Funktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi

Transkriptio

1 Funktiot ja raja-arvo Pekka Salmi Versio lokakuuta 2017

2 Johdanto Tämä moniste on keskeneräinen... 1

3 1 Reaaliluvut 1.1 Lukujoukot Lukujoukoista käytettään seuraavia merkintöjä: N = {0, 1, 2, 3,...} Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Z + = {1, 2, 3,...} { } a Q = b a Z, b Z + R luonnolliset luvut kokonaisluvut positiiviset kokonaisluvut rationaaliluvut reaaliluvut. Geometrisesti reaalilukujen joukko tulkitaan lukusuoraksi (Kuva 1). Positiiviset reaaliluvut voidaan ajatella desimaaliesityksinä x = a 0,a 1 a 2 a 3 a 4... missä a 0 N (eli a 0 on luonnollinen luku tai 0) ja desilimaalit a k {0,1,2,..., 9} (symboli tarkoittaa kuuluu). Tällöin a 0 on luvun x kokonaisosa. Esimerkki 1. 0 = 0, = 1, = 123, = 0, π = 3, Osoittautuu, että lukujen desimaaliesitykset eivät ole täysin yksikäsitteisiä. Esimerkiksi 0, = 1 = 1, e π Kuva 1: Lukusuora (ja joitain valikoituja pisteitä) 2

4 Täten desimaaliesitykset missä a m {0,1,2,..., 8}, ja a 0,a 1 a 2 a 3... (a m + 1)000..., a 0,a 1 a 2 a 3... a m , samaistetaan eli nämä ovat samat reaaliluvut. Esimerkiksi 0, = 0, Yleensä loppunollat jätetään merkitsemättä eli esimerkiksi 0,13 = 0, Negatiiviset reaaliluvut ovat miinusmerkillä varustettuja desimaaliesityksiä. Kuitenkin 0 = Reaalilukujen laskutoimitukset Oletetaan tunnetuksi reaalilukujen peruslaskutoimitukset (nämä voidaan määritellä desimaaliesitysten avulla vaikkakin on työlästä). Reaalilukujen yhteenlasku + ja kertolasku toteuttavat seuraavat säännöt: (K1) x + (y + z) = (x + y) + z (K2) x + 0 = 0 + x = x (K3) x + ( x) = ( x) + x = 0 (K4) x + y = y + x (K5) x (y z) = (x y) z (K6) x 1 = 1 x = x (yhteenlaskun liittännäislaki) (nolla-alkio) (vastaluvut) (yhteenlaskun vaihdannaislaki) (kertolaskun liittännäislaki) (ykkösalkio) (K7) x x 1 = x 1 x = 1 kun x 0, (käänteisluvut) (K8) x y = y x (K9) x (y + z) = x y + x z (kertolaskun vaihdannaislaki) (osittelulaki) 3

5 Vähennyslasku ja jakolasku määritellään yhteenlaskun ja kertolaskun käänteisoperaatioina: x y = x + ( y) ja x/y = x (y 1 ) (kun y 0). Luonnollisten lukujen joukko N on suljettu yhteen- ja kertolaskun suhteen eli aina kun n,m N, niin myös n + m N ja nm N. Sen sijaan N ei ole suljettu vähennys- tai jakolaskun suhteen. Kokonaislukujen joukko Z on suljettu yhteen-, kerto- ja vähennyslaskun suhteen muttei jakolaskun. Rationaalilukujen joukko Q on suljettu kaikkien näiden laskutoimitusten suhteen. Irrationaalilukuja eli reaalilukuja jotka eivät ole rationaalilukuja (eli joukko R \ Q) tarvitaan esimerkiksi jos halutaan ratkaista yhtälö x 2 = Kokonaislukupotenssit Määritelmä 1 (Kokonaislukupotenssit). Olkoon x R. Määritellään x 0 = 1 ja määritellään rekursiivisesti (eli induktiivisesti) kaikilla n Z + Lisäksi määritellään kun n > 0. x n = x (x n 1 ). x n = 1 x n Huomautus 1. Määritelmän idea on siinä että Siis x 0 = 1 x 1 = x x 0 = x 1 = x x 2 = x x 1 = x x x 3 = x x 2 = x (x x) = x x x x 4 = x x 3 = x (x x x) = x x x x. x n = x x x }{{} n kpl kaikilla n 0. Induktiivinen määritelmä on kuitenkin täsmällisempi ja helpommin sovellettavissa esimerkiksi kaavojen oikeaksi osoittamisessa. 4

6 Kokonaislukupotensseille pätevät seuraavat laskusäännöt. Lause 1. Kaikilla x R ja n,m Z x n = 1 x n (x 0) x (n+m) = x n x m x nm = (x n ) m. Todistus. Määritelmän mukaan x n = 1 kun n > 0 ja selvästi tämä on x n myös totta kun n = 0. Kun n < 0, niin määritelmän mukaan x n = 1 (sillä x n n = ( n) missä n > 0), joten 1 x n = 1 1 x n = x n. Yhtälö x (n+m) = x n x m olkoon harjoitustehtävä. Osoitetaan että x nm = (x n ) m. Osoitetaan tämä ensin tapauksessa m 0 ja käytetään induktiota m:n suhteen. Alkuaskel m = 0 on selvä. Tehdään induktio-oletus että x nk = (x n ) k, missä k 0. Induktio väite on että x n(k+1) = (x n ) k+1. Määritelmän mukaan (x n ) k+1 = x n (x n ) k. Induktio-oletuksen nojalla siis (x n ) k = x nk, joten Ensimmäisen väitteen mukaan (x n ) k+1 = x n x nk. x n x nk = x n+nk = x n(k+1), joten (x n ) k+1 = x n(k+1) eli induktioväite pätee. Induktioperiaatteen nojalla x nm = (x n ) m aina kun n,m Z ja m 0. Jos m < 0, niin määritelmän mukaan (x n ) m = 1 (x n ) m. Edelllisen nojalla (x n ) m = x n ( m) = x nm. Täten (x n ) m = 1 x nm = xnm. 5

7 1.4 Reaalilukujen järjestys Desimaaliesityksen avulla voidaan reaaliluvuille määritellä järjestys. Jokainen positiivinen reaaliluku voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa x = a 0,a 1 a 2 a 3 a 4... missä a 0 N ja a k {0,1,..., 9} ja esitys ei pääty jonoon (tarvittaessa jonoon päättyvä esitys voidaan korvata esityksellä joka päättyy nollajonoon ). Olkoon y = b 0,b 1 b 2 b 3 b 4... toinen vastaava desimaaliesitys. Tällöin x < y mikäli jollain indeksillä k = 0, 1, 2,... pätee että (a) a j = b j kaikilla j = 0, 1,..., k 1 (jos k = 0 niin tämä ehto täyttyy triviaalisti) (b) a k < b k. Esimerkiksi 2, < 2, sillä lukujen kokonaisosat ja 12 ensimmäistä desimaalia ovat samat ja 13. desimaali on oikeanpuoleisessa luvussa suurempi (4 < 5). Negatiivisten reaalilukujen vertailun voi tehdä samaan tyyliin ja positiiviset luvut ovat aina negatiivisia suurempia. Merkintä x y tarkoittaa että x > y tai x = y. Merkintä x < y tarkoittaa samaa kuin y > x ja x y tarkoittaa samaa kuin y x. Reaalilukujen järjestys toteuttaa seuraavat säännöt: (J1) Jos a b ja b c, niin a c (transitiivisuus) (J2) Jos a b ja b a, niin a = b (antisymmetria) (J3) Kaikilla a ja b joko a b tai b a (totaalisuus) (J4) a b = a + c b + c (J5) 0 a ja b c = ab ac 6

8 Näistä ominaisuuksista seuraa myös seuraavat tutut säännöt: a b = b a, js a < 0, b c = ab ac (eli negatiivisella luvulla kertominen kääntää epäyhtälön). Lukusuora kuvastaa tätä järjestystä: jos luvut x ja y asetetaan lukusuoralla, niin luvuista suurempi on oikealla puolella pienempää. 1.5 Lukusuoran välit Olkoon a,b R, a < b. Reaalilukuväleistä käytetään seuraavia merkintöjä: [a, b] = {x R a x b} ]a, b[ = {x R a < x < b} ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[ = {x R a x < b} suljettu väli avoin väli puoliavoin väli puoliavoin väli Lukusuoralla näitä merkitään seuraavasti: [a, b] ]a, b[ ]a, b] [a, b[ Myös + ja voivat esiintyä merkinnöissä. Esimerkiksi [a, + [ = {x R a x} ], a] = {x R x a}. Kirjallisuudessa esiintyy myös merkinnät (a, b) = ]a, b[, (a, b] = ]a, b], jne. 1.6 Maksimi ja minimi Määritelmä 2. Olkoon A R. Luku b A on joukon A maksimi jos a b kaikilla a A. Joukon A maksimia merkitään max A. Vastaavasta luku c A on joukon A minimi jos Joukon A minimiä merkitään min A. a c kaikilla a A. 7

9 Esimerkki 2. (a) Joukon {3, 8, 16, 72} minimi on 3 ja maksimi 72 eli min{3, 8, 16, 72} = 3 ja max{3, 8, 16, 72} = 72. (b) Joukon [2, 3] minimi on 2 ja maksimi 3. (c) Joukon Z + = {1, 2, 3,...} minimi on 1 mutta maksimia tällä joukolla ei ole (perustellaan myöhemmin). 1.7 Liite: Joukko-opin merkinnät merkintä tarkoitus esimerkki a A a kuuluu joukkoon A 1 N b / A a ei kuulu joukkoon A 1 / N B A B sisältyy joukkoon A N R A B = {x x A tai x B} A B = {x x A ja x B} A \ B = {x x A ja x / B} yhdiste eli unioni leikkaus erotus (A pois B). 8

10 2 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö Määritelmä 3. Reaaliluvun x R itseisarvo on { x jos x 0 x = x jos x < 0. Reaaliluvun x R etumerkki on +1 x > 0 sgn x = 0 x = 0 1 x < 0. Geometrisesti tulkittuna reaaliluvun x itseisarvo x on luvun etäisyys pisteestä 0 ja merkki sgn x antaa luvun x suunnan pisteestä 0 (luvulla 0 ei ole suuntaa). Itseisarvon geometrista tulkintaa on havainnollistettu Kuvassa 2; tavallaan reaaliluvut voidaan tulkinta näin vektoreiksi. Lisäksi reaaliluvuilla on hajotelma x = (sgn x) x. Esimerkiksi 3 = (+1) 3 ja 2 = ( 1) 2. Itseisarvon perusominaisuudet on koottu seuraavaan lemmaan. Lemma 2. Olkoot x,y R. (a) x 0 (b) x = 0 x = 0 (c) xy = x y. Erityisesti x = x. (d) x 2 = x 2 3 = 3 2 = Kuva 2: Itseisarvon geometrinen tulkinta 9

11 (e) x = max{x, x} Perustelu kohdalle (c). Pilkotaan perustelu tapauksiin (1) x 0 ja y 0, (2) x 0 ja y < 0, (3) x < 0 ja y 0, (4) x < 0 ja y < 0. Tapaus (1) on selvä. Tapauksessa (2) xy 0, joten xy = (xy) = x ( y) = x y tässä tapauksessa. Tapaus (3) on samanlainen kuin (2). Tapauksessa (4) xy > 0, joten xy = xy = ( x) ( y) = x y. Lemma 3. Olkoon a 0. Tällöin (a) x a a x a (b) x < a a < x < a (c) x a x a tai x a (d) x > a x > a tai x < a Erityisesti x x x. Todistus. Osoitetaan ensimmäinen väite, koska muut seuraavat tästä helposti (tai voidaan osoittaa samalla tavalla). Tapaus x 0. Nyt x a tarkoittaa että x a eli tässä tapauksessa 0 x a. Tapaus x < 0. Nyt x a tarkoittaa että x a eli a x eli tässä tapauksessa a x < 0. 10

12 Kuva 3: Epäyhtälön x 2 3 ratkaisujoukko 2.1 Lukujen välinen etäisyys Määritelmä 4. Reaalilukujen x,y R välinen etäisyys on x y. x y y 0 x Geometrinen tulkinta itseisarvolle helpottaa usein ongelmien ratkaisua. Joskus se muuttaa ongelman itsestäänselväksi ja toisinaan antaa idean täsmälliselle ratkaisulle. Esimerkki 3. Ratkaistaan epäyhtälö x 2 3. Geometrisen tulkinnan mukaan x 2 on luvun x etäisyys luvusta 2. Täten epäyhtälö x 2 3 on voimassa täsmälleen silloin kun luvun x etäisyys luvusta 2 on enintään 3. Täten ratkaisujoukko on [ 1,5]. Tämä on esitetty Kuvassa 3. Esimerkki 4. Ratkaistaan epäyhtälö x 1 x + 1 < Kolmioepäyhtälö Vaikka seuraava tulos on suhteellisen yksinkertainen, se on erittäin tärkeä työkalu arvioinnissa. Lause 4 (Kolmioepäyhtälö). Kaikilla x, y R pätee x + y x + y. Geometrisesti kolmioepäyhtälöä on helpompi havainnollistaa useampiulotteisessa tapauksessa (Kuva 4). 11

13 x + y y x Kuva 4: Kolmioepäyhtälön geometrinen tulkinta useammassa ulottuvuudessa Kolmioepäyhtälön todistus. Lemman 3 nojalla x x x ja y y y. Summaamalla nämä epäyhtälöt saadaan ( x + y ) x + y x + y. Täten x + y x + y jälleen Lemman 3 nojalla. Esimerkki 5. Oletetaan että x ja y toteuttavat arviot x 1 < 2 ja y 1 < 3. Tällöin x y = x y ey x y = x 1 + y 1 < = 5. Geometrinen tulkinta: luvun x etäisyys luvusta 1 on alle 2 yksikköä ja luvun y etäisyys luvusta 1 alle 3 yksikköä. Siis lukusuoralla x ja y sijoittuvat seuraavasti: x y Tästä voidaan päätellä että x:n ja y:n välisen etäisyyden täytyy olla alle 5 yksikköä. 12

14 Kolmioepäyhtälöstä voidaan johtaa muitakin epäyhtälöitä. Seuraavaa arviota kutsutaan käänteiseksi kolmioepäyhtälöksi tai kolmioepäyhtälön vasemmaksi puoleksi (minkä merkitys selviää kohta). Lause 5 (Käänteinen kolmioepäyhtälö). Kaikilla x, y R pätee x y x + y. Yhdistettynä kolmioepäyhtälöön saadaan, että kaikilla x,y R pätee seuraavat arviot: Lause 6 (Täydellinen kolmioepäyhtälö). x y x ± y x + y Käänteisen kolmioepäyhtälön perustelu. Kolmioepäyhtälön nojalla Vastaavasti x = x + y y ey x + y + y = x y x + y. y = y + x x ey y + x + x = y x x + y. Täten joten x + y x y x + y x y x + y. Lemman 3 nojalla. Sovelletaan kolmioepäyhtälöä arviointiin. Esimerkki 6. Olkoon a,b R joista tiedetään että a 1 ja b 2. Osoitetaan että tällöin a 2 b 2 3 a b. Kolmioepäyhtälön nojalla a 2 b 2 = (a + b)(a b) = a + b a b ey ( a + b ) a b 3 a b. Esimerkki 7. Mitä voidaan sanoa luvusta a, kun tiedetään, että a ja b ovat sellaisia reaalilukuja, että 2 < b < 3 ja a b 1 2? Käänteisen kolmioepäyhtälön nojalla a b = a b a b

15 Täten b 1 2 a b Yhdistämällä tämä tietoon että 2 < b < 3 saadaan että Geometrinen ratkaisu: piirrä kuva. 3 2 < a <

16 3 Jonot ja niiden raja-arvot Lukujonossa (a n ) n=1 jokaista positiivista kokonaislukua n Z + vastaa reaaliluku a n R. Määritelmä 5. Lukujono on muotoa (a 1, a 2, a 3,...) missä a n R kaikilla n = 1, 2,... Lukujonoa merkitään (a n ) n=1 tai lyhennetysti (a n ). Esimerkki 8. (a) Esimerkiksi kaava a n = 2 n määrää lukujonon (a n ) n=1. Tämä on siis jono (2, 4, 8, 16, 32, 64,...) (tosin jälkimmäinen merkintä on siinä mielessä huono että jonon määräävä kaava ei välttämättä ole selvä). (b) Piin desimaalit muodostavat lukujonon (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1,...). Tämä on hyvin määritelty lukujono, vaikka ei olekaan selvää kaavaa, joka antaisi jonon alkiot a n. Huomautus 2. (a) Lukujono (a 1, a 2,...) voidaan ajatella funktioksi f : Z + R missä f(k) = a n kaikilla n = 1, 2,... (b) Lukujonon indeksointi voi alkaa myös muusta kokonaisluvusta kuin 1. Esimerkiksi jonoa (0, 1, 2, 3,...) voidaan merkitä (a n ) n=0, a n = k. (c) Jono (a n ) n=1 voidaan esittää graasesti kuvaajan avulla. Kuvissa 5 ja 6 on esitetty piin desimaalijonon ja jonon (1/k) n=1 kuvaajat (jonojen alkupäät). 3.1 Jonon raja-arvo Esimerkki 9. Tutkitaan jonoa (a n ) n=1, missä a n = 1. Kuinka suuri luvun n n tulee olla, että luvun a n etäisyys luvusta 0 on pienempi kuin 0,01? Tehtävä ratkeaa tutkimalla epäyhtälöä a n 0 = 1 n 0 < 0,01. 15

17 a n k Kuva 5: Piin desimaalit jonona a n 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0, k Kuva 6: Jono a n = 1 k 16

18 Siis 1 1 < 0,01 eli n > = 100. Täten a n 0,01 n 0 < 0,01 aina kun n > 100. Kuinka suuri luvun n tulee olla, että luvun a n etäisyys luvusta 0 on pienempi kuin 0,003? Määritelmä 6. Luku a R on jonon (a n ) n=1 raja-arvo mikäli kaikilla ɛ > 0 on olemassa sellainen N ɛ Z +, että Tällöin merkitään a a n < ɛ aina kun n > N ɛ. a = lim n a n tai a n a kun n. Tällöin sanotaan, että jono (a n ) n=1 suppenee pisteeseen a. Sellaisessa tilanteessa missä jono ei suppene mihinkään pisteeseen sanotaan, että jono hajaantuu. Huomautus 3. Määritelmän tulkinta: jonon alkiot saadaan mielivaltaisen lähelle raja-arvoa a, kun edetään tarpeeksi pitkälle jonossa. Tässä mielivaltaisen lähelle viittaa lukuun ɛ, joka on mielivaltainen virhetermi (voi olla kuinka pieni tahansa kunhan on aidosti positiivinen). Vastaavasti tarpeeksi pitkälle viittaa indeksiin N ɛ, joka yleensä riippuu luvusta ɛ. Määritelmää voi testata esimerkiksi seuraavalla Geogebra appletilla: org/m/d7gbc0x9. Esimerkki 10. Perustellaan tarkasti että jonon ( 1 n ) n=1 raja-arvo on 0. Jokaiselle ɛ > 0 pitäisi löytää sellainen luku N ɛ Z + (joka saa riippua luvusta ɛ), että 0 1 < ɛ aina kun n > N ɛ n eli 1 n < ɛ aina kun n > N ɛ. Havainnollistetaan tilannetta parilla konkreettisella luvun ɛ arvolla. Aiemmassa esimerkissä huomattiin että 0 1 < 0,01 aina kun n > 100. n Jos siis ɛ = 0,01, niin luku N 0,01 = 100 toteuttaa vaaditun ehdon. Myös mikä tahansa muu kokonaisluku N > 100 kelpaisi N 0,01 :n arvoksi. Vastaavasti kun ɛ = 0,001, voidaan valita N 0,001 = 1000: 1 n < 0,001 aina kun n >

19 Olkoon nyt ɛ > 0 mielivaltainen (eli mikä tahansta positiivinen luku, emme vain tiedä mikä). Asetetaan 1 N ɛ = ɛ missä merkitsee ylöspäin pyöristystä. Tällöin 1 n < ɛ aina kun n > N ɛ. Täten määritelmän ehto toteutuu (jokaiselle ɛ > 0 löytyy sopiva N ɛ ) ja täten Esimerkki 11. Jono 1 lim n n = 0. ( 1, 1, 1, 1, 1, 1,...) ei suppene mihinkään pisteeseen. Osoitetaan tämä määritelmään perustuen. Jono voidaan kirjoittaa muodossa (a n ) n=1 missä a n = ( 1) n kaikilla n = 1, 2,... Tehdään vastaoletus, että jonolla on raja-arvo a R. Asetetaan ɛ = 0,5. Koska oletuksen mukaan a on jonon (a n ) n=1 raja-arvo, niin määritelmän nojalla on olemassa sellainen N ɛ Z + että a a n < ɛ aina kun n > N ɛ. Olkoon k = 2N ɛ ja l = k + 1 jolloin k > N ɛ ja l > N ɛ. Täten 2 = 1 ( 1) = a k a l = a k a + a a l a k a + a a l = a a k + a a l < ɛ + ɛ = 1, missä käytettiin hyväksi myös kolmioepäyhtälöä. Tämä on ristiriita, joten raja-arvoa a ei voi olla olemassa. Seuraava esimerkki osoittaa, että suppenemisen ei tarvitse olla monotonista. Esimerkki 12. Olkoon kaikilla n = 1, 2,... a n = ( 1) n 1 n. Siis (a n ) n=1 on jono ( 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5,... ). 18

20 Tämä jono ei kasva eikä vähene mutta suppenee pisteeseen 0. Nyt 0 a n = 1 n joten Esimerkin 10 päättelyitä voidaan tässä käyttää suoraan, ja määritelmän ehto saadaan toteutettua. Seuraava esimerkki osoittaa, että jono ei tarvitse mennä lähemmäs ja lähemmäs raja-arvoansa, vaan jonon alkio voi joskus hypätä kauemmaskin (kunhan kokonaisuudessaan hännän virhe raja-arvosta lähestyy nollaa). Esimerkki 13. Sekoitetaan jonot ( 1 n ) n=1 ja (2 n ) n=1 jotka molemmat suppenevat lukuun 0. Määritellään uusi jono valitsemalla vuorotellen seuraava termi näistä jonoista. Saadaan jono ( 1, 1 2, 1 2, 1 4, 1 3, 1 8, 1 4, 1 16, 1 5, 1 32, 1 6, 1 64, 1 7, 1 128, 1 8, 1 256, 1 9, 1 512, 1 ) 10,.... Siis parittomilla indeksin arvoilla otetaan termi jonosta ( 1 ) ja parillisilla n jonosta (2 n ). Jonon voi ilmaista seuraavillaa kaavoina: a 2k 1 = 1 k, a 2k = 1 2 k 1 kun k = 1, 2,... Nyt esimerkiksi jonon kymmenes termi on huomattavasti 10 1 kauempana raja-arvosta kuin edeltävä termi. Kuitenkin jonon raja-arvo 512 on 0. Miksi? Esimerkki 14. Suppeneeko jono (a n ) kun a n = Esimerkki 15. Osoitetaan että { n 1 n n pariton 0 n parillinen? lim n ( n + 1 n) = 0. Hyödyntämällö kaavaa (a b)(a+b) = a 2 b 2 voidaan tutkittavaa lauseketta muokata kätevämpään muotoon: n + 1 n = n n n n ( n + 1 n) = ( n + 1) 2 ( n) 2 n n = n + 1 n n n = 1 n n. 19

21 Tässä vaiheessa tutkittavaa lauseketta kannattaa arvioida ylöspäin siten että lauseke yksinkertaistuu: n + 1 n = 1 n n < 1 2 n, sillä n + 1 > n (kun tiedetään että neliöjuuri on kasvava funktio). Alkuperäisen väitteen osoittamiseksi riittää löytää jokaista ɛ > 0 kohti sellainen N ɛ Z + että 1 2 n ɛ aina kun n > N ɛ. Muokkaamalla tätä epäyhtälöä saadaan riittäväksi ehdoksi että Voidaan siis valita N ɛ = 1 4ɛ 2. n 1 2ɛ n 1 4ɛ 2. Esimerkki 16. Tutkitaan jonoa (a n ) n=1, Nyt a n = 2n + 1 3n 2. 2n + 1 3n 2 = n 3 2 n mistä voidaan arvata, että a n 2, sillä 1 0 ja 2 0. Osoitetaan tämä 3 n n kuitenkin tarkasti määritelmään perustuen. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Nyt a n 2 = 2n n 2 2 = 2n (n 2) 2(n 2) 3 2n + 1 2n + 4 = 3 3(n 2) 3n = = 3n 2 9n 6. Etsitään sopiva N ɛ Z +. Nyt 7 9n 6 < ɛ 7 7 ɛ < 9n 6 n > + 6 ɛ 9. Voidaan siis valita mikä tahansa positiivinen kokonaisluku N ɛ ɛ 9. 20

22 Tällöin, kun n > N ɛ, niin 7 9n 6 < ɛ ja täten a n 2 7 = 3 9n 6 < ɛ. Siis jokaiselle luvulle ɛ > 0 löytyy sopiva N ɛ Z + ja raja-arvon määritelmän nojalla a n 2 kun n. 3 Lemma 7. Jonon raja-arvo on yksikäsitteinen eli jos (a n ) on jono ja a = lim a n ja b = lim a n, niin a = b. Todistus. Tehdään vastaoletus että a b. Olkoon ɛ = a b /2 jolloin vastaoletuksen nojalla ɛ > 0. Koska sekä a että b ovat (a n ):n raja-arvoja, niin löytyy sellaiset luvut N 1 ja N 2 että ja a a n < ɛ aina kun n > N 1 b a n < ɛ aina kun n > N 2. Kun n > max{n 1, N 2 }, niin kolmioepäyhtälön nojalla a b = a a n + a n b a a n + a n b < ɛ + ɛ = 2ɛ = a b Siis a b < a b, mikä on ristiriita. Seuraava lause on hyödyllinen työkalu raja-arvojen määräämisessä. Lause 8 (Suppiloperiaate). Olkoon (a n ) n=1, (b n) n=1 ja (c n) n=1 pätee jonoja joille (a) (b) a n b n c n kaikilla n = 1,2,... lim a n = lim c n =: b n n (eli raja-arvot ovat olemassa ja yhtäsuuret). Tällöin jono (b n ) n=1 suppenee ja lim b n = b n (eli kaikkien kolmen jonon raja-arvot ovat samat). 21

23 Todistus. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Koska lim a n = b, niin löytyy sellainen M ɛ että b a n < ɛ aina kun n > M ɛ. Vastaavasti lim c n = b, joten löytyy sellainen K ɛ että b c n < ɛ aina kun n > K ɛ. Olkoon N ɛ = max{m ɛ, K ɛ }. Aina kun n > N ɛ, niin n > M ɛ ja n > K ɛ. Tällöin b b n b a n b a n < ɛ ja toisaalta Tällöin Lemman 3 nojalla b b n b c n b c n > ɛ. b b n < ɛ, mikä siis pätee kun n > N ɛ. Koska ɛ > 0 on mielivaltainen, niin b n b kun n. Seuraava tulos on oikeastaan erikoistapaus suppiloperiaatteesta, mutta erityisen käyttökelpoinen. Lause 9. Olkoon a R ja olkoot (a n ) n=1 ja (c n) n=1 jonoja joille pätee (a) (b) a a n c n kaikilla n = 1,2,... lim c n = 0. n Tällöin lim a n = a. n Esimerkki 17. Tutkitaan jonoa (a n ) n=1, a n = n 1 n. Ei ole vaikeaa osoittaa määritelmää käyttäen, että a n 1 kun n, mutta todetaan tämä nyt Lauseen 9 avulla. Nyt 1 a n = 1 n 1 = 1 n n 0 22

24 kun n (tässä käytetään aiemmin saatua tulosta, että lim 1 = 0). Kun n c n = 1 kaikilla n = 1, 2,..., niin n ja lim c n = 0. Lauseen 9 nojalla 1 a n = c n lim a n = 0. n Seuraava lause voi näyttää samanlaiselta kuin suppiloperiaate. Huomaatko, miten nämä eroavat toisistaan? Lause 10 (Epäyhtälön säilymisen periaate). Olkoot (a n ) n=1 ja (c n) n=1 suppenevia jonoja. Jos a n c n kaikilla n = 1, 2,..., niin lim a n lim c n. Vastaavasti jos a n c n kaikilla n = 1, 2,..., niin lim a n lim c n. Todistus. Osoitetaan ensimmäinen väite. Oletetaan että a n c n kaikilla n = 1, 2,..., ja merkitään a = lim a n, c = lim c n. Tehdään vastaoletus, että a > c. Olkoon ɛ = a c, jolloin vastaoletuksen nojalla ɛ > 0. Raja-arvon määritelmästä seuraa että on olemassa sellaiset luvut N 1, N 2 Z + että a a n < ɛ/2 kun n > N 1 ja c c n < ɛ/2 kun n > N 2. Kun n > max{n 1, N 2 } niin molemmat edellisistä epäyhtälöistä ovat voimassa, ja täten a n c n = a n a + a c + c c n a n a + a c c c n > ɛ 2 + ɛ ɛ 2 = 0 Tämä on ristiriita sen kanssa, että a n c n. Usein edellistä tulosta käytetään tilanteessa jossa toinen jonoista on vakiojono (esimerkiksi c n = c kaikilla n = 1, 2,... ). Määritelmä 7. Jono (a n ) n=1 on rajoitettu mikäli on olemassa sellainen luku M > 0, että a n M kaikilla n = 1, 2,... Esimerkki 18. Esimerkiksi jono (0, 1, 0, 1, 0, 1,...) on rajoitettu (voidaan valita, vaikka M = 1) mutta toisaalta jono (1, 2, 3,...) ei ole rajoitettu. Lemma 11. Jokainen suppeneva jono on rajoitettu. Todistus. Olkoon (a n ) jono joka suppelee pisteeseen a. Tällöin on olemassa sellainen N Z + että a a n < 1 aina kun n > N. 23

25 Erityisesti kun n > N niin a n = a n a + a a n a + a < a + 1, joten a + 1 on sopiva raja jonon hännälle. Jonon alkupää saadaan hoidettua helposti, koska alkupäässä on vain äärellisen monta termiä. Asetetaan M = max{ a 1, a 2,..., a N, a + 1}, jolloin kaikilla n Z +. a n M Seuraavaan lauseeseen on kerätty raja-arvon laskusäännöt. Lause 12 (Raja-arvon laskusääntöjä). Olkoot (a n ) ja (b n ) jonoja, joilla on olemassa raja-arvot a = lim a n ja b = lim b n, ja olkoon c R vakio. (a) lim n (a n + b n ) = a + b = ( lim n a n ) + ( lim n b n ) (b) lim n (a n b n ) = ab = ( lim n a n ) ( lim n b n ) (c) lim n (ca n ) = ca = c lim n a n ( an ) (d) lim = a n b n b = lim n a n, jos b 0 ja b n 0 kaikilla n. lim n b n Erityisesti raja-arvot yhtälöiden vasemmilla puolilla ovat olemassa. Todistus. Merkitään a = lim n a n ja b = lim n b n. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Raja-arvon määritelmän nojalla löytyy sellaiset N 1, N 2 Z + että ja a a n < ɛ 2 b b n < ɛ 2 aina kun n > N 1 aina kun n > N 2. Kun n > max{n 1,N 2 } niin molemmat edeltävistä arvioista pätevät ja (a + b) (a n + b n ) = a a n + b b n a a n + b b n < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Täten lim(a n + b n ) = a + b, joten (a) pätee. 24

26 Osoitetaan väite (b). Aloitetaan muokkaamalla tutkittavaa lauseketta: ab a n b n = ab ab n + ab n a n b n a(b b n ) + (a a n )b n = a b b n + a a n b n. Oikean puoleisen lausekkeen pitäisi osoittaa suppenevan lukuun 0. Tätä varten tarvitaan tietoa, että suppeneva jono on rajoitettu (Lemma 11). Löytyy siis sellainen luku M > 0, että b n M kaikilla n Z +. Raja-arvon määritelmän nojalla löytyy sellaiset N 1, N 2 Z + että ja a a n < ɛ 2M b b n < ɛ 2 a Kun n > max{n 1,N 2 }, niin aina kun n > N 1 aina kun n > N 2. ab a n b n = a b b n + a a n b n a b b n + M a a n ɛ < a 2 a + M ɛ 2M = ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Väite (c) seuraa väitteestä (b). Samoin (d) seuraa väitteestä (b) kun tiedetään, että lim 1 b n = 1 (harjoitustehtävä). b Esimerkki 19. Edellisen lauseen oletus, että raja-arvot yhtälöiden oikeilla puolilla ovat olemassa, on olennainen. Jos esimerkiksi a n = n ja b n = n kaikilla n = 1, 2,..., niin mutta ei ole hyvin määritelty ( ). lim (a n + b n ) = lim (n n) = lim 0 = 0 n n n ( lim n a n ) + ( lim n b n ) Usein raja-arvot voidaan laskea hyödyntämällä raja-arvojen laskusääntöä sekä tietoa joista tavallisista raja-arvoista (esimerkiksi että 1 n 0 kun n ). Esimerkki 20. Lasketaan raja-arvo ( ) 2 n lim. n n

27 Jos tiedetään että jono ( n ) suppenee, niin raja-arvon laskusääntöjen nojalla n+1 ( ) 2 ( ) 2 n n lim = lim. n n + 1 n n + 1 Nyt Koska lim 1 n Täten = 0, niin lim n n n + 1 = n n n + 1 = lim n 1 n = = 1. ( ) 2 ( ) 2 n n lim = lim = 1 2 = 1. n n + 1 n n + 1 Esimerkki 21. Tutkitaan raja-arvoa lim n missä a > 1 on vakio. Tässä oikeastaan verrataan 1. asteen polynomin n kasvunopeutta eksponenttifunktion a n kasvunopeuteen. Kirjoitetaan a = 1 + b, missä b > 0. Binomikaavan nojalla Täten a n = (1 + b) n = ( ) n b n k=0 ( n 1 ( ) n 1 n k b k = k ) b 1 + kaikilla n = 1, 2,... Koska n a n n a n n k=0 ( ) n b k k ( ) n b 2 = 1 + nb + 2 n n(n 1) b = (n 1)b 2 lim n 2 (n 1)b 2 = 0 (sillä b > 0), niin suppiloperiaatteen nojalla (Lause 9) lim n n a n = 0. n(n 1) b 2 2 n(n 1) b

28 3.2 Supremum ja inmum Kaikilla reaalilukujoukoilla ei välttämättä ole maksimia tai minimiä, vaikka joukko olisi rajoitettukin. Näillä käsitteillä on kuitenkin yleistykset (parannukset), joita kutsutaan supremumiksi ja inmumiksi. Nämä esitellään seuraavaksi. Määritelmä 8. Reaalilukujoukon A R yläraja on mikä tahansa luku b R, jolle pätee a b kaikilla a A. Jos joukolla A on yläraja, niin sanotaan että A on ylhäältä rajoitettu. Vastaavasti joukon A R alaraja on mikä tahansa luku c R, jolle pätee a c kaikilla a A, ja jos joukolla A on olemassa alaraja, niin A on alhaalta rajoitettu. Jos joukko on sekä alhaalta että ylhäältä rajoitettu, niin se on rajoitettu. Esimerkki 22. (a) Joukko ]2, 3[ on ylhäältä rajoitettu. Esimerkiksi luvut 3, 4, 1014, π ovat tämän joukon ylärajoja. Tämä joukko on myös alhaalta rajoitettu, joten se on rajoitettu. (b) Luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1, 2, 3,...} on alhaalta rajoitettu (alaraja esimerkiksi 0) muttei ylhäältä rajoitettu (Lause 17). Määritelmä 9. Luku b R on joukon A supremum eli pienin yläraja mikäli seuraavat ehdot ovat voimassa: (a) b on A:n yläraja (b) jos myös c on A:n yläraja, niin c b. Tällöin merkitään b = sup A. Vastaavasti luku d R on joukon A inmum eli suurin alaraja mikäli seuraavat ehdot ovat voimassa: (a) d on A:n alaraja (b) jos myös e on A:n yläraja, niin e d. Tällöin merkitään d = inf A. Esimerkki 23. Joukon {1, 2, 3} supremum on 3 ja inmum 1. Selvästi 3 on joukon {1, 2, 3} yläraja eikä joukolla {1, 2, 3} voi olla pienempää ylärajaa koska 3 kuuluu kyseiseen joukkoon. Vastaavasti voidaan perustella että tämän joukon inmum on 1. 27

29 Edellinen esimerkki yleistyy seuraavaksi tulokseksi. Lemma 13. Jos joukolla A R on maksimi max A, niin sup A = max A. Vastaavasti inf A = min A, jos minimi on olemassa. Esimerkki 24. Joukon [0, 1[ supremum on 1. Huomaa että joukolla [0, 1[ ei ole maksimia. Esimerkki 25. Joukon {1/n n Z + } inmum on 0. Lemma 14. Olkoon A R. (a) Olkoon M joukon A yläraja. Tällöin M on joukon A supremum jos ja vain jos kaikilla ɛ > 0 on olemassa sellainen a A, että M ɛ < a M. (b) Olkoon m joukon A alaraja. Tällöin m on joukon A inmum jos ja vain jos kaikilla ɛ > 0 on olemassa sellainen a A, että M a < M + ɛ. Todistus. Todistetaan ensimmäinen väite; toinen on vastaava. Oletetaan ensin, että M on joukon A supremum. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Jos M ɛ a kaikilla a A, niin M ɛ on A:n yläraja ja M ɛ < M, mikä ei ole mahdollista, sillä M on pienin yläraja. Täten löytyy sellainen a A että M ɛ < a. Toisaalta M on A:n yläraja, joten a M. Oletetaan sitten että M on sellainen A:n yläraja että kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen a A että M ɛ < a M. Tällöin joukolla A ei voi olla olemassa ylärajaa, joka on aidosti pienempi kuin M. Lemma 15. Luku a R on joukon A R supremum jos ja vain jos a on joukon A yläraja ja on olemassa sellainen jono (a n ) n=1 että a n A kaikilla n = 1, 2,... ja a n a kun n. Vastaavasti a R on joukon A R inmum jos ja vain jos a on joukon A alaraja ja on olemassa sellainen jono (a n ) n=1 että a n A kaikilla n = 1, 2,... ja a n a kun n. Todistus. Todistetaan ensimmäinen väite; toinen on vastaava. Oletetaan ensin että a on joukon A supremum. Lemman 14 nojalla kaikilla n = 1, 2,... on olemassa sellainen a n A, että a 1 n < a n a. Koska a 1 n a kun n, niin suppiloperiaatteen nojalla lim a n = a. 28

30 Osoitetaan väite vielä toiseen suuntaan. Olkoon a joukon A yläraja ja (a n ) n=1 sellainen jono A:n pisteitä että a = lim a n. Jos c on jokin toinen A:n yläraja, niin a n c kaikilla n = 1, 2,... Lemman 21 nojalla a = lim a n a = sup A. c, joten a on A:n pienin alaraja. Siis Seuraava aksiooma on reaalilukujen perusominaisuus, jota ei todisteta. 1 Aksiooma 16 (Täydellisyysaksiooma). Jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla joukolla A R on olemassa supremum sup A R. Aksioomasta seuraa, että jokaisella epätyhjällä alhaalta rajoitetulla joukolla B R on olemassa inmum inf B R. Esimerkki 26. Olkoon A = { x R x 2 2 }. Tällöin A on ylhäältä rajoitettu joukko sillä esimerkiksi 2 on joukon A yläraja: funktio f(x) = x 2 on aidosti kasvava joukossa [0, [ ja 2 2 = 4 > 2 joten jos x > 2 niin x 2 > 4 ja x / A. Täydellisyysaksiooman nojalla joukolla A on supremum y R. Osoitetaan että y 2 = 2 eli että y = 2. Lemman 15 nojalla on olemassa sellainen jono (a n ) n=1 joukon A alkioita että a n y kun n. Nyt a 2 n 2 kaikilla n = 1, 2,... ja a 2 n y 2 (Lauseen 12, kohta (b), nojalla), joten y 2 2 Lemman 21 nojalla. Jos taas y 2 < 2, niin olkoon ɛ = 2 y2 3y. Huomaa että y 1 (koska 1 A ja y on A:n yläraja) joten 0 < ɛ Luvun ɛ määritelmästä saadaan että = 1 3. y 2 = 2 3yɛ, 1 Aksiooma tarkoittaa perustavanlaatuista väitelausetta, joka otetaan totuutena ja jota ei voi todistaa. Reaalilukujen tapauksessa täydellisyysaksiooma tai sen jokin ekvivalentti muoto on tällainen. 29

31 joten (y + ɛ) 2 = y 2 + 2yɛ + ɛ 2 = 2 3yɛ + 2yɛ + ɛ 2 = 2 yɛ + ɛ 2 = 2 ɛ(y ɛ) < 2 koska 0 < ɛ < 1/3 < y. Täten y + ɛ A mikä on ristiriita sen kanssa että y on A:n yläraja. Ei siis ole mahdollista että y 2 < 2. Siis y 2 = 2. Huomautus 4. Edellinen esimerkki osoittaa, että luvulla 2 on olemassa neliöjuuri reaalilukujen joukossa. Tähän tarvittiin täydellisyysaksioomaa. Täydellisyysaksiooma ei päde rationaalilukujen joukossa: esimerkiksi joukolla { x Q x 2 2 } ei voi olla supremumia rationaalilukujen joukossa, sillä edellisen esimerkin laskut osoittaisivat että tämä supremum olisi luvun 2 neliöjuuri (joka ei ole rationaaliluku). Lause 17 (Arkhimedes). Kaikilla y R on olemassa sellainen m Z +, että y < m. Todistus. Tehdään vastaoletus: on olemassa sellainen M R että M m kaikilla m Z +. Toisin sanoen M on yläraja joukolle Z +. Tällöin Täydellisyysaksiooman nojalla joukolla Z + on olemassa supremum M. Koska M on joukon Z + supremum, niin on olemassa sellainen n Z +, että M 1 < n M. Nyt n + 1 > M ja n + 1 Z +, mikä on mahdotonta, koska M on Z + :n yläraja. Vastaoletus on siis väärä ja väite pätee. Lause 18. Olkoon x R jolle pätee kaikilla n Z + Tällöin x = 0. 0 x 1 n. Todistus. Oletetaan että x > 0. Täten Lauseen 17 nojalla on olemassa sellainen m Z +, että 1 x < m. Tällöin 1 m < x, mikä on vastoin lauseen oletuksia. Täytyy siis olla x = 0. 30

32 3.3 Lukusarjoista Lukusarjalla tarkoitetaan äärettömän monen reaaliluvun summaa. Esimerkkejä lukusarjoista ovat vaikkapa Päällimmäinen kysymys on suppenevatko kyseiset sarjat. Tässä täytyy olla tarkkana, sillä osoittautuu, että suppeneminen voi riippua termien summausjärjestyksestä. Olkoon (a k ) k=1 jono reaalilukuja. Äärellisistä summista käytetään merkintää n a k = a 1 + a a n, k=1 joka on siis hyvin määritelty reaaliluku. Äärettömistä summista käytetään merkintää k=1 mutta tällöin ei ole selvää vastaako tämä mitään reaalilukua (ja aina ei vastaa). a k Määritelmä 10. Sarja suppenee, jos sen osasummien k=1 a k s n = n k=1 a k muodostama jono (s n ) n=1 suppenee. Tällöin osasummien jonon raja-arvosta käytetään merkintää a k. k=1 Mikäli sarja ei suppene, sanotaan että se hajaantuu. 31

33 Huomautus 5. Koska äärelliset summat ovat hyvin määriteltyjä, jokainen osasumma s n = n k=1 a k hyvin määritelty reaaliluku. Jos osasummien jono suppenee, niin tällöin raja-arvokin on hyvin määritelty reaaliluku. Lause 19 (Geometrisen sarjan summa). Olkoon x 1 reaaliluku. Tällöin Sarja n k=0 x k = 1 xn+1 1 x. k=0 suppenee täsmälleen silloin kun x < 1, ja tällöin Todistus. Merkitään Tällöin s n = k=0 x k x k = 1 1 x. n x k = 1 + x + x x n 1 + x n. k=0 x s n = x + x 2 + x x n + x n+1 ja laskemalla näiden summien erotus saadaan (1 x)s n = s n xs n = (1 + x + x x n 1 + x n ) Kun x 1 voidaan ratkaista s n ja saadaan (x + x x n 1 + x n + x n+1 ) = 1 x n+1. s n = 1 xn+1 1 x. Käsitellään suppeneminen erillisinä tapauksina. Oletetaan aluksi, että x < 1. Tällöin x n+1 0 kun n, mikä seuraa Esimerkistä 21, sillä x n+1 = x n+1 1 = ) n+1 n + ) 1 n+1 0 koska 1 x > 1. Täten s ( 1 x ( 1 x n = 1 xn+1 1 x 1 1 x 32

34 kun n. Kun x > 1 niin x n+1 ja osasummien jono hajaantuu. Kun x = 1, niin s n = n + 1 joten osasummien jono hajaantuu. Kun x = 1, niin { n s n = ( 1) k 1 n pariton = 0 n parillinen. k=1 Täten osasummien muodostama jono on joka hajaantuu. ( 1, 0, 1, 0, 1, 0,...) Jonon raja-arvon laskusäännöistä seuraa seuraavat sarjoja koskevat laskusäännöt. Lause 20. Oletetaan, että sarjat k=1 a k ja k=1 b k suppenevat ja että c R. Tällöin (a) ca k = c a k, (b) k=1 k=1 (a k + b k ) = k=1 a k + k=1 k=1 Erityisesti yhtälöiden vasemmilla puolilla olevat sarjat suppenevat. k=1 b k. Todistus. Osoitetaan toinen väite. Sarjojen suppenemisen määritelmän mukaan n ( ( n ) ( n ) ) (a k + b k ) = lim (a k + b k ) = lim a k + b k n n k=1 (äärellisen summan uudelleen järjestäminen on salittua ja tämä tehtiin yllä). Koska sarjat k=1 a k ja k=1 b k suppenevat, niin Lauseen 12 nojalla ( ( n ( n ) lim a k )+ ) ( n ( n ) b k = lim a k )+ lim b k = a k + b k. n n n k=1 k=1 k=1 Tämä osoittaa väitteen. k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 Lemma 21. Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (a n ) n=1 sen raja-arvo on lim n a n = sup n Z+ a n. suppenee ja 33

35 Todistus. Koska (a n ) on ylhäältä rajoitettu, luku a = sup n Z+ a n on hyvin määritelty Täydellisyysaksiooman nojalla. Olkoon ɛ > 0 mielivaltainen. Luvun a määritelmästä seuraa, että jollain N Z + pätee a ɛ < a N a (Lemma 14). Koska (a n ) on kasvava, niin a N a n kaikilla n > N. Yhdistämällä edeltävät arviot saadaan, että a ɛ < a n a kaikilla n > N. Koska ɛ > 0 on mielivaltainen, niin raja-arvon määritelmän nojalla lim n a n = a. Lemma 22. Olkoon k=1 rajoitettu ja positiiviterminen, eli osasummien jono on rajoitettu ja jokainen a k 0. Tällöin kyseinen sarja suppenee. Todistus. Oletusten nojalla osasummien jono on rajoitettu ja kasvava (koska s n+1 = s n + a n+1 s n kaikilla n). Täten sarja suppenee Lemman 21 nojalla. a k Määritelmä 11. Neperin luku e määritellään sarjana e = k=0 1 k!. Huomautus 6. Neperin luku on hyvin määritelty, sillä sen määräävä sarja on positiiviterminen ja ylhäältä rajoitettu, joten se suppenee Lemman 22 nojalla. Osoitetaan rajoittuneisuus. Osasummille pätee arvio s n = n k=0 1 k! = n < n 1 < 3 geometrisen summakaavan perusteella (Lause 19). 34

36 Lause 23. Neperin luvulla on myös seuraava esitys: ( e = lim n. n n) Huomautus 7. Arvioidaan Neperin lukua. Olkoon s n = n 1 k=0 jolloin n! 1 e s n = (n + 1)! + 1 (n + 2)! + 1 (n + 3)! + ( ) 1 1 < 1 + (n + 1)! (n + 1) + 1 (n + 1) = (n + 1)! 1 1 = 1 n! n n+1 geometrisen sarjan summakaavan nojalla. Siis 0 < e s n < 1 n! n Esimerkiksi 10! 10 = , joten jos Neperin lukua arvioidaan osasummalla s 10, niin virhe on alle Näin saadaan arvio e 2,

37 4 Reaalifunktiot 4.1 Funktion käsite ja kuvaaja Olkoot X ja Y ei-tyhjiä joukkoja. Funktio f : X Y on sääntö joka liittää jokaiseen alkioon x X täsmälleen yhden alkion f(x) Y. Huomaa että sääntö ei välttämättä ole yksittäinen yhtälö (esim. lämpötila huoneen eri pisteissä tietyllä ajanhetkellä). Joukkoa X kutsutaan funktion f : X Y määritysalueeksi (tai lähtöjoukoksi) ja joukkoa Y funktion f maalijoukoksi. Funktion f kuvajoukko (eli arvojoukko) on f(x) = {f(x) x X} Y. Funktion f graa eli kuvaaja G f = {(x, f(x)) x X} X Y määrää funktion f yksikäsitteisesti. Tällä kurssilla keskitytään reaalifunktioihin. Reaalifunktio on funktio, jonka määritysalue ja kuvajoukko ovat reaalilukujen joukon osajoukkoja. Tällaisen funktion f : M R, missä M R, kuvaaja on muotoa G f = {(x, y) R 2 x M, y = f(x)} ja se voidaan esittää (x, y)-koordinaatistossa. Esimerkki 27. Olkoon f : R R, f(x) = x. Tällöin funktion f määritysalue on R, kuvajoukko on { x x R} = [0, + [ ja kuvaaja on joukko G f = {(x, x ) x R} = {(x, x) x < 0} {(x, x) x 0}. Kuvaaja on esitetty Kuvassa 7. Funktioden määrittelemisessä määritysalue on merkityksellinen, vaikkakaan niitä ei aina erikseen mainita. Jos funktio määritellään yhtälöllä ja muuta ei mainita, niin funktion luonnollinen määritysalue on suurin mahdollinen reaalilukujen osajoukko, jossa yhtälö on järkevä. Esimerkki 28. Tutkitaan sääntöä f(x) = 1 x

38 f(x) = x Kuva 7: Itseisarvofunktion f(x) = x kuvaaja Funktion f luonnollinen määritysalue on R:n osajoukko, jossa yhtälön oikeapuoli on hyvin määritelty. Siis luonnollinen määritysalue on R \ { 1, 1}. Päätellään vielä funktion f kuvajoukko. Funktio f on parillinen (symmetrinen origon suhteen) eli f( x) = f(x). Kun x, nimittäjä f(x) 0. Kun x 1+, niin f(x) +. Täten ]0, + [ sisältyy kuvajoukkoon. Toisaalta f(0) = 1 ja kun x 1, niin f(x) (f on vähenevä välillä [0, 1[). Kaiken kaikkiaan voidaan päätellä että funktion f kuvajoukko on ], 1] ]0, + [. Tehtävä: syötä funktion määräämä kaava Wolfram Alphaan ja tutki mitä se kertoo tästä. Määritelmä 12. Olkoon f : I R missä I on symmetrinen väli origon suhteen (siis I = ] a, a[, I = [ a, a] tai I = ], [). Sanotaan että f on (a) parillinen jos f( x) = f(x) kaikilla x I (b) pariton jos f( x) = f(x) kaikilla x I. Esimerkki 29. Funktio f(x) = x on pariton ja funktio g(x) = x 2 on parillinen. 4.2 Ensimmäisen asteen polynomit Olkoon c R kiinnitetty reaaliluku. Funktio f(x) = x + c on siirto reaalilukusuoralla. Siis piste x siirtyy pisteeseen x + c ja väli [a,b] siirtyy väliksi [a + c, b + c]. Huomaa että uuden välin [a + c, b + c] pituus on b a eli sama kuin alkuperäisellä välillä [a,b]. Olkoon nyt a > 0 kiinnitetty reaaliluku. Funktio g(x) = ax on skaalaus kertoimella a. Esimerkiksi väli [c,d] kuvautuu väliksi [ac,ad]. Nyt uuden välin 37

39 pituus on a(d c) eli välin [c,d] pituus d c on skaalautunut kertoimen a verran. Miten voidaan tulkita geometrisesti funktio h(x) = ax kun a < 0? Pohdi ensin tapausta a = 1. Yleiset ensimmäisen asteen polynomit saadaan yhdistämällä nämä tapaukset. Funktio f(x) = ax + c skaalaa muuttujaa kertoimella a ja siirtää lopputulosta luvun c verran. Mitä tekee funktio f(x) = a(x + c)? 4.3 Polynomifunktiot Määritelmä 13. Funktio P : R R, P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 missä a 0, a 1,..., a n R, a n 0, on polynomi, jonka aste on n. Lukuja a 0, a 1,..., a n kutsutaan polynomin kertoimiksi. Määritelmä 14. Luku x 0 R on funktion f nollakohta jos f(x 0 ) = 0 (luvun x 0 täytyy tietenkin kuulua funktion f määritysalueeseen). Binomikaava a 2 b 2 = (a b)(a + b) on helppo todeta oikeaksi kertomalla oikean puoleisesta lausekkeesta sulut auki. Vastaavasti saadaan kaavat ja a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) a 4 b 4 = (a b)(a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 ). Näistä tapauksista voidaan huomata säännönmukaisuus, joka on esitetty seuraavassa kaavassa. Lemma 24. Olkoot a ja b reaalilukuja ja n 2 luonnollinen luku. Tällöin a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b ab n 2 + b n 1 ). Todistus. Todistetaan väite induktiolla luvun n suhteen. Alkuaskel n = 2 on jo todettu päteväksi. Induktio-oletus: kaava pätee kun n = k. Induktioväite: kaava pätee kun n = k + 1. Muokataan lauseketta a k+1 b k+1 siten että päästään käyttämään induktio-oletusta: a k+1 b k+1 = a (a k b k ) + ab k b k+1. 38

40 Tästä saadaan induktio-oletuksen nojalla että a k+1 b k+1 = a(a b)(a k 1 + a k 2 b + + ab k 2 + b k 1 ) + ab k b k+1 = (a b)(a k + a k 1 b + + a 2 b k 2 + ab k 1 ) + (a b)b k = (a b)(a k + a k 1 b + + a 2 b k 2 + ab k 1 + b k ) mikä osoittaa että väite pätee kun n = k + 1. Induktioperiaatteen nojalla väite pätee kaikilla n 2. Edellisen lemman avulla voidaan osoittaa seuraava polynomien jaollisuutta koskeva tulos. Lause 25. Jos x 0 on astetta n olevan polynomin P nollakohta, niin P on jaollinen termillä x x 0 eli P (x) = (x x 0 )Q(x) missä Q on astetta n 1 oleva polynomi. Todistus. Olkoon P (x) = n a k x k, a k R, a n 0 k=0 astetta n 1 oleva polynomi. Koska P (x 0 ) = 0, niin P (x) = P (x) P (x 0 ) = a n (x n x n 0) + a n 1 (x n 1 x n 1 0 ) + + a 1 (x x 0 ) + a 0 a 0 Nyt Lemman 24 nojalla, kaikilla 2 k n x k x k 0 = (x x 0 )Q k (x) missä Q k (x) on astetta k 1 oleva polynomi. Asetetaan vielä Q 1 (x) = 1 jolloin edellisen nojalla Täten missä P (x) = a n (x x 0 )Q n (x) + a n 1 (x x 0 )Q n 1 (x) + n + a 2 (x x 0 )Q 2 (x) + a 1 (x x 0 ) = (x x 0 ) a k Q k (x). P (x) = (x x 0 )Q(x) Q(x) = n a k Q k (x). k=1 Koska polynomin Q(x) korkeimman asteen termi on a n x n 1, niin Q:n aste on n k=1

41 Seuraus 26. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P (x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus 27. Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään n kappaletta erisuuria nollakohtaa. 4.4 Rationaalifunktiot Rationaalifunktio on funktio joka on muotoa R(x) = P (x) Q(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 missä P (x) ja Q(x) ovat polynomifunktioita. Rationaalifunktion R määritysalue on {x R Q(x) 0} eli koko R lukuunottamatta polynomin Q(x) nollakohtia. Esimerkki 30. Olkoon R(x) = x + 1 x 2 1. Tällöin R:n määritysalue on R \ { 1,1}. Voidaan huomata että x + 1 x 2 1 = x + 1 (x 1)(x + 1) = 1 x 1. kun x / { 1,1}. Täten R voitaisiin luonnollisesti laajentaa funktioksi R 2 : R \ { 1} R, R 2 (x) = 1 x 1. Kuitenkin R ja R 2 ovat eri funktioita (koska niillä on eri määritysalueet). 4.5 Funktioiden laskutoimitukset Polynomi- ja rationaalifunktioiden määritelmissä käytettiin funktioiden välisiä laskutoimituksia. Esimerkiksi funktio f(x) = x + x 3 on funktioiden g(x) = x ja h(x) = x 3 summa. Funktioiden välisiä laskutoimituksia tarvitaan uusien funktioiden määrittelemiseen ja esimerkiksi derivaatan laskusäännöissä. Funktioiden väliset laskutoimitukset määritellään pisteittäin. 40

42 f(x) = x f(x) + g(x) = x + sin x g(x) = sin x Kuva 8: Summafunktio Määritelmä 15. Olkoot f : M f R, g : M g R ja c R vakio. Tällöin (f + g)(x) = f(x) + g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) ( ) f (x) = f(x) g g(x). (erityisesti (cf)(x) = cf(x)) Määritysalue uusille funktioille on M f M g, paitsi funktion f/g tapauksessa määrittelyalue on (M f M g ) \ { x M g g(x) = 0 }. 4.6 Yhdistetty funktio Toinen tapa määritellä uusia funktioita on funktioiden yhdistäminen. Määritelmä 16. Funktioiden f ja g yhdistetty funktio eli yhdiste on funktio Yhdistetyn funktion määritysalue on (f g)(x) = f ( g(x) ). M f g = { x M g g(x) M f }. Joskus funktiota g kutsutaan sisäfunktioksi ja funktiota f ulkofunktioksi. Esimerkki 31. Olkoon h(x) = x 2 1. Voidaan ajatella että h on kuvausten g(x) = x 2 1 ja f(x) = x yhdiste, sillä f g(x) = f(g(x)) = f(x 2 1) = x

43 g f x g(x) f ( g(x) ) f g Kuva 9: Yhdistetyssä funktiossa f g operoi ensin g ja sitten f 4.7 Käänteisfunktio Määritelmä 17. Funktio g : Y X on funktion f : X Y käänteisfunktio mikäli (g f)(x) = x kaikilla x X ja (f g)(y) = y kaikilla y Y. Käänteisfunktiota merkitään f 1. Funktio f : X Y on (a) injektio jos x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) (b) surjektio jos f(x) = Y. Funktiota, joka on sekä injektio että surjektio, kutsutaan bijektioksi. Huomautus 8. Olkoon f : X Y funktio. Usein tällainen funktio samaistetaan funktion f : X f(x) kanssa eli maalijoukko voidaan luonnollisesti rajoittaa kuvajoukoksi. Huomaa että funktio f : X f(x) on surjektio. Esimerkki 32. Esimerkiksi jos f : R R on määritelty kaavalla f(x) = x 2, niin funktion f kuvajoukko on f(r) = [0, [. Voidaan myös ajatella f funktioksi f : R [0, [, f(x) = x 2, jolloin f on surjektio joukolta R joukolle [0, [ (sen sijaan f ei ole surjektio joukolta R joukolle R). Lause 28. Funktiolla f : X Y on olemassa käänteisfunktio täsmälleen silloin kun f on bijektio. Todistuksen idea: Määritellään g : Y X asettamalla g ( y ) = x kun y = f(x) (jotta tämä on järkevää on f:n oltava bijektio). Tällöin g = f 1. (Varsinainen todistus kurssilla Johdatus matemaattiseen päättelyyn.) Esimerkki 33. Tutkitaan funktiota f(x) = 3x + π. Nyt y = f(x) = 3x + π x = 1 (y π). 3 ( ) Yhtälöstä ( ) voidaan päätellä, että f : R R on bijektio: 42

44 (a) f on injektio sillä f(x 1 ) = f(x 2 ) = 3x 1 + π = 3x 2 + π = x 1 = x 2 ; (b) f on surjektio sillä jokaisella y R löytyy x R, jolle f(x) = y (valitaan x = 1 (y π)). 3 Yhtälöstä ( ) voidaan myös nähdä että funktion f käänteiskuvaus f 1 : R R on f 1 (y) = 1 (y π). 3 Siis f 1 (f(x)) = x ja f(f 1 (y)) = y kaikilla x,y R. Esimerkki 34. Tutkitaan funktiota f(x) = x 2. Onko funktiolla f käänteisfunktiota? Funktion f(x) = x 2 luonnollinen määritysalue on M f = R, jolloin f ei ole injektio (f(x) = f( x)) eikä käänteisfunktiota siis ole olemassa. Jos määritysalueeksi otetaankin jokin pienempi joukko, niin käänteisfunktio voi olla olemassa. Olkoon esimerkiksi M f = [0, [. Tällöin f : [0, [ R, f(x) = x 2, on injektio, jonka kuvajoukko on myös [0, [. Käänteisfunktion g määrääminen: Merkitään y = f(x), jolloin x = g(y). Yhtälöstä y = x 2 saadaan x = y, joten g(y) = y. Käänteisfunktio on siis f 1 : [0, [ [0, [, f 1 (y) = y. Edellä todettiin että tarvittaessa funktion maalijoukko voidaan rajoittaa kuvajoukoksi ja funktiosta saadaan surjektio määritysalueeltaan maalijoukolle. Edellisestä esimerkistä huomataan, että joskus myös määritysaluetta on hyödyllistä rajoittaa. Määritelmä 18. Olkoon f : M R missä M R. Funktion f rajoittuma joukkoon N M on funktio f N : N R, f N (x) = f(x), x N. Esimerkki 35. Funktion f : R R, f(x) = x 2, rajoittuma joukkoon [0, [ on funktio f [0, [ (x) = x 2, x 0. Huomaa että funktio f [0, [ on injektio vaikka f ei ole. 4.8 Monotoniset funktiot Määritelmä 19. Olkoon M R jokin joukko (yleensä väli) ja f : M R. Funktio f on 43

45 (a) kasvava jos f(x 1 ) f(x 2 ) aina kun x 1, x 2 M ja x 1 < x 2 (b) vähenevä jos f(x 1 ) f(x 2 ) aina kun x 1, x 2 M ja x 1 < x 2 (c) aidosti kasvava jos f(x 1 ) < f(x 2 ) aina kun x 1, x 2 M ja x 1 < x 2 (d) aidosti vähenevä jos f(x 1 ) > f(x 2 ) aina kun x 1, x 2 M ja x 1 < x 2 (e) monotoninen jos se on kasvava tai vähenevä (f) aidosti monotoninen jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Seuraavan lauseen mukaan jokaisella aidosti monotonisella funktiolla f on käänteisfunktio joka on samalla tavalla aidosti monotoninen kuin funktio f. Tätä tulosta tarvitaan muun muassa juurifunktioiden ja logaritmifunktion määrittelemiseen (nämä ovat aidosti kasvavien funktioiden käänteisfunktioita). Lause 29. Olkoon M R ja f : M R aidosti monotoninen. Tällöin f on injektio ja erityisesti f : M f(m) on bijektio. Funktion f käänteiskuvaus f 1 : f(m) M on aidosti kasvava jos f on aidosti kasvava ja f 1 on aidosti vähenevä jos f on aidosti vähenevä. Todistus. Oletetaan että f on aidosti kasvava (tapaus missä f on aidosti vähenevä on vastaava). Osoitetaan aluksi että f on injektio. Jos x 1,x 2 M ja x 1 x 2, niin joko x 1 < x 2 tai x 1 > x 2. Koska f on aidosti kasvava, niin ensimmäisessä tapauksessa f(x 1 ) < f(x 2 ) ja toisessa f(x 1 ) > f(x 2 ). Joka tapauksessa f(x 1 ) f(x 2 ), joten f on injektio. Täten f : M f(m) on bijektio ja sillä on käänteisfunktio f 1 : f(m) M. Osoitetaan vielä että f 1 on aidosti kasvava. Tehdään vastaoletus että näin ei ole. Tällöin on olemassa sellaiset y 1, y 2 f(m) että y 1 < y 2 mutta f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ). Nyt y 1 = f(x 1 ) ja y 2 = f(x 2 ) joillain x 1, x 2 M. Siis x 1 = f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) = x 2. Siis x 1 x 2 mutta f(x 1 ) < f(x 2 ) mikä on ristiriita sen kanssa että f on aidosti kasvava. Huomautus 9. Myöhemmin selviää että jos f : I R on jatkuva aidosti monotoninen funktio missä I on väli, niin myös f(i) on väli ja käänteisfunktio f 1 : f(i) R on myös jatkuva. 44

46 Edellisen lauseen (ja määritelmän) nojalla jos f on aidosti kasvava ja x 1,x 2 M f niin x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Vastaavasti jos f on aidosti vähenevä niin x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Esimerkki 36. Ratkaistaan epäyhtälö 2x 1 x + 1 neliöönkorottamalla. Tämä on sallittua, sillä funktio x x 2 : [0, [ [0, [ on aidosti kasvava. Täten 2x 1 x + 1 2x 1 2 x x 2 4x + 1 x 2 + 2x + 1 3x 2 6x 0 3x(x 2) 0 0 x 2 (Koska y = 3x 2 6x on ylöspäin aukeava parabeli.) 4.9 Rationaalilukupotenssit Aloitetaan tutkimalla juurifunktioita eli potensseja x 1/n missä n N. Olkoon n N. Tällöin funktio f : [0, [ [0, [, f(y) = y n on aidosti kasvava (tämän voi osoittaa esimerkiksi induktiolla n:n suhteen). Lauseen 29 nojalla funktiolla f on käänteisfunktio, joka on myös aidosti kasvava. Määritelmä 20 (Juuret). Olkoot x 0 ja n N. Luvun x n:s juuri on x 1 n = n x = f 1 (x) missä f on funktio f(y) = y n. Määritelmä 21 (Rationaalilukupotenssit). Olkoot x > 0, m Z ja n N. Asetetaan x m/n = (x m ) 1/n. Tehtävä: miksi x 2/6 = x 1/3? Seuraavassa lauseessa todetaan, että kokonaislukupotenssien laskusäännöt laajenevat rationaalilukupotensseille. Lause 30. Kaikilla x > 0 ja p,q Q pätee x (p+q) = x p x q x pq = (x p ) q. 45

47 y f(x) = x 2 x g(y) = y x y Kuva 10: Juurifunktion kuvaaja 4.10 Yleiset reaalilukupotenssit Tässä kappaleessa määritellään yleiset reaalilukupotenssit a b missä a > 0 ja b R. Tässä täytyy olla tarkkana koska ei ole itsestään selvää mitä tarkoittaa esimerkiksi 3 2 (kuinka monta kertaa 3 kerrotaan itsellään?). Aikaisemman teorian mukaan 3 p on järkevästi määritelty luku kun p Q. Varmaankin luvun 3 2 pitäisi olla raja-arvo luvuista 3 p kun rationaaliluku p lähestyy lukua 2. Tällaisen määritelmän tekeminen ja ominaisuuksien tarkastaminen vaatii työtä. Samaan lopputulokseen päästään käyttämällä supremumin käsitettä. Määritelmä 22. Kun a 1, luvun a reaalilukupotenssi a r missä r R määritellään asettamalla Kun 0 < a < 1 ja r R, asetetaan a r = sup{ a p p Q ja p r }. a r = ( ) r 1 a Huomautus 10. Määritelmä on järkevä sillä joukko { a p p Q ja p r } on ylhäältä rajoitettu. Esimerkiksi jos q Q ja q r (tällainen luku aina löytyy), niin a q a p aina kun p Q ja p r (ja a 1). 46