aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet nesteet, kaasut, plasmat Täysn jäykkä kappaleta e ole! lämmön, äänen, sähkön johtavuus kvantttaso Jäykkä kappale hyvä approksmaato, kun v vuorovakutuksen etenemsnopeus. Selväst ongelma, kun v c.
Maananta 9.9.014 /17 Jäykän kappaleen lke Jäykällä kappaleella on 6 vapausastetta: 3 translaatota + 3 kertoa Ylesn vapaan jäykän kappaleen lke on translaato plus rotaato jonkn psteen P suhteen. Tällä luennolla opmme teknkota, jolla tätä pystyy kuvalemaan. Jos kpl knntetään psteeseen P, nn ylesn mahdollnen lke on rotaato P:n suhteen. Vomme ss kuvalla pakkoja (knteässä) nertaalkoordnaatstossa {x} knnttämällä kpl:n lepokoordnaatsto {y} kpl:seen, nn että {y} pyör kpl:een mukana. Molemmat koordnaatstot ovat ortogonaalsa: ẽ ẽ j = δ j (mssä ss ẽ {î, ĵ, ˆk}) ja ê ê j = δ j. Väte: kaklla ajanhetkllä t ykskästtenen matrs R(t), jonka komponentelle ê (t) = R j (t)ẽ j. Todstus: ê ê j = δ j R k R jl ẽ k ẽ l = δ j R k R jk = δ j ta tosn sanoen (R T R) j = δ j (ortogonaalsuus). Ykskästtesyys seuraa suoraan konstruktosta: R j = ê ẽ j.
Maananta 9.9.014 3/17 Ortogonaalnen muunnos Jos jäykkä kappale ss pyör, nn stä vodaan kuvalla ajasta rppuvalla, ortogonaalsella, 3 3 matrslla R(t). Tällä matrslla on se omnasuus, että sen determnantt on 1. 1 Vastaavast, jokanen yksparametrnen perhe R(t) kuvaa kappaleen mahdollsa lkketä. Medän konfguraatoavaruus C on ss: C = erkosten ortogonaalsten 3 3 matrsen avaruus = SO(3) 3 3 matrslla on 9 komponentta, mutta ortogonaalsuusehdosta R T R = 1 saadaan 6 relaatota, joten konfguraatoavaruus C on kolmulottenen ja tarvtsemme ss 3 ylestettyä koordnaatta sen parametrsomseen. Hyvä valnta näks on Eulern kulmat, josta myöhemmn lsää. 1 Tonen mahdollsuus on, että determnantt on 1, joka vastaa kertoa ja pelausta (ê ê ).
Maananta 9.9.014 4/17 Lsää koordnaatston valnnasta Tärkeä ss tehdä fksust! Inertaalkoordnaatsto {x} Kappaleen (mahd. e-nertaalnen) lepokoordnaatsto {y} Jos valtaan {y}:n orgoks massakeskpste (CM), m r = 0 Aemp tulos: ( r ) x = ( R)x + ( r) y + ω r }{{} 0 Nän ollen jäykälle kappaleelle ( r ) x = ( R)x + ω r Huom! Tämä e rpu CM:n valnnasta orgoks, mutta tämä valnta on yleensä hyödyllnen.
aananta 9.9.014 5/17 Pyörmsenerga Tavotteena määrttää Lagrangen funkto jäykälle kappaleelle htausmomentt Oletetaan, että kpl muodostuu erllsstä massapstestä m : T = 1 m ( r ) x = 1 ( ) m R + ω r = 1 m R + m R ( ω r ) + 1 m ( ω r ) Tässä tetyst R ja ω ovat kaklle samat. Merktään m M: 1 m R = 1 M R ja m R (ω r ) = R ω m r = 0 }{{} =0 (CM)
aananta 9.9.014 6/17 Pyörmsenega ( A B) ( C D) = ( A C)( B D) ( A D)( B C) ( ω r ) = ω r ( ω r ) 1 m ( ω r ) = 1 [ m ω r ( ω r ) ] T = 1 M R + 1 [ m ω r ( ω r ) ] }{{} T CM }{{} T rot ( T rot = 1 3 3 3 3 ) m ωj yk ω j y j ω k y k j=1 k=1 j=1 k=1 Yksnkertastetaan merkntöjä jättämällä pos hukkaset numerova ndeks: y j y j ; m ( ) m( ) ja otetaan käyttöön Enstenn summaussääntö: tostetun ndeksn yl summataan automaattsest ωj = ω j ω j = ωj ; ω j y j = ω j y j j j
Maananta 9.9.014 7/17 Muodostetaan htaustensor ( T rot = 1 3 3 3 3 ) m ωj yk ω j y j ω k y k j=1 k=1 j=1 k=1 = 1 [ m (ω ) (y j ) (ω y )(ω k y k ) ] = 1 [ m (ω ω k δ k )(y j ) ] ω ω k y y k = 1 [ mω ω k δk (y j ) ] y y k = 1 ω [ ω k m (yj ) ] δ k y y k }{{} I k = 1 I kω ω k Htaustensor: I k = m(yj δ k y y k ) (musta: yj = j y j )
Maananta 9.9.014 8/17 Lagrangen funkto Saatu htaustensor I k = m(yj δ k y y k ) on. krtl tensor, jonka komponentt koordnaatstossa {y} ovat (I k ) = I 11 I 1 I 13 I 1 I I 3 = I 13 I 3 I 33 m(y j y1 ) my 1 y my 1 y 3 my y 1 m(y j y ) my y 3 my 3 y 1 my 3 y m(y j y 3 ) Merktään 3 I = (I k ). I:n fyskaalnen dmenso on ML. I on symmetrnen I k = I k. T = 1 M R + 1 ω I k ω k = 1 M R + 1 ω I ω L = 1 M R + 1 ω I ω U mssä ss U = U ( R + r ). 3 Emme vo merkä I, koska se ol varattu ykskkömatrslle.
Maananta 9.9.014 9/17 Tensorella lekkmstä L = 1 M R + 1 ω I ω U Sdosehdot: r =vako {y}:ssä r = r (ϕ, ψ, θ) {x}:ssä. Tästä seuraa, että Lagrangen funktossa on kuus muuttujaa R, (ϕ, ψ, θ) pakka ja asento sekä nden akadervaatat R, ( ϕ, ψ, θ) ( ω:n komponentesta) Velä muutama sananen tensorella laskemsesta, el mten seuraava lauseke ptäs ymmärtää: ω ω j I j = ω I j ω j = ω I ω vektor tensor = vektor ( = pstetulo): tensor vektor = vektor: (ω I) j = ω I j = a j summaus :n yl! (I ω) j = I j ω = ω I j = ω I j = a j Huom! vektorn ja tensorn pstetulo e ole vahdannanen mulle kun symmetrslle tensorelle!
aananta 9.9.014 10/17 Tensorella lekkmstä vektor tensor vektor = vektor vektor = skalaar: ω I ω = (ω I) ω = a j ω j = ω (I ω) = ω a Karteessen tensorn laskemsen vo ana palauttaa matrslaskennaks annetussa koordnaatstossa } ω {{ I ω } = ( ) ω 1 ω ω 3 I 11 I 1 I 13 I 1 I I 3 ω 1 ω tensornotaato I 13 I 3 I 33 ω 3 = ω T (I k ) ω }{{} matrsnotaato Tensort, samon kun vektort (esm. nopeus), ovat matemaattsa objekteja, joden olemassaolo e rpu koordnaatstosta, mutta nden komponentt rppuvat!
aananta 9.9.014 11/17 Htausmomentt ja htaustulot Olkoon n, ω:n suuntanen ykskkövektor: ω = ω n, tällön T rot = 1 ω I ω = 1 ω n I n 1 I ω Tässä skalaar I = n I n = m [ r ( r n) ] on kappaleen htausmomentt pyörmsakseln suhteen. Htaustensorn komponentt (koordnaatstossa {y}): m(y + y3 ) my 1 y my 1 y 3 (I k ) = my y 1 m(y 1 + y 3 ) my y 3 my 3 y 1 my 3 y m(y 1 + y ) Dagonaalelementt: Htausmomentt koordnaattakselen suhteen E-dagonaalelementt: Htaustulot Jatkuvalle aneelle m dv ρ( r) I k = V d3 rρ( r)(r δ k r r k ) el (I k ) = V d 3 rρ( r) ja tällönkn T rot = 1 I kω ω k (summaus!). y + z xy xz xy x + z yz xz yz x + y
Pääakselkoordnaatsto Koska I k R ja I symmetrnen (I k = I k ), nn (I k ) dagonalsotuu (el ortogonaalnen matrs O s.e. O (I k ) O T = (I k ) on dagonaalnen)4 : (I k ) = I 1 0 0 0 I 0 0 0 I 3 pääakselkoordnaatsto Htausmomentt I pääakselen suhteen ovat kappaleen päähtausmomentt ja T rot = 1 ( I1 ω 1 + I ω + I 3ω 3) mssä ω 1, ω, ω 3 ovat ω:n komponentt pääakselkoordnaatstossa. Jäykän kappaleen knemaattset omnasuudet ovat täysn määrättyjä, kun tedämme sen massan, pääakselt ja htausmomentt. Jos I 1 = I = I 3 kpl on ns. pallohyrrä I 1 = I I 3 kpl on ns. symmetrnen hyrrä Vhje: met ana etukäteen onko olemassa selvä symmetrota! 4 Ekvvalentst vomme kertää {y}-koordnaatston ykskkövektort {êy } I:n omnasvektoreden {Oê y } suuntasks, jollon htaustensor on dagonaalnen. Maananta 9.9.014 1/17
aananta 9.9.014 13/17 Pääakselkoordnaatsto: kommentt Tarkastellaan homogeneensta kappaletta. Jos kappaleella on symmetra-aksel, nn massakeskpste ja yks sen pääakselesta on tällä suoralla on olemassa symmetra-aksela vastaan kohtsuora symmetrataso, nn loput pääakselt ovat tässä tasossa Esmerkk: tarkastellaan homogeneensen ohuen sauvan, jonka ptuus on l ja massa M, htaustensora keskpsteen suhteen. Sauvan theys on ρ = M/l. Symmetra: (I k ) = dag(i 1, I 1, 0), mssä l/ I 1 = ρx dx = 1 l/ 1 Ml
aananta 9.9.014 14/17 Esmerkk: kekko Tarkastellaan seuraavaks homogeneensta kekkoa, jonka säde on r ja massa M. Olk. z-aksel kohtsuorassa kekkoa ja mtataan (I k ) kekon CM:n suhteen. Taaskn (I k ) = dag(i 1, I, I 3 ). Kekon theys on ρ = M/(πr ), joten I 1 = ρy d x, I = ρx d x joten I 1 = I (symmetra), mutta I 3 = ρ(x + y )d x el r I 3 = I 1 + I = πρ r 3 dr = 1 0 Mr Päähtausmomentt ovat ss I 1 = I = 1 4 Mr ja I 3 = 1 Mr.
Maananta 9.9.014 15/17 Stenern sääntö Htaustensor rppuu knntyspsteestä P. Ylesest on hyvn sotkusta laskea I jonkn tosen psteen P suhteen. Mutta jos P sattuu olemaan CM, on lasku helppo. Väte: jos P on srretty vektorn c verran CM:stä, nn Todstus: (I c ) k = (I CM ) k + M(c δ k c c k ) (I c ) k = m [ ( r c) δ k ( r c) ( r c) k ] = m [ r δ k r r k + { r cδ k + r c k + r k c } + (c δ k c c k ) ] Mutta termt kaarsulkessa hävävät, jos r on mtattu CM:stä!
Maananta 9.9.014 16/17 Esmerkkejä: sauva ja kekko Tarkastellaan nyt uudestaan sauvaa. Lasketaan htaustensor sauvalle tosen päädyn suhteen: I 1 = 1 ( ) l 1 Ml + M = 1 3 Ml Vastaavast tarkastellaan kekkoa, joka on srretty vektorn c = (c, 0, 0) verran svuun keskpsteestä. Tällön saamme (I c ) = M = M 1 4 r 1 4 r 1 + M c c r 1 4 r 1 4 r + c 1 r + c c c 0 0
Maananta 9.9.014 17/17 Htausellpsod Määrtellään tosen asteen pnta: Ylesest pnnan yhtälö on ss muotoa: Pääakselkoordnaatstossa: r I r = 1 I 11 y 1 + I y + I 33y 3 + I 1y 1 y + I 13 y 1 y 3 + I 3 y y 3 = 1 y 1 I 1 1 + y I 1 + y 3 I 1 = 1 3 el pnta on ellpsod, jonka akselt ovat kpl:een pääakselt: Htausellpsod. Homogeensen pallon ja kuuton htausellpsodt ovat pallopntoja. Kappaleet ovat ss samanlasa hyrrälkkeen kannalta el pallohyrrä.