OSSI HEINONEN VASTINPINTAMENETELMÄN SOVELTAMINEN LUJUUSLASKENNASSA Dplomtyö Tarkastajat: professor Arto Lehtovaara ylopstonlehtor Sam Pajunen Tarkastajat ja ahe hyväksytty Automaato-, kone- ja materaalteknkan tedekuntaneuvoston kokouksessa 6. huhtkuuta 011
TIIVISTELMÄ TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Koneteknkan koulutusohjelma HEINONEN, OSSI: Vastnpntamenetelmän soveltamnen lujuuslaskennassa Dplomtyö, 61 svua Huhtkuu 011 Pääane: Teknllnen mekankka Tarkastajat: Professor Arto Lehtovaara, ylopstonlehtor Sam Pajunen Avansanat: Vastnpntamenetelmä, koesuunnttelu, regressoanalyys, optmont, lujuuslaskenta Tämä työ on estutkmus, jonka tavotteena on selvttää, vosko vastnpntamenetelmää soveltaa rahtlavan lastluukkujen tarjouslaskennassa ta lastluukkujen varsnasessa lujuuslaskentasuunnttelussa. Menetelmää tutktaan soveltamalla Ansyslujuuslaskentaohjelmston vastnpntamenetelmään perustuva optmonttyökaluja lastluukun lujuuslaskentaan. Työ koostuu kolmesta osasta. Ensmmäsessä osassa käydään läp vastnpntamenetelmän keskenen teora. Teoran tärkemmät osa-alueet ovat kokeden suunnttelu ja vastnpntojen muodostamnen regressoanalyysa hyödyntäen. Tosessa osassa estetään Ansys-ohjelmston vastnpnta- ja optmonttyökalujen omnasuuksa ja nden käyttöä. Vmesessä osassa estetään lastluukun mtotusperusteet ja sovelletaan estettyjä vastnpntatyökaluja todellsen lastluukun lujuuslaskentaan. Laskentaesmerkn tulosten perusteella vastnpntamenetelmä vakuttaa varsn käyttökelposelta sovellettavaks lastluukkujen lujuuslaskentaan. Yksttäsen esmerkn pohjalta e velä voda tehdä täysn perusteellsa johtopäätöksä stä, vodaanko työkalua soveltaa luukun tyypstä, koosta ja kuormtuksesta rppumatta. Kutenkn tässä työssä estettyjen tulosten valossa tutkmusta aheesta kannattaa jatkaa.
ABSTRACT TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Master s Degree Programme n Mechancal Engneerng HEINONEN, OSSI: Applyng Response Surface Methodology to Strength Analyss Master of Scence Thess, 61 pages Aprl 011 Major: Appled Mechancs Examners: Professor Arto Lehtovaara, Assocate Professor Sam Pajunen Keywords: Response Surface Methodology, Desgn of Experments, Regresson Analyss, Optmzaton, Strength Analyss The purpose of ths thess s to fnd out f response surface methodology (RSM) can be successfully used n structural desgn of cargo handlng equpment to produce an automated desgnng process for the tenderng stage of a desgn project. Ths s done by applyng the RSM based tools n Ansys to an actual pece of cargo handlng equpment. Ths thess conssts of three parts. The frst part s about the theory of RSM. Man felds of RSM are desgn of experments and formng response surfaces usng regresson analyss. The second part s about the RSM based tools found n Ansys and how to use them. The last part presents a case study where RSM based tools are appled to an actual pece of cargo handlng equpment. Based on the results presented n ths thess RSM seems to be sutable for beng used n strength analyss. However, the methodology was appled only to one partcular case and therefore thorough conclusons about the concept should not be made based on ths thess alone. Stll, t s recommended for research on the subject to be contnued.
ALKUSANAT Tämä dplomtyö on tehty Tampereen teknllsen ylopston konstruktoteknkan latoksella teknllsen mekankan pääaneeseen. Työn teettäjänä tom Carcotec Oyj. Haluan kttää työn ohjaajana tomnutta ylopstonlehtor Sam Pajusta kakesta työn akana saamastan tuesta ja ohjauksesta. Projektn vetäjänä tomnutta dplom-nsnöör Joun Lehtstä ja kakka mutakn Cargotec Oyj:n puolelta projektn osallstuneta henklötä haluan kttää melenkntosesta aheesta ja kaksta työn edetessä saamstan neuvosta ja avusta, jotka osaltaan mahdollstvat tämän työn valmstumsen. Työn tarkastajana tomnutta professor Arto Lehtovaaraa haluan kttää hänen kaksta työstän tekemstään huomosta ja antamstaan kommentesta. Haluan kttää suurest kakka henklötä, joden seurassa olen saanut dplomtyötän tehdä, ylopstolla vallnneesta verrattomasta lmaprstä. Haluan kttää myös kakka muta työhön tavalla ta tosella osallstuneta henklötä ja velä ertysest kakka mnua työn tekemsen akana tukeneta ystävä ja lähesä. Tampereella 15. huhtkuuta 011 Oss Henonen
SISÄLLYS 1 Johdanto... 1 1.1 Lastluukkujen myynt- ja suunntteluprosess... 1 1. Nykysen prosessn ongelmat... 1.3 Prosessn kehtyssuunta... 1.4 Työn rajaus ja tavote... 3 Vastnpntamenetelmä... 5.1 Regressoanalyys... 6. Kokeden suunnttelu... 9.3 Kerätyn datan skaalaus... 11.4 Suunnttelun ortogonaalsuus ja kertosymmetrsyys... 11.5 Kahden tason koe... 1.6 Tosen kertaluvun regressomall... 1.7 CCD-kokeet... 15.8 Optmaalset CCD-kokeet... 15.9 Regressomalln datan muunnokset... 17 3 Vastnpntamenetelmän käyttö Ansys Workbench -ohjelmassa... 0 3.1 Kokeden suunnttelu... 0 3.1.1 Ensmmäsen ja tosen kertaluvun mallt... 0 3.1. CCD-koemall... 1 3. Vastnpntojen luomnen... 3 3.3 Optmont... 9 3.3.1 Optmontongelman asettelu... 9 3.3. Optmontmenetelmät... 30 4 Lastluukun optmont... 3 4.1 Sde-rollng-luukun mtotusperusteet... 3 4. Tutkttavan luukun mallnnus ja parametrsont... 38 4.3 Tehtävän vasteden parametrsont... 41 4.4 Koepsteden määrtys... 44 4.5 Vastnpntojen luomnen... 46 4.6 Optmont... 46 4.7 Tulosten tarkennus... 48 5 Päätelmät... 57 Lähteet... 60 v
v LYHENTEET JA MERKINNÄT k 1 x summa termstä = 1 termn = k x vektorn x gradentt x vektorn x ptuus x x:n tsesarvo det(x) matrsn X determnantt E(x) x:n odotusarvo exp(x) Nepern luku e korotettuna potenssn x ln(x) x:n luonnollnen logartm log(x) x:n kymmenkantanen logartm mn f mnmodaan kohdefunktota f se( ŷ ) ennusteen estmotu keskhajonta se(b ) regressotermen standardvrhe sgn(x) x:n etumerkk tr(x) matrsn X jälk V(x) x:n varanss X -1 matrsn X kääntesmatrs levykentän svusuhde p luottamusparametr regressokerron parametrvektor vrheterm korrelaatokerron Lagrangen funkto x, y, vertaluhokkuusluvusta rppuvat kertomet vako, datan muunnoksssa käytetty muuttuja r vertaluhokkuusluku s orgon srtoparametr tarkastelupsteen vektor varanss äärellselle populaatolle e vertalujänntys max suurn purstusjänntys mn penn purstusjänntys ta suurn vetojänntys x x-suuntanen normaaljänntys y y-suuntanen normaaljänntys lekkausjänntys tarkka vastnfunkto jänntyssuhde [] kokeen :s momentt
v 0 k k-nollavektor 1 k k-ykkösvektor a levykentän pdemmän svun ptuus B jänntysten suunnasta rppuva kerron b levykentän lyhyemmän svun ptuus, regressokertomen estmaatt D suunnttelumatrs e1, e, e3 -kertomsta rppuvat eksponentt E m yhtälörajotusehtoja rajottavat arvot F Fshern testsuure f vastnfunkton approksmaato F 1 levykentän reunan tuennasta rppuva kerron g estmaattvektor H hattumatrs hattumatrsn :s lävstäjäalko h h hattumatrsn lävstäjäalkoden artmeettnen keskarvo, j, k, l, t alandekst K bnäärsen käytöksen aheuttava funkto, lommahduskerron K muunnosmatrs L muunnosmatrs l, p, q affnmuunnoksssa käytetyt termt L LL lavan ptuus M postvnen kokonasluku n CCD-kokeen keskusosa N koepsteden lukumäärä O k p w r r(x, x) R R A R eh S s t U j, L l v w j X x x 1 x k k -nollamatrs lastluukkuun kohdstuva sääkuorma resduaalvektor korrelaatofunkto determnaatokerron korjattu determnaatokerron materaaln myötöraja varmuusluku lommahduksen suhteen varanssn harhaton estmaatt levyn paksuus epäyhtälörajotusehtoja rajottavat arvot regressomalln vapausasteet panokerron datamatrs faktor faktoreden x 1 ja x yhtesvakutus
v x L, x U x j C X r X T y ŷ faktorn x penn ja suurn taso faktorn x tasoa j vastaava koodattu taso kokeen resoluuto matrsn X transpoos vaste vasteen ennuste y datan muunnos Z(X) Krgngn funkton lokaal osuus 3D-CAD kolmulottenen tetokoneavustenen suunnttelu CCD Central Composte Desgn, eräs koesuunnttelun mall MRR suurn suhteellnen resduaal RAE suhteellnen keskvrhe RME suhteellnen maksmvrhe RMSR resduaalen nelöllnen keskarvo RRMSR suhteellnen resduaalen nelöllnen keskarvo RSM vastnpntamenetelmä SSE resduaaln nelösumma SSR regresson nelösumma SST kokonasnelösumma VIF Varance Inflaton Factor, eräs optmaalsen koesuunnttelun krteerestä
1 1 JOHDANTO Cargotec Oyj on suomalanen lastn- ja kuormankästtelyyn erkostunut pörssyrtys, jonka keskesä asakasryhmä ovat lavanvarustamot, lavayhtöt, satamaoperaattort, telakat, jakelukeskukset, kuljetusyrtykset, logstkkayrtykset, kuorma-autoljat sekä er maden puolustusvomat. Cargotec on lukusen yrtysfuusoden kautta muodostunut tytärbrändeneen yhdeks suurmmsta yrtyksstä alallaan. Yhtö työllstää maalmanlaajusest non 10 000 hmstä ja sen lkevahto vuonna 010 ol,6 mljarda euroa. Cargotec koostuu yrtyksenä kolmesta lketomnta-alueesta. Hab ja Kalmar ovat keskttyneet ajoneuvojen kuormankästtelyssä sekä kontten ja raskaan lastn kästtelyssä tarvttavn ratkasuhn. MacGregor puolestaan tuottaa ratkasuja lavojen lastnkästtelyn ja offshore-teollsuuden tarpesn. Suomessa yhtön merteollsuuteen keskttynyt tomnta sjatsee Kaarnassa, jossa tom lastluukkujen suunntteluun ja tuotekehtykseen keskttynyt osasto (Cargotec, 011). Kaarnan konttor työllstää non 90 henklöä, jotka tomvat muun muassa Sales-osastolla myynttyön johtamsen, teknsen konsultonnn ja tarjoussuunnttelun parssa, Contracts-osastolla projektjohtamsen ja -suunnttelun sekä oston ja logstkan tomssa, Procurement-osastolla teräsrakenteden partnervalmstuksen johtamsen ja ostojen parssa sekä Research and Development -osastolla tuotekehtyksessä. 1.1 Lastluukkujen myynt- ja suunntteluprosess Lastluukkuprojektn toteuttamnen vodaan jakaa kolmeen päävaheeseen, jotka ovat myynt, tarjouslaskenta ja varsnanen suunnttelutyö. Myynnn roolna on hankka asakas, jolle lastluukut myydään. Myynttyö on hajautettu maalmanlaajusest ja tehdään yleensä asakkaan luona. Myynt selvttää muun muassa lavan koon, lavan lastausaukkojen määrän sekä aukkojen dmensot ja antaa tedot eteenpän tarjouslaskennalle. Tarjouslaskentavaheen tehtävänä on selvttää, mtkä ovat yrtyksen ssäset kustannukset lavan ta lavojen valmlle lastluukulle, jonka jälkeen myynt tekee näden tetojen perusteella asakkaalle tarjouksen lastluukkuprojektsta. Lastluukkujen kustannukssta suurn osuus tulee luukkujen materaalkustannukssta, joten yks tärkemmstä tarjouslaskentavaheen tehtävstä on arvoda luukkujen teräspanot. Tämän lsäks kustannuksa tulee muun muassa luukkuun kuuluvsta valmskomponentesta ja luukun valmstuksesta. Valmskomponentella tarkotetaan esmerkks luukun tuennassa ja lastausaukon päältä luukkua pos srrettäessä käytettyjä valmta komponentteja. Jos asakas hyväksyy tarjouksen, on seuraavana vaheena luukkujen varsnanen suunnttelu. Suunnttelu vodaan jakaa luukun pääsuunntteluun ja lujuuslaskentaan. Pääsuunnttelussa määrtellään luukun rakenne ylesellä tasolla. Pääsuunnttelutyöhön
kuuluu muun muassa luukun kannatnpalkken ja tuentapsteden lukumäären ja pakkojen määrtys sekä luukun detaljsuunnttelu esmerkks luukun valmskomponentten osalta. Lujuuslaskennan tehtävänä on toteuttaa pääsuunnttelusta saatu ylestasolla suunnteltu luukku sten, että se täyttää luukulle asetetut määräykset ja asetukset. Lujuuslaskennassa mtotetaan luukun päärakenne, jollon luukun teräspano on tedossa lujuuslaskennan valmstuttua. Nykysn teräspanojen laskenta tarjouslaskentavaheessa toteutetaan vertaamalla laskettavana olevan projektn luukkujen dmensota aemmn toteutunesn taulukotuhn luukkuhn ja tutkmalla taulukotujen luukkujen toteutuneta teräspanoja. Tällä menetelmällä saadaan teräspano 1 3 % tarkkuudella toteutuneeseen teräspanoon nähden. Pääsuunnttelutyö tehdään 3D-CAD-ohjelmstolla käyttäen nn sanottua parametrsta master-malla, jota muokkaamalla vodaan suunntella lastausaukon dmensohn sopva luukku. Pääsuunnttelun tuottamasta luukkumallsta vodaan muodostaa lujuuslaskentaan soveltuva mall rsumalla mallsta lujuusopllsest merktyksettömät ykstyskohdat. Esmerkks luukun tuentajärjestelyä yksnkertastetaan lujuuslaskentamalla varten. Lujuuslaskennassa suunntellun luukun tedot pävtetään pääsuunnttelumalln, jonka jälkeen luukusta vodaan tuottaa tarvttavat dokumentt. Kun dokumentont on suortettu, täytyy luukulle velä saada luoktuslatoksen hyväksyntä. (Västö, et al., 010) 1. Nykysen prosessn ongelmat Nykynen tomntamall ssältää paljon manuaalsta työtä, jollon projektn lopputulos rppuu suurest shen osallstunesta henklöstä. Tosn sanoen er suunntteljat vovat päätyä samassa projektssa teräspanoltaan erlaseen lopputulokseen. Tämä puolestaan hankalottaa tarjouslaskennassa toteutuneden projekten pohjalta tehtävä laskelma. Lsäks saman luukkutyypn projektt ovat yleensä keskenään varsn samankaltasa, jollon manuaalsest tostettavan työn automatsont tuntuu houkuttelevalta. Projektn er vahessa tehdyt työvaheet vosvat myös hyödyttää tosaan paremmn. Esmerkks tarjouslaskennassa tehdyt laskelmat luukun teräspanosta evät hyödytä varsnasta suunnttelutyötä, vaan osttan samaan päämäärään el luukun teräspanon selvttämseen tähtäävää työtä tehdään tarjouslaskennassa ja varsnasessa suunnttelutyössä täysn erllsest. (Västö, et al., 010) 1.3 Prosessn kehtyssuunta Prosessn tehostamseks on suunnttella konfguraattor, jossa kakssa työvahessa kerätyt tedot ja tehty työ pävtettäsn samaan järjestelmään. Tällön er työvahessa votasn tehokkaast hyödyntää muden työvaheden tuloksa. Esmerkks myynnn lavasta keräämät tedot pävtettäsn konfguraattorn, mutta pääpano konfguraattorssa ols tarjousvaheen ja suunntteluvaheen työn kytkemsessä paremmn tosnsa. Tarjousvaheessa votasn esmerkks suunntella luukulle karkea mall, joka rttäs
3 teräspanon selvttämseen halutulla tarkkuudella. Tätä malla tarkennettasn stten pääsuunnttelu- ja lujuuslaskentavahessa. Karkean lujuuslaskentamalln käyttämnen tarjouslaskentavaheessa mahdollstas myös esmerkks luukun tukvomen ratkasemsen ja tuken pakkojen määrttämsen, jollon asakkaalle votasn jo tarjouslaskentavaheessa välttää tämän kaltasa lavan rakenteden kannalta hyvnkn arvokkata tetoja. Tarjous lastluukkujen suunnttelusta on kutenkn jätettävä nopealla akataululla ja koska tarjous koskee yleensä koko lavaa ta jopa useta lavoja, on tarjouksessa huomotava jopa kymmenen ta useammankn erlasen lastluukun kustannukset. Nnpä perusteellseen lujuuslaskentaan e tarjousvaheessa ole akaa ja tarvetta ols jonknlaselle automatsodulle, lkmääräsen teräspanon tuottavalle laskentaproseduurlle. Yks vahtoehto nopeaan teräspanon selvttämseen on muodostaa lujuuslaskentakrjasto, joka ssältää erkokoslle lastluukulle etukäteen suortetut lujuuslaskentatulokset. Tällanen krjasto on kutenkn hyvn työläs perustaa, sllä tarvttaven laskentatapausten määrän on luukkutyypstä rppuen arvotu olevan non 00 600 tapausta. Lsäks krjastosta e todennäkösest löydy täsmälleen tlauksen mukasta valmsta luukkua, ja on arvotu, että varmalta puolelta lähmmän tapauksen käyttämnen tuottaa systemaattsest 1 3 % lan suura teräspanoja. Laaja, valmks lasketusta tapaukssta koostuva krjasto on myös erttän työläs pävttää, mkäl nykyään lastluukussa käytettävn rakentesn tuls merkttävä uudstuksa. Nnpä krjaston vo pahmmassa tapauksessa nähdä jopa jarruttavan tuotekehtystä. Tässä työssä pyrtään selvttämään, olsko automatsodun laskentaproseduurn kehttämnen mahdollsta nn, ette laskentatapauksa tarvtss laskea etukäteen varastoon, vaan tlauksen tultua saatasn kohtalasessa ajassa lkmääränen teto luukun teräspanosta käyttäen luukun todellsa dmensota ja todellsta kuormtusta. 1.4 Työn rajaus ja tavote Automaattsen lujuuslaskennan toteuttamsta varten lähtökohdaks valttn valmden optmontalgortmen soveltamnen lujuuslaskentaan. Optmontalgortmehn tutustumnen ja nstä sopvan ohjelmont ylesest lastluukkujen lujuuslaskentaan sovellettavaks ohjelmaks koettn lan laajaks ongelmaks, joten työn rajausta tarkennettn velä ja tutkttn anoastaan valmden ohjelmstojen käyttöä. Valmsohjelmsta tutkttavaks valttn elementtmenetelmään perustuva Ansys ja sen Workbench-ympärstön ssältämä vastnpntamenetelmään perustuva Desgn Exploraton -työkalu. Työn tavotteena on ss selvttää, vosko automaattsen lujuuslaskennan toteuttamnen olla mahdollsta Ansys-ohjelman vastnpntamenetelmään perustuva työkaluja soveltamalla. Tarkotuksena e ollut tuottaa mtään valmsta työkalua ta menetelmää, vaan tehdä estutkmus aheesta, jonka pohjalta tehtäsn johtopäätöksä menetelmän käyttökelposuudesta ja stä, kannattaako menetelmän tutkmusta aheesta jatkaa. Työssä käydään läp vastnpntamenetelmän keskenen teoreettnen ssältö. Tämän jälkeen estellään Ansys-ohjelman vastnpnta- ja optmonttyökalujen ssältö pää-
prtettän panottaen teoraa työkalujen ja menetelmen takana. Lopuks käydään velä läp esmerkk, jossa ohjelman vastnpnta- ja optmonttyökaluja sovelletaan todellseen, heman yksnkertastettuun lastluukkuun. Työkalun soveltamsessa ss rajotutaan yhteen, tetyn tyyppseen ja kokoseen lastluukkuun, johon kohdstuu van yks kuormtustapaus. 4
5 VASTINPINTAMENETELMÄ Vastnpntamenetelmän (Response Surface Method, RSM) kehttäjks tunnustetaan ylesest G.E.P. Box ja K.B. Wlson, jotka tutkvat kemallsen prosessn osallstuven tekjöden vakutusta reakton saantn (Khur, 006). Box ja Wlson krjottvat tutkmuksestaan artkkeln On the Expermental Attanment of Optmum Condton, joka julkastn vuonna 1951 Journal of the Royal Statstcal Socety, Seres B lehdessä. Menetelmän juuret vodaan kutenkn johtaa 1930-luvulle, jollon stä käyttvät muun muassa J. Wshart ja C. P. Wnsor (Khur, et al., 1987). Tavotteena vastnpntamenetelmässä on löytää kuvaus tuntemattoman suureen käyttäytymselle tunnettujen suureden x 1, x, x 3,, xk funktona (Myers, et al., 009). Tosn sanoen tavotteena on löytää sellanen funkto, että suure y vodaan esttää muuttujen x1, x, x3, avulla seuraavast y( x, x, x, ). (1) 1 3 Tällön funkto on nn sanottu todellnen vastnfunkto ta vastnpnta, suure on vaste ta seltettävä muuttuja ja suureet x1, x, x3, ovat faktoreta ta selttävä muuttuja, joden arvoja kutsutaan tasoks (Pché, et al., 003). Todellsella vastnfunktolla tarkotetaan funktota, joka ottaa huomoon kakk systeemn lmöt ja selttää systeemn täydellsest. Usen funktota e tunneta ja stä jouduttasn mallntamaan hyvn monmutkasella funktolla (Myers, et al., 009). Tämän vuoks käytetäänkn todellsen vastnfunkton sjasta sen approksmaatota, jollon vodaan krjottaa y f( x, x,..., x ), () 1 k jossa on satunnanen vrheterm. Vrhetermlle oletetaan, että sen odotusarvo on nolla ja että varanss on. Lsäks oletetaan, että er psteden x vrhetermt ovat keskenään rppumattoma ja jakautuneet normaaljakauman mukasest (Khur, et al., 1987). Jos jätetään huomomatta, vodaan vastetta approksmoda faktoreden ja vastnfunkton avulla ˆ (,,..., ). (3) y f x1 x x k Vastnpntamenetelmän käyttö ssältää yleensä kaks vahetta, jotka ovat kokeden suunnttelu ja regressoanalyysn käyttö vastnpntojen luomseks. Usen mukaan
6 lasketaan velä vastnpntojen pohjalta suortettava optmont, jollon vaheta on kolme (Myers, et al., 009). Peraatteessa vastnpnnan vo luoda mllä van tavalla kerättyjen havantojen perusteella, kunhan van havantoja on tarpeeks halutunmuotosen funkton muodostamseks. Kutenkn huolellsella kokeden suunnttelulla saadaan tarkempa vastnpntoja penemmällä kokeden määrällä. Kerättyjen havantojen ja tosaalta suortettujen kokeden määrää merktään N. Menetelmän er vaheet käydään läp omssa alaluvussaan. Yleensä vastnpntamenetelmää käytetään, kun halutaan tutka mten er faktort vakuttavat vasteeseen ja tosaalta kun halutaan tutka vasteen arvoja pstessä, jossa vasteen arvoa e ole laskettu ta mtattu. Vasteen optmont on myös ylenen vastnpntamenetelmän sovelluskohde..1 Regressoanalyys Regressoanalyysn avulla pyrtään vastnpntamenetelmässä löytämään yhtälön () mukasest sellanen vastnfunkto f, että vaste y vodaan selttää faktoreden,, avulla. Yksnkertasn regressomall on lneaarnen el ensmmäsen kertaluvun regressomall, joka noudattaa yhtälöä y x x (4) 0 1 1 k k. Vektormuodossa lneaarnen regressoyhtälö vodaan krjottaa y, (5) kun määrtellään koepsteen ja regressotermen vektort 0 x x x k 1 1 1 k ja. (6) Tosaalta esmerkks kahden faktorn tosen asteen regressoyhtälö muotoa y x x x x x x (7) 0 1 1 1 1 11 1 vodaan palauttaa lneaarseks regressoyhtälöks ottamalla käyttöön uudet faktort x 3, x 4 ja x 5, jollon vodaan krjottaa y x x x x x (8) 0 1 1 1 3 11 4 5.
7 Samaan tapaan myös kakk muut korkeamman asteen polynommallset regressomallt ovat palautettavssa lneaarsks regressomalleks (Myers, et al., 009). Matrsmuodossa regressoyhtälö vodaan krjottaa y X, (9) mssä y1 1 x11 x1 x1 k 1 y 1 x1 x x k, ( N ) y X 1 D, y 1 x x x N N1 N Nk N (10) ja X on datamatrs, joka ssältää N-ykkösvektorn ja suunnttelumatrsn D (Pché, et al., 003), kun N on ss koepsteden määrä. Ylesn tapa selvttää regressomalln parametrt on käyttää penmmän nelösumman menetelmää (Myers, et al., 009). Tällön mnmodaan matrsyhtälöä yx ( yx) T ( yx ). (11) Kun yhtälöstä otetaan gradentt :n suhteen ja merktään se nollavektorks, saadaan nn sanottu normaalyhtälö (Khur, et al., 1987) T T XX Xy. (1) Tästä vodaan ratkasta. Koska kyseessä on :n estmaatt, otetaan käyttöön uus merkntä T 1 T. b XX Xy (13) Oletuksena on, että matrs Nyt vodaan ennustaa regressomalllla saatavat arvot y ˆ. T XX on e-sngulaarnen ja N k 1. ˆ ( ) T 1 T y Xb XXX Xy (14) Regressotermen estmaattvektorlle b vodaan vrhetermn odotusarvon ja varanssn perusteella krjottaa odotusarvo
8 E T 1 T ( ) E(( ) ) b XX Xy (15) sekä varanss V T 1 T T 1 ( ) V(( ) ) ( ), b XX Xy XX (16) sllä V y V I (17) ( ) ( ) N. Regressoparametren estmaattvektorn odotusarvon perusteella vodaan sanoa, että b on todellsten regressoparametren harhaton estmaatt (Khur, et al., 1987). Todellsten vasteen arvojen y ja vasteen estmaatten ŷ erotusta kutsutaan resduaalvektorks (Khur, et al., 1987) ja slle vodaan krjottaa T 1 T ˆ ( N ( ) ) ryy I X X X X y (18) Resduaalvektorn ptuuden nelötä kutsutaan resduaaln nelösummaks (SSE) (Khur, et al., 1987) ja slle vodaan krjottaa T T r r r ( y Xb) ( y Xb ) SSE. (19) Tedetään (Pché, et al., 003), että resduaaln nelösumman odotusarvo E(SSE)=( Nk 1). Tällön vodaan krjottaa vrhetermn varanssn harhaton estmaatt SSE s N -k -1 (0) olettaen, että N k 1. Varanssanalyysssä käytetään matrsa c00 c01 c0k c c c C ck 0 ck1 ckk T 1 10 11 1k ( XX), (1) jonka avulla vodaan yhtälöden (16) ja (0) avulla krjottaa regressotermen varanss ja slle käypä estmaatt
9 Vb c Vb ˆ sc () ( ), ( ). Matrsn C avulla vodaan krjottaa regressotermelle myös standardvrhe seb ( ) (3) sc sekä vastaavast vasteen ennusteen estmotu keskhajonta se yˆ s (4) T ( ), T jossa on tarkastelupsteen vektor 1 1 k. (Myers, et al., 009). Kokeden suunnttelu Kokeden suunnttelu on olennanen osa prosessa, jossa kerättyjen havantojen pohjalta tehdään havantoja tutktun systeemn käyttäytymsestä. Tok havantoja vodaan tehdä myös lman huolellsta kokeden suunnttelua ja nän nsnöörtyössä käytännössä usen tehdäänkn. Usen esmerkks sovelletaan kokelevaa menetelmää, jossa käypä ratkasu pyrtään löytämään muuttamalla faktoreden arvoja tutktusta systeemstä kerätyn kokemuksen perusteella. Tällön vodaan puhua faktoreden arvojen valstunesta arvaukssta. Tällasellakn menetelmällä vodaan saavuttaa hyvä tuloksa, jos systeem tunnetaan hyvn. Kutenkn menetelmää käytettäessä on käytännössä mahdotonta sanoa, ollaanko päädytty optmaalseen ratkasuun va vosko ratkasua velä parantaa (Montgomery, 001). Tonen käytännössä usen käytetty tapa hankka tetoa systeemstä on menetelmä, jossa yhden suunnttelumuuttujan arvoa muutetaan pdettäessä muden arvot vakona (Montgomery, 001). Tällasella koejärjestelyllä vodaan onnstuneest selvttää kunkn faktorn vakutus tutkttavaan vasteeseen suunntteluavaruuden yhdessä psteessä. Otetaan esmerkks koe, jolla pyrtään tutkmaan er tekjöden vakutuksa jalkapallojoukkueen pelaaman ottelun lopputulokseen. Valtaan tutkmukseen seuraavat faktort: 1) Onko kyseessä kot- va verasottelu? ) Onko pakalla paljon va vähän ylesöä? 3) Pelataanko ottelu aamu- va ltapävällä? 4) Valltseeko ottelun akana kylmä va lämmn kel? Vasteena tarkastellaan pelatun ottelun maaleroa. Kerätään data halutusta määrästä otteluta. Kerätystä datasta vodaan prtää kuvan 1 mukaset kuvaajat, jossa estetään kunkn faktorn yksttänen vakutus maaleron keskarvoon.
10 Maalero Maalero Pelpakka Ylesön määrä Ajankohta Kel Kuva 1 Er tekjöden vakutukset pelatun ottelun keskarvoseen maaleroon. Maalero K V P V A I K L Nyt kuvaajen perusteella vodaan yrttää löytää optmaalset olosuhteet pelattavalle ottelulle. Esmerkn mukasten havantojen perusteella joukkue näyttäs menestyvän parhaten kotona pelatussa ltaottelussa, jossa ylesöä on pakalla paljon. Tämän kaltasen koejärjestelyn perusteella e kutenkaan voda päätellä mtään faktoreden välsstä vuorovakutukssta, kuten stä, vakuttaako pelpakka ottelun suotuseen ajankohtaan ta suotusaan ylesön määrään. Nn sanotussa faktorkokessa muutetaan samaan akaan useamman muuttujan arvoa ja nllä vodaan selvttää faktoreden välset vuorovakutussuhteet nden yksttästen vakutusten lsäks (Montgomery, 001). Faktorkokeet vodaan luoktella tasojen ja faktoren määrän mukaan. Esmerkks kolmen faktorn kahden tason kokeessa, el -kokeessa, on kolme muuttujaa, josta kakk saavat arvoja kahdessa tasossa. Kahden faktorn kolmen tason kokeessa, el 3 -kokeessa, puolestaan molemmat muuttujat saavat arvoja kolmessa tasossa. Edellä manttujen kokeden peraatekuvat on estetty kuvassa. Maalero (-1,1,-1) (1,1,-1) (-1,1) x (0,1) (1,1) (-1,1,1) x (1,1,1) x 1 (-1,0) (0,0) (1,0) x 1 x 3 (-1,-1,-1) (1,-1,-1) (-1,-1) (0,-1) (1,-1) (-1,-1,1) (1,-1,1) Kuva Peraatekuva - ja 3 - kokeesta. Kuvan kokeet on lsäks skaalattu nn, että faktort saavat arvoja {-1, 0, 1}.
11.3 Kerätyn datan skaalaus Kerättyä dataa e usenkaan käytetä sellasenaan, vaan se skaalataan uudestaan. Skaalauksella saadaan muutettua faktoreden astekot sopvmmks ja skaalattua faktoreden astekot keskenään samaan asemaan. Tavallsn skaalauksen muoto on koodaus, jota käytetään ertysest kahden tason kokessa ja kolmen tasavälsen tason kokessa (Khur, et al., 1987). Koodaus vodaan toteuttaa seuraavan yhtälön mukasest x j C x x x U L x x j L U, (5) j L x C on faktorn x tasoa j vastaava koodattu taso, x on faktorn x penn ja suurn taso. Tällön faktoreden koodatut tasot ovat kahden tason kokeelle 1,1 mssä U x ja kolmen tason kokeelle 1,0,1, kuten on estetty kuvassa. Koodauksella päästään eroon faktoreden astekkojen suuruusluokken erojen aheuttamasta numeersesta epätarkkuudesta ja vodaan tulkta paremmn regressomallssa käytettyjä regressoparametreja (Khur, et al., 1987)..4 Suunnttelun ortogonaalsuus ja kertosymmetrsyys Kokeden suunnttelulta usen tovottuja omnasuuksa ovat suunnttelun ortogonaalsuus ja suunnttelun kertosymmetrsyys (Khur, et al., 1987). Suunnttelu on ortogonaa- T T lnen sllon, kun matrs XX on lävstäjämatrs. Tällön myös matrs DD on lävstäjämatrs ja suunnttelumatrsn D sarakesummat ovat nolla. Tällön datamatrsn X sarakkeet ovat tosaan vastaan kohtsuorassa, jollon regressoparametrt b ovat tosstaan rppumattomat ja varanssmatrs V( b) C on lävstäjämatrs, joka on helppo laskea numeersest tarkast (Pché, et al., 003). Ensmmäsen kertaluvun malllle myös kertosymmetrselle suunnttelulle suunnttelumatrsn sarakesummat ovat nolla ja T DD on lävstäjämatrs. Kertosymmetrselle suunnttelulle on kutenkn velä ehtona, että matrs T DD on muotoa k, I mssä on vako el dagonaalalkot ovat samoja (Pché, et al., 003). Määrtelmen perusteella kakk ensmmäsen kertaluvun kertosymmetrset suunnttelut ovat ss myös ortogonaalsa. Kertosymmetrsellä suunnttelulla on ertynen omnasuus, jonka mukaan ennusteen varanss T T 1 1 1 k V( yˆ) X X N (6) rppuu anoastaan datavektorn ptuudesta ekä sen suunnasta (Myers, et al., 009).
1.5 Kahden tason koe Kahden tason kokeella tarkotetaan suunnttelua, jossa kullakn faktorlla on van kaks tasoa, koodattuna ss 1,1. Kahden tason kokeella, el k -kokeella, vodaan selvttää faktoreden pää- ja yhtesvakutukset (Myers, et al., 009). Tällön saatavat vastnpnnat ovat lneaarsa kunkn faktorn suhteen, mutta faktoreden yhtesvakutukssta vo aheutua kaarevuutta. Täydellnen kahden tason kokeen regressomall on muotoa k y x xx x x. (7) 0 j j 1 k 1 k 1 1jk Tällön kokeessa on k termä ja datamatrsssa yhtä monta rvä. Regressomallsta vodaan jättää tosen asteen termt pos, sllä koodatulle datalle x M 1 ja x M 1 kun M on postvnen kokonasluku. Jättämällä faktoreta pos saadaan osttanen k - koe. Faktoreta vodaan jättää pos keltämällä tetyt faktoreden yhtesvakutukset, jollon kelletyn faktorn arvo knntetään arvoon 1. Tällön samalla oletetaan, että kelletty yhtesvakutus e ole regressomalln kannalta merkttävä. Myös kakk kelletystä faktoresta keskenään kertomalla saadut faktort on kellettävä (Khur, et al., 1987). Keltämällä esmerkks x, 5 kokeesta yhdysvakutukset xxx 1 4 ja xxx 1 3 5 on kellettävä myös faktor xxxx. 3 4 5 Almman kelletyn termn astetta kutsutaan kokeen resoluutoks kn (Pché, et al., 003) ja ylesest osttasta kahden tason koetta merktään, jossa n on kellettyjen faktoreden määrä ja ss 5 III koe. X r on kokeen resoluuto. Yllä estetty esmerkk on Xr.6 Tosen kertaluvun regressomall Ensmmäsen kertaluvun regressomalla tarkempa vastnpntoja saadaan käyttämällä tosen asteen regressomalla, jollon vastnpnnosta saadaan kvadraattsa (Khur, et al., 1987). Tosen asteen regressomall on muotoa 0 k k j j 1 1 1jk (8) y x x xx. Täydellseen tosen kertaluvun regressomalln tarvttaven kokeden määrä on k 3 1 N 1 k 1 k k. Jos rsttermt jätetään pos, vodaan puhua puhtaast tosen asteen mallsta. Tällön regressoyhtälö on muotoa
13 0 k k 1 1 (9) y x x ja koepsteden määrä on vähntään N k 1. Tosen kertaluvun suunnttelun ortogonaalsuutta ja kertosymmetrsyyttä vodaan tarkastella momenttmatrsn 1 N X X ja datamatrsn affnmuunnosten avul- T la. Momentt määrtellään faktoreden ja nden tulojen keskarvona seuraavast: 1 N 1 N N t1 N j xtxtj j t1 N 1 N jm xtxtjxtm jm t1 N 1 N jmn xtxtjxtmxtn mjn t1 x t (30) Esmerkk kahdelle faktorlle momenttmatrs krjotetaan seuraavast (Khur, et al., 1987): 1 N 1 1 11 1 1 11 1 111 1 11 1 11 1 11 111 1 1111 11 111 1 11 11 1 1 11 1 111 1 11 T XX (31) Affnmuunnoksessa datamatrsa X kerrotaan muunnosmatrslla T 1 l L, 0k K (3) mssä K on e-sngulaarnen k k -matrs ja l on k-vektor. Skaalauksessa käytetään matrsa 1 p1 K (33) 1 p k
14 Uutta datamatrsa XL vastaa parametrvektor 1, jolle saadaan penmmän nelösumman menetelmällä estmaatt T 1 T g XL XL XL y L 1 b. (34) Tällön muunnetulla datamatrslla saadaan ennuste yˆ XLg Xb, (35) el malln ennuste e muutu affnmuunnoksessa. Faktort vodaan skaalata nn, että 0 ja 1 käyttäen affnmuunnosta, 1 N j N j 1 jossa x p x x ja vektorn l komponentt l. Estetyllä affnmuun- p noksella vodaan korvata nelöfaktort uuslla, jotka ovat muotoa x p x q. Jotta uuden malln mukanen koe ols ortogonaalnen, on affnmuunnoksen kertomen oltava p ja 1 q sekä momentten,, ja jj oltava anoat nollasta pokkeavat momentt, josta tosn vo olla nolla. Ortogonalsotuvan kokeen momenttmatrs on ss muotoa 1 0 1 0 1 T 0 I S O XX N 1 S S I 1 1 O 0 O O I T T T k k T T k 3 T T k 3 4 k k k. (36) Tosen kertaluvun suunnttelun kertosymmetrsyys vodaan määrttää ensmmäsen kertaluvun kertosymmetrselle suunnttelulle löydetyn omnasuuden perusteella (Pché, et al., 003). Ss: tosen kertaluvun suunnttelu on kertosymmetrnen, jos sllä saadun ennusteen varanss rppuu van datavektorn ensmmäsen kertaluvun osan ptuudesta ekä sen suunnasta. Tällön momenttmatrs on muotoa 1 N T T T 1 0k 11k 0 T k 1 k k T 0 I O O XX T T 11k Ok Ik 1k1k O 0 O O I (37)
15 ja matrsn sngulaarsuuden välttämseks on oltava 1 0 ja 0 sekä k k. (Pché, et al., 003) 1.7 CCD-kokeet Suostun tosen kertaluvun suunnttelumallesta on nn sanottu CCD-koe (Central Composte Desgn) (Montgomery, 001). Snä datamatrs muodostetaan kolmesta osasta sten, että kukn faktor saa arvoja vdessä suunntteluvälnsä psteessä. Faktorkokeen mukasest faktort saavat arvoja koodatun välnsä päätepstessä 1. Nätä tasoja kutsutaan CCD-kokeen faktoraalosaks ja stä kertyy suunntteluun k pstettä ta osttasen faktoraalkokeen mukasest kn pstettä. Aksaalosasta kertyy suunntteluun k pstettä, jossa faktort saavat arvoja arvon päässä suunntteluavaruuden orgosta. Näden psteden lsäks CCD-suunnttelu ssältää n 0 pstettä suunntteluavaruuden orgossa. Nätä pstetä kutsutaan suunnttelun keskusosaks. Kukn faktor saa ss arvoja kuvan 3 mukasest. -1 -a 0 a 1 Kuva 3 Faktorn saamat arvot CCD-kokeessa. Koepsteden kokonasmäärä CCD-kokeelle on ss kn N k n. (38) 0 Tähän yhtälöön palataan velä luvussa 3..8 Optmaalset CCD-kokeet CCD-kokeelle on määrtelty useta erlasa optmaalsuuskrteeretä, jota käytetään hyväks kokeden suunnttelussa. Optmaalselle kokeelle koepsteden pakat valtaan nn, että valttu tavotefunkto mnmotuu. Eräs optmaalsuuskrteerestä on A- optmaalsuus. Tällön tavotefunkto T J on matrsn 1 A XX lävstäjäalkoden summa, jota ss pyrtään mnmomaan. Tällön mnmotuu myös regressotermen b skaalattujen varanssen summa, sllä 1 T 1 J X A V b c tr. XX (39)
16 Ehkä käytetyn optmaalsuuskrteerestä on D-optmaalsuus (Montgomery, 001), jollon tavotefunktona on det XX T 1 T 1 1 J D X XX XX T det. (40) Tällön mnmotuu regressotermen b luottamusellpsoden tlavuus (Khur, et al., 1987). D-optmaalsuuskrteer on snä melessä hyvä, että se vodaan tehdä myös affnmuunnoksella koodatulle faktorelle, sllä J D XL det 1 1 T T L X XL det L J D X. (41) Pats regressotermehn ja nden varanssn, optmaalsuuskrteert vovat perustua myös tse vastnpnnan varanssn. Eräs tällanen krteer on G-optmaalsuus. Tällön pyrtään mnmomaan vastnpnnalla esntyvää suurnta varanssa. Ennusteen normalsotu varanss psteessä on N T T g, V yˆ N X X 1. (4) Tosaalta datamatrsn :nnen rvn faktoryhdstelmän vastaava normalsotu varanss on mssä T h on nn sanotun hattumatrsn 1 N g ˆ V y Nh, (43) T H X X X X :s lävstäjäalko. Tällön G- optmaalsessa kokeessa pyrtään mnmomaan matrsn H suurnta lävstäjäalkota (Pché, et al., 003). Matrsn H lävstäjäalkot tunnetaan nn sanottuna vpuarvona. Jos yks lävstäjäalko h on paljon muta lävstäjäalkota suuremp, vodaan epällä, että kysenen koepste on kokeelle sjantnsa puolesta hatallnen. Karkeana rajana korkealle vpuarvolle vodaan ptää lävstäjäalkoden kaksnkertasta keskarvoa (Montgomery, 001) 1 h. k k h (44) Suurnta vpuarvoa vodaan ptää yhtenä koemalln tunnusmerkestä.
17.9 Regressomalln datan muunnokset Tonen vahtoehto korkeamman asteen regressomallen käytölle tarkempen vastnpntojen saavuttamseks on käyttää nn sanottuja muunnoksa. Muunnokslla tarkotetaan faktorelle kerätylle datalle, koepstessä vasteelle tehdylle havannolle ta nälle molemmlle tehtävä muunnoksa, joden avulla regressomalln tarkkuutta yrtetään parantaa. Kerätyn alkuperäsen datan asemasta vodaan käyttää esmerkks kerätyn datan logartmeja ta kääntesarvoja. Esmerkks tapauksessa, jossa vaste rppuu faktoresta eksponentaalsest, saavutettasn luultavast tarkemp vastnpnta käyttämällä vasteelle y logartmsta muunnosta ja sovttamalla stten dataan ensmmäsen asteen regressoyhtälö, sen sjaan, että käytettäsn sokeast tosen asteen regressomalla lneaarsen malln osottautuessa rttämättömäks (Draper, et al., 1981). Muunnoksa käytetään usen datan sovttamseks juur lneaarselle malllle sopvaks, mutta muunnoksa vodaan käyttää myös korkeampaa astetta oleven mallen yhteydessä. Muunnoksa, jolla data pyrtään sovttamaan ensmmäsen kertaluvun regressomalln, kutsutaan datan lnearsonnks. Tonen ylenen syy muunnosten käyttöön on, että malln vrhetermen varanss halutaan vakoks ta lähes vakoks koko suunntteluavaruudessa, jotta nn sanottu homoskedastsuusehto täyttys. Tosaalta havantojen jakauma halutaan normaalst jakautuneeks, jollon malln käyttökelposuutta vodaan tutka perustellust luottamustestellä. (Box, et al., 1964). Jos fyskaalset ta muut todellset yhteydet faktoren ja vasteen välllä tunnetaan, on muunnosfunkto suhteellsen helppo valta ta anakn sen suhteen vo esttää perusteltuja arvauksa. Usen muunnoksa käytätetään nn sanottujen muunnosperheden avulla. Tällön sopvat muunnosfunktot vodaan valta systemaattsest. Yks hyvn suosttu muunnosperhe on Box-Cox-muunnosperhe. Snä muunnoksn käytetään potenssfunktota vahtuvalla eksponentlla. Box-Cox-muunnosperhe määrtellään y y 1 0. logy 0 (45) Muuttujalle vodaan etsä kullekn tapaukselle sopva arvo. Sopva arvo etstään käymällä läp tetty väl :n arvoja, usen esmerkks, ta 1,1, sopvalla askeleella, ja kullekn :n arvolle lasketaan nn sanottu profluskottavuus L max el arvo, joka kertoo, kunka hyvn kysesellä :n arvolla toteutetut muunnokset homoskedastsuus- ja normaalusehdot. Seuraavaks sovtetaan y toteuttavat, Lmax -kuvaaja ja etstään, joka toteuttaa suurmman lasketun profluskottavuuden. Nyt on löydetty :n arvo, joka toteuttaa parhaten muunnokselle asetetut ehdot. Usen kutenkn halutaan käyttää jotan esmerkks fyskaalsten lmöden perusteella seltettävssä olevaa arvoa, jollasa ovat esmerkks kokonasluvut ta murtoluvut 1 M. Tällasen järkevän arvon
18 löytämstä varten vodaan tehdä luottamusvältarkastelu halutulla luottamusparametrlla Tällön saadaan väl p. todennäkösyydellä p,, jolta valttu ˆ toteuttaa muunnokselle annetut ehdot L U 100 1 %. Box-Cox-muunnoksessa oletetaan, että y on suuremp kun nolla. Tetyst votasn käyttää myös orgon srtoa muodossa y ys 1 0, log ys 0 (46) mssä s on orgon srtoparametr, mutta tällön profluskottavuuden maksmarvoa e ana vo normaalst hyödyntää. Tonen vahtoehto on muokata muunnos muotoon y sgn( y) y 1 0, (47) mutta tällanen muunnos taas tom huonost, jos vasteen jakauma on vno (Yeo, et al., 000). Tämän vuoks Yeo ja Johnson kehttvät uuden muunnosperheen, jonka he määrttelvät y y1 1 y0, 0 log y1 y 0, 0 y1 1 y 0, logy1 y0, (48) Kuvassa 4 on havannollstettu eroa Box-Cox- ja Yeo-Johnson-muunnosten välllä. Box-Cox-muunnokset Yeo-Johnson-muunnokset Muunnetut arvot Muunnetut arvot Alkuperäset arvot Alkuperäset arvot Kuva 4 Box-Cox- ja Yeo-Johnson-muunnosten kuvaajat :n er arvolla (Yeo, et al., 000).
19 Kuvasta 4 nähdään, että postvslle :n arvolle Yeo-Johnson-muunnos on sama kun Box-Cox-muunnos orgon srrolla arvolla s 1. Kuvasta nähdään myös, että Yeo- Johnson-muunnokset myös tomvat yhtä hyvn nn postvslla kun negatvsllakn y:n arvolla.
0 3 VASTINPINTAMENETELMÄN KÄYTTÖ AN- SYS WORKBENCH -OHJELMASSA Vastnpntamenetelmää on ylesest käytetty kokeellslla alolla, kuten keman- ja lääketeollsuudessa. Usen kerätty koedata ssältää tällön kontrollomattomsta tekjöstä johtuvaa satunnasuutta, joka täytyy ottaa huomoon (Khur, et al., 1987). Ansysohjelman Workbench-ympärstö ssältää vastnpntamenetelmää hyödyntävä työkaluja, jollon vastnpntamenetelmää sovelletaan yhdessä elementtmenetelmän (Fnte Element Method, FEM) kanssa, ekä havannossa tällön esnny satunnasuutta. Tosn sanoen sama koepste antaa ana saman tuloksen. Vastnpntamenetelmän käyttö Ansys-ohjelman Workbench-ympärstössä perustuu käytettävän FEM-malln parametrsontn, parametren er arvojen yhdstelmllä laskettavn analyysehn sekä näden analyysen pohjalta muodostettavn vastnpntohn. Lsäks vastnpntojen pohjalta vodaan malln soveltaa optmonta. Faktoreks mallsta vo parametrsoda nn jatkuva kun dskreettejäkn muuttuja. Tämän lsäks jatkuvan parametrn vo halutessaan määrtellä nn sanotuks käytettävyysparametrks, joka käyttäytyy kun jatkuva parametr, mutta jolle van tetyt käyttäjän määrttelemät arvot ovat sallttuja. Käytettävyysparametrelle ja dskreetelle parametrelle on kutenkn huomotava, ette ntä vo käyttää kakken optmontmenetelmen yhteydessä, kuten luvussa 3.3 estetään. Faktoreden määrä on ohjelmassa rajotettu 0:een. Käytännössä kutenkn suostellaan, ette faktoreta ols enempää kun 10 15 (Ansys R1.1). 3.1 Kokeden suunnttelu Kun malln on parametrsotu sekä halutut faktort että vasteet, on ensmmäsenä varsnasena vaheena määrttää koepsteet, jossa FEM-analyyst suortetaan. Käytettäväks regressomallks on valttavssa lneaarnen, puhtaast kvadraattnen, täydellnen kvadraattnen ta tosen kertaluvun CCD-mall (Ansys R1.1). Valttn käytettäväks mallks mkä hyvänsä edellä mantusta, valtaan samalla myös koepsteden määrä. Tosn sanoen käytettävä regressomall määrää suoraan koepsteden määrän, elle käytetä nn sanottuja parannettuja (enhanced) koesuunnttelun malleja. Sen sjaan koepsteden pakkojen valntaan käyttäjä vo vakuttaa. 3.1.1 Ensmmäsen ja tosen kertaluvun mallt Käytettäessä muuta kun CCD-koemalla, koepsteden pakkohn vo vakuttaa valtsemalla yhden kolmesta vahtoehdosta psteden pakkojen valntamenetelmäks. Vah-
1 toehdot ovat Max-Mn Dstance, Centered L ja Maxmum Entropy. Nässä menetelmssä psteet pyrtään hajauttamaan suunntteluavaruuteen er krteeren mukasest, esmerkks nn, että kukn koepste on mahdollsmman kaukana musta. Johtuen satunnasuuden puutteesta FEM-analyysessä, koepstessä e esnny päällekkäsyyttä el tosn sanoen kussakn psteessä lasketaan van yks analyys. Tästä johtuen koepstetä vodaan kullekn malllle laskea malln edellyttämä vähmmäsmäärä. Nnpä koepsteden määrä N lneaarslle yhteykslle on N k 1, (49) mssä k on ss kokeen faktoreden lukumäärä. Kun regressomallna käytetään puhtaast tosen kertaluvun malla, joka e ss ssällä rsttermejä, lasketaan koepstetä N k 1 (50) kappaletta. Kun malln otetaan mukaan velä tosen kertaluvun rsttermt, tulee koepsteden määräks 1 3 1. (51) N k k 3.1. CCD-koemall Käytettäessä CCD-koemalla käyttäjä vo valta koepsteden pakkohn vakuttavan menetelmän neljästä vahtoehdosta. Valttavssa on Rotatable, Face-Centered, G- optmal ja VIF-optmal. Valttaessa Rotatable koepsteet valtaan kertosymmetrsen suunnttelun mukasest. Jos menetelmäks valtaan Face-Centered, saa muuttuja arvon 1 ja psteet valtaan esmerkks kahden faktorn kokeelle kuvan 5 mukasest.
(-1,1) x (0,1) (1,1) (-1,0) (0,0) (1,0) x 1 (-1,-1) (0,-1) (1,-1) Kuva 5 Kahden faktorn CCD-kokeen koepsteden pakkojen valnta Face-Centeredmenetelmällä. G-optmaalnen menetelmä on estetty luvussa.8 ja valttaessa menetelmäks G- Optmal, psteet valtaan tämän optmaalsuuskrteern mukasest. VIF-Optmal-menetelmässä optmaalsuuskrteernä on suunnttelumatrsn D suurmman nn sanotun VIF-arvon (Varance Inflaton Factor) mnmomnen (Ansys R1.1). VIF-arvo määrtellään (Neter, et al., 1996): VIF 1 1R, R 1 SSE SST (5) VIF-arvoja lasketaan k kappaletta sten, että kullekn faktorlle määrtellään oma regressomall seuraavast: x x x x x (53) 0 1 1 1 1 1 1 k k Kullekn N-faktorvektorlle x määrtellään yhtälön (53) regressokertomet penmmän nelösumman menetelmällä ja nälle regressomallelle lasketaan yhtälössä (5) esntyvät resduaaln nelösumma SSE ja kokonasnelösumma SST (Neter, et al., 1996) SSE SST k T x xˆ x xˆ 1 k T x x x x 1 (54) Yhtälön (54) nelösummen avulla vodaan laskea yhtälön (5) seltysasteet R ja seltysasteden avulla toleranssen 1 R kääntesarvot el halutut VIF-arvot. VIF-arvo on
3 yhteydessä suunnttelumatrsn ortogonaalsuuteen sten, että VIF-arvon mnm on 1 ja kun VIF 1 on suunnttelumatrs D tällön ortogonaalnen faktorn x suhteen. Käytettäessä CCD-koemalla koepsteden määrä on ss määrätty, mutta koepsteden pakkohn vo vakuttaa. Koepsteden määrä saadaan yhtälöstä (38), kun kellettäven faktorkombnaatoden määrä n rppuu faktoreden määrästä k taulukon 1 mukasest ja keskusosan psteden määrä n 0 = 1. Taulukko 1 Koepsteden määrä käytettäessä CCD-koemalla. Kellettäven faktorkombnaatoden Faktoreden määrä k määrä n Koepsteden määrä N 1 0 5 0 9 3 0 15 4 0 5 5 1 7 6 1 45 7 1 79 8 81 9 147 10 3 149 11 4 151 1 4 81 13 5 83 14 6 85 15 7 87 16 8 89 17 9 91 18 9 549 19 10 551 0 11 553 Ylesest kokeden suunnttelusta ohjelman työkalulla vodaan sanoa, että CCD-malln mukanen koesuunnttelu tuottaa yleensä tarkmman vastnpnnan, mutta vaat myös selväst enten laskettava FEM-analyysejä. Vastaavast lneaarsen malln mukasta koetta varten FEM-analyysejä lasketaan huomattavast vähemmän, mutta tällön faktoresta saadaan selvlle anoastaan nden päävakutukset. Ohjelman tarjoamen menetelmen lsäks koepsteet vo myös määrttää täysn manuaalsest, jollon sekä psteden määrän että pakat vo valta tse. 3. Vastnpntojen luomnen Vastnpntojen luomseen Ansys Workbench -ohjelmassa on valttavssa neljä er menetelmää. Oletuksena on tosen asteen regressomalln perustuva menetelmä ja muut vahtoehdot ovat Krgng, Non-Parametrc Regresson ja Neural Network (Ansys R1.1).
4 Oletusmenetelmällä vastnpnta muodostetaan käyttäen regressoanalyysä tosen asteen polynomella. Menetelmä kutenkn vaat ana CCD-kokeen mukasen määrän koepstetä. Stä e ss vo käyttää lneaarsen ta kvadraattsten mallen mukaan määrtetyllä koepstellä, vakka kvadraattsen malln mukanen koe teoran mukaan mahdollstaskn vastnpnnan muodostamsen regressoanalyysä ja tosen asteen polynomeja käyttämällä. Regressoparametrt määrtellään luvussa.1 estetyllä penmmän nelösumman menetelmällä. Tämän lsäks vastnpntaa luotaessa on mahdollsta soveltaa luvussa.9 estettyjä muunnosfunktoperhetä (Ansys R1.1). Regressomall luodaan vahettan nn, että malla luodessa suortetaan testejä, jolla pyrtään selvttämään, onko malln hyödyllstä lsätä jokn regressoterm. Oletetaan, että on luotu regressomall, joka ssältää p regressotermä ja p on penemp kun malln regressotermen maksmmäärä. Tällön regressotermn p+1 merktsevyyttä mallssa vodaan testata Fshern F-testsuureen avulla laskemalla termlle p+1 arvo F SSE v p SSE v p1 p p1 p1, (55) SSE p1 v p1 mssä SSE p ja SSE p+1 ovat p.n ja p + 1:n regressotermn regressomallen nelösummat v p = k - p ja v p+1 = k - p - 1 ovat p:n ja p + 1:n regressotermn regressomallen vapausasteet. Testn mukaan term p+1 on malln kannalta merkttävä, jos mssä F1 1, n p 1 Fp 1 F 1 1, n p 1, (56) on F-testsuureen arvo vapausastella 1 ja n - p -1 ja merktsevyystasolla. Regressomallsta testataan myös kunkn lsätyn regressotermn p+1 jälkeen, onko jokn malln akasemmsta p:stä regressotermstä merktyksetön uudessa mallssa. (Ansys R1.1) Krgng-menetelmä on yks musta käytössä olevsta vahtoehdosta vastnpntojen luomselle. Krgng-menetelmän teoran kehtt Georges Matheron ja menetelmä perustuu Danel G. Krgen mastern työhön, jossa hän tutk kavostomnnan kannattavuuden arvonta tlastollsn menetelmn. Ansys Workbench:ssä käytettävän Krgngmenetelmän perusyhtälö on
5 mssä f, y x f x Z x (57) x on nterpolontfunkton globaal polynommuotonen osuus, joka on samanmuotonen kun polynommuotosessa regressomallssa. Funkton osuus Z x tarkentaa vastetta lokaalst ja se muodostetaan koepsteden perusteella yhtälön (58) mukasest muodossa Z N 1 r x x, x, (58) jossa on koepsteelle annettava panokerron ja korrelaatofunkto r x, x määrtellään yhtälön (59) mukasest k l l k l x x l l l1 l l1 r x, x exp x x e, (59) jossa l on korrelaatokerron koepsteden l:nnelle komponentlle ja x l ja l x ovat :nnen koepsteen ja muodostettavan pnnan koordnaattpsteen l:nnet komponentt (Smpson, et al., 001). Krgng-menetelmän käyttö mahdollstaa vastnpntojen nn sanotun jalostamsen (refnement). Tällön määrtellään alkuperästen koepsteden lsäks uusa koepstetä, jolla vastnpntaa pyrtään tarkentamaan. Käyttäjä vo määrtellä jalostukselle erlasa asetuksa, kuten pyrtäänkö jalostuksella mnmomaan suurnta vastessa esntyvää vrhettä va kakken vasteden vrheden summaa ja mkä on rttävän pen vrhe, jolla jalostus lopetetaan. Non-Parametrc Regresson -menetelmässä tavotteena on löytää koepsteden joukosta mahdollsmman pen, harva joukko pstetä, joden avulla regressomall vodaan luoda. Esmerkks regressosuoran tapauksessa votasn määrttää kuvan 6 mukasest suorat, jotka rajottavat käytettyä pstejoukkoa.
6 e x e Kuva 6 Psteden rajaamnen osajoukkoon, jota käytetään regressosuoran muodostamsessa. Menetelmä pelkstyy salltun hypersylntern määrttelyssä käytettävän parametrn ja käytettävän kernel-panotusfunkton parametren valntaan optmaalsest. Kernelpanotusfunktona ohjelmassa käytetään Gaussn jakaumaa noudattava gausslasa funktota. Menetelmää suostellaan käytettäväks van korkeast epälneaarslle ongelmlle, sllä alhasen kertaluvun ongelmssa menetelmä e välttämättä tom tehokkaast, vaan vaarana on menetelmän oskllont. Neljäs vahtoehto vastnpnnan muodostamseen on käyttää menetelmää Neural Network. Menetelmässä on kolme tasoa ja nätä yhdstävät panotetut funktot. Ensmmäsellä tasolla ovat faktort, tosella yhteyksen kuvaamseen käytetyt funktot ja vmesellä vasteet. Menetelmää vodaan havannollstaa kuvalla 7. x 1
7 x 1 x x 3 g 1 g g 3 g 4 g 5 y 1 y Kuva 7 Peraatekuva Neural Network -menetelmästä. Panofunktoden lsäks menetelmässä käytetään bnäärstä tyyppä olevaa funktota, jotta saadaan akaan bnäärnen, hermoston tomntaa mustuttava funkto, jossa määrtellään, vakuttaako funkto yhtälöllä g j vasteeseen y l. Menetelmän tomntaa vodaan kuvata y K w g x, (60) l jl j jossa K on bnäärsen käytöksen aheuttava funkto. Vastnpntojen sopvuutta vodaan tarkastella ohjelman tuottamen sopvuuste- tojen (goodness of ft) avulla. Determnaatokerron el seltysaste R estettn jo VIFoptmaalsen kokeen yhteydessä yhtälössä (5), mutta vastnpnnan determnaatokertomessa on kyse heman er asasta. Tässä tapauksessa determnaatokerron kertoo kunka suuren osuuden vasteen varansssta regressomall selttää. Matemaattsest determnaatokerron määrtellään regresson nelösumman SSR ta resduaaln nelösumman SSE ja kokonasnelösumman SST avulla kun nelösummat SSR ja SST määrtellään kullekn vasteelle R SSR SSE 1, SST SST (61)
8 SSR SSE SST N 1 N 1 N 1 yˆ y y yˆ y y (6) Tlanteessa, jossa regressomall toteuttaa tarkast koepstessä tehdyt havannot, el y yˆ 0, saa determnaatokerron arvon 1, jollon regressomall ss selttää vasteelle tehtyjen havantojen varanssn täydellsest. Korjattu determnaatokerron R A määrtellään N R 1 1 1 A R N k 1 (63) Korjattu determnaatokerron huomo koepsteden ja havantojen määrät ja onkn luotettavamp penlle koepsteden määrlle. Suurn suhteellnen resduaal MRR kertoo suhteessa suurmman vrheen koepstessä vasteelle saatujen arvojen ja vastnpnnalta samassa psteessä saatujen arvojen välllä. Suhteellnen suurn resduaal vodaan ss krjottaa y ˆ y MRR max. (64) y Resduaalen nelöllnen keskarvo RMSR kertoo resduaalen nelöllsen keskarvon koepstessä ja se määrtellään yhtälön mukaan k y yˆ 1 RMSR. k (65) Suhteellnen resduaalen nelöllnen keskarvo RRMSR määrtellään k ˆ ˆ k y y y 1 1 y 1 y RRMSR. k k (66) Suhteellnen maksmvrhe RME kertoo suurmman resduaaln koepstessä vasteelle saatujen arvojen keskhajonnan suhteen ja suhteellnen keskvrhe RAE kertoo resduaa-
9 len keskvrheen vasteen arvojen keskhajonnan suhteen. Vrheet vodaan krjottaa seuraavast RME max 1 N N 1 1 RAE N. N 1 y y N N 1 y yˆ y y y yˆ (67) Krgng-menetelmä on ss vastnpnnan luomseen käytetystä vahtoehdosta anoa, joka mahdollstaa vastnpntaa jalostaven koepsteden luomsen automaattsest, mutta vastnpntojen tarkkuukssta saataven edellä estettyjen tetojen perusteella käyttäjä vo tehdä johtopäätöksä vastnpntojen tarkkuuksen rttävyyksstä. 3.3 Optmont Ehkä hyödyllsn sovellus vastnpntamenetelmälle Ansys Workbench -ohjelmassa on luotujen vastnpntojen pohjalta suortettava systemaattnen optmont. Yleensä vastetta suostellaan optmotavan prosesslla, jossa ensn sovtetaan ensmmäsen kertaluvun mall, jolta etstään jyrkmmän veton menetelmällä optm. Tämän jälkeen vodaan laajentaa koealuetta, jos näyttää sltä, että alkuperäsen koealueen ulkopuolelta löytyy optmonttehtävän paremmn toteuttava pste. Kun ensmmäsen kertaluvun malllla e enää löydetä parempa ratkasuehdotuksa el ollaan lähellä oletettua optma, otetaan käyttöön tosen kertaluvun mall. Tosen kertaluvun malllla vastnpnnasta saadaan tarkemp ja äärarvopste on helpomp löytää tarkast. Löydetyn äärarvopsteen luonne täytyy velä määrttää, el onko kyseessä mnm, maksm va satulapste. Sekä ensmmäsen että tosen kertaluvun malllle on ennen varsnasta optmonta varmstuttava malln rttävyydestä, jotta optmonta ols järkevää suorttaa (Khur, et al., 1987). Tällasta optmontmenettelyä kutsutaan tlastollsen vastnpntamallnnuksen menetelmään perustuvaks vasteen optmonnks (Pché, et al., 003). FEManalyysehn perustuva data e kutenkaan ssällä lankaan kohnaa, joka mahdollstaa nn sanottujen tavallsten numeersten optmontmenetelmen käytön. Ansys Workbench -ohjelmassa optmontn vodaan soveltaa kolmea menetelmää. 3.3.1 Optmontongelman asettelu Ennen varsnasen optmonnn suorttamsta täytyy optmontongelma määrtellä. Määrtellään optmontongelma muodossa
30 mn f x, x,..., x g g h l j m U L l E j m 1 L U x x x, 1,,..., k k (68) mssä mn f on tavotefunkto, jossa kohdefunktota f mnmodaan g j,l ovat epäyhtälörajotusehdot h m ovat yhtälörajotusehdot U j ja L l ovat epäyhtälörajotusehtoja rajottavat arvot E m ovat yhtälörajotusehtoja rajottavat arvot j, l, m ovat ertyyppsten rajotusehtojen lukumäärät x L ja x U ovat faktorn x suunntteluväln ylä- ja alarajat. Nyt kohdefunkto f on vaste, joka on faktoreden x 1, x,..., x k funkto. Kohdefunktota vo myös olla useamp kun yks, jollon kyseessä on montavoteoptmontongelma. Samon rajotusehtona tomvat g j, g l ja h m ovat tavallsest vasteta, mutta myös faktorelle on mahdollsta antaa tavotteta, jollon ne vovat toma rajotusehtona. Normaalst faktorelle on kutenkn määrtelty anoastaan suunntteluväl, joka on määrtelty jo koketa suunnteltaessa. Sekä kohdefunktolle että rajotusehdolle vo myös määrttää nn sanotut tärkeysasteet, jota käytetään panokertomna optmontalgortmen edetessä. Parhaten panokertomet tomvat haarukontn perustuvssa menetelmssä. 3.3. Optmontmenetelmät Ohjelma ssältää kolme menetelmää, jota vodaan soveltaa optmontn. Menetelmstä yksnkertasn on Screenng, joka perustuu näytepsteden ja nden vastnpnnolla saamen arvojen haarukontn. Näytepsteet valtaan srretyllä Hammersleyn menetelmällä, jollon psteet ovat jakautuneet hyvn tasasest suunntteluavaruuteen. Näytepsteet luoktellaan sen mukaan, kunka hyvn ne toteuttavat määrtellyn kohdefunkton ja rajotusehdot. Myös tärkeysasteet huomodaan näytepstetä luokteltaessa. Menetelmällä saadaan näytepstestä optmtehtävän parhaten toteuttavat psteet optmkanddaateks, josta käyttäjä vo velä tehdä oman valntansa. Haarukont soveltuu parhaten käytettäväks, kun halutaan selvttää mahdollsen optmpsteen ta optmpsteden summttasta sjanta, sllä pelkästään näytepstetä haarukomalla harvon löydetään tarkkaa optma. Menetelmä on kutenkn anoa, jota vodaan soveltaa, jos faktoressa on mukana muta kun jatkuva muuttuja, sllä ohjelman muta optmontmenetelmä e voda käyttää mulla kun jatkuvlla muuttujlla. Yhden kohdefunkton optmontn vodaan soveltaa NLPQL-menetelmää (Nonlnear Programmng by Quadratc Lagrangan). Nmensä mukasest menetelmässä
31 Lagrangen funktota approksmodaan kvadraattsest ja rajotusehtofunktot puolestaan lnearsodaan. Kun optmontongelma määrtellään vakntuneella tavalla (Krsch, 1993) seuraavan yhtälön mukasest mn g h j f x x0 x0, (69) nn tällön Lagrangen funkto määrtellään j j (70) x f x g x h x,,, mssä ja ovat rajotusehtofunktolle asetettavat panokertomet. Välttämätön ehto optmpsteelle on, että se toteuttaa Karush-Kuhn-Tuckerehdot, jotka määrtellään yhtälön mukasest Lagrangen funkton äärarvopsteden avulla x,, 0. (71) NLPQL-menetelmää käytettäessä käyttäjä vo vakuttaa kahteen algortmn asetukseen. Sallttu konvergonttoleranss määrttää, kunka suur vrhe KKT ehdossa salltaan. Pen sallttava vrhe antaa tarkemman tuloksen, mutta algortm konvergo htaammn, jollon teraatokerroksa tarvtaan enemmän. Suurella toleransslla saadaan vastaavast tulos nopeammn, mutta tällön vodaan saada epätarkka tulos. Tonen käyttäjän valtsema asetus onkn terontkerrosten maksmmäärä. Käyttäjä vo velä valta menetelmälle alotuspsteen, jollon alotuspsteen pakkaa vahtamalla vodaan päätyä er optmpstesn tapauksessa, jossa suunntteluavaruus ssältää useta lokaaleja optmeja. NLPQL-menetelmää käytettäessä sekä faktort, vasteet että funktoden gradentt skaalataan samaan suuruusluokkaan. Montavoteoptmontongelmn vodaan pelkän haarukonnn lsäks soveltaa myös montavoteoptmontalgortma MOGA (Mult-Objectve Genetc Algorthm), joka perustuu NSGA-II-algortmn (Non-domnated Sorted Genetc Algorthm-II). Haarukonnn tapaan myös MOGA-menetelmää käytettäessä aluks valtaan satunnasest suunntteluavaruudesta näytepsteden joukko, jossa vasteden arvot ss osataan ennustaa. Valtut psteet luoktellaan rntamn sen mukaan, kunka hyvn ne toteuttavat optmonttehtävän. Parhaten optmonttehtävän toteuttavat psteet tulevat ensmmäseen rntamaan. Tämän jälkeen valtaan uus näytepsteden joukko ensmmäsen rntaman psteden ympärstöstä ja jatketaan nän kunnes ratkasu e enää oleellsest muutu ta terontkerrosten maksmmäärä saavutetaan.
3 4 LASTILUUKUN OPTIMOINTI Ansys Workbench -ohjelman tarjoamen vastnpnta- ja optmonttyökalujen soveltuvuutta rahtlavan lastluukun lujuuslaskentasuunntteluun tutkttn soveltamalla työkaluja heman yksnkertastettuun todellseen lastluukkuun. Lastluukut ovat rahtlavojen suurn yksttänen varusteosa ja yksttänen luukkupaneel panaa yleensä kymmenä tonneja. Nnpä luukun panon mnmont on tärkeää, sllä materaalkustannukset ovat suurn tekjä lastluukun toteutuneessa hnnassa. Lastluukun tehtävä on toma sääkannella sjatsevan lastausaukon sääsuojana ja mahdollstaa kanslastn kuljettamnen. Lastluukut vodaan jakaa kolmeen pääluukkutyyppn, jotka ovat 1) kokonaan lastausta varten pos nostettavat luukut (lft-away) ) lavan pokttassuunnassa lastausaukon päältä pos rullattavat luukut (sderollng) 3) lastausaukon päältä hydraulkan avulla ylös tatettavat luukut (hydraulc foldng) Luukkutyyppen käyttö on alustyyppen mukaan melko vakntunutta. Yhdellä luukulla yhden lastausaukon pettävä lft-away-luukkuja käytetään pääasassa rtorahtaluksssa ja lft-away-luukkuja, jota on yhtä lastausaukkoa koht useampa, käytetään pääosn konttaluksssa. Svuun rullattava sde-rollng-luukkuja käytetään kuvaa rtorahta, kuten hltä, vljaa ta malma kuljettavssa aluksssa, joden kuljetuskapasteett ylttää non 60 000 tonna. Foldng-luukkuja käytetään yleensä rto- ja ylesrahtaluksssa, joden kuljetuskapasteett on alle 60 000 tonna, ja jossa on omat nosturt lastnkästtelyä varten. Sde-rollng-luukulla varustetussa aluksssa e yleensä ole oma nostureta. 4.1 Sde-rollng-luukun mtotusperusteet Tutkttavaks luukkutyypks valttn sde-rollng-lastluukku, jolle kuormtustapauksa on van yks, jos panolastruumen luukut jätetään huomomatta ja rakennetta vodaan ptää rttävän yksnkertasena, jotta se pystytään järkeväst mallntamaan suostellulla parametren määrällä 10 15. Ylesest lavateknkkaa halltsevat kansanvälsn sopmuksn perustuvat säännöt, sopmukset ja määräykset (Räsänen, 1997). Luoktuslatosten kansanvälnen järjestö IACS (Internatonal Assocaton of Classfcaton Socetes) on koonnut rtolastalusten suunnttelussa käytettävät säännöt yhteen nmellä Common Strucural Rules for Bulk Carrers.
33 Sde-rollng-luukun tapauksessa kaks paneela pettävät yhden lastausaukon ja paneelen välnen sauma kulkee lavan ptuusakseln suuntasest. Laskennassa paneelen välstä kytkentää e huomoda, vaan paneelt kästellään erllsnä tapauksna. Nnpä yhden paneeln laskenta rttää, sllä kuormtus on symmetrnen. Sde-rollng-paneel on tuettu pstemäsest kolmelta reunaltaan ja stä kuormttaa sääkuorma kuvan 8 mukasest. p w T 3 T 4 T 5 T 10 T 9 T 6 T 7 T 8 Kuva 8 Sde-rollng-lastluukun kuormtus ja tuenta. Sääkuorman ajatellaan aheutuvan lavan sääkannen yl pyyhkäsevästä vedestä. Kun otetaan huomoon lavan ja veden khtyvyydet dynaamsten kertomen avulla, vodaan sääkuorma mtottaa staattsena tlanteena. Sääkuorma vodaan laskea seuraavan yhtälön mukasest (IACS, 009) p w x LLL x x al 34,3kN m 0 0,75 34,3 14,8 LL 100 4 3kN m 0,75 1 LLL LLL, (7) mssä x on lastausaukon keskpsteen sjant lavan perästä luken, L LL on lavan ptuus ja a on kerron, joka rppuu stä, onko lavan keulassa aaltoja murtava rakenne.
34 Sde-rollng-luukun lujuuslaskennassa huomotavat rakenneosat ovat kanslevy ja shen kuuluvat jäykstervat sekä ptuus- ja pokttassuuntaset kannatnpalkt. Kannatnpalkt ovat T-palkkeja posluken luukun reunolla olevat L-palkt. Palkken vaakasuuntanen lappa on luukun pohjalla ja pystysuuntanen uuma on htsattu kanslevyn ja lapan väln. Kanslevyyn htsattavat jäykstervat vovat olla proflltaan esmerkks trapets- ta L-palkkeja. Myös yksttänen luukkupaneel on symmetrnen, joten luukusta mallnnetaan yleensä van puolkas. Kuvassa 9 on estetty lastluukun puolkas kuvattuna vstost alhaalta pän. Kuva 9 Puolkas sde-rollng-lastluukku kuvattuna vstost alhaalta. Karkeast rakenneosen roolt vodaan jakaa nn, että palkken uumat kantavat kuormasta aheutuvat lekkausjänntykset, palkken lapat tavutuksesta aheutuvan vetojänntyksen ja kanslevy jäyksteneen kantaa tavutuksesta luukun yläpntaan aheutuvat purstusjänntykset. Tämän jaon mukasest rakenneosat vodaan mtottaa nn, että palkken lapat mtotetaan myötämstä vastaan, palkken uumat lekkausjänntyksen aheuttamaa lommahdusta vastaan ja kanslevy purstusjänntyksen aheuttamaa lommahdusta vastaan. Myös kanslevyn jäykstelle on esmerkks L-proflsten jäyksterpojen tapauksessa tehtävä stablteetttarkastelu purstuksesta aheutuvaa kepahdusta vastaan. Lujuuslaskennan yhteydessä lastluukusta mtotetaan ss van pääasallset rakenneosat ja ykstyskohdat jätetään detaljsuunntteluun. Lappojen mtotus myötämstä vastaan vodaan tehdä yksnkertasest vertaamalla lapan normaaljänntystä kerrottuna varmuuskertomella sallttuun myötöjänntykseen. Sen sjaan kanslevyn lommahdustarkastelu on monmutkasemp. Lommahdustarkastelu tehdään levykentlle, john kannatnpalkt ja jäykstervat kanslevyn jakavat kuvan 10 mukasest. Samaa lommahdussääntöä vodaan soveltaa myös palkken uumen lommahdustarkastelussa.
35 Ptuussuuntanen kannatnpalkk Kanslevyn jäyksterpa a Pokttassuuntanen kannatnpalkk b Yksttänen levykenttä Kuva 10 Yksttäsen levykentän määrtys ja dmensot. Kanslevy on kuvattu kohtsuoraan ylhäältä pän. Suunnttelulle asetettujen sääntöjen mukanen lommahduskrteer estetään (IACS, 009): e1 e e3 x S y S x ys S 3 B xr eh yr eh ReH ReH 1, (73) e1 e e3 x S y S S 3,, 1 xr eh yr eh R eh mssä x ja y ovat levykentän ptuus- ja pokttassuuntaset normaaljänntykset, jotka ovat purstukselle postvsa ja vedolle negatvsa, on levykentän lekkausjänntys, S on varmuusluku lommahduksen suhteen, R eh on materaaln myötöraja, B on jänntysten suunnasta rppuva kerron, x, y ja ovat vertaluhokkuusluvusta r rppuva kertoma, jotka määrtellään taulukossa e1, e ja e3 ovat -kertomsta rppuva eksponentteja.
36 Eksponentt e1, e ja e3 sekä kerron B määrtellään e1 1 e 1 4 x 4 y e3 1 x y 5 xy kun x ja y0 B 1 kun x ta y 0 (74) Vertaluhokkuusluku r määrtellään myötörajan, lommahduskertomen K ja vertalujänntyksen e avulla ReH r. K (75) e Lommahduskerron K määrtellään myös taulukossa. Vertalujänntys puolestaan määrtellään t e 0,9 E, b (76) mssä t on levykentän nettopaksuus, el paksuus lman korroosolsä, b on levykentän lyhyemmän svun ptuus ja E on materaaln kmmomoduul. Taulukossa esntyvä jänntyssuhde määrtellään mn, (77) max mssä mn on penn levykentän reunalla esntyvä purstusjänntys ta suurn vetojänntys ja max on suurn levykentän reunalla esntyvä purstusjänntys. Kerron F 1 rppuu pdemmän svun reunojen tuentatavasta el yleensä jäyksterpojen tyypstä. Esmerkks trapetsjäykstelle F 1 = 1,1.
37 1 Taulukko Taulukko lommahdussäännön kertomsta. Kuormtus- Jänntys- Svu- Lommahduskerron K tapaus suhde reunalla 1 0 0 1 suhde = a/b 1 8,4 K 1,1 K 7,63 6, 6 10 1 K 5,9751 1 0 1 0 1 1 1 1,5 1 K F1 1,1 1,1,11 1,5 1 3 1 4 3 1 4 3 1 1 K F11 1,1 13,9 10 1,11 K F11 1,1 5,87 1, 87 8,6 10 K K 1 5,975F 1 1 F1 3,9675 4 1 0,5375 1,87 Vähennyskertomet 1, kun x r c 1 0, x c, r r kun r c c 1,5 0,1 1,5 c 0,88 c 1 1 c y 1 RF H R c c 1,5 0,11,5 r R r 1, c kun R 0,, kun r r c 0,88 c 1 1 c K 1 0,91 F c11 0 p 0,5, p r kun 1 p 3 H r r c T T c c r 4 14 1 T r 15 3 R K K 3 1, kun r 0,84 4 0,84 K 5,34, kun r 0,84 r
38 5,34 0 K 4 4. Tutkttavan luukun mallnnus ja parametrsont Tutkttavaks luukuks valttn ensmmäsen, lähnnä lavan keulaa olevan aukon luukku, joka on yleensä muta lavan luukkuja penemp. Luukun kannatnpalkken määrä ja palkken pakat ol määrätty sekä ptkttäs- että pokttassuuntaan. Myös kanslevyn jako mahdollsest er paksusn aluesn ja näden alueden dmensot ol määrätty. Määrättyjä olvat myös tuentapsteden pakat sekä osa lappojen leveyksstä sekä uumen ja lappojen paksuukssta. Myös jäyksterpojen mtat ja nden jako olvat määrättyjä. Suunnttelumuuttuja jä määrteltäväks 13 kappaletta. Tutkttava luukku on estetty symmetraa hyödyntäen kuvassa 11. Luukussa on neljä ptkttässuuntasta ja setsemän pokttassuuntasta kannatnpalkka. Kuvassa estetään myös luukun kannatnpalkken nmeämskäytäntö. Lavan pokttassuuntaset kannatnpalkt numerodaan luukun symmetratasolta nn, että numeront alkaa nollasta. Pokttaspalkelle annetaan krjan T. Vastaavast ptkttässuuntaset palkt numerodaan ykkösestä alkaen alottaen lastausaukon ptkttässuuntaselle symmetratasolle tulevasta kannatnpalksta ja merktään krjamella L. T3 L4 L3 T L T1 T0 L1 Kuva 11 Tutkttava lastluukku ja luukun kannatnpalkken nmeämskäytäntö. Luukku mallnnettn käyttäen Ansys Workbench -ohjelman omaa Desgn Modeler -mallnnustyökalua. Luukku mallnnettn kuormallna ja tutkttavat suunnttelumuuttujat parametrsotn mallnnuksen yhteydessä. Kanslevyn paksuus parametrso-
39 tn neljälle alueelle kuvassa 1 estetyllä tavalla. Kuvassa luukku on kuvattu ylhäältä pän. P4 kanslevyn paksuus P3 kanslevyn paksuus P kanslevyn paksuus P1 kanslevyn paksuus Kuva 1 Kanslevyn paksuuksen parametrsont. Ptuuspalkken L1 ja L laposta parametrsotn lapan leveys ja paksuus. Pokttaspalkken lapolle valttn kaklle palkelle sama lapan leveys ja paksuus. Sekä ptuusettä pokttassuuntasten reunapalkken lappojen leveydet ja paksuudet pdettn vakona luukun reunolle sjotettaven komponentten asettamen vaatmusten vuoks. Oletettn ss, että komponentesta aheutuvat mnmpaksuudet ja -leveydet ovat luukun lujuuden kannalta rttävät. Samon ptuuspalkn 3 lapan leveys ja paksuus jätettn parametrsomatta, sllä palkk on merkttävä lähnnä valmstuksen ekä nnkään rakenteen lujuuden kannalta. Lappojen leveyksen ja paksuuksen parametrsont on estetty kuvassa 13. Tässä kuvassa luukku on kuvattu alhaalta pän ja jäykstervat on selkeyden vuoks jätetty pos kuvasta.
40 P9 lapan paksuus, P10 lapan leveys P9 lapan paksuus, P10 lapan leveys P9 lapan paksuus, P10 lapan leveys P7 lapan paksuus, P8 lapan leveys P5 lapan paksuus, P6 lapan leveys Kuva 13 Lappojen paksuuksen ja leveyksen parametrsont. Palkken uumat parametrsotn samaan tapaan kun lapatkn. Ptuuspalkken 1 ja uumlle annettn kummallekn omat parametrt ja pokkpalkken uumat parametrsotn kakk saman paksusks. Uumen paksuuksen parametrsont on estetty kuvassa 14. P13 uuman paksuus P13 uuman paksuus P1 uuman paksuus P13 uuman paksuus P11 uuman paksuus Kuva 14 Uumen paksuuksen parametrsont. Todellnen lastluukku on tässä parametrsotua luukkua monmutkasemp, sllä esmerkks kannatnpalkken lapossa ja uumssa vo esntyä useampaa anepaksuutta. Kannatnpalkken lapat evät myöskään todellsuudessa ole koko ptuudeltaan samanle-
41 vysä, vaan kapenevat reunarautoja koht. Kutenkn yksnkertastettukn mall kuvaa luukkua tarpeeks hyvn, jotta vodaan tarkastella todellsssa luukussa esntyvä lmötä. 4.3 Tehtävän vasteden parametrsont Seuraavaks mall verkotettn käyttäen nelsolmusta SHELL181-kuorelementtä kuvan 15 mukasest. Elementtejä malln tul non 5000 ja mall tehtn käyttämällä kappaleden ltoskohdssa yhtesä solmuja, jollon kontaktmalla sdosehdolla e tarvttu. Tosaalta kontaktmalllla ols votu saada sstmp verkko. Verkotusasetukset pdettn yksnkertasna, jotta mall verkottus myös geometran muuttuessa koepstetä laskettaessa. Malln määrteltn kuormtukseks yhtälön (7) mukasest panekuorma 66,4 kpa, mkä vastaa 6,8 meträ luukun päällä sesovaa vettä. Malln tuenta määrteltn nn, että tukrakenteden ulompn reunohn asetettn nveltuet. Myös luukun tuenta on estetty kuvassa 15. Kuva 15 Tutktun luukun elementtverkko ja luukun tuenta. Paksut vvat kuvaavat nveltuken pakkoja. Seuraavaks mallsta parametrsotn tutkttavat vasteet. Lommahdustarkastelu suortettn neljälle levykentälle ptuuspalkken L1 ja L ympärstössä. Tarkasteltavat levykentät on osotettu kuvassa 16. Lommahdustarkastelussa käytettävä jänntyksä varten kul-