. Olkoon A R jokin epätyhjä alhaalta rajoitettu joukko. B = { a a A} on epätyhjä ylhäältä rajoitettu joukko. sup B = G (merk.). G = inf A. Jos epätyhjä joukon R osajoukko A ei ole ylhäältä rajoitettu, voidaan merkitä sup A =. Jos vastaavasti epätyhjä joukon R osajoukko A ei ole alhaalta rajoitettu, voidaan merkitä inf A =. Lause.5. Olkoot A ja B epätyhjiä joukon R osajoukkoja. Jos A B, niin Todistus. Harjoitustehtävä. inf B inf A sup A sup B. 7

22 Yleisesti joukon A supremumin tai infimumin ei tarvitse kuulua joukkoon A. Jos ne kuitenkin kuuluvat joukkoon A, niin joukon A ylä- ja alarajoina ne ovat vastaavasti joukon A suurin ja pienin alkio. Tulos on voimassa myös kääntäen, mikä nähdään seuraavasta lauseesta. Lause.6. Olkoon A epätyhjä joukon R osajoukko. (a) Jos joukossa A on suurin luku M, niin sup A = M. (b) Jos joukossa A on pienin luku m, niin inf A = m. Todistus. Todistetaan kohta (a), ja jätetään kohta (b) harjoitustehtäväksi. Jos M on joukon A suurin luku, niin M on joukon A eräs yläraja, sillä x M kaikilla x A, 2 M on joukon A pienin yläraja, sillä M sup A. Kohdista ja 2 seuraa, että sup A = M. Huomautus. Joukon A suurinta lukua merkitään max A ja pienintä lukua min A. Myös max A ja min A ovat yksikäsitteisiä, jos ne ovat olemassa. Esimerkki.22. Määritetään inf A ja sup A, kun A = { x R x 3 2 }. Koska x 3 2 x 5, niin min A = ja max A = 5 (eli joukolla A on pienin ja suurin alkio). Täten lauseen.6 nojalla inf A = min A = ja sup A = max A = 5. Esimerkki.23. Osoitetaan, että sup A = ja inf A = 0, kun { A = } n n Z +. Tarkastellaan ensin infimumia. Koska n 0 n Z + ja 0 A, niin 0 = min A. Siis lauseen.6b nojalla inf A = min A = 0. 8

23 Tarkastellaan sitten supremumia. Osoitetaan ensin, että on joukon A yläraja, ja sitten vastaoletuksen avulla, että on joukon A ylärajoista pienin. Koska n < kaikilla n Z +, niin on eräs joukon A yläraja. 2 Käytetään epäsuoraa todistusmenetelmää. Tehdään siis vastaoletus: oletetaan, että ei ole joukon A pienin yläraja. On olemassa joukon A yläraja t, missä t > 0 (t R). n t n Z +. t n n Z +. n t n Z +. Ristiriita, sillä n ei ole rajoitettu. Kohdista ja 2 seuraa supremumin määritelmän perusteella, että sup A =. Lause.7. Olkoon A epätyhjä joukon R osajoukko. Tällöin (a) sup A = G (b) inf A = g (i) x A: x G, (ii) ε > 0: x A: x > G ε, (i) x A: x g, (ii) ε > 0: x A: x < g + ε. Todistus. Todistetaan kohta (a), ja jätetään kohta (b) harjoitustehtäväksi. Tarkastellaan ensin suuntaa, ja oletetaan, että ehdot (i) ja (ii) ovat voimassa. Osoitetaan, että G on joukon A pienin yläraja. Kohdan (i) nojalla G on eräs joukon A yläraja. 2 Tehdään vastaoletus: oletetaan, että G ei ole joukon A pienin yläraja. On olemassa joukon A yläraja G ε, missä ε > 0 (ε R). x A: x G ε Ristiriita, sillä ehdon (ii) nojalla x A: x > G ε. Kohdista ja 2 seuraa supremumin määritelmän perusteella, että sup A = G. 9

24 Tarkastellaan sitten suuntaa, ja oletetaan, että sup A = G. Osoitetaan, että ehdot (i) ja (ii) ovat voimassa. (i) Koska G on joukon A yläraja, niin x A: x G. (ii) Tehdään vastaoletus: oletetaan, että ε > 0: x A: x G ε. G ε (< G) on joukon A yläraja. Ristiriita, sillä sup A = G. Esimerkki.24. Olkoon A = { n n Z + }. Osoitetaan lausetta.7 käyttäen, että sup A = (vrt. esimerkki.23). Kuten esimerkissä Valitaan mielivaltainen ε > 0. Oletetaan, että n > ε (n Z +), ja merkitään x = n ( A). ε > n x = n > ε On olemassa (ainakin yksi) sellainen joukon A alkio x, että x > ε. Kohdista ja 2 seuraa lauseen.7 perusteella, että sup A =. Huomautus. Esimerkin.24 kaltaisissa tilanteissa edetään usein epsilonin valinnan jälkeen (tietysti on oletettava, että n Z + ) x > ε n > ε ε > n n > ε, mikä toteutuu, jos n on riittävän suuri. Jos siis on valittu mielivaltainen ε > 0, niin haluttu x > ε löytyy, kun vain valitaan sellainen x = n, että n > ε. Näin voidaan menetellä, jos vaadittu ekvivalenssiketju saadaan aikaiseksi. 20

25 Esimerkki.25. Määritetään sup A, kun Käytetään lausetta.7. Koska A = 2x x + { y R y = 2x } x +, x > 0. = (2x + 2) 3 x + kaikilla x > 0, niin 2 on joukon A yläraja. = 2 3 x + < 2 2 Valitaan mielivaltainen ε > 0. Oletetaan, että x > 0. Koska y > 2 ε 2x x + = 2 3 x + > 2 ε ε > 3 x + x + > 3 ε x > + 3 ε, niin valitsemalla x siten, että x > + 3, löydetään sellainen y A, että ε y > 2 ε. Kohdista ja 2 seuraa lauseen.7 perusteella, että sup A = 2. Seuraava lause tuntuu itsestään selvältä. Arkhimedeen ominaisuus ei kuitenkaan seuraa reaalilukujen aksioomista A A0, joten sen todistamisessa tarvitaan nyt täydellisyysaksioomaa. Lause.8 (Arkhimedeen lause). Jos x, y R +, on olemassa sellainen n Z +, että nx > y. Todistus. Olkoon x, y R +. Tehdään vastaoletus: n Z + : nx y. Joukko E = {nx n Z + } on ylhäältä rajoitettu. sup E = G (merk.). Lauseen.7 nojalla ε > 0: n Z + : nx > G ε. n Z + : nx > G x. (n + )x > G, missä on ristiriita. Koska oletettiin, että x > 0, niin itse asiassa valitaan x > max{0, + 3 ε }. 2

26 Seuraus.9. Kahden reaaliluvun a ja b (a b) välissä on aina rationaaliluku. Todistus. Voidaan olettaa, että 0 < a < b. Tällöin Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa n Z + siten, että n(b a) >, ts. b a > n. Edelleen Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa m Z + siten, että m n b. Olkoon lisäksi m pienin tällaisista luvuista, jolloin Tällöin joten m n m n = m n n a < m n }{{} Q < b. > b (b a) = a, < b. Seuraus.20. Kahden erisuuren reaaliluvun välissä on aina irrationaaliluku. Todistus. Harjoitustehtävä. Seuraus.2. Kahden erisuuren reaaliluvun välissä on ääretön määrä rationaalilukuja ja ääretön määrä irrationaalilukuja. Todistus. Harjoitustehtävä. Huomautus.22. Edellä olevat seuraukset tarkoittavat, että joukot Q ja R \ Q ovat molemmat tiheitä reaalilukujen joukossa. 22

27 2 Lukujonon raja-arvo 2. Määritelmä ja perusominaisuuksia Lukujono (x n ) on lukujen x, x 2, x 3,... muodostama jono, missä x n R kaikilla n Z +. Lukujonon määrittelyssä ei ole oleellista, että lukujonon indeksointi alkaa ykkösestä tai että jono on määritelty kaikilla indekseillä n Z +. Näin ollen lukujonoksi kutsutaan myös jonoa x 0, x, x 2, x 3,... tai joukon Z + (äärettömissä) osajoukoissa muodostettuja jonoja kuten Lukujonoa x 4, x 6, x 8,... x n, x n2,..., missä n, n 2,... Z +, n < n 2 <..., sanotaan lukujonon x, x 2,... osajonoksi. Huomautus. Lukujono (x n ) on eri asia kuin joukko {x n n Z + }. Esimerkiksi jos x n = ( ) n, niin (x n ) =,,,,,... ja {x n n Z + } = {, }. Huomautus. Lukujonon osajonot ovat tietenkin myös itse lukujonoja. Esimerkki 2.. Olkoon x n = /n. Tällöin (x n ) =, 2, 3,... on lukujono, jonka osajonoja ovat muun muassa (x 2n ) = 2, 4, 6,... ja (x (0n) 2) = 00, 400, 900,... Täsmällisesti lukujono on kuvaus Z + R. 23

28 Määritelmä 2.. Lukujonolla (x n ) on raja-arvo x R, jos jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen luku n ε Z +, että x n x < ε aina, kun n > n ε. Tällöin sanotaan, että lukujono (x n ) suppenee kohti reaalilukua x, ja merkitään n x n = x. Jos lukujono (x n ) ei suppene kohti mitään reaalilukua x, sanotaan, että jono (x n ) hajaantuu. Huomautus 2.. Lukujonon raja-arvon määritelmässä ei ole oleellista, että ehdoissa n > n ε ja x n x < ε relaatioiksi on valittu suurempi kuin ja pienempi kuin. Aivan yhtä hyvin määritelmässä olisi voinut olla n n ε tai x n x ε. Jos nimittäin vaadittu ehto pätee kaikille n n ε, se pätee tietysti myös kaikille n > n ε. Jos taas ehto pätee kaikille n > n ε, voidaan valita uusi rajaluku n ε = n ε +, jolloin ehto pätee kaikille n n ε. Jos vastaavasti x n x < ε, niin tietysti myös x n x ε. Jos taas ehto x n x ε pätee kaikille ε > 0, niin ehto pätee myös kaikille luvuille ε = ε/2 > 0. Siis x n x ε = ε/2 < ε kaikille ε > 0. Huomautus. Vaihtoehtoisia merkintätapoja lukujonon suppenemiselle ovat esimerkiksi x n x, kun n, ja x n = x. Jälkimmäistä tapaa käytettäessä on oltava selvää, että n. Huomautus 2.2. Koska x n 0 = x n 0, niin lukujonon raja-arvon määritelmästä seuraa suoraan, että x n = 0 n n x n = 0. Vastaava tulos ei välttämättä päde, jos n x n 0 (harjoitustehtävä). 24

29 Huomautus 2.3. Lukujonon raja-arvon määritelmä voidaan ilmoittaa myös muodossa tai n x n = x ε > 0: n ε Z + : x n x < ε aina, kun n > n ε x n = x ε > 0: n ε Z + : x n U ε (x) aina, kun n > n ε. n Huomautus. Lukujonolla (x n ) on raja-arvo x täsmälleen silloin, kun jostakin indeksin n arvosta n ε lähtien kaikki jonon termit x n kuuluvat raja-arvon x ympäristöön U ε (x) (eli väliin ]x ε, x + ε[). Huomautus. Joskus ehdon sijasta käytetään muotoilua x n x < ε aina, kun n > n ε, n > n ε x n x < ε. Esimerkki 2.2. Olkoon x n = a (a R) kaikilla n Z +. Osoitetaan, että Valitaan mielivaltainen ε > 0. Tällöin x n = a. n x n a = a a = 0 < ε kaikilla n Z +. Siis lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla x n = a. n Huomautus. Ensin valitaan mielivaltainen ε > 0. Valinnan jälkeen ε on kiinteä. Esimerkki 2.3. Osoitetaan, että n n = 0. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Merkitään n ε = ε ( Z+ ), ja valitaan sellainen n Z, että n > n ε. Tällöin n >, joten ε n 0 = n < ε. Kattofunktio x = pienin kokonaisluku, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin x. Jos ei haluta käyttää kattofunktiota, voidaan käyttää myös muotoiluja Olkoon n ε pienin sellainen kokonaisluku, että n ε ε tai Valitaan sellainen n ε Z +, että n ε ε. 25

30 Siis jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen luku n ε Z +, että aina, kun n > n ε. Siis Esimerkki 2.4. Osoitetaan, että n 0 < ε n n = 0. ( n + n) = 0. n Valitaan mielivaltainen ε > 0. Merkitään n ε = ε ( 2 Z+ ), ja valitaan sellainen n Z, että n > n ε. Tällöin n >, joten ε 2 n < ε ja edelleen ( n + n) 0 = n + n = ( n + n)( n + + n) n + + n = = < (n + ) n n + + n n + + n n < ε. Vaadittu tulos seuraa nyt lukujonon raja-arvon määritelmästä. Edellä olevan kaltaisessa päättelyssä edetään usein suoraviivaisemmin valitsemalla ensin mielivaltainen ε > 0 ja päättelemällä sitten, että ( n + n) 0 = n + n = < < ε, n kun n > ε 2, mistä vaadittu tulos seuraa lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla. Jossakin vaiheessa on tietysti tehtävä tarvittavat oletukset (esimerkiksi yllä n Z + ). Näin voidaan menetellä, sillä tällöin on osoitettu, että vaadittu itseisarvoehto toteutuu, jos n on riittävän suuri ( > ). Koska kokonaislukujen joukko ei ole ε 2 ylhäältä rajoitettu, voidaan aina valita sellainen luku n ε Z + (esim. n ε = ε ), 2 että itseisarvoehto toteutuu aina, kun n > n ε. Luvun n ε valintaa ei nyt vain ole kirjoitettu näkyviin. 26

31 Esimerkki 2.5. Osoitetaan, että n n 2 + n 2n 2 + = 2. Valitaan mielivaltainen ε > 0, ja oletetaan, että n Z +. Tällöin n 2 + n 2n 2 + 2n 2 + 2n 2n 2 = 2 2(2n 2 = 2n + ) 2(2n 2 + ) < 2n 2(2n 2 + ) = n 2n 2 + < n 2n 2 = 2n < ε, kun n >. Vaadittu tulos seuraa nyt lukujonon raja-arvon määritelmästä. 2ε Esimerkki 2.6. Osoitetaan, että jos 0 < a < (a R), niin n an = 0. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Koska 0 < a <, niin a voidaan esittää muodossa a = + h, missä h > 0. Tällöin Bernoullin epäyhtälön (ks. esimerkki.5, s. 3) nojalla a n 0 = a n = ( + h) n + nh nh < ε, kun n >. Vaadittu tulos seuraa nyt lukujonon raja-arvon määritelmästä (vrt. hε esimerkki 2.4, s. 43). Esimerkki 2.7. Olkoon x n = cos(πn) (n Z + ). Tällöin 2, kun n on pariton, x n = 0, kun n on parillinen. Osoitetaan, että n x n. Tehdään vastaoletus: n x n = x. n Z + : x n x < aina, kun n > n. 2 x < ja x = 0 x <. 2 = 2 x + x 2 x + x < + = 2. Ristiriita. Kurssilla oletetaan tunnetuksi trigonometriset funktiot sini, kosini, tangentti ja kotangentti sekä niiden perusominaisuudet. 27

32 Esitetään sitten muutamia lukujonoja koskevia perustuloksia. Ensin yksikäsitteisyys. Lause 2.4. Suppenevan lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen. Todistus. Tehdään vastaoletus: lukujonolla (x n ) on raja-arvot x ja y, x y. Tällöin lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla n Z + : x n x < 2 x y n > n, n 2 Z + : x n y < 2 x y n > n 2. Olkoon nyt n > max{n, n 2 }. Tällöin missä on ristiriita. x y = (x x n ) + (x n y) x x n + x n y < x y + x y 2 2 = x y, Suppenevan lukujonon jokainen osajono suppenee kohti samaa raja-arvoa kuin alkuperäinen lukujono. Lause 2.5. Jos n x n = x ja (x nk ) on lukujonon (x n ) osajono, niin k x nk = x. Todistus. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Jos x n = x, n niin lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla on olemassa sellainen n ε Z +, että Erityisesti jos n k > n ε, niin x n x < ε n > n ε. x nk x < ε. Koska osajonon (x nk ) indeksi kasvaa rajatta, on olemassa sellainen k ε Z +, että Tällöin n k > n ε k > k ε. x nk x < ε k > k ε, joten lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla k x n k = x. 28

33 Lauseen 2.5 seurauksena saadaan välittömästi seuraava tulos, jota voidaan käyttää lukujonon hajaantumisen osoittamiseen. Seuraus 2.6. Jos lukujonolla (x n ) on kaksi osajonoa, jotka suppenevat kohti eri raja-arvoa (tai osajono, joka hajaantuu), niin (x n ) hajaantuu. Esimerkki 2.8. Olkoon x n = ( ) n n n + (n Z + ). Tällöin lukujono (x n ) hajaantuu, sillä jos k Z +, niin kun k, ja x 2k = 2k 2k +, x 2k = 2k, 2k kun k. Raja-arvojen täsmällinen perustelu jätetään harjoitustehtäväksi. Seuraavaksi osoitetaan, että suppeneva lukujono on rajoitettu. Ensin kuitenkin määritellään, mitä rajoitetulla lukujonolla tarkoitetaan. Määritelmä 2.2. Jos joukko {x n } on rajoitettu, sanotaan, että myös vastaava lukujono (x n ) on rajoitettu. Edelleen jos {x n } on ylhäältä rajoitettu, niin jono (x n ) on ylhäältä rajoitettu, ja jos {x n } on alhaalta rajoitettu, niin jono (x n ) on alhaalta rajoitettu. Huomautus 2.7. Määritelmien. ja.2 (s. 5) sekä seurauksen.7 (s. 9) perusteella lukujono (x n ) on ylhäältä rajoitettu, jos M R : n Z + : x n M, alhaalta rajoitettu, jos m R : n Z + : x n m, rajoitettu, jos M R : n Z + : x n M. Yllä viimeinen ehto voidaan esittää myös muodossa M > 0: n Z + : x n M tai M > 0: n Z + : x n < M. 29

34 Lause 2.8. Jos n x n = x, niin lukujono (x n ) on rajoitettu. Todistus. Jos n x n = x, niin lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla on olemassa sellainen n Z +, että Tällöin x n x < n > n. x n = x + (x n x) x + x n x < x + n > n. Merkitään M = max { x,..., x n, x + }. Tällöin joten lukujono (x n ) on rajoitettu. x n M n Z +, Huomautus. Lause 2.8 ei ole kääntäen voimassa (ks. esimerkki 2.8, s. 29). Lause 2.9. Olkoon n x n = x. (a) Jos n 0 Z + : n > n 0 : x n M, niin x M. (b) Jos n 0 Z + : n > n 0 : x n m, niin x m. Todistus. Todistetaan kohta (a), ja jätetään kohta (b) harjoitustehtäväksi. Oletetaan siis, että kohdan (a) oletukset ovat voimassa. Tehdään vastaoletus: x > M. Tällöin x M > 0, joten huomautuksen 2.3 (s. 25) nojalla n Z + : x n U x M (x) n > n. Valitaan nyt n Z + siten, että n > max{n 0, n }. Tällöin x n U x M (x) eli x n ]x (x M), x + (x M)[ = ]M, x + (x M)[. Siis x n > M, missä on ristiriita (sillä x n M). Huomautus. Vaikka x n = x ja x n < M n Z +, n niin silti saattaa olla x = M. Vastaavasti vaikka niin silti saattaa olla x = m. x n = x ja x n > m n Z +, n 30

35 Lause 2.0. Jos n x n = x 0, niin on olemassa sellainen n 0 Z +, että kaikilla n > n 0. x n > x 2 Todistus. Jos n x n = x ja x 0, niin lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla on olemassa sellainen n 0 Z +, että Tällöin joten x n x < x 2 n > n 0. x = x n (x n x) x n + x n x < x n + x 2 x n > x x 2 = x 2 n > n 0. n > n 0, Lause 2.. Jos n x n = x > 0, niin on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n > 0 kaikilla n > n 0. Todistus. Harjoitustehtävä. 3

36 2.2 Laskusääntöjä Esitetään seuraavaksi muutamia lauseita, jotka helpottavat lukujonojen raja-arvojen määrittämistä käytännön tilanteissa. Ennen varsinaisia lauseita esitetään yksi todistuksia helpottava aputulos. Usein raja-arvoa koskevissa todistuksissa ensin valitaan mielivaltainen ε > 0 ja sitten osoitetaan, että x n x < ε aina, kun n on riittävän suuri. Tällöin lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla x n = x. n Tällaisissa todistuksissa ei ole välttämätöntä saada lopulliseksi arvioksi juuri lukua ε, vaan riittää saada luku ε kerrottuna jollakin positiivisella vakiolla. Oleellista on, että vakio ei riipu luvusta ε tai indeksistä n. Lause 2.2. Olkoon a > 0 (a R). Oletetaan, että jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen luku n ε Z +, että x n x < a ε aina, kun n > n ε. Tällöin x n = x. n Todistus. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Merkitään ε = ε/a. Koska a > 0, niin ε > 0. Jos lauseen oletukset ovat voimassa, niin tällöin on olemassa sellainen luku n ε Z +, että x n x < a ε = a (ε/a) = ε aina, kun n > n ε, Väite seuraa nyt lukujonon raja-arvon määritelmästä. Huomautus. Toistetaan jo luvussa 2. (s. 25) esitetty huomautus. Ensin valitaan mielivaltainen ε > 0. Valinnan jälkeen ε on kiinteä. Tutkitaan sitten suppenevien lukujonojen (x n ) ja (y n ) summaa (x n +y n ), erotusta (x n y n ) ja tuloa (x n y n ) sekä lukujonon kertomista vakiolla. Lause 2.3. Olkoon n x n = x ja n y n = y. Tällöin (i) (ii) (x n + y n ) = x + y, n (x n y n ) = x y, n 32

37 (iii) (iv) (x n y n ) = xy, n (kx n ) = kx n (k R). Todistus. Väitteen (ii) todistus jätetään harjoitustehtäväksi (vrt. kohdan (i) todistus), ja väite (iv) seuraa kohdasta (iii) valitsemalla jonoksi (y n ) vakiojono k, k,... Kohtien (i) ja (iii) todistuksissa hyödynnetään lausetta 2.2. Valitaan siis mielivaltainen ε > 0. Koska n x n = x ja n y n = y, niin lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla n Z + : x n x < ε n > n, n 2 Z + : y n y < ε n > n 2. Todistetaan ensin kohta (i). Olkoon nyt n > max{n, n 2 }. Tällöin (x n + y n ) (x + y) = (x n x) + (y n y) joten väite (i) seuraa lauseesta 2.2. x n x + y n y < ε + ε = 2ε, Tarkastellaan sitten väitettä (iii). Koska lukujono (x n ) suppenee, niin (x n ) on rajoitettu (lause 2.8, s. 30). Täten huomautuksen 2.7 (s. 29) nojalla on olemassa sellainen M > 0, että x n M n Z +. Oletetaan lisäksi, että n > max{n, n 2 }. Tällöin x n y n xy = x n y n x n y + x n y xy = x n (y n y) + y(x n x) x n (y n y) + y(x n x) = x n y n y + y x n x < x n ε + y ε = ( x n + y ) ε (M + y ) ε. Koska M + y > 0 on vakio, väite (iii) seuraa lauseesta

38 Lause 2.3 voidaan todistaa myös käyttämättä lausetta 2.2. Tällöin on vain kohdassa (i) valittava n ja n 2 siten, että x n x < ε/2 ja y n y < ε/2. Kohdassa (iii) vastaava ehto on x n x < ε M + y ja y n y < ε M + y. Kohdassa (iii) valinnat voidaan myös eriyttää ja valita n siten, että ja n 2 siten, että Tällöin x n x < ε 2( y + ), y n y < ε 2M. x n y n y + y x n x < x n ε 2M + y ε 2( y + ) M 2M ε + y y + ε 2 ε/2 + ε/2 = ε. Seuraus 2.4. Olkoon x n = x ja n n y n = y. Jos tällöin on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n y n kaikilla n > n 0, niin x y. Todistus. Lauseen 2.3 kohdan (ii) nojalla (x n y n ) = x y. n Lisäksi x n y n 0 kaikilla n > n 0, joten lauseen 2.9 (s. 30) nojalla x y 0. Huomautus. Vaikka x n < y n kaikilla n > n 0 (seurauksessa 2.4), niin silti ei välttämättä päde x < y (ts. voi olla x = y). Nimittäjään on valittava vakion 2 y sijasta 2( y + ), sillä y voi olla 0. 34

39 Jos lukujonon (y n ) termit ovat nollasta eroavia, voidaan tarkastella myös lukujonojen (x n ) ja (y n ) osamäärää. Lause 2.5. Olkoon x n = x ja y n = y. Jos tällöin y 0 ja y n 0 kaikilla n n n Z +, niin x n = x n y n y. Todistus. Osoitetaan, että n y n = y. Tällöin väite seuraa lauseen 2.3 kohdasta (iii). Hyödynnetään taas lausetta 2.2. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Koska n y n = y, niin lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla on olemassa n Z + siten, että y n y < ε n > n. Koska y 0, niin lauseen 2.0 (s. 3) perusteella on lisäksi olemassa sellainen n 2 Z +, että y n > y 2 > 0 n > n 2. Olkoon nyt n > max{n, n 2 }. Tällöin y n y = y y n y n y Koska 2 > 0 on vakio, väite seuraa lauseesta 2.2. y2 < y y n y y = 2 y 2 y n y < 2 y ε. 2 2 Jos mikään lukujonon (x n ) termi ei ole negatiivinen, voidaan tarkastella myös lukujonon (x n ) neliöjuurta. Lause 2.6. Olkoon n x n = x ja x n 0 kaikilla n Z +. Tällöin xn = x. n Todistus. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Todistetaan väite kahdessa osassa. Oletetaan ensin, että x > 0. Koska n x n = x, niin lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa n Z + siten, että x n x < ε n > n. 35

40 Olkoon nyt n > n. Koska x > 0, niin x n x xn x x n + x = x n + x = = x n x x n + x xn + x x n x < x ε. Koska x > 0 on vakio, väite seuraa lauseesta 2.2. Oletetaan sitten, että x = 0. Tällöin siis n x n = 0, joten lukujonon raja-arvon määritelmän ja ehdon x n 0 nojalla on olemassa sellainen n 0 Z +, että 0 x n < ε 2 n > n 0. Olkoon nyt n > n 0. Tällöin ja edelleen 0 x n < ε x n 0 < ε, mistä väite seuraa lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella. Huomautus. Lauseissa 2.5 ja 2.6 ei ole oleellista, että lukujono on määritelty kaikilla n Z +. Oleellista on, että ehdot y n 0 ja x n 0 pätevät kaikille lukujonon alkioille. Esimerkki 2.9. Olkoon x n = 2n2 n n 2 + 3n + 3 Tällöin lukujonon (x n ) raja-arvoksi saadaan (n Z + ). 2n 2 n n 2 + 3n + 3 = n2 (2 ) n n 2 ( ) = n n 2 2 n = 2, kun n n n 2 Yleensä asiaa ei tarvitse tämän enempää perustella, mutta käydään tehdyt päättelyt esimerkin vuoksi vielä yksityiskohtaisesti läpi (yllä on käytetty hyväksi esimerkkejä 2.2 (s. 25) ja 2.3 (s. 25) sekä lauseita 2.3 ja 2.5). 36

41 Ottamalla n 2 yhteiseksi tekijäksi ja supistamalla yhteinen tekijä pois saadaan x n = 2n2 n n 2 + 3n + 3 = n 2 (2 n ) n 2 ( + 3 n + 3 n 2 ) = 2 n + 3 n + 3 n 2 n Z +. Esimerkin 2.3 (s. 25) nojalla joten lauseen 2.3 nojalla n n = 0, ja edelleen 3 n n = n n ( ) 3 = 3 0 = 0 n 3 n = ( 2 n n 3 ) = 0 0 = 0. n Koska vakiojonon raja-arvo on kyseinen vakio (esimerkki 2.2, s. 25), saadaan edelleen lauseen 2.3 nojalla ( ) n 2 = 2 0 = 2 n ja ( 3 + n n + 3 ) = =. n 2 Jälkimmäisessä tapauksessa lausetta 2.3 on itse asiassa käytetty kaksi kertaa. Soveltamalla lopuksi lausetta 2.5 saadaan x 2 n n = n n = 2 = 2. n n 2 Seuraava esimerkki ei hyödynnä suoraan lukujonon raja-arvon laskusääntöjä, mutta ratkaisussa hyödynnetään samoja ideoita kuin laskusääntöjen todistuksissa. Esimerkki 2.0. Olkoon n x n = x ja y n = n n x k (n Z + ). k= Osoitetaan, että y n = x. n Valitaan aluksi mielivaltainen ε > 0. Koska (x n ) suppenee, niin (x n ) on rajoitettu (lause 2.8, s. 30). Täten myös lukujono (x n x) on rajoitettu ja huomautuksen 2.7 (s. 29) nojalla M > 0 : x n x < M n Z +. 37

42 Lisäksi lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla Olkoon nyt n > n ε. Koska niin tällöin y n x = = n>n ε = n n ε Z + : x n x < ε/2 n > n ε. Mn ε n < ε 2 n > 2Mn ε, ε n x k x n = n x k k= n k= n nx n = x k n x n k= n k= n (x k x) n k= n x k x n k= n ε k= x k x }{{} M + n n k=n ε+ x k x }{{} < ε/2 < n n εm + n (n n ε) ε 2 = Mn ε n < Mn ε n + n n ε n + ε 2 } {{ } < ε 2 < ε/2 + ε/2 = ε, kun { n > max n ε, 2Mn ε ε }. Väite seuraa nyt lukujonon raja-arvon määritelmästä, sillä määritelmässä vaadituksi rajaluvuksi voidaan asettaa mikä tahansa kokonaisluku, joka on suurempi kuin { max n ε, 2Mn ε ε }. 38

43 Tutkitaan vielä tapausta, jossa kahdella lukujonolla on sama raja-arvo. Lausetta kutsutaan suppiloperiaatteeksi. Lause 2.7 (Suppiloperiaate). Olkoon x n = y n = x. Jos on olemassa n n sellainen n 0 Z +, että x n z n y n n > n 0, niin z n = x. n Todistus. Oletetaan, että on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n z n y n aina, kun n > n 0. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Oletuksen nojalla saadaan (2.) z n x n y n x n n > n 0. Koska x n = n n y n = x, niin lauseen 2.3 nojalla (x n y n ) = 0. n Täten lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella n Z + : x n x < ε/2 n > n, n 2 Z + : x n y n < ε/2 n > n 2. Olkoon nyt n > max{n 0, n, n 2 }. Tällöin z n x = (z n x n ) + (x n x) z n x n + x n x (2.) y n x n + x n x < ε/2 + ε/2 = ε. Siis lause on tosi lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella. Huomautus. Jos jostakin indeksin n arvosta n 0 lähtien x n z n y n, mutta lukujonoilla (x n ) ja (y n ) on eri raja-arvot, niin lukujonon (z n ) raja-arvon olemassaolosta ei voida sanoa lauseen 2.7 perusteella mitään. 39

44 Esimerkki 2.. Määritetään lukujonon (z n ) raja-arvo, kun z n = 3n + sin2 n + cos n. n + Koska sinin ja kosinin arvot ovat välillä [, ] ja sin 2 n 0 kaikilla n Z +, niin Lisäksi ja 3n n + z n 3n + 2 n + 3n n + = n(3 n ) n( + n ) = 3 n + n n + 2 n + = n(3 + 2 ) n n( + ) = n n n joten suppiloperiaatteen (lause 2.7) nojalla z n = 3. n n Z +. = 3, kun n, = 3, kun n, Esimerkki 2.2. Määritetään lukujonon (z n ) raja-arvo, kun z n = Jos n Z +, niin n k= n2 + k = n2 + + n n2 + n. n2 + n n2 + k n2 + k =, 2,..., n, joten n n2 + n z n n n2 +. Kun n, niin (esimerkkien 2.2 (s. 25) ja 2.3 (s. 25) sekä lauseiden 2.3, 2.5 ja 2.6 perusteella) ja n n2 + n = + n + 0 =, n n2 + = =, n 2 joten suppiloperiaatteen (lause 2.7) nojalla z n =. n 40

45 2.3 Monotonisista jonoista Seuraavan tyyppisiä lukujonoja x, x 2, x 3,... sanotaan monotonisiksi: kasvava lukujono, jolle x x 2 x 3 vähenevä lukujono, jolle x x 2 x 3 aidosti kasvava lukujono, jolle x < x 2 < x 3 < aidosti vähenevä lukujono, jolle x > x 2 > x 3 > Huomautus. Jono voi olla samalla sekä kasvava että vähenevä, esim.,,... Huomautus. Koska x n x n+ x n+ x n 0, niin lukujonon kasvavuus voidaan usein osoittaa tutkimalla kahden peräkkäisen termin erotusta. Myös osamäärää voidaan tutkia, mutta tällöin on huomioitava termien merkki. Jos esimerkiksi termit ovat positiivisia, niin x n x n+ x n+ x n. Muille tapauksille (vähenevä, aidosti kasvava, aidosti vähenevä) ehtoja voidaan muokata vastaavasti. Lause 2.8 (Monotonisten jonojen peruslause). Jos lukujono (x n ) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu, niin jono (x n ) suppenee. Todistus. Olkoon (x n ) jokin kasvava ylhäältä rajoitettu lukujono. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Merkitään K = sup {x n n Z + }. Tällöin lauseen.7 (s. 9) nojalla x n K n Z + ja Koska lukujono (x n ) on kasvava, niin Siis n ε Z + : x nε > K ε. x n > K ε n > n ε. x n U ε (K) n > n ε, joten huomautuksen 2.3 (s. 25) perusteella x n = K. n 4

46 Lause 2.9. Jos lukujono (x n ) on vähenevä ja alhaalta rajoitettu, niin jono (x n ) suppenee. Todistus. Harjoitustehtävä. Huomautus Lauseen 2.8 todistuksen perusteella jos lauseen oletukset ovat voimassa. x n = sup {x n n Z + }, n Huomautus 2.2. Lauseessa 2.8 itse asiassa riittää, että lukujono on kasvava jostakin indeksin n arvosta n 0 alkaen. Tällöin kuitenkin voi olla x n sup {x n n Z + }. n Huomautus Huomautuksia 2.20 ja 2.2 vastaavat tulokset ovat voimassa väheneville alhaalta rajoitetuille lukujonoille. Esimerkki 2.3. Olkoon x n = n (n Z +). Osoitetaan, että lukujono (x n ) suppenee. Lukujono (x n ) on kasvava, sillä kaikilla n Z +. x n+ x n = ( ) ( ) n + n = n n + = > 0 n(n + ) = (n + ) n n(n + ) 2 Lukujono (x n ) on ylhäältä rajoitettu, sillä n < kaikilla n Z +. Kohdista ja 2 seuraa monotonisten jonojen peruslauseen (lause 2.8) nojalla, että lukujono (x n ) suppenee. Lisäksi huomautuksen 2.20 ja esimerkin.23 (s. 8) perusteella n x n { = sup n 42 } n Z + =.

47 Esimerkki 2.4. Olkoon x n = q n (n Z + ), missä 0 < q < (q R). Osoitetaan, että n x n = 0 hyödyntämällä lausetta 2.9 (vrt. esimerkki 2.6, s. 27). Jono (x n ) on vähenevä, sillä x n > 0 ja x n+ x n = qn+ q n = q < n Z +. 2 Jono (x n ) on alhaalta rajoitettu, sillä x n = q n > 0 kaikilla n Z +. Kohdista ja 2 seuraa lauseen 2.9 nojalla, että on olemassa n x n = x. Edelleen koska x n = x n+ ja x n+ = q x n = q x n, n n n n n saadaan Siis x = 0, joten kun 0 < q <. x = q x (0 < q < ). n qn = 0, Esimerkki 2.5. Olkoon x n = n i= i 2 = n 2 (n Z + ). Osoitetaan, että lukujono (x n ) suppenee (vrt. esimerkki 2.2, s. 54). Jono (x n ) on kasvava, sillä x n+ x n = (n + ) 2 > 0 n Z +. 2 Osoitetaan induktiolla, että x n 2 n n Z +. Tällöin jono (x n ) on ylhäältä rajoitettu.. Perusaskel. Kun n =, niin x n = ja epäyhtälön oikea puoli on 2 =, joten epäyhtälö on voimassa. 43

48 2. Induktio-oletus: x k 2 k (k Z +). 3. Induktioväite: x k+ 2 k Induktioaskel. Induktio-oletusta käyttämällä saadaan joten induktioväite on tosi. x k+ = x k + (k + ) 2 ind.ol. 2 k + (k + ) 2 k+>k < 2 k + k(k + ) = 2 (k + ) k(k + ) = 2 k +, Kohdista 4 seuraa induktioperiaatteen nojalla, että x n 2 n n Z +. Siis kohtien ja 2 sekä monotonisten jonojen peruslauseen (lause 2.8) nojalla jono (x n ) suppenee. Esimerkki 2.6. Olkoon a > 0 (a R). Tarkastellaan sellaista lukujonoa (x n ), että x > a ja x n+ = (x n + a ) n Z +. 2 xn Määritetään jonon (x n ) raja-arvo. Koska a > 0, niin selvästi x n > 0 kaikilla n Z + (täsmällinen todistus induktiolla). Täten lukujono (x n ) on alhaalta rajoitettu. Lisäksi x n+ a = 2 (x n + a xn ) a = x2 n 2x n a + a 2x n kaikilla n Z +, joten x n a kaikilla n Z +. = (x n a) 2 0 2x n 44

49 2 Jono (x n ) on vähenevä, sillä kohdan nojalla x n+ = 2 ( x n + a ) a xn ( ) x n + x2 n x n 2 x n = x n kaikilla n Z +. Kohdista ja 2 seuraa lauseen 2.9 nojalla, että on olemassa x n = x. n Lisäksi kohdan ja lauseen 2.9 (s. 30) perusteella Koska x a > 0. x n = x n+, n n saadaan raja-arvojen laskusääntöjä käyttämällä tällöin x = 2 ( x + a ) x 2x = x2 + a x 2x 2 = x 2 + a x 2 = a x = a. Lause Olkoot x n = ( + ) n ja y n = + + n 2! + + n n! = i=0 i!, missä n Z +. Tällöin lukujonot (x n ) ja (y n ) suppenevat kohti samaa raja-arvoa. Todistus. Jaetaan todistus kolmeen osaan. (i) Osoitetaan ensin, että lukujono (y n ) suppenee. Jono (y n ) on kasvava, sillä y n+ y n = (n + )! > 0 n Z +. 45

50 2 Induktiolla voidaan helposti osoittaa, että 2 i i! kaikilla i Z + (harjoitustehtävä). Täten y n = n i=0 + i! n i= = + = + ( 2 )n 2 n i= i! n ( = + 2 i i=0 2 ) i < + 2 = 3 kaikilla n Z +. Siis lukujono (y n ) on ylhäältä rajoitettu. Kohdista ja 2 seuraa monotonisten jonojen peruslauseen (lause 2.8) nojalla, että lukujono (y n ) suppenee eli on olemassa n y n = y. (ii) Osoitetaan toiseksi, että lukujono (x n ) suppenee. Induktiolla voidaan osoittaa, että kun n 2 (n Z), niin ( n 2 ) n > n (harjoitustehtävä). Jos siis n 2, niin x n ( + / n = )n (n + )n n n x n ( + = )n n n n (n ) n = (n + )n (n ) n n n n n = = = > =. n n (n + )n (n ) n n n n n ( n n 2 ) n n n 2 n n n n ( n 2 ) n ( ) n Täten jono (x n ) on (aidosti) kasvava. 46

51 2 Jono (x n ) on ylhäältä rajoitettu, sillä binomikaavan (esimerkki.3, s. 7) nojalla x n = ( + ) n n = = n i=0 n i=0 ( ) ( ) n i n i i n n! i! (n i)! n i = + + = + + n i=2 n i=2 n(n )(n 2) ((n i) + ) i! n i i! n n n n 2 n (i ) n n n n ( = + + )( 2 ) ( i ) i=2 i! n n n }{{} < n + + i=2 i! = y n < 3 kaikilla n Z +. Kohdista ja 2 seuraa monotonisten jonojen peruslauseen (lause 2.8) nojalla, että lukujono (x n ) suppenee eli on olemassa n x n = x. (iii) Osoitetaan lopuksi, että x = y. Kohdan (ii) perusteella x n y n kaikilla n Z +, joten kohtien (i) ja (ii) rajaarvotulosten sekä seurauksen 2.4 (s. 34) nojalla x y. Osoitetaan sitten, että myös y x. Valitaan aluksi mielivaltainen k > (k Z + ), ja osoitetaan seurausta 2.4 (s. 34) käyttämällä, että y k x. Merkitään z n = + + k i=2 ( )( 2 ) ( i! n n 47 i n ), kun n Z +.

52 Tällöin z n on termistä x n kohdassa (ii) binomikaavan avulla saadun summalausekkeen osasumma (jos n k). Lukujonoille (z n ) ja (x n ) saadaan nyt seuraavat tulokset. Oletetaan, että n k ( 2). Kohdan (ii) todistuksen nojalla x n = = ( + ) n n. (ii) n ( = + + )( 2 ) ( i ) i=2 i! n n n }{{} > 0 k ( + + )( 2 ) ( i ) i=2 i! n n n = z n. Siis z n x n n k. 2 Selvästi z n = y k, n sillä kaikilla i = 2, 3,..., k pätee ( )( 2 ) ( i ) n n n 3 Kohdan (ii) nojalla n x n = x. Täten kohtien 3 ja seurauksen 2.4 (s. 34) nojalla (2.2) y k x., kun n. Koska luku k > oli mielivaltainen, epäyhtälö (2.2) pätee kaikilla k >. Lisäksi kohdan (i) nojalla k y k = y, joten lauseen 2.9 (s. 30) perusteella Siis x y ja y x, joten x = y. y x. 48

53 Huomautus Lauseessa 2.23 esiintyvää raja-arvoa sanotaan Neperin luvuksi ja merkitään kirjaimella e. Esimerkki 2.7. Osoitetaan, että ( + ) n ( < e < + n+ n Z +. n n) Vasen epäyhtälö seuraa lauseen 2.23 todistuksen kohdasta (ii). Oikeanpuoleisen epäyhtälön todistamiseksi merkitään w n = ( + n) n+ (n Z + ). Tällöin ( w n = n n + )( + n = e = e. n n) Lisäksi lukujono (w n ) on vähenevä, sillä jos n >, niin Bernoullin epäyhtälön (ks. esimerkki.5, s. 3) nojalla = ( + n )n w n ( + = n n / (n + ) n+ n )n+ (n ) n n n+ w n = = = > n n n n+ (n ) n (n + ) = n n+ n + n n n n (n ) n (n + ) n ( n n 2 ) n n + n = n 2 n + ( n n + + ) n n 2 n ( n + + ) n n 2 ( ) n n + + n n 2 ( n 2 ) + n n 2 =. Siis luvun e likiarvon laskemiseksi saadaan epäyhtälöt (n Z + ) ( + ) n ( < e < + n+. n n) 49

54 Esimerkki 2.8. Osoitetaan, että Aluksi havaitaan, että Täten kun n. ( n = e n n). ( + ) n ( = + n = e. n n n n) ( ) n n > = n = ( n n )n ( + n )n ( + ) n }{{} 0 e = e = e, Esimerkki 2.9. Koska suppenevan lukujonon jokainen osajono suppenee kohti alkuperäisen lukujonon raja-arvoa (lause 2.5, s. 28), niin ( + ) [ n ( = + ) ] 2n 2 n 2n n 2n = e 2 = e ja ( ) 3n 6n ( ) 3n + 6n = n 3n n 3n ( = n + ) 6n 3n ( = n + 3n = n = e 2 = e 2. ) 2(3n )+2 [[ ( + ) ] 3n 2 ( 3n + 3n }{{} 0 ) 2 ] 50

55 Lause 2.25 (Sisäkkäisten välien lause). Olkoon (I n ), I n = [a n, b n ], jono suljettuja välejä, joille (i) [a n+, b n+ ] [a n, b n ], (ii) n (b n a n ) = 0. Tällöin [a n, b n ] sisältää täsmälleen yhden pisteen. n= Todistus. Nyt a a n < b n b n Z +, joten lukujono (a n ) on ylhäältä rajoitettu ja jono (b n ) alhaalta rajoitettu. Lisäksi a n a n+ ja b n+ b n n Z +, joten (a n ) on kasvava ja (b n ) vähenevä. Siis lauseiden 2.8 ja 2.9 perusteella on olemassa a n = a ja b n = b. n n Näin ollen lauseen 2.3 (s. 32) ja oletuksen (ii) nojalla joten a = b. Siis b a = b n a n = (b n a n ) = 0, n n n a n a = b b n n Z +, joten a [a n, b n ]. n= Täten ainakin piste a kuuluu leikkaukseen. Oletetaan nyt, että x a. Tällöin x a > 0. Koska a n = b n = a, n n niin huomautuksen 2.3 (s. 25) nojalla on olemassa sellainen k Z +, että a n, b n U x a (a) n > k. Koska x / U x a (a), niin x / [a n, b n ], kun n > k. Siis joten x / [a n, b n ], n= [a n, b n ] = {a}. n= 5

56 Lause 2.26 (Bolzano-Weierstrassin lause). Rajoitetulla lukujonolla on suppeneva osajono. Todistus. Olkoon (x n ) jokin rajoitettu jono. Tällöin on olemassa väli I = [a, b ], joka sisältää kaikki jonon (x n ) pisteet. Olkoon c = a + b 2 välin I keskipiste. Tällöin ainakin toinen väleistä [a, c ] ja [c, b ] sisältää äärettömän monta jonon (x n ) alkiota. Merkitään sitä I 2 = [a 2, b 2 ]. Jos molemmat välit sisältävät äärettömän monta jonon (x n ) alkiota, valitaan I 2 = [a, c ]. Jatketaan menettelyä siten, että jos c k = a k + b k 2 on välin I k keskipiste, niin valitaan väleistä [a k, c k ] ja [c k, b k ] se, kumpi sisältää äärettömän monta lukujonon (x n ) alkiota, ja merkitään sitä I k+ = [a k+, b k+ ]. Jos molemmat välit sisältävät äärettömän monta lukujonon (x n ) alkiota, valitaan I k+ = [a k, c k ]. Näin saadaan jono (k =, 2,...) suljettuja välejä I k = [a k, b k ], joille I k+ I k. Edelleen välin pituus b k a k = b k a k 2 = = b a 2 k 0, kun k. Siis sisäkkäisten välien lauseen nojalla on olemassa sellainen a R, että [a k, b k ] = {a}. k= Olkoon nyt x n jokin jonon (x n ) alkio, jolloin x n I. Valitaan (järjestyksessä) jonon (x n ) alkiot x n2, x n3,... siten, että x nk I k ja n k > n k. Kukin alkio x nk voidaan valita, sillä väli I k sisältää äärettömän monta jonon (x n ) alkiota ja kussakin valintatilanteessa on siihen mennessä valittu vain äärellinen määrä alkioita. Jono (x nk ) on nyt jonon (x n ) osajono. Lisäksi a, x nk I k kaikilla k Z +, joten x nk a b k a k 0, kun k. Siis osajono (x nk ) suppenee (kohti raja-arvoa a). 52

57 2.4 Cauchyn jonoista Määritelmä 2.3. Lukujono (x n ) on Cauchyn jono, jos (2.3) ε > 0: n ε Z + : x n x n+p < ε n > n ε p Z + tai (2.4) ε > 0: n ε Z + : x n x m < ε m, n > n ε. Huomautus. Ehtoa (2.3) (tai (2.4)) sanotaan Cauchyn suppenemisehdoksi. Huomautus. Lukujonon raja-arvon määritelmän tapaan (ks. huomautus 2., s. 24) Cauchyn suppenemisehdossa ei oleellista, että relaatioiksi on valittu pienempi kuin ja suurempi kuin. Aivan yhtä hyvin määritelmässä olisi voinut olla esimerkiksi x n x m ε tai m, n n ε. Lause Jokainen Cauchyn jono on rajoitettu. Todistus. Oletetaan, että (x n ) on Cauchyn jono. Tällöin on olemassa sellainen n Z +, että x n x m < m, n n. Siis x n = x n + x n x n x n + x n x n < x n + n n. Valitaan nyt Tällöin M = max { x, x 2,..., x n, x n + }. x n M n Z +. Lause Lukujono (x n ) suppenee (x n ) on Cauchyn jono. Todistus. : Oletetaan ensin, että (x n ) suppenee ja x n = x. n Valitaan mielivaltainen ε > 0. Tällöin lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa sellainen n ε Z +, että x n x < ε/2 n > n ε. 53

58 Jos nyt m, n > n ε, niin x n x m = (x n x) + (x x m ) x n x + x x m < ε/2 + ε/2 = ε. Siis (x n ) on Cauchyn jono. : Oletetaan sitten, että (x n ) on Cauchyn jono. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Tällöin on olemassa sellainen n ε Z +, että x n x m < ε/2 m, n > n ε. Lisäksi (x n ) on Cauchyn jonona rajoitettu (lause 2.27), joten Bolzano-Weierstrassin lauseen (lause 2.26) nojalla lukujonolla (x n ) on suppeneva osajono (x nk ). Tällöin lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla on olemassa x R ja k ε Z + siten, että x nk x < ε/2 k > k ε. Valitaan K Z + siten, että K > k ε ja n K > n ε. Jos tällöin n > n ε, niin x n x = (x nk x) + (x n x nk ) x nk x + x n x nk < ε/2 + ε/2 = ε. Siis (x n ) suppenee lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella. Huomautus. Cauchyn suppenemisehdolla ei määritetä raja-arvoa, vaan todistetaan sen olemassaolo. Esimerkki Olkoon Tällöin x n = n k= k = n (n Z + ). x n x n+n = n + + n n + n n n + n = 2 n Z +. Siis Cauchyn suppenemisehto ei ole voimassa, joten lukujono (x n ) ei suppene. Esimerkki 2.2. Osoitetaan, että lukujono (x n ) suppenee (vrt. esimerkki 2.5, s. 43), kun n x n = k = n. 2 k= Valitaan mielivaltainen ε > 0. Merkitään n ε = ε Tällöin n > ε, 54, ja oletetaan, että n > nε.

59 joten Koska n < ε. k = 2 k k < k(k ) = k k (k > ), niin tällöin kaikilla p Z + x n x n+p = < (n + ) (n + p) 2 ( n ) + n + = n n + p }{{} > 0 < n < ε. ( n + ) ( + + n + 2 Siis (x n ) on Cauchyn jono, joten (x n ) suppenee. (n + p) n + p ) 55

60 2.5 Raja-arvokäsitteen laajentaminen Joskus on käytännöllistä laajentaa merkinnällisesti lukujonon raja-arvo tapauksiin, joissa lukujonon alkiot kasvavat tai vähenevät rajatta. Määritelmä 2.4. Jos jokaista lukua M > 0 kohti on olemassa sellainen n M Z +, että x n > M aina, kun n > n M, voidaan merkitä x n =. n Jos vastaavasti kaikilla M > 0 on olemassa sellainen n m Z +, että x n < M aina, kun n > n m, voidaan merkitä x n =. n Huomautus. Määritelmä 2.4 voidaan esittää myös muodossa x n = M > 0: n M Z + : x n > M aina, kun n > n M, n x n = M > 0: n m Z + : x n < M aina, kun n > n m. n Huomautus. Vaikka voidaan sanoa, että lukujonon raja-arvo on eräällä tavalla äärettömänä olemassa, ei lukujono silti suppene (vaan hajaantuu). Esimerkki Selvästi n = ja n =, n n sillä määritelmässä 2.4 tarvittaviksi rajaluvuiksi voidaan valita esimerkiksi M. Esimerkki Osoitetaan, että n n 2 + n + =. Valitaan mielivaltainen M > 0. Merkitään n M = 2M, ja oletetaan, että n > n M. Tällöin n > 2M, joten n 2 + n + > n2 n + > Väite seuraa nyt määritelmästä 2.4. n2 n + n = n 2 > 2M 2 = M. 56

61 Esimerkissä 2.23 rajaluku n M = 2M on keksitty havaitsemalla, että n 2 > M n > 2M. On hyväksyttävää esittää ratkaisu (luvun M > 0 valinnan jälkeen) myös muodossa kun n > 2M. n 2 + n + > n2 n + > n2 n + n = n 2 > M, Esimerkki Olkoon x R. Osoitetaan, että, kun x >, (a), kun x =, (b) n xn = 0, kun x <, (c), kun x. (d) Tarkastellaan ensin kohtaa (a). Valitaan mielivaltainen M > 0. Koska x >, niin on olemassa sellainen a > 0, että x = + a. Tällöin Bernoullin epäyhtälön (esimerkki.5, s. 3) nojalla x n = ( + a) n + na > M, kun n > M. Siis väite on tosi määritelmän 2.4 perusteella. a Kohdassa (b) kyseessä on vakiojono, joten tulos on selvä (ks. esimerkki 2.2, s. 25). Tarkastellaan sitten kohtaa (c). Jos x = 0, kyseessä on vakiojono, joten tulos on selvä (vrt. (b)-kohta). Jos taas x 0, niin tulos seuraa huomautuksesta 2.2 (s. 24) ja esimerkistä 2.6 (s. 27) tai esimerkistä 2.4 (s. 43). Todistetaan lopuksi kohta (d). Jos n Z +, niin x n x n+ = x n ( x) = Siis Cauchyn suppenemisehto ei ole voimassa, joten 2 {}}{{}}{ x n x 2 = 2. n x n. Lisäksi lukujonon termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, joten x n ±. n Huomautus. Lukujonon raja-arvon laskusäännöt ja muut lukujonon raja-arvoa koskevat tulokset ovat soveltuvin osin voimassa myös, kun lukujonon alkiot kasvavat tai vähenevät rajatta (harjoitustehtävä). 57

62 3 Funktion raja-arvo 3. Reaauuttujan funktioista Palautetaan aluksi mieleen muutamia reaauuttujan funktioita koskevia peruskäsitteitä. Olkoon A, B R (A, B ). Tällöin funktio eli kuvaus f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon yksikäsitteisen alkion y B. Joukko A on kuvauksen määrittelyjoukko ja joukko B maalijoukko. Alkiota y kutsutaan alkion x kuvaksi ja merkitään f(x). Joskus funktion määrittelyjoukko ja maalijoukko jätetään merkitsemättä ja puhutaan yksinkertaisesti esimerkiksi funktiosta (3.) f(x) = x 2. Tällöin määrittelyjoukoksi ajatellaan laajin mahdollinen joukko ( R). Maalijoukon voidaan tällä kurssilla ajatella aina olevan R, jos ei erikseen toisin mainita. Esimerkiksi funktio (3.) tulkitaan funktioksi f : [, ] R, f(x) = x 2. Olkoon A A ja B B. Tällöin joukko f(a ) = {y B x A : f(x) = y} on joukon A kuvajoukko kuvauksessa f : A B ja joukko on joukon B alkukuva. f (B ) = {x A f(x) B } Olkoon f : A B ja A A. Tällöin kuvaus g : A B, missä g(x) = f(x) kaikilla x A, on funktion f rajoittuma joukkoon A (merkitään g = f A ). eli Kuvaus f : A B on injektio, jos x x 2 f(x ) f(x 2 ) f(x ) = f(x 2 ) x = x 2 Täsmällisesti ottaen f on tulojoukon eli karteesisen tulon A B = {(x, y) x A ja y B} osajoukko. 58

63 kaikilla x, x 2 A, ja surjektio, jos f(a) = B eli y B : x A: f(x) = y. Kuvaus on bijektio, jos se on sekä surjektio että injektio. Jos f : A B on bijektio, funktiolla f on olemassa käänteisfunktio f : B A siten, että f (y) = x f(x) = y. Huomautus 3.. Jos funktiolla f : A B on käänteisfunktio f : B A, niin f (f(x)) = x x A ja f(f (y)) = y y B. Esimerkki 3.. Olkoon f : R R, f(x) = 2x. f on injektio, sillä jos x x 2, niin 2x 2x 2 kaikilla x, x 2 R. 2 f on surjektio, sillä jos y R, niin f( y 2 ) = y (ja y 2 R). Kohtien ja 2 perusteella f on bijektio, joten sillä on olemassa käänteisfunktio f : R R, f (y) = y 2. Esimerkki 3.2. Olkoon f : R + {0} R, f(x) = x 2. f on injektio, sillä jos x x 2 ja x, x 2 R + {0}, niin x 2 x f ei ole surjektio, sillä f(x) 0 kaikilla x R + {0}, joten mikään luku ei kuvaudu negatiivisille luvuille. Funktio f : R + {0} R + {0} sen sijaan on bijektio. Funktioiden f : A B ja g : B C yhdistetty funktio on funktio g f : A C, jonka sääntö on (g f)(x) = g(f(x)) kaikilla x A. Tällöin funktiota f sanotaan yhdistetyn funktion g f sisäfunktioksi ja funktiota g vastaavasti funktion g f ulkofunktioksi. 59

64 Esimerkki 3.3. Olkoot f : R R ja g : R R sellaisia funktioita, että f(x) = x 3 ja g(x) = + 2x. Tällöin saadaan kuvaukset g f : R R, (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 3 ) = + 2x 3, f g : R R, (f g)(x) = f(g(x)) = f( + 2x) = ( + 2x) 3. f f : R R, (f f)(x) = f(f(x)) = f(x 3 ) = (x 3 ) 3 = x 9. g g : R R, (g g)(x) = g(g(x)) = g( + 2x) = + 2( + 2x) = 3 + 4x. Huomautus. Edellä on yksinkertaisuuden vuoksi oletettu, että kuvauksia f ja g yhdistettäessä sisäfunktion f maalijoukko ja ulkofunktion g määrittelyjoukko ovat yhtenevät. Tämä vaatimus voidaan helposti vaihtaa oletukseen f(a) B, missä A on sisäfunktion määrittelyjoukko ja B on ulkofunktion määrittelyjoukko. Tällöin sisäfunktion maalijoukolle ei tarvitse asettaa muita vaatimuksia. Yleisesti kuvaukset f : A D ja g : B C voidaan yhdistää tarkastelemalla joukkoa A = {x A f(x) B}, jolloin voidaan muodostaa yhdistetty funktio g f : A C. 60

65 3.2 Raja-arvon määritelmä ja perustuloksia Olkoon f funktio, joka on määritelty avoimella välillä I lukuun ottamatta mahdollisesti yhtä pistettä a I. Määritelmä 3.. Funktiolla f on pisteessä a raja-arvo A, jos jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) A < ε aina, kun 0 < x a < δ. Tällöin merkitään f(x) = A. x a Huomautus. Muita mahdollisia raja-arvon merkintätapoja ovat a f = A tai f(x) A, kun x a. Ensimmäisessä tapauksessa on oltava täysin selvää, mikä muuttuja pistettä a lähenee. Huomautus 3.2. Funktion raja-arvon määritelmä voidaan ilmoittaa myös muodossa tai tai x a f(x) = A ε > 0: δ > 0: f(x) A < ε aina, kun x U δ(a), f(x) = A ε > 0: δ > 0: f(x) U ε(a) aina, kun 0 < x a < δ, x a f(x) = A ε > 0: δ > 0: f(x) U ε(a) aina, kun x U x a δ(a). Huomautus. Funktiolla f(x) on pisteessä a raja-arvo A, jos funktion arvot f(x) kuuluvat raja-arvon A ympäristöön U ε (A) aina, kun x on riittävän lähellä pistettä a (eli x U δ(a)). Huomautus 3.3. Funktion raja-arvon määritelmässäkään (vrt. huomautus 2., s. 24) ei ole oleellista, että ehdoissa f(x) A < ε ja x a < δ relaatioksi on valittu pienempi kuin. Aivan yhtä hyvin määritelmässä olisi voinut olla f(x) A ε tai x a δ. 6

66 Huomautus 3.4. Funktion raja-arvon määritelmän ehdossa 0 < x a on oleellista, että relaatio on pienempi kuin. Funktion arvolla pisteessä a ei nimittäin ole vaikutusta raja-arvoon eikä sen olemassaoloon. Huomautus 3.5. Lukujonon raja-arvotodistusten tapaan ei ole välttämätöntä saada lopulliseksi arvioksi < ε, vaan riittää saada < c ε, missä c > 0 on jokin positiivinen vakio (joka ei riipu luvusta ε tai muuttujasta x). Toisin sanoen lausetta 2.2 (s. 32) vastaava tulos on voimassa myös funktion raja-arvolle. Huomautus 3.6. Funktion raja-arvon määritelmästä seuraa suoraan (täsmällinen todistus jätetään harjoitustehtäväksi), että f(x) = f(a + h). x a h 0 Esimerkki 3.4. Olkoon f : R R, f(x) = c. Tällöin f(x) c = c c = 0 < ε kaikilla ε > 0 ja kaikilla x R (ja kaikilla δ > 0), joten funktion raja-arvon määritelmän nojalla f(x) = c a R. x a Esimerkki 3.5. Olkoon f : R R, f(x) = x ja a R. Osoitetaan, että f(x) = a. x a Valitaan mielivaltainen ε > 0. Merkitään δ ε = ε, ja oletetaan, että 0 < x a < δ ε. Tällöin f(x) a = x a < δ ε = ε, joten tulos seuraa suoraan funktion raja-arvon määritelmästä. Esimerkki 3.6. Olkoon f : R \ { 2, } R, f(x) = x x 2 + x 2. Osoitetaan, että x f(x) = 3. Yllä voitaisiin olettaa myös pelkästään x a < δ ε, sillä nyt f(a) = a. 62

67 Valitaan mielivaltainen ε > 0. Merkitään δ ε = min {, 6ε}, ja oletetaan, että 0 < x < δ ε. Tällöin x < 6ε. Lisäksi x <, joten x > 0. Jos x 2,, niin x x 2 + x 2 = x (x )(x + 2) = x + 2, joten f(x) = 3 = x>0 = x = 3 (x + 2) 3(x + 2) x 3 x + 2 x 3(x + 2) x>0 < x 6 < 6 6ε = ε. Tulos seuraa nyt funktion raja-arvon määritelmästä. Edellä olevan kaltaisessa päättelyssä edetään monesti suoraviivaisemmin (vrt. lukujonon raja-arvoa koskeva esimerkki 2.4 sivulla 26). Usein valitaan ensin mielivaltainen ε > 0 ja tehdään joitakin oletuksia (esimerkiksi nyt x > 0 ja x ). Sen jälkeen päätellään esimerkiksi, että f(x) = < x < ε 3 6 aina, kun 0 < x < δ ε = min {, 6ε}, mistä vaadittu tulos seuraa funktion raja-arvon määritelmän perusteella. Näin voidaan menetellä, sillä tällöin on osoitettu, että vaadittu itseisarvoehto toteutuu, jos x on riittävän lähellä pistettä (eli nyt 0 < x < 6ε). Valitsemalla δ ε = min {, 6ε} tämä toteutuu aina, kun 0 < x < δ ε. Alkuperäiseen ratkaisuun verrattuna luvun δ ε valinta on nyt vain siirretty tapahtuvaksi myöhemmässä vaiheessa. Tässä ei voida valita yksinkertaisesti δ ε = 6ε, sillä oletuksen x > 0 takia on oltava δ ε. 63

68 Kuva 3.: Funktion x sin x (x 0) kuvaaja välillä [ 2π, 2π ]. Esimerkki 3.7. Osoitetaan, että Valitaan mielivaltainen ε > 0. Tällöin x sin x 0 x = 0. x sin {}}{ x 0 = x sin x x < ε aina, kun 0 < x 0 < δ ε = ε, joten tulos seuraa funktion raja-arvon määritelmästä. Esimerkki 3.8. Osoitetaan, että kun a > 0, niin x = a. x a Valitaan mielivaltainen ε > 0. Oletetaan lisäksi, että x a < a (jolloin x > 0). Tällöin x a = x a x + a x + a = x a x + a x > 0 < a x a < ε, kun 0 < x a < δ ε = min{a, ε a}. Tulos seuraa nyt funktion raja-arvon määritelmästä. Esimerkki 3.9. Osoitetaan, että sin x = sin a ja cos x = cos a x a x a kaikilla a R. Palautetaan aluksi trigonometriasta mieleen kaavat (3.2) sin x sin y = 2 cos x + y 2 64 sin x y 2

69 ja (3.3) sin x x kaikilla x, y R. Olkoon sitten a R. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Merkitään δ = ε, ja valitaan x R siten, että 0 < x a < δ (= ε). Tällöin sin x sin a (3.2) = 2 cos x + a sin x a 2 2 = 2 cos x + a 2 sin x a 2 }{{} 2 sin x a 2 (3.3) x a 2 2 = x a < δ = ε, joten tulos seuraa suoraan funktion raja-arvon määritelmästä. Raja-arvo cos x = cos a x a voidaan osoittaa vastaavasti käyttämällä kaavan (3.2) sijasta kaavaa cos x cos y = 2 sin x + y 2 sin x y 2 (harjoitustehtävä) tai käyttämällä sopivia trigonometrian kaavoja ja funktion rajaarvon laskusääntöjä (ks. esimerkki 3.6, s. 74). Esitetään sitten muutamia funktion raja-arvon perusominaisuuksia. Lause 3.7. Mikäli funktion raja-arvo on olemassa, se on yksikäsitteinen. Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. vastaava lukujonoja koskeva lause). 65

70 Lause 3.8. Olkoon x a f(x) = A. Jos tällöin on olemassa sellainen δ M > 0, että f(x) M x U δ M (a), niin A M, ja jos on olemassa sellainen δ m > 0, että f(x) m x U δ m (a), niin A m. Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. vastaava lukujonoja koskeva lause). Lause 3.9. Jos x a f(x) = A, niin jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f(x ) f(x 2 ) < ε aina, kun x, x 2 U δ(a). Todistus. Harjoitustehtävä. Esimerkki 3.0. Osoitetaan, että funktiolla f(x) = sin x (x 0) ei ole raja-arvoa pisteessä x = 0. Valitaan ε =, ja osoitetaan, että jokaisessa pisteen x = 0 puhkaistussa ympäristössä on piste x, jolle f(x ) = 0, ja piste x 2, jolle f(x 2 ) =. Tällöin lauseen 3.9 nojalla funktiolla f ei voi olla raja-arvoa pisteessä x = 0. Olkoon siis δ > 0. Valitaan k = +, ja merkitään 2πδ x = k 2π ja x 2 = π + k 2π Kuva 3.2: Funktion sin x (x 0) kuvaaja välillä [ 2π, 2π ]. 66

71 Tällöin ja Lisäksi x > 0 ja x 2 > 0. Koska niin Täten Siis f(x ) = sin(k 2π) = 0 f(x 2 ) = sin( π + k 2π) =. 2 k > 2πδ, x = k 2π < δ ja x 2 = π + k 2π < k 2π < δ. 2 x U δ(0) ja x 2 U δ(0). δ > 0: x, x 2 U δ(0): f(x ) f(x 2 ) =, joten lauseen 3.9 nojalla funktiolla f ei voi olla raja-arvoa pisteessä x = 0. Määritelmä 3.2. Funktio f on välillä I ylhäältä rajoitettu, jos on olemassa sellainen M R, että f(x) M kaikilla x I. Vastaavasti f on välillä I alhaalta rajoitettu, jos on olemassa sellainen m R, että f(x) m kaikilla x I. Jos funktio f on sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettu välillä I, sanotaan funktion olevan rajoitettu välillä I. Huomautus. Funktio f on ylhäältä (alhaalta) rajoitettu välillä I täsmälleen silloin, kun joukko {f(x) x I} on ylhäältä (alhaalta) rajoitettu. Lause 3.0. Jos raja-arvo x a f(x) on olemassa, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f on rajoitettu puhkaistussa ympäristössä U δ(a). Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. vastaava lukujonoja koskeva lause). Lause 3.. Olkoon f(x) = A. Jos A > 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, x a että f(x) > 0 x U δ(a), ja jos A < 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) < 0 x U δ(a). 67

72 Todistus. Todistetaan tapaus A > 0 (tapaus A < 0 vastaavasti). Merkitään K = A 2. Koska K > 0, niin funktion raja-arvon määritelmän nojalla (huomautus 3.2, s. 6) on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) U K (A) x U δ(a). Siis f(x) > A K = A A 2 = A 2 > 0 x U δ(a). Seuraus 3.2. Olkoon x a f(x) = A. Jos A 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) A x U 2 δ(a). Todistus. Harjoitustehtävä. Seuraavaa lausetta käyttäen voidaan monet lukujonojen raja-arvoja koskevat tulokset muuttaa vastaaviksi funktion raja-arvoja koskeviksi tuloksiksi. Lauseessa oletetaan tietysti, että lukujonon (x n ) termit kuuluvat funktion f määrittelyalueeseen. Muutenhan ei voitaisi puhua funktion arvosta pisteessä x n. Lause 3.3 (Lukujonon ja funktion raja-arvojen välinen yhteys). Funktiolla f on pisteessä a raja-arvo f(x) = A, x a jos ja vain jos f(x n) = A n aina, kun (x n ) on sellainen lukujono, että x n a kaikilla n Z + ja n x n = a. Todistus. Oletetaan ensin, että f(x) = A ja (x n ) on sellainen lukujono, että x a x n a kaikilla n Z + ja n x n = a. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Koska f(x) = A, niin funktion raja-arvon määritelmän (huomautus 3.2, s. 6) nojalla x a on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) A < ε x U δ(a). 68

73 Toisaalta n x n = a ja x n a, joten lukujonon raja-arvon määritelmän (huomautus 2.3, s. 25) nojalla on olemassa sellainen n δ Z +, että x n U δ(a) n > n δ. Siis f(x n ) A < ε n > n δ, joten lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla Oletetaan sitten, että f(x n) = A. n f(x n) = A n aina, kun (x n ) on sellainen lukujono, että x n a kaikilla n Z + ja n x n = a. Tehdään vastaoletus, että funktiolla f ei ole pisteessä a raja-arvoa tai Tällöin on olemassa sellainen ε > 0, että f(x) A. x a δ > 0: x U δ(a) s.e. f(x) / U ε (A). Valitaan nyt luvun δ arvoja /n (n =, 2,...) vastaavat luvut x n U /n(a), joille f(x n ) / U ε (A). Tällöin x n a ja x n ]a n, a + n [ n Z +. Täten lukujonojen suppiloperiaatteen nojalla n x n = a ja edelleen oletuksen nojalla n f(x n) = A. Kuitenkin f(x n ) / U ε (A) kaikilla n Z +, joten f(x n) A, n jos raja-arvo ylipäätään on olemassa. Siis seuraa ristiriita. Huomautus. Lauseessa 3.3 edellytetään x n a, koska funktiota f ei välttämättä ole määritelty pisteessä a. 69

74 Esimerkkinä lauseen 3.3 käytöstä tarkastellaan funktion raja-arvon laskusääntöjä. Lause 3.4. Olkoon x a f(x) = A ja x a g(x) = B. Tällöin (i) x a (f(x) + g(x)) = A + B, (ii) x a (f(x) g(x)) = A B, (iii) x a (f(x) g(x)) = AB, (iv) x a (k f(x)) = ka (k R), f(x) (v) x a g(x) = A, jos B 0. B Todistus. Todistetaan kohta (i). Kohdat (ii) (v) voidaan todistaa vastaavalla tavalla (harjoitustehtävä). Olkoon siis f(x) = A ja g(x) = B. x a x a Valitaan jokin sellainen lukujono (x n ), että Tällöin lauseen 3.3 nojalla myös joten lauseen 2.3 (s. 32) nojalla x n = a ja x n a n Z +. x f(x n) = A ja n n g(x n ) = B, Siis lauseen 3.3 nojalla (f(x n) + g(x n )) = A + B. n (f(x) + g(x)) = A + B. x a Esimerkki 3.. Esimerkin 3.5 (s. 62) perusteella x = x 0, x x 0 joten lauseen 3.4 nojalla x n = x n x x 0 0 kaikilla x 0 R ja kaikilla n Z +. Tällaisia lukujonoja on olemassa, esimerkiksi x n = a + /n. 70

75 Esimerkki 3.2. Jos p(x) on polynomi a n x n + + a x + a 0, niin esimerkeistä 3.4 (s. 62) ja 3. seuraa lauseen 3.4 perusteella, että kaikilla x 0 R. p(x) = p(x 0 ) x x 0 Esimerkki 3.3. Olkoon f(x) = x2 + x 2 x 2 + 2x 3 Esimerkin 3.2 ja lauseen 3.4 perusteella (x 3, ). f(x) = x2 + x 2 x 2 + 2x 3 (x )(x + 2) = (x )(x + 3) = x + 2 x = 3, kun x. 4 Suppiloperiaate on voimassa myös funktioiden raja-arvoille. Lause 3.5. Olkoon f(x) = g(x) = A. Jos on olemassa sellainen δ > 0, x a x a että f(x) h(x) g(x) x U δ(a), niin h(x) = A. x a Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. vastaava lukujonoja koskeva lause). Esimerkki 3.4. Osoitetaan, että x 0 sin x x =. Palautetaan ensin mieleen trigonometriasta kaava (3.4) sin x x tan x x ] π 2, π 2 [. Osoitetaan sitten aputuloksena, että cos x sin x x x U π (0). 2 Oletetaan siis, että x ] π, π [ ja x 0. Tällöin cos x > 0. Lisäksi ehdon (3.4) 2 2 nojalla x tan x, joten sin x x cos x. 7

76 Siis cos x sin x x sin x = x. Toisaalta ehdon (3.4) nojalla sin x x, joten nyt sin x x ja edelleen sin x cos x. x Koska tarkasteltavassa alueessa cos x > 0 ja sin x sekä x ovat molemmat yhtäaikaisesti joko positiivisia tai negatiivisia, niin cos x sin x x x U π (0). 2 Koska vakiofunktion raja-arvo on kyseinen vakio (esimerkki 3.4, s. 62) ja esimerkin 3.9 (s. 64) perusteella cos x = cos 0 =, x 0 niin suppiloperiaatteen (lause 3.5) nojalla x 0 sin x x =. Esimerkki 3.5. Lauseen 3.4 sekä esimerkkien 3.4 (s. 62), 3.9 (s. 64) ja 3.4 perusteella x 0 tan x x = x 0 sin x x cos x = x 0 sin x x cos x = =. x 0 Tarkastellaan vielä yhdistetyn funktion raja-arvoa. Lause 3.6. Olkoon g(y) = g(b) = A ja f(x) = b. y b x a Tällöin (g f)(x) = g(f(x)) = A. x a x a 72

77 Todistus. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Koska g(y) = g(b) = A, y b niin funktion raja-arvon määritelmän nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että g(y) A < ε aina, kun 0 y b < δ. Koska f(x) = b, x a on lisäksi olemassa sellainen δ 2 > 0, että Siis f(x) b < δ aina, kun 0 < x a < δ 2. (g f)(x) A = g(f(x)) A < ε aina, kun 0 < x a < δ 2, joten funktion raja-arvon määritelmän perusteella (g f)(x) = g(f(x)) = A. x a x a Huomautus. Yhdistetyn funktion g f raja-arvon olemassaoloon ei riitä pelkästään funktioiden f ja g raja-arvojen olemassaolo, sillä on mahdollista, että jokaisessa pisteen a puhkaistussa ympäristössä on piste x, jolle f(x) = b (ja piste x, jolle f(x ) b). Lauseessa 3.6 asia on ratkaistu olettamalla, että funktio g on määritelty pisteessä b ja g(b) = A. Toinen mahdollisuus on olettaa, että f(x) b jossakin pisteen a puhkaistussa ympäristössä. Tällöin ei tarvitse olettaa, että g on määritelty pisteessä b. Lause 3.7. Olkoon g(y) = A ja f(x) = b. y b x a Oletetaan lisäksi, että on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) b x U δ(a). Tällöin (g f)(x) = g(f(x)) = A. x a x a Todistus. Harjoitustehtävä. Luvun 4 termejä käyttäen funktio g on jatkuva pisteessä b. 73

78 Ennen esimerkkejä 3.6 ja 3.7 palautetaan mieleen komplementtikulman sinin ja kosinin kaavat (3.5) sin( π 2 x) = cos x ja cos( π 2 x) = sin x kaikilla x R. Esimerkki 3.6. Osoitetaan yhdistetyn funktion raja-arvoa käyttämällä, että kaikilla a R (vrt. esimerkki 3.9, s. 64). Esimerkin 3.9 (s. 64) nojalla cos x = cos a x a sin y = sin b y b kaikilla b R, ja esimerkin 3.2 (s. 7) perusteella x a ( π 2 x) = π 2 a kaikilla a R. Täten ehdon (3.5) ja lauseen 3.6 nojalla kaikilla a R. cos x = sin( π x) = sin( π a) = cos a x a x a 2 2 Esimerkki 3.7. Määritetään x π 2 x π 2 cos x käyttämällä yhdistetyn funktion raja-arvoa ja sopivia trigonometrisia kaavoja. Funktion raja-arvon laskusääntöjen (lause 3.4, s. 70) ja esimerkin 3.4 (s. 7) perusteella y 0 ja esimerkin 3.2 (s. 7) perusteella y sin y =, ( π x) = 0. x π 2 2 Lisäksi π x 0 x 2 U π ( π). 2 2 Täten ehdon (3.5) ja lauseen 3.7 nojalla x π 2 x π 2 cos x = x π 2 π 2 x cos( π ( π 2 2 x)) = x π 2 π 2 x sin( π =. x) 2 74

79 Esimerkki 3.8. Tutkitaan yhdistetyn funktion g f raja-arvon olemassaoloa pisteessä x =, kun x +, kun x <, f(x) = 2, kun x, ja 4, kun y 2, g(y) = 0, kun y = 2. Helposti havaitaan (harjoitustehtävä), että x f(x) = 2 ja g(y) = 4. y 2 Jokaisessa pisteen puhkaistussa ympäristössä on nyt pisteen vasemmalla puolella piste x, jolle f(x ) 2, ja pisteen oikealla puolella piste x 2, jolle f(x 2 ) = 2. Täten jokaisessa pisteen puhkaistussa ympäristössä on piste x, jolle (g f)(x ) = 4, ja piste x 2, jolle (g f)(x 2 ) = 0. Siis yhdistetyllä funktiolla g f ei ole raja-arvoa pisteessä x = (lause 3.9, s. 66). Jos funktion g sijasta tarkastellaan funktiota h(y) = 4 y R, niin Tällöin lauseen 3.6 nojalla h(y) = h(2) = 4. y 2 (h f)(x) = h(f(x)) = 4. x x 75

80 3.3 Toispuoleiset raja-arvot Olkoon I jokin avoin väli ja a I. Joskus on hyödyllistä tarkastella funktion f raja-arvoa pisteessä a jossakin joukossa S I. Tällöin riittää olettaa, että f on määritelty joukossa S, ja tarkasteluun otetaan mukaan vain funktion f arvot joukossa S. Raja-arvon määrittely on tietysti mahdollista vain, jos joukossa S on ääretön määrä pisteitä, jotka ovat mielivaltaisen lähellä pistettä a (eli on olemassa sellainen jono (x n ), että x n S kaikilla n Z + ja x n a, kun n ). Määritelmä 3.3. Funktiolla f on pisteessä a raja-arvo A joukossa S, jos jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) A < ε aina, kun x S ja 0 < x a < δ. Tällöin merkitään f(x) = A. x a, x S Tärkeät erikoistapaukset raja-arvoista jossakin joukossa ovat toispuoleiset rajaarvot. Tällöin oletetaan, että f on määritelty jollakin avoimella välillä ]a, d[ (oikeanpuoleinen raja-arvo, a < d) tai ]c, a[ (vasemmanpuoleinen raja-arvo, c < a). Määritelmä 3.4. Funktiolla f on pisteessä a oikeanpuoleinen raja-arvo A, jos jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että Tällöin merkitään f(x) = A. x a+ f(x) A < ε aina, kun a < x < a + δ. Määritelmä 3.5. Funktiolla f on pisteessä a vasemmanpuoleinen raja-arvo A, jos jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että Tällöin merkitään f(x) = A. x a Huomautus. Siis f(x) A < ε aina, kun a δ < x < a. f(x) = A ε > 0: δ > 0: f(x) A < ε aina, kun a < x < a + δ, x a+ f(x) = A ε > 0: δ > 0: f(x) A < ε aina, kun a δ < x < a. x a 76

81 Huomautus 3.8. Määritelmistä 3.4 ja 3.5 seuraa suoraan (täsmällinen todistus jätetään harjoitustehtäväksi), että f(x) = x a+ f(a + h) = h 0+ f(a h) h 0 ja f(x) = x a f(a h) = h 0+ f(a + h). h 0 Esimerkki 3.9. Osoitetaan, että x = 0. x 0+ Valitaan mielivaltainen ε > 0. Merkitään δ = ε 2, ja oletetaan, että 0 < x < 0 + δ = δ. Tällöin x < ε, joten x 0 = x < ε. Tulos seuraa nyt suoraan oikeanpuoleisen raja-arvon määritelmästä. Esimerkki Olkoon f(x) = 2( + x)( x ) x (x ). Osoitetaan, että f(x) = 4. x Valitaan mielivaltainen ε > 0. Oletetaan, että 0 < x <. Tällöin Siis f(x) = 2( + x)( x) x = 2 + 2x. f(x) 4 = (2 + 2x) 4 = 2x 2 = 2( x) < ε, kun x > ε. Jos siis valitaan δ = min{, ε } ja oletetaan, että δ < x <, niin 2 2 f(x) 4 < ε. Tulos seuraa nyt vasemmanpuoleisen raja-arvon määritelmästä. 77

82 Lause 3.9. Funktiolla f on raja-arvo, jos ja vain jos sillä on samat toispuoleiset raja-arvot. Toisin sanoen f(x) = A f(x) = f(x) = A. x a x a+ x a Todistus. Suunta on ilmeinen raja-arvon määritelmän perusteella. Tarkastellaan suuntaa. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Jos f(x) = A ja f(x) = A, x a+ x a niin toispuoleisten raja-arvojen määritelmien nojalla δ > 0: f(x) A < ε, kun a < x < a + δ, δ 2 > 0: f(x) A < ε, kun a δ 2 < x < a. Merkitään δ = min {δ, δ 2 }, ja valitaan sellainen x, että 0 < x a < δ. Jos x > a, niin a < x < a + δ a + δ, ja jos a < x, niin Kummassakin tapauksessa a δ 2 a δ < x < a. f(x) A < ε, joten funktion raja-arvon määritelmän perusteella x a = A. Huomautus. Lause 3.9 pitää sisällään myös kyseisten raja-arvojen olemassaolon. Huomautus. Toispuoleisten raja-arvojen määritelmistä seuraa suoraan, että luvussa 3.2 esitetyt tulokset ovat soveltuvin osin voimassa myös toispuoleisille rajaarvoille. Esimerkki 3.2. Olkoon Tällöin joten (vrt. esimerkki 3.4, s. 62) f(x) = x x (x 0). f(x) = x > 0 ja f(x) = x < 0, f(x) = ja f(x) =. x 0+ x 0 Siis lauseen 3.9 nojalla funktiolla f ei ole raja-arvoa pisteessä x = 0. 78

83 Kuva 3.3: Lattiafunktion f(x) = x kuvaaja välillä [ 3, 4[. Esimerkki Tarkastellaan lattiafunktiota f : R Z, Jos nyt m Z, niin f(x) = x = suurin kokonaisluku, joka on x. f(x) = m x ]m, m[ ja f(x) = m x ]m, m + [, joten (vrt. esimerkki 3.4, s. 62) x = m ja x = m. x m x m+ Siis lauseen 3.9 nojalla funktiolla f ei ole raja-arvoa pisteessä x = m (m Z). Esimerkki Olkoon f(x) = ( x )2 x (x ). Määritetään toispuoleisia raja-arvoja tarkastelemalla x f(x). Olkoon x >. Tällöin f(x) = ( x)2 x = ( x) = x, joten (vrt. esimerkki 3.2, s. 7) f(x) = 0. x + 79

84 2 Olkoon 0 < x <. Tällöin f(x) = joten (vrt. esimerkki 3.2, s. 7) ( x)2 x = x, f(x) = 0. x Kohdista ja 2 seuraa lauseen 3.9 perusteella, että f(x) = 0. x 80

85 3.4 Monotoniset funktiot Monotonisten lukujonojen lisäksi voidaan tutkia myös monotonisia funktioita. Funktioiden monotonisuutta tarkastellaan aina jollakin tietyllä välillä. Määritelmä 3.6. Olkoon I jokin reaalilukuväli ja f jokin tällä välillä määritelty funktio. Tällöin f on kasvava välillä I, jos x, x 2 I : x < x 2 f(x ) f(x 2 ), f on aidosti kasvava välillä I, jos x, x 2 I : x < x 2 f(x ) < f(x 2 ), f on vähenevä välillä I, jos x, x 2 I : x < x 2 f(x ) f(x 2 ), f on aidosti vähenevä välillä I, jos x, x 2 I : x < x 2 f(x ) > f(x 2 ). Välillä I kasvavia, aidosti kasvavia, väheneviä tai aidosti väheneviä funktioita kutsutaan välillä I monotonisiksi funktioiksi. Lause Olkoon f välillä ]a, b[ kasvava funktio. Jos f on välillä ]a, b[ ylhäältä rajoitettu, niin f(x) on äärellisenä olemassa, ja jos f on välillä ]a, b[ alhaalta x b rajoitettu, niin f(x) on äärellisenä olemassa. x a+ Todistus. Todistetaan tapaus x b f(x). Tapaus x a+ f(x) todistetaan vastaavasti (harjoitustehtävä). Olkoon siis funktio f välillä ]a, b[ kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Koska f on välillä ]a, b[ ylhäältä rajoitettu, on olemassa sup {f(x) x ]a, b[ } = G (merk.). Osoitetaan, että f(x) = G. x b Valitaan mielivaltainen ε > 0. Koska G on supremum, niin lauseen.7 (s. 9) nojalla on olemassa sellainen x ε ]a, b[, että Lisäksi f on välillä ]a, b[ kasvava, joten G ε < f(x ε ) G. f(x ε ) f(x) G aina, kun x ε x < b. Merkitään δ = b x ε (> 0), ja oletetaan, että b δ < x < b. Tällöin x ε = b δ < x < b, 8

86 joten ja edelleen Siis G ε < f(x) G 0 G f(x) < ε. G f(x) < ε, joten vasemmanpuoleisen raja-arvon määritelmän (s. 76) nojalla f(x) = G. x b Lause 3.2. Olkoon f välillä ]a, b[ vähenevä funktio. Jos f on välillä ]a, b[ alhaalta rajoitettu, niin f(x) on äärellisenä olemassa, ja jos f on välillä ]a, b[ ylhäältä x b rajoitettu, niin f(x) on äärellisenä olemassa. x a+ Todistus. Harjoitustehtävä (vrt. lauseen 3.20 todistus). Seuraus Välillä ]a, b[ monotonisella ja rajoitetulla funktiolla on jokaisessa välin pisteessä oikean- ja vasemmanpuoleinen raja-arvo. Todistus. Olkoon x ]a, b[. Sovelletaan lauseita 3.20 ja 3.2 väliin ]a, x[ (vasemmanpuoleinen raja-arvo) ja väliin ]x, b[ (oikeanpuoleinen raja-arvo). Huomautus. Välillä ]a, b[ monotonisella ja rajoitetulla funktiolla on jokaisessa välin ]a, b[ pisteessä oikean- ja vasemmanpuoleinen raja-arvo sekä lisäksi oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä a ja vasemmanpuoleinen raja-arvo pisteessä b. 82

87 3.5 Raja-arvokäsitteen laajentaminen Tähän asti funktion raja-arvotarkasteluissa on vaadittu, että rajapiste a on (äärellinen) reaaliluku. Joskus on tarpeen tarkastella funktion käyttäytymistä, kun funktion argumentti x kasvaa tai vähenee rajatta. Tällöin on tietysti oletettava, että funktio on määritelty jollakin välillä ]a, [ tai ], a[. Määritelmä 3.7. Luku A R on funktion f on raja-arvo äärettömyydessä, jos jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen M > 0, että f(x) A < ε aina, kun x > M. Tällöin merkitään f(x) = A. x Määritelmä 3.8. Luku A R on funktion f on raja-arvo negatiivisessa äärettömyydessä, jos jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen M > 0, että f(x) A < ε aina, kun x < M. Tällöin merkitään Huomautus. Siis f(x) = A. x f(x) = A ε > 0: M > 0: f(x) A < ε aina, kun x > M, x f(x) = A ε > 0: M > 0: f(x) A < ε aina, kun x < M. x Esimerkki Osoitetaan, että x x + x =. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Oletetaan lisäksi, että x >. Tällöin x + x x x = = = + x + x + x ja + x < ε + x > ε x > ε. Siis x + x < ε aina, kun x > M = max joten tulos seuraa määritelmästä {, ε },

88 Joskus on käytännöllistä laajentaa merkinnällisesti funktion raja-arvo tapauksiin, joissa funktion arvo kasvaa tai vähenee rajatta. Määritelmä 3.9. Jos jokaista lukua M > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) > M aina, kun 0 < x a < δ, voidaan merkitä f(x) =. x a Määritelmä 3.0. Jos jokaista lukua M > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) < M aina, kun 0 < x a < δ, voidaan merkitä Huomautus. Siis f(x) =. x a f(x) = M > 0: δ > 0: f(x) > M aina, kun 0 < x a < δ, x a f(x) = M > 0: δ > 0: f(x) < M aina, kun 0 < x a < δ. x a Esimerkki Osoitetaan, että x 2x ( x) 2 =. Valitaan mielivaltainen M > 0. Olkoon lisäksi 0 < x < 4, jolloin x > 3 4 ja x. Tällöin 2x > 3 ja 2x < 2 2. Lisäksi ( x) > 0, 2 joten ( 2x) ( x) < 2 2 ( x) < M, 2 kun 2M > ( x)2 eli x <. 2M Siis 2x ( x) < M aina, kun 0 < x < δ = min {, } 2 4 2M, joten tulos seuraa määritelmästä

89 Huomautus Raja-arvo voidaan vastaavalla tavalla laajentaa merkinnällisesti (harjoitustehtävä) myös funktion toispuolisiin raja-arvoihin f(x) = ± ja f(x) = ±. x a+ x a Huomautus Edellä esitettyjä määritelmiä ja merkintöjä voidaan myös yhdistää. Esimerkiksi f(x) = M > 0: M > 0: f(x) > M aina, kun x > M, x f(x) = M > 0: M > 0: f(x) < M aina, kun x > M, x f(x) = M > 0: M > 0: f(x) > M aina, kun x < M, x f(x) = M > 0: M > 0: f(x) < M aina, kun x < M. x Esimerkki Selvästi x = ja x =, x x sillä tarvittavaksi rajaluvuksi M voidaan valita luku M. Lause Jos vastaavat raja-arvot ovat olemassa (äärellisenä tai äärettömänä), niin f(x) = f( ) ja f(x) = f( ). x x 0+ x x x 0 x Todistus. Todistetaan tapaus, jossa x ja raja-arvo on äärellinen. Muut tapaukset todistetaan vastaavasti (harjoitustehtävä). Oletetaan ensin, että f(x) = A x (A R). Valitaan mielivaltainen ε > 0. Tällöin määritelmän 3.7 nojalla on olemassa sellainen M > 0, että f(x) A < ε aina, kun x > M. Merkitään δ = M (> 0), ja oletetaan, että 0 < x < δ. Tällöin x > δ = M, joten f( x ) A < ε aina, kun 0 < x < δ. 85

90 Siis oikeanpuoleisen raja-arvon määritelmän (s. 76) nojalla Oletetaan sitten, että x 0+ f( x ) = A. f( ) = A x 0+ x (A R). Valitaan mielivaltainen ε > 0. Tällöin oikeanpuoleisen raja-arvon määritelmän (s. 76) nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että f( x ) A < ε aina, kun 0 < x < δ. Merkitään M = δ (> 0), ja oletetaan, että x > M. Tällöin 0 < x < M = δ, joten f(x) A = f( /x ) A < ε aina, kun x > M. Siis määritelmän 3.7 nojalla f(x) = A. x Esimerkki Lauseen 3.25 ja esimerkin 3.26 perusteella x 0+ x = ja x 0 x =. Esimerkki Koska x 0 x = 0, niin lauseen 3.25 nojalla x x = x 0+ /x = x 0+ x = 0 ja x x = x 0 /x = x 0 x = 0. Esimerkki Lauseen 3.25 ja esimerkin 3.4 (s. 7) sekä lauseen 3.9 (s. 78) perusteella x sin x x = x 0+ x sin /x = sin x x 0+ x =. 86

91 Esitetään seuraavaksi tulos, joka on joskus hyödyllinen määritettäessä lukujonojen raja-arvoja. Lause Jos funktiolla f on (äärellisenä tai äärettömänä) raja-arvo f(x) = A x (x R), niin myös f(n) = A (n Z +). n Todistus. Todistetaan tapaus, jossa raja-arvo A on äärellinen. Muut tapaukset todistetaan vastaavasti (harjoitustehtävä). Oletetaan siis, että f(x) = A x (x, A R). Tällöin määritelmän 3.7 nojalla ε > 0: M > 0: f(x) A < ε aina, kun x R ja x > M. Valitsemalla esimerkiksi M = M havaitaan, että ε > 0: M Z + : f(n) A < ε aina, kun n Z + ja n > M, joten lukujonon raja-arvon määritelmän nojalla f(n) = A. n Esimerkki Lauseen 3.26 ja esimerkin 3.29 perusteella n sin n n =. Huomautus. Lause 3.26 ei ole kääntäen voimassa. Jos esimerkiksi f(x) = cos(2πx) kaikilla x R, niin cos(2πn) = n = (n Z +), n mutta raja-arvo x cos(2πx) ei ole olemassa (harjoitustehtävä). Huomautus. Funktion raja-arvon laskusäännöt ja muut funktion raja-arvoa koskevat tulokset ovat soveltuvin osin voimassa myös, kun funktion argumentti tai arvo kasvaa tai vähenee rajatta (harjoitustehtävä). 87

92 Esimerkiksi lausetta 3.20 (s. 8) vastaava tulos saa alla olevan muodon, kun funktion argumentti kasvaa tai vähenee rajatta. Lause Olkoon f : R R kasvava funktio. Jos f on (joukossa R) ylhäältä rajoitettu, niin f(x) on äärellisenä olemassa, ja jos f on (joukossa R) alhaalta x rajoitettu, niin x Todistus. Harjoitustehtävä. f(x) on äärellisenä olemassa. Raja-arvon olemassaolon kannalta merkitystä on yllä vain itseisarvoltaan hyvin suurilla argumentin arvoilla. Lauseen käyttökelpoisuuden kannalta on usein järkevää jakaa tarkastelu kahteen osaan. Seuraus Jos on olemassa sellainen a R, että funktio f(x) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu välillä [a, [, niin x f(x) on äärellisenä olemassa, ja jos on olemassa sellainen b R, että f(x) on kasvava ja alhaalta rajoitettu välillä ], b], niin x f(x) on äärellisenä olemassa. Todistus. Harjoitustehtävä. 88

93 4 Funktion jatkuvuus 4. Määritelmä ja perustuloksia Määritelmä 4.. Olkoon funktio f määritelty jossakin pisteen a ympäristössä (piste a mukaan luettuna). Tällöin f on jatkuva pisteessä a, jos jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) f(a) < ε aina, kun x a < δ, eli jos f(x) = f(a). x a Huomautus 4.. Ehto funktion f jatkuvuudelle pisteessä a voidaan ilmoittaa myös muodossa (vrt. huomautus 3.2, s. 6) ε > 0: δ > 0: f(x) f(a) < ε aina, kun x U δ (a), tai tai ε > 0: δ > 0: f(x) U ε (f(a)) aina, kun x a < δ, ε > 0: δ > 0: f(x) U ε (f(a)) aina, kun x U δ (a). Määritelmä 4.2. Funktio f on vasemmalta jatkuva pisteessä a, jos jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että eli jos f(x) f(a) < ε aina, kun a δ < x a, f(x) = f(a), x a ja oikealta jatkuva pisteessä a, jos jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) f(a) < ε aina, kun a x < a + δ, eli jos f(x) = f(a). x a+ Huomautus 4.2. Lauseen 3.9 (s. 78) sekä määritelmien 4. ja 4.2 nojalla f on jatkuva pisteessä a silloin ja vain silloin, kun f on sekä vasemmalta että oikealta jatkuva pisteessä a. 89

94 Huomautus 4.3. Määritelmistä 4. ja 4.2 sekä huomautuksista 3.6 (s. 62) ja 3.8 (s. 77) seuraa suoraan, että funktio f on jatkuva pisteessä a täsmälleen silloin, kun f(a + h) = f(a), h 0 funktio f on oikealta jatkuva pisteessä a täsmälleen silloin, kun f(a + h) = f(a), h 0+ ja funktio f on vasemmalta jatkuva pisteessä a täsmälleen silloin, kun f(a + h) = f(a). h 0 Määritelmä 4.3. Funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[, jos f on jatkuva jokaisessa välin pisteessä. Määritelmä 4.4. Funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], jos f on jatkuva välillä ]a, b[ sekä oikealta jatkuva pisteessä a ja vasemmalta jatkuva pisteessä b. Määritelmä 4.5. Funktio f on jatkuva välillä [a, b[, jos f on jatkuva välillä ]a, b[ sekä oikealta jatkuva pisteessä a, ja f on jatkuva välillä ]a, b], jos f on jatkuva välillä ]a, b[ sekä vasemmalta jatkuva pisteessä b. Jatkuvuuden määritelmän ja luvun 3 esimerkkien perusteella saadaan suoraan seuraavat tulokset. Esimerkki 4.. Polynomifunktio p(x) = a n x n + +a x+a 0 on jatkuva jokaisella reaalilukuvälillä, sillä esimerkin 3.2 (s. 7) perusteella kaikilla x 0 R. x x 0 p(x) = p(x 0 ) Esimerkki 4.2. Esimerkin 3.9 (s. 64) nojalla sin x = sin a ja cos x = cos a x a x a kaikilla a R, joten sin x ja cos x ovat jatkuvia kaikilla reaalilukuväleillä. Esimerkki 4.3. Esimerkkien 3.8 (s. 64) ja 3.9 (s. 77) perusteella x = a (a > 0) ja x = 0. x a x 0+ Siis x on jatkuva välillä [0, [. 90

95 Esimerkki 4.4. Osoitetaan, että Dirichlet n funktio, kun x Q, f(x) = 0, kun x R \ Q, ei ole jatkuva missään joukon R pisteessä. Olkoon siis a R. Valitaan ε =. Olkoon δ > 0. Koska väli ]a δ, a+δ[ sisältää 2 sekä rationaali- että irrationaalilukuja (seuraus.2, s. 22), on olemassa sellainen x ]a δ, a + δ[, että x R \ Q, jos a Q, ja x Q, jos a R \ Q. Siis Siis ehto f(x ) f(a) = > 2 = ε. f(x) f(a) < ε aina, kun x a < δ, ei ole voimassa millään luvun δ > 0 arvolla (kun ε = ). Täten f ei ole jatkuva 2 pisteessä a (eikä siis missään joukon R pisteessä). Esimerkki 4.5. Thomaen funktio 0, kun x R \ Q, f(x) =, kun x = 0, q, kun x Q ja x = p q (p 0, q > 0) on supistetussa muodossa, on jatkuva kaikilla x R \ Q ja epäjatkuva kaikilla x Q (harjoitustehtävä). /2 /3 /5 /8 /20 /4 /2 3/4 Kuva 4.: Thomaen funktion arvot q (q =, 2,..., 20) välillä ]0, [. Funktiota kutsutaan myös popcorn-, sadepisara- tai viivotinfunktioksi. 9

96 Seuraavassa esimerkissä voitaisiin hyödyntää myös tietoa, että funktio on rajoitettu pisteen a jossakin (mahdollisesti puhkaistussa) ympäristössä, jos funktiolla on raja-arvo pisteessä a (lause 3.0, s. 67) tai funktio on jatkuva pisteessä a (lause 4.6, s. 99). Ratkaistaan tehtävä esimerkin vuoksi nyt kuitenkin käyttämällä suoraan jatkuvuuden määritelmää. Esimerkki 4.6. Olkoon f sellainen pisteessä x = 0 jatkuva funktio, että f(x) x x 0. Osoitetaan, että f on rajoitettu joukossa R. Koska f on jatkuva pisteessä x = 0, niin jatkuvuuden määritelmän nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että Jos siis x < δ, niin f(x) f(0) < aina, kun x 0 < δ. f(x) = f(0) + f(x) f(0) f(0) + f(x) f(0) < f(0) +. Jos taas x δ, niin Siis f(x) x δ. f(x) M = max{ f(0) +, } x R. δ Huomautus 4.4. Funktio f on epäjatkuva pisteessä a täsmälleen silloin, kun (i) raja-arvo x a f(x) ei ole (äärellisenä) olemassa, tai (ii) raja-arvo x a f(x) = A on olemassa, mutta f(a) A tai f(a) ei ole määritelty. Esimerkki 4.7. Olkoon sin, kun x 0, f(x) = x 0, kun x = 0. Tällöin f(x) on jatkuva, kun x 0 (ks. esimerkki 4.4, s. 97). Sen sijaan f(x) ei ole jatkuva pisteessä x = 0, sillä esimerkin 3.0 (s. 66) mukaan raja-arvo f(x) x 0 ei ole olemassa (ks. myös kuva 3.2, s. 66). 92

97 Esimerkki 4.8. Funktio, kun x = 0, f(x) = 0, kun x 0, ei ole jatkuva pisteessä x = 0, sillä f(x) = 0 = f(0). x 0 Huomautus. Jos funktio f ei ole määritelty pisteessä a, mutta raja-arvo f(x) = A x a on äärellisenä olemassa, niin funktiolla f on pisteessä a epäoleellinen (tai näennäinen) epäjatkuvuuskohta. Muussa tapauksessa epäjatkuvuuskohta on oleellinen. Epäoleellisessa epäjatkuvuuskohdassa a funktio f saadaan jatkuvaksi asettamalla lisämääritelmä f(a) = A. Oleellisessa epäjatkuvuuskohdassa tämä ei ole mahdollista, vaan funktion raja-arvoa ei ole (äärellisenä) olemassa tai funktio on määritelty, mutta f(a) A. Esimerkki 4.9. Funktio f(x) = sin x x ei ole jatkuva pisteessä x = 0, sillä f ei ole määritelty pisteessä x = 0. Funktion f epäjatkuvuuskohta pisteessä x = 0 on epäoleellinen, sillä esimerkin 3.4 (s. 7) nojalla sin x x 0 x =. Jos nyt määritellään sin x, kun x 0, g(x) = x, kun x = 0, niin funktio g on jatkuva pisteessä x = 0. Lause 4.5. Jos funktio f on jatkuva pisteessä a, myös funktio f on jatkuva pisteessä a. Todistus. Käänteisen kolmioepäyhtälön (seuraus.9, s. 2) nojalla f(x) f(a) f(x) f(a) kaikilla x, a R, joten väite seuraa suoraan jatkuvuuden määritelmästä. 93

98 Huomautus. Lause 4.5 ei ole kääntäen voimassa. Jos esimerkiksi, kun x 0, f(x) =, kun x < 0, niin f on jatkuva kaikilla x R, mutta f on epäjatkuva pisteessä x = 0 (harjoitustehtävä). 94

99 4.2 Jatkuvia funktioita koskevia tuloksia Seuraavaksi esitetään muutamia jatkuvia funktioita koskevia tuloksia. Tulokset pätevät asianmukaisesti muunnettuina myös vain oikealta tai vasemmalta jatkuville funktioille. Useassa kohden asiasta on myös erillinen huomautus. Lause 4.6. Olkoot f ja g pisteessä a jatkuvia funktioita. Tällöin myös funktiot f + g, f g, fg, kf (k R) ja f g (kun g(a) 0) ovat jatkuvia pisteessä a. Todistus. Tulokset seuraavat suoraan vastaavasta funktioiden raja-arvoa koskevasta lauseesta 3.4 (s. 70). Huomautus 4.7. Olkoot f ja g välillä I jatkuvia funktioita. Tällöin myös funktiot f + g, f g, fg, kf (k R) ja f g (kun g(x) 0 x I) ovat jatkuvia välillä I (harjoitustehtävä). Esimerkki 4.0. Polynomifunktio on jatkuva kaikilla x R (esimerkki 4., s. 90), joten rationaalifunktio r(x) = p(x) q(x) (p(x), q(x) ovat polynomifunktioita) on lauseen 4.6 perusteella jatkuva kaikilla x R lukuun ottamatta pisteitä, joissa q(x) = 0. Esimerkki 4.. Vakiofunktio (esimerkki 4., s. 90) ja cos x (esimerkki 4.2, s. 90) ovat jatkuvia kaikilla x R. Siis lauseen 4.6 nojalla funktio f(x) = 2 cos x on jatkuva kaikilla x R, joille 2 cos x eli x ± π 3 + k 2π (k Z). Huomautus 4.8. Jos funktio f on jatkuva ja funktio g on epäjatkuva pisteessä a, niin funktio f + g on epäjatkuva pisteessä a. 95

100 Huomautus. Jos funktiot f ja g ovat molemmat epäjatkuvia pisteessä a, niin funktio f + g saattaa silti olla jatkuva pisteessä a (ks. esimerkki 4.2). Esimerkki 4.2. Olkoon ja, kun x 0, f(x) = 0, kun x < 0,, kun x 0, g(x) = 0, kun x < 0. Toispuoleisia raja-arvoja tutkimalla havaitaan helposti, että f ja g ovat epäjatkuvia pisteessä x = 0. Kuitenkin (f + g)(x) = f(x) + g(x) = 0 x R, joka on vakiofunktiona jatkuva pisteessä x = 0. Huomautus 4.9. Jos f on sellainen pisteessä a jatkuva funktio, että f(a) 0, ja funktio g epäjatkuva pisteessä a, niin funktio f g on epäjatkuva pisteessä a. Huomautus. Jos f on sellainen pisteessä a jatkuva funktio, että f(a) = 0, ja funktio g on epäjatkuva pisteessä a, niin funktio f g saattaa olla jatkuva pisteessä a (ks. esimerkki 4.3). Esimerkki 4.3. Olkoon f(x) = x 2 kaikilla x R ja, kun x 0, g(x) = 0, kun x < 0. Tällöin x 2, kun x 0, (fg)(x) = 0, kun x < 0. Siis f on jatkuva pisteessä x = 0 ja g on epäjatkuva pisteessä x = 0, mutta fg on jatkuva pisteessä x = 0 (harjoitustehtävä). 96

101 Lause 4.0. Jos f on jatkuva pisteessä a ja g on jatkuva pisteessä f(a), niin g f on jatkuva pisteessä a. Todistus. Koska f on jatkuva pisteessä a, niin f(x) = f(a), x a ja koska g on jatkuva pisteessä f(a), niin Täten lauseen 3.6 (s. 72) nojalla g(y) = g(f(a)). y f(a) (g f)(x) = g(f(x)) = g(f(a)). x a x a Siis jatkuvuuden määritelmän nojalla g f on jatkuva pisteessä a. Huomautus 4.. Lause 4.0 pätee myös, kun ulkofunktio g on vain oikealta (tai vasemmalta) jatkuva (harjoitustehtävä). Tällöin on lisäksi oletettava, että jossakin pisteen a ympäristössä sisäfunktion f arvot ovat suurempia (tai pienempiä) tai yhtäsuuria kuin f(a). Huomautus 4.2. Lause 4.0 pätee myös, kun sisäfunktio f (ja mahdollisesti myös ulkofunktio g, ks. huomautus 4.) on vain oikealta (tai vasemmalta) jatkuva (harjoitustehtävä). Tällöin yhdistetty funktio g f on vastaavalla tavalla oikealta (tai vasemmalta) jatkuva. Esimerkki 4.4. Olkoon f(x) = x (x 0) ja g(x) = sin x. Tällöin f on jatkuva kaikilla x 0 (esimerkki 4.0, s. 95) ja g on jatkuva kaikilla x R (esimerkki 4.2, s. 90). Siis lauseen 4.0 nojalla (g f)(x) = g(f(x)) = sin x on jatkuva, kun x 0 (vrt. esimerkki 4.7, s. 92). 97

102 Lause 4.3. Jos funktio f on jatkuva pisteessä a ja n x n = a, niin f(x n) = f(a). n Todistus. Ks. lukujonon ja funktion raja-arvojen välinen yhteys (lause 3.3, s. 68). Lause 4.3 pätee myös, kun funktio on pelkästään oikealta tai vasemmalta jatkuva. Tällöin on kuitenkin lisäksi oletettava, että lukujonon arvot sijaitsevat jatkuvuuden kannalta sopivalla alueella. Huomautus 4.4. Jos funktio f on oikealta jatkuva pisteessä a ja n x n = a sekä on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n a kaikilla n > n 0, niin Todistus. Harjoitustehtävä. f(x n) = f(a). n Huomautus 4.5. Jos funktio f on vasemmalta jatkuva pisteessä a ja n x n = a sekä on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n a kaikilla n > n 0, niin Todistus. Harjoitustehtävä. f(x n) = f(a). n Esimerkki 4.5. Olkoon sin x, kun x 0, f(x) = x, kun x = 0, ja x n = n (x Z + ). Nyt f on jatkuva pisteessä x = 0 (esimerkki 4.9, s. 93) ja lauseen 4.3 nojalla n x n = 0, joten (vrt. esimerkki 3.30, s. 87). f( ) = f(0) eli n n n sin n n = 98

103 Funktion raja-arvoa koskevasta lauseesta 3.0 (s. 67) seuraa suoraan, että pisteessä a jatkuva funktio on rajoitettu pisteen a jossakin ympäristössä. Lause 4.6. Jos funktio f on jatkuva pisteessä a, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f on rajoitettu pisteen a ympäristössä U δ (a) eli välillä ]a δ, a + δ[. Lause 4.6 pätee myös, kun funktio on pelkästään oikealta tai vasemmalta jatkuva. Tällöin on tarkasteltava pisteen a ympäristön sijasta pelkästään pisteen a oikealla tai vasemmalla puolella olevaa aluetta. Huomautus 4.7. Jos funktio f on oikealta jatkuva pisteessä a, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f on rajoitettu välillä [a, a+δ [, ja jos funktio f on vasemmalta jatkuva pisteessä a, niin on olemassa sellainen δ 2 > 0, että että f on rajoitettu välillä ]a δ 2, a]. Todistus. Harjoitustehtävä. Lauseen 3. (s. 67) ja seurauksen 3.2 (s. 68) perusteella saadaan vastaavasti seuraavat tulokset. Lause 4.8. Jos funktio f on jatkuva pisteessä a ja f(a) > 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) > 0 x U δ (a). Lause 4.9. Jos funktio f on jatkuva pisteessä a ja f(a) > 0, niin on olemassa sellainen δ > 0 ja sellainen K > 0, että f(x) K x U δ (a). Lause Jos funktio f on jatkuva pisteessä a ja f(a) < 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) < 0 x U δ (a). Lause 4.2. Jos funktio f on jatkuva pisteessä a ja f(a) < 0, niin on olemassa sellainen δ > 0 ja sellainen K < 0, että f(x) K x U δ (a). 99

104 Huomautus Lauseet pätevät myös, kun funktio on pelkästään oikealta tai vasemmalta jatkuva (harjoitustehtävä). Tällöinkin on tarkasteltava pisteen a ympäristön sijasta pisteen a oikealla tai vasemmalla puolella olevaa aluetta. Jos esimerkiksi funktio f on vasemmalta jatkuva pisteessä a ja f(a) > 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) > 0 x ]a δ, a], ja jos f on oikealta jatkuva pisteessä a ja f(a) < 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) < 0 x [a, a + δ[. Esimerkki 4.6. Olkoot f : R R ja g : R R sellaisia jatkuvia funktioita, että f(x) = g(x) x Q. Osoitetaan, että tällöin f(x) = g(x) x R. Merkitään h(x) = f(x) g(x). Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen a R, että f(a) g(a) eli h(a) 0. Olkoon esimerkiksi h(a) > 0 (tapaus h(a) < 0 todistetaan vastaavasti). Koska h on lauseen 4.6 (s. 95) nojalla jatkuva pisteessä a, niin lauseen 4.8 nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että h(x) > 0 x U δ (a). Nyt ympäristöön U δ (a) (eli väliin ]a δ, a+δ[ ) kuuluu ainakin yksi rationaaliluku x r (seuraus.9, s. 22). Tällöin h(x r ) = f(x r ) g(x r ) = 0, missä on ristiriita. Siis väite on todistettu. 00

105 4.3 Suljetulla välillä jatkuvan funktion ominaisuuksia Luvussa 4.3 tullaan osoittamaan seuraavat kolme suljetulla välillä [a, b] jatkuvan funktion f ominaisuutta, jotka geometrisesti ajatellen ovat ilmeisiä.. Jos f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset, niin on olemassa sellainen c ]a, b[, että f(c) = 0 (lause 4.23). 2. Funktio f on rajoitettu välillä [a, b] (lause 4.25). 3. Funktio f saavuttaa joissakin välin [a, b] pisteissä suurimman ja pienimmän arvonsa (lause 4.26). Ominaisuuksia ei kuitenkaan pystytä täsmällisesti todistamaan käyttämättä täydellisyysaksioomaa tai siitä seuraavia lauseita. Lause 4.23 (Bolzanon lause). Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b]. Jos f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset, niin on olemassa sellainen c ]a, b[, että f(c) = 0. Todistus. Todistuksen yleispätevyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että f(a) < 0 ja f(b) > 0. Olkoon nyt E = {x [a, b] f(x) < 0}. Koska a E, niin E, ja koska E [a, b], niin E on ylhäältä rajoitettu. Siis joukolla E on pienin yläraja. Merkitään Osoitetaan ensin, että c ]a, b[. c = sup E. Koska f(a) < 0 ja f on oikealta jatkuva pisteessä a, niin huomautuksen 4.22 (s. 00) nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) < 0 x [a, a + δ [. Siis joten x E x [a, a + δ [, (4.) a + δ c. Koska f(b) > 0 ja f on vasemmalta jatkuva pisteessä b, niin myöskin huomautuksen 4.22 nojalla on olemassa sellainen δ 2 > 0, että f(x) > 0 x ]b δ 2, b]. 0

106 Siis joten x / E x ]b δ 2, b], (4.2) c b δ 2. Yhdistämällä (4.) ja (4.2) saadaan joten c ]a, b[. a + δ c b δ 2, Osoitetaan sitten, että f(c) = 0. Jos f(c) > 0, niin lauseen 4.8 (s. 99) nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) > 0 x U δ (c). Tällöin joukossa E ei olisi suurempia lukuja kuin c δ, mikä on mahdotonta, koska c = sup E. Siis ei ole mahdollista, että f(c) > 0. Jos taas f(c) < 0, niin lauseen 4.20 (s. 99) nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) < 0 x U δ (c). Tällöin joukossa E olisi suurempia lukuja kuin c (esimerkiksi c + δ ), mikä on 2 mahdotonta, koska c = sup E. Siis ei ole mahdollista, että f(c) < 0. Siis ainoa mahdollisuus on, että f(c) = 0. Seuraus Olkoon f sellainen suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio, että f(a) f(b). Jos tällöin y on lukujen f(a) ja f(b) välissä, niin on olemassa sellainen c ]a, b[, että f(c) = y. Todistus. Sovelletaan Bolzanon lausetta funktioon f(x) y. Huomautus. Bolzanon lauseessa tarvitaan todella jatkuvuutta koko suljetulla välillä [a, b]. Lause ei välttämättä päde, jos f on epäjatkuva yhdessäkin välin pisteessä (ks. esimerkki 4.7). Voidaan tietysti olettaa, että ]c δ, c + δ[ [a, b] ja ]c δ, c + δ [ [a, b]. 2 Seurauksesta käytetään joskus nimitystä jatkuvien funktioiden väliarvolause. 02

107 Esimerkki 4.7. Olkoon f : [0, 2] R,, kun 0 x <, f(x) =, kun x 2. Funktio f on selvästi jatkuva välillä [0, 2] lukuun ottamatta pistettä x =. Lisäksi f(0) < 0 ja f(2) > 0. Kuitenkaan ei ole olemassa sellaista pistettä c ]0, 2[, että f(c) = 0. Lause Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f on tällä välillä rajoitettu. Todistus. Tehdään vastaoletus, että f ei ole välillä [a, b] rajoitettu. Olkoon a = a, b = b ja I = [a, b ] sekä c = a + b 2 välin I keskipiste. Tällöin ainakin toinen osaväleistä [a, c ] ja [c, b ] on sellainen, että f ei ole tällä välillä rajoitettu. Merkitään sitä I 2 = [a 2, b 2 ]. Jos f ei ole kummallakaan osavälillä rajoitettu, valitaan I 2 = [a, c ]. Olkoon sitten c 2 = a 2 + b 2 2 välin I 2 keskipiste. Tällöin ainakin toinen osaväleistä [a 2, c 2 ] ja [c 2, b 2 ] on sellainen, että f ei ole tällä välillä rajoitettu. Merkitään sitä I 3 = [a 3, b 3 ]. Jos f ei ole kummallakaan osavälillä rajoitettu, valitaan I 3 = [a 2, c 2 ]. Jatketaan menettelyä siten, että jos c k = a k + b k 2 on välin I k keskipiste, niin valitaan osaväleistä [a k, c k ] ja [c k, b k ] se, kummalla f ei ole rajoitettu, ja merkitään sitä I k+ = [a k+, b k+ ]. Jos f ei ole kummallakaan osavälillä rajoitettu, valitaan I k+ = [a k, c k ]. Näin saadaan jono (k =, 2,...) suljettuja välejä I k = [a k, b k ], joille I k+ I k. Edelleen välin pituus b k a k = b k a k 2 = = b a 2 k = b a 2 k 0, kun k. Täten sisäkkäisten välien lauseen (lause 2.25, s. 5) perusteella on olemassa sellainen x 0 R, että [a k, b k ] = {x 0 }. k= 03

108 Koska x 0 [a, b] ja f on jatkuva välillä [a, b], niin lauseen 4.6 (s. 99) ja sitä seuraavan huomautuksen 4.7 nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että f on välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[ [a, b] rajoitettu. Lisäksi b k a k 0, kun k, joten on olemassa sellainen k 0 Z +, että b k0 a k0 < δ. Koska x 0 [a k0, b k0 ], niin [a k0, b k0 ] ]x 0 δ, x 0 + δ[ [a, b]. Siis f on välillä [a k0, b k0 ] rajoitettu, missä on ristiriita (sillä väli [a k0, b k0 ] muodostettiin siten, että f ei ole tällä välillä rajoitettu). Huomautus. Lause 4.25 ei välttämättä ole voimassa, mikäli funktiolla f on välillä [a, b] yksikin epäjatkuvuuskohta (ks. esimerkki 4.9). Esimerkki 4.8. Polynomifunktio p(x) on jatkuva kaikilla x R, joten se on rajoitettu jokaisella välillä [a, b] R. Esimerkki 4.9. Olkoon f : [0, ] R,, kun 0 < x, f(x) = x 0, kun x = 0. Funktio f on selvästi jatkuva välillä [0, ] lukuun ottamatta pistettä x = 0. Kuitenkaan f ei ole rajoitettu välillä [0, ]. Lause Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio f saavuttaa tällä välillä suurimman ja pienimmän arvonsa. Todistus. Lauseen 4.25 nojalla f on ylhäältä rajoitettu välillä [a, b], joten on olemassa M = sup {f(x) x [a, b]}. Osoitetaan, että on olemassa sellainen c [a, b], että f(c) = M. Tehdään vastaoletus, että f(x) M x [a, b]. Koska M = sup {f(x) x [a, b]}, niin tällöin f(x) < M x [a, b]. 04

109 Täten funktio g(x) = M f(x) on huomautuksen 4.7 (s. 95) nojalla jatkuva välillä [a, b]. Siis g on lauseen 4.25 nojalla ylhäältä rajoitettu välillä [a, b], joten on olemassa sellainen M > 0, että eli Siis M f(x) M x [a, b] M M f(x) x [a, b]. f(x) M >0 {}}{ M x [a, b]. Mutta koska M = sup {f(x) x [a, b]}, tämä on mahdotonta. Näin ollen täytyy olla olemassa ainakin yksi sellainen piste c [a, b], että f(c) = M. Siis f saavuttaa välillä [a, b] suurimman arvonsa. Täysin vastaavalla tavalla infimumia tarkastelemalla voidaan osoittaa, että f saavuttaa välillä [a, b] myös pienimmän arvonsa (harjoitustehtävä). Huomautus Lauseen 4.26 tulos voidaan esittää myös muodossa c [a, b]: f(c ) = sup f(x) = sup {f(x) x [a, b]} x [a,b] ja c 2 [a, b]: f(c 2 ) = inf f(x) = inf {f(x) x [a, b]}. x [a,b] Seuraus Jos funktio f on jatkuva välillä [a, b], niin välin [a, b] kuvajoukko f([a, b]) on suljettu väli tai yksittäinen piste. Todistus. Lauseen 4.26 nojalla f saavuttaa välillä [a, b] suurimman arvonsa M ja pienimmän arvonsa m. Jos m = M, niin f on vakiofunktio, jonka kuvajoukko on {M} (eli kuvajoukko sisältää vain pisteen M). Jos taas m < M, niin Bolzanon lauseen seurauksen (seuraus 4.24) mukaan f saa jokaisen arvojen m ja M välillä olevan arvon. Siis f([a, b]) = [m, M]. Huomautus. Lause 4.26 ei välttämättä ole voimassa, jos funktiolla f on välillä [a, b] yksikin epäjatkuvuuskohta (ks. esimerkki 4.20). 05

110 Esimerkki Olkoon f : [0, ] R, x 2, kun x <, f(x) = 0, kun x =. Polynomina f on jatkuva välillä [0, ] lukuun ottamamatta välin päätepistettä x =. Kuitenkaan funktiolla f ei ole suurinta arvoa välillä [0, ] (vaikka f on rajoitettu). Esimerkki 4.2. Osoitetaan, että jos f on jatkuva välillä [a, b] ja f(x) > 0 x [a, b], niin on olemassa sellainen m > 0, että f(x) m x [a, b]. Todistus. Lauseen 4.26 nojalla (huomautus 4.27) on olemassa sellainen c [a, b], että f(c) = inf f(x) = m. x [a,b] Tällöin m = f(c) > 0 ja f(x) m x [a, b]. 06

111 4.4 Käänteisfunktion jatkuvuudesta Yleisesti ottaen funktiolla ei välttämättä ole käänteisfunktiota, sillä käänteisfunktion olemassaolo edellyttää bijektiivisen kuvauksen (ks. luku 3.). Jos kuitenkin funktio on jollakin välillä aidosti monotoninen ja jatkuva, niin funktio on bijektio ja sillä on käänteiskuvaus (joka myös on aidosti monotoninen ja jatkuva). Lause Olkoon f : [a, b] R sellainen aidosti kasvava ja jatkuva funktio, että f(a) = A ja f(b) = B. Tällöin funktiolla f : [a, b] [A, B] on käänteisfunktio f : [A, B] [a, b], joka on välillä [A, B] aidosti kasvava ja jatkuva. Todistus. : Osoitetaan ensin, että f on bijektio, jolloin funktiolla f on käänteisfunktio f : [A, B] [a, b]. Koska f on aidosti kasvava, niin x x 2 f(x ) f(x 2 ) kaikilla x, x 2 [a, b]. Siis kuvaus f : [a, b] [A, B] on injektio. Lisäksi f(a) = A, f(b) = B ja f on aidosti kasvava sekä jatkuva, joten seurauksen 4.28 todistuksen nojalla f([a, b]) = [A, B] ja kuvaus f : [a, b] [A, B] on surjektio. Siis funktio f : [a, b] [A, B] on bijektio, joten on olemassa käänteisfunktio f : [A, B] [a, b]. 2 : Osoitetaan sitten, että käänteisfunktio f on aidosti kasvava välillä [A, B]. Oletetaan, että y, y 2 [A, B] ja y < y 2. Tällöin on olemassa sellaiset x, x 2 [a, b], että f(x ) = y ja f(x 2 ) = y 2. Lisäksi siis f(x ) < f(x 2 ). Koska f on aidosti kasvava, niin tällöin myös x < x 2 eli f (y ) = x < x 2 = f (y 2 ). Siis funktio f on aidosti kasvava välillä [A, B]. 3 : Osoitetaan lopuksi, että f on jatkuva välillä [A, B]. Oletetaan ensin, että y 0 ]A, B[. Koska f(a) = A, f(b) = B ja f on bijektio, on tällöin olemassa sellainen x 0 ]a, b[, että (4.3) f(x 0 ) = y 0 ja f (y 0 ) = x 0. Valitaan nyt mielivaltainen ε > 0. Todistuksen yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että ε < min{x 0 a, b x 0 } eli U ε (x 0 ) ]a, b[ eli a < x 0 ε < x 0 < x 0 + ε < b. 07

112 Koska f on aidosti kasvava, niin tällöin f(x 0 ε) < y 0 < f(x 0 + ε). Merkitään δ = min{y 0 f(x 0 ε), f(x 0 + ε) y 0 }. Tällöin δ > 0 ja (4.4) ]y 0 δ, y 0 + δ[ ]f(x 0 ε), f(x 0 + ε)[, joten y U δ (y 0 ) y ]y 0 δ, y 0 + δ[ (4.4) y ]f(x 0 ε), f(x 0 + ε)[ f aid. kasv. f (y) ] f (f(x 0 ε)), f (f(x 0 + ε)) [ f bijektio f (y) ]x 0 ε, x 0 + ε[ (4.3) f (y) ]f (y 0 ) ε, f (y 0 ) + ε[ Siis f (y) U ε (f (y 0 )). f (y) U ε (f (y 0 )) aina, kun y U δ (y 0 ), joten huomautuksen 4. (s. 89) nojalla f jatkuva pisteessä y 0. Täysin yllä olevan kanssa analogisella tavalla voidaan todistaa, että f on oikealta jatkuva pisteessä A ja vasemmalta jatkuva pisteessä B (harjoitustehtävä). Siis f on jatkuva välillä [A, B]. Lause Olkoon f : [a, b] R sellainen aidosti vähenevä ja jatkuva funktio, että f(a) = A ja f(b) = B. Tällöin funktiolla f : [a, b] [B, A] on käänteisfunktio f : [B, A] [a, b], joka on välillä [B, A] aidosti vähenevä ja jatkuva. Todistus. Kuten lause 4.29 (harjoitustehtävä). Huomautus 4.3. Lauseet 4.29 ja 4.30 voidaan yleistää koskemaan minkä tahansa tyyppistä väliä I (harjoitustehtävä). Esimerkki Olkoon f : R R, f(x) = x 3 + 3x 3. Tutkitaan funktion f käänteisfunktion olemassaoloa jollakin (mielivaltaisella) suljetulla reaalilukuvälillä [a, b]. Polynomina f on selvästi jatkuva välillä [a, b]. Lisäksi 08

113 funktio f on välillä [a, b] aidosti kasvava, sillä jos x, x 2 [a, b], niin f(x ) < f(x 2 ) x 3 + 3x 3 < x x 2 3 x 3 x (x x 2 ) < 0 (x x 2 )(x 2 + x x 2 + x 2 2) + 3(x x 2 ) < 0 ) 2 (x x 2 ) (( x + x 2 }{{ 2 } 0 x x 2 < 0 x < x x2 2 4 }{{} ) < 0 Näin ollen funktiolla f : [a, b] [f(a), f(b)] on lauseen 4.29 nojalla käänteisfunktio f : [f(a), f(b)] [a, b], joka on välillä [f(a), f(b)] jatkuva ja aidosti kasvava. Esimerkki Olkoon f : [0, [ [0, [, f(x) = x n (n Z + ). Funktio f on jatkuva (esimerkki 4., s. 90) ja selvästi aidosti kasvava välillä [0, [. Koska f(0) = 0, niin lauseen 4.29 perusteella millä tahansa suljetulla välillä [0, b] (b > 0) funktiolla f : [0, b] [0, b n ] on käänteisfunktio f : [0, b n ] [0, b], joka on jatkuva ja aidosti kasvava. Huomautuksen 4.3 nojalla käänteisfunktio, jota merkitään n x tai x n, on olemassa itse asiassa koko välillä [0, [. Koska selvästi x xn =, niin funktiolla f : [0, [ [0, [ on käänteisfunktio f : [0, [ [0, [, joka on jatkuva ja aidosti kasvava välillä [0, [. sekä Käyttämällä lisäksi kaavoja (ks. s. 5) ( ) n x 0 = ja x n = (x > 0) x x m n = ( x n ) m (x 0, m Z + ) saadaan yhdistetyn funktion jatkuvuuden (lause 4.0 sekä huomautukset 4. ja 4.2, s. 97) nojalla (harjoitustehtävä), että rationaalinen potenssifunktio x q on jatkuva välillä ]0, [, kun q Q, ja välillä [0, [, kun q Q +. 09

114 4.5 Tasainen jatkuvuus Jatkuvuuden määritelmässä kiinnitetään ensin piste a. Sen jälkeen etsitään jokaista lukua ε > 0 kohti sellainen δ > 0, että f(x) f(a) < ε aina, kun x a < δ. Yleensä luku δ riippuu paitsi funktiosta f ja luvusta ε myös pisteestä a. Jos kuitenkin jollakin välillä jokaista lukua ε > 0 kohti löytyy sellainen δ > 0, että δ ei riipu valitusta välin pisteestä, sanotaan funktion f olevan tasaisesti jatkuva tällä välillä. Määritelmä 4.6. Funktio f on tasaisesti jatkuva välillä I, jos jokaista positiivilukua ε > 0 kohti on olemassa sellainen δ > 0, että f(x ) f(x 2 ) < ε aina, kun x, x 2 I ja x x 2 < δ. Huomautus. Jos funktio f on jollakin välillä tasaisesti jatkuva, funktio f on tällä välillä myös jatkuva. Huomautus. Jos funktio f on tasaisesti jatkuva välillä I, funktio f on tasaisesti jatkuva myös jokaisella osavälillä I I. Huomautus. Tasainen jatkuvuus on oleellisesti väliin liittyvä käsite. Tavallinen jatkuvuus taas on oleellisesti yhteen pisteeseen liittyvä (lokaali) käsite. Esimerkki Osoitetaan, että funktio f(x) = x (x 0) on tasaisesti jatkuva välillä I = ] 2, [. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Merkitään δ = ε 4, ja oletetaan, että x, x 2 I ja x x 2 < δ. Tällöin x, x 2 > 2, joten f(x ) f(x 2 ) = = x x 2 4 x x 2 < 4 ε 4 = ε. x 2 x x x 2 = x x 2 x x 2 Tulos seuraa nyt suoraan tasaisen jatkuvuuden määritelmästä. 0

115 Esimerkki Osoitetaan, että funktio f(x) = x (x 0) ei ole tasaisesti jatkuva välillä ]0, [. Olkoon ε = ja δ > 0. Olkoon lisäksi a > max{, δ } ja Tällöin Lisäksi x x 2 = x = a x, x 2 ]0, [ a = a + ja x 2 = a +. ja (a + ) a a(a + ) a < δ. = a(a + ) < a < δ, mutta f(x ) f(x 2 ) = = a (a + ) = ε. x x 2 Siis tasaisen jatkuvuuden ehto ei voi olla voimassa. Lause Jos funktiot f ja g ovat tasaisesti jatkuvia välillä I, myös funktiot cf (c R) ja f + g ovat tasaisesti jatkuvia välillä I. Todistus. Harjoitustehtävä. Lause Suljetulla välillä [a, b] jatkuva funktio on tällä välillä tasaisesti jatkuva. Todistus. Olkoon funktio f jatkuva välillä [a, b]. Tehdään vastaoletus, että f ei ole tasaisesti jatkuva välillä [a, b]. Tällöin on olemassa sellainen ε > 0, että δ > 0: x, y [a, b] s.e. x y < δ ja f(x) f(y) ε. Valitaan nyt lukuja δ = /n (n =, 2,...) vastaavat pisteet x n, y n [a, b], joille (4.5) x n y n < δ = n ja f(x n ) f(y n ) ε. Koska x n [a, b] kaikilla n Z +, niin lukujono (x n ) on rajoitettu. Täten Bolzano- Weierstrassin lauseen (lause 2.26, s. 52) nojalla lukujonolla (x n ) on suppeneva osajono (x nk ). Lisäksi Bolzano-Weierstrassin lauseen todistuksen perusteella osajono (x nk ) suppenee kohti pistettä x 0 [a, b]. Koska x n y n < n n Z +,

116 myös lukujono (y nk ) suppenee kohti samaa pistettä x 0 (harjoitustehtävä). Koska f on jatkuva välillä [a, b], niin lauseen 4.3 (s. 98) ja sitä koskevien huomautusten 4.4 ja 4.5 perusteella f(x n k ) = f(x 0 ) = k Tässä on kuitenkin ristiriita, sillä ehdon (4.5) nojalla f(y nk ). k f(x nk ) f(y nk ) ε k Z +. Esimerkki Funktio f : [2, 7] R, x + f(x) = x on selvästi jatkuva suljetulla välillä [2, 7], joten se on tasaisesti jatkuva välillä [2, 7] (ja samalla jokaisella tämän välin osavälillä). Lause Avoimella välillä ]a, b[ tasaisesti jatkuva funktio on tällä välillä rajoitettu. Todistus. Olkoon funktio f tasaisesti jatkuva välillä ]a, b[. Tällöin on olemassa sellainen δ > 0, että f(x ) f(x 2 ) < aina, kun x, x 2 ]a, b[ ja x x 2 < δ. Käyttämällä kolmioepäyhtälöä saadaan joten f(x ) = f(x 2 ) + f(x ) f(x 2 ) f(x 2 ) + f(x ) f(x 2 ), (4.6) f(x ) < f(x 2 ) + aina, kun x, x 2 ]a, b[ ja x x 2 < δ. Merkitään δ = min{δ, b a }, ja jaetaan väli ]a, b[ kolmeen osaan 3 ]a, b[ = ]a, a + δ[ [a + δ, b δ] ]b δ, b[. : Jos x ]a, a + δ[, niin x (a + δ) < δ δ. Täten ehdon (4.6) nojalla f(x) < f(a + δ) +. 2

117 2 : Jos x ]b δ, b[, niin x (b δ) < δ δ. Täten ehdon (4.6) nojalla f(x) < f(b δ) +. 3 : Suljetulla välillä jatkuvana funktiona f on lisäksi rajoitettu välillä [a + δ, b δ] (lause 4.25, s. 03), joten on olemassa sellainen M > 0, että Merkitään nyt f(x) M x [a + δ, b δ]. M = max{ f(a + δ) +, f(b δ) +, M}. Tällöin kohtien 3 nojalla joten f on välillä ]a, b[ rajoitettu. f(x) M x ]a, b[, Esimerkki Esimerkin 3.25 (s. 84) nojalla joten funktio f : ]0, [ R, x 2x ( x) 2 =, f(x) = 2x ( x) 2 ei ole rajoitettu välillä ]0, [. Siis lauseen 4.34 nojalla f ei ole myöskään tasaisesti jatkuva välillä ]0, [. Huomautus Avoimella välillä ]a, b[ jatkuva ja rajoitettu funktio ei välttämättä ole tasaisesti jatkuva tällä välillä. 3

118 5 Funktion derivaatta 5. Määritelmiä ja perusominaisuuksia Määritelmä 5.. Funktio f on derivoituva pisteessä x, jos raja-arvo h 0 f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemassa. Kyseistä raja-arvoa sanotaan tällöin funktion f derivaataksi pisteessä x ja merkitään f (x). Huomautus. Derivaatan määritelmä tässä muodossa esitettynä sisältää oletuksen, että f on määritelty pisteen x jossakin ympäristössä (piste x mukaan luettuna). Huomautus. Muita mahdollisia derivaatan merkitsemistapoja ovat esimerkiksi d dx f(x), Df(x), D xf(x). Huomautus. Osamäärää f(x + h) f(x) h sanotaan funktion f erotusosamääräksi pisteessä x. Huomautus 5.. Derivaatan määritelmässä esiintyvä raja-arvo voidaan esittää myös muodossa f(y) f(x). y x y x Esimerkki 5.. Olkoon f(x) = x (x 0). Tällöin f () = f ( ) =, sillä jos 0 < h <, niin f( + h) f() h = +h h = h +h h = + h, kun h 0, ja f( + h) f( ) h = ( ) +h h = h +h h = + h, kun h 0. 4

119 Esimerkki 5.2. Funktio f(x) = x ei ole derivoituva pisteessä x = 0, sillä jos h 0, niin f(0 + h) f(0) h = 0 + h 0 h = h h =, jos h > 0,, jos h < 0, joten raja-arvo ei ole olemassa. h 0 f(0 + h) f(0) h Esimerkki 5.3. Olkoon f(x) = c (c R). Tällöin f (x) = 0 kaikilla x R, sillä jos h 0, niin f(x + h) f(x) h = c c h = 0 kaikilla x R. Vakiofunktion derivaatta on siis aina nolla. Esimerkki 5.4. Olkoon f(x) = x n (n Z + ). Osoitetaan, että kaikilla x R ja kaikilla n Z +. Koska f (x) = n x n y n x n = (y x)(y n + y n 2 x + + yx n 2 + x n ) kaikilla x, y R ja kaikilla n Z + (harjoitustehtävä), niin huomautuksen 5. ja esimerkin 3. (s. 70) nojalla f (x) = y x f(y) f(x) y x y n x n = y x y x = y x (y n + y n 2 x + + yx n 2 + x n ) = x n + x n 2 x + + xx n 2 + x n = n x n. 5

120 Esimerkki 5.5. Osoitetaan, että D(sin x) = cos x x R. Palautetaan taas (vrt. esimerkki 3.9, s. 64) trigonometriasta mieleen kaava (5.) sin x sin y = 2 cos x + y 2 sin x y. 2 Käyttämällä kaavaa (5.) sekä kosinin raja-arvoa (esimerkki 3.9, s. 64) ja esimerkin 3.4 (s. 7) raja-arvoa sin x x 0 x = saadaan h 0 sin(x + h) sin x h Käyttämällä kaavan (5.) sijasta kaavaa 2 cos 2x+h = h 0 h 2 sin h 2 sin( h = ) 2 h 0 h cos(x + h ) 2 2 }{{}}{{} x = cos x = cos x. cos x cos y = 2 sin x + y 2 sin x y 2 voidaan vastaavalla tavalla osoittaa (harjoitustehtävä), että D(cos x) = sin x x R. Esimerkki 5.6. Olkoon f(x) = cos x. Tällöin x 0 cos x x = x 0 cos(0 + x) cos 0 x = f (0) = sin 0 = 0. Määritelmä 5.2. Mikäli raja-arvo f (x+) = h 0+ f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemassa, sanotaan sitä funktion f oikeanpuoleiseksi derivaataksi pisteessä x. Vastaavasti mikäli raja-arvo f (x ) = h 0 f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemassa, sanotaan sitä funktion f vasemmanpuoleiseksi derivaataksi pisteessä x. 6

121 Esimerkki 5.7. Olkoon f(x) = x q, missä x 0 ja q Q + (ks. esimerkki 4.23, s. 09). Jos h 0+, niin f(0 + h) f(0) h = (0 + h)q 0 q h = hq h = hq 0, kun q >,, kun q =,, kun 0 < q <. Täten f (0+) = 0, kun q >, f (0+) =, kun q =, ja f (0+) ei ole olemassa, kun 0 < q <. Esimerkki 5.8. Funktiolle f(x) = x (ks. esimerkki 5.2) f (0+) = ja f (0 ) =. Huomautus 5.2. Lauseen 3.9 (s. 78) nojalla funktio f on derivoituva pisteessä x täsmälleen silloin, kun f (x ) ja f (x+) ovat äärellisenä olemassa ja yhtä suuret. Määritelmä 5.3. Funktio f on derivoituva avoimella välillä ]a, b[, jos f on derivoituva välin jokaisessa pisteessä. Määritelmä 5.4. Funktio f on derivoituva suljetulla välillä [a, b], jos f on derivoituva välin jokaisessa sisäpisteessä ja lisäksi f (a+) ja f (b ) ovat äärellisenä olemassa. Määritelmä 5.5. Funktio f on derivoituva välillä [a, b[, jos f on derivoituva välillä ]a, b[ ja f (a+) on äärellisenä olemassa, ja f on derivoituva välillä ]a, b], jos f on derivoituva välillä ]a, b[ ja f (b ) on äärellisenä olemassa. Huomautus. Jos f on derivoituva välillä I, sanotaan kuvausta f : I R (jonka saamat arvot välillä I ovat derivaatat f (x)) funktion f derivaattafunktioksi (tai lyhyesti derivaataksi) välillä I. Huomautus. Jos derivaattafunktio f on jatkuva välillä I, sanotaan, että funktio f on jatkuvasti derivoituva välillä I. Huomautus. Derivaatta f (x) ja derivaattafunktion (eli derivaatan) raja-arvo f (y) y x ovat kaksi eri käsitettä (ks. esimerkki 5.9). 7

122 Esimerkki 5.9. Olkoon 3, jos x, f(x) = 2, jos x <. Funktio f ei ole derivoituva pisteessä x =, sillä f ( ) = h 0 f( + h) f() h ei ole äärellisenä olemassa (harjoitustehtävä). Sen sijaan f (x) = x sillä f (x) = 0 kaikilla x. f (x) = f (x) = 0, x + x Lause 5.3. Jos funktio f on derivoituva pisteessä x, niin f on jatkuva pisteessä x. Todistus. Jos f on derivoituva pisteessä x, niin Olkoon h 0. Tällöin h 0 f(x + h) f(x) h = f (x). f(x + h) = h f(x + h) f(x) h + f(x) 0 f (x) + f(x) = f(x), kun h 0. Siis f on jatkuva pisteessä x (huomautus 4.3, s. 90). Huomautus. Jos funktio f ei ole jatkuva pisteessä x, niin f ei ole myöskään derivoituva pisteessä x. Huomautus. Jos funktio on derivoituva jollakin välillä I, on se tällä välillä myös jatkuva (harjoitustehtävä). Huomautus. Lause 5.3 ei ole kääntäen voimassa. Esimerkiksi f(x) = x on jatkuva pisteessä x = 0, mutta ei ole derivoituva pisteessä x = 0 (ks. esimerkki 5.2, s. 5). 8

123 Lause 5.4. Olkoot funktiot f ja g derivoituvia pisteessä x. Tällöin myös funktiot f + g, f g, fg, kf (k R) ja f g (kun g(x) 0) ovat derivoituvia pisteessä x ja (i) (f + g) = f + g, (ii) (f g) = f g, (iii) (kf) = k f, (iv) (fg) = f g + g f, (v) ( f g ) = f g g f g 2. Todistus. (i) Laskemalla saadaan (f + g) (x) = h 0 (f + g)(x + h) (f + g)(x) h = h 0 [f(x + h) + g(x + h)] [f(x) + g(x)] h = h 0 [f(x + h) f(x)] + [g(x + h) g(x)] h = f (x) + g (x). (ii) Tulos seuraa kohdista (i) ja (iii), kun funktioksi g valitaan g. (iii) Koska vakiofunktion derivaatta on nolla, tulos saadaan kohdasta (iv) valitsemalla funktioksi g vakiofunktio k. (iv) Laskemalla saadaan (fg) (x) = h 0 f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) h = h 0 f(x + h)g(x + h) f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) f(x)g(x) h = h 0 f(x + h) [g(x + h) g(x)] + g(x) [f(x + h) f(x)] h [ = f(x + h) h 0 }{{} f(x) = f(x)g (x) + g(x)f (x). g(x + h) g(x) h 9 + g(x) ] f(x + h) f(x) h

124 (v) Osoitetaan, että Tällöin väite seuraa kohdasta (iv), sillä ( f g ) = ( ( g ) = g g 2 (g 0). f ) = f g g + g g f = f g g f (g 0). 2 g 2 Laskemalla saadaan ( ) (x) ( = g h 0 h g(x + h) ) g(x) = h 0 g(x) g(x + h) h g(x + h) g(x) g(x + h) g(x) = h 0 h g(x + h) g(x) }{{} g(x) = g (x) (g(x) 0). g(x) 2 Esimerkki 5.0. Lauseen 5.4 sekä esimerkkien 5.3 (s. 5) ja 5.4 (s. 5) perusteella polynomifunktio on derivoituva kaikilla x R ja p(x) = a n x n + a n x n + + a 2 x 2 + a x + a 0 p (x) = na n x n + (n )a n x n a 2 x + a. Esimerkki 5.. Käyttämällä tulon derivointisääntöä sekä polynomin (esimerkki 5.0) ja sinin (esimerkki 5.5, s. 6) derivointikaavoja saadaan D(x 5 sin x) = 5x 4 sin x + x 5 cos x x R. Esimerkki 5.2. Jos x 0, niin käyttämällä polynomin derivointikaavaa ja osamäärän derivointisääntöä saadaan ( D = x) 0 x = x 2 x 2 ja ( ) x D x 2 = x2 2x(x ) = x2 + 2x (x 2 ) 2 x 4 20 = 2 x x 3.

125 Esimerkki 5.3. Osoitetaan, että kaikilla x π 2 D(tan x) = + nπ (n Z) ja cos 2 x = + tan2 x kaikilla x nπ (n Z). Koska D(cot x) = sin 2 x = cot2 x sin 2 x + cos 2 x = kaikilla x R, niin sinin ja kosinin derivointikaavojen (esimerkki 5.5, s. 6) sekä osamäärän derivoimissäännön avulla saadaan ( ) sin x D(tan x) = D cos x = cos x cos x ( sin x) sin x cos 2 x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x kaikilla x π 2 + nπ (n Z) ja = ( ) cos x D(cot x) = D sin x cos 2 x = + tan2 x = ( sin x) sin x cos x cos x sin 2 x = sin2 x cos 2 x sin 2 x = sin 2 x = cot2 x kaikilla x nπ (n Z). 2

126 Määritelmä 5.6. Jos funktion f derivaattafunktio f on derivoituva pisteessä x, sanotaan funktion f derivaattaa tässä pisteessä funktion f toisen kertaluvun derivaataksi pisteessä x ja merkitään f (x). Yleisesti funktion f n:nnen kertaluvun derivaatta pisteessä x on mikäli derivaatat ovat olemassa. f (n) (x) = D ( f (n ) (x) ) (n = 2, 3,...), Huomautus. Funktion f(x) n:nnen kertaluvun derivaatalle käytetään myös merkintöjä D n d n f(x) ja dx f(x). n Huomautus. Lisäksi voidaan määritellä, että f (0) = f, jolloin määritelmä 5.6 on merkinnän luonteisena voimassa myös, kun n =. Esimerkki 5.4. Olkoon f(x) = x n (n Z + ). Tällöin polynomin derivointikaavan (esimerkki 5.0) perusteella kaikilla x R. f (x) = nx n, f (x) = n (n )x n 2,. f (n ) (x) = n (n ) 2 x, f (n) (x) = n!, f (n+) (x) = 0 Esimerkki 5.5. Olkoon f(x) = sin x. Tällöin sinin ja kosinin derivointikaavojen (esimerkki 5.5, s. 6) sekä lauseen 5.4 (s. 9) perusteella kaikilla x R. f (x) = cos x, f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (4) (x) = sin x,. 22

127 5.2 Yhdistetyn funktion ja käänteisfunktion derivaatta Tarkastellaan seuraavaksi yhdistetyn funktion derivointikaavaa eli ketjusääntöä. Lauseessa 5.5 oletetaan tietenkin, että funktion f kuvajoukko sisältyy funktion g määrittelyjoukkoon, jolloin voidaan puhua yhdistetystä funktiosta g f. Lause 5.5. Jos funktio f on derivoituva pisteessä x ja funktio g on derivoituva pisteessä f(x), niin funktio g f on derivoituva pisteessä x ja (g f) (x) = g (f(x))f (x). Todistus. Olkoon f derivoituva pisteessä x ja g derivoituva pisteessä f(x). Tavoitteena on nyt osoittaa, että h 0 (g f)(x + h) (g f)(x) h Olkoon h 0. Merkitään = h 0 g(f(x + h)) g(f(x)) h y = f(x) ja k = f(x + h) f(x). = g (f(x))f (x). Koska f on derivoituvana funktiona jatkuva pisteessä x = 0, niin k 0, jos h 0. Lisäksi f(x + h) = f(x) + k = y + k ja edelleen (5.2) Olkoon g(f(x + h)) g(f(x)) h = g(y + k) g(y). h g(y + t) g(y) g (y), kun t 0, u(t) = t 0, kun t = 0. Koska g on derivoituva pisteessä y, niin u(t) on jatkuva pisteessä t = 0. Lisäksi joten myös g(y + t) g(y) = t (u(t) + g (y)) t R, g(y + k) g(y) = k (u(k) + g (y)) = (u(k) + g (y)) k k R. h h h Jos nyt h 0, niin u(k) 0 (sillä myös k 0 ja u on jatkuva pisteessä k = 0) ja k h = f(x + h) f(x) h f (x). Täten g(y + k) g(y) = g (y)f (x) = g (f(x))f (x), h 0 h mistä väite seuraan yhtälön (5.2) perusteella. 23

128 Huomautus. Lauseen 5.5 tulos voidaan esittää myös muodossa (g f) (x) = dg df df dx. Vastaavasti jos f f 2... f n on yhdistetty funktio ja alla esiintyvät derivaatat ovat olemassa, niin voidaan yleistää d dx (f f 2 f n ) = df df 2 df 2 df 3 df n dx. Esimerkki 5.6. Käyttämällä polynomin ja sinin derivointikaavoja sekä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä saadaan kaikilla x R. D(sin 2 2x) = 2 sin 2x D(sin 2x) = 2 sin 2x cos 2x D(2x) = 2 sin 2x cos 2x 2 = 4 sin 2x cos 2x = 2 sin 4x Esimerkki 5.7. Vastaavasti kuin esimerkissä 5.6 saadaan D ( sin(sin x 2 ) ) = cos(sin x 2 ) D(sin x 2 ) = cos(sin x 2 ) cos x 2 D(x 2 ) = cos(sin x 2 ) cos x 2 2x = 2x cos x 2 cos(sin x 2 ) kaikilla x R. Esimerkki 5.8. Käyttämällä polynomin derivointikaavaa ja yhdistetyn funktion derivoimissääntöä saadaan kaikilla x R. D ( (x 3 + 2x) 5) = 5(x 3 + 2x) 4 (3x 2 + 2) = (5x 2 + 0)(x 3 + 2x) 4 Yhtälöketjun viimeinen yhtäsuuruus seuraa trigonometrian kaavasta sin 2x = 2 sin x cos x. 24

129 Esimerkki 5.9. Esimerkin 5.4 (s. 5) perusteella D(x n ) = nx n n Z + ja x R. Osoitetaan, että jos x 0, niin potenssin derivointikaava pätee kaikille n Z. Olkoon siis x 0. Todetaan aluksi, että tällöin D(x 0 ) = D() = 0 = 0 x 0. Olkoon sitten n Z +. Käyttämällä kaavaa (ks. s. 5) x n = ( x) n ja soveltamalla yhdistetyn funktion derivointisääntöä sekä potenssin derivointikaavaa ja esimerkin 5.2 (s. 20) tulosta ( D x) = x 2 saadaan (( n ) D(x n ) = D x) ( ) n ( = n D x x) ( n = n ( x) ) x 2 ( ) n ( 2 = n x x) ( n+ = n x) = nx (n+) = nx n. Siis potenssin derivointikaava pätee kaikille n Z (kun x 0) eli D(x n ) = nx n n Z (x 0). 25

130 Esimerkki Olkoon x 2 sin, kun x 0, f(x) = x 0, kun x = 0. Osoitetaan, että f (x) on olemassa kaikilla x R ja derivaattafunktio f (x) ei ole jatkuva pisteessä x = 0. : Olkoon x 0. Tällöin f (x) = 2x sin x + x2 cos ( x ) x 2 = 2x sin x cos x tavanomaisten derivointisääntöjen nojalla. 2 : Funktio f(x) on derivoituva pisteessä x = 0 ja f (0) = 0, sillä esimerkin 3.7 (s. 64) nojalla h 0 f(0 + h) f(0) h = h 0 h 2 sin(/h) 0 h = h 0 h sin h = 0. Siis kohtien ja 2 nojalla funktio f(x) on derivoituva kaikilla x R. 3 : Osoitetaan derivaattafunktion f (x) epäjatkuvuus pisteessä x = 0 osoittamalla, että raja-arvo x 0 f (x) ei ole olemassa. Esimerkin 3.7 (s. 64) nojalla Toisaalta raja-arvo 2x sin x 0 x = 0. x 0 cos x ei ole olemassa (harjoitustehtävä, vrt. esimerkki 3.0, s. 66), joten myöskään rajaarvo ( 2x sin x 0 x cos ) = f x (x) x 0 ei voi olla olemassa (lause 3.4, s. 70). Siis f (x) ei ole jatkuva pisteessä x = 0. Huomautus. Koska esimerkin 5.20 derivaattafunktio f (x) ei ole jatkuva pisteessä x = 0, niin f (x) ei ole myöskään derivoituva pisteessä x = 0 (eli f (0) ei ole olemassa). 26

131 Lause 5.6. Oletetaan, että funktio f on jatkuva ja aidosti monotoninen jossakin pisteen x ympäristössä ja että f on derivoituva pisteessä x ja f (x) 0. Tällöin käänteisfunktio f on derivoituva pisteessä y = f(x) ja (f ) (y) = f (x) = f (f (y)). Todistus. Oletetaan, että lauseen oletukset ovat voimassa pisteessä x 0. Olkoon lisäksi y = f(x) ja erityisesti y 0 = f(x 0 ). Koska f on jatkuva ja aidosti monotoninen jossakin pisteen x 0 ympäristössä, on funktiolla f rajoitettuna tähän väliin käänteisfunktio f (joka on jatkuva ja aidosti monotoninen jossakin pisteen y 0 ympäristössä, lauseet 4.29 ja 4.30 sekä huomautus 4.3, s ). Lisäksi tällöin x x 0 täsmälleen silloin, kun f(x) f(x 0 ) eli y y 0, ja f(x) f(x 0 ), kun x x 0. Siis h 0 f (y 0 + h) f (y 0 ) h = y y0 f (y) f (y 0 ) y y 0 = x x0 f (f(x)) f (f(x 0 )) f(x) f(x 0 ) = x x0 x x 0 f(x) f(x 0 ) = x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = f (x 0 ), sillä f on derivoituva pisteessä x 0 ja f (x 0 ) 0. Täten f on derivoituva pisteessä y 0 ja (f ) (y 0 ) = f (x 0 ) = f (f (y 0 )). Esimerkki 5.2. Osoitetaan, että jos x > 0, niin potenssin derivointikaava D(x q ) = qx q pätee kaikille q Q. Olkoon siis f : ]0, [ ]0, [, f(x) = x n (n Z + ). 27

132 Esimerkissä 4.23 (s. 09) osoitettiin, että funktio f on jatkuva ja aidosti kasvava välillä ]0, [ ja että sillä on jatkuva ja aidosti kasvava käänteisfunktio f : ]0, [ ]0, [, jota merkittiin n x tai x n. Lisäksi (esimerkki 5.4, s. 5) f (x) = nx n 0 x ]0, [, joten käänteisfunktio f on lauseen 5.6 nojalla derivoituva kaikilla x ]0, [. Jos y = x n eli x = y n, niin D ( y n ) = D(x n ) = nx = n n ( ) y n = n ny n n = n y n n = n y n. Yleensä myös käänteisfunktion derivaatta esitetään käyttäen muuttujaa x. Täten D ( x n ) = n x n (x > 0). Jos nyt m Z, niin soveltamalla potenssin derivointikaavaa (kokonaisluvuille, ks. esimerkki 5.9, s. 25) ja yhdistetyn funktion derivointisääntöä saadaan (vrt. esimerkki 4.23, s. 09) D ( ) (( ) x m m ) n = D x n = m (x n = m (x n ) m ( ) D x n ) m n x n = m n x m n n x n = m n x m n (m Z, n Z +, x > 0). Jos siis x > 0, niin D(x q ) = qx q q Q. Huomautus 5.7. Esimerkkien 5.7 (s. 7) ja 5.2 nojalla funktio x q (q Q + ) on derivoituva välillä [0, [, jos q. 28

133 Huomautus. Oletus f (x) 0 lauseessa 5.6 on oleellinen. Esimerkiksi funktio f(x) = x 3 on jatkuva, aidosti kasvava ja derivoituva kaikilla x R. Lisäksi sillä on käänteiskuvaus, joka on jatkuva ja aidosti kasvava kaikilla x R. Käänteiskuvaus ei kuitenkaan ole derivoituva pisteessä x = 0 (harjoitustehtävä). 29

134 5.3 Rollen lause ja väliarvolause Funktion ominaisuuksia on usein helppo tutkia käyttämällä funktion derivaattaa (jos funktio on derivoituva). Tutkitaan aluksi ennen Rollen lausetta ja väliarvolausetta funktion käyttäytymistä yksittäisessä pisteessä. Lause 5.8. Oletetaan, että funktio f on derivoituva pisteessä a. (i) Jos f (a) > 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) < f(a) x ]a δ, a[ ja f(x) > f(a) x ]a, a + δ[. (ii) Jos f (a) < 0, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) > f(a) x ]a δ, a[ ja f(x) < f(a) x ]a, a + δ[. Todistus. Todistetaan kohta (i). Kohta (ii) todistetaan vastaavasti (harjoitustehtävä). Koska f(x) f(a) = f (a) > 0, x a x a niin lauseen 3. (s. 67) on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) f(a) x a > 0 x U δ(a). Jos nyt x ]a δ, a[, niin x a < 0, joten myös f(x) f(a) < 0 eli f(x) < f(a). Jos taas x ]a, a + δ[, niin x a > 0, joten myös f(x) f(a) > 0 eli f(x) > f(a). Huomautus. Ehdosta f (a) > 0 ei voi päätellä, että funktio f olisi kasvava millään välillä ]a δ, a + δ[, ja ehdosta f (a) < 0 ei voi päätellä, että funktio f olisi vähenevä millään välillä ]a δ, a + δ[. Seuraus 5.9. Jos funktio f saavuttaa suurimman tai pienimmän arvonsa pisteessä a ja f on derivoituva pisteessä a, niin f (a) = 0. Huomautus. Seuraus 5.9 ei ole voimassa kääntäen. 30

135 Lause 5.0 (Rollen lause). Jos (i) f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], (ii) f on derivoituva avoimella välillä ]a, b[, (iii) f(a) = f(b), niin on olemassa sellainen ξ ]a, b[, että f (ξ) = 0. Todistus. : Jos f on vakiofunktio, niin f (x) = 0 x ]a, b[. Täten mikä tahansa välin ]a, b[ piste kelpaa vaadituksi pisteeksi. 2 : Jos f ei ole vakiofunktio, niin on olemassa sellainen c ]a, b[, että Oletetaan nyt, että f(c) > f(a) tai f(c) < f(a). f(c) > f(a) = f(b) (tapaus f(c) < f(a) todistetaan täysin vastaavasti). Koska f on suljetulla välillä [a, b] jatkuva, niin f saavuttaa suurimman arvonsa jossakin välin [a, b] pisteessä ξ (lause 4.26, s. 04). Tällöin f(ξ) f(c) > f(a) = f(b), joten ξ ]a, b[. Siis f on derivoituva pisteessä ξ. Lisäksi seurauksen 5.9 nojalla Siis ξ on vaadittu piste. f (ξ) = 0. Seuraus 5.. Jos f on derivoituva välillä I ja on olemassa sellaiset x, x 2 I, että x < x 2 ja f(x ) = f(x 2 ), niin on olemassa sellainen ξ ]x, x 2 [, että f (ξ) = 0. Huomautus 5.2. Seurauksen 5. nojalla välillä I derivoituvalla funktiolla on tällä välillä aina kahden nollakohtansa välissä vähintään yksi derivaatan nollakohta. 3

136 Esimerkki Olkoon Tällöin f(x) = x 3 + 3x. f (x) = 3x = 3(x 2 + ) > 0 x R, joten derivaattafunktiolla f ei ole yhtään reaalista nollakohtaa. Siis huomautuksen 5.2 nojalla funktiolla f voi olla korkeintaan yksi reaalinen nollakohta. Toisaalta selvästi f(0) = 0, joten funktiolla f on täsmälleen yksi reaalinen nollakohta (pisteessä x = 0). Huomautus 5.3. Käyttämällä huomautusta 5.2 ja Bolzanon lausetta (s. 0) saadaan joskus määritettyä funktion nollakohtien täsmällinen määrä. Esimerkki Funktiolla f(x) = x 4 + 4x 2 7x 5 on täsmälleen kaksi reaalista nollakohtaa (harjoitustehtävä). Lause 5.4 (Differentiaalilaskennan väliarvolause). Jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä ]a, b[, niin on olemassa sellainen ξ ]a, b[, että f(b) f(a) = f (ξ)(b a). Todistus. Olkoon h(x) = x [f(b) f(a)] f(x)(b a). Selvästi h on jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[. Lisäksi h(a) = h(b) = af(b) bf(a). Täten Rollen lausetta voidaan soveltaa funktioon h välillä [a, b], joten on olemassa sellainen ξ ]a, b[, että h (ξ) = [f(b) f(a)] f (ξ)(b a) = 0. Siis f(b) f(a) = f (ξ)(b a). Huomautus. Lauseesta 5.4 käytetään usein lyhyesti pelkästään nimitystä väliarvolause. Siitä käytetään myös lyhennettä VAL. 32

137 f(b) f(b) f(a) f(a) a ξ ξ 2 b b a Kuva 5.: Funktion f kuvaajan pisteisiin (ξ, f(ξ )) ja (ξ 2, f(ξ 2 )) piirretyt tangentit ovat pisteiden (a, f(a)) ja (b, f(b)) kautta kulkevan suoran suuntaisia, joten tangenteilla ja kyseisellä suoralla on sama kulmakerroin. Huomautus. Väliarvolauseen tulos voidaan esittää myös muodossa (vrt. kuva 5.) f (ξ) = f(b) f(a). b a Huomautus. Piste ξ riippuu paitsi funktiosta f myös välistä [a, b] (vrt. kuva 5. ja esimerkki 5.24). Esimerkki Olkoon f(x) = x 3. Tarkastellaan väliä [0, b], missä b > 0, ja määritetään väliarvolauseessa esiintyvä piste ξ. Funktio f on polynomina jatkuva ja derivoituva välillä [0, b], joten väliarvolauseen nojalla on olemassa sellainen ξ ]0, b[, että b 3 0 = 3ξ 2 (b 0). Siis ξ = b 3 ]0, b[. Siis ξ todellakin riippuu koko ajan välin päätepisteistä. 33

138 Esimerkki Osoitetaan väliarvolauseen avulla, että cos x x x R. Tarkastellaan funktiota f(t) = cos t. Esimerkin 5.5 (s. 6) nojalla f on jatkuva ja derivoituva kaikilla t R ja f (t) = sin t t R. : Olkoon x > 0. Sovelletaan väliarvolausetta funktioon f välillä [0, x] (f on jatkuva ja derivoituva välillä [0, x]). On siis olemassa sellainen ξ ]0, x[, että cos x cos 0 = sin ξ (x 0). Koska cos 0 = ja sin ξ kaikilla ξ R, niin cos x = sin ξ x = sin ξ x x. 2 : Olkoon x < 0. Sovelletaan väliarvolausetta funktioon f välillä [x, 0] (f on jatkuva ja derivoituva välillä [x, 0]). On siis olemassa sellainen ξ ]x, 0[, että eli cos 0 cos x = sin ξ (0 x) cos x cos 0 = sin ξ (x 0). Väite seuraa nyt vastaavasti kuin kohdassa. Koska väite on tosi, kun x = 0, niin kohdista ja 2 seuraa, että väite pätee kaikilla x R. Esimerkki Osoitetaan väliarvolauseen avulla, että ja Tarkastellaan funktiota x < x + 2 x > x + x <, kun 0 < x <. 2 f(t) = t (t 0) ja sovelletaan väliarvolausetta funktioon f väleillä [, x] sekä [x, ]. Yksityskohdat jätetään harjoitustehtäväksi. 34

139 Lause 5.5 (Integraalilaskennan peruslause). Jos f 0 välillä I, niin f on vakio välillä I. Todistus. Oletetaan, että x, y I ja x < y. Koska f on derivoituva välillä I, on f myös jatkuva välillä I (ja siis myös välillä [x, y]). Siis väliarvolausetta voidaan soveltaa funktioon f välillä [x, y]. On siis olemassa sellainen ξ ]x, y[, että f(y) f(x) = =0 {}}{ f (ξ)(y x) = 0. Siis Täten f on vakio kaikilla x I. f(y) = f(x). Seuraus 5.6. Jos f (x) = g (x) x I, niin on olemassa sellainen vakio C R, että f(x) = g(x) + C x I. Seuraus 5.7. Jos f (x) = g (x) x I ja on olemassa sellainen x I, että f(x) = g(x), niin f(x) = g(x) x I. Esimerkki Määritetään funktio f, kun tiedetään, että f(0) = ja Koska f (x) = x + x R. ( x 2 ) D 2 + x = x +, niin seurauksen 5.6 perusteella on olemassa sellainen C R, että Koska niin C =. Siis f(x) = x2 2 + x + C. f(0) = C =, f(x) = x2 2 + x + x R. Merkintä f 0 välillä I tarkoittaa, että f (x) = 0 kaikilla x I. 35

140 Lause 5.8. Oletetaan, että funktio f on jatkuva välillä I ja derivoituva välin I sisäpisteissä. Tällöin f on kasvava välillä I täsmälleen silloin, kun välin I sisäpisteissä. f (x) 0 Todistus. : Oletetaan ensin, että f on kasvava välillä I. Olkoon x jokin välin I sisäpiste. Koska f on kasvava välillä I, niin Siis f(x + h) f(x), kun h < 0 ja x + h I, f(x + h) f(x), kun h > 0 ja x + h I. f(x + h) f(x) h 0, kun h 0 ja x + h I. Täten lauseen 3.8 (s. 66) perusteella (raja-arvo on olemassa, koska f on derivoituva pisteessä x) f f(x + h) f(x) (x) = 0. h 0 h : Oletetaan toiseksi, että f (x) 0 aina, kun x on välin I sisäpiste. Olkoot x ja x 2 sellaisia välin I pisteitä, että x < x 2. Koska f on jatkuva välillä I ja derivoituva välin I sisäpisteissä, niin f on jatkuva välillä [x, x 2 ] ja derivoituva välillä ]x, x 2 [. Täten väliarvolausetta voidaan soveltaa funktioon f välillä [x, x 2 ]. On siis olemassa sellainen ξ ]x, x 2 [, että f(x 2 ) f(x ) = 0 > 0 {}}{{}}{ f (ξ) (x 2 x ) 0. Siis joten f on kasvava välillä I. f(x ) f(x 2 ), Lause 5.9. Oletetaan, että funktio f on jatkuva välillä I ja derivoituva välin I sisäpisteissä. Tällöin f on aidosti kasvava välillä I täsmälleen silloin, kun f (x) 0 välin I sisäpisteissä ja epäyhtälössä yhtäsuuruus ei ole voimassa millään välin I osavälillä (vaan korkeintaan yksittäisissä pisteissä). 36

141 Todistus. : Oletetaan ensin, että funktio f on aidosti kasvava välillä I. Tällöin lauseen 5.8 nojalla f (x) 0 x I. Jos nyt olisi olemassa sellainen I I, että f (x) = 0 x I, niin f olisi integraalilaskennan peruslauseen (lause 5.5, s. 35) nojalla vakio kaikilla x I. Siis f ei olisi aidosti kasvava, mikä on vastoin oletusta. 2 : Oletetaan toiseksi, että f (x) 0 aina, kun x on välin I sisäpiste, ja että yhtäsuuruus ei ole voimassa millään välin I osavälillä. Tällöin f on lauseen 5.8 nojalla kasvava välillä I. Tehdään vastaoletus, että f ei ole aidosti kasvava. Tällöin on olemassa sellaiset pisteet x, x 2 I, että x < x 2 ja f(x ) = f(x 2 ). Kasvavana funktiona f on tällöin vakio välillä [x, x 2 ], joten mikä on vastoin oletusta. f (x) = 0 x ]x, x 2 [, Lause Oletetaan, että funktio f on jatkuva välillä I ja derivoituva välin I sisäpisteissä. Tällöin f on vähenevä välillä I täsmälleen silloin, kun välin I sisäpisteissä. Todistus. Harjoitustehtävä. f (x) 0 Lause 5.2. Oletetaan, että funktio f on jatkuva välillä I ja derivoituva välin I sisäpisteissä. Tällöin f on aidosti vähenevä välillä I täsmälleen silloin, kun f (x) 0 välin I sisäpisteissä ja epäyhtälössä yhtäsuuruus ei ole voimassa millään välin I osavälillä (vaan korkeintaan yksittäisissä pisteissä). Todistus. Harjoitustehtävä. 37

142 Esimerkki Olkoon f(x) = x + cos x. Selvästi f on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R ja f (x) = sin x 0. Edelleen f (x) = 0 vain, jos x = π + n 2π (n Z). Siis f(x) on aidosti kasvava koko 2 joukossa R. Esimerkki Olkoon f(x) = x n (n Z + ). Tutkimalla funktion f derivaattaa saadaan seuraavat tulokset (harjoitustehtävä). Jos n on pariton, niin f on aidosti kasvava koko reaalilukujen joukossa. Jos n on parillinen, niin f on aidosti vähenevä välillä ], 0] ja aidosti kasvava välillä [0, [. Esimerkki Olkoon f(x) = x n (x 0, n Z ). Tutkimalla funktion f derivaattaa saadaan seuraavat tulokset (harjoitustehtävä). Jos n on pariton, niin f on aidosti vähenevä väleillä ], 0[ ja ]0, [. Jos n on parillinen, niin f on aidosti kasvava välillä ], 0[ ja aidosti vähenevä välillä ]0, [. Esimerkki 5.3. Olkoon I = ]0, [ ja f(x) = x q (q Q). Tutkimalla funktion f derivaattaa saadaan seuraavat tulokset (harjoitustehtävä). Jos q < 0, niin f on aidosti vähenevä välillä I. Jos q = 0, niin f on sekä kasvava että vähenevä välillä I. Jos q > 0, niin f on aidosti kasvava välillä I (ja myös välillä [0, [ ). 38

143 6 Transkendenttisia alkeisfunktioita Tavallisimpia reaauuttujan funktioita kutsutaan alkeisfunktioiksi. Alkeisfunktioita ovat ensinnäkin polynomit eli funktiot, jotka saadaan muuttujasta ja vakioista yhteen- ja kestolaskun avulla. Rationaalifunktiot muodostetaan käyttämällä lausekkeita, joissa voi esiintyä yhteen- ja kertolaskun lisäksi myös jakolaskuja. Kun funktion lausekkeen muodostamisessa saa käyttää myös juurenottoja, funktio on algebrallinen funktio. Algebrallisten funktioiden lisäksi alkeisfunktioita ovat trigonometriset funktiot, trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot (arkusfunktiot), eksponenttifunktiot, logaritmifunktiot ja kaikki näistä yhdistämällä muodostetut funktiot. Näitä alkeisfunktioita kutsutaan transkendenttisiksi alkeisfunktioiksi. 6. Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, ne saavat saman arvon äärettömän monessa pisteessä. Funktiot eivät siis ole injektioita, joten niille ei voida koko reaalilukualueella määritellä käänteisfunktioita. Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot (arkusfunktiot eli syklometriset funktiot) onkin määriteltävä vain tietyille väleille rajoitettujen trigonometristen funktioiden käänteisfunktioina. Määrittelyssä yleisesti käytettyjen rajoittumien avulla saatuja käänteisfunktioita nimitetään usein arkusfunktioiden päähaaroiksi. Muita välejä käyttäen saatuja käänteisfunktioita kutsutaan vastaavasti sivuhaaroiksi. 2π π π 2π Kuva 6.: Funktion sin x kuvaaja origon ympäristössä. 6.. Arkussini Funktio f(x) = sin x on jatkuva kaikilla x R (esimerkki 4.2, s. 90). Lisäksi lauseen 5.9 (s. 36) nojalla funktio on aidosti kasvava välillä [ π, π ], sillä (esimerkki 5.5, s. 6) 2 2 f (x) = cos x 0 x [ π 2, π 2 ] 39

144 ja yhtäsuuruus on voimassa vain, kun x = π 2 x = π. Koska 2 sin( π 2 ) = ja sin π 2 =, ja 2π niin käänteisfunktion olemassaoloa koskevan lauseen 4.29 (s. 07) nojalla funktiolla f : [ π, π ] [, ], 2 2 f(x) = sin x on olemassa jatkuva ja aidosti kasvava käänteisfunktio f : [, ] [ π 2, π 2 ], f (x) = arc sin x, jota usein kutsutaan arkussinin päähaaraksi. Huomautus 6.. Siis arc sin x on sellainen kulma väliltä [ π, π ], että sen sini on x eli 2 2 sin(arc sin x) = x kaikilla x [, ]. Vastaavasti kaikilla x [ π 2, π 2 ]. arc sin(sin x) = x π π 2π Kuva 6.2: Arkussinin päähaara (yhtenäinen viiva) ja sivuhaaroja (katkoviiva). Huomautus 6.2. Koska sin( x) = sin x kaikilla x R, niin y = arc sin( x) sin y = x sin y = x sin( y) = x y = arc sin x y = arc sin x kaikilla x [, ]. Siis määrittelyalueellaan. arc sin( x) = arc sin x Päähaaraa merkitään joskus arc sin x. 40

145 Esimerkki 6.. Sinin perustuloksia ja huomautusta 6.2 käyttäen saadaan arc sin 0 = 0, sillä sin 0 = 0, arc sin = π, sillä sin π =, 2 2 arc sin( ) = π, sillä sin( π) =, 2 2 arc sin 2 = π 4 ja arc sin( 2 ) = π 4, sillä sin π 4 = 2. Esimerkki 6.2. Osoitetaan, että cos(arc sin x) on algebrallinen funktio. Koska sin 2 x + cos 2 x =, niin cos x = ± sin 2 x x R. Siis (6.) cos(arc sin x) = + sin 2 (arc sin x) = x 2 x [, ]. Kaavassa (6.) on valittava merkki +, sillä arc sin x [ π, π ] ja kosini on tällä 2 2 välillä positiivinen (tai nolla). Toinen tapa todistaa väite on tarkastella (kun x ]0, [ ) suorakulmaista kolmiota, jonka hypotenuusa on ja kateetit x sekä x 2. Koska hypotenuusan ja kateetin x 2 välinen kulma on arc sin x, tulos seuraa suoraan kosinin määritelmästä (viereisen kateetin suhde hypotenuusaan). Erikoispisteet (x = 0, ) on tarkasteltava erikseen, ja välillä [, 0[ voidaan käyttää huomautusta 6.2 ja kaavaa cos( x) = cos x (vrt. esimerkki 6.4, s. 44). Sivuhaarat Vastaavasti funktio f : [ π, 3π ] [, ], 2 2 f (x) = sin x on jatkuva ja aidosti vähenevä välillä [ π, 3π ]. Siis funktiolla f 2 2 on jatkuva ja aidosti vähenevä käänteisfunktio f : [, ] [ π, 3π ]. Koska 2 2 π arc sin x [ π 2, 3π 2 ] ja 2 sin(π arc sin x) = sin(arc sin x) = x, niin f (x) = π arc sin x. Huomaa muistikolmio eli suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituus on. 2 Tässä käytetään trigonometrian kaavaa sin(π x) = sin x. 4

146 Koska yleisesti sin(x + n2π) = sin x (n Z), on sinin rajoittumalla väliin [ π + n2π, π + n2π] jatkuva ja aidosti kasvava käänteisfunktio, joka on määritelty välillä [, ] ja jolla on 2 2 lauseke arc sin x + n2π (n Z). Vastaavasti funktion sin x rajoittumalla väliin [ π + n2π, 3π + n2π] on välillä [, ] 2 2 määritelty jatkuva ja aidosti vähenevä käänteisfunktio, jolla on lauseke π arc sin x + n2π (n Z). Jos nyt arc sin x tarkoittaa mitä tahansa reaalilukua y, jolle sin y = x, niin sen kaikki arvot saadaan kaavasta (arvoja on ääretön määrä) arc sin x + n2π, n Z, arc sin x = π arc sin x + n2π, n Z. Derivaatta Päähaaraa tarkasteltaessa todettiin, että funktio f(x) = sin x on jatkuva, aidosti kasvava sekä derivoituva välillä [ π, π ] ja että 2 2 f (x) = cos x > 0 x ] π 2, π 2 [. Täten arc sin x on lauseen 5.6 (s. 27) nojalla derivoituva kaikilla x ], [. Olkoon nyt y = arc sin x. Tällöin käänteisfunktion derivoimiskaavan (s. 27) ja esimerkin 6.2 perusteella D(arc sin x) = D(sin y) = cos y = cos(arc sin x) = x 2 kaikilla x ], [. Vastaavasti yleistettynä saadaan D(arc sin x + n2π) = D(arc sin x) =, x ], [, n Z, x 2 ja D(π arc sin x + n2π) = D(arc sin x) =, x ], [, n Z. x 2 42

147 2π π π 2π Kuva 6.3: Funktion cos x kuvaaja origon ympäristössä Arkuskosini Tarkastellaan nyt funktiota 2π f(x) = cos x. Vastaavasti kuin luvussa 6.. havaitaan, että cos x on jatkuva ja aidosti vähenevä välillä [0, π], sillä π f (x) = sin x 0 x [0, π] ja yhtäsuuruus on voimassa vain, kun x = 0 ja x = π. Koska lisäksi välin päätepisteissä cos 0 = ja cos π =, niin funktiolla f : [0, π] [, ], π f(x) = cos x on olemassa jatkuva ja aidosti vähenevä käänteisfunktio f : [, ] [0, π], f (x) = arc cos x, jota usein kutsutaan arkuskosinin päähaaraksi. 2π Kuva 6.4: Arkuskosinin päähaara (yhtenäinen viiva) ja sivuhaaroja (katkoviiva). Huomautus 6.3. Siis arc cos x on sellainen kulma väliltä [0, π], että sen kosini on x eli cos(arc cos x) = x kaikilla x [, ]. Vastaavasti kaikilla x [0, π]. Päähaaraa merkitään joskus arc cos x. arc cos(cos x) = x 43

148 Huomautus 6.4. Koska cos(π x) = cos x kaikilla x R, niin arc cos( x) = π arc cos x määrittelyalueellaan (harjoitustehtävä, vrt. huomautus 6.2, s. 40). Esimerkki 6.3. Kosinin perustuloksia ja huomautusta 6.4 käyttäen saadaan arc cos 0 = π, sillä cos π = 0, 2 2 arc cos( ) = π, sillä cos π =, arc cos = 0, sillä cos 0 =, arc cos 2 = π 4 ja arc cos( 2 ) = π π 4 = 3π 4, sillä cos π 4 = 2. Esimerkki 6.4. Osoitetaan, että sin(arc cos x) = x 2 x [, ]. : Olkoon aluksi x ]0, [. Tarkastellaan taas (vrt. esimerkki 6.2) suorakulmaista kolmiota, jonka hypotenuusa on ja kateetit x sekä x 2. Koska hypotenuusan ja kateetin x välinen kulma on arc cos x, tulos seuraa suoraan sinin määritelmästä (vastakkaisen kateetin suhde hypotenuusaan). 2 : Jos x = 0 tai x =, niin tulos saadaan laskemalla kyseiset arvot (ks. esimerkki 6.3). 3 : Olkoon sitten x [, 0[. Käyttämällä huomautusta 6.4, kaavaa sin(π y) = sin y y R sekä kohtia ja 2 saadaan sin(arc cos x) = sin(π arc cos( x)) = sin(arc cos( x)) = ( x) 2 = x 2. Kohdista 3 seuraa, että väite pätee kaikilla x [, ]. 44

149 Sivuhaarat Vastaavalla tavalla kuin sinille voidaan osoittaa (harjoitustehtävä), että kosinin rajoittumalla väliin [n2π, π + n2π] on välillä [, ] määritelty jatkuva ja aidosti vähenevä käänteisfunktio f (x) = arc cos x + n2π (n Z). Vastaavasti rajoittumalla väliin [π + n2π, 2π + n2π] on välillä [, ] määritelty jatkuva ja aidosti kasvava käänteisfunktio f (x) = 2π arc cos x + n2π (n Z). Jos siis arc cos x tarkoittaa mitä tahansa reaalilukua y, jolle cos y = x, niin sen kaikki arvot saadaan kaavasta (arvoja on ääretön määrä) arc cos x + n2π, n Z, arc cos x = 2π arc cos x + n2π, n Z. Derivaatta Vastaavalla tavalla kuin arkussinille voidaan osoittaa (harjoitustehtävä), että kosinin käänteisfunktio arc cos x on derivoituva kaikilla x ], [. Lisäksi käänteisfunktion derivoimiskaavan ja esimerkin 6.4 perusteella (kun y = arc cos x) D(arc cos x) = D(cos y) = sin y = sin(arc cos x) = x 2 kaikilla x ], [. Vastaavasti yleistettynä saadaan ja D(arc cos x + n2π) = D(arc cos x) =, x ], [, n Z, x 2 D(2π arc cos x + n2π) = D(arc cos x) =, x ], [, n Z. x 2 45

150 Huomautus 6.5. Kaikilla x [, ] pätee arc sin x + arc cos x = π 2. Todistus. Välin päätepisteissä väite pätee esimerkkien 6. (s. 4) ja 6.3 (s. 44) perusteella. Tarkastellaan siis väliä ], [. Koska D(arc sin x + arc cos x) = x 2 x 2 = 0 x ], [, niin integraalilaskennan peruslauseen (lause 5.5, s. 35) nojalla on olemassa sellainen vakio C R, että arc sin x + arc cos x = C x ], [. Koska niin Siis arc sin 0 + arc cos 0 = 0 + π 2 = π 2, C = π 2. arc sin x + arc cos x = π 2 x ], [ Arkustangentti Tarkastellaan funktiota f(x) = tan x = sin x cos x. Koska sin x ja cos x ovat jatkuvia kaikilla x R ja cos x > 0 kaikilla x ] π, π[, 2 2 niin f on jatkuva välillä ] π, π [. Lisäksi (esimerkki 5.3, s. 2) 2 2 f (x) = cos 2 x > 0 x ] π 2, π 2 [, joten f on lauseen 5.9 (s. 36) nojalla aidosti kasvava välillä ] π, π [. Koska 2 2 tan x = ja tan x = x π + x π 2 2 (harjoitustehtävä), niin funktiolla f : ] π 2, π 2 [ R, f(x) = tan x on huomautuksen 4.3 (s. 08) nojalla jatkuva ja aidosti kasvava käänteisfunktio f : R ] π 2, π 2 [, f (x) = arc tan x, jota usein kutsutaan arkustangentin päähaaraksi (ks. kuva 6.6, s. 48). Päähaaraa merkitään joskus arc tan x. 46

151 2π π 2π π π 2π π 2π Kuva 6.5: Funktion tan x kuvaaja origon ympäristössä. Huomautus 6.6. Siis arc tan x on sellainen kulma väliltä ] π, π [, että sen tangentti 2 2 on x eli tan(arc tan x) = x kaikilla x R. Vastaavasti kaikilla x ] π 2, π 2 [. arc tan(tan x) = x Huomautus 6.7. Koska tan( x) = tan x tangentin määrittelyalueella, niin arc tan( x) = arc tan x kaikilla x R (harjoitustehtävä, vrt. huomautus 6.2, s. 40). Huomautus 6.8. Arkustangentin määrittelystä seuraa suoraan, että arc tan x = π ja x 2 x arc tan x = π. 2 Esimerkki 6.5. Tangentin perustuloksia ja huomautusta 6.7 käyttäen saadaan arc tan 0 = 0, sillä tan 0 = 0, arc tan = π 4 ja arc tan( ) = π 4, sillä tan π 4 =. 47

152 π 2π π π 2π π Kuva 6.6: Arkustangentin päähaara (yhtenäinen viiva) ja kaksi sivuhaaraa (katkoviivat). Sivuhaarat Koska tangentin perusjakso on π, niin (harjoitustehtävä) funktion tan x rajoittumalla väliin ] π + nπ, π + nπ[ on aidosti kasvava käänteisfunktio, joka on määritelty 2 2 kaikilla x R ja jolla on lauseke arc tan x + nπ (n Z). Jos siis arc tan x tarkoittaa mitä tahansa reaalilukua y, jolle tan y = x, niin sen kaikki arvot saadaan kaavasta (arvoja on ääretön määrä) arc tan x = arc tan x + nπ, n Z. Derivaatta Vastaavalla tavalla kuin arkussinille voidaan osoittaa (harjoitustehtävä), että tangentin käänteisfunktio arc tan x on derivoituva kaikilla x R. Käyttämällä käänteisfunktion derivoimiskaavaa (s. 27) ja tangentin derivaattaa (esimerkki 5.3, s. 2) saadaan (kun y = arc tan x) D(arc tan x) = D(tan y) = + tan 2 y = + tan 2 (arc tan x) = + x 2 kaikilla x R. Vastaavasti yleistettynä saadaan D(arc tan x + nπ) = D(arc tan x) = + x 2 x R, n Z. 48

153 Esimerkki 6.6. Osoitetaan, että arc tan x + arc tan x =, kun x > 0, π 2 π 2, kun x < 0. Olkoon f(x) = arc tan x + arc tan x (x 0). Tällöin f on derivoituva väleillä ], 0[ ja ]0, [. Lisäksi f (x) = + x ( x )2 ( x 2 ) = + x 2 x 2 + = 0 (x 0). Täten integraalilaskennan peruslauseen (lause 5.5, s. 35) nojalla on olemassa sellaiset C, C 2 R, että Koska (ks. esimerkki 6.5) C, kun x > 0, f(x) = C 2, kun x < 0. f() = arc tan + arc tan = π + π 4 4 = π 2 ja f( ) = arc tan( ) + arc tan( ) = ( π) + ( π) = π, niin C = π 2 ja C 2 = π, 2 mistä esimerkin tulos seuraa Arkuskotangentti Tarkastellaan funktiota f(x) = cot x = cos x sin x. Koska sin x ja cos x ovat jatkuvia kaikilla x R ja sin x > 0 kaikilla x ]0, π[, niin funktio f on jatkuva välillä ]0, π[. Lisäksi (esimerkki 5.3, s. 2) f (x) = sin 2 x < 0 x ]0, π[, joten f on lauseen 5.2 (s. 37) nojalla aidosti vähenevä välillä ]0, π[. Koska cot x = ja cot x = x 0+ x π 49

154 2π π 3π 2π π π 2π 3π π 2π Kuva 6.7: Funktion cot x kuvaaja välillä ] 3π, 3π[. (harjoitustehtävä), niin funktiolla f : ]0, π[ R, f(x) = cot x on huomautuksen 4.3 (s. 08) nojalla jatkuva ja aidosti vähenevä käänteisfunktio f : R ]0, π[, f (x) = arc cot x, jota usein kutsutaan arkuskotangentin päähaaraksi (ks. kuva 6.8, s. 5). Huomautus 6.9. Siis arc cot x on sellainen kulma väliltä ]0, π[, että sen kotangentti on x eli cot(arc cot x) = x kaikilla x R. Vastaavasti kaikilla x ]0, π[. arc cot(cot x) = x Huomautus 6.0. Koska cot(π x) = cot x kotangentin määrittelyalueella, niin arc cot( x) = π arc cot x kaikilla x R (harjoitustehtävä, vrt. huomautus 6.2, s. 40). Päähaaraa merkitään joskus arc cot x. 50

155 2π π 2π π π 2π π Kuva 6.8: Arkuskotangentin päähaara (yhtenäinen viiva) ja kaksi sivuhaaraa (katkoviivat). Huomautus 6.. Arkuskotangentin määrittelystä seuraa suoraan, että arc cot x = π ja arc cot x = 0. x x Esimerkki 6.7. Kotangentin perustuloksia ja huomautusta 6.0 käyttäen saadaan arc cot 0 = π 2, sillä cot π 2 = 0, arc cot = π 4 ja arc cot( ) = π π 4 = 3π 4, sillä cot π 4 =. Sivuhaarat Koska kotangentin perusjakso on π, niin (harjoitustehtävä) funktion cot x rajoittumalla väliin ]nπ, π + nπ[ on aidosti vähenevä käänteisfunktio, joka on määritelty kaikilla x R ja jolla on lauseke arc cot x + nπ (n Z). Jos siis arc cot x tarkoittaa mitä tahansa reaalilukua y, jolle cot y = x, niin sen kaikki arvot saadaan kaavasta (arvoja on ääretön määrä) arc cot x = arc cot x + nπ, n Z. 5

156 Derivaatta Vastaavalla tavalla kuin arkussinille voidaan osoittaa (harjoitustehtävä), että kotangentin käänteisfunktio arc cot x on derivoituva kaikilla x R. Käyttämällä käänteisfunktion derivoimiskaavaa (s. 27) ja kotangentin derivaattaa (esimerkki 5.3, s. 2) saadaan (kun y = arc cot x) D(arc cot x) = D(cot y) = cot 2 y = + cot 2 (arc cot x) = + x 2 kaikilla x R. Vastaavasti yleistettynä saadaan D(arc cot x + nπ) = D(arc cot x) = + x 2 x R, n Z. Huomautus 6.2. Kaikilla x R pätee arc tan x + arc cot x = π 2. Todistus. Koska D(arc tan x + arc cot x) = + x = 0 x R, 2 + x2 niin integraalilaskennan peruslauseen (lause 5.5, s. 35) nojalla on olemassa sellainen vakio C R, että Lisäksi (ks. esimerkit 6.5 ja 6.7) arc tan x + arc cot x = C x R. arc tan + arc cot = π 4 + π 4 = π 2, joten Siis C = π 2. arc tan x + arc cot x = π 2 x R. 52

157 6.2 Eksponenttifunktio Aiemmin (s ) on määritelty, että e = ( + n = n n) n Edelleen on määritelty (esimerkki 4.23, s. 09), että e m n joten funktio (ks. kuva 6.9, s. 62) n i=0 i!. = ( ) e m ( ) n = n m e, kun m Z ja n Z+, f(x) = e x on määritelty kaikilla rationaaliluvuilla. Pyritään nyt määrittelemään f siten, että funktio tulee jatkuvaksi kaikilla reaaliluvuilla. Koska rationaalilukuja on tiheästi reaalilukujen joukossa, tämä määrittely voidaan tehdä vain yhdellä tavalla (ks. esimerkki 4.6, s. 00) Rationaaliluku eksponenttina Ennen varsinaista eksponenttifunktion määrittelyä todetaan muutamia rationaaliluvuilla määritellyn eksponenttifunktion ominaisuuksia. Lause 6.3. Jos n Z + ja n 2, niin Todistus. Esimerkin 2.7 (s. 49) nojalla n < e n < n. ( + ) n ( < e < + ) n+ n n kaikilla n Z +. Valitsemalla epäyhtälön oikealla puolella luvun n sijasta luku n saadaan ( + ) n ( < e < + ) n n n kaikilla n 2. Täten + n < e n < + n, eli n < e n < n kaikilla n 2. 53

158 Lause 6.4. Jos x Q +, niin e x >. Todistus. Tulos seuraa suoraan lauseesta 6.3 ja rationaalipotenssin laskusäännöistä. Lause 6.5. Jos x, x 2 Q, niin e x +x 2 = e x e x 2. Todistus. Selvä rationaalipotenssin laskusääntöjen perusteella. Lause 6.6. Jos x, x 2 Q ja x < x 2, niin e x < e x 2. Todistus. Koska x 2 = x + x 3, missä x 3 Q +, niin tulos seuraa suoraan lauseista 6.4 ja 6.5. Lause 6.7. Jos x n Q (n Z + ) ja n x n = 0, niin n e xn =. Todistus. Koska n x n = 0, niin p Z + : n p Z + s.e. p < x n < p aina, kun n > n p. Tällöin lauseen 6.6 nojalla (6.2) e p < e xn < e p aina, kun n > n p. Toisaalta lauseen 6.3 nojalla joten suppiloperiaatteen nojalla 0 < p < e p < p p 2, (e p ) = 0. p Siis ja e p = p p e p = p e p Täten suppiloperiaatteen ja ehdon (6.2) nojalla =. n exn =. 54

159 Lause 6.8. Jos x, x n Q (n Z + ) ja n x n = x, niin n e xn = e x. Todistus. Lauseen 6.5 nojalla e xn = e xn x+x = e xn x e x. Koska x n x Q ja n (x n x) = 0, niin lauseen 6.7 nojalla n exn x =. Siis n exn = n e xn x e x = e x = e x Eksponenttifunktion määrittely ja perusominaisuuksia Olkoon x R. Tällöin joukko E x = {e r r < x, r Q} on lauseen 6.6 nojalla ylhäältä rajoitettu (ylärajaksi kelpaa mikä tahansa e q, jolle x < q (q Q)). Täten joukolla E x on pienin yläraja ja voidaan asettaa seuraava määritelmä. Määritelmä 6.. Olkoon x R \ Q. Silloin e x = sup {e r r < x, r Q}. Tutkitaan sitten saadun eksponenttifunktion e x ominaisuuksia. Lause 6.9. Olkoon x R \ Q ja x n Q (n Z + ). Jos x n < x kaikilla n Z + ja x n = x, niin n = e x. n exn Todistus. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Olkoon E x = {e r r < x, r Q}. Koska e x = sup E x, niin lauseen.7 (s. 9) nojalla on olemassa sellainen r Q, että r < x ja (6.3) e x ε < e r e x. 55

160 Lisäksi x n = x ja x n < x n Z +, n joten lukujonon raja-arvon perusominaisuuksien nojalla on olemassa sellainen rajaluku n ε Z +, että r < x n < x n > n ε. Täten lauseen 6.6 ja luvun e x määrittelyn (e xn E x, e x = sup E x ) perusteella Siis ehdon (6.3) nojalla e r < e xn e x n > n ε. e x ε < e xn e x n > n ε, joten lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella n exn = e x. Lause Jos x, y R, niin e x+y = e x e y. Todistus. Tarkastellaan sellaisia lukujonoja (x n ) ja (y n ), että x n Q, x n < x ja n x n = x sekä Tällöin y n Q, y n < y ja n y n = y. x n + y n < x + y n Z + ja n (x n + y n ) = x + y. Täten lauseen 6.8 (rationaaliluvut) ja lauseen 6.9 (irrationaaliluvut) nojalla n exn = e x, n e yn = e y ja n e xn+yn = e x+y. Käyttämällä lisäksi lausetta 6.5 ja lukujonon raja-arvon laskusääntöjä (lause 2.3, s. 32) saadaan e x+y = n e xn+yn = n (e xn e yn ) = e xn e yn = e x e y. n n Tällaiset lukujonot voidaan aina löytää esimerkiksi valitsemalla alkiot väleiltä ]x n, x[ ja ]y n, y[ (n Z +). 56

161 Lause 6.2. Eksponenttifunktio on positiivinen eli e x > 0 kaikilla x R. Todistus. Lauseen 6.20 nojalla e x = e x 2 + x 2 = e x 2 e x 2 = ( e x 2 ) 2 0 x R. On siis enää osoitettava, että e x 0 kaikilla x R. Tehdään vastaoletus, että on olemassa sellainen x 0 R, että e x 0 = 0. Tällöin lauseen 6.20 perusteella e x = e x 0+x x 0 = =0 {}}{ e x 0 e x x 0 = 0 x R, missä on ristiriita, sillä e = e > 0. Huomautus Lauseista 6.20 ja 6.2 seuraa suoraan (x R) e x = e x ex e x = e x+x e x = e0 e x = e x. Lause Eksponenttifunktio e x on aidosti kasvava (joukossa R). Todistus. Lauseen 6.6 nojalla e h > e 0 =, jos h > 0 ja h Q. Jos taas h > 0 ja h R \ Q, niin seurauksen.9 (s. 22) nojalla on olemassa sellainen r Q, että 0 < r < h. Tällöin lauseen 6.6 ja luvun e h määrittelyn perusteella = e 0 < e r e h. Siis e h > kaikilla h > 0. Käyttämällä nyt lauseita 6.20 ja 6.2 saadaan e x+h e x = e x e h e x = >0 >0 {}}{{}}{ e x ( e h ) > 0 x R ja h > 0. Täten e x on aidosti kasvava (joukossa R). Lause Eksponenttifunktio e x on jatkuva kaikilla x R. Todistus. Tarkastellaan ensin funktiota e x pisteessä x = 0. Valitaan mielivaltainen ε > 0. Lauseen 6.7 nojalla n e n = n e n =, joten lukujonon raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa sellainen n ε Z +, että e n < ε ja e n < ε aina, kun n nε. 57

162 Koska lisäksi e x on lauseen 6.23 nojalla aidosti kasvava (ja e 0 = ), niin ja Siis 0 < e x < e nε < ε aina, kun 0 < x < n ε, ε < e nε < e x < 0 aina, kun n ε < x < 0. e x < ε aina, kun 0 < x < n ε, joten funktion raja-arvon määritelmän perusteella x 0 ex = (= e 0 ). Olkoon sitten x R mielivaltainen. Tällöin lauseen 6.20 nojalla e x+h e x = e x e h e x = e x (e h ) e x 0 = 0, kun h 0. Siis eli e x on jatkuva kaikilla x R. h 0 ex+h = e x, Eksponenttifunktion derivaatan määrittämistä varten todistetaan vielä seuraava raja-arvo. Lause x 0 e x x =. Todistus. Osoitetaan ensin, että x 0+ e x x =. Olkoon 0 < x <. Arkhimedeen lauseen (lause.8, s. 2) nojalla on olemassa 2 sellainen n x Z +, että n x x >. Koska x <, niin n 2 x 3. Olkoon nyt n x pienin tällaisista luvuista, jolloin (n x )x. Täten (6.4) n x x < n x ja n x < x n x. Koska eksponenttifunktio on aidosti kasvava (lause 6.23), niin lauseen 6.3 nojalla n x < e nx < e x e nx < n x 2. 58

163 Siis joten (koska x > 0) Siis ehdon (6.4) nojalla n x < e x < n x x < ex x < n x 2, (n x 2)x. n x n x n x x < ex x < (n x 2)x < n x n x 2. Lisäksi ehdon (6.4) nojalla n x, kun x 0+, joten x 0+ Siis suppiloperiaatteen nojalla n x n x = ja x 0+ n x n x 2 =. x 0+ e x x =. Jos sitten x < 0, niin huomautuksen 6.22 nojalla e x x = e x x = e x x = e x }{{} ( e x ) } x {{ }, kun x 0. Siis x 0 e x x =. Lause Eksponenttifunktio e x on derivoituva ja kaikilla x R. D(e x ) = e x Todistus. Olkoon x R. Tällöin lauseiden 6.20 ja 6.25 perusteella h 0 e x+h e x h = h 0 e x e h e x h ( e = e x h ) h 0 }{{ h } Siis e x on derivoituva ja D(e x ) = e x kaikilla x R. = e x = e x. 59

164 Lause Eksponenttifunktiolle e x + x kaikilla x R ja e x = + x täsmälleen silloin, kun x = 0. Todistus. Jos x = 0, niin e x = + x (= ). Muiden arvojen tutkimiseksi tarkastellaan apufunktiota jolloin (lause 6.26). g(x) = e x x, g (x) = e x Koska e 0 =, niin g (0) = 0. Lisäksi e x on aidosti kasvava (lause 6.23), joten g (x) < 0 x < 0 ja g (x) > 0 x > 0. Koska g (x) on jatkuva kaikilla x R (lause 6.24), niin g(x) on aidosti vähenevä, kun x 0 (lause 5.2, s. 37), ja aidosti kasvava, kun x 0 (lause 5.9, s. 36). Koska g(0) = 0, niin kun x < 0 tai x > 0. Siis g(x) = e x x > 0, e x > + x x 0. Huomautus Lauseen 6.27 ja huomautuksen 6.22 nojalla x ex = ja x ex = x e x = x e = 0. x Esimerkki 6.8. Osoitetaan, että x e x x =. Jos x > 0, niin lauseiden 6.20 ja 6.27 nojalla ja edelleen Siis e x = e x 2 + x 2 = e x 2 e x 2 e x x x ( + x ) 2 ( ) x 2 x 2 = x2 4x = x 4. e x x =. 60

165 Esimerkki 6.9. Esimerkin 6.8 seurauksena saadaan välittömästi, että x x e x = x xe x = 0. 6

166 e x 5 log x Kuva 6.9: Funktioiden e x ja log x kuvaajat ovat symmetrisiä suoran y = x suhteen. 6.3 Logaritmifunktio Luvussa 6.2 osoitettiin, että eksponenttifunktio e x on jatkuva ja aidosti kasvava funktio joukolta R joukolle R +. Täten sillä on jatkuva ja aidosti kasvava käänteisfunktio joukolta R + joukolle R. Tämä käänteisfunktio, jota kutsutaan logaritmifunktioksi ja jota merkitään log x, on siis määritelty kaikilla x > 0, ja Siis log x = y e y = x. (6.5) e log x = x x > 0 ja log e x = x x R. Erityisesti log = 0 ja log e =. Edelleen sillä huomautuksen 6.28 nojalla log x = ja log x =, x 0+ x x ex = 0 ja x e x =. Koska De x = e x kaikilla x R (lause 6.26, s. 59) ja e x > 0 kaikilla x R (lause 6.2, s. 57), niin log x on lauseen 5.6 (s. 27) nojalla derivoituva kaikilla x > 0 ja (y = log x) D(log x) = De y = e y = e log x = x. Tällä kurssilla merkintä log x tarkoittaa luonnollista logaritmia. 62

167 Tarkastellaan seuraavaksi muutamia logaritmifunktion laskusääntöjä ja ominaisuuksia. Lause Olkoon x, y > 0. Silloin (i) log(xy) = log x + log y, (ii) log x (iii) log x y = log x, = log x log y, (iv) log x r = r log x (r Q). Todistus. (i) Lauseen 6.20 (s. 56) nojalla e log x + log y = e log x e log y = xy = e log(xy). Koska e x on aidosti kasvava, niin tällöin myös joten (ii) Kohdan (i) nojalla log x + log y = log(xy). log x + log ( x = log x ) x (iii) Seuraa kohdista (i) ja (ii). log x = log x. = log = 0, (iv) Jos r = 0, niin väiteyhtälön molemmat puolet ovat nollia, ja jos r Z +, niin tulos seuraa induktiolla kohdasta (i). Jos r Z, niin hyödyntämällä tapausta m Z + ja kohtaa (ii) saadaan 2 log x m ( ) m = log = ( m) log x x = m log x. Siis (6.6) log x m = m log x m Z. Yleistyy kaikille r R, ks. huomautus 6.33 (s. 67). 2 Esitettyjen perustelujen lisäksi todistuksessa käytetään tavanomaisia rationaalipotenssien laskusääntöjä. 63

168 Jos r / Z, niin r = m n, missä m Z ja n Z +. Tällöin ehdon (6.6) perusteella ja edelleen log x n = n n log x n = n log ( ) x n n = n log x log x r = log x m n = log ( x n ) m = m log x n = m log x = r log x. n Lause Logaritmifunktiolle log x x kaikilla x > 0 ja log x = x täsmälleen silloin, kun x =. Todistus. Lauseen 6.27 (s. 60) nojalla ja x = e log x + log x x > 0 x = e log x täsmälleen silloin, kun log x = 0 eli x =. = + log x Esimerkki 6.0. Osoitetaan, että log x x x = 0. Esimerkin 6.8 (s. 60) nojalla joten Siis x x x log x = e x x =, x log x x x e log x log x =. = 0. 64

169 Esimerkki 6.. Osoitetaan, että x log x = 0. x 0+ Logaritmin laskusääntöjen ja esimerkin 6.0 perusteella ) x log x = x( log x 0+ x 0+ x = x 0+ log x x = z log z z = 0. Esimerkki 6.2. Esimerkin 6. seurauksena havaitaan, että funktio 0, kun x = 0, g(x) = x log x, kun x > 0, on jatkuva, kun x 0. Esimerkki 6.3. Osoitetaan, että x 0 Olkoon f(z) = log z (z > 0). Tällöin log( + x) x =. x 0 log( + x) x = x 0 log( + x) log x = f () = =. 65

170 6.4 Yleinen eksponentti-, logaritmi- ja potenssifunktio 6.4. Yleinen eksponenttifunktio Olkoon nyt a > 0. Tarkoituksena on määritellä a x kaikilla x R siten, että jos x Q (x = m n ), niin a x = a m n = ( n a ) m. Jos a > 0 ja x Q, niin ehdon (6.5) (s. 62) ja lauseen 6.29 (s. 63) kohdan (iv) perusteella a x = e log ax = e x log a. Näin ollen on luonnollista määritellä yleinen eksponenttifunktio vastaavasti kaikilla x R. Määritelmä 6.2. Olkoon a > 0. Tällöin a x = e x log a kaikilla x R. Huomautus 6.3. Koska eksponenttifunktio e x on jatkuva kaikilla x R, myös yleinen eksponenttifunktio a x (a > 0) on jatkuva kaikilla x R. Huomautus Koska e x > 0 kaikilla x R, myös a x > 0 (a > 0) kaikilla x R. a = 2 8 a = Kuva 6.0: Funktion a x kuvaaja, kun a = 2 ja a = 2. Kuvaajat ovat symmetrisiä y-akselin suhteen. 66

171 Huomautus Yleisen eksponenttifunktion määritelmästä seuraa suoraan, että log a x = log e x log a = x log a kaikilla x R. Täten lauseen 6.29 (s. 63) kohta (iv) voidaan yleistää muotoon log x y = y log x x > 0, y R. Lause Olkoon a, b > 0 ja x, y R. Tällöin (i) jos 0 < a <, niin a x on aidosti vähenevä ja x ax = sekä a x = 0, x (ii) jos a >, niin a x on aidosti kasvava ja x ax = 0 sekä a x =, x (iii) a x+y = a x a y, (a x ) y = a xy, (ab) x = a x b x. Todistus. (i) Väite seuraa suoraan siitä, että tällöin log a < 0. (ii) Väite seuraa suoraan siitä, että tällöin log a > 0. (iii) Käyttämällä yleisen eksponenttifunktion määritelmää ja lausetta 6.20 (s. 56) saadaan a x+y = e (x+y) log a = e x log a + y log a = e x log a e y log a = a x a y. Vastaavasti käyttämällä logaritmin laskusääntöjä saadaan log(a x ) y = y log a x = xy log a = log a xy. Koska logaritmifunktio on aidosti kasvava, niin tällöin (a x ) y = a xy. Kolmannen ominaisuuden todistus jätetään harjoitustehtäväksi. Huomautus Huomautuksesta 6.3 ja lauseesta 6.34 seuraa suoraan, että yleinen eksponenttifunktio a x (a > 0, a ) on bijektio R R +. Lause Olkoon a > 0. Tällöin a x on derivoituva kaikilla x R ja Todistus. Laskemalla saadaan D(a x ) = a x log a. D(a x ) = D(e x log a ) = e x log a D(x log a) = e x log a log a = a x log a. 67

172 6.4.2 Yleinen (a-kantainen) logaritmifunktio Kuten luvussa 6.4. todettiin, on yleinen eksponenttifunktio a x jatkuva ja aidosti monotoninen bijektio R R +, kun a > 0 ja a. Siis funktiolla a x on käänteisfunktio R + R, kun a > 0 ja a. Käänteisfunktiota kutsutaan yleiseksi tai a-kantaiseksi logaritmifunktioksi ja merkitään log a x (joskus käytetään myös merkintää a log x). Siis a y = x log a x = y (x > 0). Huomautus Koska a x on jatkuva kaikilla x R, on myös log a x jatkuva kaikilla x > 0. Edelleen koska a x on aidosti vähenevä, kun 0 < a <, niin myös log a x on aidosti vähenevä, kun 0 < a <. Vastaavasti log a x on aidosti kasvava, kun a >. a x log a x Kuva 6.: Funktioiden a x ja log a x kuvaajat, kun a = 2. Kuvaajat ovat symmetrisiä suoran y = x suhteen. Huomautus Koska log x = log ( a log a x) = log a x log a, niin kun x > 0, a > 0 ja a. log a x = log x log a, 68

173 Huomautus Huomautuksesta 6.38 seuraa suoraan, että logaritmin laskusäännöt ovat voimassa myös yleiselle logaritmifunktiolle (harjoitustehtävä). Esimerkiksi kaikilla x, y > 0 (ja kun a > 0, a ). log a (xy) = log a x + log a y Huomautus Olkoon a > 0 ja a. Koska D(a x ) = a x log a (lause 6.36) ja a x log a 0 kaikilla x R, niin log a x on lauseen 5.6 (s. 27) nojalla derivoituva kaikilla x > 0. Derivaataksi saadaan huomautuksen 6.38 nojalla ( ) log x D(log a x) = D log a Yleinen potenssifunktio Jos f(x) > 0, niin käyttämällä muunnoskaavaa = log a x = x log a. (6.7) f(x) g(x) = e log f(x)g(x) g(x) log f(x) = e voidaan määritellä funktio f(x) g(x). Funktion f(x) g(x) ominaisuudet voidaan tällöin palauttaa kaavan (6.7) avulla funktion g(x) log f(x) ominaisuuksiin. Jos esimerkiksi f ja g ovat derivoituvia, niin funktion f(x) g(x) derivaatta voidaan laskea käyttämällä yhdistetyn funktion derivointikaavaa, jolloin D(f(x) g(x) ) = e g(x) log f(x) D(g(x) log f(x)) = f(x) g(x) D(g(x) log f(x)). Esimerkki 6.4. Olkoon f(x) = x x = e log xx = e x log x (x > 0). Tällöin x xx = e x log x x ja koska esimerkin 6. (s. 65) perusteella = niin Lisäksi x log x = 0, x 0+ x 0+ xx = x 0+ ex log x = e 0 =. f (x) = e x log x D(x log x) = e x log x ( log x + x ) = (log x + ) x x x. 69

174 Esimerkki 6.5. Osoitetaan, että funktio on aidosti kasvava, kun x e. Koska f(x) = x 2+log x (x > 0) f(x) = x 2+log x = e log x2+log x = e (2+log x) log x = e 2 log x+log2 x, niin f on selvästi jatkuva, kun x > 0. Lisäksi f (x) = e 2 log x+log2 x D ( 2 log x + log 2 x ) = e 2 log x+log2 x ( 2 x + 2 log x ) x = 2( + log x) x Nyt log x, kun x e eli x e. Täten x 2+log x. f (x) 0 x e. Lisäksi yhtäsuuruus on voimassa vain pisteessä x =. Siis f(x) on aidosti kasvava, e kun x (lause 5.9, s. 36). e Esimerkki 6.6. Osoitetaan, että x ( + a x ) x = e a (a R). Koska ( + a ) x = e log(+ x) a x = e x log(+ x) a, x niin tehtävä palautuu raja-arvon (6.8) x x log määrittämiseen. ( + a ) x Jos a = 0, niin raja-arvo (6.8) on selvästi 0 (= a). Jos taas a 0 ja x, niin z = a 0 ja esimerkin 6.3 (s. 65) nojalla x ( x log + a ) x x = a log( + a) x x a x log( + z) = a z 0 z = a. Siis ( + a x = e x x) x log(+ x) a = e a. x 70

175 Esimerkki 6.7. Olkoon x > 0 ja a R. Tällöin voidaan määritellä yleinen potenssifunktio x a = e a log x. Vastaavasti kuin yleiselle eksponenttifunktiolle voidaan osoittaa, että määritelmä yhtyy aiemmin esitettyyn rationaalilukupotenssin määritelmään ja normaalit laskusäännöt ovat voimassa. Lisäksi yleinen potenssifunktio x a on jatkuva sekä aidosti kasvava, kun a > 0, ja aidosti vähenevä, kun a < 0. Kun a = 0, niin x a. Funktion e x raja-arvoista seuraa suoraan, että x xa = x e a log x =, kun a > 0,, kun a = 0, 0, kun a < 0, ja x 0+ xa = x 0+ ea log x = Potenssifunktio on myös derivoituva ja 0, kun a > 0,, kun a = 0,, kun a < 0. D(x a ) = D(e a log x ) = e a log x D(a log x) = e a log x a x = axa x = axa. Kun a > 0, voidaan lisäksi määritellä 0 a = 0. Tällöin potenssifunktion määrittely laajentuu välille [0, [ ja f(x) = x a on jatkuva sekä aidosti kasvava välillä [0, [ (harjoitustehtävä). Esimerkin 5.7 (s. 7) tapaan saadaan, että f (0+) = 0, jos a >, ja f (0+) =, jos a =. Jos 0 < a <, niin f (0+) ei ole olemassa (sen arvo lähestyy ääretöntä). Täten x a on välillä [0, [ myös derivoituva, jos a. 7

176 7 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 7. Väliarvolauseen yleistys, l Hospitalin sääntö Lause 7. (Yleistetty väliarvolause). Jos funktiot f ja g ovat jatkuvia suljetulla välillä [a, b] ja derivoituvia avoimella välillä ]a, b[, niin on olemassa sellainen piste ξ ]a, b[, että (7.) g (ξ) [f(b) f(a)] = f (ξ) [g(b) g(a)]. Todistus. Olkoon h(x) = f(x) [g(b) g(a)] g(x) [f(b) f(a)]. Tällöin h on jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva välillä ]a, b[, sillä f ja g ovat jatkuvia välillä [a, b] ja derivoituvia välillä ]a, b[. Lisäksi ja joten h(a) = f(a)g(b) f(a)g(a) g(a)f(b) + g(a)f(a) = f(a)g(b) f(b)g(a) h(b) = f(b)g(b) f(b)g(a) g(b)f(b) + g(b)f(a) = f(a)g(b) f(b)g(a), h(a) = h(b). Siis h toteuttaa Rollen lauseen (lause 5.0, s. 3) edellytykset, joten on olemassa sellainen ξ ]a, b[, että h (ξ) = 0 eli f (ξ) [g(b) g(a)] g (ξ) [f(b) f(a)] = 0. Huomautus 7.2. Jos lauseessa 7. tehdään funktiolle g lisäoletus, että g (x) 0 kaikilla x ]a, b[, saadaan (7.2) f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a) (Cauchyn väliarvokaava). Todistus. Jos olisi g(a) = g(b), niin Rollen lausetta (lause 5.0, s. 3) voitaisiin soveltaa funktioon g välillä [a, b], jolloin olisi olemassa sellainen ξ ]a, b[, että g (ξ ) = 0, mikä on vastoin huomautuksen oletuksia. Siis on oltava g(a) g(b), jolloin kaavassa (7.) voidaan jakaa puolittain lausekkeilla g(b) g(a) ja g (ξ). 72

177 Huomautus 7.3. Jos lauseessa 7. valitaan g(x) = x (kaikilla x [a, b]), saadaan tavallinen differentiaalilaskennan väliarvolause. Lause 7.4 (l Hospitalin sääntö). Oletetaan, että (i) x a f(x) = 0 ja x a g(x) = 0, f (x) (ii) x a g (x) on olemassa. Tällöin myös funktiolla f/g on raja-arvo pisteessä x = a ja Todistus. Koska raja-arvo x a f(x) g(x) = x a x a f (x) g (x) f (x) g (x). on olemassa, niin on olemassa sellainen δ > 0, että f (x) ja g (x) ovat olemassa puhkaistussa ympäristössä U δ(a) sekä lisäksi g (x) 0 tässä ympäristössä. Määritellään 2 nyt f(a) = g(a) = 0, jolloin f ja g tulevat jatkuviksi pisteessä a. Valitaan nyt x U δ(a). Tällöin f ja g ovat jatkuvia välillä [a, x] (tai [x, a]) ja derivoituvia välillä ]a, x[ (tai ]x, a[ ). Siis Cauchyn väliarvokaavan (7.2) nojalla on olemassa sellainen ξ ]a, x[ (tai ξ ]x, a[ ), että f (ξ) g (ξ) Jos nyt x a, myös ξ a. Siis x a = f(x) f(a) g(x) g(a) = f(x) g(x). f(x) g(x) = ξ a f (ξ) g (ξ) = x a f (x) g (x). L Hospitalin sääntöä voidaan soveltaa myös toispuoleisiin raja-arvoihin sekä tapauksiin, joissa tarkastellaan raja-arvoa äärettömyydessä tai joissa raja-arvo on ääretön (huomautukset , todistukset jätetään harjoitustehtäväksi). Myös l Hôpitalin sääntö. 2 Lauseen oletusten perusteella ei tiedetä, ovatko funktiot f ja g määriteltyjä pisteessä a. Jos niitä ei ole määritelty, niin määritellään ne nyt. Jos ne on määritelty, mutta f(a) 0 tai g(a) 0, niin muutetaan kyseisten funktioiden määrittelyä. Tämä voidaan tehdä, sillä funktioiden arvolla pisteessä a ei ole vaikutusta etsittyyn raja-arvoon. 73

178 Huomautus 7.5. Lauseen 7.4 laskusääntöä voidaan soveltaa myös -muotoisille raja-arvoille (ts. f(x) = g(x) = (tai )). Edelleen laskusääntöä x a x a voidaan soveltaa myös toispuoleisiin raja-arvoihin. Huomautus 7.6. Lauseessa 7.4 voi a olla myös ±. f (x) Huomautus 7.7. Lauseessa 7.4 voi raja-arvo x a g (x) Esimerkki 7.. Määritetään x 0 x tan x. olla myös ±. Koska funktiot x ja tan x ovat derivoituvia pisteen 0 jossakin ympäristössä sekä niin l Hospitalin säännön nojalla x = 0 ja tan x = 0, x 0 x 0 x 0 x tan x H = 0 0 x 0 + tan 2 x =. Yhtälöketju on tässä luettava ikään kuin lopusta alkuun. Koska x 0 + tan 2 x = (eli raja-arvo on olemassa ja = ), niin l Hospitalin sääntöä voidaan soveltaa ja saadaan yllä oleva tulos. Esimerkki 7.2. Jos asia on ilmeistä, l Hospitalin sääntöä käytettäessä ei aina erikseen korosteta, että tarkasteltavat funktiot toteuttavat vaadittavat ehdot. Esimerkiksi voidaan kirjoittaa yksinkertaisesti x x 5 + x 2 x 3x + 2 H = 0 0 x 5x 4 + x 0 3 = = 2. Vaadittavien ehtojen toteutuminen on kuitenkin aina tarkistettava. Erityisesti on syytä huomata, että sääntöä ei voi käyttää, jos kyseessä ei ole mikään yllä oleva epämääräinen muoto (ks. kuitenkin huomautus 7.8, s. 77). Esimerkiksi x x x 2 }{{} ± 2x x 2x =. 74

179 Esimerkki 7.3. Olkoon a > ja s R. Osoitetaan, että x a x = ja xs x x s a x = 0. : Olkoon s = 0. Tällöin x a x x s = x a x =. 2 : Olkoon s < 0. Tällöin x a x x s = x x s a x =. 3 : Olkoon s > 0. Käyttämällä l Hospitalin sääntöä saadaan (tapaus s = ) x a x x H = x a x log a =. Koska myös a s x >, niin a x x s = x (( ) s ) x a s x s = x (( ) x ) s a s x s = x ( ) x s a s x =. Siis kohtien 3 perusteella ja edelleen x x a x x s = x s a x = 0. Esimerkki 7.4. Esimerkin 7.3 perusteella kaikilla s R. x (log x) s x (log x) s = = 0 x e log x Esimerkki 7.5. Olkoon s > 0. Käyttämällä l Hospitalin sääntöä saadaan x log x x s H = x x = sxs x sx s = 0. 75

180 Esimerkki 7.6. Muunnetaan lauseke ensin sopivaan muotoon, ja sovelletaan sitten l Hospitalin sääntöä kaksi kertaa peräkkäin. Siis ( x 0 x ) e x = x 0 e x x x(e x ) H = 0 0 x 0 e x e x + xe x H = 0 0 x 0 e x e x + e x + xe x = x x = 2. Esimerkki 7.7. Määritetään raja-arvo x 0+ e x x. Käyttämällä suoraan l Hospitalin sääntöä saadaan x 0+ e x x H = 0 0 x 0+ ( x 2 ) e x = x 0+ e x x 2 =? olevasta lausekkeesta muo- eli lauseke vain monimutkaistuu. Siirtymällä muotoa 0 0 toon saadaan x 0+ e x x = x 0+ x e x H = x 0+ x 2 x 2 e x = x 0+ e x = 0. Yksinkertaisemmilla laskuilla selvitään tekemällä muuttujanvaihdos (z = ), jolloin x x 0+ e x x = e z z z = z z e z H = z e z = 0. 76

181 Huomautus 7.8. Jos tarkasteltava lauseke ei ole suoraan l Hospitalin säännön vaatimassa muodossa, lauseke voidaan joskus muuntaa sopivaan muotoon. Esimerkissä 7.6 tarkasteltiin jo tapausta. Muotoa 0 olevat lausekkeet saadaan myös helposti muotoon 0 0 tai. Muotoa 00, ja 0 olevat lausekkeet taas voidaan muuntaa 0 0 = (0+) 0 = e log(0+)0 = e 0 log(0+) = e 0 ( ), = e log = e log = e 0 ja 0 = e log 0 = e 0 log = e 0, jotka palautuvat muotoa 0 0 tai olevan raja-arvon määrittämiseen. Esimerkki 7.8. Muuunnetaan muotoa 0 ( ) oleva lauseke ensin muotoon ja käytetään sitten (kaksi kertaa) l Hospitalin sääntöä. Siis ( x log log ) x x = x log( log x) x log( log x) = x ( x) 2 H = x = x = x ( log x ) ( ) x ( 2 ) ( x) 3 2 ( ) x log x 2 ( x) x ( x) 3 2 x log x H = ( x) 2 ( ) 2 x x = 2 x 3 2 x ( x) 2 = 2 0 = 0. 77

182 Esimerkki 7.9. Määritetään raja-arvo x 0+ (ex ) x. Raja-arvo on muotoa 0 0, mutta muunnoksella x 0+ (ex ) x ) = x x 0+ elog(ex = x 0+ ex log(ex ) se voidaan palauttaa muotoa 0 ( ) (ja edelleen ) olevan raja-arvon määrittämiseen. Hyödyntämällä lauseen 6.25 (s. 58) raja-arvoa saadaan x log(e x ) x 0+ log(ex ) = x 0+ x H = x 0+ e x ex x 2 = x x x 0+ ex e x = 0 = 0. Siis x 0+ (ex ) x = x 0+ ex log(ex ) = e 0 =. 78

183 7.2 Funktion ääriarvot Määritelmä 7.. Funktiolla f on pisteessä a paikallinen maksimi, jos on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) f(a) x U δ (a). Jos yhtäsuuruus on voimassa vain, kun x = a, kyseessä on aito paikallinen maksimi. Määritelmä 7.2. Funktiolla f on pisteessä a paikallinen minimi, jos on olemassa sellainen δ > 0, että f(x) f(a) x U δ (a). Jos yhtäsuuruus on voimassa vain, kun x = a, kyseessä on aito paikallinen minimi. Esimerkki 7.0. Olkoon, kun x = 0, f(x) = 0, kun x 0. Tällöin piste x = 0 on funktion f aito paikallinen maksimipiste. Myös jokainen muu piste on paikallinen ääriarvopiste (mutta ei aito). Lause 7.9. Funktiolla f on pisteessä a aito paikallinen maksimi, jos on olemassa sellainen δ > 0, että f on jatkuva ympäristössä U δ (a) ja f (x) > 0 x ]a δ, a[ ja f (x) < 0 x ]a, a + δ[. Todistus. Oletuksen nojalla f on jatkuva välillä ]a δ, a + δ[. Koska f (x) > 0 kaikilla x ]a δ, a[, niin f on lauseen 5.9 (s. 36) nojalla aidosti kasvava välillä ]a δ, a]. Siis f(x) < f(a) x ]a δ, a[. Toisaalta f (x) < 0 kaikilla x ]a, a + δ[, joten f on lauseen 5.2 (s. 37) nojalla aidosti vähenevä välillä [a, a + δ[. Siis Täten f(x) < f(a) x ]a, a + δ[. f(x) < f(a) x U δ(a), joten funktiolla f on pisteessä a aito paikallinen maksimi. Lause 7.0. Funktiolla f on pisteessä a aito paikallinen minimi, jos on olemassa sellainen δ > 0, että f on jatkuva ympäristössä U δ (a) ja f (x) < 0 x ]a δ, a[ ja f (x) > 0 x ]a, a + δ[. Todistus. Harjoitustehtävä. 79

184 Huomautus. Lauseet 7.9 ja 7.0 eivät ole kääntäen voimassa. Huomautus. Lauseissa 7.9 ja 7.0 ei vaadita, että derivaatta f (a) olisi olemassa. Sen sijaan jatkuvuus pisteessä a on oleellinen vaatimus. Huomautus. Aiemmin on osoitettu (seuraus 5.9, s. 30), että jos a on paikallinen ääriarvopiste ja f (a) on olemassa, niin f (a) = 0. Siis paikallinen ääriarvo saavutetaan joko derivaatan nollakohdassa tai pisteessä, jossa funktio ei ole derivoituva. Huomautus 7.. Jos funktio f on jatkuva pisteessä a ja f on samanmerkkinen pisteen a kummallakin puolella, niin a ei ole funktion f paikallinen ääriarvopiste (harjoitustehtävä). Esimerkki 7.. Etsitään funktion f(x) = x x 2 paikalliset ääriarvopisteet, ja määritetään mahdollisten ääriarvojen laatu. Koska f on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R, niin mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat ovat derivaatan nollakohtia. Nyt f (x) = 2x = 0 x = 2 ja f (x) > 0, kun x <, 2 f (x) < 0, kun x >. 2 aito paikallinen maksimi (ja vastaava maksi- Siis funktiolla f on pisteessä x = 2 miarvo on f( ) = = ) Esimerkki 7.2. Osoitetaan, että funktiolla f(x) = x 3 ei ole paikallisia ääriarvopisteitä. Koska f on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R, niin funktion f mahdolliset paikalliset ääriarvokohdat ovat derivaatan nollakohtia. Nyt f (x) = 3x 2 = 0 x = 0. Kuitenkin f (x) > 0 kaikilla x 0, joten f ei vaihda merkkiään pisteessä x = 0. Siis piste x = 0 ei ole funktion f ääriarvokohta, mistä tulos seuraa. 80

185 Esimerkki 7.3. Etsitään funktion x, kun x 0, f(x) = x 2, kun x = 0, paikalliset ääriarvopisteet, ja määritetään mahdollisten ääriarvojen laatu. : Olkoon x >. Tällöin f(x) = x, x 2 joten f on jatkuva sekä derivoituva ja Siis f (x) = x2 2x(x ) x 4 = x2 2x 2 + 2x x 4 = f (x) > 0, kun < x < 2, f (x) = 0, kun x = 2, f (x) < 0, kun x > 2, 2x x2 x 4 = 2 x x 3. joten funktiolla f on aito paikallinen maksimi pisteessä x = 2 (maksimiarvo f(2) = 4 ). 2 : Olkoon x =. Koska f() = 0 ja f(x) > 0 kaikilla x, niin piste x = on funktion f aito paikallinen minimipiste Kuva 7.: Esimerkin 7.3 funktion kuvaaja välillä [ 6, 6]. 8

186 3 : Olkoon x < ja x 0. Tällöin joten f on jatkuva sekä derivoituva ja f(x) = x x 2, f (x) = x2 2x( x) = x2 2x + 2x 2 x 4 x 4 = x2 2x x 4 = x 2 x 3. Koska f (x) 0 kaikilla x < (x 0), niin funktiolla f ei ole paikallisia ääriarvopisteitä, kun x < ja x 0. 4 : Olkoon x = 0. Koska f(x) = x 0 x 0 niin on olemassa sellainen δ > 0, että x x 2 =, f(x) > = f(0) x U δ(0). Siis piste x = 0 on funktion f aito paikallinen minimipiste. Kohdista 4 seuraa, että funktiolla f on aito paikallinen minimi pisteissä x = 0 ja x = sekä aito paikallinen maksimi pisteessä x = 2. Lause 7.2. Oletetaan, että funktio f on kahdesti derivoituva pisteessä a ja f (a) = 0. Tällöin (i) jos f (a) < 0, niin a on funktion f aito paikallinen maksimipiste, (ii) jos f (a) > 0, niin a on funktion f aito paikallinen minimipiste. Todistus. Todistetaan kohta (i), ja jätetään kohdan (ii) todistus harjoitustehtäväksi. Jos f (a) < 0, niin lauseen 5.8 (s. 30) nojalla on olemassa sellainen δ > 0, että ja f (x) > f (a) = 0 x ]a δ, a[ f (x) < f (a) = 0 x ]a, a + δ[. Derivoituva funktiona f on jatkuva ympäristössä U δ (a), joten lauseen 7.9 nojalla funktiolla f on aito paikallinen maksimi pisteessä a. 82

187 Esimerkki 7.4. Osoitetaan, että piste x = 0 on funktion f(x) = e x + sin x 2x aito paikallinen minimipiste. Nyt f (x) = e x + cos x 2 ja f (x) = e x sin x. Koska f (0) = + 2 = 0 ja f (0) = 0 = > 0, niin piste x = 0 on funktion f aito paikallinen minimipiste Kuva 7.2: Funktion e x + sin x 2x kuvaaja välillä [ 4 2, ]. Esimerkki 7.5. Tutkitaan, onko funktiolla f(x) = bx 2 + cos x (b R) paikallista ääriarvoa pisteessä x = 0, ja määritetään mahdollisen paikallisen ääriarvon laatu. Nyt f (x) = 2bx sin x ja f (x) = 2b cos x. 83

188 4 b = 2 b = 2 b = Kuva 7.3: Funktion bx 2 + cos x kuvaaja, kun b = 4, b = 2 ja b =. Siis f (0) = 0 kaikilla b R. Koska f (0) = 2b, niin f (0) > 0, kun b > 2, ja f (0) < 0, kun b < 2. Täten piste x = 0 on funktion f aito paikallinen minimipiste, kun b >, ja aito 2 paikallinen maksimipiste, kun b <. 2 Olkoon sitten b =. Tällöin f (0) = 0, joten lausetta 7.2 ei voida hyödyntää. 2 Koska f (x) = 2 cos x = cos x > 0 x 2 U π (0), niin f on aidosti kasvava pisteen x = 0 ympäristössä. Siis f (x) < 0, kun π < x < 0, 2 f (x) = 0, kun x = 0, f (x) > 0, kun 0 < x < π, 2 joten piste x = 0 on funktion f aito paikallinen minimipiste (kun b = 2 ). 2 Huomautus 7.3. Jos funktiolla f on välillä I suurin (pienin) arvo, niin se saavutetaan joko (i) välin sisäpisteessä paikallisessa ääriarvokohdassa, tai (ii) väliin mahdollisesti kuuluvassa päätepisteessä. Huomautus 7.4. Jos funktio f on jatkuva ja I on suljettu väli, niin suurin (pienin) arvo saavutetaan aina. Muulloin saavuttaminen on epävarmaa. 84

189 3/4 /2 a = 2 a = 3 /4 /2 Kuva 7.4: Funktion x a + ( x) a kuvaaja välillä [0, ], kun a = 2 (katkoviiva) ja a = 3 (yhtenäinen viiva). Esimerkki 7.6. Olkoon a >. Osoitetaan, että Olkoon 2 a x a + ( x) a x [0, ]. f(x) = x a + ( x) a. Esimerkin 6.7 (s. 7) nojalla f on jatkuva sekä derivoituva välillä [0, ] ja f (x) = ax a + a( x) a ( ) = a ( x a ( x) a ). Koska yleinen potenssifunktio (a > 0) on välillä [0, ] aidosti kasvava (esimerkki 6.7, s. 7), niin Nyt f (x) = 0 x a ( x) a = 0 x a = ( x) a x = x x = 2. f(0) = f() = ja f( ) = ( a ( ) a 2 2) + 2 = 2 = 2 a. 2 a Lisäksi 2 a <, kun a >. Siis välillä [0, ] funktion f suurin arvo on ja pienin arvo on 2 a, mistä väite seuraa. 85