1. Funktiot, lukujonot, raja-arvot, jatkuvuus
|
|
- Pauliina Auvinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 MAT Laaja matematiikka 3 TTY 2010 Risto Silveoie 1. Fuktiot, lukujoot, raja-arvot, jatkuvuus Kertaamme ja täydeämme Lama 1: fuktioita käsittelevää osuutta. Puuttuvista todistuksista suuri osa käydää läpi lueoilla, lopuista viitataa kurssikirjoihi tai myöhempii matematiika kursseihi. Määritelmät ilmaistaa lihavoiilla. Varsiaiset tulokset o muotoiltu Lauseiksi. Relaatiot Asioide välisiä yhteyksiä kuvataa yleisellä tasolla muu muassa relaatioilla. Matemaattisessa mielessä relaatio o järjestettyje parie ( x, y ) joukko, siis karteesise tulo osajoukko: R A B, jolloi R o relaatio "A:sta B:he" tai "A: ja B: välillä". Jos A=B, R o relaatio " A:ssa". Relaatiota alkiotasolla merkitää xry ( x, y) R, ja saotaa: " x o relaatiossa y:hy". Esimerkiksi järjestys x y o relaatio :ssä. Relaatio A:ssa o refleksiivie, jos xrx kaikilla x A symmetrie, jos xry yrx kaikilla x,y A trasitiivie, jos xry yrz xrz kaikilla x,y,z A. Jos relaatiolla o kaikki em. kolme omiaisuutta, se o ekvivalessirelaatio.
2 2 Jos relaatio o refleksiivie, trasitiivie ja atisymmetrie (xry yrx x=y), ii se o järjestysrelaatio. Kuvaukset Tärkeimpii relaatiotyyppeihi R A B kuuluu kuvaus eli fuktio. Se oleellisi piirre o, että jokaisella relaatiossa olevalla parilla ( x, y) esimmäistä pari alkiota x vastaa täsmällee yksi jälkimmäie alkio y. Relaatiossa ei voi siis olla pareja (x,y 1 ), (x,y 2 ), joilla y 1 y 2. Kuvaukse määritelmä Olkoot X ja Y joukkoja. Kuvaus eli fuktio f joukosta X joukkoo Y liittää jokaisee jouko X alkioo x tarkallee yhde jouko Y alkio y = f(x). Fuktiolle f käytetää merkitää f : X Y. (Luetaa: " f X:stä Y:hy") (Lama 1:ssä käytettii tästä merkitää f : X Y, joka o kuiteki harviaisempi kirjallisuudessa. Yleesä "kaalla varustettu" uoli o käytössä tapauksessa x f( x), joka ilmaisee, että alkio x kuva o f ( x ).) Fuktio f : X Y määrittelyjoukko (domai)= X y Y y= f( x), x X b. ja arvojoukko (rage) = f(x) = { } Joukko Y o kuvaukse f maalijoukko. Jouko A X Siis f ( A) Y, mutta ei välttämättä ole = Y. kuva kuvauksessa f o f(a) = { y Y x A: y f( x) } Vastaavasti saotaa, että y=f(x) o alkio x kuva. =.
3 3 Jouko S Y alkukuva kuvauksessa f o f 1 (S) = { x X f( x) S}. Maalijouko Y alkiolla y voi olla useitaki alkioita x alkukuvassa f -1 ({y}), tai se voi olla tyhjäki. Koska kuvaus f : X Y o määritelty koko X:ssä, f -1 (Y) = X eli maalijouko alkukuva o määrittelyjoukko. Esim.1. Kuvaus f : määritellää yhtälöllä f(x) = 2x+1. Silloi a) f( {1,2} ) = { 3,5} b) f( (0,2) ) = (1,5) c) f( R ) = R d) f( Z ) = Z f ([0, )) = [, ). e) Tehtävä 1. Osoita, että kuva ja alkukuva ovat "mootoisia joukkofuktioita": Ku f : X Y, A B X, S T Y, ii a) A B f( A) f( B) b) 1 1 S T f ( S) f ( T ) S T Y. Tehtävä 2. Olkoot A X, i I. Osoita, että leikkaukselle ja yhdisteelle pätee : i i i, i I i I i i.b i I i I a) f ( A) f( A) b) f ( A) = f( A)
4 4 Tehtävä 3. Olkoot S Y, j J. Osoita: j a) b) 1 1 j j, j J j J 1 1 j j. j J j J f ( S ) = f ( S ) f ( S ) = f ( S ) Tehtävä 4. Olkoo A X ja S Y. Osoita : a) b) c) 1 f ( f ( S)) S, A f 1 ( f( A)) 1 1 f Y S X f S ( \ ) \ ( ). Kuvauksia voidaa yhdistää: Jos f : X Y ja g: Y Z, ii yhdistetty kuvaus g f : X Z o kuvaus, joka ataa x:lle arvo ( g f)( x) = g( f( x)). Kuvaus f : X Y o a) surjektio, jos f ( X) = Y, b) ijektio, jos x z f( x) f( z), ts. jos eri alkioilla o eri kuvat, c) bijektio, jos se o sekä surjektio että ijektio.
5 5 Surjektiossa siis koko maalijoukko Y "peittyy" kuvilla f(x). Ijektiossa kahdella X: eri alkiolla o aia eri kuvat, ja Y: kullaki alkiolla siis korkeitaa yksi alkio alkukuvassaa. Esim.2. a) Kuvaus f :, f ( x) = 2x+ 1 o bijektio. b) Kuvaus f : + + f ( x) = 2x+ 1 o ijektio, mutta ei + = x x 0 = ei-egatiiviset reaaliluvut) surjektio. ( { } c) Kuvaus f : + ; 2 f ( x) = x o surjektio, mutta ei ijektio. 2 d) Kuvaus f :, f ( x) = x ei ole surjektio eikä ijektio. Lause 1. Ijektioista yhdistetty kuvaus o ijektio, surjektioista yhdistetty surjektio ja siis bijektioista yhdistetty o bijektio. Tehtävä 5. Osoita, että kuvaus f : X Y o a) surjektio f 1 ( { y} ) b) ijektio f 1 ( { y} ) b) bijektio f 1 ( { y} ) sisältää aiaki yhde alkio y Y, sisältää korkeitaa yhde alkio y Y, sisältää täsmällee yhde alkio y Y. Jos siis kuvaus f : X Y o bijektio, ii tehtävä 5 c)-kohta määrittelee f: kääteisfuktio f 1 : Y X.
6 6 Kääteisfuktiolle pätee: f 1 ( y) = x x= f( x), jote tällöi y f f y 1 = ( ( )), x = f 1 ( f( x)). Huomaa, että alkukuvalle ja kääteisfuktiolle käytetää yt samaa merkitää. Asiayhteydestä selviää, kumpaa tarkoitetaa. Bijektio f : X Y luetaa myös " f X:stä Y:lle ", eglaiksi " f from X oto Y". Sitä saotaa myös käätäe yksikäsitteiseksi kuvaukseksi, 1-1 eli oe-to-oe - fuktioksi. Lause 2. Jos f : X Y ja g : Y Z ovat molemmat bijektioita, ii yhdistety kuvaukse g f kääteiskuvaus o ( ) : g f = f g Z X. Joukkoje mahtavuus Jouko S alkioide lukumäärä voidaa äärellise jouko tapauksessa ilmaista luetteloimalla alkiot x 1, x 2,, x ja toteamalla, että iitä o kpl. Tällöi voidaa ajatella, että muodostettii bijektio f: {1,2,3,,} S, f(k) = x k. Samaa ideaa soveltae määritellää, että joukot A ja B ovat yhtä mahtavia, jos o olemassa bijektio f: A B. Joukoilla A ja B o silloi sama mahtavuus (cardiality), ja merkitää card(a)=card(b)
7 7 (Muita merkitöjä: A, #(A).) Eri joukkoje mahtavuudet ovat kardiaalilukuja. Äärellise -alkioise jouko mahtavuus o : card(a)=. Luoolliste lukuje jouko mahtavuutta merkitää symbolilla ℵ 0 (alef-olla). Jokaista joukkoa, joka o yhtä mahtava luoolliste lukuje kassa, saotaa umeroituvaksi. Ratioaalilukuje joukko o umeroituva, sillä kaikki murtoluvut voidaa luetella järjestyksessä 0, 1/1, -1/1, 1/2, 1/3, -1/2, 2/1, -2/1, 2/2, -1/3, 1/4, 1/5, -1/4, 2/3, -2/2, 3/1, joka sisältää kaikki ratioaaliluvut (useaaki kertaa, koska murtoluvut ovat siiä supistamattomassa muodossa). Numeroituvat joukot ovat mahtavuudeltaa pieimmät äärettömät joukot. Äärettömiä joukkoja karakterisoi omiaisuus, että iillä o aitoja osajoukkoja, jotka ovat yhtä mahtavia kui joukko itse. Esimerkiksi parilliste lukuje mahtavuus o sama ℵ 0. Reaalilukuje joukko ei ole umeroituva (vaa o yliumeroituva). Kotiuumihypoteesi saoo, ettei ℵ 0 : ja card( ): välissä ole mitää kardiaalilukua. Joot Joo o matematiika kaikkei perustavimpia käsitteitä ja se avulla kohdataa äärettömyys esimmäistä kertaa. Lukualueita muodostettaessa luoolliste lukuje joukko ={1, 2, 3,...} o lähtökohtaa, ja se alkioide lukumäärä o edellä todetu mukaisesti ääretö, umeroituva.
8 8 Joo koostuu luvuista x 1, x 2,,x,..., jossa jokaista ideksiä vastaa yksi joo luku. Matemaattisesti ajatelle kyseessä o siis fuktio luoollisilta luvuilta reaalilukuje joukkoo: Reaalilukujoo o fuktio. Jos siis jokaista luoollista lukua kohti asetetaa vastaamaa reaaliluku x, sytyy lukujoo x 1, x 2,..., x,... eli lyhyesti (x ) (Merkitää usei myös hiuka harhaajohtavasti { x }.) Tässä mielessä joossa o siis aia ääretö määrä termejä x (jokaisella :llä yksi). Toisaalta joolla ei tarvitse olla ääretötä määrää arvoja x, esimerkiksi vakiojoolla x = c, =1,2, o vai yksi arvo, c. Siis joo (x ) ja se arvojoukko {x : } ovat eri asioita. Joo (sequece) o tässä yhteydessä siis aia päättymätö, ääretö joo. Samaa termiä käytetää suomekielessä myös äärellisestä joosta (esim. kahvila joo), eglaiksi queue, mutta asiayhteydestä yleesä ilmeee, kumpaa tarkoitetaa. Jooja käytetää usei iteroitimeetelmissä, joissa jotaki ogelmaa ratkaistaa toistuvasti ii, että tuloksea o yhä tarketuva approksimoivie ratkaisuje joo. Tällöi ihaetapauksessa joo arvot lähestyvät haettua ogelma ratkaisua, ku eli iteroitie lukumäärää kasvaa. Tämä ajattelu perustuu joo raja-arvo käsitteesee. Raja-arvo o arvo, jota yleesä ei tarkkaa saavuteta, vaa sitä lähestytää yhä lähemmäksi ja lähemmäksi : kasvaessa rajattoma suureksi. Tarvittava "läheisyyde" käsite voidaa muotoilla täsmällisee asuu seuraavasti: Olkoo x ja ε >0. Avoita väliä ( x - ε, x +ε) kutsutaa luvu x ympäristöksi tai ε- ympäristöksi, ja merkitää usei U(x;ε).
9 9 Lukujoo ( x ) suppeee ja se raja-arvo o = x, jos jokaista x: ympäristöä U(x;ε) vastaa luku ε site, että x U(x;ε), ku > ε. Lukujoo ( x ) siis suppeee, jos jokaista positiivilukua ε kohti o olemassa luku ε site, että x - x < ε, ku > ε. Tällöi merkitää lim x = x tai yksikertaisesti x x. Alla o kuvattu kaksi tapausta lukujoosta (a ), joka suppeee kohti rajaarvoa L. Vaaka-akseli o ideksiakseli, jossa ideksi kulkee 1, 2, 3,... ja pystyakselilla ovat vastaavat joo arvot a. Ku joo suppeee kohti raja-arvoa x, ii joo termit ovat halutu lähellä (ε-tolerassilla mitate) raja-arvoa, kuha ideksi o riittävä suuri (> ε ). Jos termit halutaa lähemmäksi (ε-lukua pieeetää), riittää meä joossa tarvittava mota termiä eteepäi eli kasvattaa ideksiä. Oheisessa kuvassa joo (a ) raja-arvo o L, ja termie arvot ovat y- akselilla. Korostetut pisteet ovat pisteitä (,a ).
10 10 Jos lukujoo ei suppee, se hajaatuu. Hajaatumie voi olla meoa kohti ääretötä (merkitää myös x tai x - ) tai sitte termit voivat "poukkoilla" kahde tai useamma arvo välillä tai käyttäytyä vielä epäsääöllisemmi. Esim. 3 Osoita, että vakiojoo ( x ) arvoilla, suppeee., missä x = c = vakio kaikilla Esim. 4 Osoita (määritelmä perusteella), että lim ( 1/) = 0. Esim. 5 Osoita (määritelmää ojautue), että lim = 3. 4 Esim. 6 Joo a =r suppeee täsmällee silloi, ku -1<r 1.
11 11 Joo ( x ) o Cauchy joo, jos jokaista positiivilukua ε kohti o olemassa luku ε site, että > ε x+ p x < ε p. Cauchy joo termit siis "ahtautuvat" joossa pitemmälle metäessä. Lause 3. Jos joo ( x ) suppeee, ii se o Cauchy joo. Tod.: Jos x=lim x, ii kolmioepäyhtälö perusteella x +p -x x +p -x + x -x <ε/2+ε/2=ε, ku riittävä suuri ja p N. Toisaalta muulla tavalla käyttäytyviä suppeevia reaalilukujooja ei sitte olekaa, eli :ssä joo o suppeeva täsmällee silloi, ku se o Cauchy joo. (Tämä o syvällie Cauchy suppeemiskriteeri. O olemassa sellaisiaki avaruuksia, joissa Cauchy joot eivät välttämättä suppee. Esimerkkiä käy ratioaalilukuje joukko. Todistetaa kurssilla Matemaattie aalyysi.)
12 12 Lause 4. Mikää lukujoo ei voi supeta kahta tai useampaa raja-arvoa kohti, suppeeva lukujoo raja-arvo o yksikäsitteie. Tod.: Jos x ja y ovat joo (x ) raja-arvoja, ii x-y = x-x +x -y x-x + y-x 0, ku. Esim. 7 Joo 0,1,0,1,0,1,0,1, hajaatuu. Esim. 8 Joo 0,1,2,3,4,5,6,7, hajaatuu. Reaalilukujoo ( x ) o rajoitettu, jos o olemassa vakio M site, että x M. Lause 5. Suppeeva lukujoo o rajoitettu, mutta rajoitettu lukujoo ei välttämättä ole suppeeva. Tod.: Jos x=lim x, ii x x -x + x <1+ x =:K, ku > 1. Jos merkitää { 1 1 } M = max x,, x, K, o siis x M. Epäyhtälöt "säilyvät rajalla": Lause 6. Jos x M ja lim x = x, ii x M. Tod.: Olkoo ε>0. Silloi o olemassa sellaie ε, että x -x <ε, ku > ε. Siis
13 13 x = x-x +x x-x +x <ε+x ε+m. Koska tämä pätee mielivaltaiselle ε>0, o x M. Raja-arvoje laskeassa voidaa käyttää yhteelasku, kertolasku, vakiolla kertomise ja jakolasku säätöjä: Lause 7. Olkoot ( x ) ja ( y ) suppeevia reaalilukujooja, joide raja-arvot ovat vastaavasti x ja y. Silloi a) lim ( x+ y) = x + y = lim x +lim y b) lim ( x y ) = x y = lim x lim y c) lim ( cx ) = c x = c lim x c x d) lim y = x y = lim x lim y, edellyttäe että y 0 ja että y 0. Tod.: a) Olkoo ε>0. Silloi o olemassa 1 ja 2 site, että x -x <ε/2 ja y - y <ε/2, ku > 1 ja > 2. Siis (x +y )-(x+y) = (x -x)+(y -y) x -x + y -y < ε/2+ε/2=ε, ku >max{ 1, 2 }. Muut kohdat meevät vastaavasti. Erittäi hyödyllie raja-arvoje laskeassa o myös oheie "kuristusperiaate"
14 14 Lause 8. Jos joot (a ) ja (c ) suppeevat kohti samaa raja-arvoa L ja o voimassa epäyhtälö a b c, ii myös joo (b ) suppee kohti raja-arvoa L. Esim. 9 lim ( 2/) = 2 lim (1/) = 2 0= 0. Esim. 10 lim = 3+ 4/ lim 4 + 5/ = lim(3+ 4/ ) lim(4 + 5/ ) = 3 4. Esim. 11 lim = lim 2 3 2/ + 7/ + 3/ 5 2/ + 2/ 1/ 2 3 = 0. Esim. 12 lim ( ) = ( )( ) lim
15 15 =lim = Käytäö lasketa tehdää aia lopulta ratioaaliluvuilla. Näi saadaa kuiteki mikä hyväsä reaaliluku esitettyä mielivaltaise tarkasti approksimoitua: Lause 9. Olkoo x. Silloi o olemassa ratioaalilukujoo, joka suppeee kohti pistettä x. Otetaa aia väliltä (x-1/, x+1/) joki ratioaaliluku x. Se o mahdollista, koska jokaisella avoimella välillä o aia (jopa ääretö määrä) ratioaaliluku(ja). Jos joosta poimitaa eteepäi metäessä vai osa termeistä, mutta kuiteki äärettömä mota, saadaa osajoo. Tällöi siis idekseistä poimitaa aidosti kasvavassa järjestyksessä osa, taaksepäi ei saa meä. Esim. 13 Joolla (0,1,0,1,0,1,0,1, ) o esimerkiksi osajoot (0,0,0,0,0, ) ja (1,1,1,1,1, ). Muodosta vielä joki kolmas osajoo. Esim. 14 Joo (1,2,4,3,5,6, ) ei ole joo (1,2,3,4,5,6, ) osajoo, koska alkioide järjestys ei ole sama.
16 16 Lause 10. Olkoo (x ) joo, joka suppeee kohti reaalilukua x. Silloi jokaie joo (x ) osajoo suppeee myös kohti lukua x. Ja käätäe, jos kaikki osajoot suppeevat kohti samaa raja-arvoa x, ii äi tekee koko jooki. Tod.: Olkoo ( x k ) osajoo ja ε>0. O siis olemassa 0 site, että x -x < ε, ku > 0. O olemassa k 0 site,että ku k>k 0, ii k > 0. Silloi x k x <ε, ku k>k 0. Esim. 15 Esimerkki 5: osajooilla (0,0,0,0,0, ) ja (1,1,1,1,1, ) o eri rajaarvot: 0 ja 1, jote joo (0,1,0,1,0,1,0,1, ) o hajaatuva. Reaalilukujoo ( x ) o kasvava ( vastaavasti, aidosti kasvava ), jos x x + 1 (vastaavasti x < x + 1). Reaalilukujoo ( x ) o väheevä ( vastaavasti, aidosti väheevä), jos x x + 1 (vastaavasti x > x + 1 ). Reaalilukujoo ( x ) o mootoie, jos se o kasvava tai väheevä. Jos kasvava joo o ylhäältä rajoitettu, se ei voi karata äärettömyytee, ja ylärajaa ee se arvot väkisi pakkautuvat yhtee, koska edestakaie oskilloiti estyy mootoisuude takia. Vastaava pätee alhaalta rajoitetulle väheevälle joolle. Lause 11. Rajoitettu mootoie reaalilukujoo suppeee. Käätäe, mootoie joo voi olla suppeeva vai, jos se o rajoitettu.
17 17 Edellä riittää kasvava joo tapauksessa selvittää joo ylhäältä rajoitetuksi, koska kasvava joo o automaattisesti alhaalta rajoitettu. Vastaava pätee väheevälle joolle. Teht. 6 Lukujoo (x ) määritellää rekursiivisesti site, että x 1 =1 ja x +1 = 6 + x, =1,2,. Osoita iduktiolla, että joo o kasvava ja ylhäältä rajoitettu. (Ylärajaehdokas löytyy kokeilemalla alusta.) Siis joo voidaa äi osoittaa suppeevaksi. Ku rekursioyhtälö molemmilla puolilla aetaa, ähdää myös, mikä raja-arvo o. Reaalifuktiot Reaalifuktio o fuktio f: A B, missä määrittelyjoukko Dom f =D f = A ja maalijoukko B. Reaalifuktiota merkitää usei y=f(x) tai x f(x) tai lyhyesti f(x) (vaikka tämä merkitä tarkkaa ottae tarkoittaaki fuktio f arvoa pisteessä x). Jos fuktio lauseke f(x) o aettu ja määrittelyjoukkoa ei ole se tarkemmi spesifioitu, ii määrittelyjoukoksi otetaa yleesä laaji
18 18 mahdollie : osajoukko, jossa lauseke f(x) voidaa laskea, s. f: luoollie määrittelyjoukko. Esim. 16. f(x)= x 2 4, luoollie määrittelyjoukko o (-,-2] [2, ). Arvojoukko (rage) o R = f( A) B. Usei laitetaa B =. Edellisessä esimerkissä = = [0, ). R f + f Reaalifuktiota esitetää tuttuu tapaa kuvaajalla, joka o pisteide (x,y) joukko x,y-tasossa, ja y =f(x). Määrittelyjoukko o silloi x-akseli osajoukko ja arvojoukko y-akseli. Fuktio perusomiaisuus (jokaisella määrittelyjouko x:llä o tasa yksi y=f(x)) äkyy kuvaajassa site, että x: kautta kulkeva pystysuora leikkaa kuvaaja täsmällee kerra. Kääteisfuktio g=f -1 : B A o myös reaalifuktio, silloi ku sellaie o olemassa eli ku f o bijektio. Tällöi y=f(x) x=f -1 (y)=g(y), Dom f = R g, R f = Dom g. Kuvaaja o sama pistejoukko tasossa, mutta muuttuja o yt y-akselilla ja arvot x-akselilla. Joskus vaihdetaa x ja y keskeää, jolloi kääteisfuktioki muuttuja o taas imeltää x ja arvot y. Silloi kuvaajat y=f(x) ja y=f -1 (x) ovat samassa tasossa, ja e saadaa peilaamalla toisistaa suora y=x suhtee (tätähä x: ja y: vaihtamie merkitsi geometrisesti).
19 19 Moesti fuktiolla f:a B ei ole kääteisfuktiota, mutta jollaki se rajoittumalla f C : C B o, missä C A o A: aito osajoukko. Rajoittuma määrittelyjoukko o siis suppeampi joukko C, jossa se saa samat arvot, kui alkuperäie fuktio f. Eli fuktio f ja rajoittuma f C aioa ero o määrittelyjoukossa. Tavallisesti molempia fuktioita, f:ää ja se rajoittumaa merkitää f(x):llä, ja ero määrittelyjoukoissa pidetää vai mielessä. + 2 Esim. 17. Fuktio f :, f( x) = x, ei ole bijektio, mutta f: rajoittuma eiegatiiviste reaalilukuje joukkoo + o. Siellä f:llä o kääteisfuktio 1 1/2 f :, f ( y) = y. + + Reaalifuktioista f: Dom f, g: Dom g yhdistetty fuktio h=g f: Dom h o myös reaalifuktio, joka määrittelyjoukko o Dom h = f -1 (Dom g ). Pistee x arvo o siis z = h(x) = (g f)(x) = g(f(x)), ja siksi fuktiota f saotaaki sisäfuktioksi ja fuktiota h ulkofuktioksi. Fuktioide yhdistämistä voi myös pitää sijoittamisea: fuktioo g(y) sijoitetaa y: paikalle y=f(x). Raja-arvo Reaalifuktio f raja-arvo pisteessä p o se arvo, jota fuktio arvot f(x) läheevät, ku x läheee p:tä. Fuktio o oltava silloi määritelty p: ympäristössä, pistettä p mahdollisesti lukuu ottamatta. Läheisyyttä mitataa kute lukujooje tapauksessaki luvulla ε > 0 fuktio arvoille, ja toisella
20 20 luvulla δ >0 muuttuja arvoille. Fuktio f raja-arvo o A, ku x läheee p:tä, lim f ( x ) = A x p täsmällee silloi, ku jokaisella ε > 0o olemassa sellaie δ >0,että f(x) -A < ε, ku 0< x-p <δ. Eli ε:lla määrätää se, kuika lähelle A:ta halutaa, δ kertoo sitte, kuika lähelle pistettä p o metävä. Raja-arvoa merkitää myös: f(x) A, ku x p. Fuktio ja lukujoo raja-arvokäsitteet kytkeytyvät toisiisa: Lause 12. lim f ( x ) = A täsmällee silloi, ku lim f ( x ) x p = A jokaisella sellaisella joolla ( x ), jolla lim x = p. Jos lähestytää vai toiselta puolelta, kyseessä o toispuoleie raja-arvo: lim f(x) x p lim f(x) x p+ vasemmapuoleie raja-arvo oikeapuoleie raja-arvo Raja-arvoje laskemisessa o usei hyötyä seuraavasta kuristusperiaatteesta: Lause 13. Jos fuktio f o kahde fuktio g ja h välissä: g(x) f(x) h(x) pistee p ympäristössä, ja g(x) A ja h(x) A, ii myös f(x) A.
21 21 Fuktioide raja-arvoille pätee samat perussääöt kui lukujooje tapauksessa oli esillä: Lause 14. Jos f(x) A ja g(x) B, ku x p, ii a) f(x)+g(x) A+B b) cf(x) ca c) f(x)g(x) AB d) f(x)/g(x) A/B (ku g(x) 0, B 0) Fuktiolla f o raja-arvo A äärettömyydessä, jos riittävä suurilla x: arvoilla f(x): arvo saadaa lähelle A:ta: lim f ( x) = A x Jokaisella ε >0 o olemassa M site, että f(x)-a < ε, ku x > M. Vastaavasti määritellää raja-arvo :ssä. Usei voidaa lukujoo suppeemistarkastelu muutaa vastaava reaalifuktio raja-arvo tutkimiseksi: Lause 15. Joo (a ) suppeee kohti raja-arvoa L, jos lim f ( x) = L, x missä f() = a.
22 22 Tämä mahdollistaa myöhemmi esitettävä fuktioide raja-arvoje L Hospitali sääö käytö myös lukujooje raja-arvoje laskeassa. Fuktiolla o raja-arvo ääretö, f(x), ku x p, mikäli f: arvot kasvavat rajattoma suuriksi pistettä p lähestyttäessä: lim f ( x ) = x p Jokaisella M > 0 o olemassa δ > 0 site, että f(x) > M, ku 0< x-p < δ. Vastaavasti määritellää tapaus f(x). Jatkuvuus Fuktio f: Dom f o jatkuva pisteessä p Dom f, jos f(x) f(p), ku x p. Jatkuvalla fuktiolla siis raja-arvo laskemie tapahtuu sijoittamalla arvo x=p fuktioo. (Sijoittamise käytäö oistumie edellyttää f: lausekkeelta sääöllisyyttä, esim. että murtolauseke o supistettu yhteisistä tekijöistä.) Jos fuktio ei ole jatkuva määrittelyjoukkosa pisteessä p, se o siiä epäjatkuva. Silloi joko fuktiolla ei ole p:ssä raja-arvoa tai raja-arvo o, mutta se arvo o f ( p ). Jos fuktiolla f o pisteessä p eri suuret toispuoleiset raja-arvot, piste p o fuktio hyppykohta. Tämä o "sääöllisi" epäjatkuvuuskohta. Fuktio o jatkuva fuktio, jos se jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkosa pisteessä. Fuktio o paloittai jatkuva, jos se jatkuva paitsi äärellise moessa hyppykohdassa.
Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I 1 Joukko-oppi ja logiikka Iduktioperiaate G. Gripeberg 2 Relaatiot ja fuktiot Aalto-yliopisto 3. huhtikuuta 2014 3 Kombiatoriikka ym. G. Gripeberg
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto, osa I
MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 12. maaliskuuta 2015 G. Gripeberg (Aalto-yliopisto) MS-A0402 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto, 12. osa maaliskuuta
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x +. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x < 9. Itse
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotLaudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto
Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotSuppenemistestejä sarjoille
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Gradu -tutkielma Karoliia Alajoki Suppeemistestejä sarjoille Iformaatiotieteide yksikkö Matematiikka Huhtikuu 03 Tamperee Yliopisto Iformaatiotieteide yksikkö ALAJOKI, KAROLIINA:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
Lisätiedot****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.
8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotLaajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut
91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotKuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara
Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotRelaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.
Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotEsimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)
10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotNoora Nieminen. Hölderin epäyhtälö
Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
LisätiedotMS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Yhteenveto ja esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreeti matematiika perusteet Yhteeveto ja esimerkkejä ym., osa I G. Gripeberg Aalto-yliopisto 8. syyskuuta 06 Joukko-oppi ja logiikka Todistukset logiikassa Predikaattilogiikka Iduktioperiaate
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotLinkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna!
Funktiot, L3a n kuvaaja n kuvaaja n kuvaaja Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna!) Funktio (Käytännöllinen
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotFunktion. Käänteisfunktio. Testi 3. Kauhava Aiheet. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktion kasvaminen ja väheneminen.
Funktiot Kauhava 26.11.2010 n kuvaaja n kuvaaja n kuvaaja Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna!)
LisätiedotY ja
1 Funktiot ja raja-arvot Y100 27.10.2008 ja 29.10.2008 Aki Hagelin aki.hagelin@helsinki.fi Department of Psychology / Cognitive Science University of Helsinki 2 Funktiot (Lue Häsä & Kortesharju sivut 4-9)
Lisätiedot7303045 Laaja matematiikka 2 Kevät 2005 Risto Silvennoinen
7303045 Lj mtemtii 2 Kevät 2005 Risto Silveoie. Luusrjt Kos srjt ovt summie jooj, ertmme esi jooje teori. Joot Joo o mtemtii iei perustvimpi äsitteitä j se vull ohdt äärettömyys esimmäistä ert. Luulueit
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotKuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.
Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotInjektio. Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim.
Injektio Funktiota sanotaan injektioksi, mikäli lähtöjoukon eri alkiot kuvautuvat maalijoukon eri alkioille. Esim. Funktio f on siis injektio mikäli ehdosta f (x 1 ) = f (x 2 ) seuraa, että x 1 = x 2.
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Lisätiedot1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit , Harjoitus 1 ratkaisu
83A Tietoraketeet ja algoritmit 06-07, Harjoitus ratkaisu Harjoitukse aiheea o algoritmie oikeellisuus. Tehtävä. Kahvipurkkiogelma. Kahvipurkissa P o valkoisia ja mustia kahvipapuja, yhteesä vähitää kaksi
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotSurjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.
5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella
Lisätiedot811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 4, Ratkaisu
81112A Tietoraketeet ja algoritmit, 217-218, Harjoitus 4, Ratkaisu Harjoitukse aiheita ovat algoritmie aikakompleksisuus ja lajittelualgoritmit Tehtävä 4.1 Selvitä seuraavie rekursioyhtälöide ratkaisuje
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Lisätiedot3.2 Polynomifunktion kulku. Lokaaliset ääriarvot
3. Polyomifuktio kulku. Lokaaliset ääriarvot Tähäastiste opitoje perusteella osataa piirtää esiasteise polyomifuktio kuvaaja, suora, ku se yhtälö o aettu. Osataa myös pääpiirtei hahmotella toise astee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 1
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotTilastollinen todennäköisyys
Tilastollie todeäköisyys TOD.NÄK JA TILASTOT, MAA10 Klassisessa todeäköisyydessä oli ehdot: äärellisyys ja symmetrisyys. Tämä tilae o usei mahdoto ts. alkeistapauksia o usei ääretö määrä tai e eivät ole
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotSanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.
Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
LisätiedotLaaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005
7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää
LisätiedotAlkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä.
Alkioiden x ja y muodostama järjestetty pari on jono (x, y), jossa x on ensimmäisenä ja y toisena jäsenenä. Kaksi järjestettyä paria ovat samat, jos niillä on samat ensimmäiset alkiot ja samat toiset alkiot:
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
Lisätiedot