Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Analyysi I. Visa Latvala. 26. lokakuuta 2004"

Transkriptio

1 Analyysi I Visa Latvala 26. lokakuuta 2004

2 34 Sisältö 3 Reaauuttujan funktiot Peruskäsitteitä Raja-arvon määritelmä Raja-arvon laskusääntöjä Jatkuvuus

3 35 3 Reaauuttujan funktiot 3.1 Peruskäsitteitä Olkoot A R ja B R. Kuvaus (funktio) f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen alkioon A yksikäsitteisen alkion f() B. Lukua f() kutsutaan luvun kuvaksi. Jos f() = y, lukua sanotaan luvun y alkukuvaksi. Joukkoa A kutsutaan määrittelyjoukoksi (lähtöjoukoksi) ja joukkoa B kutsutaan maalijoukoksi. Esimerkki Esimerkiksi sääntö f : R R, f() =, määrittelee kuvauksen. Usein maalijoukkona käytetään koko reaalilukujoukkoa R vaikka kaikkia arvoja ei saataisikaan. Jos f : A B on kuvaus sekä A 1 A ja B 1 B, niin B:n osajoukkoa f(a 1 ) := { y B y = f() jollekin A 1 } kutsutaan A 1 :n kuvajoukoksi ja A:n osajoukkoa f 1 (B 1 ) := { A f() B 1 } kutsutaan B 1 :n alkukuvajoukoksi. Funktion f : A B kuvaajalla tarkoitetaan tason R 2 osajoukkoa { (, y) R 2 A, y = f() }. Kuvaaja voidaan usein (mutta ei aina) piirtää joko käsin tai tietokoneella (analyysin kursseilla I-III käytetään MAPLE-ohjelmaa). Esimerkki Olkoon f : R R kuvaus f() = 2 ja olkoot A 1 =] 1 2, 1[, B 1 = {2, 3}. Tällöin f(a 1 ) = [0, 1[ ja f 1 (B 1 ) = { ± 2, ± 3 }. Injektiivisyys, surjektiivisuus ja bijektiivisyys Määritelmä Kuvaus f : A B on (a) injektio, jos kaikilla, y A, y, pätee f() f(y), (b) surjektio, jos jokaista y B vastaa A siten, että f() = y, (c) bijektio, jos f on sekä injektio että surjektio. Esimerkki Kuvaus f : R R, f() = 2, ei ole injektio (sillä f( 1) = f(1)) eikä surjektio (sillä f() 1 kaikilla R eli luvulla 1 ei ole alkukuvaa). Surjektiivisuus tarkoittaa siis sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on ainakin yksi alkukuva määrittelyjoukossa. Injektiivisyys puolestaan sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on korkeintaan yksi alkukuva määrittelyjoukossa. Bijektiivisyys tarkoittaa siis sitä, että jokaisella maalijoukon alkiolla on täsmälleen yksi alkukuva määrittelyjoukossa.

4 36 Huomautus Epäsuoran todistuksen version I mukaisesti kuvaus f : A B on injektio täsmälleen silloin kun implikaatio, y A ja f() = f(y) = y (1) pätee. Koska implikaatio = y f() = f(y) pätee kaikille kuvauksille, f on injektio täsmälleen silloin kun ekvivalenssi pätee kaikille, y A. = y f() = f(y) Esimerkki (a) Kuvaus f() = 2 on injektio joukossa A := { R > 0 }. Jos nimittäin, y A, y, niin joko < y tai y <. Ensimmäisessä tapauksessa 2 < y 2 ja jälkimmäisessä tapauksessa y 2 < 2. Joka tapauksessa f() = 2 y 2 = f(y). (b) Kuvaus f : R R, f() = 2 + 3, on injektio. Todistetaan injektiivisyys ehtoa (1) hyödyntäen. Olkoot, y R siten, että f() = = 2y + 3 = f(y). Tästä saadaan 2 = 2y ja edelleen = y. Siis f on injektio. (c) Olkoon f : R \ { 1} R kuvaus f() = 1 +. Mikä on kuvajoukko f(r \ { 1})? Onko f injektio määrittelyjoukossaan? Tutkitaan mielivaltaisen luvun y R alkukuvia. Jos y R, niin olettaen 1 voidaan kirjoittaa f() = y 1 + = y y + y = y = (1 y). Jos lisäksi y 1, oikeanpuoleinen yhtälö on edelleen ekvivalentti yhtälön = y 1 y kanssa. Siis jokaisella y 1 on yksikäsitteinen alkukuva. Luvulla 1 ei ole alkukuvaa, 1 y sillä jos olisi = 1, niin olisi myös 1 + =, mikä on mahdotonta. Siis 1+ eli f : R \ { 1} R \ {1} on surjektio. f(r \ { 1}) = R \ {1} Injektiivisyys on surjektiivisuutta olennaisempi ominaisuus: Huomautus Olkoon f : A B injektio. Tällöin kuvaus f : A f(a) on sekä injektio että surjektio, sillä jokaista y f(a) vastaa kuvajoukon määritelmän mukaan A siten, että f() = y. Siis kuvaus f : A f(a) on bijektio, jos kuvaus f : A B on injektio. y

5 37 Tällä kurssilla injektiivisyys päätellään yleensä aidon monotonisuuden avulla: Määritelmä Kuvaus f : A B on (a) kasvava (vast. aidosti kasvava)), jos kaikilla, y A, < y, pätee f() f(y) (vast. f() < f(y)), (b) vähenevä (vast. aidosti vähenevä)), jos kaikilla, y A, < y, pätee f() f(y) (vast. f() > f(y)), (c) monotoninen (vast. aidosti monotoninen), jos f on kasvava tai vähenevä (vast. aidosti kasvava tai aidosti vähenevä). Esimerkki Olkoon f : R + R +, f() = 7, missä R + = { R 0 }. Osoitetaan, että f on aidosti kasvava. Tätä varten, olkoot, y R +, 0 < y. Kertomalla 7 epäyhtälöä < y puolittain (ks. Lause (n)) saadaan 7 < y 7. Siis f on aidosti kasvava. Samalla tavalla päätellään yleisesti, että kuvaus f : R + R +, f() = n, on aidosti kasvava kun n N on kiinteä. Lemma Olkoon f : A B aidosti monotoninen. Tällöin f on injektio. Todistus. Oletetaan, että f on aidosti kasvava. Injektiivisyyden todistamiseksi olkoot, y A, y. Tällöin joko < y tai > y. Jos < y, niin aidon kasvavuuden määritelmän mukaan f() < f(y). Jos taas > y, niin aidon kasvavuuden määritelmän mukaan f() > f(y). Joka tapauksessa f() f(y) eli f on injektio. Aidosti vähenevän funktion injektiivisyys todetaan vastaavasti (harjoitustehtävä). Esimerkki Tutkitaan kuvausta f : R \ {0} R, f() = 1 2. Nyt f ei ole injektio määrittelyjoukossaan, sillä esimerkiksi luvulla 1 8 on kaksi alkukuvaa; f() = 1 8 8( 1) = = 0 = 4 ± 2 2. Jos kuitenkin funktiota f tarkastellaan esimerkiksi välillä ]0, 1[, niin f on aidosti kasvavana injektio. Nimittäin kaikilla 0 < < y < 1 pätee 2 < y 2 ja 1 < y 1. Edelleen 1 > 1 2 y 2 ja 1 < 1 < y 1. 2 y 2 y 2 Tässä ensimmäinen epäyhtälö saadaan epäyhtälöstä 1 > 1 2 y 2 luvulla 1. Vaihtoehtoisesti voitaisiin lähteä ehdosta f() = f(y) ( 1)y 2 = (y 1) 2, kertomalla negatiivisella josta laskemalla sulut auki ja ottamalla yhteisen tekijän saadaan ( y)( + y y) = 0. Nyt välttämättä = y, sillä + y > y kaikilla, y ]0, 1[.

6 38 Huomautus Myöhemmin nähdään, että alkeisfunktioiden aito monotonisuus on kätevintä päätellä funktion derivaatan merkin avulla. Tässä vaiheessa emme kuitenkaan käytä derivaattaa tarkasteluissa. Käänteiskuvaus Olkoon f : A B injektio. Tällöin jokaista kuvajoukon f(a) alkiota y f(a) vastaa täsmälleen yksi alkukuva lähtöjoukossa A (Huomautus (a)). Tälle alkukuvalle käytetään merkintää f 1 (y). Nyt sääntö y f 1 (y) määrittelee kuvauksen f(a) A. Tätä kuvausta sanotaan kuvauksen f käänteiskuvaukseksi ja sille käytetään merkintää f 1. Jos f : A B on bijektio, käänteiskuvauksen f 1 määrittelyjoukko on B ja maalijoukko A. Esimerkki Jos bijektio f : A B on määritelty analyyttisella lausekkeella, käänteiskuvauksen lauseke saadaan selville mikäli yhtälöstä f() = y, y B, voidaan ratkaista yksikäsitteisesti y:n avulla. (a) Olkoon f : R R, f() = Tässä tapauksessa kuvauksen bijektiivisyys ja käänteiskuvauksen lauseke voidaan todeta yhdellä päättelyllä. Pyritään todistamaan, että kyseessä on surjektio. Tätä varten, olkoon y R. Asetetaan f() = = y ja ratkaistaan y:n funktiona. Koska = y 2 = y 3 = 1 (y 3), (2) 2 havaitaan, että 1 (y 3) on luvun y R alkukuva. Mutta ekvivalenssiketju (2) osoittaa, 2 että 1 (y 3) on myöskin luvun y R ainoa alkukuva. Tämä riittää perustelemaan 2 myös injektiivisyyden ja havaitaan, että injektiivisyyden erillinen todistaminen on tässä tapauksessa tarpeetonta. Erityisesti käänteiskuvaus f 1 : R R saadaan säännöstä f 1 () = 1 ( 3). Tässä 2 käänteiskuvauksen muuttujaa voitaisiin merkitä y:llä, mutta siihen ei ole erityistä tarvetta. Yleensä kuvauksen ja sen käänteiskuvauksen lausekkeissa käytetäänkin samaa muuttujamerkintää. (b) Tarkastellaan Esimerkin kohdan (c) kuvausta f : R \ { 1} R, f() = Nyt kaikilla y R \ {1}) pätee ekvivalenssi f() = y = y y + y = y = (1 y) = y 1 y. Siis jokaisella y 1 on yksikäsitteinen alkukuva y. Koska luvulla 1 ei ole alkukuvaa 1 y (Esimerkki (c)), on f välttämättä bijektio joukosta R \ { 1} joukkoon R \ {1}. Käänteiskuvaus f 1 : R \ {1} R saadaan yhtälöstä f 1 () = 1.

7 39 (c) Määrätään käänteiskuvaus kuvaukselle f :]0, + [ ], 0[, Olkoon y < 0. Tällöin f() = 1 2. f() = y 1 2 = y 2 = 1 y = ± 1 y. Tässä miinusmerkki ei käy, sillä määrittelyjoukko on ]0, + [. Siis jokaisella y < 0 on yksikäsitteinen alkukuva = 1 joukossa ]0, + [. Käänteiskuvaus on f 1 :], 0[ y ]0, + [, f 1 () = 1. Huomautus (Käänteiskuvauksen geometrinen tulkinta) Jos f : A B on bijektio, niin funktion f kuvaaja ja käänteisfunktion f 1 kuvaaja ovat toistensa peilikuvia suoran y = suhteen. Nimittäin f:n kuvaaja on joukko ja käänteisfunktion f 1 kuvaaja on joukko { (, f()) A } { (f(), ) A }. Toisaalta pisteet ( 0, f( 0 )) ja (f( 0 ), 0 ) ovat toistensa peilikuvia suoran y = suhteen kaikilla 0 A: (1). Pisteiden ( 0, f( 0 )) ja (f( 0 ), 0 ) kautta kulkeva suora on kohtisuorassa suoraan y = nähden, sillä näiden pisteiden kautta kulkevan suoran kulmakerroin on f( 0 ) 0 0 f( 0 ) = 1. Huomaa, että suorat l 1 ja l 2 ovat kohtisuorassa täsmälleen silloin kun niiden kulmakertoimille pätee k 1 k 2 = 1. (2). Pisteiden ( 0, f( 0 )) ja (f( 0 ), 0 ) välisen janan keskipiste ( 0 + f( 0 ) sijaitsee suoralla y =. 2, f( ) ( 0) f( 0 ) =, ) 0 + f( 0 ) Kuvausten yhdistäminen Olkoot A, B ja C epätyhjiä R:n osajoukkoja ja olkoot f : A B ja g : B C kuvauksia. Tällöin sääntö (g f)() := g(f()), A, määrittelee kuvauksen g f : A C (yhdistetty kuvaus).

8 40 Esimerkki Olkoot f : R R, g : R R ja h : R R kuvaukset Tällöin f() = + 1, g() = 2, h() =. (f g)() = f(g()) = f( 2 ) = 2 + 1, (g f)() = g(f()) = g( + 1) = ( + 1) 2 = , (h (g f))() = h((g f)()) = h( ) = Siis kuvausten yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio eli voi olla (f g)() (g f)(). Huomaa, että yhdistettäessä useampi kuin kaksi kuvausta ei tarvita sulkuja määräämään laskujärjestystä, koska kuvausten yhdistäminen on liitännäinen operaatio; yleisesti pätee (h (g f))() = h((g f)()) = h(g(f())), ((h g) f)() = (h g)(f()) = h(g(f()), eli h (g f) = (h g) f (ovat samat kuvaukset). Huomautus Olkoon f : A B bijektio. Tällöin ja (f f 1 )() = f(f 1 ()) = kaikilla B (f 1 f)() = f 1 (f()) = kaikilla A suoraan käänteiskuvauksen määritelmän mukaan. Näitä ehtoja voi käyttää sen tarkastamiseen, onko käänteiskuvauksen lauseke oikein. Esimerkiksi kuvauksille f() = ja 1+ f 1 () = pätee 1 ja (f f 1 )() = f( 1 ) = ( ) = 1 (f 1 f)() = f 1 ( 1 + ) = 1+ 1 ( ) = 1+ Lause Olkoon f : A B kuvaus =, 1, =, 1. (a) Jos f on aidosti kasvava, niin < y jos ja vain jos f() < f(y), (b) Jos f on aidosti vähenevä, niin < y jos ja vain jos f() > f(y). Todistus. Todistetaan malliksi kohta (a), kohta (b) jätetään harjoitustehtäväksi. Implikaatio vasemmalta oikealle pätee määritelmän mukaan. Käänteisen implikaation todistamiseksi, tehdään antiteesi y. Tapauksessa = y pätee f() = f(y) (ristiriita) ja tapauksessa > y pätee aidon kasvavuuden nojalla f() > f(y) (ristiriita).

9 41 Esimerkki Olkoon f : R R aidosti vähenevä. Ratkaistaan epäyhtälö f( 5 3 ) < f( 4 2 1). Lemman kohdan (b) nojalla epäyhtälö pätee jos ja vain jos > > > 1 > 1 3. Huomaa, että tarkasteltavan epäyhtälön kannalta f:n lauseke on epärelevantti. Lause Olkoon f : A B kuvaus. (a) Jos f on aidosti kasvava, niin käänteiskuvaus f 1 : f(a) A on aidosti kasvava, (b) Jos f on aidosti vähenevä, niin käänteiskuvaus f 1 : f(a) A on aidosti vähenevä. Todistus. Todistetaan malliksi kohta (b). Koska f on aidosti vähenevä, se on injektio (Lemma 3.1.7). Näin ollen f : A f(a) on bijektio ja siis käänteiskuvaus f 1 : f(a) A on olemassa. Olkoot, y f(a). Tällöin on olemassa luvut, y A siten, että f() = ja f(y) = y. Käänteiskuvauksen määritelmän mukaan f 1 ( ) = ja f 1 (y ) = y. Lemman (b) nojalla < y jos ja vain jos f() > f(y). Siis f 1 ( ) < f 1 (y ) jos ja vain jos > y. Erityisesti f 1 : f(a) A on aidosti vähenevä. Esimerkki (Juurifunktio) Olkoon n N ja olkoon f : R + R, f() = n, missä R + = { R 0 }. Tällöin f on aidosti kasvavana injektio (Esimerkki 3.1.6). Erityisesti kuvaus f : R + f(r + ) on bijektio. Bolzanon lauseen avulla todetaan kätevimmin, että f(r + ) = R + (tarkastellaan myöhemmin). Näin ollen f : R + R + on bijektio, jonka käänteiskuvaukselle f 1 : R + R + (n:s juuri) käytetään merkintää f 1 () =: n. Olkoon n N pariton. Tällöin sääntö f() = n määrittelee injektion R R. Tämän perustelemiseksi osoitetaan, että f on aidosti kasvava joukossa R. Olkoot, y R, < y. Jos 0 < y, niin n < y n. Jos < 0 y, niin n < 0 y n, koska n on pariton. Jos lopuksi < y < 0, niin 0 < y < ja n:n parittomuuden nojalla y n = ( y) n < ( ) n = n. Näin ollen n < y n eli f : R R on injektio. Pitäen tunnettuna, että f(r) = R (seuraa jälleen Bolzanon lauseesta) päätellään, että f on aidosti kasvava bijektio R R. Käänteiskuvaukselle käytetään edelleen merkintää f 1 () = n. Lemma (a) Juurifunktio on aidosti kasvava kaikilla n N.

10 42 (b) Kaikilla n N ja R + pätee ( n ) n = ja n n =. (c) Jos n N on pariton, niin kaikilla R pätee ( n ) n =, n n = ja n = n. Todistus. Kohta (a) pätee Lemman (a) nojalla ja kohtien (b), (c) väitteet ( n ) n = ja n n = (3) ovat voimassa Huomautuksen mukaan. Kohdassa (c) ominaisuuden n = n todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi. Esimerkki (a) Ratkaistaan epäyhtälö ( 2 + 2) 1 4 > ( 2 + 3) 1 4. Neljäs juuri on määritelty vain ei-negatiivisille luvuille. Siksi vaaditaan, että = ( + 3) 0 eli 3 tai 0. Oletetaan, että 3 tai 0. Juurifunktion aidon kasvavuuden nojalla (Lemma ) ( 2 + 2) 1 4 > ( 2 + 3) > > 3 < 2 3. Siispä kysytyn epäyhtälön ratkaisut ovat 3 tai 0 < 2 3. (b) Olkoon f : R \ { 2} R, 3 f() = Määrätään f:n käänteiskuvaus. Tätä varten, olkoon y R. Koska kuvaus 5 on injektio, voidaan kirjoittaa ekvivalenssiketju = y = y5 3 = y 5 (+2) (3 y 5 ) = 2y 5 = 2y5 3 y 5 olettaen, että 2 ja että y 5 3. Siis jokaisella y 5 3 on yksikäsitteinen alkukuva 2y 5. Ekvivalenssiketjun yhtälöstä (3 y 5 ) = 2y 5 nähdään, että luvulla y = 5 3 ei 3 y 5 voi olla alkukuvaa. Näin ollen f on bijektio joukosta R \ { 2} joukkoon R \ { 5 3} ja käänteiskuvaus on muotoa f 1 () =

11 Raja-arvon määritelmä Differentiaali- ja integraalilaskennan uranuurtajina pidetään Sir Isaac Newtonia (s. 1642) ja Gottfried Wilhelm Leibnizia (s. 1646). Pitkälle 1800-luvulle saakka differentiaali- ja integraalilaskennan kehitystä haittasi se, että raja-arvon käsitteelle ei ollut olemassa kunnollista määritelmää. Kunnia raja-arvon epsilon-määritelmän keksimisestä annetaan yleensä Augustin-Louis Cauchy lle (s. 1789). Esimerkki Painovoimalain mukaan kappale putoaa vapaassa pudotuksessa siten, että ajassa t > 0 kuljettu matka s(t) saadaan kaavasta s(t) = 1 2 gt2, missä g on gravitaatiovakio, g 9.8 m s 2. Vapaalla pudotuksella tarkoitetaan sitä, että ainoa vaikuttava voima on maan vetovoima. Esimerkiksi pudotettaessa raskas kivi alas jyrkänteeltä, ensimmäisten sekuntien aikana ilmanvastuksen merkitys on olematon ja kyse on olennaisesti vapaasta pudotuksesta. Miten saadaan nopeus esimerkiksi hetkellä t = 2 sekuntia? Tunnetusti keskimääräinen nopeus saadaan kaavasta v = s, joten erotusosamäärä t s(2) s(t) 2 t = s(t) s(2) t 2 on likiarvo hetkelliselle nopeudelle hetkellä t = 2 mikäli t 2 on likimäärin 2. Likiarvo on sitä parempi, mitä pienempi on väli t 2. Tämän vuoksi on luonnollista tulkita nopeus hetkellä t = 2 erotusosamäärän raja-arvoksi, kun t lähestyy ajanhetkeä 2. Raja-arvon määritelmää varten sovitaan ensin, mitä tarkoitetaan pisteen ympäristöllä. Olkoon 0 R ja r > 0. Tällöin pisteen 0 r-säteisellä (avoimella) ympäristöllä B( 0, r) tarkoitetaan avointa väliä B( 0, r) = { R 0 < r } =] 0 r, 0 + r[ ja pisteen 0 r-säteisellä punkteeratulla ympäristöllä B ( 0, r) tarkoitetaan punkteerattua avointa väliä B ( 0, r) = { R 0 < 0 < r } =] 0 r, 0 + r[\{ 0 }. Määriteltäessä funktion f raja-arvoa pisteessä 0 R vaatimuksena on, että funktio f on määritelty jossakin pisteen 0 punkteeratussa ympäristössä B ( 0, r) := B( 0, r) \ { 0 }. Esimerkiksi derivaatan määritelmän yhteydessä erotusosamäärää ei ole määritelty nollaerotukselle, vrt. Esimerkki yllä. Määritelmä Funktiolla f : B ( 0, r) R on pisteessä 0 raja-arvo a R, jos jokaista lukua ε > 0 vastaa luku δ > 0 siten, että 0 < 0 < δ f() a < ε. Tällöin merkitään f() = a. 0

12 44 Huomautus Määritelmästä seuraa, että raja-arvo on yksikäsitteinen. Tällä tarkoitetaan implikaatiota: Jos 0 f() = a ja 0 f() = b, niin a = b. Tehdään antiteesi a b ja oletetaan a < b. Valitaan ε = b a 2 ja sovelletaan raja-arvon määritelmää sekä lukuun a että lukuun b. Löydetään δ 1 > 0 ja δ 2 > 0 siten, että B ( 0, δ 1 ) f() a < ε a b a 2 < f() < a + b a 2, B ( 0, δ 2 ) f() b < ε b b a 2 < f() < b + b a 2. Jos nyt δ := min{ δ 1, δ 2 } ja B ( 0, δ), kummatkin arviot oikealla puolella ovat voimassa, mikä sisältää ristiriidan. Esimerkki (a) Olkoon 0 R ja olkoon f() = a R kaikilla 0 (f on vakiofunktio). Tällöin 0 f() = a. Todistus: Olkoon ε > 0. Nyt f() a = a a = 0 < ε kaikilla 0, joten luvuksi δ kelpaa jokainen positiiviluku. (b) Olkoon f() = kaikilla 0. Tällöin f() = 0 eli (f() 0 ) = Todistus: Olkoon ε > 0. Nyt f() 0 = 0 < ε kun 0 < 0 < ε. Voidaan siis valita δ = ε. Myös jokainen δ < ε käy. (c) Yleisesti raja-arvon määritelmästä on välittömästi selvää, että 0 f() = a 0 (f() a) = 0. Monissa tapauksissa raja-arvon määritelmän käyttö voidaan korvata seuraavalla kuristusperiaatteella: Lause (Kuristusperiaate) Oletetaan, että funktioille f, g : B ( 0, r) R pätee: (a) 0 g() = 0, (b) On olemassa luvut a R ja M > 0 siten, että kaikilla B ( 0, r). f() a M g() Tällöin f() = a. 0 Todistus. Olkoon ε > 0. Koska 0 g() = 0, on olemassa δ > 0 siten, että g() = g() 0 < ε M kaikilla, 0 < 0 < δ. Siispä (oletus (b)) kaikilla, 0 < 0 < δ. f() a M g() < M ε M = ε Huomautus Lauseessa positiivilukujen r ja M suuruudella ei ole itse raja-arvoväitteen kannalta mitään merkitystä.

13 45 Esimerkki Lauseen avulla voidaan perustella, että polynomille P () = n pätee 0 P () = P ( 0 ) kaikilla 0 R ja n N. (a) Olkoon f() = 2. Nyt f() 4 = 2 4 = < 5 2 kun 0 < 2 < 1. Siis Lauseen oletukset pätevät, kun valitaan r = 1, M = 5, g() = 2 ja a = 4. Lauseen nojalla f() = = 4. (b) Olkoon f : R R, f() = 3, ja olkoon 0 = π. Koska π on polynomin 3 π 3 nollakohta, saadaan jakamalla 3 π 3 polynomilla π esitys 3 π 3 = ( π)( 2 + π + π 2 ). Jos nyt r = 1 ja 2 B (π, 1 ), saadaan kolmioepäyhtälön nojalla arvio 2 3 π 3 = π 2 + π + π 2 π ( 2 + π + π 2 ) π ( 2 + π + π 2 ) π ( π + π 2 ). Siis voidaan valita M = π + π 2 ja g() = π. Jos lukua r pienennetään, voidaan myös lukua M hieman pienentää. Tällä ei kuitenkaan ole raja-arvotuloksen kannalta merkitystä. Lauseen nojalla π 3 = π 3. (c) Olkoon f() = n, missä n N ja olkoon 0 R. Osoitetaan, että 0 n = n 0. Koska 0 on polynomin P () = n n 0 nollakohta, niin Lemman mukaan on olemassa polynomi A, deg A = n 1, siten, että n n 0 = ( 0 )A(). Merkitsemällä voidaan kirjoittaa A() = a n 1 n a 1 + a 0 n n 0 = 0 a n 1 n a 1 + a 0. Jos valitaan r = 1, kaikilla B ( 0, 1) pätee a n 1 n a 1 + a 0 a n 1 n a 1 + a 0 ( 0 + 1) n 1 a n 1 + ( 0 + 1) a 1 + a 0. Tämä seuraa induktiolla kolmioepäyhtälöstä (harjoitustehtävä). Valitsemalla todetaan, että M = ( 0 + 1) n 1 a n 1 + ( 0 + 1) a 1 + a 0 kaikilla B ( 0, 1). Lauseen nojalla n n 0 M 0 n = n 0 0.

14 46 Esimerkki (a) Olkoon f() = 2 sin 1, missä 0. Tällöin sillä f() = 0, 0 f() 2 ja 0 2 = 0. Huomaa, että funktiolla g() = sin 1 ei ole raja-arvoa origossa. Tämä perustellaan Esimerkissä (b) Olkoon h() = { 3, kun < , kun 2 ja olkoon f() = ( 2)h(). Tällöin 2 f() = 0 Lauseen nojalla, sillä (a) 2 ( 2) = 0, (b) f() Raja-arvon laskusääntöjä Funktion raja-arvolle pätevät samat summaa, tuloa ja osamäärää koskevat laskusäännöt kuin lukujonon raja-arvolle. Lause Olkoot f : B ( 0, r 1 ) R ja g : B ( 0, r 2 ) R funktioita siten, että Tällöin (i) 0 (f() + g()) = a + b, (ii) 0 cf() = ca kaikilla c R, (iii) 0 f()g() = ab, (iv) Jos b 0, niin 0 f() g() = a b. 0 f() = a ja 0 g() = b. Todistus. Kohdat (i) ja (ii) jätetään harjoitustehtäväksi. (iii) Raja-arvon määritelmästä seuraa, että on olemassa δ 1 > 0 siten, että g() b + 1 kaikilla B ( 0, δ 1 ). Valitaan δ 2 > 0 ja δ 3 > 0 siten, että 0 < 0 < δ 2 f() a < ε 2( b + 1) ja 0 < 0 < δ 3 g() b < Jos nyt δ := min{ δ 1, δ 2, δ 3 }, niin kaikilla B ( 0, δ) pätee kolmioepäyhtälön nojalla ε 2( a + 1). f()g() ab = f()g() ag() + ag() ab = g()(f() a) + a(g() b) ε g() f() a + a g() b ( b + 1) 2( b +1) + a ε 2( a +1) < ε.

15 47 Tämä todistaa väitteen. (iv) Todistetaan ensin implikaatio 1 f() = 1 = 1. (4) 0 0 f() Tätä varten, olkoon 0 < ε < 1 ja valitaan δ > 0 siten, että f() 1 < ε 2 kaikilla B ( 0, δ). Tällöin arvoilla B ( 0, δ) pätee f() 1 < 1 2 eli 1 2 < f() < 3 2. Näin ollen kaikilla B ( 0, δ) on voimassa 1 f() 1 = 1 f() 1 f() = < 2 1 f() < ε, f() f() mikä todistaa väitteen (4). Ehtoa (4) käyttäen yleinen väite saadaan havaitsemalla ensin, että kohdan (ii) nojalla g() 1 = 0 b 0 b g() = 1 b g() = 1 0 b b = 1. Näin ollen kohtien (ii), (iii) sekä implikaation (4) perusteella saadaan f() 0 g() = 1 0 b b g() f() = 1 b 1 a = a b. Esimerkki (a) Olkoon P : R R polynomi eli muotoa P () = a n n + a n 1 n a 1 + a 0. Olkoon 0 R. Tällöin Lauseen seurauksena 0 P () = P ( 0 ), sillä Lauseen kohtien (i) ja (ii) mukaan 0 (a n n + a n 1 n a 1 + a 0 ) = 0 a n n + 0 a n 1 n a a 0 = a n n 0 + a n 1 n a a 0. Huomaa, että Lauseen ehdot (i) ja (iii) voidaan helposti yleistää induktiolla koskemaan kuinka monta funktiota hyvänsä. (b) Olkoon R rationaalifunktio eli muotoa R() = P () Q(), missä P : R R ja Q : R R ovat polynomeja. Olkoon 0 R siten, että Q( 0 ) 0. Tällöin kohdan (a) ja Lauseen kohdan (iv) mukaan R() = 0 P () 0 0 Q() = P ( 0) Q( 0 ) = R( 0). Esimerkiksi = = 8 3.

16 48 Onko olemassa raja-arvo ? 4 Lausetta ei voi suoraan hyödyntää, koska nimittäjän raja-arvo pisteessä 1 on nolla. Nyt kuitenkin sekä osoittaja että nimittäjä voidaan jakaa polynomilla 1 ja arvoilla 1 saadaan funktiolle esitys Näin ollen = ( 1)( ) 4 (1 )( ) = = = = 3 4. Jos Q( 0 ) = 0, mutta P ( 0 ) 0, rationaalifunktiolla R = P ei ole (äärellistä) raja-arvoa Q pisteessä 0. Tähän tapaukseen päädytään aina kun 0 on useampikertainen nollakohta nimittäjäpolynomille kuin osoittajapolynomille. Esimerkiksi kysyttäessä, onko olemassa raja-arvoa , yhtälöstä = ( 1)2 ( 1) 3 = 1 1 voidaan päätellä, että raja-arvoa ei ole pisteessä, vrt. Esimerkki Esimerkki Olkoon 0 > 0 ja n N. Pidetään tässä tunnettuna, että n = n 0. (5) 0 Tämä tulos saadaan sivutuotteena myöhemmin tarkasteltavista käänteiskuvausta koskevista lauseista. Jos n N on pariton, ehto (5) pätee kaikilla 0 R. Lasketaan ominaisuuteen (5) nojaten raja-arvo Lauseen kohtaa (iv) ei voi suoraan hyödyntää, koska nimittäjän raja-arvo on nolla. Kuitenkin laventamalla summalla saadaan = = , 0. Näin ollen Lauseen (iv) nojalla = = = Kuristusperiaatteesta voidaan todistaa myös seuraava versio, joka on analoginen lukujonojen kuristusperiaatteen kanssa:

17 49 Lause Olkoot f, g, h : B ( 0, r) R funktioita siten, että (a) f() g() h() kaikilla B ( 0, r), (b) 0 f() = a = 0 h(). Tällöin g() = a. 0 Todistus. Olkoon ε > 0. Raja-arvo-oletusten mukaan on olemassa δ 1 > 0 ja δ 2 > 0 siten, että B ( 0, δ 1 ) f() a < ε a ε < f() < a + ε, B ( 0, δ 2 ) h() a < ε a ε < h() < a + ε. Valitaan δ := min{ δ 1, δ 2 }, jolloin kaikilla B ( 0, δ) pätee a ε < f() g() h() a + ε. Siis g() a < ε kaikilla B ( 0, δ) ja väite seuraa. Itseisarvoa koskevaa raja-arvotulosta varten tarvitsemme seuraavan version kolmioepäyhtälöstä: Lemma Kaikilla, y R pätee Todistus. Koska y y. (6) = + y + ( y) + y + y = + y + y, saadaan y + y. Vaihtamalla :n ja y:n roolit todetaan, että y + y. Näin ollen y + y, josta puolestaan väite (6) saadaan korvaamalla y luvulla y. Lemma Oletetaan, että 0 f() = a. Tällöin f() = a. 0 Todistus. Olkoon ε > 0. Oletuksen mukaan on olemassa δ > 0 siten, että f() a < ε kaikilla, 0 < 0 < δ. Toisaalta Lemman mukaan f() a f() a. Siis f() a < ε kaikilla, 0 < 0 < δ.

18 50 Missä tapauksissa raja-arvoa ei ole? Kuten jonojen tapauksessa, sen perusteleminen että raja-arvoa ei ole, on kätevintä tehdä seuraavan Cauchyn ehdon avulla: Lause Jos funktiolla f : B ( 0, r) R on raja-arvo a pisteessä 0, niin kaikilla ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että, y B ( 0, δ) f() f(y) < ε. Todistus. Olkoon ε > 0. Raja-arvon määritelmän mukaan on olemassa δ > 0 siten, että f() a < ε kaikilla 2 B ( 0, δ). Jos nyt, y B ( 0, δ), niin kolmioepäyhtälön mukaan f() f(y) = f() a + a f(y) f() a + f(y) a < ε 2 + ε 2 = ε. Lause on käyttökelpoinen kun halutaan osoittaa, että funktiolla ei ole raja-arvoa annetussa pisteessä. Tätä varten tulee ymmärtää, että Lauseen ehdon looginen negaatio on muotoa Esimerkki (a) Olkoon ε > 0 s.e. δ > 0, y B ( 0, δ) s.e. f() f(y) ε. f() = { 3, kun > 10 1, kun 10. Osoitetaan Lauseen avulla, että funktiolla f ei ole raja-arvoa pisteessä = 10. Tätä varten, olkoon ε = 1 ja olkoon δ > 0 mielivaltainen. Valitaan ja y siten, että Tällöin, y B(10, δ), mutta 10 δ < < 10 ja 10 < y < 10 + δ. f() f(y) = 1 3 = 2 > ε. Siis Lauseen ehto ei toteudu, joten raja-arvoa ei ole olemassa pisteessä 10. Intuitiivisesti tulkiten funktiolla on hyppy pisteessä 10. (b) Olkoon f() = 1, 0. Osoitetaan, että funktiolla f ei ole raja-arvoa origossa. Tätä varten, olkoon ε = 1 ja 0 < δ 1 mielivaltainen. Valitaan = δ 2, y = δ 2. Tällöin, y B (0, δ) siten, että f() f(y) = 2 δ + 2 δ = 4 δ 4 ε. Siis Lauseen ehto ei toteudu, joten raja-arvoa ei ole olemassa origossa. Intuitiivisesti tulkiten funktio kasvaa/vähenee liikaa origoa lähestyttäessä.

19 51 (c) Olkoon f() = sin 1, 0. Osoitetaan, että funktiolla f ei ole raja-arvoa origossa. Tätä varten, olkoon ε = 1 ja δ > 0 mielivaltainen. Tällöin pisteille k = 1 k 2π, y k = 1 π + k 2π, 2 pätee f( k ) f(y k ) = 1 ε vaikka k, y k B (0, δ) kunhan k N on riittävän suuri (huomaa, että k k = 0 = k y k ). Intuitiivisesti tulkiten funktio oskilloi (=vaihtelee) liian tiheässä origoa lähestyttäessä. (d) Tärkeä patologinen esimerkki on funktio { 0, kun Q f() = 1, kun R \ Q, jolla ei ole raja-arvoa missään pisteessä 0 R (harjoitustehtävä). Intuitiivisesti tulkiten funktio oskilloi liian tiheässä kaikkialla. 3.4 Jatkuvuus Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Olkoon r > 0. Funktiolla f :] 0 r, 0 [ R on vasemmanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä 0, merkitään 0 jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että f() = a, ] 0 δ, 0 [ f() a < ε. Vastaavasti funktiolla f :] 0, 0 + r[ R on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä 0, merkitään f() = a, + 0 jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että ] 0, 0 + δ[ f() a < ε. Huomautus Jatkossa pidetään tunnettuna, että myös toispuoleiset raja-arvot toteuttavat Lauseen perusominaisuudet. Näiden todistamiseksi riittää muuntaa todistuksissa δ-ehdot toispuoleiseksi. Esimerkki (a) Funktiolle f() = { 3, kun > 10 1, kun 10

20 52 pätee 10 = 1, 10 + = 3. (b) Olkoon f : R + R, f() = n, missä n N. Tällöin f() = 0 = f(0). 0 + Perustelu: Olkoon ε > 0. Tällöin f:n aidon kasvavuuden nojalla (Lemma ) kaikilla R + pätee ekvivalenssi f() 0 < ε n < ε < ε n. Valitaan δ = ε n. Tällöin ehdosta 0 < < δ = ε n seuraa ehto f() 0 < ε. Jos n on parillinen, funktiota f ei ole määritelty origon vasemmalla puolella. Näin ollen vasemmanpuoleisesta raja-arvoa ei voida puhua. Jos n on pariton, vastaavalla tavalla nähdään, että f() = 0 = f(0). 0 Lemma Funktiolle f : B ( 0, r) R pätee jos ja vain jos 0 0 f() = a f() = a ja f() = a. + 0 Todistus. Implikaatio vasemmalta oikealle on triviaali. Käänteisen implikaation todistamiseksi olkoon ε > 0. Toispuoleisten raja-arvojen määritelmistä seuraa, että on olemassa δ 1 > 0 ja δ 2 > 0 siten, että 0 < < 0 + δ 1 f() a < ε, 0 δ 2 < < 0 f() a < ε. Jos nyt δ := min{ δ 1, δ 2 }, niin oletuksesta 0 < 0 < δ seuraa, että f() a < ε. Esimerkki Olkoon missä a R on vakio. f() = { 2 + 2, kun > a, kun < 1, Kysymys: Millä vakion a R arvoilla raja-arvo 1 f() on olemassa? Vastaus: Lemman ja Esimerkin kohdan (a) nojalla 3 + a) = ( a) = 4 + a 1 ( 3 1 ja + 2) = ( 2 + 2) = (2 1 Lemman mukaan raja-arvo 1 f() on olemassa täsmälleen silloin kun 4+a = 3 eli kun a = 7.

21 53 Jatkuvuuden määritelmä ja perusominaisuudet Määritelmä Olkoon r > 0. Funktio f : B( 0, r) R on jatkuva pisteessä 0, jos f() = f( 0 ). 0 Edelleen f : [ 0, 0 + r[ R on oikealta jatkuva pisteessä 0, jos f() = f( 0 ) + 0 ja f :] 0 r, 0 ] R on vasemmalta jatkuva pisteessä 0, jos 0 f() = f( 0 ) Epsilon-delta-kielellä funktio f : B( 0, r) R on jatkuva pisteessä 0, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että B( 0, δ) f() f( 0 ) < ε. Jos funktio f ei ole jatkuva pisteessä 0, sanotaan että f on epäjatkuva pisteessä 0. Huomautus Vaikka tavanomaiset alkeisfunktiot ovatkin määrittelyjoukossaan jatkuvia, on helppo antaa esimerkkejä epäjatkuvista funktioista. Jos funktio f on epäjatkuva pisteessä 0, on kaksi mahdollisuutta: (1) funktiolla f ei ole raja-arvoa pisteessä 0, ks. Esimerkki (2) funktiolla f on raja-arvo 0 f() =: a, mutta a f( 0 ). Yksinkertainen esimerkki tästä on funktio { 1, kun = 0 f() = 2, kun 0. Tapauksessa (2) voidaan puhua epäolennaisesta epäjatkuvuudesta, koska funktio saadaan jatkuvaksi määrittelemällä se uudestaan pisteessä 0. Jatkuvuus säilyy funktioiden tavanomaisissa algebrallisissa operaatioissa. Huomaa, että raja-arvon laskusääntöjen vastaavista väitteistä saadaan välittömästi: Lause Jos f ja g ovat jatkuvia pisteessä 0, niin funktiot ovat jatkuvia pisteessä 0. Lisäksi funktio f() + g() ja f()g() f() g() on jatkuva pisteessä 0 olettaen, että g( 0 ) 0.

22 54 Todistus. Todistetaan malliksi osamäärää koskeva väite. Oletusten mukaan Lauseen kohdan (iv) nojalla f() = f( 0 ) ja 0 0 g() = g( 0 ) 0. f() 0 g() = f( 0) g( 0 ). Esimerkki Epäjatkuvan funktion avulla voidaan konstruoida lisää epäjatkuvia funktioita seuraavasti: Oletetaan, että f on jatkuva pisteessä 0 ja g on epäjatkuva pisteessä 0. Tällöin (a) f + g on epäjatkuva pisteessä 0, (b) fg on epäjatkuva pisteessä 0 jos f( 0 ) 0. (c) g f on epäjatkuva pisteessä 0, jos f( 0 ) 0. Todistetaan malliksi (b). Tätä varten tehdään antiteesi: Funktio h on jatkuva pisteessä 0, h() = f()g(). Lauseen mukaan funktio g = h/f on jatkuva pisteessä 0, mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Lemmasta seuraa välittömästi: Lause Olkoon f jatkuva pisteessä 0. Tällöin kuvaus on jatkuva pisteessä 0. Esimerkki Esimerkiksi funktio f() f() = ma{ 5 + 7, } on jatkuva kaikilla 0 R, sillä tarkasteltavat funktiot ovat jatkuvia pisteessä 0 ja kaikilla a, b R pätee ma{ a, b } = 1 ( a b + a + b). (7) 2 Yhtälön (7) toteamiseksi kirjoita kumpikin puoli auki sekä tapauksessa a b että tapauksessa a < b. Lause Jos f on jatkuva pisteessä 0 ja ( n ) n N on lukujono siten, että n n = 0, niin n f( n ) = f( 0 ).

23 55 Todistus. Olkoon ε > 0. Koska 0 f() = f( 0 ), on olemassa δ > 0 siten, että 0 < δ f() f( 0 ) < ε. Toisaalta lukujonon määritelmän nojalla on olemassa n ε N siten, että Siis eli väite pätee. n n ε n 0 < δ. n n ε n 0 < δ f() f( 0 ) < ε Muuntamalla Lauseen todistuksessa δ-ehdot toispuoleisiksi saadaan vastaavat väitteet toispuoleisille raja-arvoille: Lause Jos f on oikealta jatkuva pisteessä 0 ja ( n ) n N on lukujono siten, että n 0 kaikilla n n 0 sekä n n = 0, niin n f( n ) = f( 0 ). Vastaava väite pätee pisteessä 0 oikealta jatkuvalle funktiolle f. Esimerkki Lauseen nojalla Määrätään Laventamalla saadaan 2n + 3 3n + 8 n = n n 1 n = 0. 2n + 3 3n + 8. n (2n + 3) (3n + 8) n( 2n n + 8) = n 5 n( 2n n + 8). Tässä n n 5 n = 1 ja koska 1 2n n n, 1 niin kuristusperiaatteen nojalla n 2n+3+ 3n+8 mukaan tarkasteltava raja-arvo on 0. = 0. Raja-arvon laskussääntöjen Lause Olkoon f jatkuva pisteessä 0 ja g jatkuva pisteessä f( 0 ). Tällöin yhdistetty funktio g f on jatkuva pisteessä 0. Todistus. Olkoon ε > 0. Valitaan δ 1 > 0 siten, että Valitaan edelleen δ 2 > 0 siten, että Siis y B(f( 0 ), δ 1 ) g(y) g(f( 0 )) < ε. B( 0, δ 2 ) f() f( 0 ) < δ 1. B( 0, δ 2 ) f() f( 0 ) < δ 1 g(f()) g(f( 0 )) < ε. Tämä todistaa väitteen, sillä g(f()) g(f( 0 )) = (g f)() (g f)( 0 ) < ε.

24 56 Suljetulla välillä jatkuva funktio Olkoot a, b R, a < b. Funktiota f : [a, b] R sanotaan jatkuvaksi suljetulla välillä [a, b], jos f() = f(a) ja f() = f(b) + sekä kaikilla 0 ]a, b[. a b f() = f( 0 ) 0 Seuraavan lauseen todistus perustuu olennaisesti täydellisyysaksiomaan. Lisäksi käytetään Lausetta ja sitä, että epäyhtälö säilyy raja-arvossa. Lause (Bolzanon lause) Olkoon f : [a, b] R jatkuva siten, että f(a)f(b) < 0 (f(a) ja f(b) ovat erimerkkiset). Tällöin on olemassa c ]a, b[, jolle f(c) = 0. Todistus. Voidaan olettaa, että f(a) < 0 ja f(b) > 0, sillä jos näin ei ole tarkastellaan funktiota f. Merkitään E = { [a, b] f() < 0 }. Joukko E on epätyhjä (a E) ja ylhäältä rajoitettu. Täydellisyysaksioman nojalla on olemassa sup E R. Merkitään c := sup E ja osoitetaan, että c on haluttu piste. Supremumin määritelmän mukaan jokaista n N vastaa n E siten, että c 1 n < n < c. Nyt n n = c, joten Lauseen nojalla f( n) = f(c). n Koska epäyhtälö säilyy niin lukujonon kuin funktionkin (toispuoleisessa) raja-arvossa, seuraa ehdosta f( n ) 0 kaikilla n N raja-arvolle f(c) = n f( n ) 0 ja toisaalta ehdosta f() 0 kaikilla c < b seuraa toispuoleiselle raja-arvolle f(c) = c + f() 0. Siis välttämättä f(c) = 0. Bolzanon lausetta voidaan soveltaa mm. algebrallisten yhtälöiden nollakohtien lukumäärän tarkasteluun. Esimerkki Tarkastellaan yhtälöä P () = Nyt P (0) = 1 ja P (1) = 1, joten Bolzanon lauseen mukaan yhtälöllä P () = 0 on ratkaisu ]0, 1[. Ratkaisua saadaan arvioitua päättelemällä P ( 1 2 ) > 0 ratkaisu välillä ]0, 1 2 [, P ( 1 4 ) > 0 ratkaisu välillä ]0, 1 4 [, P ( 1 8 ) < 0 ratkaisu välillä ] 1 8, 1 4 [, Seuraus (Bolzanon lause II) Olkoon f : [a, b] R jatkuva siten, että f(a) f(b). Tällöin f saa jokaisen arvon lukujen f(a) ja f(b) välistä jossakin pisteessä avoimella välillä ]a, b[.

25 57 Todistus. Voidaan olettaa, että f(a) < f(b). Olkoon C ]f(a), f(b)[. Muodostetaan apufunktio F : [a, b] R, F () = f() C. Tällöin F on jatkuva välillä [a, b] ja F (a) = f(a) C < 0 sekä F (b) = f(b) C > 0. Bolzanon lauseen mukaan on olemassa c ]a, b[ siten, että F (c) = 0 = f(c) C. Mutta tällöin f(c) = C. Bolzanon lauseen versiota II voidaan käyttää mm. funktioiden kuvajoukkojen määräämiseen. Esimerkki Olkoon n N parillinen ja f() = n, missä R +. Esimerkissä?? käytettiin hyväksi tietoa f(r + ) = R +. Perustellaan väite Bolzanon lauseen avulla. Olkoon y R +. Osoitetaan, että y f(r + ). Koska [k n, (k + 1) n ] = R + k=0 (tämä seuraa Arkhimedeen ominaisuudesta), on olemassa k = 0, 1,... siten, että y [k n, (k + 1) n ]. Jos y = k n tai y = (k + 1) n, niin f(k) = y tai f(k + 1) = y. Voidaan siis olettaa, että y ]k n, (k + 1) n [. Lauseen nojalla f saa arvon y jossakin välin ]k, k + 1[ pisteessä. Vastaavalla tavalla voidaan osoittaa, että parittomilla luvuilla n N pätee f(r) = R. Seuraavan tutun lauseen todistus on varsin syvällinen, joten se sivuutetaan tässä kokonaan, ks. esimerkiksi Myrberg: Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1, ss Lause Olkoon f : [a, b] R jatkuva. Tällöin funktio f saa välillä [a, b] pienimmän ja suurimman arvonsa eli on olemassa pisteet, y [a, b] siten, että f() = ma f([a, b]) ja f(y) = min f([a, b]). Lausetta tarvitaan tällä kurssilla lähinnä ääriarvotarkasteluissa. Huomautus Huomaa, että erityisesti suljetulla välillä jatkuva funktio f : [a, b] R on rajoitettu, so. on olemassa M > 0 siten, että f() M kaikilla [a, b]. Luvuksi M voidaan valita esimerkiksi M = ma{ min f([a, b]), ma f([a, b]) }. Jatkuvuus avoimessa joukossa Määritelmä Joukkoa R sanotaan avoimeksi väliksi, jos on muotoa ]a, b[, ]a, + [, ], b[ tai = R. Edelleen, joukko U R on avoin, jos U on mikä hyvänsä avoimien välien yhdiste. Huomautus Positiivisten reaalilukujen joukko ]0, [ on avoin. Joukko U = R\{ 1, 2 } on avoin, mutta ei avoin väli. Avoimet joukot ovat luonnollisia funktioiden määrittelyjoukkoja silloin kun tarkastellaan jatkuvuutta ja derivoituvuutta! Määritelmä Olkoon U R avoin. Tällöin funktiota f : U R sanotaan jatkuvaksi (joukossa U), jos f on jatkuva jokaisessa pisteessä 0 U.

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2.

Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Sanomme, että kuvaus f : X Y on injektio, jos x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) eli f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. Siis kuvaus on injektio, jos eri alkiot kuvautuvat eri alkioille eli maalijoukon jokainen alkio

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen,

Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x 2. 2 kun x on parillinen, Funktiotehtävät, 10. syyskuuta 005, sivu 1 / 4 Perustehtävät Tehtävä 1. Miksi seuraavat esimerkit eivät ole funktioita? 1. f : R Z, f(x) = x. kun x on parillinen, f : N {0, 1, }, f(x) = 1 kun x on alkuluku,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut

Algebra I, Harjoitus 6, , Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut Algebra I Harjoitus 6 9. 13.3.2009 Ratkaisut (MV 6 sivua 1. Olkoot M ja M multiplikatiivisia monoideja. Kuvaus f : M M on monoidihomomorfismi jos 1 f(ab = f(af(b

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25

Sisältö. Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Funktiot 12. syyskuuta 2005 sivu 1 / 25 Sisältö 1 Funktiot 2 1.1 Määritelmä ja peruskäsitteitä 2 1.2 Bijektiivisyys 3 1.3 Käänteisfunktio f 1 4 1.4 Funktioiden monotonisuus 5 1.5 Funktioiden laskutoimitukset

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuehdotuksia viikolle 2. (24.3-25.3) Jeremias Berg 1. Olkoot A 1 = {1, 2, 3}, A 2 = {A 1, 5, 6}, A 3 = {A 2, A 1, 7}, D = {A 1, A 2, A 3 } Kirjoita auki seuraavat joukot:

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään

on Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään 5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan

Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen! Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja

Lisätiedot

Raja arvokäsitteen laajennuksia

Raja arvokäsitteen laajennuksia Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta.

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011

Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Osa : Relaatiot ja funktiot Riikka Kangaslampi 017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Relaatiot Relaatio Määritelmä 1 Relaatio joukosta A

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti

Lisätiedot

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu

x j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu 2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n.

Tällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n. Analyysi I ja II lisämateriaalia HAARUKOINTI Tässä käsitellään kootusti sellaisia differentiaali- ja integraalilaskennan kurssin kysymyksiä, joissa joudutaan syventymään lukusuoran hienovaraisimpiin ominaisuuksiin.

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:

Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto: 4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa.

Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Miten perustella, että joukossa A = {a, b, c} on yhtä monta alkiota kuin joukossa B = {d, e, f }? Vastaus 1. Lasketaan joukkojen alkiot, ja todetaan, että niitä on 3 molemmissa. Vastaus 2. Vertaillaan

Lisätiedot

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5?

Funktio 1. a) Mikä on funktion f (x) = x lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? Funktio. a) Mikä on funktion f (x) = x + lähtöjoukko eli määrittelyjoukko, kun 0 x 5? b) Mikä on funktion f (x) = x + maalijoukko eli arvojoukko? c) Selitä, mikä on funktion nollakohta. Anna esimerkki.

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion.

Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Kuvaus eli funktio f joukolta X joukkoon Y tarkoittaa havainnollisesti vastaavuutta, joka liittää joukon X jokaiseen alkioon joukon Y tietyn alkion. Vastaavuus puolestaan on erikoistapaus relaatiosta.

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Matemaatiikan tukikurssi

Matemaatiikan tukikurssi Matemaatiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Funktiot Funktion määritelmä Funktio on sääntö, joka liittää kahden eri joukon alkioita toisiinsa. Ollakseen funktio tämän säännön on liitettävä jokaiseen lähtöjoukon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot