Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia

Transkriptio

1 Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia

2 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia

3 Suhteellinen liike Nopeusmittauksista suhteellinen nopeus (relative speed) = nopeus suhteessa johonkin koordinaatistoon (frame of reference) Tarkastellaan suoraviivaista liikettä Kaksi havaitsijaa A ja B, jotka liikkuvat toistensa suhteen nopeudella v AB Havaitsijoiden koordinaatistojen origot pisteissä O ja O Paikkavektori pisteeseen P havaitsijasta A on r = OP ja havaitsijasta B on r = O P, jolloin r = r + r AB, missä r AB on vektori, joka osoittaa A:sta B:hen Oletetaan, että havaitsija B ei ole kiihtyvässä liikkeessä A:han nähden

4 Galilein koordinaatistomuunnos Derivoidaan ajan suhteen d r = d r + d r AB = v = v + v AB, Derivoimalla uudestaan ajan suhteen saadaan d v = a = a Jos valitaan A ja B samaan pisteeseen ajanhetkellä t = 0, saadaan muunnoskaavat r = r v AB t v = v v AB a = a t B = t A = Galilein koordinaatistomuunnos

5 Inertiaalikoordinaatisto Galilein muunnoksen keskeisin ominaisuus on että molemmat havaitsijat mittaavat saman kiihtyvyyden Seuraus: kiihtyvyys invariantti koordinaatistomuunnoksessa, kunhan molemmat koordinaatistot ovat inertiaalikoordinaatistoja Merkitys: kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat yhdenvertaisia Inertiaalikoordinaatisto (inertial frame of reference) = tasaisella nopeudella liikkuva koordinaatisto Koordinaatisto, joka liikkuu tasaisella nopeudella johonkin inertiaalikoordinaatistoon nähden myös inertiaalikoordinaatisto Ei-inertiaalinen koordinaatisto kiihtyvässä liikkeessä Myös normaalikiihtyyys kiihtyvää liikettä Normaalikiihtyvyys muuttaa koordinaatiston liikesuuntaa

6 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia

7 Kulmasuureet Ympyräradalla kulkevaa kappaletta kuvataan kulmasuureilla Hiukkasen paikka ympyräradalla paikkavektorin ja x-akselin välinen kulma θ Kulmanopeus ω ja ratanopeus v y ω = dθ ja v = ds = d(rθ) = Rω Kulmakiihtyvyys α R α = dω = d 2 θ 2 θ x

8 Kiihtyvyyden komponentit Kiihtyvyyden tangentiaalikomponentti Normaalikomponentti a T = dv = R dω = Rα a N = v 2 R = (ωr)2 R = Rω2

9 Pyörimisliikkeen vektorisuureet Kertaus Kulmanopeusvektori ω Kohtisuorassa pyörimisliikkeen tasoa vastaan Suunta määrätään oikean käden säännöllä ω α, α > 0 ω Kulmakiihtyvyysvektori α Samansuuntainen kuin ω jos α > 0 Vastakkaissuuntainen jos α < 0

10 Pyörimisliikkeen vektorisuureista tarkemmin Tarkastellaan z-akselin ympäri (vakio)etäisyydellä R, kulmanopeudella ω tapahtuvaa ympyräliikettä Säde R voidaan esittää myös paikkavektorin r pituuden r ja kulman γ avulla R = r sin γ Tällöin ratanopeus v = ωr sin γ z R γ r

11 Nopeus- ja kiihtyvyysvektorit v = ωr sin γ vektorimuodossa: v = ω r Kulmanopeusvektori ω pyörimistasoa vastaan kohtisuora vektori Suunta oikean käden säännöllä Tasaisessa ympyräliikkeessä vakio ω Kiihtyvyydellä vain normaalikomponentti Eli a = d v = ω d r = ω v a = ω v = ω ( ω r)! Pätevät tässä muodossa vain kun r ja γ vakioita

12 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia

13 Pyörivät koordinaatistot Kaksi toistensa suhteen pyörivää koordinaatistoa Koordinaatistojen origot O ja O samassa pisteessä O pyörii kulmanopeudella ω inertiaalikoordinaatiston O suhteen Mielivaltainen vektori A(t) Koordinaatistossa O Koordinaatistossa O A = A x î + A y ĵ + A z ˆk A = A x î + A yĵ + A z ˆk Origot samat A = A x î + A y ĵ + A z ˆk = A x î + A yĵ + A z ˆk = A

14 Aikaderivaatat Inertiaalikoordinaatistossa O Pyörivässä koordinaatistossa O d A = da x O î + da y ĵ + da z ˆk d A O = da x î + da y ĵ + da z ˆk Vain yksikkövektorit î, ĵ ja ˆk vakioita inertiaalikoordinaatistossa, joten d A O = da x î + da y ĵ + da z ˆk + A dî x + A dĵ y + A d ˆk z

15 Pyörivän koordinaatiston yksikkövektorit Koordinaatisto O (ja sen yksikkövektorit) pyörii vakiokulmanopeudella ω = dî = ω î, dĵ = ω ĵ, d ˆk = ω ˆk = A dî dĵ d ˆk x +A y +A z = A x( ω î)+a y( ω ĵ)+a z( ω ˆk) = ω A xî + ω A yĵ + ω A ˆk z = ω A = ω A Yleinen aikaderivoimisääntö d A O = d A O + ω A

16 Paikka- ja nopeusvektorit Sovelletaan derivoimissääntöä paikkavektoreihin d r O = d r O + ω r Merkitsemällä saadaan v = d r O ja v = d r O v = v + ω r

17 Kiihtyvyysvektori Kiihtyvyysvektoria muunnettaessa huomattava, että molemmat derivoinnit suoritettava samassa koordinaatistossa a = d 2 r 2 O = d O d r O Tästä saadaan tulokseksi a = d 2 r 2 O = d O a = a + 2 ω v }{{} + ω ( ω r) }{{} Coriolis keskipako d r O Esimerkki siitä, miksi Galilein muunnos menee rikki ei-inertiaalisessa koordinaatistossa kiihtyvyys ei enää invariantti

18 Maapallon pyörimisen aiheuttama kiihtyvyys Maapallo pyörii kulmanopeudella rad s 1, jonka suunta maapallon keskustasta pohjoisnavalle päin Jos maapallo ei pyörisi, vapaasti putoavalle kappaleelle mitattaisiin kiihtyvyys g 0 Pyörimisen takia maan mukana pyörivä havaitsija näkee kappaleella kiihtyvyyden a = g 0 2 ω v ω ( ω r)

19 Keskipakokiihtyvyys maan pinnalla Maan pyöriminen muuttaa maan pinnalla olevien kappaleiden kokemaa maan vetovoiman kiihtyvyyttä Jos kappale paikallaan, Coriolis-termi häviää Efektiivinen vetovoiman kiihtyvyys g = g 0 ω ( ω r) Vetovoiman kiihtyvyys riippuu korkeusasteesta λ (latitude): Korjaustermin suuruus ω ( ω r) = ω 2 r cos 2 λ = cos λ m/s 2 Korjaustermin suuruus pieni verrattuna g 0 :n arvoon 9.81 m s 2 Korjaustermin vaikutus painovoiman suuntaan mitätön N λ ω r g 0 ω ( ω r)

20 Coriolis-kiihtyvyys Vaikuttaa kaikkiin maapallon suhteen putoaviin kappaleisiin Esim. vapaasti putoava kappale kaartuu pohjoisella pallonpuoliskolla itään Coriolis-kiihtyvyyden vaikutuksesta Vastaavasti pohjoisella pallonpuoliskolla maanpinnan suuntaisesti liikkuva kappale kääntyy oikealle Eteläisellä pallonpuoliskolla vasemmalle Fiktiivinen kiihtyvyys! seuraus maapallon pyörimisestä

21 Coriolis-kiihtyvyys yleisessä tapauksessa Yleisessä tapauksessa Coriolis-kiihtyvyydellä myös pystysuora komponentti Esim. matalapaineen keskuksen ympärillä pyörivät ilmamassat kiertävät pohjoisella pallonpuoliskolla vastapäivään koska matalapainetta kohti tulevat ilmavirtaukset poikkeavat keskilinjasta oikealle Eteläisellä pallonpuoliskolla päinvastoin

22 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia

23 Karteesinen koordinaatisto z (x, y, z) r dz dx dy Tilavuuselementti dv = dx dy dz x y

24 Karteesinen koordinaatisto Karteesisen koordinaatiston paikkavektori r = xî + yĵ + z ˆk Nopeusvektori Kiihtyvyys Yleinen vektori v = d r a = d v = dx î + dy ĵ + dz ˆk = dv x î + dv y ĵ + dv z ˆk A = A x î + A y ĵ + A z ˆk

25 Napakoordinaatisto Sylinterikoordinaatiston erikoistapaus 2D:ssä Koordinaatit ρ Etäisyys origosta ϕ Paikkavektorin ja positiivisen x-akselin kulma Muuntoyhtälöt x(ρ, ϕ) = ρ cos ϕ; ρ(x, y) = x 2 + y 2 y ρ ϕ r x Huomaa, että ρ 0 ja ϕ [0, 2π] y(ρ, ϕ) = ρ sin ϕ; ϕ(x, y) = arctan y x

26 Yksikkövektorit Koordinaattisysteemien koordinaatteja vastaa yksikkövektorit y A Yksikkövektori osoittaa kasvavien arvojen suuntaan Tyypillisesti yksikkövektorien suunta riippuu tarkastelupisteestä Napakoordinaatiston paikkavektori ê ϕ ρ ϕ r ê ρ x r(ρ, ϕ) = ρê ρ Yleinen vektorisuure napakoordinaatistossa A = A ρ ê ρ + A ϕ ê ϕ

27 Napakoordinaatiston yksikkövektorit Napakoordinaatiston yksikkövektorit kytketty karteesisen koordinaatiston yksikkövektoreihin [êρ ê ϕ ] [ ] [î ] cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ ĵ Napakoordinaatiston yksikkövektorit riippuvat ϕ:stä! Lasketaan niiden derivaatat ajan suhteen: (Rotaatiomatriisi) dê ρ dê ϕ = d cos ϕ î + d sin ϕ ĵ + dî = d cos ϕ dϕ dϕ î + d sin ϕ dϕ = dϕ êρ cos ϕ + dĵ sin ϕ dϕ ĵ = dϕ êϕ

28 Nopeus ja kiihtyvyys napakoordinaatistossa y Nopeusvektori v = d r ê ϕ dϕ ϕ a = d v r ê ϕ r ê ρ ê ρ x = d [ dρ êρ + ρ dϕ = = d (ρê ρ) = dρ êρ + ρ dê ρ Nopeus v = d r = d (ρê ρ) = dρ êρ + ρ dê ρ = dρ êρ + ρ dϕ êϕ Kiihtyvyys saadaan nopeuden aikaderivaatasta êϕ ( d 2 ρ [ dϕ ρ 2 ] =... ] 2 ) ( ê ρ + 2 dρ dϕ + ρ d 2 ϕ 2 ) ê ϕ

29 Sylinterikoordinaatisto (x, y, z) = (ρ, φ, z) z ρ dz r dφ dρ φ x y ρ dφ Tilavuuselementti dv = ρ dρ dφ dz

30 Sylinterikoordinaatisto Napakoordinaatiston yleistys kolmeen ulottuvuuteen Täydennetty karteesisella z-komponentilla z Muuntoyhtälöt x(ρ, ϕ, z) = ρ cos ϕ ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 ρ y(ρ, ϕ, z) = ρ sin ϕ z(ρ, ϕ, z) = z ϕ(x, y, z) = arctan y x z(x, y, z) = z ϕ z x

31 Yksikkövektorit sylinterikoordinaatistossa Paikkavektori r = ρê ρ + z ˆk Nopeus v = dρ êρ + ρ dϕ êϕ + dz ˆk Kiihtyvyys a = ( 2 dρ dϕ ( d 2 ρ [ dϕ ] 2 ) ρ 2 ê ρ + ρ d 2 ϕ ) 2 ê ϕ + d 2 z ˆk Yleinen vektori A = A ρ ê ρ + A ϕ ê ϕ + A z ˆk z r ˆk ê ϕ ê ρ y x

32 Pallokoordinaatisto (x, y, z) = (r, θ, φ) r sin θ z θ φ r dr x r dθ dθ y dφ r sin θ dφ Tilavuuselementti dv = r 2 sin θ dr dθ dφ

33 Pallokoordinaatisto Koordinaatteina etäisyys origosta r ja kulmat θ, ϕ Muuntoyhtälöt z x(r, ϕ, θ) = r sin θ cos ϕ ê r y(r, ϕ, θ) = r sin θ sin ϕ z(r, ϕ, θ) = r cos θ ρ(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y θ(x, y, z) = 2 arctan z x ϕ θ r ê θ ê ϕ y ϕ(x, y, z) = arctan y x