Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Transkriptio

1 Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Osa 1 Pekka Salmi 18. syyskuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

2 Yleistä Luennot: ma 1214, pe 1012 Luennoitsija: Pekka Salmi, M229 (kahden viikon päästä M327) Laskupäivä: ke 1216, to 1216 (2h/vko riittää), alkaa ensi viikolla (yhteinen JMP:n kanssa) Arvostelu: Loppukoe klo (uusinnat vain tarvittaessa) Harjoitustehtävistä 05 lisäpistettä (koe 30p). Ei vaikuta läpipääsyyn. Harjoitustehtävät, luentopäiväkirja, jne. tulevat Noppaan Kirjallisuutta: Luentomoniste?? Harjulehto, Klén, Koskenoja: Analyysiä reaaliluvuilla (sopii paremmin muille analyysin kursseille mutta hyödyllinen täälläkin) Wikipedia (etenkin englanniksi) Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

3 Yleisiä ohjeita Kysy luennoilla: muutkin miettivät samoja asioita. Kysy luentojen ulkopuolella. Laskuharjoitustehtävät eivät välttämättä ratkea suoraviivaisesti vaan niitä on tarkoituskin pähkäillä. Kurssin laajuus on 5 op = 133 h. Luentoja on 28 h, harjoituksia 14 h, koe 4 h, jolloin itsenäistä työtä on 87 h. Tarkista, että Weboodissa oleva -osoite on aktiivisessa käytössä (ja vaihda tarvittaessa). Johdatus reaalifunktioihin -kurssi korvaa kurssin Alkeisfunktiot, joten näitä kahta kurssia ei voi molempia sisällyttää tutkintoonsa. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

4 Kurssin osaamistavoitteet ja sisältö Kurssin suorittamisen jälkeen osaat määritellä alkeisfunktiot täsmällisesti ja käyttää niiden ominaisuuksia tehdä yksinkertaisia matemaattisia päätelmiä ja arvioita käyttää dierentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä ja laskutekniikoita. Kurssin sisältö: Reaaliluvut, järjestys, itseisarvo Funktiot Jatkuvuus ja raja-arvo Dierentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

5 Lukujoukot N = {1, 2, 3,...} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} { } a Q = b a Z, b N R luonnolliset luvut kokonaisluvut rationaaliluvut reaaliluvut (lukusuora) e π Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

6 Joukko-opin merkinnät merkintä tarkoitus esimerkki a A a kuuluu joukkoon A 1 N b / A a ei kuulu joukkoon A 1 / N B A B sisältyy joukkoon A N R A B = {x x A tai x B} A B = {x x A ja x B} A \ B = {x x A ja x / B} yhdiste eli unioni leikkaus erotus (A pois B). Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

7 Reaalilukujen laskutoimitukset Reaalilukujen yhteenlasku + ja kertolasku toteuttavat seuraavat säännöt: (A1) x + (y + z) = (x + y) + z (yhteenlaskun liittännäislaki) (A2) x + 0 = 0 + x = x (nolla-alkio) (A3) x + ( x) = ( x) + x = 0 (vastaluvut) (A4) x + y = y + x (yhteenlaskun vaihdannaislaki) (A5) x (y z) = (x y) z (kertolaskun liittännäislaki) (A6) x 1 = 1 x = x (ykkösalkio) (A7) x x 1 = x 1 x = 1 kun x 0, (käänteisluvut) (A8) x y = y x (kertolaskun vaihdannaislaki) (A9) x (y + z) = x y + x z (osittelulaki) Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

8 Reaalilukujen järjestys Kaikilla a, b R täsmälleen yksi seuraavista vaihtoehdoista pätee 1 a = b 2 a < b (a on pienempi kuin b) 3 a > b (a on suurempi kuin b). Järjestyksen ominaisuuksia: 1 a < b ja b < c = a < c 2 a < b = a + c < b + c kaikilla c R 3 a < b ja c > 0 = ca < cb 4 a < b ja c < 0 = ca > cb e π Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

9 Lukusuoran välit Olkoon a, b R, a < b. [a, b] = {x R a x b} ]a, b[ = {x R a < x < b} ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[ = {x R a x < b} suljettu väli avoin väli puoliavoin väli puoliavoin väli Myös + ja voivat esiintyä merkinnöissä. Esimerkiksi [a, + [ = {x R a x} ], a] = {x R x a}. Kirjallisuudessa esiintyy myös merkinnät (a, b) = ]a, b[, (a, b] = ]a, b], jne. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

10 Esimerkki ] 1, 1[ [0, 2] = [0, 1[ Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

11 Itseisarvo Luvun x R itseisarvo on x = { x jos x 0 x jos x < 0. Geometrisesti tulkittuna x on luvun x etäisyys pisteestä 0: x = x y 0 x y = y x y Vastaavasti lukujen x, y R välinen etäisyys on x y. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

12 Itseisarvon ominaisuuksia Lemma Olkoot x, y R. 1 x 0 2 x = 0 x = 0 3 Olkoon a 0. Tällöin x a a x a. Erityisesti x x x. 4 xy = x y. Erityisesti x = x. 5 x 2 = x 2. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

13 Itseisarvoepäyhtälö Ratkaistaan epäyhtälö x Geometrinen tulkinta: x 2 on luvun x etäisyys luvusta 2. Täten epäyhtälö x 2 3 on voimassa täsmälleen silloin kun luvun x etäisyys luvusta 2 on enintään Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

14 Esimerkki Ratkaistaan epäyhtälö x 1 x + 1 < 1. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

15 Kolmioepäyhtälö Lause (Kolmioepäyhtälö) Kaikilla x, y R pätee x + y x + y. Todistus Lemman nojalla x x x ja y y y. Summaamalla nämä epäyhtälöt saadaan ( x + y ) x + y x + y. Täten jälleen Lemman nojalla. x + y x + y Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

16 Käänteinen kolmioepäyhtälö eli ey:n vasen puoli Lause (Käänteinen kolmioepäyhtälö) Kaikilla x, y R pätee x y x + y. Todistus Kolmioepäyhtälön nojalla x = x + y y x + y + y mistä saadaan Vastaavasti joten x y x + y. ( x y ) = y x x + y, x y x + y. Lemman nojalla. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

17 Arviointia Esimerkki Olkoon a, b R joista tiedetään että a 1 ja b 2. Osoitetaan että tällöin a 2 b 2 3 a b. Kolmioepäyhtälön nojalla a 2 b 2 = a + b a b ( a + b ) a b 3 a b. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

18 Arviointia 2 Esimerkki Arvioi lukua a, kun tiedetään, että a ja b ovat sellaisia reaalilukuja, että 2 < b < 3 ja a b 1 2. Käänteisen kolmioepäyhtälön nojalla a b = a b a b 1 2. Täten b 1 2 a b Yhdistämällä tämä tietoon että 2 < b < 3 saadaan että Geometrinen ratkaisu: piirrä kuva. 3 2 < a < 7 2. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

19 Funktion käsite ja kuvaaja Olkoot X ja Y ei-tyhjiä joukkoja. Funktio f : X Y on sääntö joka liittää jokaiseen alkioon x X täsmälleen yhden alkion f (x) Y. Joukkoa X kutsutaan funktion f määritysalueeksi ja joukkoa Y funktion f maalijoukoksi. Funktion f kuvajoukko (tai arvojoukko) on Funktion f graa eli kuvaaja f (X ) = {f (x) x X } Y. G f = {(x, f (x)) x X } X Y määrää funktion f yksikäsitteisesti. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

20 Reaalifunktiot Reaalifunktion määritysalue ja kuvajoukko ovat reaalilukujen joukon osajoukkoja. Tällaisen funktion f : M R, missä M R, kuvaaja on muotoa G f = {(x, y) R 2 x M, y = f (x)} ja se voidaan esittää (x, y)-koordinaatistossa. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

21 Esimerkki Olkoon f : R R, f (x) = x. Tällöin funktion f määritysalue on R, kuvajoukko on { x x R} = [0, + [ ja kuvaaja on joukko G f = {(x, x ) x R} = {(x, x) x < 0} {(x, x) x 0} Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

22 Esimerkki 2 Tutkitaan sääntöä f (x) = 1 x 2 1. Mikä on funktion f luonnollinen määritysalue ja kuvajoukko? Luonnollinen määritysalue on R \ { 1, 1}. Funktio f on parillinen (symmetrinen origon suhteen) eli f ( x) = f (x). Kun x, nimittäjä f (x) 0. Kun x 1+, niin f (x) +. Täten ]0, + [ sisältyy kuvajoukkoon. Toisaalta f (0) = 1 ja kun x 1, niin f (x) (f on vähenevä välillä [0, 1[). Kaiken kaikkiaan voidaan päätellä että funktion f kuvajoukko on ], 1] ]0, + [. Ks. Wolfram Alpha. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

23 Polynomifunktiot Funktio P : R R, P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 missä a 0, a 1,..., a n R, a n 0, on polynomi, jonka aste on n. Lukuja a 0, a 1,..., a n kutsutaan polynomin kertoimiksi. Luku x 0 R on funktion f nollakohta jos f (x) = 0 (luvun x täytyy tietenkin kuulua funktion f määritysalueeseen). Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

24 Polynomin juuret Lause Jos x 0 on astetta n olevan polynomin P nollakohta, niin P on jaollinen termillä x x 0 eli P(x) = (x x 0 )Q(x) missä Q on astetta n 1 oleva polynomi. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

25 Todistus Induktiolla voidaan osoittaa että x n y n = (x y)(x n 1 + x n 2 y + x n 3 y 2 + xy n 2 + y n 1 ) (1) (tai aukaise oikeapuoli teleskooppisummaksi). Nyt P(x) = P(x) P(x 0 ) = a n (x n x n 0 )+a n 1 (x n 1 x n 1 0 )+ +a 1 (x x 0 ). Yhtälön (1) nojalla voidaan ottaa (x x 0 ) yhteiseksi tekijäksi ja jäljelle jäävän tekijän Q(x) korkeimman asteen termi on a n x n 1. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

26 Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään n kappaletta erisuurta nollakohtaa. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

27 Rationaalifunktiot Rationaalifunktio on funktio joka on muotoa R(x) = P(x) Q(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 missä P(x) ja Q(x) ovat polynomifunktioita. Rationaalifunktion R määritysalue on {x R Q(x) 0} eli koko R lukuunottamatta polynomin Q(x) nollakohtia. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

28 Esimerkki Olkoon R(x) = x + 1 x 2 1. Tällöin R:n määritysalue on R \ { 1, 1}. Voidaan huomata että x + 1 x 2 1 = x + 1 (x 1)(x + 1) = 1 x 1. kun x / { 1, 1}. Täten R voitaisiin luonnollisesti laajentaa funktioksi R 2 : R \ { 1} R, R 2 (x) = 1 x 1. Kuitenkin R ja R 2 ovat eri funktioita (niillä on eri määritysalueet). Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

29 Laskutoimituksia funktioilla Funktioiden väliset laskutoimitukset määritellään pisteittäin. Olkoot f : M f R, g : M g R ja c R vakio. Tällöin (f + g)(x) = f (x) + g(x) (fg)(x) = f (x)g(x) ( ) f (x) = f (x) g g(x). (erityisesti (cf )(x) = cf (x)) Luonnollinen määritysalue uusille funktioille on M f M g, paitsi funktion f /g tapauksessa määrittelyalue on (M f M g ) \ {x M g g(x) = 0}. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

30 Summafunktio f (x) = x f (x) + g(x) = x + sin x g(x) = sin x Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

31 Yhdistetty funktio Funktioiden f ja g yhdistetty funktio eli yhdiste on funktio (f g)(x) = ( f g(x) ). Yhdistetyn funktion määritysalue on M f g = {x M g g(x) M f }. g f x g(x) ( f g(x) ) f g Joskus funktiota g kutsutaan sisäfunktioksi ja funktiota f ulkofunktioksi. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

32 Esimerkki Olkoon h(x) = x 2 1. Tässä voidaan ajatella että h on kuvausten g(x) = x 2 1 ja f (x) = x yhdiste, sillä f g(x) = f (g(x)) = f (x 2 1) = x 2 1. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

33 Käänteisfunktio Funktio g : Y X on funktion f : X Y käänteisfunktio mikäli (g f )(x) = x kaikilla x X ja (f g)(y) = y kaikilla y Y. Käänteisfunktiota merkitään f 1. Lause Funktiolla f : X Y on olemassa käänteisfunktio täsmälleen silloin kun f on bijektio eli 1 f on injektio: x 1 x 2 = f (x 1 ) f (x 2 ) 2 f on surjektio: f (X ) = Y Todistuksen idea: Määritellään g : Y X asettamalla g ( f (x) ) = x (jotta tämä on järkevää on f :n oltava bijektio). Tällöin g = f 1. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

34 Esimerkki Tutkitaan funktiota f (x) = x 2. Onko funktiolla f käänteisfunktiota? Kysymys on epätarkka. Jos määritysalue M f tällöin ole injektio (f (x) = f ( x)). = R niin ei ole koska f ei Jos määritysalue on esim. M f kuvajoukko on [0, [. = [0, [, niin f on injektio, jonka Käänteisfunktion g määrääminen: Merkitään y = f (x), jolloin x = g(y). Yhtälöstä y = x 2 saadaan x = y, joten g(y) = y. Käänteisfunktio on siis f 1 : [0, [ [0, [, f 1 (y) = y. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

35 Monotoniset funktiot Olkoon I R väli ja f : I R. Funktio f on 1 kasvava jos f (x 1 ) f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 2 vähenevä jos f (x 1 ) f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 3 aidosti kasvava jos f (x 1 ) < f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 4 aidosti vähenevä jos f (x 1 ) > f (x 2 ) aina kun x 1, x 2 I ja x 1 < x 2 5 monotoninen jos se on kasvava tai vähenevä 6 aidosti monotoninen jos se on aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

36 Aidosti monotonisella funktiolla on käänteisfunktio Lause Olkoon I R väli ja f : I R aidosti monotoninen. Tällöin f on injektio ja erityisesti f : I f (I ) on bijektio. Funktion f käänteiskuvaus f 1 : f (I ) I on aidosti kasvava jos f on aidosti kasvava ja f 1 on aidosti vähenevä jos f on aidosti vähenevä. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

37 Kokonaislukupotenssit Kokonaislukupotenssit määritellään asettamalla x 0 = 1 x n = x(x n 1 ) kun n 1 (rekursiivisesti) x n = 1 x n kun n 1. Kokonaislukupotensseille pätevät laskusäännöt x (n+m) = x n x m x nm = (x n ) m. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

38 Juurifunktiot Olkoon n N. Tällöin funktio f : [0, [ [0, [, f (x) = x n on aidosti kasvava (tämän voi osoittaa esimerkiksi induktiolla n:n suhteen). Edellisen lauseen nojalla funktiolla f on käänteisfunktio, joka on myös aidosti kasvava. Merkitään f 1 (y) = n y = y 1 n (y [0, [). Luku n y on y:n n:s juuri. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

39 Juurifunktion kuvaaja f (x) = x 2 g(x) = x Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

40 Rationaalilukupotenssit Rationaalilukupotenssit määritellään luvuille x > 0 asettamalla x m/n = (x m ) 1/n kun m Z ja n N. Kokonaislukupotenssien laskusäännöt laajenevat rationaalilukupotensseille: kun x > 0 ja p, q Q. x (p+q) = x p x q x pq = (x p ) q. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

41 max & min Olkoon A R. Luku b A on joukon A maksimi jos a b kaikilla a A. Joukon A maksimia merkitään max A. Vastaavasta luku c A on joukon A minimi jos a c kaikilla a A. Joukon A minimiä merkitään min A. Esimerkki Mikä on joukon [0, 1[ maksimi? Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

42 sup & inf Reaalilukujoukon A R yläraja on mikä tahansa luku b R jolle pätee a b kaikilla a A. Jos A:lla on yläraja niin sanotaan että A on ylhäältä rajoitettu. Luku b R on joukon A supremum eli pienin yläraja jos 1 b on A:n yläraja 2 jos myös c on A:n yläraja, niin c b. Tällöin merkitään b = sup A. Vastaavasti määritellään käsitteet alaraja, alhaalta rajoitettu sekä inmum eli suurin alaraja. Jälkimmäistä merkitään inf A. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

43 Esimerkkejä Esimerkki Joukon {1, 2, 3} supremum on 3 ja inmum 1. Yleisestikin, jos joukolla A R on maksimi max A, niin sup A = max A (ja vastaavasti inf A = min A, jos minimi on olemassa). Esimerkki Joukon [0, 1[ supremum on 1. Huomaa että joukolla [0, 1[ ei ole maksimia. Esimerkki Mikä on joukon N R supremum? Vastaus: Ei ole olemassa. Esimerkki Mikä on joukon {1/n n N} inmum? Vastaus: 0. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

44 Reaalilukujen täydellisyys Täydellisyysaksioma Jokaisella ylhäältä rajoitetulla joukolla A R on olemassa supremum sup A R. Aksiomasta seuraa että jokaisella alhaalta rajoitetulla joukolla B R on olemassa inmum inf B R. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

45 Reaalilukupotenssit Kun x 1, luvun x reaalilukupotenssi x r missä r R määritellään asettamalla x r = sup{x p p Q ja p r}. Kun 0 < x < 1 ja r R, asetetaan ( 1 x r = x ) r Edelleen samat laskusäännöt pitävät paikkansa. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

46 Neperin luku ja eksponenttifunktio Neperin luku voidaan määritellä raja-arvona ( e = lim ) n. n n Luku e on irrationaaliluku, jonka likiarvo on Eksponenttifunktio määritellään kaavalla f (x) = e x, x R (tämä on hyvin määritelty koska reaalilukupotenssit ovat hyvin määriteltyjä). Eksponenttifunktio on vakiokerrointa vaille ainoa funktio joka toteuttaa dierentiaaliyhtälön f (x) = f (x). Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

47 Eksponenttifunktion ominaisuuksia Lause 1 e 0 = 1 2 e x+y = e x e y kaikilla x, y R 3 e xy = (e x ) y kaikilla x, y R 4 e x > 0 kaikilla x R 5 funktio f (x) = e x on aidosti kasvava. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

48 Esimerkki Ratkaise epäyhtälö e x 2 +1 > e 2x. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

49 Logaritmifunktio Koska f (x) = e x on aidosti kasvava funktio niin sillä on aidosti kasvava käänteisfunktio f 1 : ]0, [ R. Tämä funktio on (luonnollinen) logaritmi ja sitä merkitään f (x) = log x. (Joskus luonnollisesta logaritmista käytetään merkintää ln x.) Kaikilla x > 0 pätee ja kaikilla x R pätee e log x = x log(e x ) = x. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

50 Logaritmifunktion ominaisuuksia Lause 1 log 1 = 0 2 log(xy) = log(x) + log(y) kaikilla x, y > 0 3 log(x y ) = y log x kaikilla x > 0, y R 4 funktio log x on aidosti kasvava. Nämä säännöt saadaan johdettua eksponenttifunktion laskusäännöistä. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

51 Eksponentti- ja logaritmifunktioiden kuvaajat e x log x Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

52 Sinin ja kosinin geometrinen määritelmä Olkoon α suorakulmaisen kolmion terävä kulma, k 1 kulmaa α vastakkaisen kateetin pituus ja k 2 viereisen kateetin pituus. Olkoon vielä h hypotenuusan pituus. h k 1 α k 2 Kulman α sini on ja kosini sin α = k 1 h cos α = k 2 h. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

53 Yksikköympyrä Yksikköympyrän keskipiste on (0, 0) ja säde 1. Kehän pituus on 2π. (0, 1) (x, y) z ( 1, 0) sin z z (0, 0) cos z (x, 0) (1, 0) (0, 1) Pisteestä (1, 0) kuljetaan ympyrän kehää pitkin vastapäivään z pituinen matka pisteeseen (x, y). Asetetaan kaikilla z R sin z = y ja cos z = x. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

54 Huomioita sinin ja kosinin määritelmästä Sinin ja kosinin määritelmä yksikköympyrän avulla yhtyy aiempaan kun 0 < z < π/2 (radiaania). Tämän voi nähdä piirtämällä kolmio jonka kärkipisteet ovat (0, 0), (x, 0) ja (x, y). Tulkitaan määritelmää siten, että negatiivisillä luvuilla z < 0 käännetään kiertosuunta myötäpäivään ja kuljetaan z pituinen matka. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

55 Sinin ja kosinin kuvaajat 1 sin x cos x π π 2 π Sini on pariton funktio: sin( x) = sin x. Kosini on parillinen funktio: cos( x) = cos x. sin(x + π/2) = cos(x). Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

56 Esimerkkejä Esimerkki Osoita että sin(π z) = sin z. Esimerkki Osoita että ( π ) cos 2 z = sin z. Esimerkki Oletetaan tunnetuksi että sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Osoita että sin(2x) = 2 sin x cos x. Esimerkki Osoita että ( x + y sin x + sin y = 2 sin 2 ) cos ( x y 2 ). Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

57 Tangentti ja kotangentti Tangenttifunktio määritellään asettamalla tan z = sin z, kun cos z 0, eli z π/2 + nπ, n Z. cos z Vastaavasti kotangentti määritellään asettamalla cot z = cos z, kun sin z 0, eli z nπ, n Z. sin z Geometrinen tulkinta: h k 1 α k 2 tan α = sin α cos α = k 1 k 2 ja cot α = 1 tan α = cos α sin α = k 2 k 1. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

58 Tangentti ja kotangentti yksikköympyrällä cot z z tan z ( 1, 0) (0, 0) 1 z Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

59 Tangentin ja kotangentin kuvaajat tan x π 2 0 π 2 π cot x Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

60 Sinin käänteisfunktio Sinifunktio ei ole injektio vaan esimerkiksi sin(π x) = sin x kaikilla x R. Rajoitettuna välille [ π/2, π/2] saadaan aidosti kasvava funktio sin: [ π/2, π/2] R ja sin([ π/2, π/2]) = [ 1, 1]. Tällä rajoituksella sinille saadaan käänteisfunktio arkussini arcsin: [ 1, 1] [ π/2, π/2], joka on myös aidosti kasvava. Joskus tätä kutsutaan arkussinin päähaaraksi ja merkitään arcsin, koska yhtälailla sinifunktio olisi voitu rajoittaa vaikka välille [π/2, 3π/2]. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

61 Arkussinin kuvaaja (0, 1) π 2 arcsin x x arcsin x (0, 0) (1, 0) π 2 (0, 1) Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

62 Esimerkki Esimerkki Laske arcsin(sin 2π). Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

63 Muiden trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot Kosini on aidosti vähenevä välillä [0, π] ja tälle välille saadaan käänteisfunktio arkuskosini arccos: [ 1, 1] [0, π]. Tangentti on aidosti kasvava välillä ] π/2, π/2[ ja tälle välille saadaan käänteisfunktio arkustangentti arctan: R ] π/2, π/2[. Kotangentti on aidosti vähenevä välillä ]0, π[ ja tälle välille saadaan käänteisfunktio arkuskotangentti arccot: R ]0, π[. Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

64 Arkustangentin kuvaaja π 2 x arctan x arctan x (1, 0) π 2 Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65

65 Napakoordinaatit θ r x (x, y) y x = r cos θ y = r sin θ r = x 2 + y 2 arctan ( ) y π x kun x > 0, y 0 kun x = 0, y > 0 2 arctan ( ) y x + π kun x < 0 θ = π kun x = 0, y < 0 2 arctan ( ) y x + 2π kun x > 0, y < 0 ei määritelty kun x = 0, y = 0 Pekka Salmi FUNK 18. syyskuuta / 65